Kako izračunati površino kroga po formuli. Območje kroga: formula. Kolikšna je ploščina kroga, opisanega in včrtanega v kvadratni, pravokotni in enakokraki trikotnik, pravokotnik, enakokraki trapez
Navodila
Uporabite Pi, da poiščete polmer znanega območja kroga. Ta konstanta določa razmerje med premerom kroga in dolžino njegovega roba (kroga). Dolžina kroga je največja površina ravnine, ki jo je mogoče pokriti z njegovo pomočjo, premer pa je enak dvema polmeroma, zato sta tudi ploščina in polmer med seboj povezana z razmerjem, ki ga lahko izrazimo z število Pi. Ta konstanta (π) je definirana kot ploščina (S) in kvadrat polmera (r) kroga. Iz tega sledi, da lahko polmer izrazimo kot kvadratni koren kvocienta ploščine, deljenega s Pi: r=√(S/π).
Erastoten je dolgo časa vodil Aleksandrijsko knjižnico, najslavnejšo knjižnico starega sveta. Poleg izračuna velikosti našega planeta je prišel do številnih pomembnih izumov in odkritij. Izumil je preprosto metodo za določanje praštevil, ki se zdaj imenuje "Erastofenovo sito".
Narisal je »zemljevid sveta«, na katerem je prikazal vse dele sveta, ki so jih takrat poznali stari Grki. Zemljevid je veljal za enega najboljših za svoj čas. Razvil je sistem zemljepisne dolžine in širine ter koledar, ki je vključeval prestopna leta. Izumil je armilarno kroglo, mehansko napravo, ki so jo zgodnji astronomi uporabljali za prikazovanje in napovedovanje navideznega gibanja zvezd na nebu. Sestavil je tudi zvezdni katalog, ki je vključeval 675 zvezd.
Viri:
- Grški znanstvenik Eratosten iz Cirene je prvi na svetu izračunal polmer Zemlje
- Eratosten "Izračun zemeljskega obsega".
- Eratosten
Kako najti območje kroga? Najprej poiščite polmer. Naučite se reševati preproste in zapletene probleme.
Krog je zaprta krivulja. Vsaka točka na krožnici bo enako oddaljena od središča. Krog je ploska figura, zato je reševanje problemov, ki vključujejo iskanje ploščine, preprosto. V tem članku si bomo ogledali, kako najti območje kroga, vpisanega v trikotnik, trapez, kvadrat in obkroženega okoli teh številk.
Če želite najti območje dane figure, morate vedeti, kaj so polmer, premer in število π.
Polmer R je razdalja, omejena s središčem kroga. Dolžine vseh R-polmerov enega kroga bodo enake.
Premer D je črta med katerima koli točkama na krogu, ki poteka skozi središčno točko. Dolžina tega segmenta je enaka dolžini polmera R, pomnoženega z 2.
Število π je konstantna vrednost, ki je enaka 3,1415926. V matematiki je to število običajno zaokroženo na 3,14.
Formula za iskanje površine kroga z uporabo polmera:
Primeri reševanja problemov pri iskanju S-območja kroga z uporabo R-polmera:
Naloga: Poiščite ploščino kroga, če je njegov polmer 7 cm.
rešitev: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².
odgovor: Površina kroga je 153,86 cm².
Formula za iskanje S-območja kroga skozi D-premer:
Primeri reševanja nalog za iskanje S, če je D znan:
————————————————————————————————————————-
Naloga: Poiščite S kroga, če je njegov D 10 cm.
rešitev: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².
odgovor: Ploščina ravnega krožnega lika je 78,5 cm².
Iskanje S kroga, če je obseg znan:
Najprej ugotovimo, čemu je enak polmer. Obseg kroga se izračuna po formuli: L=2πR, polmer R bo enak L/2π. Zdaj poiščemo območje kroga s formulo skozi R.
Oglejmo si rešitev na primeru problema:
———————————————————————————————————————-
Naloga: Poiščite površino kroga, če je obseg L znan - 12 cm.
rešitev: Najprej poiščemo polmer: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.
Sedaj najdemo površino skozi polmer: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².
odgovor: Površina kroga je 11,46 cm².
