Начертайте перпендикулярна ъглополовяща в триъгълника. Окръжност, описана около триъгълник, вписан в окръжност. Свойства на описаната окръжност на триъгълник. Теорема за синусите

В триъгълника има така наречените четири забележителни точки: пресечната точка на медианите. Пресечната точка на ъглополовящи, пресечната точка на височини и пресечната точка на перпендикулярни ъглополовящи. Нека разгледаме всеки от тях.

Пресечна точка на медианите на триъгълника

Теорема 1

В пресечната точка на медианите на триъгълник: Медианите на триъгълник се пресичат в една точка и се делят на пресечната точка в съотношение $2:1$, започвайки от върха.

Доказателство.

Да разгледаме триъгълник $ABC$, където $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ са неговите медиани. Тъй като медианите разделят страните наполовина. Нека разгледаме средната линия $A_1B_1$ (фиг. 1).

Фигура 1. Медиани на триъгълник

Съгласно теорема 1, $AB||A_1B_1$ и $AB=2A_1B_1$, следователно, $\angle ABB_1=\angle BB_1A_1,\ \angle BAA_1=\angle AA_1B_1$. Това означава, че триъгълниците $ABM$ и $A_1B_1M$ са подобни според първия критерий за подобие на триъгълници. Тогава

По същия начин е доказано, че

Теоремата е доказана.

Пресечна точка на ъглополовящи на триъгълник

Теорема 2

На пресечната точка на ъглополовящи на триъгълник: Симетралите на триъгълник се пресичат в една точка.

Доказателство.

Да разгледаме триъгълник $ABC$, където $AM,\BP,\CK$ са неговите ъглополовящи. Нека точката $O$ е пресечната точка на ъглополовящите $AM\ и\BP$. Нека начертаем перпендикуляри от тази точка към страните на триъгълника (фиг. 2).

Фигура 2. Симетрали на триъгълник

Теорема 3

Всяка точка от ъглополовящата на неразвит ъгъл е на еднакво разстояние от страните му.

По теорема 3 имаме: $OX=OZ,\ OX=OY$. Следователно $OY=OZ$. Това означава, че точката $O$ е равноотдалечена от страните на ъгъл $ACB$ и следователно лежи на неговата ъглополовяща $CK$.

Теоремата е доказана.

Пресечната точка на ъглополовящите перпендикуляри на триъгълник

Теорема 4

Перпендикулярните ъглополовящи на страните на триъгълника се пресичат в една точка.

Доказателство.

Нека е даден триъгълник $ABC$, $n,\ m,\ p$ неговите перпендикулярни ъглополовящи. Нека точката $O$ е пресечната точка на ъглополовящите перпендикуляри $n\ и\ m$ (фиг. 3).

Фигура 3. Перпендикулярни ъглополовящи на триъгълник

За да го докажем, се нуждаем от следната теорема.

Теорема 5

Всяка точка от перпендикулярната ъглополовяща към отсечка е на еднакво разстояние от краищата на отсечката.

По теорема 3 имаме: $OB=OC,\ OB=OA$. Следователно $OA=OC$. Това означава, че точката $O$ е на еднакво разстояние от краищата на отсечката $AC$ и следователно лежи на нейната перпендикулярна ъглополовяща $p$.

Теоремата е доказана.

Пресечна точка на височини на триъгълник

Теорема 6

Височините на триъгълник или техните продължения се пресичат в една точка.

Доказателство.

Да разгледаме триъгълник $ABC$, където $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ е неговата надморска височина. Нека начертаем права линия през всеки връх на триъгълника, успоредна на страната, противоположна на върха. Получаваме нов триъгълник $A_2B_2C_2$ (фиг. 4).

Фигура 4. Височини на триъгълник

Тъй като $AC_2BC$ и $B_2ABC$ са успоредници с обща страна, то $AC_2=AB_2$, тоест точка $A$ е средата на страната $C_2B_2$. По същия начин откриваме, че точка $B$ е средата на страната $C_2A_2$, а точката $C$ е средата на страната $A_2B_2$. От конструкцията имаме, че $(CC)_1\bot A_2B_2,\ (BB)_1\bot A_2C_2,\ (AA)_1\bot C_2B_2$. Следователно $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ са ъглополовящите на триъгълник $A_2B_2C_2$. Тогава, съгласно теорема 4, имаме, че височините $(AA)_1,\ (BB)_1,\ (CC)_1$ се пресичат в една точка.

