Формулы описывающие движение тела брошенного вертикально вверх. Свободное падение тел. Движение тела, брошенного вертикально вверх

Само по себе тело вверх, как известно, не движется. Его нужно «бросить», т. е. сообщить ему некоторую начальную скорость направленную по вертикали вверх.

Брошенное вверх тело движется, как показывает опыт, с таким же ускорением, как и свободно падающее тело. Это ускорение равно и направлено вертикально вниз. Движение тела, брошенного вверх, - это тоже прямолинейное равноускоренное движение, и формулы, которые были написаны для свободного падения тела, годны и для описания движения тела, брошенного вверх. Но при написании формул надо учесть, что вектор ускорения направлен против вектора начальной скорости: скорость тела по абсолютному значению не увеличивается, а уменьшается. Поэтому, если ось координат направить вверх, проекция начальной скорости будет положительна, а проекция ускорения - отрицательна, и формулы примут вид:

Так как тело, брошенное вверх, движется с уменьшающейся скоростью, то наступит такой момент, когда скорость станет равной нулю. В этот момент тело будет находиться на максимальной высоте. Подставив в формулу (1) значение получим:

Отсюда можно найти время, которое требуется для того, чтобы тело поднялось до максимальной высоты:

Максимальную высоту определяем из формулы (2).

Подставив в формулу получим

После того как тело достигнет высоты оно начнет падать вниз; проекция его скорости станет отрицательной, а по абсолютной величине будет возрастать (см. формулу 1), высота же будет уменьшаться со временем согласно формуле (2) при

Пользуясь формулами (1) и (2), легко убедиться в том, что скорость тела в момент его падения на землю или вообще туда, откуда оно было брошено (при h = 0), равна по абсолютной величине начальной скорости а время падения тела равно времени его подъема.

Падение тела можно рассматривать и отдельно как свободное падение тела с высоты Тогда мы можем воспользоваться формулами, приведенными в предыдущем параграфе.

Задача. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 25 м/сек. Какова скорость тела через 4 сек? Какое перемещение совершит тело и какова длина пути, пройденного телом за это время? Решение. Скорость тела вычисляется по формуле

К исходу четвертой секунды

Знак означает, что скорость направлена против координатной оси, направленной вверх, т. е. в конце четвертой секунды тело уже двигалось вниз, пройдя через высшую точку своего подъема.

Величину перемещения тела найдем по формуле

Это перемещение отсчитывается от того места, откуда тело было брошено. Но в этот момент тело уже двигалось вниз. Поэтому длина пройденного телом пути равна максимальной высоте подъема плюс расстояние, на которое оно успело опуститься вниз:

Значение вычислим по формуле

Подставив значения получаем: сек

Упражнение 13

1. Стрела выпущена из лука вертикально вверх со скоростью 30 м/сек. На какую высоту она поднимется?

2. Тело, брошенное с земли вертикально вверх, упало через 8 сек. Найдите, на какую высоту оно поднялось и какова была его начальная скорость?

3. Из пружинного пистолета, находящегося на высоте 2 м над землей, вылетает вертикально вверх шарик со скоростью 5 м/сек. Определите, на какую максимальную высоту он поднимется и какую скорость шарик будет иметь в момент падения на землю. Сколько времени шарик находился в полете? Каково его перемещение за первые 0,2 сек полета?

4. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 40 м/сек. На какой высоте оно окажется через 3 и 5 сек и какие при этом у него будут скорости? Принять

5 Два тела брошены вертикально вверх с различными начальными скоростями. Одно из них достигло вчетверо большей высоты, чем другое. Во сколько раз его начальная скорость была больше начальной скорости другого тела?

6. Брошенное вверх тело пролетает мимо окна со скоростью 12 м/сек. С какой скоростью оно будет пролетать мимо того же окна вниз?

Пусть тело начинает свободно падать из состояния покоя. В этом случае к его движению применимы формулы равноускоренного движения без начальной скорости с ускорением. Обозначим начальную высоту тела над землей через, время его свободного падения с этой высоты до земли - через и скорость, достигнутую телом в момент падения на землю, - через . Согласно формулам § 22 эти величины будут связаны соотношениями

(54.1)

(54.2)

В зависимости от характера задачи удобно пользоваться тем или другим из этих соотношений.

