Как найти сторону прямоугольника зная одну сторону. Геометрические фигуры. Прямоугольник. Формулы

4. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диагональ квадрата :

5. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через диаметр окружности (описанной):

6. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны противолежащей этому углу:

7. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через косинус угла, который прилегает к диагонали, и длину стороны у этого угла:

8. Формула радиуса окружности, которая описана около прямоугольника через синус острого угла между диагоналями и площадью прямоугольника:

Угол между стороной и диагональю прямоугольника.

Формулы для определения угла между стороной и диагональю прямоугольника:

1. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через диагональ и сторону:

2. Формула определения угла между стороной и диагональю прямоугольника через угол между диагоналями:

Угол между диагоналями прямоугольника.

Формулы для определения угла меж диагоналей прямоугольника:

1. Формула определения угла меж диагоналей прямоугольника через угол между стороной и диагональю:

β = 2α

2. Формула определения угла между диагоналями прямоугольника через площадь и диагональ.

Площадь прямоугольника, как не будет дерзко звучать, но это важное понятие. В повседневной жизни мы постоянно сталкиваемся с ним. Узнать размер полей, огородов, рассчитать количество краски, необходимой для побелки потолка, сколько понадобится обоев для оклейки ко

мнаты и другое.

Геометрическая фигура

Для начала поговорим о прямоугольнике. Это фигура на плоскости, которая имеет четыре прямых угла, а ее противоположные стороны равны. Стороны его привыкли называть длиной и шириной. Измеряют их в миллиметрах, сантиметрах, дециметрах, метрах и т. д. Теперь ответим на вопрос: «Как найти площадь прямоугольника?» Для этого необходимо длину умножить на ширину.

Площадь=длина*ширина

Но еще одна оговорка: длина и ширина должны быть выражены в одинаковых единицах измерения, то есть метр и метр, а не метр и сантиметр. Записывается площадь латинской буквой S. Для удобства обозначим длину латинской буквой b, а ширину латинской буквой a, как показано на рисунке. Отсюда мы делаем вывод, что единицей измерения площади является мм 2 , см 2 , м 2 и т. д.

Рассмотрим на конкретном примере, как найти площадь прямоугольника. Длина b=10 ед. Ширина a=6 ед. Решение: S=a*b, S=10 ед.*6 ед., S=60 ед 2 . Задача. Как узнать площадь прямоугольника, если длина в 2 раза больше ширины и составляет 18 м? Решение: если b=18 м, тогда а=b/2, a=9 м. Как найти площадь прямоугольника, если известны обе стороны? Правильно, подставить в формулу. S=a*b, S=18*9, S=162 м 2 . Ответ: 162 м 2 . Задача. Сколько необходимо купить рулонов обоев для комнаты, если ее размеры составляют: длина 5,5 м ширина 3,5, а высота 3 м? Размеры рулона обоев: длина 10 м, ширина 50 см. Решение: сделаем рисунок комнаты.

Площади противоположных сторон равны. Вычислим площадь стены с размерами 5,5 м и 3 м. S стены 1 =5,5*3,

S стены 1 =16,5 м 2 . Следовательно, противоположная стена имеет площадь равную 16,5 м 2 . Найдем площади следующих двух стен. Стороны их, соответственно, равны 3,5 м и 3 м. S стены 2 =3,5*3, S стены 2 =10,5 м 2 . Значит, и противоположная сторона равна 10,5 м 2 . Сложим все результаты. 16,5+16,5+10,5+10,5=54 м 2 . Как вычислить площадь прямоугольника, если стороны выражены в разных единицах измерения. Ранее мы вычисляли площади в м 2 , то и в этом случае будем использовать метры. Тогда ширина рулона обоев будет равна 0,5 м. S рулона =10*0,5, S рулона =5 м 2 . Теперь узнаем, сколько рулонов необходимо для оклейки комнаты. 54:5=10,8 (рулонов). Так как они измеряются целыми числами, то нужно купить 11 рулонов обоев. Ответ: 11 рулонов обоев. Задача. Как вычислить площадь прямоугольника, если известно, что ширина на 3 см короче длины, а сумма сторон прямоугольника составляет 14 см? Решение: пусть длина х см, тогда ширина (х-3) см. х+(х-3)+х+(х-3)=14, 4х-6=14, 4х=20, х=5 см - длина прямоугольника, 5-3=2 см - ширина прямоугольника, S=5*2, S=10 см 2 Ответ: 10 см 2 .

Резюме

Рассмотрев примеры, надеюсь, стало понятно, как найти площадь прямоугольника. Напомню, что единицы измерения длины и ширины должны совпадать, иначе получится неправильный результат, чтобы не допустить ошибок, читайте задание внимательно. Иногда сторона может быть выражена через другую сторону, не стоит бояться. Обратитесь к нашим решенным задачам, вполне возможно, они могут помочь. Но хоть раз в жизни мы сталкиваемся с нахождением площади прямоугольника.