Iskanje površine kroga, vpisanega v kvadrat, je enostavno. Stranica kvadrata je premer kroga. Če želite najti polmer, morate stranico deliti z 2.
Formula za iskanje površine kroga, vpisanega v kvadrat:
Primeri reševanja problemov iskanja območja kroga, vpisanega v kvadrat:
———————————————————————————————————————
Naloga #1: Znana je stranica kvadratnega lika, ki je 6 centimetrov. Poiščite S-območje včrtanega kroga.
rešitev: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².
odgovor: Ploščina ravnega krožnega lika je 28,26 cm².
————————————————————————————————————————
Naloga št. 2: Poiščite S kroga, vpisanega v kvadrat, in njegov polmer, če je ena stranica a=4 cm.
Odločite se takole: Najprej najdemo R=a/2=4/2=2 cm.
Zdaj pa poiščimo površino kroga S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².
odgovor: Ploščina ravnega krožnega lika je 12,56 cm².
Nekoliko težje je najti območje krožne figure, opisane okoli kvadrata. Toda če poznate formulo, lahko hitro izračunate to vrednost.
Formula za iskanje kroga S okrog kvadrata:
Primeri reševanja problemov za iskanje površine kroga, ki je obkrožen s kvadratom:
Naloga
Krožnica, ki je vpisana v trikotnik, je krožnica, ki se dotika vseh treh strani trikotnika. Krog lahko vstavite v katero koli trikotno figuro, vendar le v eno. Središče kroga bo presečišče simetral kotov trikotnika.
Formula za iskanje površine kroga, vpisanega v enakokraki trikotnik:
Ko je polmer znan, lahko površino izračunate po formuli: S=πR².
Formula za iskanje površine kroga, vpisanega v pravokotni trikotnik:
Primeri reševanja problemov:
Naloga št. 1
Če morate v tej nalogi najti tudi površino kroga s polmerom 4 cm, potem lahko to storite s formulo: S=πR²
Naloga št. 2
rešitev:
Zdaj, ko je polmer znan, lahko z uporabo polmera poiščemo površino kroga. Glej formulo zgoraj v besedilu.
Naloga št. 3
Območje kroga, opisanega okoli pravilnega in enakokrakega trikotnika: formula, primeri reševanja problemov
Vse formule za iskanje območja kroga se zmanjšajo na dejstvo, da morate najprej najti njegov polmer. Ko je radij znan, je iskanje območja preprosto, kot je opisano zgoraj.
Ploščino kroga, ki je obkrožen s pravim in enakokrakim trikotnikom, se izračuna po naslednji formuli:
Primeri reševanja problemov:
Tukaj je še en primer reševanja problema z uporabo Heronove formule.
Reševanje takšnih problemov je težko, vendar jih je mogoče obvladati, če poznate vse formule. Takšne naloge učenci rešujejo v 9. razredu.
Območje kroga, vpisanega v pravokotni in enakokraki trapez: formula, primeri reševanja problemov
Enakokraki trapez ima dve enaki stranici. Pravokotni trapez ima en kot enak 90º. Poglejmo, kako na primeru reševanja problemov najdemo območje kroga, vpisanega v pravokotni in enakokraki trapez.
Enakokrakemu trapezu je na primer vpisan krog, ki na stični točki deli eno stranico na segmenta m in n.
Za rešitev te težave morate uporabiti naslednje formule:
Iskanje površine kroga, vpisanega v pravokotni trapez, se izvede z naslednjo formulo:
Če je bočna stranica znana, lahko polmer najdete s to vrednostjo. Višina stranice trapeza je enaka premeru kroga, polmer pa polovica premera. V skladu s tem je polmer R=d/2.
Primeri reševanja problemov:
Trapez lahko vpišemo v krog, če je vsota njegovih nasprotnih kotov 180°. Zato lahko vpišete samo enakokraki trapez. Polmer za izračun površine kroga, ki je obkrožen s pravokotnim ali enakokrakim trapezom, se izračuna po naslednjih formulah:
Primeri reševanja problemov:
rešitev: Velika baza v v tem primeru poteka skozi središče, saj je v krog vpisan enakokraki trapez. Središče deli to osnovo točno na polovico. Če je osnova AB 12, potem lahko polmer R najdete na naslednji način: R=12/2=6.
odgovor: Polmer je 6.