Рассмотрим теперь движение тела, которому сообщена некоторая начальная скорость , направленная вертикально вверх. В этой задаче удобно считать положительным направление кверху. Так как ускорение свободного падения направлено вниз, то движение будет равнозамедленным с отрицательным ускорением и с положительной начальной скоростью. Скорость этого движения в момент временивыразится формулой

а высота подъема в этот момент над исходной точкой - формулой

(54.5)

Когда скорость тела уменьшится до нуля, тело достигнет высшей точки подъема; это произойдет в момент, для которого

После этого момента скорость станет отрицательной и тело начнет падать вниз. Значит, время подъема тела

Подставляя в формулу (54.5) время подъема, найдем высоту подъема тела:

(54.8)

Дальнейшее движение тела можно рассматривать как падение без начальной скорости (случай, рассмотренный в начале этого параграфа) с высоты. Подставляя эту высоту в формулу (54.3), найдем, что скорость, которой тело достигнет в момент падения на землю, т. е. вернувшись в точку, откуда оно было брошено вверх, будет равна начальной скорости тела (но, конечно, будет направлена противоположно - вниз). Наконец, из формулы (54.2) заключим, что время падения тела с высшей точки равно времени поднятия тела в эту точку.

5 4.1. Тело свободно падает без начальной скорости с высоты 20 м. На какой высоте оно достигнет скорости, равной половине скорости в момент падения на землю?

54.2. Покажите, что тело, брошенное вертикально вверх, проходит каждую точку своей траектории с одной и тон же по модулю скоростью на пути вверх и на пути вниз.

54.3. Найдите скорость при ударе о землю камня, брошенного с башни высоты : а) без начальной скорости; б) с начальной скоростью , направленной вертикально вверх; в) с начальной скоростью , направленной вертикально вниз.

54.4. Камень, брошенный вертикально вверх, пролетел мимо окна через 1 с после броска на пути вверх и через 3 с после броска на пути вниз. Найдите высоту окна над землей и начальную скорость камня.

54.5. При вертикальной стрельбе по воздушным целям снаряд, выпущенный из зенитного орудия, достиг только половины расстояния до цели. Снаряд, выпущенный из другого орудия, достиг цели. Во сколько раз начальная скорость снаряда второго орудия больше, чем скорость первого?

54.6. Какова максимальная высота, на которую поднимется камень, брошенный вертикально вверх, если через 1,5 с его скорость уменьшилась вдвое?

Как нам уже известно, сила тяжести действует на все тела , которые находятся на поверхности Земли и вблизи неё. При этом не важно, находятся ли они в состоянии покоя или совершают движение.

Если некоторое тело будет свободно падать на Землю, то при этом оно будет совершать равноускоренное движение , причем скорость будет возрастать постоянно, так как вектор скорости и вектор ускорения свободного падения будут сонаправлены между собой.

Суть движения вертикально вверх

Если же подбросить некоторое тело вертикально вверх, и при этом считать что сопротивление воздуха отсутствует, то можно считать что оно тоже совершает равноускоренное движение, с ускорением свободного падения, которое вызвано силой тяжести. Только в этом случае, скорость, которую мы придали телу при броске, будет направлена вверх, а ускорение свободного падения направлено вниз, то есть они будут противоположно направлены друг к другу. Поэтому скорость будет постепенно уменьшаться.

Через некоторое время наступит момент, когда скорость станет равняться нулю. В этот момент тело достигнет своей максимальной высоты и на какой-то момент остановится. Очевидно, что, чем большую начальную скорость мы придадим телу, тем на большую высоту оно поднимется к моменту остановки.

Далее, тело начнет равноускоренно падать вниз, под действием силы тяжести.

Как решать задачи

Когда вы столкнетесь с задачами на движение тела вверх, при котором не учитывается сопротивление воздуха и другие силы, а считается, что на тело действует только сила тяжести, то так как движение равноускоренное, то можно применять те же самые формулы, что и при прямолинейном равноускоренном движении с некоторой начальной скорость V0.

Так как в данном случае ускорение ax есть ускорение свободного падения тела, то аx заменяют на gx.

Vx=V0x+gx*t,
Sx=V(0x)*t+(gx*t^2)/2.

Необходимо также учитывать, что при движении вверх вектор ускорения свободного падения направлен вниз, а вектор скорости вверх, то есть они разнонаправлены, а следовательно, их проекции будут иметь разные знаки.

Например, если Ось Ох направить вверх, то проекция вектора скорости при движении вверх, будет положительна, а проекция ускорения свободного падения отрицательна. Это надо учитывать, подставляя значения в формулы, иначе получится совершенно неверный результат.

Движение тела, брошенного вертикально вверх

I уровень. Прочитайте текст

Если некоторое тело будет свободно падать на Землю, то при этом оно будет совершать равноускоренное движение, причем скорость будет возрастать постоянно, так как вектор скорости и вектор ускорения свободного падения будут сонаправлены между собой.

Если же подбросить некоторое тело вертикально вверх, и при этом считать что сопротивление воздуха отсутствует, то можно считать что оно тоже совершает равноускоренное движение, с ускорением свободного падения, которое вызвано силой тяжести. Только в этом случае, скорость, которую мы придали телу при броске, будет направлена вверх, а ускорение свободного падения направлено вниз, то есть они будут противоположно направлены друг к другу. Поэтому скорость будет постепенно уменьшаться.

