Как да изчислим дискриминанта на квадратно уравнение без s. Квадратни уравнения. Решаване на квадратни уравнения. Квадратни уравнения в древен Вавилон

Продължавайки темата „Решаване на уравнения“, материалът в тази статия ще ви запознае с квадратни уравнения.

Нека разгледаме всичко подробно: същността и записа на квадратно уравнение, дефиниране на придружаващите термини, анализ на схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, запознаване с формулата на корените и дискриминанта, установяване на връзки между корените и коефициентите, и разбира се ще дадем визуално решение на практически примери.

Квадратно уравнение, неговите видове

Квадратно уравнениее уравнение, написано като a x 2 + b x + c = 0, Където х– променлива, a , b и ° С– някои числа, докато ане е нула.

Често квадратните уравнения се наричат ​​също уравнения от втора степен, тъй като по същество квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен.

Нека дадем пример, за да онагледим дадената дефиниция: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 и т.н. Това са квадратни уравнения.

Определение 2

Числата a, b и ° Сса коефициентите на квадратното уравнение a x 2 + b x + c = 0, докато коеф асе нарича първи, или старши, или коефициент при x 2, b - вторият коефициент, или коефициент при х, А ° Снаречен безплатен член.

Например в квадратното уравнение 6 x 2 − 2 x − 11 = 0водещият коефициент е 6, вторият коефициент е − 2 , а свободният член е равен на − 11 . Нека обърнем внимание на факта, че когато коефициентите bи/или c са отрицателни, тогава се използва кратка форма на формата 6 x 2 − 2 x − 11 = 0, но не 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Нека изясним и този аспект: ако коефициентите аи/или bравен 1 или − 1 , то те могат да не вземат изрично участие в записването на квадратното уравнение, което се обяснява с особеностите на записване на посочените числови коефициенти. Например в квадратното уравнение y 2 − y + 7 = 0водещият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

Въз основа на стойността на първия коефициент квадратните уравнения се делят на редуцирани и нередуцирани.

Определение 3

Редуцирано квадратно уравнениее квадратно уравнение, където водещият коефициент е 1. За други стойности на водещия коефициент квадратното уравнение е нередуцирано.

Да дадем примери: приведени са квадратни уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0, във всяко от които водещият коефициент е 1.

9 x 2 − x − 2 = 0- нередуцирано квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .

Всяко нередуцирано квадратно уравнение може да бъде преобразувано в редуцирано уравнение чрез разделяне на двете страни на първия коефициент (еквивалентна трансформация). Трансформираното уравнение ще има същите корени като даденото нередуцирано уравнение или също няма да има никакви корени.

Разглеждането на конкретен пример ще ни позволи ясно да демонстрираме прехода от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример 1

Дадено е уравнението 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Необходимо е оригиналното уравнение да се преобразува в намалена форма.

Решение

Съгласно горната схема, ние разделяме двете страни на оригиналното уравнение на водещия коефициент 6. Тогава получаваме: (6 x 2 + 18 x − 7) : 3 = 0: 3, и това е същото като: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0и по-нататък: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0.Оттук: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Така се получава уравнение, еквивалентно на даденото.

Отговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Пълни и непълни квадратни уравнения

Нека се обърнем към дефиницията на квадратно уравнение. В него уточнихме, че a ≠ 0. Подобно условие е необходимо за уравнението a x 2 + b x + c = 0беше точно квадрат, тъй като при а = 0по същество се трансформира в линейно уравнение b x + c = 0.

В случай, че коеф bИ ° Сса равни на нула (което е възможно, както поотделно, така и заедно), квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение 4

Непълно квадратно уравнение- такова квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0,където поне един от коефициентите bИ ° С(или и двете) е нула.

Пълно квадратно уравнение– квадратно уравнение, в което всички числени коефициенти не са равни на нула.

Нека обсъдим защо видовете квадратни уравнения са дадени точно с тези имена.

Когато b = 0, квадратното уравнение приема формата a x 2 + 0 x + c = 0, което е същото като a x 2 + c = 0. При c = 0квадратното уравнение се записва като a x 2 + b x + 0 = 0, което е еквивалентно a x 2 + b x = 0. При b = 0И c = 0уравнението ще приеме формата a x 2 = 0. Уравненията, които получихме, се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви части не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете. Всъщност този факт даде името на този тип уравнения – непълни.

Например, x 2 + 3 x + 4 = 0 и − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0, − x 2 − 6 x = 0 – непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Дефиницията, дадена по-горе, позволява да се разграничат следните видове непълни квадратни уравнения:

• a x 2 = 0, това уравнение съответства на коефициентите b = 0и с = 0;
• a · x 2 + c = 0 при b = 0;
• a · x 2 + b · x = 0 при c = 0.

Нека разгледаме последователно решението на всеки тип непълно квадратно уравнение.

Решение на уравнението a x 2 =0

Както бе споменато по-горе, това уравнение съответства на коефициентите bИ ° С, равно на нула. Уравнението a x 2 = 0може да се преобразува в еквивалентно уравнение х 2 = 0, което получаваме, като разделим двете страни на първоначалното уравнение на числото а, не е равно на нула. Очевидният факт е, че коренът на уравнението х 2 = 0това е нула, защото 0 2 = 0 . Това уравнение няма други корени, което може да се обясни със свойствата на степента: за всяко число п,не е равно на нула, неравенството е вярно p 2 > 0, от което следва, че когато p ≠ 0равенство p 2 = 0никога няма да бъде постигнато.

Определение 5

Така за непълното квадратно уравнение a x 2 = 0 има единствен корен х = 0.

Пример 2

Например, нека решим непълно квадратно уравнение − 3 x 2 = 0. То е еквивалентно на уравнението х 2 = 0, единственият му корен е х = 0, тогава първоначалното уравнение има един корен - нула.

Накратко решението е написано по следния начин:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Решаване на уравнението a x 2 + c = 0

Следващото по ред е решението на непълни квадратни уравнения, където b = 0, c ≠ 0, тоест уравнения от вида a x 2 + c = 0. Нека трансформираме това уравнение, като преместим член от едната страна на уравнението в другата, променим знака на противоположния и разделим двете страни на уравнението на число, което не е равно на нула:

• трансфер ° Св дясната страна, което дава уравнението a · x 2 = − c;
• разделете двете страни на уравнението на а, завършваме с x = - c a .

Нашите трансформации са еквивалентни; съответно полученото уравнение също е еквивалентно на оригиналното и този факт позволява да се направят изводи за корените на уравнението. От това какви са стойностите аИ ° Сстойността на израза - c a зависи: може да има знак минус (например ако а = 1И c = 2, след това - c a = - 2 1 = - 2) или знак плюс (например, ако a = − 2И c = 6, тогава - c a = - 6 - 2 = 3); не е нула, защото c ≠ 0. Нека се спрем по-подробно на ситуации, когато - c a< 0 и - c a > 0 .

В случай, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стрравенството p 2 = - c a не може да бъде вярно.

Всичко е различно, когато - c a > 0: запомнете квадратния корен и ще стане очевидно, че коренът на уравнението x 2 = - c a ще бъде числото - c a, тъй като - c a 2 = - c a. Не е трудно да се разбере, че числото - - c a също е коренът на уравнението x 2 = - c a: наистина, - - c a 2 = - c a.

Уравнението няма да има други корени. Можем да демонстрираме това с помощта на метода на противоречието. Като начало, нека дефинираме обозначенията за корените, намерени по-горе, като х 1И − x 1. Да приемем, че уравнението x 2 = - c a също има корен х 2, което е различно от корените х 1И − x 1. Знаем това чрез заместване в уравнението хнеговите корени, трансформираме уравнението в справедливо числово равенство.

За х 1И − x 1записваме: x 1 2 = - c a , и за х 2- x 2 2 = - c a . Въз основа на свойствата на числовите равенства, ние изваждаме един правилен член по член от друг, което ще ни даде: x 1 2 − x 2 2 = 0. Използваме свойствата на операциите с числа, за да пренапишем последното равенство като (x 1 − x 2) · (x 1 + x 2) = 0. Известно е, че произведението на две числа е нула тогава и само ако поне едно от числата е нула. От горното следва, че x 1 − x 2 = 0и/или x 1 + x 2 = 0, което е същото x 2 = x 1и/или x 2 = − x 1. Възникна очевидно противоречие, тъй като първоначално беше договорено, че коренът на уравнението х 2се различава от х 1И − x 1. И така, доказахме, че уравнението няма други корени освен x = - c a и x = - - c a.

Нека обобщим всички аргументи по-горе.

Определение 6

Непълно квадратно уравнение a x 2 + c = 0е еквивалентно на уравнението x 2 = - c a, което:

• няма да има корени в - c a< 0 ;
• ще има два корена x = - c a и x = - - c a за - c a > 0.

Нека дадем примери за решаване на уравненията a x 2 + c = 0.

Пример 3

Дадено е квадратно уравнение 9 х 2 + 7 = 0.Необходимо е да се намери решение.

Решение

Нека преместим свободния член в дясната страна на уравнението, тогава уравнението ще приеме формата 9 x 2 = − 7.
Нека разделим двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до x 2 = - 7 9 . От дясната страна виждаме число със знак минус, което означава: даденото уравнение няма корени. Тогава първоначалното непълно квадратно уравнение 9 х 2 + 7 = 0няма да има корени.

Отговор:уравнението 9 х 2 + 7 = 0няма корени.

Пример 4

Уравнението трябва да се реши − x 2 + 36 = 0.

Решение

Нека преместим 36 надясно: − x 2 = − 36.
Нека разделим двете части на − 1 , получаваме х 2 = 36. От дясната страна има положително число, от което можем да заключим, че x = 36 или x = - 36 .
Нека извлечем корена и запишем крайния резултат: непълно квадратно уравнение − x 2 + 36 = 0има два корена х = 6или x = − 6.

Отговор: х = 6или x = − 6.

Решение на уравнението a x 2 +b x=0

Нека анализираме третия тип непълни квадратни уравнения, когато c = 0. Да се ​​намери решение на непълно квадратно уравнение a x 2 + b x = 0, ще използваме метода на факторизиране. Нека факторизираме полинома, който е от лявата страна на уравнението, като извадим общия множител от скоби х. Тази стъпка ще направи възможно трансформирането на оригиналното непълно квадратно уравнение в негов еквивалент x (a x + b) = 0. И това уравнение от своя страна е еквивалентно на набор от уравнения х = 0И a x + b = 0. Уравнението a x + b = 0линеен и неговия корен: x = − b a.

