Логаритъм. Десетичен логаритъм. Какво е десетичен логаритъм? Как да премахнете десетичния логаритъм

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Нека го обясним по-просто. Например \(\log_(2)(8)\) е равно на степента, на която трябва да се повдигне \(2\), за да се получи \(8\). От това е ясно, че \(\log_(2)(8)=3\).

Аргумент и основа на логаритъм

Всеки логаритъм има следната „анатомия“:

Аргументът на логаритъм обикновено се записва на неговото ниво, а основата се записва с долен индекс по-близо до знака на логаритъма. И този запис гласи така: „логаритъм от двадесет и пет по основа пет“.

Как да изчислим логаритъм?

За да изчислите логаритъма, трябва да отговорите на въпроса: на каква степен трябва да се повдигне основата, за да получите аргумента?

Например, изчислете логаритъма: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

а) На каква степен трябва да се повдигне \(4\), за да се получи \(16\)? Очевидно второто. Ето защо:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(5)\), за да се получи \(1\)? Каква сила прави всеки номер едно? Нула, разбира се!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

г) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(7)\), за да се получи \(\sqrt(7)\)? Първо, всяко число на първа степен е равно на себе си.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

д) На каква степен трябва да се повдигне \(3\), за да се получи \(\sqrt(3)\)? От знаем, че това е дробна степен, което означава, че квадратният корен е степента на \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Пример : Изчислете логаритъм \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Решение :

Отговор : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Защо е измислен логаритъма?

За да разберем това, нека решим уравнението: \(3^(x)=9\). Просто съпоставете \(x\), за да работи равенството. Разбира се, \(x=2\).

Сега решете уравнението: \(3^(x)=8\). На какво е равно x? Това е смисълът.

Най-умните ще кажат: "Х е малко по-малко от две." Как точно да напиша това число? За да се отговори на този въпрос, е изобретен логаритъма. Благодарение на него отговорът тук може да бъде записан като \(x=\log_(3)(8)\).

Искам да подчертая, че \(\log_(3)(8)\), като всеки логаритъм е просто число. Да, изглежда необичайно, но е кратко. Защото, ако искахме да го запишем като десетичен знак, щеше да изглежда така: \(1.892789260714.....\)

Пример : Решете уравнението \(4^(5x-4)=10\)

Решение :

Отговор : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Десетични и естествени логаритми

Както е посочено в дефиницията на логаритъм, неговата основа може да бъде всяко положително число освен едно \((a>0, a\neq1)\). И сред всички възможни основи има две, които се срещат толкова често, че е измислена специална кратка нотация за логаритми с тях:

Натурален логаритъм: логаритъм, чиято основа е числото на Ойлер \(e\) (равно приблизително на \(2,7182818…\)), а логаритъмът се записва като \(\ln(a)\).

Това е, \(\ln(a)\) е същото като \(\log_(e)(a)\)

Десетичен логаритъм: Логаритъм, чиято основа е 10, се записва \(\lg(a)\).

Това е, \(\lg(a)\) е същото като \(\log_(10)(a)\), където \(a\) е някакво число.

Основно логаритмично тъждество

Логаритмите имат много свойства. Една от тях се нарича „Основна логаритмична идентичност“ и изглежда така:

Това свойство следва пряко от определението. Нека да видим как точно се появи тази формула.

Нека си припомним кратка нотация на дефиницията на логаритъм:

ако \(a^(b)=c\), тогава \(\log_(a)(c)=b\)

Тоест \(b\) е същото като \(\log_(a)(c)\). Тогава можем да запишем \(\log_(a)(c)\) вместо \(b\) във формулата \(a^(b)=c\). Оказа се \(a^(\log_(a)(c))=c\) - основното логаритмично тъждество.

Можете да намерите други свойства на логаритмите. С тяхна помощ можете да опростите и изчислите стойностите на изрази с логаритми, които са трудни за директно изчисляване.

Пример : Намерете стойността на израза \(36^(\log_(6)(5))\)

Решение :

Отговор : \(25\)

Как да напиша число като логаритъм?

Както бе споменато по-горе, всеки логаритъм е просто число. Обратното също е вярно: всяко число може да бъде записано като логаритъм. Например знаем, че \(\log_(2)(4)\) е равно на две. Тогава вместо две можете да напишете \(\log_(2)(4)\).