В предишния урок разгледахме свойствата на ъглополовящата на ъгъл, както затворен в триъгълник, така и свободен. Триъгълникът включва три ъгъла и за всеки от тях се запазват разглежданите свойства на ъглополовящата.

Теорема:

Симетралите AA 1, BB 1, СС 1 на триъгълника се пресичат в една точка O (фиг. 1).

Ориз. 1. Илюстрация към теоремата

Доказателство:

Нека първо разгледаме две ъглополовящи BB 1 и CC 1. Те се пресичат, пресечната точка O съществува. За да докажем това, нека приемем обратното: нека дадените ъглополовящи не се пресичат, в който случай те са успоредни. Тогава правата BC е секанс и сумата от ъглите е , това противоречи на факта, че в целия триъгълник сумата от ъглите е .

И така, точка O от пресечната точка на две ъглополовящи съществува. Нека разгледаме свойствата му:

Точка O лежи на ъглополовящата на ъгъла, което означава, че е на еднакво разстояние от неговите страни BA и BC. Ако OK е перпендикулярна на BC, OL е перпендикулярна на BA, то дължините на тези перпендикуляри са равни - . Освен това точка O лежи на ъглополовящата на ъгъла и е на еднакво разстояние от страните му CB и CA, перпендикулярите OM и OK са равни.

Получихме следните равенства:

, тоест и трите перпендикуляра, пуснати от точка O към страните на триъгълника, са равни един на друг.

Интересува ни равенството на перпендикулярите OL и OM. Това равенство гласи, че точка O е на еднакво разстояние от страните на ъгъла, от което следва, че тя лежи на неговата ъглополовяща AA 1.

Така доказахме, че и трите ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка.

Освен това триъгълникът се състои от три сегмента, което означава, че трябва да вземем предвид свойствата на отделен сегмент.

Дадена е отсечката AB. Всеки сегмент има среда и през него може да се прекара перпендикуляр - нека го обозначим като p. Така p е перпендикулярната ъглополовяща.

Ориз. 2. Илюстрация към теоремата

Всяка точка, лежаща върху перпендикулярната ъглополовяща, е на еднакво разстояние от краищата на сегмента.

Докажете това (фиг. 2).

Доказателство:

Помислете за триъгълници и . Те са правоъгълни и равни, защото имат общ катет OM, а катетите AO и OB са равни по условие, така че имаме два правоъгълни триъгълника, равни по два катета. От това следва, че и хипотенузите на триъгълниците са равни, тоест това, което трябваше да се докаже.

Обратната теорема е вярна.

Всяка точка, равноотдалечена от краищата на отсечка, лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на тази отсечка.

Дадени са отсечка AB, нейната перпендикулярна ъглополовяща p и точка M, равноотдалечена от краищата на отсечката. Докажете, че точка M лежи върху ъглополовящата на отсечката (фиг. 3).

Ориз. 3. Илюстрация към теоремата

Доказателство:

Помислете за триъгълник. Равнобедрен е, според състоянието. Помислете за медианата на триъгълник: точка O е средата на основата AB, OM е медианата. Според свойството на равнобедрен триъгълник медианата, начертана към основата му, е едновременно височина и ъглополовяща. Следва, че . Но правата p също е перпендикулярна на AB. Знаем, че в точка O е възможно да се начертае единствен перпендикуляр на отсечката AB, което означава, че правите OM и p съвпадат, от което следва, че точката M принадлежи на правата p, което трябваше да докажем.

Пряката и обратната теорема могат да бъдат обобщени.

Дадена точка лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на отсечка тогава и само ако е на еднакво разстояние от краищата на тази отсечка.

И така, нека повторим, че има три сегмента в триъгълник и свойството на перпендикулярна ъглополовяща се прилага за всеки от тях.

Теорема:

Перпендикулярните ъглополовящи на триъгълник се пресичат в една точка.

Даден е триъгълник. Перпендикуляри към неговите страни: P 1 към страната BC, P 2 към страната AC, P 3 към страната AB.

Докажете, че перпендикулярите P 1, P 2 и P 3 се пресичат в точка O (фиг. 4).

