C 51 решение на дробни рационални уравнения. Как се решават уравнения с дроби. Експоненциално решение на уравнения с дроби

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от Вас, на трети страни.

Изключения:

При необходимост - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Уважаване на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Въведохме уравнението по-горе в § 7. Първо, нека си припомним какво е рационален израз. Това е алгебричен израз, съставен от числа и променливата x, използвайки операциите събиране, изваждане, умножение, деление и степенуване с естествен показател.

Ако r(x) е рационален израз, тогава уравнението r(x) = 0 се нарича рационално уравнение.

На практика обаче е по-удобно да се използва малко по-широко тълкуване на термина „рационално уравнение“: това е уравнение във формата h(x) = q(x), където h(x) и q(x) са рационални изрази.

Досега не можехме да решим нито едно рационално уравнение, а само едно, което в резултат на различни трансформации и разсъждения беше сведено до линейно уравнение. Сега нашите възможности са много по-големи: ще можем да решим рационално уравнение, което се свежда не само до линейно
mu, но и към квадратното уравнение.

Нека си припомним как решавахме рационални уравнения преди и се опитаме да формулираме алгоритъм за решение.

Пример 1.Решете уравнението

Решение. Нека пренапишем уравнението във формата

В този случай, както обикновено, ние се възползваме от факта, че равенствата A = B и A - B = 0 изразяват същата връзка между A и B. Това ни позволи да преместим члена в лявата страна на уравнението с противоположен знак.

Нека трансформираме лявата страна на уравнението. Ние имаме

Нека си припомним условията за равенство дробинула: ако и само ако две отношения са изпълнени едновременно:

1) числителят на дробта е нула (a = 0); 2) знаменателят на дробта е различен от нула).
Приравнявайки числителя на дробта от лявата страна на уравнение (1) на нула, получаваме

Остава да проверим изпълнението на второто посочено по-горе условие. Отношението означава за уравнение (1), че . Стойностите x 1 = 2 и x 2 = 0,6 удовлетворяват посочените зависимости и следователно служат като корени на уравнение (1), а в същото време и корени на даденото уравнение.

1) Нека преобразуваме уравнението във формата

2) Нека трансформираме лявата страна на това уравнение:

(едновременно промени знаците в числителя и
дроби).
Така даденото уравнение приема формата

3) Решете уравнението x 2 - 6x + 8 = 0. Намерете

4) За намерените стойности проверете изпълнението на условието . Числото 4 отговаря на това условие, но числото 2 не. Това означава, че 4 е коренът на даденото уравнение, а 2 е външен корен.
ОТГОВОР: 4.

2. Решаване на рационални уравнения чрез въвеждане на нова променлива

Методът за въвеждане на нова променлива ви е познат; Нека покажем с примери как се използва при решаване на рационални уравнения.

Пример 3.Решете уравнението x 4 + x 2 - 20 = 0.

Решение. Нека въведем нова променлива y = x 2 . Тъй като x 4 = (x 2) 2 = y 2, даденото уравнение може да бъде пренаписано като

y 2 + y - 20 = 0.

Това е квадратно уравнение, чиито корени могат да бъдат намерени с помощта на известни формули; получаваме y 1 = 4, y 2 = - 5.
Но y = x 2, което означава, че проблемът е сведен до решаването на две уравнения:
х 2 =4; х 2 = -5.

От първото уравнение намираме, че второто уравнение няма корени.
Отговор: .
Уравнение от формата ax 4 + bx 2 +c = 0 се нарича биквадратно уравнение („bi“ е две, т.е. вид „двойно квадратно“ уравнение). Току-що решеното уравнение беше точно биквадратно. Всяко биквадратно уравнение се решава по същия начин като уравнението от Пример 3: въведете нова променлива y = x 2, решете полученото квадратно уравнение по отношение на променливата y и след това се върнете към променливата x.

Пример 4.Решете уравнението

Решение. Обърнете внимание, че един и същ израз x 2 + 3x се появява два пъти тук. Това означава, че има смисъл да се въведе нова променлива y = x 2 + 3x. Това ще ни позволи да пренапишем уравнението в по-проста и по-приятна форма (което всъщност е целта на въвеждането на нов променлива- и опростяване на записа
става по-ясно и структурата на уравнението става по-ясна):

Сега нека използваме алгоритъма за решаване на рационално уравнение.

1) Нека преместим всички членове на уравнението в една част:

= 0
2) Трансформирайте лявата страна на уравнението

И така, преобразувахме даденото уравнение във формата

3) От уравнението - 7y 2 + 29y -4 = 0 намираме (вие и аз вече сме решили доста квадратни уравнения, така че вероятно не си струва винаги да давате подробни изчисления в учебника).

