Сборът от ъглите на триъгълник - на какво е равен? Теорема за сумата от ъглите на триъгълник От последните две свойства следва, че всеки ъгъл в равностранен

Теорема. Сборът от вътрешните ъгли на триъгълник е равен на два прави ъгъла.

Да вземем някакъв триъгълник ABC (фиг. 208). Нека означим вътрешните му ъгли с числата 1, 2 и 3. Нека го докажем

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Нека начертаем през някой връх на триъгълника, например B, права MN, успоредна на AC.

Във връх B получихме три ъгъла: ∠4, ∠2 и ∠5. Сборът им е прав ъгъл, следователно е равен на 180°:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Но ∠4 = ∠1 са вътрешни напречни ъгли с успоредни прави MN и AC и секуща AB.

∠5 = ∠3 - това са вътрешни напречни ъгли с успоредни прави MN и AC и секуща BC.

Това означава, че ∠4 и ∠5 могат да бъдат заменени с равните им ∠1 и ∠3.

Следователно ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Теоремата е доказана.

2. Свойство на външния ъгъл на триъгълник.

Всъщност в триъгълник ABC (фиг. 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, но и ∠ВСD, външният ъгъл на този триъгълник, несвързан с ∠1 и ∠2, също е равен на 180° - ∠3 .

По този начин:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Следователно ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Произведеното свойство на външния ъгъл на триъгълник изяснява съдържанието на доказаната по-рано теорема за външния ъгъл на триъгълник, която твърди само, че външният ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки вътрешен ъгъл на триъгълник, който не е съседен на него; сега е установено, че външният ъгъл е равен на сумата от двата вътрешни ъгъла, които не са съседни на него.

3. Свойство на правоъгълен триъгълник с ъгъл 30°.

Нека ъгъл B в правоъгълния триъгълник ACB е равен на 30° (фиг. 210). Тогава другият му остър ъгъл ще бъде равен на 60°.

Нека докажем, че катет AC е равен на половината от хипотенузата AB. Нека продължим катета AC отвъд върха на правия ъгъл C и отделим отсечка CM, равна на отсечката AC. Нека свържем точка M с точка B. Полученият триъгълник ВСМ е равен на триъгълник ACB. Виждаме, че всеки ъгъл на триъгълник ABM е равен на 60°, следователно този триъгълник е равностранен триъгълник.

Кракът AC е равен на половината AM и тъй като AM е равен на AB, катетът AC ще бъде равен на половината от хипотенузата AB.

Продължение от вчера:

Да си поиграем с мозайка, базирана на геометрична приказка:

Имало едно време триъгълници. Толкова си приличат, че са просто копия един на друг.
Някак си застанаха един до друг в права линия. И тъй като всички бяха еднакви на ръст -
тогава върховете им бяха на едно ниво, под владетеля:

Триъгълниците обичаха да се търкалят и да стоят на главите си. Качиха се на най-горния ред и застанаха на ъгъла като акробати.
И ние вече знаем - когато застанат с върховете си точно в една линия,
тогава и подметките им вървят по линийка - защото щом някой е еднакъв ръст, значи и наопаки е еднакъв!

Те бяха еднакви във всичко - еднаква височина и еднакви подметки,
а пързалките отстрани - едната по-стръмна, другата по-плоска - са еднакви по дължина
и имат еднакъв наклон. Е, просто близнаци! (само в различни дрехи, всеки със своето парче от пъзела).

- Къде триъгълниците имат еднакви страни? Къде ъглите са еднакви?

Триъгълниците се изправиха на главите си, постояха и решиха да се плъзнат и да легнат на долния ред.
Те се плъзгаха и плъзгаха надолу по един хълм; но слайдовете им са същите!
Така че те пасват точно между долните триъгълници, без празнини и никой не е бутнал никого настрани.

Огледахме триъгълниците и забелязахме интересна особеност.
Където и да се съберат ъглите им, и трите ъгъла със сигурност ще се срещнат:
най-големият е „ъгълът на главата“, най-острият ъгъл и третият, среден по големина ъгъл.
Дори вързаха цветни панделки, за да се вижда веднага кое кое е.

И се оказа, че трите ъгъла на триъгълника, ако ги комбинирате -
образуват един голям ъгъл, „отворен ъгъл“ - като корицата на отворена книга,

______________________О ___________________

нарича се обърнат ъгъл.

Всеки триъгълник е като паспорт: три ъгъла заедно са равни на разгънатия ъгъл.
Някой чука на вратата ви: - чук-чук, аз съм триъгълник, остави ме да пренощувам!
И ти му кажи - Покажи ми сумата от ъглите в разгънат вид!
И веднага става ясно дали това е истински триъгълник или измамник.
Не издържа теста - Обърнете се на сто и осемдесет градуса и се приберете!

Когато казват "завърти се на 180°", това означава да се обърнеш назад и
отидете в обратната посока.

Същото нещо в по-познатите изрази, без „имало едно време“:

Нека извършим успоредно преместване на триъгълник ABC по оста OX
към вектор ABравна на дължината на основата AB.
Права DF, минаваща през върхове C и C 1 на триъгълници
успоредна на оста OX, поради факта, че перпендикулярна на оста OX
отсечки h и h 1 (височини на равни триъгълници) са равни.
Така основата на триъгълника A 2 B 2 C 2 е успоредна на основата AB
и равен на него по дължина (тъй като върхът C 1 е изместен спрямо C с количеството AB).
Триъгълниците A 2 B 2 C 2 и ABC са равни по три страни.
Следователно ъглите ∠A 1 ∠B ∠C 2, образуващи прав ъгъл, са равни на ъглите на триъгълника ABC.
=> Сборът от ъглите на триъгълник е 180°

С движения - "излъчвания" така нареченото доказателство е по-кратко и по-ясно,
дори едно дете може да разбере парчетата от мозайката.

Но традиционното училище:

въз основа на равенството на вътрешните напречни ъгли, отрязани на успоредни прави

ценен, защото дава представа защо това е така,
Защосборът от ъглите на триъгълник е равен на обратния ъгъл?

Защото в противен случай успоредните прави не биха имали свойствата, познати на нашия свят.

Теоремите работят и в двете посоки. От аксиомата за успоредните прави следва
равенство на напречно лежащи и вертикални ъгли, а от тях - сумата от ъглите на триъгълник.

Но обратното също е вярно: докато ъглите на триъгълника са 180°, има успоредни прави
(така че през точка, която не лежи на права, може да се начертае единствена права || на дадената).
Ако един ден в света се появи триъгълник, чиято сума от ъгли не е равна на разгънатия ъгъл -
тогава паралелните ще престанат да бъдат паралелни, целият свят ще бъде изкривен и изкривен.

Ако ивици с триъгълни шарки са разположени една над друга -
можете да покриете цялото поле с повтарящ се модел, като под с плочки:

можете да очертаете различни фигури върху такава мрежа - шестоъгълници, ромби,
звездни полигони и вземете разнообразие от паркети

Облицовката на самолет с паркет е не само забавна игра, но и подходяща математическа задача:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

Тъй като всеки четириъгълник е правоъгълник, квадрат, ромб и т.н.
може да се състои от два триъгълника,
съответно сумата от ъглите на четириъгълник: 180° + 180° = 360°

Еднаквите равнобедрени триъгълници се сгъват на квадрати по различни начини.
Малък квадрат от 2 части. Средно 4. И най-големият от 8-те.
Колко фигури има на чертежа, състоящи се от 6 триъгълника?

Раздели: Математика

Презентация . (Слайд 1)

Тип урок:урок за изучаване на нов материал.

Цели на урока:

• Образователни:
  • разгледайте теоремата за сумата от ъглите на триъгълник,
  • покажете приложението на теоремата при решаване на задачи.
• Образователни:
  • възпитаване на положително отношение на учениците към знанието,
  • Да се ​​развие самочувствието на учениците чрез уроци.
• Развитие:
  • развитие на аналитично мислене,
  • развитие на „умения за учене“: използване на знания, умения и способности в образователния процес,
  • развитие на логическото мислене, способността за ясно формулиране на мислите.

Оборудване:интерактивна дъска, презентация, карти.

ПО ВРЕМЕ НА ЗАНЯТИЯТА

I. Организационен момент

– Днес в клас ще си припомним определенията за правоъгълен, равнобедрен и равностранен триъгълник. Нека повторим свойствата на ъглите на триъгълниците. Използвайки свойствата на вътрешните едностранни и вътрешните кръстосани ъгли, ще докажем теоремата за сбора от ъглите на триъгълник и ще се научим да я прилагаме при решаване на задачи.

II. Устно(Слайд 2)

1) Намерете правоъгълни, равнобедрени, равностранни триъгълници по картинките.
2) Дефинирайте тези триъгълници.
3) Формулирайте свойствата на ъглите на равностранен и равнобедрен триъгълник.

4) На снимката KE II NH. (слайд 3)

– Посочете секущи за тези редове
– Намерете вътрешни едностранни ъгли, вътрешни ъгли, разположени на кръст, назовете свойствата им

III. Обяснение на нов материал

Теорема.Сборът от ъглите на триъгълник е 180°

Според формулировката на теоремата, момчетата изграждат чертеж, записват условието и заключението. Отговаряйки на въпроси, те самостоятелно доказват теоремата.

дадени: Докажи:

Доказателство:

1. През върха B на триъгълника прекарваме права BD II AC.
2. Посочете секущи за успоредни прави.
3. Какво може да се каже за ъглите CBD и ACB? (направете бележка)
4. Какво знаем за ъглите CAB и ABD? (направете бележка)
5. Заменете ъгъл CBD с ъгъл ACB
6. Направете заключение.

IV. Довършете изречението.(Слайд 4)

1. Сборът от ъглите на триъгълник е...
2. В триъгълника един от ъглите е равен, другият, третият ъгъл на триъгълника е равен на...
3. Сборът от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е...
4. Ъглите на равнобедрен правоъгълен триъгълник са равни...
5. Ъглите на равностранен триъгълник са равни...
6. Ако ъгълът между страничните страни на равнобедрен триъгълник е 1000, то ъглите при основата са равни...

V. Малко история.(Слайдове 5-7)

Триъгълникът е многоъгълник, който има три страни (три ъгъла). Най-често страните се обозначават с малки букви, съответстващи на главните букви, които представляват противоположните върхове. В тази статия ще се запознаем с видовете тези геометрични фигури, теоремата, която определя на какво е равен сборът от ъглите на триъгълника.

Видове по големина на ъгъла

Разграничават се следните видове многоъгълници с три върха:

• остър ъгъл, в който всички ъгли са остри;
• правоъгълен, с един прав ъгъл, неговите генератори се наричат ​​крака, а страната, която е разположена срещу правия ъгъл, се нарича хипотенуза;
• тъп, когато един;
• равнобедрен, в който две страни са равни и се наричат ​​странични, а третата е основата на триъгълника;
• равностранен, имащ и трите равни страни.

Имоти

Има основни свойства, които са характерни за всеки тип триъгълник:

• Срещу по-голямата страна винаги има по-голям ъгъл и обратното;
• срещу равни страни има равни ъгли и обратно;
• всеки триъгълник има два остри ъгъла;
• външен ъгъл е по-голям от всеки вътрешен ъгъл, който не е съседен на него;
• сумата от всеки два ъгъла винаги е по-малка от 180 градуса;
• външният ъгъл е равен на сбора от другите два ъгъла, които не се пресичат с него.

Теорема за сумата на триъгълния ъгъл

Теоремата гласи, че ако съберете всички ъгли на дадена геометрична фигура, която се намира в евклидовата равнина, тогава тяхната сума ще бъде 180 градуса. Нека се опитаме да докажем тази теорема.

Нека имаме произволен триъгълник с върхове KMN.

През върха M прекарваме CN (тази права се нарича още Евклидова права). Маркираме точка A върху него, така че точките K и A да са разположени от различни страни на правата MH. Получаваме равни ъгли AMN и KNM, които като вътрешните лежат на кръст и се образуват от секущата MN заедно с правите KH и MA, които са успоредни. От това следва, че сумата от ъглите на триъгълника, разположени във върховете M и H, е равна на размера на ъгъла KMA. И трите ъгъла образуват сбор, който е равен на сбора от ъглите KMA и MKN. Тъй като тези ъгли са вътрешни едностранни спрямо успоредните прави KN и MA със секуща KM, сборът им е 180 градуса. Теоремата е доказана.

Последица

От доказаната по-горе теорема следва следното: всеки триъгълник има два остри ъгъла. За да докажем това, нека приемем, че тази геометрична фигура има само един остър ъгъл. Може също да се приеме, че нито един от ъглите не е остър. В този случай трябва да има поне два ъгъла, чиято големина е равна или по-голяма от 90 градуса. Но тогава сумата от ъглите ще бъде по-голяма от 180 градуса. Но това не може да се случи, тъй като според теоремата сборът от ъглите на триъгълника е равен на 180° - нито повече, нито по-малко. Това трябваше да се докаже.

Свойство на външните ъгли

Каква е сумата от външните ъгли на триъгълник? Отговорът на този въпрос може да бъде получен чрез един от двата метода. Първият е, че е необходимо да се намери сумата от ъглите, които са взети по един във всеки връх, тоест три ъгъла. Второто предполага, че трябва да намерите сумата от всичките шест ъгъла на върха. Първо, нека да разгледаме първия вариант. И така, триъгълникът съдържа шест външни ъгъла - по два във всеки връх.

Всяка двойка има равни ъгли, защото са вертикални:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Освен това е известно, че външният ъгъл на триъгълника е равен на сумата от два вътрешни, които не се пресичат с него. следователно

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

От това се оказва, че сумата от външните ъгли, които се вземат по един във всеки връх, ще бъде равна на:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

Като вземем предвид факта, че сборът от ъглите е равен на 180 градуса, можем да кажем, че ∟A + ∟B + ∟C = 180°. Това означава, че ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. Ако се използва вторият вариант, тогава сборът от шестте ъгъла ще бъде съответно два пъти по-голям. Тоест сумата от външните ъгли на триъгълника ще бъде:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

Правоъгълен триъгълник

Каква е сумата от острите ъгли на правоъгълен триъгълник? Отговорът на този въпрос отново следва от теоремата, която гласи, че сборът на ъглите в триъгълника е 180 градуса. И нашето твърдение (свойство) звучи така: в правоъгълен триъгълник острите ъгли се събират до 90 градуса. Нека докажем истинността му.

Нека ни е даден триъгълник KMN, в който ∟Н = 90°. Необходимо е да се докаже, че ∟К + ∟М = 90°.

И така, според теоремата за сумата от ъгли ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. Нашето условие гласи, че ∟Н = 90°. Оказва се, че ∟К + ∟М + 90° = 180°. Тоест ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. Точно това трябваше да докажем.

В допълнение към горните свойства на правоъгълен триъгълник можете да добавите следното:

• ъглите, които лежат срещу краката, са остри;
• хипотенузата е триъгълник, по-голям от който и да е от краката;
• сборът на краката е по-голям от хипотенузата;
• Кракът на триъгълника, който лежи срещу ъгъла от 30 градуса, е половината от размера на хипотенузата, тоест равен на половината от нея.

Като друго свойство на тази геометрична фигура можем да подчертаем теоремата на Питагор. Тя заявява, че в триъгълник с ъгъл 90 градуса (правоъгълен) сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата.

Сбор от ъгли на равнобедрен триъгълник

По-рано казахме, че се нарича равнобедрен многоъгълник с три върха и съдържащ две равни страни. Това свойство на тази геометрична фигура е известно: ъглите в основата й са равни. Нека го докажем.

Нека вземем триъгълника KMN, който е равнобедрен, KN е неговата основа.

От нас се изисква да докажем, че ∟К = ∟Н. И така, нека кажем, че MA е ъглополовяща на нашия триъгълник KMN. Триъгълникът MKA, като се вземе предвид първият знак за равенство, е равен на триъгълника MNA. А именно, по условие е дадено, че KM = NM, MA е общата страна, ∟1 = ∟2, тъй като MA е ъглополовяща. Използвайки факта, че тези два триъгълника са равни, можем да твърдим, че ∟К = ∟Н. Това означава, че теоремата е доказана.

Но ни интересува каква е сумата от ъглите на триъгълник (равнобедрен). Тъй като в това отношение той няма свои собствени характеристики, ще надграждаме теоремата, разгледана по-рано. Тоест можем да кажем, че ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, или 2 x ∟К + ∟М = 180° (тъй като ∟К = ∟Н). Няма да доказваме това свойство, тъй като самата теорема за сумата от ъглите на триъгълник беше доказана по-рано.

В допълнение към свойствата, обсъдени за ъглите на триъгълник, се прилагат и следните важни твърдения:

• при което е бил спуснат върху основата, е едновременно медианата, ъглополовящата на ъгъла, който е между равни страни, както и неговата основа;
• медианите (ъглополовящи, височини), които са изтеглени към страничните страни на такава геометрична фигура, са равни.

Равностранен триъгълник

Нарича се още правилен, това е триъгълникът, в който всички страни са равни. И следователно ъглите също са равни. Всеки от тях е 60 градуса. Нека докажем това свойство.

Да кажем, че имаме триъгълник KMN. Знаем, че KM = NM = KN. Това означава, че според свойството на ъглите, разположени при основата в равнобедрен триъгълник, ∟К = ∟М = ∟Н. Тъй като според теоремата сборът от ъглите на триъгълника е ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, то 3 x ∟К = 180° или ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ Н = 60°. Така твърдението е доказано.

Както може да се види от горното доказателство, базирано на теоремата, сборът от ъглите, както сборът от ъглите на всеки друг триъгълник, е 180 градуса. Няма нужда да доказваме отново тази теорема.

Има и такива свойства, характерни за равностранен триъгълник:

• медианата, ъглополовящата, височината в такава геометрична фигура съвпадат и дължината им се изчислява като (a x √3): 2;
• ако опишем кръг около даден многоъгълник, тогава неговият радиус ще бъде равен на (a x √3): 3;
• ако впишете кръг в равностранен триъгълник, тогава неговият радиус ще бъде (a x √3): 6;
• Площта на тази геометрична фигура се изчислява по формулата: (a2 x √3) : 4.

Тъп триъгълник

По дефиниция един от неговите ъгли е между 90 и 180 градуса. Но като се има предвид, че другите два ъгъла на тази геометрична фигура са остри, можем да заключим, че те не надвишават 90 градуса. Следователно теоремата за сбора на триъгълния ъгъл работи при изчисляване на сбора от ъгли в тъп триъгълник. Оказва се, че можем спокойно да кажем, въз основа на гореспоменатата теорема, че сборът от ъглите на тъп триъгълник е равен на 180 градуса. Отново, тази теорема не е необходимо да се доказва отново.

ИЗСЛЕДВАНИЯ

ПО ТЕМАТА ЗА:

„Сборът от ъглите на триъгълник винаги ли е равен на 180˚?“

Завършено:

ученик от 7 б клас

MBOU Inzenskaya Средно училище № 2

Инза, Уляновска област

Малишев Ян

Научен ръководител:

Болшакова Людмила Юриевна

СЪДЪРЖАНИЕ

Въведение………………………………………………………………..3 стр.

Основна част……………………………………………………4

търсене на информация

експерименти

заключение

Заключение……………………………………………………………..12

ВЪВЕДЕНИЕ

Тази година започнах да уча нов предмет - геометрия. Тази наука изучава свойствата на геометричните фигури. В един от уроците изучавахме теоремата за сбора от ъглите на триъгълник. И с помощта на доказателството заключиха: сборът от ъглите на триъгълник е 180˚.

Чудех се дали има триъгълници, в които сборът от ъглите няма да е равен на 180˚?

Тогава се настроихМИШЕНА :

Разберете кога сумата от ъглите на триъгълник не е равна на 180˚?

Инсталирах следнотоЗАДАЧИ :

Запознайте се с историята на геометрията;

Запознайте се с геометрията на Евклид, Роман, Лобачевски;

Докажете експериментално, че сумата от ъглите на триъгълник може да не е равна на 180˚.

ГЛАВНА ЧАСТ

Геометрията възниква и се развива във връзка с нуждите на практическата дейност на човека. При изграждането дори на най-примитивните структури е необходимо да можете да изчислите колко материал ще бъде изразходван за строителството, да изчислите разстоянията между точките в пространството и ъглите между равнините. Развитието на търговията и навигацията изискваше умение за ориентиране във времето и пространството.

Учените от Древна Гърция направиха много за развитието на геометрията. Първите доказателства за геометрични факти са свързани с иметоТалес от Милет.

Една от най-известните школи е Питагорейската школа, наречена на своя основател, автор на доказателства за много теореми,Питагор.

Геометрията, която се изучава в училище, се нарича Евклидова, кръстена наЕвклид - древногръцки учен.

Евклид е живял в Александрия. Той написа известната книга "Принципи". Последователността и строгостта са превърнали тази работа в източник на геометрични знания в много страни по света в продължение на повече от две хилядолетия. Доскоро почти всички училищни учебници бяха в много отношения подобни на Елементите.

Но през 19 век беше показано, че аксиомите на Евклид не са универсални и не са верни при всички обстоятелства. Основните открития на геометрична система, в която аксиомите на Евклид не са верни, са направени от Георг Риман и Николай Лобачевски. За тях се говори като за създатели на неевклидовата геометрия.

И така, въз основа на ученията на Евклид, Риман и Лобачевски, нека се опитаме да отговорим на въпроса: винаги ли сборът от ъглите на триъгълника е равен на 180˚?

ЕКСПЕРИМЕНТИ

Разгледайте триъгълника от гледна точка на геометриятаЕвклид.

За да направите това, нека вземем триъгълник.

Нека боядисаме ъглите му с червени, зелени и сини цветове.

Нека начертаем права линия. Това е развит ъгъл, той е равен на 180˚.

Нека отрежем ъглите на нашия триъгълник и да ги прикрепим към разгънатия ъгъл. Виждаме, че сборът от трите ъгъла е 180˚.

Един от етапите в развитието на геометрията е елиптичната геометрияРиман. Специален случай на тази елиптична геометрия е геометрията върху сфера. В геометрията на Риман сумата от ъглите на триъгълник е по-голяма от 180˚.

Така че това е сфера.

Вътре в тази сфера е образуван триъгълник от меридианите и екватора. Нека вземем този триъгълник и боядисаме ъглите му.

Нека ги отрежем и да ги прикрепим към права линия. Виждаме, че сборът от трите ъгъла е по-голям от 180˚.

В геометриятаЛобачевски Сборът от ъглите на триъгълник е по-малък от 180˚.

Тази геометрия се разглежда върху повърхността на хиперболичен параболоид (това е вдлъбната повърхност, наподобяваща седло).

Примери за параболоиди могат да бъдат намерени в архитектурата.

И дори чиповете на Pringle са пример за параболоид.

Нека проверим сумата от ъгли върху модела на хиперболичен параболоид.

На повърхността се образува триъгълник.

Нека вземем този триъгълник, рисуваме ъглите му, отрязваме ги и ги прилагаме върху права линия. Сега виждаме, че сумата от трите ъгъла е по-малка от 180˚.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Така доказахме, че сборът от ъглите на триъгълник не винаги е равен на 180˚.

Може да е повече или по-малко.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключение на моята работа бих искал да кажа, че беше интересно да работя по тази тема. Научих много нови неща за себе си и в бъдеще ще се радвам да изучавам тази интересна геометрия.

ИЗТОЧНИЦИ НА ИНФОРМАЦИЯ

en.wikipedia.org

e-osnova.ru

vestishki.ru

yun.moluch.ru