Пирамида. Формули и свойства на пирамидата. Как да изчислим площта на пирамида: основа, страна и обща

Площта на страничната повърхност на произволна пирамида е равна на сумата от площите на нейните странични лица. Има смисъл да се даде специална формула за изразяване на тази площ в случай на правилна пирамида. И така, нека ни е дадена правилна пирамида, в основата на която лежи правилен n-ъгълник със страна, равна на a. Нека h е височината на страничната повърхност, наричана още апотемапирамиди. Площта на едната странична повърхност е равна на 1/2ah, а цялата странична повърхност на пирамидата има площ, равна на n/2ha. Тъй като na е периметърът на основата на пирамидата, можем да напишем намерената формула във формата:

Площ на страничната повърхностна правилна пирамида е равно на произведението на нейната апотема и половината от периметъра на основата.

Относно обща повърхност, тогава просто добавяме площта на основата към страничната.

Вписана и описана сфера и топка. Трябва да се отбележи, че центърът на сферата, вписана в пирамидата, лежи в пресечната точка на ъглополовящите равнини на вътрешните двустенни ъгли на пирамидата. Центърът на сферата, описана близо до пирамидата, лежи в пресечната точка на равнини, минаващи през средните точки на ръбовете на пирамидата и перпендикулярни на тях.

Пресечена пирамида.Ако една пирамида се разрязва от равнина, успоредна на нейната основа, тогава частта, затворена между сечащата равнина и основата, се нарича пресечена пирамида.Фигурата показва пирамида; изхвърляйки нейната част, лежаща над режещата равнина, получаваме пресечена пирамида. Ясно е, че малката изхвърлена пирамида е хомотетична на голямата пирамида с център на хомотетия на върха. Коефициентът на подобие е равен на отношението на височините: k=h 2 /h 1, или страничните ръбове, или други съответни линейни размери на двете пирамиди. Знаем, че площите на подобни фигури са свързани като квадрати с линейни размери; така че площите на основите на двете пирамиди (т.е. площта на основите на пресечената пирамида) са свързани като

Тук S 1 е площта на долната основа, а S 2 е площта на горната основа на пресечената пирамида. Страничните повърхности на пирамидите са в същото отношение. Подобно правило съществува и за обемите.

Обеми на подобни теласа свързани като кубове с техните линейни размери; например, обемите на пирамидите са свързани като произведение на техните височини и площта на основите, от което веднага се получава нашето правило. То е от напълно общ характер и пряко следва от факта, че обемът винаги има размерност на трета степен на дължината. Използвайки това правило, извличаме формула, изразяваща обема на пресечена пирамида чрез височината и площта на основите.

Нека е дадена пресечена пирамида с височина h и основни площи S 1 и S 2 . Ако си представим, че тя е разширена до пълна пирамида, тогава коефициентът на подобие между пълната пирамида и малката пирамида може лесно да се намери като корен от отношението S 2 /S 1 . Височината на пресечена пирамида се изразява като h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Сега имаме за обема на пресечена пирамида (V 1 и V 2 означават обемите на пълната и малката пирамида)

формула за обем на пресечена пирамида

Нека изведем формулата за площта S на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида през периметъра P 1 и P 2 на основите и дължината на апотемата a. Разсъждаваме точно по същия начин, както при извеждането на формулата за обем. Допълваме пирамидата с горната част, имаме P 2 = kP 1, S 2 = k 2 S 1, където k е коефициентът на подобие, P 1 и P 2 са периметрите на основите, а S 1 и S 2 са площите на страничните повърхности на цялата получена пирамида и съответно нейната горна част. За страничната повърхност намираме (a 1 и a 2 са апотеми на пирамидите, a = a 1 - a 2 = a 1 (1-k))

формула за площта на страничната повърхност на правилна пресечена пирамида

• Задача 1. Намерете общата повърхност на пирамидата
• Задача 2. Намерете страничната повърхност на правилна триъгълна пирамида

Проблем 1. Намерете общата повърхност на правилна пирамида

Решение.

В основата на правилна триъгълна пирамида лежи равностранен триъгълник.
Следователно, за да разрешим проблема, ще използваме свойствата на правилния триъгълник:

Знаем височината на триъгълника, откъдето можем да намерим неговата площ.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Откъдето площта на основата ще бъде равна на:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

За да намерим площта на страничната повърхност, изчисляваме височината KM. Според задачата ъгълът OKM е 45 градуса.
По този начин:
OK / MK = cos 45
Нека използваме таблицата със стойности на тригонометрични функции и заместваме известните стойности.