Итак, для начала рассмотрим формулы для нахождения площади и периметра:

1) S = a * b = 56 см2;

2) Р = 2а + 2b = 30 см.

Ведь мы знаем, что прямоугольник имеет по две одинаковых стороны.

Таким образом нам требуется решить систему из двух уравнений:

Отсюда получаем, что одна сторона равна 7, а другая 8.

Зная формулы периметра прямоугольника и его площади, стороны ищутся в виде решения системы двух уравнений. Для начала выражаем значение одной стороны через другую и например площадь.Это выглядит так А=S/В=56/В

Затем подставляем это выражение вместо буквы А в уравнении для периметра:

Р=2(56/В + В)=30

Получаем что 56/В+В=15

В этом уравнении даже решать его не надо - любому человеку знакомому с таблицей умножения сразу видно, что 56 это произведение 7 и 8, а поскольку и сумма этих цифр как раз 15, то они и есть нужные нам значения сторон прямоугольника.

Можно попробовать решить данную задачу, составив систему уравнений.

Периметр прямоугольника равен: p=2a+2b;

Площадь прямоугольника равна: s=a*b;

Так как мы знаем периметр и площадь, то сразу подставляем числа:

Выражаем b через a во втором уравнении:

И подставляем 56/a вместо b в первое уравнение:

Домножаем обе части на a:

Получаем квадратное уравнение:

Находим корни этого квадратного уравнения:

(15(15-4*1*56))/2*1 = (15(225-224))/2 = (151)/2 = (151)/2

Получилось, что корни этого уравнения:

a1=(15+1)/2=16/2=8;

a2=(15-1)/2=14/2=7;

Получается, что у нас 2 возможных варианта прямоугольников.

Вспомним, что мы выразили: b=56/a;

Отсюда находим возможные b:

b1=56/a1=56/8=7;

b2=56/a2=56/7=8;

Как оказалось эти два разных прямоугольника - это один и тот же, просто достигнуть периметра в 30 при площади в 56 можно:

Если a=7 и b=8.

Либо наоборот: a=8 и b=7.

То есть в сущности у нас один и тот же прямоугольник, просто в одном варианте вертикальная сторона больше горизонтальной, а в другом наоборот - горизонтальная больше вертикальной.

Ответ: одна сторона 7 сантиметров, а вторая 8 сантиметров.

• Вспоминаем школьную геометрию:

  Периметр прямоугольника - это будет сумма длин всех сторон, а площадь прямоугольника - это уже произведение двух смежных его сторон (длину на ширину).

  В данном случае нам известны и Площадь и Периметр прямоугольника. Они равны 56 см^2 и 30 см соответственно.

  Итак, решение:

  S - площадь = а x b;

  Р - периметр = а + b + a + b = 2a + 2b;

  30 = 2 (а + b);

  Делаем подставление:

  56 = (15 - b) x b;

  56 = 15 b - b^2;

  b^2 - 15b + 56 = 0.

  Получили квадратное уравнение, решая которое получаем: b1 = 8, b2 = 7.

  Находим и другую сторону прямоугольника:

  a1 = 15 - 8 = 7;

  a2 = 15 - 7 = 8.

  Ответ: стороны прямоугольника равны 8 и 7 см или же 7 и 8 см.

  Если периметр прямоугольника Р = 30 см, а его площадь S = 56 см, то его стороны будут равны:

  а - одна сторона, в - другая сторона прямоугольника.

  Решив эту систему, приходим к тому, что сторона а будет равна 7 см, а сторона в будет равна 8 см.

  а = 7 см в = 8 см.

• Дано: S = 56 см

  Р = 30 см

  Стороны=?

  Решение:

  Пусть стороны прямоугольника a и b.

  Тогда: площадь S = a * b , периметр Р=2*(a + b),

  Получим систему уравнений:

  {a*b=56 ? {ab=56

  {2(a+b)=30, {a+b=15 ,выражая b через а получим квадратное уравнение:

  b=15-a, a^2 -15a +56 =0 ,решая которое,получим:

  b1=8, b2=7. То есть стороны прямоугольника: a=7,b=8 ,или наоборот:a=8,b=7.

Чтобы решить поставленную задачу, нужно составить систему уравнений и решить ее

получим квадратное уравнение, которое легко решается, если подставить в него значения периметра и площади

Дискриминант равен 1 и уравнение имеет два корня 7 и 8, следовательно одна из сторон равна 7 см, другая 8 см или наоборот.

Я специально выписал здесь дискриминант, так как по нему очень хорошо ориентироваться

если в условии задачи на нахождение сторон прямоугольника значение периметра и площади заданы так, что этот дискриминант больше ноля , тогда мы имеем прямоугольник ;

если дискриминант равен нолю - тогда имеем квадрат (P=30, S=56,25, квадрат со стороной 7,5);

если дискриминант меньше ноля , то тогда такой прямоугольник не существует (P=20, S=56 - решения нет)

Периметр 30, площадь 56. Назовем стороны прямоугольника а и с. Тогда можем составить такие уравнения:

Обозначим одну сторону буквой Х, другую - буквой Y.

Площадь прямоугольника вычисляется умножением длин сторон, следовательно, мы можем составить первое уравнение:

Периметр - это сумма длин сторон, следовательно, второе уравнение такое:

Получаем систему двух уравнений.

По первому уравнению выделяем Х: Х=56:Y, подставляем это во второе уравнение:

2*56:Y+2Y=30 Отсюда уже легко найти значение Y: Y=7, тогда Х=8.

Нашла еще такое решение,

Известно, что периметр прямоугольника 30 а площадь 56, далее:

периметр = 2*(длина + ширина) или 2L + 2W

площадь= длина * ширина или L * W

2L + 2W = 30 (делим обе части на 2)

L * (15 - L) = 56

Честно говоря, не совсем поняла решение, но думаю, тот, кто не совсем подзабыл математику, разберется.

Сторона А=7, сторона В=8

При решении, необходимо принять во внимание, что решить задачу о нахождении площади прямоугольника только из длины его сторон нельзя .

В этом несложно убедиться. Пусть периметр прямоугольника будет равен 20 см. Это будет верно, если его стороны 1 и 9, 2 и 8, 3 и 7 см. Все эти три прямоугольника будут иметь одинаковый периметр, равный двадцати сантиметрам. (1 + 9) * 2 = 20 точно также как и (2 + 8) * 2 = 20 см.
Как видно, мы можем подобрать бесконечное количество вариантов размеров сторон прямоугольника, периметр которого будет равен заданному значению.

Площадь прямоугольников с заданным периметром 20 см, но с различными сторонами будет различна. Для приведенного примера - 9, 16 и 21 квадратных сантиметров соответственно.
S 1 = 1 * 9 = 9 см 2
S 2 = 2 * 8 = 16 см 2
S 3 = 3 * 7 = 21 см 2
Как видим, вариантов площади фигуры при заданном периметре - бесконечное количество.

Таким образом, для того, чтобы вычислить площадь прямоугольника из его периметра, нужно обязательно знать либо соотношение его сторон, либо длину одной из них. Единственной фигурой, которая имеет однозначную зависимость своей площади от периметра, является круг. Только для круга и возможно решение.

• Задача 4. Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Задача 1. Найти стороны прямоугольника из площади

Задача 2. Найти стороны прямоугольника из периметра

Периметр прямоугольника 26 см, а сумма площадей квадратов, построенных на двух его смежных сторонах, равна 89 кв. см. Найдите стороны прямоугольника.
Решение.
Обозначим стороны прямоугольника как x и y.
Тогда периметр прямоугольника равен:
2(x+y)=26
Сумма площадей квадратов построенных на каждой из его сторон (квадратов, соответственно, два и это квадраты ширины и высоты, поскольку стороны смежные) будет равна
x 2 +y 2 =89
Решаем полученную систему уравнений. Из первого уравнения выводим, что
x+y=13
y=13-y
Теперь выполняем подстановку во второе уравнение, заменяя x его эквивалентом.
(13-y) 2 +y 2 =89
169-26y+y 2 +y 2 -89=0
2y 2 -26y+80=0
Решаем полученное квадратное уравнение.
D=676-640=36
x 1 =5
x 2 =8
Теперь примем во внимание, что исходя из того, что x+y=13 (см. выше) при x=5, то y=8 и наоборот, если x=8, то y=5
Ответ: 5 и 8 см

Задача 3. Найти площадь прямоугольника из пропорции его сторон

Найти площадь прямоугольника если его периметр равен 26 см а стороны пропорциональны как 2 к 3.

Решение.
Обозначим стороны прямоугольника через коэффициент пропорциональности x.
Откуда длина одной стороны будет равна 2x, другой - 3х.

Тогда:
2(2x+3x)=26
2x+3x=13
5x=13
x=13/5
Теперь, исходя из полученных данных, определим площадь прямоугольника:
2x*3x=2*13/5*3*13/5=40,56 см 2

Задача 4 . Изменение длины сторон при сохранении площади прямоугольника

Решение .
Площадь прямоугольника равна
S = ab

В нашем случае один из множителей увеличился на 25%, что означает a 2 = 1,25a . Таким образом, новая площадь прямоугольника должна быть равна
S 2 = 1,25ab

Таким образом, для того, чтобы вернуть площадь прямоугольника к начальному значению, то
S 2 = S / 1.25
S 2 = 1,25ab / 1.25

Поскольку новый размер а изменять нельзя, то
S 2 = (1,25a) b / 1.25

1 / 1,25 = 0,8
Таким образом, величину второй стороны нужно уменьшить на (1 - 0,8) * 100% = 20%

Ответ : ширину нужно уменьшить на 20%.