Определение 7

По този начин непълното квадратно уравнение a x 2 + b x = 0ще има два корена х = 0И x = − b a.

Нека затвърдим материала с пример.

Пример 5

Необходимо е да се намери решение на уравнението 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

Решение

Ще го извадим хизвън скобите получаваме уравнението x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Това уравнение е еквивалентно на уравненията х = 0и 2 3 x - 2 2 7 = 0. Сега трябва да решите полученото линейно уравнение: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

Запишете накратко решението на уравнението, както следва:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

Отговор: x = 0, x = 3 3 7.

Дискриминант, формула за корените на квадратно уравнение

За намиране на решения на квадратни уравнения има коренна формула:

Определение 8

x = - b ± D 2 · a, където D = b 2 − 4 a c– така нареченият дискриминант на квадратно уравнение.

Записването на x = - b ± D 2 · a по същество означава, че x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

Би било полезно да разберете как е получена тази формула и как да я приложите.

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Нека се сблъскаме със задачата да решим квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0. Нека извършим няколко еквивалентни трансформации:

• разделете двете страни на уравнението на число а, различни от нула, получаваме следното квадратно уравнение: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• Нека изберем пълния квадрат от лявата страна на полученото уравнение:
  x 2 + b a · x + c a = x 2 + 2 · b 2 · a · x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = = x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + в а
  След това уравнението ще приеме формата: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0;
• сега е възможно да прехвърлим последните два термина от дясната страна, променяйки знака на противоположния, след което получаваме: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• Накрая трансформираме израза, записан от дясната страна на последното равенство:
  b 2 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - c a = b 2 4 · a 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 .

Така стигаме до уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , еквивалентно на първоначалното уравнение a x 2 + b x + c = 0.

Разгледахме решението на такива уравнения в предишните параграфи (решаване на непълни квадратни уравнения). Вече натрупаният опит позволява да се направи заключение относно корените на уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• с b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• когато b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, уравнението е x + b 2 · a 2 = 0, тогава x + b 2 · a = 0.

От тук единственият корен x = - b 2 · a е очевиден;

• за b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0 ще бъде вярно следното: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 или x = b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , което е същото като x + - b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 или x = - b 2 · a - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 , т.е. уравнението има два корена.

Възможно е да се заключи, че наличието или отсъствието на корени на уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (и следователно първоначалното уравнение) зависи от знака на израза b 2 - 4 · a · c 4 · a 2, написани от дясната страна. И знакът на този израз се дава от знака на числителя (знаменател 4 а 2винаги ще бъде положителен), тоест знакът на израза b 2 − 4 a c. Този израз b 2 − 4 a cдадено е името - дискриминантът на квадратното уравнение и буквата D е определена като негово обозначение. Тук можете да запишете същността на дискриминанта - по стойността и знака му могат да направят извод дали квадратното уравнение ще има реални корени и ако да, какъв е броят на корените - един или два.

Нека се върнем към уравнението x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . Нека го пренапишем с помощта на дискриминантна нотация: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Нека отново формулираме изводите си:

Определение 9

• при д< 0 уравнението няма реални корени;
• при D=0уравнението има един корен x = - b 2 · a ;
• при D > 0уравнението има два корена: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 или x = - b 2 · a - D 4 · a 2. Въз основа на свойствата на радикалите тези корени могат да бъдат записани във формата: x = - b 2 · a + D 2 · a или - b 2 · a - D 2 · a. И когато отворим модулите и приведем дробите към общ знаменател, получаваме: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

И така, резултатът от нашите разсъждения беше извеждането на формулата за корените на квадратно уравнение:

x = - b + D 2 a, x = - b - D 2 a, дискриминант дизчислено по формулата D = b 2 − 4 a c.

Тези формули позволяват да се определят и двата реални корена, когато дискриминантът е по-голям от нула. Когато дискриминантът е нула, прилагането на двете формули ще даде същия корен като единственото решение на квадратното уравнение. В случай, че дискриминантът е отрицателен, ако се опитаме да използваме формулата за квадратен корен, ще се сблъскаме с необходимостта да извадим корен квадратен от отрицателно число, което ще ни отведе извън обхвата на реалните числа. С отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма да има реални корени, но е възможна двойка комплексно спрегнати корени, определени от същите формули за корени, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

Възможно е да се реши квадратно уравнение чрез незабавно използване на формулата за корен, но това обикновено се прави, когато е необходимо да се намерят сложни корени.

В повечето случаи това обикновено означава търсене не на комплексни, а на реални корени на квадратно уравнение. Тогава е оптимално, преди да използвате формулите за корените на квадратно уравнение, първо да определите дискриминанта и да се уверите, че той не е отрицателен (в противен случай ще заключим, че уравнението няма реални корени) и след това да преминете към изчисляване на стойност на корените.

Разсъждението по-горе дава възможност да се формулира алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.

Определение 10

За решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0, необходимо:

• според формулата D = b 2 − 4 a cнамиране на дискриминантната стойност;
• при Д< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• за D = 0, намерете единствения корен на уравнението, като използвате формулата x = - b 2 · a;
• за D > 0, определете два реални корена на квадратното уравнение, като използвате формулата x = - b ± D 2 · a.

Имайте предвид, че когато дискриминантът е нула, можете да използвате формулата x = - b ± D 2 · a, тя ще даде същия резултат като формулата x = - b 2 · a.