Но \(\log_(3)(9)\) също е равно на \(2\), което означава, че можем също да запишем \(2=\log_(3)(9)\) . По същия начин с \(\log_(5)(25)\) и с \(\log_(9)(81)\) и т.н. Тоест, оказва се

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

По този начин, ако имаме нужда, можем да запишем две като логаритъм с произволна основа навсякъде (било то в уравнение, в израз или в неравенство) - просто записваме основата на квадрат като аргумент.

Същото е и с тройката – може да се запише като \(\log_(2)(8)\), или като \(\log_(3)(27)\), или като \(\log_(4)( 64) \)... Тук записваме основата в куба като аргумент:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

И с четири:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

И с минус едно:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

И с една трета:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Всяко число \(a\) може да бъде представено като логаритъм с основа \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Пример : Намерете значението на израза \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Решение :

Отговор : \(1\)

Дадени са основните свойства на логаритъма, графика на логаритъм, област на дефиниране, набор от стойности, основни формули, увеличение и намаление. Разглежда се намирането на производната на логаритъм. Както и интеграл, разширение на степенни редове и представяне с помощта на комплексни числа.

Област, набор от стойности, нарастване, намаляване

Логаритъмът е монотонна функция, така че няма екстремуми. Основните свойства на логаритъма са представени в таблицата.

Частни ценности

Извиква се логаритъм при основа 10 десетичен логаритъми се обозначава по следния начин:

Логаритъм към основа дНаречен натурален логаритъм:

Основни формули за логаритми

Свойства на логаритъма, произтичащи от дефиницията на обратната функция:

Основното свойство на логаритмите и последствията от него

Формула за заместване на основата

Логаритъмът е математическа операция за вземане на логаритъм. Когато се вземат логаритми, продуктите от фактори се преобразуват в суми от членове.
Потенцирането е математическата операция, обратна на логаритъма. По време на потенцирането дадена основа се повишава до степента на изразяване, върху която се извършва потенцирането. В този случай сумите на членовете се трансформират в произведения на фактори.

Доказателство на основни формули за логаритми

Формулите, свързани с логаритмите, следват от формули за експоненциални функции и от дефиницията на обратна функция.

Разгледайте свойството на експоненциалната функция
.
Тогава
.
Нека приложим свойството на експоненциалната функция
:
.

Нека докажем формулата за заместване на основата.
;
.
Ако приемем c = b, имаме:

Обратна функция

Обратната функция на логаритъм по основа а е експоненциална функция с показател а.

Ако, тогава

Ако, тогава

Производна на логаритъм

Производна на логаритъма на модул x:
.
Производна от n-ти ред:
.
Извеждане на формули >>>

За да се намери производната на логаритъм, тя трябва да бъде намалена до основата д.
;
.

Интеграл

Интегралът на логаритъма се изчислява чрез интегриране по части: .
Така,

Изрази с комплексни числа

Разгледайте функцията за комплексно число z:
.
Нека изразим комплексно число zчрез модул rи аргумент φ :
.
Тогава, използвайки свойствата на логаритъма, имаме:
.
Или

Въпреки това аргументът φ не е еднозначно дефиниран. Ако поставите
, където n е цяло число,
тогава ще бъде едно и също число за различни н.

Следователно логаритъмът, като функция на комплексна променлива, не е еднозначна функция.

Разширение на степенни редове

Когато се извършва разширяването:

Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.

Те често вземат числото десет. Наричат ​​се логаритми на числа, базирани на основа десет десетичен знак. Когато извършвате изчисления с десетичен логаритъм, обичайно е да работите със знака lg, но не дневник; в този случай числото десет, което определя основата, не е посочено. И така, нека заменим дневник 10 105до опростено lg105; А дневник 10 2На lg2.

За десетични логаритмитипични са същите характеристики, които имат логаритмите с основа, по-голяма от единица. А именно десетичните логаритми се характеризират изключително за положителни числа. Десетичните логаритми на числа, по-големи от едно, са положителни, а тези на числа, по-малки от едно, са отрицателни; от две неотрицателни числа, по-голямото е еквивалентно на по-големия десетичен логаритъм и т.н. Освен това десетичните логаритми имат отличителни черти и специфични характеристики, които обясняват защо е удобно да се предпочита числото десет като основа на логаритмите.