OK / MK = √2/2

Нека вземем предвид, че OK е равно на радиуса на вписаната окръжност. Тогава
OK = √3/6a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тогава
OK / MK = √2/2
1/MK = √2/2
MK = 2/√2

Тогава площта на страничната повърхност е равна на половината от произведението на височината и основата на триъгълника.
Sстрана = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

По този начин общата повърхност на пирамидата ще бъде равна на
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Отговор: 3√3 + 18/√6

Проблем 2. Намерете страничната повърхност на правилна пирамида

Решение.

Тъй като основата на правилна триъгълна пирамида е равностранен триъгълник, AO е радиусът на окръжността, описана около основата.
(Това следва от)

Намираме радиуса на окръжност, описана около равностранен триъгълник от неговите свойства

Откъдето дължината на ръбовете на правилна триъгълна пирамида ще бъде равна на:
AM 2 = MO 2 + AO 2
височината на пирамидата е известна по условие (10 cm), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Всяка страна на пирамидата е равнобедрен триъгълник. Намираме площта на равнобедрен триъгълник от първата формула, представена по-долу

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt ((556/3) - 64)
S = 8 sqrt (364/3)
S = 16 sqrt (91/3)

Тъй като и трите лица на правилната пирамида са равни, площта на страничната повърхност ще бъде равна на
3S = 48 √(91/3)

Отговор: 48 √(91/3)

Задача 3. Намерете общата повърхност на правилна пирамида

Страната на правилна триъгълна пирамида е 3 см, а ъгълът между страничната повърхност и основата на пирамидата е 45 градуса. Намерете общата повърхност на пирамидата.

Решение.
Тъй като пирамидата е правилна, в основата й има равностранен триъгълник. Следователно площта на основата е


И така = 9 * √3/4

За да намерим площта на страничната повърхност, изчисляваме височината KM. Според задачата ъгълът OKM е 45 градуса.
По този начин:
OK / MK = cos 45
Да се ​​възползваме

Площ на повърхността на пирамидата. В тази статия ще разгледаме проблемите с правилните пирамиди. Нека ви напомня, че правилната пирамида е пирамида, чиято основа е правилен многоъгълник, върхът на пирамидата е проектиран в центъра на този многоъгълник.

Страничната страна на такава пирамида е равнобедрен триъгълник.Надморската височина на този триъгълник, изтеглена от върха на правилна пирамида, се нарича апотема, SF - апотема:

В вида на проблема, представен по-долу, трябва да намерите площта на цялата пирамида или площта на нейната странична повърхност. В блога вече бяха обсъдени няколко проблема с правилни пирамиди, където въпросът беше за намирането на елементите (височина, основен ръб, страничен ръб).

Задачите на единния държавен изпит обикновено разглеждат правилни триъгълни, четириъгълни и шестоъгълни пирамиди. Не съм виждал проблеми с правилните петоъгълни и седмоъгълни пирамиди.

Формулата за площта на цялата повърхност е проста - трябва да намерите сумата от площта на основата на пирамидата и площта на нейната странична повърхност:

Нека разгледаме задачите:

Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са 72, страничните ръбове са 164. Намерете повърхността на тази пирамида.

Площта на повърхността на пирамидата е равна на сумата от площите на страничната повърхност и основата:

*Страничната повърхност се състои от четири триъгълника с еднаква площ. Основата на пирамидата е квадрат.

Можем да изчислим площта на страната на пирамидата, като използваме:

Така повърхността на пирамидата е:

Отговор: 28224

Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са равни на 22, страничните ръбове са равни на 61. Намерете страничната повърхност на тази пирамида.

Основата на правилната шестоъгълна пирамида е правилен шестоъгълник.

Площта на страничната повърхност на тази пирамида се състои от шест области на равни триъгълници със страни 61,61 и 22:

Нека намерим площта на триъгълника, използвайки формулата на Heron:

Така площта на страничната повърхност е:

Отговор: 3240

*В проблемите, представени по-горе, площта на страничната повърхност може да се намери с помощта на друга формула за триъгълник, но за това трябва да изчислите апотемата.

27155. Намерете повърхността на правилна четириъгълна пирамида, чиято основна страна е 6 и чиято височина е 4.

За да намерим площта на повърхността на пирамидата, трябва да знаем площта на основата и площта на страничната повърхност:

Площта на основата е 36, тъй като тя е квадрат със страна 6.

Страничната повърхност се състои от четири лица, които са равни триъгълници. За да намерите площта на такъв триъгълник, трябва да знаете неговата основа и височина (апотема):

*Площта на триъгълник е равна на половината от произведението на основата и височината, начертана към тази основа.