Нека да разгледаме примерите.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека дадем решения на примери за различни стойности на дискриминанта.

Пример 6

Трябва да намерим корените на уравнението x 2 + 2 x − 6 = 0.

Решение

Нека запишем числените коефициенти на квадратното уравнение: a = 1, b = 2 и c = − 6. След това продължаваме според алгоритъма, т.е. Нека започнем да изчисляваме дискриминанта, за който ще заместим коефициентите a, b И ° Св дискриминантната формула: D = b 2 − 4 · a · c = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

Така че получаваме D > 0, което означава, че оригиналното уравнение ще има два реални корена.
За да ги намерим, използваме коренната формула x = - b ± D 2 · a и, замествайки съответните стойности, получаваме: x = - 2 ± 28 2 · 1. Нека опростим получения израз, като извадим фактора от знака за корен и след това намалим дробта:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 или x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 или x = - 1 - 7

Отговор: x = - 1 + 7 ​​​​​​, x = - 1 - 7 .

Пример 7

Необходимо е да се реши квадратно уравнение − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Решение

Нека дефинираме дискриминанта: D = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. При тази стойност на дискриминанта оригиналното уравнение ще има само един корен, определен по формулата x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3,5

Отговор: х = 3,5.

Пример 8

Уравнението трябва да се реши 5 y 2 + 6 y + 2 = 0

Решение

Числените коефициенти на това уравнение ще бъдат: a = 5, b = 6 и c = 2. Използваме тези стойности, за да намерим дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Изчисленият дискриминант е отрицателен, така че оригиналното квадратно уравнение няма реални корени.

В случай, че задачата е да посочим сложни корени, прилагаме формулата на корена, извършвайки действия с сложни числа:

x = - 6 ± - 4 2 5,

x = - 6 + 2 i 10 или x = - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 · i или x = - 3 5 - 1 5 · i.

Отговор:няма реални корени; сложните корени са както следва: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

В училищната програма няма стандартно изискване за търсене на сложни корени, следователно, ако по време на решението дискриминантът се определи като отрицателен, веднага се записва отговорът, че няма реални корени.

Коренна формула за четни втори коефициенти

Коренната формула x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, позволяваща да се намерят решения на квадратни уравнения с четен коефициент за x ( или с коефициент от формата 2 · n, например 2 3 или 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Нека покажем как се получава тази формула.

Нека се изправим пред задачата да намерим решение на квадратното уравнение a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . Продължаваме според алгоритъма: определяме дискриминанта D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) и след това използваме формулата на корена:

x = - 2 n ± D 2 a, x = - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x = - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · c a .

Нека изразът n 2 − a · c бъде означен като D 1 (понякога се обозначава с D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 · n ще приеме формата:

x = - n ± D 1 a, където D 1 = n 2 − a · c.

Лесно се вижда, че D = 4 · D 1, или D 1 = D 4. С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминанта. Очевидно знакът на D 1 е същият като знака на D, което означава, че знакът на D 1 може също да служи като индикатор за наличието или отсъствието на корени на квадратно уравнение.

Определение 11

По този начин, за да се намери решение на квадратно уравнение с втори коефициент от 2 n, е необходимо:

• намерете D 1 = n 2 − a · c ;
• в D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• когато D 1 = 0, определете единствения корен на уравнението, като използвате формулата x = - n a;
• за D 1 > 0, определете два реални корена, като използвате формулата x = - n ± D 1 a.

Пример 9

Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

Решение

Можем да представим втория коефициент на даденото уравнение като 2 · (− 3) . След това пренаписваме даденото квадратно уравнение като 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0, където a = 5, n = − 3 и c = − 32.

Нека изчислим четвъртата част от дискриминанта: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. Получената стойност е положителна, което означава, че уравнението има два реални корена. Нека ги определим с помощта на съответната коренна формула:

x = - n ± D 1 a, x = - - 3 ± 169 5, x = 3 ± 13 5,

x = 3 + 13 5 или x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 или x = - 2

Би било възможно да се извършат изчисления, като се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.

Отговор: x = 3 1 5 или x = - 2 .

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога е възможно да се оптимизира формата на оригиналното уравнение, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.

Например, квадратното уравнение 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 очевидно е по-удобно за решаване от 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

По-често опростяването на формата на квадратно уравнение се извършва чрез умножаване или разделяне на двете му страни на определено число. Например, по-горе показахме опростено представяне на уравнението 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0, получено чрез разделяне на двете страни на 100.

Такова преобразуване е възможно, когато коефициентите на квадратното уравнение не са взаимно прости числа. След това обикновено разделяме двете страни на уравнението на най-големия общ делител на абсолютните стойности на неговите коефициенти.

Като пример използваме квадратното уравнение 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Нека определим GCD на абсолютните стойности на неговите коефициенти: GCD (12, 42, 48) = GCD (GCD (12, 42), 48) = GCD (6, 48) = 6. Нека разделим двете страни на първоначалното квадратно уравнение на 6 и да получим еквивалентното квадратно уравнение 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

Като умножите двете страни на квадратно уравнение, обикновено се отървавате от дробните коефициенти. В този случай те се умножават по най-малкото общо кратно на знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 се умножи с LCM (6, 3, 1) = 6, тогава то ще бъде написано в по-проста форма x 2 + 4 x − 18 = 0 .