Преди да разгледаме тези свойства, нека се запознаем със следните формулировки.

Цяла част от десетичния логаритъм на число Ае наречен Характеристика, а дробната е мантисатози логаритъм.

Характеристики на десетичен логаритъм на число Асе обозначава като , а мантисата като (lg А}.

Да вземем, да кажем, log 2 ≈ 0,3010. Съответно = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

По същия начин за log 543.1 ≈2.7349. Съответно, = 2, (log 543.1)≈ 0.7349.

Изчисляването на десетични логаритми на положителни числа от таблици се използва широко.

Характеристики на десетичните логаритми.

Първият знак на десетичния логаритъм.неотрицателно цяло число, представено от единица, последвана от нули, е положително цяло число, равно на броя нули в записа на избраното число .

Нека вземем log 100 = 2, log 1 00000 = 5.

Най-общо казано, ако

Че А= 10н , от които получаваме

lg a = lg 10 n = n lg 10 =П.

Втори знак.Десетият логаритъм от положителен десетичен знак, показан като единица с водещи нули, е - П, Където П- броят на нулите в представянето на това число, като се вземат предвид нула цели числа.

Нека помислим , log 0,001 = - 3, log 0,000001 = -6.

Най-общо казано, ако

,

Че а= 10-н и се оказва

lga= lg 10н =-n log 10 =-n

Трети знак.Характеристиката на десетичния логаритъм на неотрицателно число, по-голямо от единица, е равна на броя на цифрите в цялата част на това число без единица.

Нека анализираме тази характеристика: 1) Характеристиката на логаритъма lg 75.631 е равна на 1.

Наистина, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Това предполага,

log 75.631 = 1 +b,

Преместването на десетична запетая в десетична дроб надясно или наляво е еквивалентно на операцията за умножаване на тази дроб на степен десет с цяло число П(положителен или отрицателен). И следователно, когато десетичната запетая в положителна десетична дроб се измести наляво или надясно, мантисата на десетичния логаритъм на тази дроб не се променя.

И така, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Диапазон от приемливи стойности (APV) на логаритъма

Сега нека поговорим за ограниченията (ODZ - диапазонът от допустими стойности на променливите).

Спомняме си, че например квадратният корен не може да се извади от отрицателни числа; или ако имаме дроб, тогава знаменателят не може да бъде равен на нула. Логаритмите имат подобни ограничения:

Тоест и аргументът, и основата трябва да са по-големи от нула, но основата все още не може да бъде равна.

Защо така?

Нека започнем с едно просто нещо: да кажем това. Тогава, например, числото не съществува, тъй като на каквато и степен да повдигнем, винаги се получава. Още повече, че не съществува за никого. Но в същото време може да бъде равно на всичко (по същата причина - равно на всяка степен). Следователно обектът не представлява интерес и просто е изхвърлен от математиката.

Имаме подобен проблем в случая: на произволна положителна степен е, но изобщо не може да бъде повдигнат на отрицателна степен, тъй като това ще доведе до деление на нула (нека ви напомня това).

Когато сме изправени пред проблема с издигането на дробна степен (което е представено като корен: . Например, (тоест), но не съществува.

Следователно е по-лесно да изхвърлите негативните причини, отколкото да се занимавате с тях.

Е, тъй като нашата основа а може да бъде само положителна, тогава без значение на каква степен я повдигнем, винаги ще получим строго положително число. Така че аргументът трябва да е положителен. Например, не съществува, тъй като няма да бъде отрицателно число в никаква степен (или дори нула, следователно също не съществува).

При задачи с логаритми първото нещо, което трябва да направите, е да запишете ODZ. Нека ви дам един пример:

Да решим уравнението.

Нека си спомним дефиницията: логаритъм е степента, на която трябва да се повдигне основата, за да се получи аргумент. И според условието тази степен е равна на: .

Получаваме обичайното квадратно уравнение: . Нека го решим с помощта на теоремата на Виета: сумата от корените е равна и произведението. Лесни за взимане, това са числа и.