Все формулы для равноускоренного движения применимы для движения тела, брошенного вверх. V0 всегда > 0

Движение тела, брошенного вертикально вверх является прямолинейным движением с постоянным ускорением. Если направить координатную ось OY вертикально вверх, совместив начало координат с поверхностью Земли, то для анализа свободного падения без начальной скорости можно использовать формулу https://pandia.ru/text/78/086/images/image002_13.gif" width="151" height="57 src=">

Вблизи поверхности Земли, при условии отсутствия заметного влияния атмосферы скорость тела, брошенного вертикально вверх, изменяется во времени по линейному закону: https://pandia.ru/text/78/086/images/image004_7.gif" width="55" height="28">.

Скорость тела на некоторой высоте h, можно найти по формуле:

https://pandia.ru/text/78/086/images/image006_6.gif" width="65" height="58 src=">

Высота подъема тела за некоторое время, зная конечную скорость

https://pandia.ru/text/78/086/images/image008_5.gif" width="676" height="302 src=">

II I уровень. Решите задачи. Для 9 б. 9а решает из задачника!

1. Мяч бросили вертикально вверх со скоростью 18 м/с. Какое перемещение совершит он за 3 с?

2. Стрела, выпущенная из лука вертикально вверх со скоростью 25 м/с, поражает цель через 2 с. Какую скорость имела стрела к моменту достижения цели?

3. Из пружинного пистолета выстрелили вертикально вверх шариком, который поднялся на высоту 4,9 м. С какой скоростью вылетел шарик из пистолета?

4. Мальчик бросил вертикально вверх мячик и поймал его через 2 с. На какую высоту поднялся мячик и какова его начальная скорость?

5. С какой начальной скоростью нужно бросить тело вертикально вверх, чтобы через 10 с оно двигалось со скоростью 20 м/с вниз?

6. «Шалтай-Болтай сидел на стене (высотой 20 м),

Шалтай-Болтай свалился во сне.

Нужна ли вся королевская конница, вся королевская рать,

чтобы Шалтая, чтобы Болтая, Шалтая-Болтая,

Болтая-Шалтая собрать»

(если он разбивается только при скорости 23 м/с?)

Так нужна ли вся королевская конница?

7. Теперь гром сабель, шпор, султан,
И камер-юнкерский кафтан
Узорчатый - красавицам прельщенье,
Не то ли ж было искушенье,
Когда из гвардии, иные от двора
Сюда на время приезжали!
Кричали женщины: ура!
И в воздух чепчики бросали.

«Горе от ума» .

Девица Екатерина кидала свой чепчик вверх со скоростью 10 м/с. При этом она стояла на балконе 2 этажа (на высоте 5 метров). Сколько времени чепчик будет находиться в полете, если упадет он под ноги храброму гусару Никите Петровичу (естественно стоящему под балконом на улице).

Вы знаете, что при падении любого тела на Землю его скорость увеличивается. Долгое время считали, что Земля сообщает разным телам различные ускорения. Простые наблюдения как будто подтверждают это.

Но только Галилею удалось опытным путем доказать, что в действительности это не так. Нужно учитывать сопротивление воздуха. Именно оно искажает картину свободного падения тел, которую можно было бы наблюдать в отсутствие земной атмосферы. Для проверки своего предположения Галилей, по преданию, наблюдал падение со знаменитой наклонной Пизанской башни различных тел (пушечное ядро, мушкетная пуля и т. д.). Все эти тела достигали поверхности Земли практически одновременно.

Особенно прост и убедителен опыт с так называемой трубкой Ньютона. В стеклянную трубку помещают различные предметы: дробинки, кусочки пробки, пушинки и т. д. Если теперь перевернуть трубку так, чтобы эти предметы могли падать, то быстрее всего промелькнет дробинка, за ней кусочки пробки и, наконец, плавно опустится пушинка (рис. 1, а). Но если выкачать из трубки воздух, то все произойдет совершенно иначе: пушинка будет падать, не отставая от дробинки и пробки (рис. 1, б). Значит, ее движение задерживалось сопротивлением воздуха, которое в меньшей степени сказывалось на движении, например, пробки. Когда же на эти тела действует только притяжение к Земле, то все они падают с одним и тем же ускорением.

Рис. 1

Свободным падением называется движение тела только под влиянием притяжения к Земле (без сопротивления воздуха).

Ускорение, сообщаемое всем телам земным шаром, называют ускорением свободного падения . Его модуль мы будем обозначать буквой g . Свободное падение не обязательно представляет собой движение вниз. Если начальная скорость направлена вверх, то тело при свободном падении некоторое время будет лететь вверх, уменьшая свою скорость, и лишь затем начнет падать вниз.