4) Нека проверим намерените корени, използвайки условие 5 (y - 3) (y + 1). И двата корена отговарят на това условие.
И така, квадратното уравнение за новата променлива y е решено:
Тъй като y = x 2 + 3x, а y, както установихме, приема две стойности: 4 и , все още трябва да решим две уравнения: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Корените на първото уравнение са числата 1 и - 4, корените на второто уравнение са числата

В разгледаните примери методът за въвеждане на нова променлива е, както обичат да казват математиците, адекватен на ситуацията, тоест добре й съответства. Защо? Да, защото един и същи израз ясно се появи в уравнението няколко пъти и имаше причина този израз да се обозначи с нова буква. Но това не винаги се случва; понякога нова променлива се „появява“ само по време на процеса на трансформация. Точно това ще се случи в следващия пример.

Пример 5.Решете уравнението
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Решение. Ние имаме
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1)(x - 2) = x 2 -Зx+2.

Това означава, че даденото уравнение може да бъде пренаписано във формата

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Сега се „появи” нова променлива: y = x 2 - 3x.

С негова помощ уравнението може да бъде пренаписано във формата y (y + 2) = 24 и след това y 2 + 2y - 24 = 0. Корените на това уравнение са числата 4 и -6.

Връщайки се към първоначалната променлива x, получаваме две уравнения x 2 - 3x = 4 и x 2 - 3x = - 6. От първото уравнение намираме x 1 = 4, x 2 = - 1; второто уравнение няма корени.

ОТГОВОР: 4, - 1.

Съдържание на урока бележки към уроцитеподдържаща рамка презентация урок методи ускорение интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашна работа въпроси за дискусия риторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината;методически препоръки; Интегрирани уроци

Нека продължим да говорим за решаване на уравнения. В тази статия ще разгледаме подробно рационални уравненияи принципи за решаване на рационални уравнения с една променлива. Първо, нека разберем какъв тип уравнения се наричат рационални, да дадем дефиниция на цели рационални и дробни рационални уравнения и да дадем примери. След това ще получим алгоритми за решаване на рационални уравнения и, разбира се, ще разгледаме решения на типични примери с всички необходими обяснения.

Навигация в страницата.

Въз основа на посочените дефиниции даваме няколко примера за рационални уравнения. Например, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , всички са рационални уравнения.

От показаните примери става ясно, че рационалните уравнения, както и уравненията от други видове, могат да бъдат с една променлива или с две, три и т.н. променливи. В следващите параграфи ще говорим за решаване на рационални уравнения с една променлива. Решаване на уравнения с две променливии големият им брой заслужава специално внимание.

Освен че рационалните уравнения се делят на броя на неизвестните променливи, те се делят и на цели и дробни. Нека дадем съответните определения.

Определение.

Рационалното уравнение се нарича цяло, ако и лявата, и дясната му страна са цели рационални изрази.

Определение.

Ако поне една от частите на рационално уравнение е дробен израз, тогава такова уравнение се нарича частично рационален(или дробно рационален).

Ясно е, че целите уравнения не съдържат деление на променлива; напротив, дробните рационални уравнения задължително съдържат деление на променлива (или променлива в знаменателя). Така че 3 x+2=0 и (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– това са цели рационални уравнения, двете им части са цели изрази. A и x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 са примери за дробни рационални уравнения.

Завършвайки тази точка, нека обърнем внимание на факта, че известните до този момент линейни уравнения и квадратни уравнения са цели рационални уравнения.

Решаване на цели уравнения

Един от основните подходи за решаване на цели уравнения е свеждането им до еквивалентни алгебрични уравнения. Това винаги може да се направи чрез извършване на следните еквивалентни трансформации на уравнението:

първо, изразът от дясната страна на оригиналното цяло числово уравнение се прехвърля в лявата страна с обратен знак, за да се получи нула от дясната страна;
след това, от лявата страна на уравнението, получената стандартна форма.

Резултатът е алгебрично уравнение, което е еквивалентно на оригиналното цяло число. Така в най-простите случаи решаването на цели уравнения се свежда до решаване на линейни или квадратни уравнения, а в общия случай до решаване на алгебрично уравнение от степен n. За по-голяма яснота нека разгледаме решението на примера.

Пример.

Намерете корените на цялото уравнение 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Решение.

Нека намалим решението на цялото това уравнение до решението на еквивалентно алгебрично уравнение. За да направите това, първо прехвърляме израза от дясната страна наляво, в резултат на което стигаме до уравнението 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. И, второ, трансформираме израза, образуван от лявата страна, в полином със стандартна форма, като попълним необходимото: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. По този начин решаването на първоначалното целочислено уравнение се свежда до решаване на квадратното уравнение x 2 −5·x−6=0.

Изчисляваме неговия дискриминант D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, то е положително, което означава, че уравнението има два реални корена, които намираме с помощта на формулата за корените на квадратно уравнение:

За да сме напълно сигурни, нека го направим проверка на намерените корени на уравнението. Първо проверяваме корена 6, заместваме го вместо променливата x в оригиналното цяло число: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, което е същото, 63=63. Това е валидно числено уравнение, следователно x=6 наистина е коренът на уравнението. Сега проверяваме корена −1, имаме 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, откъдето 0=0 . Когато x=−1, първоначалното уравнение също се превръща в правилно числово равенство, следователно x=−1 също е корен на уравнението.