Но ако веднага вземете и напишете и двете числа в отговора, можете да получите 0 точки за проблема. Защо? Нека помислим какво се случва, ако заместим тези корени в първоначалното уравнение?

Това очевидно е неправилно, тъй като основата не може да бъде отрицателна, тоест коренът е „трета страна“.

За да избегнете такива неприятни капани, трябва да запишете ODZ дори преди да започнете да решавате уравнението:

След това, след като получихме корените и, веднага изхвърляме корена и пишем правилния отговор.

Пример 1(опитайте се да го решите сами) :

Намерете корена на уравнението. Ако има няколко корена, посочете най-малкия от тях в отговора си.

Решение:

Първо, нека напишем ODZ:

Сега нека си спомним какво е логаритъм: на каква степен трябва да повдигнете основата, за да получите аргумента? Към второто. Това е:

Изглежда, че по-малкият корен е равен. Но това не е така: според ODZ коренът е външен, тоест изобщо не е коренът на това уравнение. Така уравнението има само един корен: .

Отговор: .

Основно логаритмично тъждество

Нека си припомним дефиницията на логаритъм в общ вид:

Нека заместим логаритъма във второто равенство:

Това равенство се нарича основно логаритмично тъждество. Въпреки че по същество това е равенство - просто написано по различен начин определение на логаритъм:

Това е силата, до която трябва да се издигнете, за да стигнете.

Например:

Решете следните примери:

Пример 2.

Намерете значението на израза.

Решение:

Нека си припомним правилото от раздела:, тоест при повишаване на степен степенните показатели се умножават. Да го приложим:

Пример 3.

Докажи това.

Решение:

Свойства на логаритмите

За съжаление, задачите не винаги са толкова прости - често първо трябва да опростите израза, да го приведете в обичайната му форма и едва тогава ще бъде възможно да изчислите стойността. Това е най-лесно да направите, ако знаете свойства на логаритмите. И така, нека научим основните свойства на логаритмите. Ще докажа всяко от тях, защото всяко правило се помни по-лесно, ако знаете откъде идва.

Всички тези свойства трябва да се запомнят; без тях повечето задачи с логаритми не могат да бъдат решени.

А сега за всички свойства на логаритмите по-подробно.

Свойство 1:

Доказателство:

Нека бъде тогава.

Имаме: и т.н.

Свойство 2: Сума от логаритми

Сборът от логаритми с еднакви основи е равен на логаритъма на произведението: .

Доказателство:

Нека бъде тогава. Нека бъде тогава.

Пример:Намерете значението на израза: .

Решение: .

Формулата, която току-що научихте, помага да се опрости сумата от логаритми, а не разликата, така че тези логаритми не могат да бъдат комбинирани веднага. Но можете да направите обратното - да "разделите" първия логаритъм на две: И ето обещаното опростяване:
.
Защо е необходимо това? Е, например: на какво е равно?

Сега това е очевидно.

Сега опростете го сами:

Задачи:

Отговори:

Свойство 3: Разлика на логаритми:

Доказателство:

Всичко е точно както в точка 2:

Нека бъде тогава.

Нека бъде тогава. Ние имаме:

Примерът от предишния параграф сега става още по-прост:

По-сложен пример: . Можете ли да разберете как да го разрешите сами?

Тук трябва да се отбележи, че нямаме нито една формула за логаритмите на квадрат. Това е нещо като израз - не може да се опрости веднага.

Затова нека си починем от формулите за логаритмите и да помислим какви формули най-често използваме в математиката? От 7 клас!

Това - . Трябва да свикнете с факта, че те са навсякъде! Те се срещат в експоненциални, тригонометрични и ирационални проблеми. Следователно те трябва да бъдат запомнени.

Ако се вгледате внимателно в първите два термина, става ясно, че това разлика на квадратите:

Отговор за проверка:

Опростете го сами.

Примери

Отговори.

Свойство 4: Изваждане на експонентата от аргумента логаритъм:

Доказателство:И тук също използваме определението за логаритъм: нека, тогава. Имаме: и т.н.

Това правило може да се разбира по следния начин:

Тоест, степента на аргумента се премества пред логаритъма като коефициент.

Пример:Намерете значението на израза.

Решение: .