Ориз. 4. Илюстрация към теоремата

Доказателство:

Нека разгледаме две перпендикулярни ъглополовящи P 2 и P 3, те се пресичат, пресечната точка O съществува. Нека докажем този факт от противното - нека перпендикулярите P 2 и P 3 са успоредни. След това ъгълът е обърнат, което противоречи на факта, че сборът от трите ъгъла на триъгълник е . И така, има точка O от пресечната точка на две от трите перпендикулярни ъглополовящи. Свойства на точка O: тя лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на страната AB, което означава, че е на еднакво разстояние от краищата на отсечката AB: . Той също така лежи върху перпендикулярната ъглополовяща към страната AC, което означава . Получихме следните равенства.

Перпендикулярна ъглополовяща към отсечка

Определение 1. Перпендикулярна ъглополовяща към отсечканарича права линия, перпендикулярна на този сегмент и минаваща през средата му (фиг. 1).

Теорема 1. Всяка точка от перпендикулярната ъглополовяща към сегмент е разположена на същото разстояние от краищата този сегмент.

доказателство Нека разгледаме произволна точка D, лежаща на ъглополовящата на отсечката AB (фиг. 2), и докажем, че триъгълниците ADC и BDC са равни.

Всъщност тези триъгълници са правоъгълни триъгълници, в които катетите AC и BC са равни, а катетът DC е общ. Равенството на триъгълниците ADC и BDC предполага равенство на отсечките AD и DB. Теорема 1 е доказана.

Теорема 2 (Обратно на теорема 1). Ако една точка е на същото разстояние от краищата на отсечка, тогава тя лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на тази отсечка.

доказателство Нека докажем теорема 2 от противното. За тази цел приемете, че някаква точка E е на същото разстояние от краищата на отсечката, но не лежи върху ъглополовящата на тази отсечка. Нека доведем това предположение до противоречие. Нека първо разгледаме случая, когато точките E и A лежат на противоположните страни на ъглополовящата (фиг. 3). В този случай отсечката EA пресича ъглополовящата в някаква точка, която ще обозначим с буквата D.

Нека докажем, че отсечката AE е по-дълга от отсечката EB. Наистина ли,

По този начин, в случай, че точките E и A лежат на противоположните страни на ъглополовящата, имаме противоречие.

Сега разгледайте случая, когато точките E и A лежат от една и съща страна на ъглополовящата (фиг. 4). Нека докажем, че отсечката EB е по-дълга от отсечката AE. Наистина ли,

Полученото противоречие завършва доказателството на теорема 2

Окръжност, описана около триъгълник

Определение 2. Окръжност, описана от триъгълник, се нарича окръжност, минаваща през трите върха на триъгълника (фиг. 5). В този случай триъгълникът се нарича триъгълник, вписан в окръжностили вписан триъгълник.

Свойства на описаната окръжност на триъгълник. Теорема за синусите

Фигура	рисуване	Имот
Перпендикулярни ъглополовящи към страните на триъгълника		се пресичат в една точка .
Център окръжност, описана около остроъгълен триъгълник		Център, описан около остроъгълен вътре триъгълник.
Център окръжност, описана около правоъгълен триъгълник		Центърът, описан около правоъгълен средата на хипотенузата .
Център окръжност, описана около тъп триъгълник		Център, описан около тъпоъгълен триъгълник кръг лежи навън триъгълник.
		,
Квадрат триъгълник		S= 2Р 2 грях Агрях бгрях ° С ,
Радиус на кръга		За всеки триъгълник е вярно равенството:

Перпендикулярни ъглополовящи към страните на триъгълник

Всички перпендикулярни ъглополовящи , начертана към страните на произволен триъгълник, се пресичат в една точка .

Окръжност, описана около триъгълник

Всеки триъгълник може да бъде ограден от кръг . Центърът на окръжност, описана около триъгълник, е точката, в която се пресичат всички ъглополовящи, начертани към страните на триъгълника.

Център на описаната окръжност на остроъгълен триъгълник

Център, описан около остроъгълен триъгълник кръг лежи вътре триъгълник.

Център на описаната окръжност на правоъгълен триъгълник

Центърът, описан около правоъгълен триъгълник кръг е средата на хипотенузата .

Център на описаната окръжност на тъп триъгълник

Център, описан около тъпоъгълен триъгълник кръг лежи навън триъгълник.

За всеки триъгълник са верни следните равенства (синусова теорема): , където a, b, c са страните на триъгълника, A, B, C са ъглите на триъгълника, R е радиусът на описаната окръжност.