Основата е известна, тя е равна на шест. Да намерим височината. Помислете за правоъгълен триъгълник (маркиран в жълто):

Единият крак е равен на 4, тъй като това е височината на пирамидата, другият е равен на 3, тъй като е равен на половината ръб на основата. Можем да намерим хипотенузата с помощта на Питагоровата теорема:

Това означава, че площта на страничната повърхност на пирамидата е:

Така повърхността на цялата пирамида е:

Отговор: 96

27069. Страните на основата на правилна четириъгълна пирамида са равни на 10, страничните ръбове са равни на 13. Намерете повърхността на тази пирамида.

27070. Страните на основата на правилна шестоъгълна пирамида са равни на 10, страничните ръбове са равни на 13. Намерете площта на страничната повърхност на тази пирамида.

Има и формули за площта на страничната повърхност на правилната пирамида. В правилната пирамида основата е ортогонална проекция на страничната повърхност, следователно:

П- основен периметър, л- апотема на пирамидата

*Тази формула се базира на формулата за лицето на триъгълник.

Ако искате да научите повече за това как се извличат тези формули, не го пропускайте, следете публикуването на статии.Това е всичко. Късмет!

С уважение, Александър Крутицких.

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Преди да изучавате въпроси за тази геометрична фигура и нейните свойства, трябва да разберете някои термини. Когато човек чуе за пирамида, той си представя огромни сгради в Египет. Ето как изглеждат най-простите. Но те се предлагат в различни видове и форми, което означава, че формулата за изчисление на геометричните фигури ще бъде различна.

Пирамида - геометрична фигура, обозначаващи и представляващи няколко лица. По същество това е същият полиедър, в основата на който лежи многоъгълник, а отстрани има триъгълници, които се свързват в една точка - върха. Фигурата се предлага в два основни вида:

• правилно;
• пресечен.

В първия случай основата е правилен многоъгълник. Тук всички странични повърхности са равнимежду тях и самата фигура ще зарадват окото на перфекционист.

Във втория случай има две основи - голяма в самото дъно и малка между върха, повтаряща формата на основната. С други думи, пресечената пирамида е многостен с напречно сечение, образувано успоредно на основата.

Термини и символи

Ключови термини:

• Правилен (равностранен) триъгълник- фигура с три равни ъгъла и равни страни. В този случай всички ъгли са 60 градуса. Фигурата е най-простият от правилните полиедри. Ако тази фигура лежи в основата, тогава такъв полиедър ще се нарича правилен триъгълен. Ако основата е квадрат, пирамидата ще се нарича правилна четириъгълна пирамида.
• Вертекс– най-високата точка, където краищата се срещат. Височината на върха се образува от права линия, простираща се от върха до основата на пирамидата.
• Ръб, край– една от равнините на многоъгълника. Тя може да бъде под формата на триъгълник в случай на триъгълна пирамида или във формата на трапец при пресечена пирамида.
• Раздел- плоска фигура, образувана в резултат на дисекция. Не трябва да се бърка със секция, тъй като секция също показва какво стои зад секцията.
• апотема- сегмент, начертан от върха на пирамидата до нейната основа. Това е и височината на лицето, където се намира втората точка на височина. Това определение е валидно само по отношение на правилен многостен. Например, ако това не е пресечена пирамида, тогава лицето ще бъде триъгълник. В този случай височината на този триъгълник ще стане апотема.

Формули за площ

Намерете страничната повърхност на пирамидатавсеки тип може да се направи по няколко начина. Ако фигурата не е симетрична и е многоъгълник с различни страни, тогава в този случай е по-лесно да се изчисли общата повърхност чрез съвкупността от всички повърхности. С други думи, трябва да изчислите площта на всяко лице и да ги добавите заедно.

В зависимост от известните параметри може да са необходими формули за изчисляване на квадрат, трапец, произволен четириъгълник и др. Самите формули в различни случаисъщо ще има разлики.

В случай на правилна фигура намирането на района е много по-лесно. Достатъчно е да знаете само няколко ключови параметъра. В повечето случаи се изискват изчисления специално за такива цифри. Следователно съответните формули ще бъдат дадени по-долу. В противен случай ще трябва да изпишете всичко на няколко страници, което само ще ви обърка и обърка.

Основна формула за изчислениеПлощта на страничната повърхност на правилната пирамида ще има следната форма:

S=½ Pa (P е периметърът на основата и е апотема)

Нека разгледаме един пример. Многостенът има основа с отсечки A1, A2, A3, A4, A5 и всички те са равни на 10 cm. Нека първо трябва да намерите периметъра. Тъй като всичките пет лица на основата са еднакви, можете да го намерите по следния начин: P = 5 * 10 = 50 cm След това прилагаме основната формула: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm на квадрат.