Отговор:

6 , −1 .

Тук също трябва да се отбележи, че терминът „степен на цялото уравнение“ се свързва с представянето на цялото уравнение под формата на алгебрично уравнение. Нека дадем съответното определение:

Определение.

Силата на цялото уравнениесе нарича степен на еквивалентно алгебрично уравнение.

Според тази дефиниция цялото уравнение от предишния пример има втора степен.

Това можеше да е краят на решаването на цели рационални уравнения, ако не беше едно... Както е известно, решаването на алгебрични уравнения със степен над втората е свързано със значителни трудности, а за уравнения със степен над четвъртата изобщо няма общи коренни формули. Следователно, за да се решат цели уравнения от трета, четвърта и по-високи степени, често е необходимо да се прибягва до други методи за решаване.

В такива случаи подход за решаване на цели рационални уравнения, базиран на метод на факторизация. В този случай се спазва следният алгоритъм:

първо, те гарантират, че има нула от дясната страна на уравнението; правят това, те прехвърлят израза от дясната страна на цялото уравнение вляво;
след това полученият израз от лявата страна е представен като продукт на няколко фактора, което ни позволява да преминем към набор от няколко по-прости уравнения.

Даденият алгоритъм за решаване на цяло уравнение чрез факторизиране изисква подробно обяснение с помощта на пример.

Пример.

Решете цялото уравнение (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Решение.

Първо, както обикновено, прехвърляме израза от дясната страна в лявата страна на уравнението, като не забравяме да променим знака, получаваме (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Тук е съвсем очевидно, че не е препоръчително да трансформирате лявата страна на полученото уравнение в полином от стандартната форма, тъй като това ще даде алгебрично уравнение от четвърта степен на формата x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, чието решение е трудно.

От друга страна, очевидно е, че от лявата страна на полученото уравнение можем да x 2 −10 x+13 , като по този начин го представяме като продукт. Ние имаме (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Полученото уравнение е еквивалентно на първоначалното цяло уравнение и то от своя страна може да бъде заменено с набор от две квадратни уравнения x 2 −10·x+13=0 и x 2 −2·x−1=0. Намирането на техните корени с помощта на известни коренни формули чрез дискриминант не е трудно; корените са равни. Те са желаните корени на първоначалното уравнение.

Отговор:

Също така полезен за решаване на цели рационални уравнения метод за въвеждане на нова променлива. В някои случаи ви позволява да преминете към уравнения, чиято степен е по-ниска от степента на първоначалното цяло уравнение.

Пример.

Намерете реалните корени на рационално уравнение (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Решение.

Свеждането на цялото това рационално уравнение до алгебрично уравнение е, меко казано, не много добра идея, тъй като в този случай ще стигнем до необходимостта да решим уравнение от четвърта степен, което няма рационални корени. Следователно ще трябва да потърсите друго решение.

Тук е лесно да се види, че можете да въведете нова променлива y и да замените израза x 2 +3·x с нея. Тази замяна ни води до цялото уравнение (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , което след преместване на израза −2·(y−4) в лявата страна и последваща трансформация на израза образувано там, се свежда до квадратно уравнение y 2 +4·y+3=0. Корените на това уравнение y=−1 и y=−3 са лесни за намиране, например те могат да бъдат избрани въз основа на теоремата, обратна на теоремата на Vieta.

Сега преминаваме към втората част от метода за въвеждане на нова променлива, тоест към извършване на обратна замяна. След извършване на обратното заместване, получаваме две уравнения x 2 +3 x=−1 и x 2 +3 x=−3, които могат да бъдат пренаписани като x 2 +3 x+1=0 и x 2 +3 x+3 =0. Използвайки формулата за корените на квадратно уравнение, намираме корените на първото уравнение. А второто квадратно уравнение няма реални корени, тъй като неговият дискриминант е отрицателен (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Отговор:

Като цяло, когато имаме работа с цели уравнения с високи степени, винаги трябва да сме готови да търсим нестандартен метод или изкуствена техника за решаването им.

Решаване на дробни рационални уравнения

Първо, ще бъде полезно да разберете как да решавате дробни рационални уравнения от вида , където p(x) и q(x) са цели рационални изрази. И тогава ще покажем как да сведем решението на други частично рационални уравнения до решението на уравнения от посочения тип.

Един подход за решаване на уравнението се основава на следното твърдение: числената дроб u/v, където v е ненулево число (в противен случай ще срещнем , което е недефинирано), е равна на нула тогава и само ако нейният числител е равно на нула, тогава е, ако и само ако u=0 . По силата на това твърдение решаването на уравнението се свежда до изпълнение на две условия p(x)=0 и q(x)≠0.