Движение тела по вертикали

Уравнение проекции скорости на ось 0Y : $\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t,$

уравнение движения вдоль оси 0Y : $y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g_{y} } ,$

где y 0 - начальная координата тела; υ y - проекция конечной скорости на ось 0Y ; υ 0y - проекция начальной скорости на ось 0Y ; t - время, в течение которого изменяется скорость (с); g y - проекция ускорения свободного падения на ось 0Y .

Если ось 0Y направить вверх (рис. 2), то g y = –g , и уравнения примут вид

$\begin{array}{c} {\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} -g\cdot t,} \\ {\, y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t-\dfrac{g\cdot t^{2} }{2} =y_{0} -\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g} .} \end{array}$

Рис. 2 Скрытые данные При движении тела вниз

«тело падает» или «тело упало» - υ 0у = 0.

поверхность Земли , то:

«тело упало на землю» - h = 0.

При движении тела вверх

«тело достигло максимальной высоты» - υ у = 0.

Если за начало отсчета принять поверхность Земли , то:

«тело упало на землю» - h = 0;

«тело бросили с земли» - h 0 = 0.

Время подъема тела до максимальной высоты t под равно времени падения с этой высоты в исходную точку t пад, а общее время полета t = 2t под.

Максимальная высота подъема тела, брошенного вертикально вверх c нулевой высоты (на максимальной высоте υ y = 0)

$h_{\max } =\dfrac{\upsilon _{x}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{-2g} =\dfrac{\upsilon _{0y}^{2} }{2g}.$

Движение тела, брошенного горизонтально

Частным случаем движения тела, брошенного под углом к горизонту, является движение тела, брошенного горизонтально. Траекторией является парабола с вершиной в точке бросания (рис. 3).

Рис. 3

Такое движение можно разложить на два:

1) равномерное движение по горизонтали со скоростью υ 0х (a x = 0)

уравнение проекции скорости : $\upsilon _{x} =\upsilon _{0x} =\upsilon _{0} $;
уравнение движения : $x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t$;

2) равноускоренное движение по вертикали с ускорением g и начальной скоростью υ 0у = 0.

Для описания движения вдоль оси 0Y применяются формулы равноускоренного движения по вертикали:

уравнение проекции скорости : $\upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t$;

уравнение движения : $y=y_{0} +\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} }{2g_{y} } $.

Если ось 0Y направить вверх, то g y = –g , и уравнения примут вид:

$\begin{array}{c} {\upsilon _{y} =-g\cdot t,\, } \\ {y=y_{0} -\dfrac{g\cdot t^{2} }{2} =y_{0} -\dfrac{\upsilon _{y}^{2} }{2g} .} \end{array}$

Дальность полета определяется по формуле: $l=\upsilon _{0} \cdot t_{nad} .$

Скорость тела в любой момент времени t будет равна (рис. 4):

$\upsilon =\sqrt{\upsilon _{x}^{2} +\upsilon _{y}^{2} } ,$

где υ х = υ 0x , υ y = g y t или υ х = υ∙cos α, υ y = υ∙sin α.

Рис. 4

При решении задач на свободное падение

1. Выберите тело отсчета, укажите начальное и конечное положения тела, выберите направление осей 0Y и 0Х .

2. Изобразите тело, укажите направление начальной скорости (если она равна нулю, то направление мгновенной скорости) и направление ускорения свободного падения.

3. Запишите исходные уравнения в проекциях на ось 0Y (и, при необходимости, на ось 0X )

$\begin{array}{c} {0Y:\; \; \; \; \; \upsilon _{y} =\upsilon _{0y} +g_{y} \cdot t,\; \; \; (1)} \\ {} \\ {y=y_{0} +\upsilon _{0y} \cdot t+\dfrac{g_{y} \cdot t^{2} }{2} =y_{0} +\dfrac{\upsilon _{y}^{2} -\upsilon _{0y}^{2} }{2g_{y} } ,\; \; \; \; (2)} \\ {} \\ {0X:\; \; \; \; \; \upsilon _{x} =\upsilon _{0x} +g_{x} \cdot t,\; \; \; (3)} \\ {} \\ {x=x_{0} +\upsilon _{0x} \cdot t+\dfrac{g_{x} \cdot t^{2} }{2} .\; \; \; (4)} \end{array}$

4. Найдите значения проекций каждой величины

x 0 = …, υ x = …, υ 0x = …, g x = …, y 0 = …, υ y = …, υ 0y = …, g y = ….

Примечание . Если ось 0Х направлена горизонтально, то g x = 0.

5. Подставьте полученные значения в уравнения (1) - (4).

6. Решите полученную систему уравнений.

Примечание . По мере наработки навыка решения таких задач, пункт 4 можно будет делать в уме, без записи в тетрадь.