Накрая отбелязваме, че почти винаги се отърваваме от минуса при първия коефициент на квадратно уравнение, като променяме знаците на всеки член на уравнението, което се постига чрез умножаване (или деление) на двете страни по −1. Например от квадратното уравнение − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0 можете да отидете до неговата опростена версия 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

Връзка между корени и коефициенти

Формулата за корените на квадратните уравнения, която вече ни е известна, x = - b ± D 2 · a, изразява корените на уравнението чрез неговите числени коефициенти. Въз основа на тази формула имаме възможност да зададем други зависимости между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими формули са теоремата на Виета:

x 1 + x 2 = - b a и x 2 = c a.

По-специално, за даденото квадратно уравнение сборът от корените е вторият коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, като разгледаме формата на квадратното уравнение 3 x 2 − 7 x + 22 = 0, е възможно незабавно да определим, че сумата от неговите корени е 7 3, а произведението от корените е 22 3.

Можете също така да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Например сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение може да бъде изразена чрез коефициенти:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Тази тема може да изглежда сложна в началото поради многото не толкова прости формули. Не само, че самите квадратни уравнения имат дълги означения, но и корените се намират чрез дискриминанта. Получават се общо три нови формули. Не е много лесно за запомняне. Това е възможно само след често решаване на такива уравнения. Тогава всички формули ще бъдат запомнени сами.

Общ вид на квадратно уравнение

Тук предлагаме тяхното изрично записване, когато първо се записва най-голямата степен, а след това в низходящ ред. Често има ситуации, когато условията са непоследователни. Тогава е по-добре да пренапишете уравнението в низходящ ред на степента на променливата.

Нека въведем някои обозначения. Те са представени в таблицата по-долу.

Ако приемем тези обозначения, всички квадратни уравнения се свеждат до следното обозначение.

Освен това коефициентът a ≠ 0. Нека тази формула бъде обозначена с номер едно.

Когато е дадено уравнение, не е ясно колко корена ще има в отговора. Защото винаги е възможен един от трите варианта:

• решението ще има два корена;
• отговорът ще бъде едно число;
• уравнението изобщо няма да има корени.

И докато решението не бъде финализирано, е трудно да се разбере коя опция ще се появи в конкретен случай.

Видове записи на квадратни уравнения

В задачите може да има различни записи. Те не винаги ще изглеждат като формулата на общото квадратно уравнение. Понякога ще липсват някои термини. Написаното по-горе е пълното уравнение. Ако премахнете втория или третия член в него, получавате нещо друго. Тези записи се наричат ​​също квадратни уравнения, само непълни.

Освен това могат да изчезнат само термини с коефициенти "b" и "c". Числото "а" не може да бъде равно на нула при никакви обстоятелства. Защото в този случай формулата се превръща в линейно уравнение. Формулите за непълната форма на уравненията ще бъдат както следва:

И така, има само два вида; в допълнение към пълните, има и непълни квадратни уравнения. Нека първата формула е номер две, а втората - три.

Дискриминант и зависимост на броя на корените от неговата стойност

Трябва да знаете това число, за да изчислите корените на уравнението. Винаги може да се изчисли, независимо каква е формулата на квадратното уравнение. За да изчислите дискриминанта, трябва да използвате равенството, написано по-долу, което ще има номер четири.

След като замените стойностите на коефициента в тази формула, можете да получите числа с различни знаци. Ако отговорът е да, тогава отговорът на уравнението ще бъде два различни корена. Ако числото е отрицателно, няма да има корени на квадратното уравнение. Ако е равно на нула, ще има само един отговор.

Как да решим пълно квадратно уравнение?

Всъщност разглеждането на този въпрос вече е започнало. Защото първо трябва да намерите дискриминант. След като се установи, че има корени на квадратното уравнение и техният брой е известен, трябва да използвате формули за променливите. Ако има два корена, тогава трябва да приложите следната формула.

Тъй като съдържа знак „±“, ще има две стойности. Изразът под знака за квадратен корен е дискриминантът. Следователно формулата може да бъде пренаписана по различен начин.

Формула номер пет. От същия запис става ясно, че ако дискриминантът е равен на нула, тогава и двата корена ще приемат еднакви стойности.

Ако решаването на квадратни уравнения все още не е разработено, тогава е по-добре да запишете стойностите на всички коефициенти, преди да приложите дискриминантните и променливите формули. По-късно този момент няма да създаде трудности. Но в самото начало има объркване.

Как да решим непълно квадратно уравнение?

Тук всичко е много по-просто. Дори няма нужда от допълнителни формули. И тези, които вече са записани за дискриминанта и неизвестното, няма да са необходими.

Първо, нека разгледаме непълно уравнение номер две. В това равенство е необходимо неизвестното количество да бъде извадено от скоби и да се реши линейното уравнение, което ще остане в скоби. Отговорът ще има два корена. Първият задължително е равен на нула, защото има множител, състоящ се от самата променлива. Второто ще бъде получено чрез решаване на линейно уравнение.

Непълно уравнение номер три се решава чрез преместване на числото от лявата страна на равенството в дясната. След това трябва да разделите на коефициента срещу неизвестното. Всичко, което остава, е да извлечете квадратния корен и да запомните да го запишете два пъти с противоположни знаци.