Това заключение съответства на следното алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение. За да решите дробно рационално уравнение от формата , трябва

решаване на цялото рационално уравнение p(x)=0 ;
и проверете дали условието q(x)≠0 е изпълнено за всеки намерен корен, докато

ако е вярно, тогава този корен е коренът на оригиналното уравнение;
ако не е изпълнено, тогава този корен е страничен, тоест не е коренът на първоначалното уравнение.

Нека да разгледаме пример за използване на обявения алгоритъм при решаване на дробно рационално уравнение.

Пример.

Намерете корените на уравнението.

Решение.

Това е дробно рационално уравнение и има формата , където p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Съгласно алгоритъма за решаване на дробни рационални уравнения от този тип, първо трябва да решим уравнението 3 x−2=0. Това е линейно уравнение, чийто корен е x=2/3.

Остава да проверим за този корен, тоест да проверим дали той отговаря на условието 5 x 2 −2≠0. Заместваме числото 2/3 в израза 5 x 2 −2 вместо x и получаваме . Условието е изпълнено, така че x=2/3 е коренът на първоначалното уравнение.

Отговор:

2/3 .

Можете да подходите към решаването на дробно рационално уравнение от малко по-различна позиция. Това уравнение е еквивалентно на целочисленото уравнение p(x)=0 върху променливата x на оригиналното уравнение. Тоест, можете да се придържате към това алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение :

решаване на уравнението p(x)=0 ;
намиране на ODZ на променлива x;
вземете корени, принадлежащи към областта на приемливите стойности - те са желаните корени на първоначалното дробно рационално уравнение.

Например, нека решим дробно рационално уравнение с помощта на този алгоритъм.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Първо решаваме квадратното уравнение x 2 −2·x−11=0. Неговите корени могат да бъдат изчислени с помощта на формулата за корена за четния втори коефициент, който имаме D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, И .

Второ, намираме ODZ на променливата x за първоначалното уравнение. Състои се от всички числа, за които x 2 +3·x≠0, което е същото като x·(x+3)≠0, откъдето x≠0, x≠−3.

Остава да проверим дали намерените в първата стъпка корени са включени в ODZ. Очевидно да. Следователно първоначалното дробно рационално уравнение има два корена.

Отговор:

Имайте предвид, че този подход е по-изгоден от първия, ако ODZ е лесен за намиране и е особено полезен, ако корените на уравнението p(x) = 0 са ирационални, например, или рационални, но с доста голям числител и /или знаменател, например 127/1101 и −31/59. Това се дължи на факта, че в такива случаи проверката на условието q(x)≠0 ще изисква значителни изчислителни усилия и е по-лесно да се изключат външни корени с помощта на ODZ.

В други случаи при решаването на уравнението, особено когато корените на уравнението p(x) = 0 са цели числа, е по-изгодно да се използва първият от дадените алгоритми. Тоест, препоръчително е незабавно да се намерят корените на цялото уравнение p(x)=0 и след това да се провери дали условието q(x)≠0 е изпълнено за тях, вместо да се намери ODZ и след това да се реши уравнението p(x)=0 на този ODZ. Това се дължи на факта, че в такива случаи обикновено е по-лесно да се провери, отколкото да се намери ДЗ.

Нека разгледаме решението на два примера, за да илюстрираме посочените нюанси.

Пример.

Намерете корените на уравнението.

Решение.

Първо, нека намерим корените на цялото уравнение (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, съставен с помощта на числителя на дробта. Лявата страна на това уравнение е продукт, а дясната страна е нула, следователно, според метода за решаване на уравнения чрез факторизация, това уравнение е еквивалентно на набор от четири уравнения 2 x−1=0 , x−6= 0 , x 2 −5 x+ 14=0 , x+1=0 . Три от тези уравнения са линейни и едно е квадратно; От първото уравнение намираме x=1/2, от второто - x=6, от третото - x=7, x=−2, от четвъртото - x=−1.

С намерените корени е доста лесно да се провери дали знаменателят на дробта от лявата страна на оригиналното уравнение изчезва, но определянето на ODZ, напротив, не е толкова просто, тъй като за това ще трябва да решите алгебрично уравнение от пета степен. Следователно ще се откажем от намирането на ODZ в полза на проверката на корените. За да направим това, ние ги заместваме един по един вместо променливата x в израза x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, получени след заместване, и ги сравнете с нула: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15·6 4 +57·6 3 −13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 −15·7 4 +57·7 3 −13·7 2 +26·7+112=0;
(−2) 5 −15·(−2) 4 +57·(−2) 3 −13·(−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15·(−1) 4 +57·(−1) 3 −13·(−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Така 1/2, 6 и −2 са желаните корени на първоначалното дробно рационално уравнение, а 7 и −1 са външни корени.

Отговор:

1/2 , 6 , −2 .

Пример.

Намерете корените на дробно рационално уравнение.

Решение.

Първо, нека намерим корените на уравнението (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Това уравнение е еквивалентно на набор от две уравнения: квадратно 5·x 2 −7·x−1=0 и линейно x−2=0. Използвайки формулата за корените на квадратно уравнение, намираме два корена, а от второто уравнение имаме x=2.

Проверката дали знаменателят отива на нула при намерените стойности на x е доста неприятна. И определянето на обхвата на допустимите стойности на променливата x в оригиналното уравнение е доста просто. Затова ще действаме чрез ОДЗ.

В нашия случай ODZ на променливата x на първоначалното дробно рационално уравнение се състои от всички числа, с изключение на тези, за които условието x 2 +5·x−14=0 е изпълнено. Корените на това квадратно уравнение са x=−7 и x=2, от което правим заключение за ODZ: то се състои от всички x такива, че .

Остава да проверим дали намерените корени и x=2 принадлежат към диапазона на допустимите стойности. Корените принадлежат, следователно, те са корени на оригиналното уравнение, а x=2 не принадлежи, следователно, това е външен корен.

Отговор:

Също така ще бъде полезно да се спрем отделно на случаите, когато в дробно рационално уравнение от вида има число в числителя, т.е. когато p(x) е представено от някакво число. При което

ако това число е различно от нула, тогава уравнението няма корени, тъй като една дроб е равна на нула тогава и само ако нейният числител е равен на нула;
ако това число е нула, тогава коренът на уравнението е произволно число от ODZ.

Пример.

Решение.

Тъй като числителят на дробта от лявата страна на уравнението съдържа ненулево число, тогава за всяко x стойността на тази дроб не може да бъде равна на нула. Следователно това уравнение няма корени.

Отговор:

без корени.

Пример.

Решете уравнението.

Решение.

Числителят на дробта от лявата страна на това дробно рационално уравнение съдържа нула, така че стойността на тази дроб е нула за всяко x, за което има смисъл. С други думи, решението на това уравнение е всяка стойност на x от ODZ на тази променлива.

Остава да се определи този диапазон от допустими стойности. Той включва всички стойности на x, за които x 4 +5 x 3 ≠0. Решенията на уравнението x 4 +5 x 3 =0 са 0 и −5, тъй като това уравнение е еквивалентно на уравнението x 3 (x+5)=0, а то от своя страна е еквивалентно на комбинацията от две уравнения x 3 =0 и x +5=0, откъдето се виждат тези корени. Следователно желаният диапазон от приемливи стойности е всеки x с изключение на x=0 и x=−5.

По този начин едно дробно рационално уравнение има безкрайно много решения, които са всякакви числа с изключение на нула и минус пет.

Отговор:

И накрая, време е да поговорим за решаването на дробни рационални уравнения с произволна форма. Те могат да бъдат записани като r(x)=s(x), където r(x) и s(x) са рационални изрази и поне един от тях е дробен. Гледайки напред, нека кажем, че тяхното решение се свежда до решаване на уравнения във формата, която вече ни е позната.

Известно е, че прехвърлянето на член от една част на уравнението в друга с противоположен знак води до еквивалентно уравнение, следователно уравнението r(x)=s(x) е еквивалентно на уравнението r(x)−s(x )=0.

Знаем също, че можем да имаме всеки , идентично равен на този израз. По този начин винаги можем да преобразуваме рационалния израз от лявата страна на уравнението r(x)−s(x)=0 в еднакво равна рационална дроб от формата .

Така че преминаваме от първоначалното дробно рационално уравнение r(x)=s(x) към уравнението и неговото решение, както разбрахме по-горе, се свежда до решаването на уравнението p(x)=0.

Но тук е необходимо да се вземе предвид факта, че при замяна на r(x)−s(x)=0 с , а след това с p(x)=0, обхватът на допустимите стойности на променливата x може да се разшири .

Следователно първоначалното уравнение r(x)=s(x) и уравнението p(x)=0, до което стигнахме, може да се окажат неравни и чрез решаване на уравнението p(x)=0 можем да получим корени които ще бъдат външни корени на оригиналното уравнение r(x)=s(x) . Можете да идентифицирате и да не включвате външни корени в отговора, като извършите проверка или като проверите дали принадлежат към ODZ на оригиналното уравнение.

Нека обобщим тази информация в алгоритъм за решаване на дробно рационално уравнение r(x)=s(x). За да решите дробно-рационалното уравнение r(x)=s(x) , трябва

Вземете нула отдясно, като преместите израза от дясната страна с противоположния знак.
Извършвайте операции с дроби и полиноми от лявата страна на уравнението, като по този начин го трансформирате в рационална дроб от формата.
Решете уравнението p(x)=0.
Идентифицирайте и елиминирайте външните корени, което се прави чрез заместването им в оригиналното уравнение или чрез проверка на принадлежността им към ODZ на оригиналното уравнение.

За по-голяма яснота ще покажем цялата верига от решаване на дробни рационални уравнения:
.

Нека да разгледаме решенията на няколко примера с подробно обяснение на процеса на решаване, за да изясним дадения блок информация.

Пример.

Решаване на дробно рационално уравнение.

Решение.

Ще действаме в съответствие с току-що получения алгоритъм за решение. И първо преместваме членовете от дясната страна на уравнението вляво, като резултат преминаваме към уравнението.

Във втората стъпка трябва да преобразуваме дробния рационален израз от лявата страна на полученото уравнение във формата на дроб. За да направим това, свеждаме рационалните дроби до общ знаменател и опростяваме получения израз: . Така стигаме до уравнението.

В следващата стъпка трябва да решим уравнението −2·x−1=0. Намираме x=−1/2.

Остава да проверим дали намереното число −1/2 не е страничен корен на първоначалното уравнение. За да направите това, можете да проверите или намерите VA на променливата x на оригиналното уравнение. Нека демонстрираме и двата подхода.

Да започнем с проверката. Заместваме числото −1/2 в оригиналното уравнение вместо променливата x и получаваме същото нещо, −1=−1. Заместването дава правилното числово равенство, така че x=−1/2 е коренът на първоначалното уравнение.

Сега ще покажем как се изпълнява последната точка от алгоритъма чрез ODZ. Диапазонът на допустимите стойности на първоначалното уравнение е множеството от всички числа с изключение на −1 и 0 (при x=−1 и x=0 знаменателите на дробите се равняват на нула). Коренът x=−1/2, намерен в предишната стъпка, принадлежи на ODZ, следователно x=−1/2 е коренът на оригиналното уравнение.

Отговор:

−1/2 .

Нека да разгледаме друг пример.

Пример.

Намерете корените на уравнението.

Решение.

Трябва да решим дробно рационално уравнение, нека преминем през всички стъпки на алгоритъма.

Първо преместваме члена от дясната страна наляво, получаваме .

Второ, трансформираме израза, образуван от лявата страна: . В резултат на това стигаме до уравнението x=0.

Коренът му е очевиден - той е нула.

На четвъртата стъпка остава да разберем дали намереният корен е чужд на първоначалното дробно рационално уравнение. Когато се замести в първоначалното уравнение, се получава изразът. Очевидно няма смисъл, защото съдържа деление на нула. Откъдето заключаваме, че 0 е външен корен. Следователно първоначалното уравнение няма корени.

7, което води до ур. От това можем да заключим, че изразът в знаменателя на лявата страна трябва да бъде равен на този на дясната страна, т.е. Сега изваждаме от двете страни на тройката: . По аналогия откъде и по-нататък.

Проверката показва, че и двата открити корена са корени на първоначалното дробно рационално уравнение.

Отговор:

Библиография.

Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
Алгебра: 9 клас: учебен. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.

„Решаване на дробни рационални уравнения“

Цели на урока:

Образователни:

формиране на понятието дробни рационални уравнения; разглеждат различни начини за решаване на дробни рационални уравнения; разгледайте алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, включително условието, че дробта е равна на нула; преподават решаване на дробни рационални уравнения с помощта на алгоритъм; проверка на нивото на усвояване на темата чрез провеждане на тест.

Развитие:

развиване на способността за правилно опериране с придобитите знания и логическо мислене; развитие на интелектуални умения и мисловни операции - анализ, синтез, сравнение и обобщение; развитие на инициативност, способност за вземане на решения и не спиране дотук; развитие на критичното мислене; развитие на изследователски умения.

Образование:

насърчаване на познавателния интерес към предмета; възпитаване на самостоятелност при решаване на образователни проблеми; възпитаване на воля и постоянство за постигане на крайни резултати.

Тип урок: урок - обяснение на нов материал.

По време на часовете

1. Организационен момент.

Здравейте момчета! На дъската има написани уравнения, разгледайте ги внимателно. Можете ли да разрешите всички тези уравнения? Кои не са и защо?

Уравнения, в които лявата и дясната страна са дробни рационални изрази, се наричат дробни рационални уравнения. Какво мислите, че ще учим в клас днес? Формулирайте темата на урока. И така, отворете тетрадките си и запишете темата на урока „Решаване на дробни рационални уравнения“.

2. Актуализиране на знанията. Фронтално проучване, устна работа с класа.

И сега ще повторим основния теоретичен материал, който ще ни е необходим за изучаване на нова тема. Моля, отговорете на следните въпроси:

1. Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.)

2. Как се казва уравнение №1? ( Линеен.) Метод за решаване на линейни уравнения. ( Преместете всичко с неизвестното в лявата страна на уравнението, всички числа вдясно. Дайте подобни условия. Намерете неизвестен фактор).

3. Как се казва уравнение №3? ( Квадрат.) Методи за решаване на квадратни уравнения. ( Изолиране на пълен квадрат с помощта на формули, използващи теоремата на Vieta и нейните следствия.)

4. Какво е пропорция? ( Равенство на две съотношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е правилна, тогава произведението на нейните крайни членове е равно на произведението на средните членове.)

5. Какви свойства се използват при решаване на уравнения? ( 1. Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака му, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, получавате уравнение, еквивалентно на даденото.)