Странична повърхност на правилна триъгълна пирамиданай-лесно за изчисляване. Формулата изглежда така:

S =½* ab *3, където a е апотемата, b е лицето на основата. Коефициентът три тук означава броя на лицата на основата, а първата част е площта на страничната повърхност. Нека разгледаме един пример. Дадена е фигура с апотема 5 см и основен ръб 8 см. Изчисляваме: S = 1/2*5*8*3=60 см на квадрат.

Площ на страничната повърхност на пресечена пирамидаМалко по-трудно е да се изчисли. Формулата изглежда така: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, където p_01 и p_02 са периметрите на основите и е апотема. Нека разгледаме един пример. Да кажем, че за четириъгълна фигура размерите на страните на основите са 3 и 6 cm, а апотемата е 4 cm.

Тук първо трябва да намерите периметрите на основите: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 см. Остава да заменим стойностите в основната формула и получаваме: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см на квадрат.

По този начин можете да намерите площта на страничната повърхност на правилна пирамида с всякаква сложност. Трябва да внимавате и да не се бъркатетези изчисления с общата площ на целия полиедър. И ако все пак трябва да направите това, просто изчислете площта на най-голямата основа на многостена и я добавете към площта на страничната повърхност на многостена.

Видео

Това видео ще ви помогне да консолидирате информация за това как да намерите страничната повърхност на различни пирамиди.

Не получихте отговор на въпроса си? Предложете тема на авторите.

Знаем какво е конус, нека се опитаме да намерим повърхността му. Защо трябва да решавате такъв проблем? Например, трябва да разберете колко тесто ще отиде за направата на вафлена фунийка? Или колко тухли са необходими, за да се направи тухлен покрив на замък?

Измерването на страничната повърхност на конус просто не може да се направи. Но нека си представим същия рог, увит в плат. За да намерите площта на парче плат, трябва да го изрежете и да го поставите на масата. Резултатът е плоска фигура, можем да намерим нейната площ.

Ориз. 1. Сечение на конус по образуващата

Нека направим същото с конуса. Нека „изрежем“ страничната му повърхност по произволна образуваща, например (виж Фиг. 1).

Сега нека „развием“ страничната повърхност върху равнина. Получаваме сектор. Центърът на този сектор е върхът на конуса, радиусът на сектора е равен на образуващата на конуса, а дължината на дъгата му съвпада с обиколката на основата на конуса. Този сектор се нарича развитие на страничната повърхност на конуса (виж фиг. 2).

Ориз. 2. Развитие на страничната повърхност

Ориз. 3. Измерване на ъгъл в радиани

Нека се опитаме да намерим площта на сектора, като използваме наличните данни. Първо, нека въведем обозначението: нека ъгълът при върха на сектора е в радиани (виж Фиг. 3).

Често ще трябва да се справяме с ъгъла в горната част на размаха при проблеми. Засега нека се опитаме да отговорим на въпроса: не може ли този ъгъл да се окаже повече от 360 градуса? Тоест, няма ли да се окаже, че почистването ще се припокрие? Разбира се, че не. Нека докажем това математически. Оставете сканирането да се „наслагва“ върху себе си. Това означава, че дължината на дъгата на движение е по-голяма от дължината на окръжността с радиус. Но, както вече беше споменато, дължината на дъгата на движение е дължината на окръжността с радиус. И радиусът на основата на конуса, разбира се, е по-малък от образуващата, например, защото катетът на правоъгълен триъгълник е по-малък от хипотенузата

Тогава нека си спомним две формули от курса по планиметрия: дължина на дъгата. Област на сектора: .

В нашия случай ролята се играе от генератора , а дължината на дъгата е равна на обиколката на основата на конуса, т.е. Ние имаме:

Накрая получаваме: .

Заедно със страничната повърхност може да се намери и общата повърхност. За да направите това, площта на основата трябва да се добави към площта на страничната повърхност. Но основата е кръг с радиус, чиято площ според формулата е равна на .

Накрая имаме: , където е радиусът на основата на цилиндъра, е образуващата.

Нека решим няколко задачи с помощта на дадените формули.

Ориз. 4. Необходим ъгъл

Пример 1. Развитието на страничната повърхност на конуса е сектор с ъгъл при върха. Намерете този ъгъл, ако височината на конуса е 4 cm, а радиусът на основата е 3 cm (виж фиг. 4).

Ориз. 5. Правоъгълен триъгълник, образуващ конус

Чрез първото действие, според Питагоровата теорема, намираме генератора: 5 cm (виж фиг. 5). След това знаем това .

Пример 2. Площта на аксиалното напречно сечение на конуса е равна на , височината е равна на . Намерете общата повърхност (вижте фиг. 6).