Pri geometriji je pomembno poznati formule. Nemogoče pa si je zapomniti vse, zato je tudi pri mnogih izpitih dovoljeno uporabiti poseben obrazec. Vendar pa je pomembno, da znamo najti pravo formulo za rešitev določenega problema. Vadite reševanje različnih problemov, da bi našli polmer in površino kroga, tako da lahko pravilno nadomestite formule in dobite natančne odgovore.
Video: Matematika | Izračun površin kroga in njegovih delov
Krogi zahtevajo bolj previden pristop in so veliko manj pogosti pri nalogah B5. Hkrati je splošna shema rešitev še preprostejša kot v primeru poligonov (glej lekcijo "Površine poligonov na koordinatni mreži").
Vse, kar je potrebno pri takih nalogah, je najti polmer kroga R. Nato lahko izračunate površino kroga s formulo S = πR 2. Iz te formule sledi tudi, da je za njeno rešitev dovolj najti R 2.
Za iskanje navedenih vrednosti je dovolj, da označite točko na krogu, ki leži na presečišču mrežnih črt. In nato uporabite Pitagorov izrek. Oglejmo si konkretne primere izračuna polmera:
Naloga. Poiščite polmere treh krogov, prikazanih na sliki:
Izvedimo dodatne konstrukcije v vsakem krogu:
V vsakem primeru je točka B izbrana na krogu, ki leži na presečišču mrežnih črt. Točka C v krogih 1 in 3 dopolni lik do pravokotnega trikotnika. Še vedno je treba najti polmere:
Razmislite o trikotniku ABC v prvem krogu. Po Pitagorovem izreku: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Za drugi krog je vse očitno: R = AB = 2.
Tretji primer je podoben prvemu. Iz trikotnika ABC z uporabo Pitagorovega izreka: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.
Zdaj vemo, kako najti polmer kroga (ali vsaj njegovega kvadrata). Zato lahko najdemo območje. Obstajajo težave, kjer morate najti območje sektorja in ne celotnega kroga. V takih primerih je enostavno ugotoviti, kateri del kroga je ta sektor, in tako najti območje.
Naloga. Poiščite območje S osenčenega sektorja. V odgovoru navedite S/π.
Očitno je sektor ena četrtina kroga. Zato je S = 0,25 S krog.
Še vedno je treba najti S kroga - območje kroga. Da bi to naredili, izvedemo dodatno konstrukcijo:
Trikotnik ABC je pravokoten trikotnik. Po Pitagorovem izreku velja: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.
Zdaj najdemo območje kroga in sektorja: S krog = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S krog = 2π.
Končno je želena vrednost S /π = 2.
Območje sektorja z neznanim polmerom
Gre za povsem novo vrsto naloge, česa takega v letih 2010–2011 ni bilo. Glede na pogoj nam je dana krožnica določene ploščine (namreč ploščine, ne polmera!). Nato je znotraj tega kroga izbran sektor, katerega območje je treba najti.
Dobra novica je, da so takšne težave najlažje od vseh področnih težav, ki se pojavljajo na Enotnem državnem izpitu iz matematike. Poleg tega sta krog in sektor vedno postavljena na koordinatno mrežo. Če želite izvedeti, kako rešiti takšne težave, si oglejte sliko:
Naj ima prvotni krog površino S = 80. Nato ga lahko razdelimo na dva sektorja s površino S = 40 vsak (glejte 2. korak). Podobno lahko vsako od teh "polovičnih" sektorjev ponovno razdelimo na polovico - dobimo štiri sektorje s površino S = 20 vsak (glej 3. korak). Končno lahko vsakega od teh sektorjev razdelimo še na dva - dobimo 8 sektorjev "ostankov". Območje vsakega od teh "ostankov" bo S = 10.