6. Кога една дроб е нула? ( Една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула..)

3. Обяснение на нов материал.

Решете уравнение No2 в тетрадките и на дъската.

Отговор: 10.

Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като използвате основното свойство на пропорцията? (№ 5).

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x2-4x-2x+8 = x2+3x+2x+6

x2-6x-x2-5x = 6-8

Решете уравнение No4 в тетрадките и на дъската.

Отговор: 1,5.

Кое дробно рационално уравнение можете да опитате да решите, като умножите двете страни на уравнението по знаменателя? (№ 6).

D=1›0, x1=3, x2=4.

Отговор: 3;4.

Сега опитайте да решите уравнение номер 7, като използвате един от следните методи.


(x2-2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x2-2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0
x(x-5)(x2-2x-5-(x+5))=0			x2-2x-5-x-5=0
x(x-5)(x2-3x-10)=0
x=0 x-5=0 x2-3x-10=0
x1=0 x2=5 D=49

Отговор: 0;5;-2.			Отговор: 5;-2.

Обяснете защо се случи това? Защо в единия случай има три корена, а в другия два? Кои числа са корените на това дробно рационално уравнение?

Досега учениците не са се сблъсквали с концепцията за външен корен; наистина им е много трудно да разберат защо това се е случило. Ако никой в класа не може да даде ясно обяснение на тази ситуация, тогава учителят задава насочващи въпроси.

В уравнения № 2 и 4 има числа в знаменателя, № 5-7 са изрази с променлива

Стойността на променливата, при която уравнението става вярно

Направете проверка

При тестване някои ученици забелязват, че трябва да делят на нула. Те заключават, че числата 0 и 5 не са корените на това уравнение. Възниква въпросът: има ли начин за решаване на дробни рационални уравнения, който ни позволява да елиминираме тази грешка? Да, този метод се основава на условието дробта да е равна на нула.

x2-3x-10=0, D=49, x1=5, x2=-2.

Ако x=5, тогава x(x-5)=0, което означава, че 5 е външен корен.

Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0.

Отговор: -2.

Нека се опитаме да формулираме алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения по този начин. Децата сами формулират алгоритъма.

Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:

1. Преместете всичко отляво.

2. Приведете дробите към общ знаменател.

3. Създайте система: една дроб е равна на нула, когато числителят е равен на нула, а знаменателят не е равен на нула.

4. Решете уравнението.

5. Проверете неравенството, за да изключите външните корени.

6. Запишете отговора.

Дискусия: как да формализираме решението, ако използваме основното свойство на пропорцията и умножаваме двете страни на уравнението по общ знаменател. (Добавете към решението: изключете от неговите корени онези, които правят общия знаменател изчезващ).

4. Първоначално разбиране на нов материал.

Работете по двойки. Учениците сами избират как да решат уравнението в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника “Алгебра 8”, 2007: No 000 (б, в, и); № 000(a, d, g). Учителят следи изпълнението на задачата, отговаря на всички възникнали въпроси и оказва помощ на учениците с по-ниски резултати. Самопроверка: отговорите се записват на дъската.

б) 2 – чужд корен. Отговор: 3.

в) 2 – чужд корен. Отговор: 1.5.

а) Отговор: -12,5.

ж) Отговор: 1;1,5.

5. Поставяне на домашна работа.

2. Научете алгоритъма за решаване на дробни рационални уравнения.

3. Решете в тетрадки No 000 (а, г, д); № 000(g, h).

4. Опитайте се да решите номер 000(a) (по избор).

6. Изпълнение на контролна задача по изучаваната тема.

Работата се извършва върху листове хартия.

Примерна задача:

А) Кои от уравненията са дробно рационални?

Б) Дробта е равна на нула, когато числителят е ______________________, а знаменателят е _______________________.

В) Числото -3 корен ли е на уравнение номер 6?

Г) Решете уравнение №7.

Критерии за оценка на заданието:

„5“ се дава, ако ученикът е изпълнил повече от 90% от задачата правилно. “4” - 75%-89% “3” - 50%-74% “2” се дава на ученик, който е изпълнил по-малко от 50% от задачата. Оценка 2 не се дава в дневника, 3 не е задължителна.

7. Рефлексия.

На листовете за самостоятелна работа напишете:

1 – ако урокът ви е бил интересен и разбираем; 2 – интересно, но неясно; 3 – неинтересно, но разбираемо; 4 – неинтересно, неясно.

8. Обобщаване на урока.

И така, днес в урока се запознахме с дробни рационални уравнения, научихме се да решаваме тези уравнения по различни начини и проверихме знанията си с помощта на самостоятелна учебна работа. Резултатите от самостоятелната си работа ще научите в следващия урок, а у дома ще имате възможност да затвърдите знанията си.

Кой метод за решаване на дробни рационални уравнения според вас е по-лесен, по-достъпен и по-рационален? Независимо от метода за решаване на дробни рационални уравнения, какво трябва да запомните? Каква е „хитростта“ на дробните рационални уравнения?

Благодаря на всички, урокът приключи.

Цели на урока:

Образователни:

формиране на понятието дробни рационални уравнения;
разглеждат различни начини за решаване на дробни рационални уравнения;
разгледайте алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения, включително условието, че дробта е равна на нула;
преподават решаване на дробни рационални уравнения с помощта на алгоритъм;
проверка на нивото на усвояване на темата чрез провеждане на тест.

Развитие:

развиване на способността за правилно опериране с придобитите знания и логическо мислене;
развитие на интелектуални умения и мисловни операции - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
развитие на инициативност, способност за вземане на решения и не спиране дотук;
развитие на критичното мислене;
развитие на изследователски умения.

Образование:

насърчаване на познавателния интерес към предмета;
възпитаване на самостоятелност при решаване на образователни проблеми;
възпитаване на воля и постоянство за постигане на крайни резултати.

Тип урок: урок - обяснение на нов материал.

По време на часовете

1. Организационен момент.

2. Актуализиране на знанията. Фронтално проучване, устна работа с класа.

Какво е уравнение? ( Равенство с променлива или променливи.)
Какво е името на уравнение номер 1? ( Линеен.) Метод за решаване на линейни уравнения. ( Преместете всичко с неизвестното в лявата страна на уравнението, всички числа вдясно. Дайте подобни условия. Намерете неизвестен фактор).
Какво е името на уравнение номер 3? ( Квадрат.) Методи за решаване на квадратни уравнения. ( Изолиране на пълен квадрат с помощта на формули, използващи теоремата на Vieta и нейните следствия.)
Какво е пропорция? ( Равенство на две съотношения.) Основното свойство на пропорцията. ( Ако пропорцията е правилна, тогава произведението на нейните крайни членове е равно на произведението на средните членове.)
Какви свойства се използват при решаване на уравнения? ( 1. Ако преместите член в уравнение от една част в друга, като промените знака му, ще получите уравнение, еквивалентно на даденото. 2. Ако двете страни на уравнението се умножат или разделят на едно и също ненулево число, получавате уравнение, еквивалентно на даденото.)
Кога една дроб е равна на нула? ( Една дроб е равна на нула, когато числителят е нула, а знаменателят не е нула..)

3. Обяснение на нов материал.

Решете уравнение No2 в тетрадките и на дъската.

Отговор: 10.

(x-2)(x-4) = (x+2)(x+3)

x 2 -4x-2x+8 = x 2 +3x+2x+6

x 2 -6x-x 2 -5x = 6-8

Решете уравнение No4 в тетрадките и на дъската.

Отговор: 1,5.

x 2 -7x+12 = 0

D=1›0, x 1 =3, x 2 =4.

Отговор: 3;4.

Сега опитайте да решите уравнение номер 7, като използвате един от следните методи.


(x 2 -2x-5)x(x-5)=x(x-5)(x+5)
(x 2 -2x-5)x(x-5)-x(x-5)(x+5)=0			x 2 -2x-5=x+5
x(x-5)(x 2 -2x-5-(x+5))=0			x 2 -2x-5-x-5=0
x(x-5)(x 2 -3x-10)=0
x=0 x-5=0 x 2 -3x-10=0
x 1 =0 x 2 =5 D=49
x 3 =5 x 4 =-2			x 3 =5 x 4 =-2
Отговор: 0;5;-2.			Отговор: 5;-2.

По какво уравнения № 2 и 4 се различават от уравнения № 5,6,7? ( В уравнения № 2 и 4 има числа в знаменателя, № 5-7 са изрази с променлива.)
Какъв е коренът на едно уравнение? ( Стойността на променливата, при която уравнението става вярно.)
Как да разберете дали дадено число е корен на уравнение? ( Направете проверка.)

x 2 -3x-10=0, D=49, x 1 =5, x 2 =-2.

Ако x=5, тогава x(x-5)=0, което означава, че 5 е външен корен.

Ако x=-2, тогава x(x-5)≠0.

Отговор: -2.

Алгоритъм за решаване на дробни рационални уравнения:

Преместете всичко от лявата страна.
Намалете дробите до общ знаменател.
Създайте система: една дроб е равна на нула, когато числителят е равен на нула, а знаменателят не е равен на нула.
Решете уравнението.
Проверете неравенството, за да изключите външни корени.
Запишете отговора.

4. Първоначално разбиране на нов материал.

Работете по двойки. Учениците сами избират как да решат уравнението в зависимост от вида на уравнението. Задачи от учебника “Алгебра 8”, Ю.Н. Макаричев, 2007: No 600(b,c,i); № 601(a,e,g). Учителят следи изпълнението на задачата, отговаря на всички възникнали въпроси и оказва помощ на учениците с по-ниски резултати. Самопроверка: отговорите се записват на дъската.

б) 2 – чужд корен. Отговор: 3.

в) 2 – чужд корен. Отговор: 1.5.

а) Отговор: -12,5.