Решете сами:

Примери:

Отговори:

Свойство 5: Вземане на степента от основата на логаритъма:

Доказателство:Нека бъде тогава.

Имаме: и т.н.
Запомнете: от основаниястепента се изразява като обратнотономер, за разлика от предишния случай!

Свойство 6: Премахване на степента от основата и аргумента на логаритъма:

Или ако градусите са еднакви: .

Свойство 7: Преход към нова база:

Доказателство:Нека бъде тогава.

Имаме: и т.н.

Свойство 8: Разменете основата и аргумента на логаритъма:

Доказателство:Това е специален случай на формула 7: ако заместим, получаваме: и т.н.

Нека да разгледаме още няколко примера.

Пример 4.

Намерете значението на израза.

Използваме свойство на логаритмите № 2 - сумата от логаритми с еднаква основа е равна на логаритъма от произведението:

Пример 5.

Намерете значението на израза.

Решение:

Използваме свойството на логаритмите № 3 и № 4:

Пример 6.

Намерете значението на израза.

Решение:

Нека използваме свойство № 7 - преминете към база 2:

Пример 7.

Намерете значението на израза.

Решение:

Как ви харесва статията?

Ако четете тези редове, значи сте прочели цялата статия.

И това е яко!

Сега ни кажете как ви харесва статията?

Научихте ли как да решавате логаритми? Ако не, какъв е проблемът?

Пишете ни в коментарите по-долу.

И да, успех на изпитите.

На Единния държавен изпит и Единния държавен изпит и в живота като цяло

И така, имаме степени на две. Ако вземете числото от долния ред, можете лесно да намерите степента, до която ще трябва да повишите две, за да получите това число. Например, за да получите 16, трябва да повдигнете две на четвърта степен. И за да получите 64, трябва да повдигнете две на шеста степен. Това се вижда от таблицата.

А сега всъщност дефиницията на логаритъма:

Логаритъмът с основа a от x е степента, на която a трябва да се повдигне, за да се получи x.

Нотация: log a x = b, където a е основата, x е аргументът, b е това, на което действително е равен логаритъма.

Например 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логаритъмът с основа 2 на 8 е три, защото 2 3 = 8). Със същия успех, регистрирайте 2 64 = 6, тъй като 2 6 = 64.

Операцията за намиране на логаритъм на число спрямо дадена основа се нарича логаритмиране. И така, нека добавим нов ред към нашата таблица:

За съжаление, не всички логаритми се изчисляват толкова лесно. Например, опитайте се да намерите log 2 5. Числото 5 не е в таблицата, но логиката диктува, че логаритъма ще лежи някъде в интервала. Защото 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Такива числа се наричат ​​ирационални: числата след десетичната запетая могат да се записват безкрайно и никога не се повтарят. Ако логаритъмът се окаже ирационален, по-добре е да го оставите така: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Важно е да се разбере, че логаритъмът е израз с две променливи (основа и аргумент). Много хора в началото бъркат къде е основата и къде аргументът. За да избегнете досадни недоразумения, просто погледнете снимката:

Пред нас не е нищо повече от определението на логаритъм. Помня: логаритъмът е степен, в който трябва да бъде вградена базата, за да се получи аргумент. Това е основата, която се повдига на степен - тя е подчертана в червено на снимката. Оказва се, че основата винаги е на дъното! Казвам на учениците си това прекрасно правило още на първия урок - и не възниква объркване.

Разбрахме определението - остава само да се научим да броим логаритми, т.е. отървете се от знака "дневник". Като начало отбелязваме, че от определението следват два важни факта:

1. Аргументът и основата винаги трябва да са по-големи от нула. Това следва от дефиницията на степен чрез рационален показател, до който се свежда дефиницията на логаритъм.
2. Базата трябва да е различна от едно, тъй като едното във всяка степен си остава едно. Поради това въпросът „на каква сила трябва да се издигне човек, за да получи две“ е безсмислен. Няма такава степен!

Такива ограничения се наричат диапазон от приемливи стойности(ODZ). Оказва се, че ODZ на логаритъма изглежда така: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Имайте предвид, че няма ограничения за числото b (стойността на логаритъма). Например логаритъма може да е отрицателен: log 2 0,5 = −1, защото 0,5 = 2 −1.

Сега обаче разглеждаме само числови изрази, където не е необходимо да знаем VA на логаритъма. Всички ограничения вече са взети предвид от авторите на проблемите. Но когато логаритмичните уравнения и неравенства влязат в действие, изискванията за DL ще станат задължителни. В крайна сметка основата и аргументът може да съдържат много силни конструкции, които не отговарят непременно на горните ограничения.

Сега нека да разгледаме общата схема за изчисляване на логаритми. Състои се от три стъпки:

1. Изразете основата a и аргумента x като степен с минималната възможна основа, по-голяма от едно. По пътя е по-добре да се отървете от десетичните знаци;
2. Решете уравнението за променлива b: x = a b ;
3. Полученото число b ще бъде отговорът.

Това е всичко! Ако логаритъмът се окаже ирационален, това ще се види още в първата стъпка. Изискването базата да е по-голяма от единица е много важно: това намалява вероятността от грешка и значително опростява изчисленията. Същото е и с десетичните дроби: ако веднага ги преобразувате в обикновени, ще има много по-малко грешки.

Нека видим как работи тази схема, използвайки конкретни примери:

Задача. Изчислете логаритъма: log 5 25

1. Нека си представим основата и аргумента като степен на пет: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Нека съставим и решим уравнението:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Получихме отговор: 2.

Задача. Изчислете логаритъма:

Задача. Изчислете логаритъма: log 4 64

1. Нека си представим основата и аргумента като степен на две: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Нека съставим и решим уравнението:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Получихме отговор: 3.

Задача. Изчислете логаритъма: log 16 1

1. Нека си представим основата и аргумента като степен на две: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Нека съставим и решим уравнението:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Получихме отговор: 0.

Задача. Изчислете логаритъма: log 7 14

1. Нека си представим основата и аргумента като степен на седем: 7 = 7 1 ; 14 не може да бъде представено като степен на седем, тъй като 7 1< 14 < 7 2 ;
2. От предходния параграф следва, че логаритъма не се брои;
3. Отговорът е без промяна: log 7 14.

Малка забележка към последния пример. Как можете да сте сигурни, че едно число не е точна степен на друго число? Много е просто - просто го разложете на прости множители. И ако такива множители не могат да бъдат събрани в степени с еднакви показатели, тогава оригиналното число не е точна степен.

Задача. Разберете дали числата са точни степени: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точна степен, т.к има само един множител;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не е точна степен, тъй като има два фактора: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точна степен;
35 = 7 · 5 - отново не е точна степен;
14 = 7 · 2 - отново не е точна степен;

Обърнете внимание също, че самите прости числа винаги са точни степени на себе си.

Десетичен логаритъм

Някои логаритми са толкова често срещани, че имат специално име и символ.

Десетичният логаритъм от x е логаритъмът при основа 10, т.е. Степента, на която трябва да се повдигне числото 10, за да се получи числото x. Обозначение: lg x.

Например, log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.н.

Отсега нататък, когато в учебника се появи фраза като „Намери lg 0.01“, знайте, че това не е печатна грешка. Това е десетичен логаритъм. Ако обаче не сте запознати с тази нотация, винаги можете да я пренапишете:
log x = log 10 x

Всичко, което е вярно за обикновените логаритми, е вярно и за десетичните логаритми.

Натурален логаритъм

Има още един логаритъм, който има свое собствено обозначение. В някои отношения това е дори по-важно от десетичната запетая. Говорим за натурален логаритъм.

Натуралният логаритъм от x е логаритъмът по основа e, т.е. степента, на която трябва да се повдигне числото e, за да се получи числото x. Обозначение: ln x .

Мнозина ще попитат: какво е числото e? Това е ирационално число, точната му стойност не може да бъде намерена и записана. Ще дам само първите цифри:
e = 2,718281828459...

Няма да навлизаме в подробности какво представлява този номер и защо е необходим. Само не забравяйте, че e е основата на естествения логаритъм:
ln x = log e x

Така ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - и т.н. От друга страна, ln 2 е ирационално число. По принцип естественият логаритъм на всяко рационално число е ирационален. Освен, разбира се, за едно: ln 1 = 0.

За естествените логаритми са валидни всички правила, които са валидни за обикновените логаритми.