Upoštevajte: v nobenem matematičnem problemu USE ni natančnejše delitve! Tako je algoritem za rešitev problema B-3 naslednji:
- Prvotni krog razrežite na 8 sektorjev "ostankov". Površina vsakega od njih je natančno 1/8 površine celotnega kroga. Na primer, če ima krog v skladu s pogojem površino S kroga = 240, potem imajo "ostanki" površino S = 240: 8 = 30;
- Ugotovite, koliko "ostankov" se prilega prvotnemu sektorju, katerega območje je treba najti. Na primer, če naš sektor vsebuje 3 "ostanke" s površino 30, potem je površina zahtevanega sektorja S = 3 · 30 = 90. To bo odgovor.
To je vse! Problem se rešuje praktično ustno. Če vam še kaj ni jasno, kupite pico in jo razrežite na 8 kosov. Vsak tak kos bo isti sektor - "ostanki", ki jih je mogoče združiti v večje kose.
Zdaj pa si poglejmo primere iz poskusnega enotnega državnega izpita:
Naloga. Na karirastem papirju je narisan krog s površino 40. Poiščite ploščino zasenčene figure.
Torej, območje kroga je 40. Razdelite ga na 8 sektorjev - vsak s površino S = 40: 5 = 8. Dobimo:
Očitno je osenčen sektor sestavljen iz natanko dveh sektorjev »ostankov«. Zato je njegova ploščina 2 · 5 = 10. To je celotna rešitev!
Naloga. Na karirastem papirju je narisan krog s površino 64. Poiščite ploščino zasenčene figure.
Spet razdelite celoten krog na 8 enakih sektorjev. Očitno je območje enega od njih točno tisto, kar je treba najti. Zato je njegova površina S = 64: 8 = 8.
Naloga. Na karirastem papirju je narisan krog s površino 48. Poiščite ploščino zasenčene figure.
Ponovno razdelite krog na 8 enakih sektorjev. Površina vsakega od njih je enaka S = 48: 8 = 6. Zahtevani sektor vsebuje natanko tri "ostanke" sektorje (glej sliko). Zato je površina zahtevanega sektorja 3 6 = 18.
Krog je vidna zbirka številnih točk, ki se nahajajo na enaki razdalji od središča. Da bi našli njegovo ploščino, morate vedeti, kaj so polmer, premer, število π in obseg.
Količine, vključene v izračun površine kroga
Razdalja, omejena s središčem kroga in katero koli točko kroga, se imenuje polmer tega geometrijskega lika. Dolžine vseh polmerov enega kroga so enake. Odsek med katerima koli dvema točkama kroga, ki poteka skozi središče, se imenuje premer. Dolžina premera je enaka dolžini polmera, pomnoženi z 2.
Za izračun površine kroga se uporablja vrednost števila π. Ta vrednost je enaka razmerju med obsegom in dolžino premera kroga in ima konstantno vrednost. Π = 3,1415926. Obseg se izračuna po formuli L=2πR.
Poiščite površino kroga z uporabo polmera
Zato je površina kroga enaka produktu števila π in polmera kroga, dvignjenega na 2. potenco. Kot primer vzemimo dolžino polmera kroga 5 cm, potem bo površina kroga S enaka 3,14*5^2=78,5 kvadratnih metrov. cm.
Območje kroga skozi premer
Območje kroga je mogoče izračunati tudi s poznavanjem premera kroga. V tem primeru je S = (π/4)*d^2, kjer je d premer kroga. Vzemimo isti primer, kjer je polmer 5 cm, potem bo njegov premer 5 * 2 = 10 cm, površina kroga je S = 3,14 / 4 * 10 ^ 2 = 78,5 kvadratnih cm. Rezultat, ki je enak vsoti izračunov v prvem primeru, potrjuje pravilnost izračunov v obeh primerih.
Območje kroga skozi obseg
Če je polmer kroga predstavljen skozi obseg, bo formula imela naslednjo obliko: R=(L/2)π. Nadomestimo ta izraz v formulo za površino kroga in kot rezultat dobimo S=(L^2)/4π. Razmislimo o primeru, v katerem je obseg 10 cm, potem je površina kroga S = (10^2)/4*3,14=7,96 kvadratnih metrov. cm.