По-долу са дадени някои стъпки, които ще ви помогнат да научите как да решавате всички видове равенства, които се превръщат в квадратни уравнения. Те ще помогнат на ученика да избегне грешки поради невнимание. Тези недостатъци могат да причинят слаби оценки при изучаване на обширната тема „Квадратни уравнения (8 клас)“. Впоследствие няма да е необходимо тези действия да се извършват постоянно. Защото ще се появи стабилно умение.

• Първо трябва да напишете уравнението в стандартна форма. Тоест, първо членът с най-голямата степен на променливата, а след това - без степен, и накрая - само число.

• Ако преди коефициента "а" се появи минус, това може да усложни работата за начинаещ, изучаващ квадратни уравнения. По-добре е да се отървете от него. За целта цялото равенство трябва да се умножи по “-1”. Това означава, че всички термини ще сменят знака на противоположния.

• Препоръчително е да се отървете от фракциите по същия начин. Просто умножете уравнението с подходящия коефициент, така че знаменателите да се съкратят.

Примери

Необходимо е да се решат следните квадратни уравнения:

x 2 − 7x = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

x 2 + 8 + 3x = 0;

12x + x 2 + 36 = 0;

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).

Първото уравнение: x 2 − 7x = 0. То е непълно, затова се решава, както е описано за формула номер две.

След като го извадим от скобите, се оказва: x (x - 7) = 0.

Първият корен приема стойността: x 1 = 0. Вторият ще бъде намерен от линейното уравнение: x - 7 = 0. Лесно е да се види, че x 2 = 7.

Второ уравнение: 5x 2 + 30 = 0. Отново непълно. Само тя се решава, както е описано за третата формула.

След като преместите 30 в дясната страна на уравнението: 5x 2 = 30. Сега трябва да разделите на 5. Оказва се: x 2 = 6. Отговорите ще бъдат числата: x 1 = √6, x 2 = - √6.

Третото уравнение: 15 − 2x − x 2 = 0. Тук и по-долу решаването на квадратни уравнения ще започне с пренаписването им в стандартна форма: − x 2 − 2x + 15 = 0. Сега е време да използвате втория полезен съвет и да умножите всичко с минус едно. Оказва се, че x 2 + 2x - 15 = 0. Използвайки четвъртата формула, трябва да изчислите дискриминанта: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Това е положително число. От казаното по-горе се оказва, че уравнението има два корена. Те трябва да се изчислят по петата формула. Оказва се, че x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тогава x 1 = 3, x 2 = - 5.

Четвъртото уравнение x 2 + 8 + 3x = 0 се трансформира в това: x 2 + 3x + 8 = 0. Неговият дискриминант е равен на тази стойност: -23. Тъй като това число е отрицателно, отговорът на тази задача ще бъде следният запис: „Няма корени.“

Петото уравнение 12x + x 2 + 36 = 0 трябва да се пренапише, както следва: x 2 + 12x + 36 = 0. След прилагане на формулата за дискриминанта се получава числото нула. Това означава, че ще има един корен, а именно: x = -12/ (2 * 1) = -6.

Шестото уравнение (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) изисква трансформации, които се състоят в това, че трябва да въведете подобни членове, като първо отворите скобите. На мястото на първия ще има следния израз: x 2 + 2x + 1. След равенството ще се появи този запис: x 2 + 3x + 2. След като се преброят подобни членове, уравнението ще приеме формата: x 2 - x = 0. Станал е непълен. Нещо подобно на това вече беше обсъдено малко по-горе. Корените на това ще бъдат числата 0 и 1.

Формули за корените на квадратно уравнение. Разглеждат се случаите на реални, кратни и комплексни корени. Факторизиране на квадратен трином. Геометрична интерпретация. Примери за определяне на корени и факторизиране.

Вижте също: Решаване на квадратни уравнения онлайн

Основни формули

Разгледайте квадратното уравнение:
(1) .
Корени на квадратно уравнение(1) се определят по формулите:
; .
Тези формули могат да се комбинират по следния начин:
.
Когато корените на квадратно уравнение са известни, тогава полином от втора степен може да бъде представен като произведение на фактори (факторизирани):
.

След това приемаме, че това са реални числа.
Нека помислим дискриминант на квадратно уравнение:
.
Ако дискриминантът е положителен, тогава квадратното уравнение (1) има два различни реални корена:
; .
Тогава факторизацията на квадратния трином има формата:
.
Ако дискриминантът е равен на нула, тогава квадратното уравнение (1) има два кратни (равни) реални корена:
.
Факторизация:
.
Ако дискриминантът е отрицателен, тогава квадратното уравнение (1) има два комплексно спрегнати корена:
;
.
Ето въображаемата единица, ;
и са реалните и въображаемите части на корените:
; .
Тогава

.

Графична интерпретация

Ако начертаете функцията
,
което е парабола, тогава точките на пресичане на графиката с оста ще бъдат корените на уравнението
.
Когато , графиката пресича оста x (ос) в две точки ().
Когато , графиката докосва оста x в една точка ().
Когато , графиката не пресича оста x ().

Полезни формули, свързани с квадратни уравнения

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Извеждане на формулата за корените на квадратно уравнение

Извършваме трансформации и прилагаме формули (f.1) и (f.3):




,
Където
; .

И така, получихме формулата за полином от втора степен във формата:
.
Това показва, че уравнението

извършва при
И .
Това е и са корените на квадратното уравнение
.

Примери за определяне на корените на квадратно уравнение

Пример 1

(1.1) .

.
Сравнявайки с нашето уравнение (1.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е положителен, уравнението има два реални корена:
;
;
.

От това получаваме факторизацията на квадратния трином:

.

Графика на функцията y = 2 x 2 + 7 x + 3пресича оста x в две точки.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Пресича абсцисната ос (ос) в две точки:
И .
Тези точки са корените на първоначалното уравнение (1.1).

;
;
.

Пример 2

Намерете корените на квадратно уравнение:
(2.1) .

Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
.
Сравнявайки с оригиналното уравнение (2.1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Тъй като дискриминантът е нула, уравнението има два кратни (равни) корена:
;
.

Тогава факторизацията на тринома има формата:
.

Графика на функцията y = x 2 - 4 х + 4докосва оста x в една точка.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Той докосва оста x (ос) в една точка:
.
Тази точка е коренът на първоначалното уравнение (2.1). Тъй като този корен се разлага два пъти:
,
тогава такъв корен обикновено се нарича кратно. Тоест, те вярват, че има два равни корена:
.

;
.

Пример 3

Намерете корените на квадратно уравнение:
(3.1) .

Нека напишем квадратното уравнение в общ вид:
(1) .
Нека пренапишем оригиналното уравнение (3.1):
.
Сравнявайки с (1), намираме стойностите на коефициентите:
.
Намираме дискриминанта:
.
Дискриминантът е отрицателен, . Следователно няма реални корени.

Можете да намерите сложни корени:
;
;
.

Тогава


.

Графиката на функцията не пресича оста x. Няма истински корени.

Нека начертаем функцията
.
Графиката на тази функция е парабола. Тя не пресича оста x (ос). Следователно няма истински корени.

Няма истински корени. Сложни корени:
;
;
.

Измислих толкова страхотна теорема за тях,
и те решават чрез дискриминанта:-(((
в) Франсоа Виет „Несъществуващи твърдения“

Коренна формула, или дългият път

Всеки, който е посещавал дори малко уроци по математика в 8. клас, знае формулата за корените на квадратно уравнение. Решението, използващо формулата на корена, често се нарича на общ език „решението чрез дискриминанта“. Нека си припомним накратко формулата за корените.

[Можете също да видите съдържанието на тази статия на видео формат ]

Квадратното уравнение има формата брадва 2 +bx+° С= 0, където а, b, ° С- някои числа. Например в ур. 2х 2 + 3х – 5 = 0 тези числа са равни: а = 2, b = 3. ° С= -5. Преди да решите каквото и да е квадратно уравнение, трябва да „видите“ тези числа и да разберете на какво се равняват.

След това така нареченият дискриминант се изчислява по формулата D=b^2-4ac. В нашия случай D = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49.След това коренът се извлича от дискриминанта: \sqrt(D) = \sqrt(49) = 7 .

След като дискриминантът е изчислен, се използва формулата за корен: x_1=\frac(-b-\sqrt(D))(2a); x_2=\frac(-b+\sqrt(D))(2a):

И по този начин уравнението е решено. Има два корена: 1 и -2,5.

Но това уравнение, подобно на много други, предложени в училищните учебници/задачи, може да бъде решено по много по-бърз начин, ако знаете няколко лайфхака. И ние не говорим само за теоремата на Виета, въпреки че тя е полезен инструмент.

Life hack първо. Ако а + b + ° С= 0, тогава x_1=1, x_2=\frac(c)(a) .

Прилага се само ако и трите коефициента в квадратно уравнение са а, b, ° Скогато се добавят, те дават 0. Например, имахме уравнението 2х 2 + 3х – 5 = 0 . Като добавим и трите коефициента, получаваме 2 + 3 – 5, което е равно на 0. В този случай не можете да преброите дискриминанта и да не приложите формулата за корен. Вместо това можете веднага да напишете това

x_1=1,
x_2=\frac(c)(a)=\frac(-5)(2)=-2,5

(обърнете внимание, че получихме същия резултат във формулата за корен).

Хората често питат дали резултатът винаги ще бъде x_1=1? Да, когато и да е а + b + ° С = 0.

Лайфхак втори. Ако а + ° С = b, тогава x_1=-1, x_2=-\frac(c)(a) .

Нека уравнението е дадено 5х 2 + 6х + 1 = 0 . В него а = 5, b = 6, ° С= 1. Ако съберем “екстремните” коефициенти аИ ° С, получаваме 5+1 = 6, което е точно равно на „средния“ коефициент b. Това означава, че можем и без дискриминант! Веднага записваме:

x_1=-1,
x_2=-\frac(c)(a)=\frac(-1)(5)=-0,2

Лайфхак трети(теоремата, обратна на теоремата на Виета). Ако а= 1, тогава

Помислете за уравнението х 2 – 12х+ 35 = 0. Съдържа a = 1, b = -12, c = 35. Не отговаря нито на първия, нито на втория лайфхак - условията не са изпълнени. Ако отговаря на първото или второто, тогава ще се справим без теоремата на Виета.

Самото използване на теоремата на Виета предполага разбиране на някои полезни техники.

Първа среща. Не се притеснявайте да запишете самата система за преглед \begin(cases) x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end(cases), което се получава чрез използване на теоремата на Vieta. Няма нужда да се опитвате на всяка цена да решите уравнението абсолютно устно, без писмени бележки, както правят „напредналите потребители“.

За нашето уравнение х 2 – 12х+ 35 = 0 тази система има формата

\begin(cases) x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end(cases)

Сега трябва устно да изберем числата x_1 и x_2, които удовлетворяват нашата система, т.е. общото е 12, а когато се умножи е 35.

Така, втора срещае, че трябва да започнете избора не със сбора, а с продукта. Нека да разгледаме второто уравнение на системата и да се запитаме: кои числа, когато се умножат, дават 35? Ако всичко е наред с таблицата за умножение, тогава отговорът веднага идва на ум: 7 и 5. И едва сега нека заместим тези числа в първото уравнение: ще имаме 7 + 5 = 12, което е истинско равенство. И така, числата 7 и 5 удовлетворяват и двете уравнения, така че веднага пишем:

x_1 = 7, x_2 = 5

Трети приеме, че ако числата не могат да бъдат намерени бързо (в рамките на 15-20 секунди), тогава, независимо от причината, трябва да изчислите дискриминанта и да използвате формулата за корен. Защо? Тъй като корените може да не бъдат намерени, ако уравнението изобщо ги няма (дискриминантът е отрицателен), или корените са числа, които не са цели числа.

Тренировъчни упражнения за решаване на квадратни уравнения

Практикувайте! Опитайте да решите следните уравнения. Разгледайте всяко уравнение в следния ред:

• ако уравнението отговаря на първия лайфхак (когато a + b + c = 0), тогава го решаваме с негова помощ;
• ако уравнението отговаря на втория лайфхак (когато a + c = b), тогава го решаваме с негова помощ;
• ако уравнението отговаря на третия лайфхак (теоремата на Виете), ние го решаваме с негова помощ;
• и само в най-краен случай - ако нищо не пасва и/или не е било възможно да се реши чрез теоремата на Виета - изчисляваме дискриминанта. Отново: дискриминант - не на последно място!

1. Решете уравнението x 2 + 3x + 2 = 0
   Вижте решение и отговор

   Вижте лайфхака второ
   В това уравнение a = 1, b = 3, c = 2. Така a + c = b, откъдето x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(2)(1)=-2.
   Отговор: -1, -2.

2. Решете уравнението x 2 + 8x – 9 = 0
   Вижте решение и отговор

   Вижте първо лайфхака
   В това уравнение a = 1, b = 8, c = -9. Така a + b + c = 0, откъдето x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(-9)(1)=-9.
   Отговор: 1, -9.

3. Решете уравнението 15x 2 – 11x + 2 = 0
   Вижте решение и отговор

   Това уравнение (единственото от целия списък) не попада в нито един от лайфхаковете, така че ще го решим с помощта на кореновата формула:
   D=b^2-4ac = (-11)^2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.x_1=\frac(11-1)(2 \cdot 15)=\frac(10)(30)=\frac(1)(3)x_2= \frac(11+1)(2 \cdot 15)=\frac(12)(30)=\frac(2)(5)Отговор: \frac(1)(3), \frac(2)(5).
   

4. Решете уравнението x 2 + 9x + 20 = 0
   Вижте решение и отговор

   
   \begin(cases) x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end(cases)
   Чрез селекция установяваме, че x_1 = -4, x_2 = -5.
   Отговор: -4, -5.
   

5. Решете уравнението x 2 – 7x – 30 = 0
   Вижте решение и отговор

   Вижте лайфхак три (теоремата на Виета)
   В това уравнение a = 1, така че можем да запишем това \begin(cases) x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end(cases)
   Чрез селекция установяваме, че x_1 = 10, x_2 = -3.
   Отговор: 10, -3.

6. Решете уравнението x 2 – 19x + 18 = 0
   Вижте решение и отговор

   Вижте първо лайфхака
   В това уравнение a = 1, b = -19, c = 18. Така a + b + c = 0, откъдето x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(18)(1)=18.
   Отговор: 1, 18.

7. Решете уравнението x 2 + 7x + 6 = 0
   Вижте решение и отговор

   Вижте лайфхака второ
   В това уравнение a = 1, b = 7, c = 6. Така a + c = b, откъдето x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(6)(1)=-6.
   Отговор: -1, -6.

8. Решете уравнението x 2 – 8x + 12 = 0
   Вижте решение и отговор

   Вижте лайфхак три (теоремата на Виета)
   В това уравнение a = 1, така че можем да запишем това \begin(cases) x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end(cases)
   Чрез селекция установяваме, че x_1 = 6, x_2 = 2.
   Отговор: 6, 2.

9. Решете уравнението x 2 – x – 6 = 0
   Вижте решение и отговор

   Вижте лайфхак три (теоремата на Виета)
   В това уравнение a = 1, така че можем да запишем това \begin(cases) x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end(cases)
   Чрез селекция установяваме, че x_1 = 3, x_2 = -2.
   Отговор: 3, -2.

10. Решете уравнението x 2 – 15x – 16 = 0
    Вижте решение и отговор

    Вижте лайфхака второ
    В това уравнение a = 1, b = -15, c = -16. Така a + c = b, откъдето x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(-16)(1)=16.
    Отговор: -1, 16.

11. Решете уравнението x 2 + 11x – 12 = 0
    Вижте решение и отговор

    Вижте първо лайфхака
    В това уравнение a = 1, b = 11, c = -12. Така a + b + c = 0, откъдето x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(-12)(1)=-12.
    Отговор: 1, -12.