Площ на триъгълник

За всеки триъгълник е вярно равенството: S= 2Р 2 грях Агрях бгрях ° С , където A, B, C са ъглите на триъгълника, S е площта на триъгълника, R е радиусът на описаната окръжност.

Радиус на кръга

За всеки триъгълник е вярно равенството: където a, b, c са страните на триъгълника, S е площта на триъгълника, R е радиусът на описаната окръжност.

Доказателства на теореми за свойствата на описаната окръжност на триъгълник

Теорема 3. Всички ъглополовящи, прекарани към страните на произволен триъгълник, се пресичат в една точка.

доказателство Нека разгледаме две ъглополовящи, прекарани към страните AC и AB на триъгълник ABC, и означим тяхната пресечна точка с буквата O (фиг. 6).

Тъй като точка O лежи на ъглополовящата на отсечката AC, то по силата на теорема 1 равенството е вярно.

Раздавателни материали (Приложение № 1)

Задачи, свързани с конструиране с пергел и линийка без деления, най-често се решават по определена схема:

аз Анализ: Начертайте желаната фигура схематично и установете връзки между данните на задачата и необходимите елементи.

II. Строителство: По планирания план се строи с пергел и линийка.

III. Доказателство: Докажете, че построената фигура удовлетворява условията на задачата.

IV. Проучване: Проведете проучване, за да видите дали проблемът има решение за дадени данни и, ако има, колко решения има (не се провежда във всички проблеми).

Ето някои примери за елементарни строителни задачи, които ще разгледаме:

1. Отделете сегмент, равен на дадения (изучен по-рано).

2. Построяване на перпендикулярна ъглополовяща към отсечка:

• построяват средата на дадена отсечка;
• построяване на права, минаваща през дадена точка и перпендикулярна на дадена права (точката може или не може да лежи на дадена права).

3. Построяване на ъглополовяща.

4. Построяване на ъгъл, равен на дадения.

Перпендикулярна ъглополовяща на сегмент.

Определение: Перпендикулярна ъглополовяща на отсечка е права, минаваща през средата на отсечката и перпендикулярна на нея.

Задача: „Постройте ъглополовящата на отсечката.“ Презентация

O - средна AB

Описание на конструкцията ( слайд номер 4):

лъч a; А – началото на лъча

Обиколка (A; r =m)

Окръжност a = B; AB = m

Кръг 1 (A; r 1 > m/2)

Кръг 2 (B; r 1)

Кръг 1 Кръг 2 =

MN; MN AB =0, (MN = L)

където MN AB, O – средата на AB

III. Доказателство(слайд № 5, 6)

1. Помислете за AMN и BNM:

AM = MB=BN=AN=r 2, следователно AM = BN, AN = BM MN – обща страна

(Фигура 3)

Следователно AMN = BNM (от 3 страни),

Следователно

1= 2 (по дефиниция на равно)

3= 4 (по дефиниция на равно)

2. MAN и NBM са равнобедрени (по дефиниция) ->

1 = 4 и 3 = 2 (по свойството на равнобедреност)

3. От точки 1 и 2 -> 1 = 3 следователно MO е ъглополовяща на равнобедрения AMB

4. Така доказахме, че MN е ъглополовяща на отсечката AB

IV. Проучване

Този проблем има уникално решение, т.к всеки сегмент има само една средна точка и през дадена точка може да се начертае една права линия, перпендикулярна на дадената.

Определение: Геометричен набор от точки (GMT) е набор от точки, които имат определено свойство. (Приложение № 2)

GMT, които знаете:

1. Перпендикулярната ъглополовяща на отсечка е множеството точки, еднакво отдалечени от краищата на отсечката.
2. Симетрала на ъгъл - набор от точки, еднакво отдалечени от страните на ъгъла

И така, нека докажем теоремата:

Теорема: „Всяка точка от перпендикулярната ъглополовяща към сегмент е на еднакво разстояние от краищата на този сегмент.“

(Фигура 4)

Дадено: AB; MO – перпендикулярна ъглополовяща

Докажете: AM = VM

Домашна работа: „Докажете обратната теорема“

Теорема: „Всяка точка, еднакво отдалечена от краищата на сегмент, лежи върху перпендикулярната ъглополовяща на този сегмент.“

(Фигура 5)

Дадено: AB; MA=MV

Докажи: Точка M лежи на ъглополовящата

Доказателство:

Че. MO е перпендикулярна ъглополовяща, съдържаща всички точки, еднакво отдалечени от краищата на сегмента.

Свойство на перпендикулярни ъглополовящи към страните на триъгълник

Те се пресичат в една точка и тази точка е центърът на описаната около триъгълника окръжност, която ще изучаваме в осми клас.

Работилница

Материално-техническо оборудване:

Разпространение: 29 574 KB

Операционна система: Windows 9x/2000/XP

Уебсайт: http://www.ascon.ru

Сега нека прехвърлим конструкцията в графичната среда на компютъра (слайд № 7)

Придобитите преди това знания и умения трябва да бъдат приложени към конкретна задача. Ще видите, че конструирането няма да ви отнеме повече време от конструирането в тетрадка. Освен всичко друго, интересно е да се види как компютърната среда изпълнява човешки команди за конструиране на равнинни фигури. Ето Приложение № 3, което описва подробно вашите строителни стъпки. Заредете програмата и отворете нов чертеж ( слайд номер 8, 9).

Начертайте посочените в задачата геометрични обекти: лъч Азапочвайки от точка Аи отсечката е равна м– произволна дължина ( слайд номер 10).

Въведете обозначението на лъча, сегмента, началото на лъча в чертежа с помощта на раздела „Инструменти" текст.

Построете окръжност с радиус, равен на сегмента мс център във върха в дадена точка А (слайд номер 11).

мс център във върха, дадена точка A ( слайд № 12, 13).

Построете окръжност с радиус, равен на сегмент, по-голям от 1/2 мЗа да направите това, изберете елемента “ в контекстното меню RMB Между 2 точки" (слайд № 14, 15, 16).

През пресечните точки на окръжности М и Нначертайте права линия ( слайд № 17,18).

Използвани книги:

1. Угринович Н. Д. „Информатика. Основен курс” 7 клас. - М.: БИНОМ - 2008 - 175 с.
2. Угринович Н. Д. „Работилна среща по компютърни науки и информационни технологии.“ Урок. – М.: БИНОМ, 2004-2006. -
3. Угринович Н. Д. „Преподаване на курса „Информатика и ИКТ“ в начален и гимназиален клас 8-11 М .: Лаборатория на знанието БИНОМ, 2008. - 180 с.
4. Угринович Н. Д. Компютърна работилница на CD-ROM. – М.: БИНОМ, 2004-2006.
5. Богуславски А.А., Третяк Т.М. Фарафонов А.А. “Компас - 3D v 5.11-8.0 Семинар за начинаещи” - М.: SOLON - PRESS, 2006 - 272 с.
6. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. „Геометрия 7-9. Учебник за средните училища” – М: Образование 2006 – 384 с.
7. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. „Изучаване на геометрия 7-9 клас. Методически препоръки към учебника” - М: Образование 1997 г. - 255 с.
8. Афанасиева Т.Л., Тапилина Л.А. Конспекти на уроци по учебника за 8 клас на Атанасян Л.С. - Волгоград „Учител” 2010, 166 с.

План за решаване на задачи, включващи конструиране с пергел и линийка.

1. Анализ.
2. Строителство.
3. Доказателство.
4. Проучване.

Обяснение

1. При извършване на анализ се изчертава схематично желаната фигура и се установява връзка между данните на задачата и необходимите елементи.
2. Според планирания план строителството се извършва с помощта на пергел и линийка.
3. Те доказват, че построената фигура удовлетворява условията на задачата.
4. Те провеждат проучване: има ли проблемът решение за дадени данни и ако има, колко решения?

Примери за елементарни конструктивни задачи

1. Заделете отсечка, равна на дадената.
2. Постройте ъглополовящата на отсечката.
3. Построете средата на отсечката.
4. Построете права, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права (Точката може или не може да лежи на дадена права).
5. Построете ъглополовящата на ъгъла.
6. Да се ​​построи ъгъл, равен на дадения.

Геометрично място на точки (GLP) е набор от точки, които имат определено свойство.

Примери за GMT:

1. Перпендикулярната ъглополовяща на отсечка е множеството точки, еднакво отдалечени от краищата на отсечката.
2. Окръжност е набор от точки, еднакво отдалечени от дадена точка – център на окръжността.
3. Ъглополовящата на ъгъл е множеството точки, еднакво отдалечени от страните на ъгъла.

Всяка точка от перпендикулярната ъглополовяща на сегмент е на еднакво разстояние от краищата на този сегмент.