Ploščina kroga skozi dolžino stranice včrtanega kvadrata
Če je v krog vpisan kvadrat, potem je dolžina premera kroga enaka dolžini diagonale kvadrata. Če poznate velikost stranice kvadrata, lahko enostavno ugotovite premer kroga po formuli: d^2=2a^2. Z drugimi besedami, premer na 2. potenco je enak stranici kvadrata na 2. potenco, pomnoženi z 2.
Ko izračunate dolžino premera kroga, lahko ugotovite njegov polmer in nato uporabite eno od formul za določitev površine kroga.
Območje sektorja kroga
Sektor je del kroga, omejen z 2 polmeroma in lokom med njima. Če želite izvedeti njegovo območje, morate izmeriti kot sektorja. Po tem morate ustvariti ulomek, katerega števec bo vrednost kota sektorja, imenovalec pa 360. Za izračun površine sektorja mora biti vrednost, dobljena z deljenjem ulomka pomnožite s površino kroga, izračunano z eno od zgornjih formul.
je ploščata figura, ki predstavlja množico točk, enako oddaljenih od središča. Vsi so na enaki razdalji in tvorijo krog.
Odsek, ki povezuje središče kroga s točkami na njegovem obodu, se imenuje polmer. V vsakem krogu so vsi radiji med seboj enaki. Ravna črta, ki povezuje dve točki na krogu in poteka skozi središče, se imenuje premer. Formula za površino kroga se izračuna z uporabo matematične konstante - števila π..
To je zanimivo : Število π. predstavlja razmerje med obsegom kroga in dolžino njegovega premera in je konstantna vrednost. Vrednost π = 3,1415926 je bila uporabljena po delu L. Eulerja leta 1737.
Ploščino kroga je mogoče izračunati s konstanto π. in polmer kroga. Formula za površino kroga glede na polmer izgleda takole:
Oglejmo si primer izračuna površine kroga z uporabo polmera. Naj nam bo dan krog s polmerom R = 4 cm, poiščite površino figure.
Površina našega kroga bo 50,24 kvadratnih metrov. cm.
Obstaja formula območje kroga skozi premer. Široko se uporablja tudi za izračun potrebnih parametrov. Te formule lahko uporabite za iskanje.
Oglejmo si primer izračuna površine kroga skozi njegov premer, pri čemer poznamo njegov polmer. Naj nam bo dan krog s polmerom R = 4 cm, najprej poiščemo premer, ki je, kot vemo, dvakrat večji od polmera.
Zdaj podatke uporabimo za primer izračuna površine kroga z uporabo zgornje formule:
Kot lahko vidite, je rezultat enak odgovor kot pri prvih izračunih.
Poznavanje standardnih formul za izračun površine kroga vam bo v prihodnosti pomagalo enostavno določiti področje sektorja in enostavno najti manjkajoče količine.
Že vemo, da se formula za površino kroga izračuna tako, da se konstantna vrednost π pomnoži s kvadratom polmera kroga. Polmer lahko izrazimo z obsegom in nadomestimo izraz v formuli za površino kroga z obsegom:
Zdaj pa nadomestimo to enakost s formulo za izračun površine kroga in dobimo formulo za iskanje površine kroga z uporabo obsega
Oglejmo si primer izračuna površine kroga z uporabo obsega. Naj bo dan krog z dolžino l = 8 cm, vrednost nadomestimo v izpeljano formulo: 
Skupna površina kroga bo 5 kvadratnih metrov. cm.
Območje kroga, opisanega okoli kvadrata
Zelo enostavno je najti območje kroga, ki je opisan okoli kvadrata.
Če želite to narediti, potrebujete samo stran kvadrata in poznavanje preprostih formul. Diagonala kvadrata bo enaka diagonali kroga, ki ga opisuje. Če poznamo stran a, jo lahko najdemo s pomočjo Pitagorovega izreka: od tukaj.
Ko najdemo diagonalo, lahko izračunamo polmer: .
In potem bomo vse nadomestili v osnovno formulo za površino kroga, ki je obkrožen okoli kvadrata:
