Свойства параллелограмма формулировка и примеры. Определение параллелограма и его свойства
Средний уровень
Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат (2019)
1. Параллелограмм
Сложное слово «параллелограмм »? А скрывается за ним очень простая фигура.
Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:
Пересекли ещё двумя:
И вот внутри - параллелограмм !
Какие же есть свойства у параллелограмма?
Свойства параллелограмма.
То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм ?
На этот вопрос отвечает следующая теорема:
Давай нарисуем все подробно.
Что означает первый пункт теоремы ? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно
Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм , то, опять же, непременно :
Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:
Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди - какой-нибудь «ключик» да подойдёт.
А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?
На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.
Признаки параллелограмма.
Внимание! Начинаем.
Паралелограмм.
Обрати внимание : если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
2. Прямоугольник
Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что
Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?
Конечно, является! Ведь у него и - помнишь, наш признак 3 ?
А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма и, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.
Свойство прямоугольника
Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.
Обрати внимание : чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.
3. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).
И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Свойства ромба
Посмотри на картинку:
Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.
Признаки ромба
И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:
Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Свойства четырехугольников. Параллелограмм
Свойства параллелограмма
Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.
Теорема о свойствах параллелограмма.
В любом параллелограмме:
Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.
Итак, почему верно 1)?
Раз - параллелограмм, то:
- как накрест лежащие
- как накрест лежащие.
Значит, (по II признаку: и - общая.)
Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали.
Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!
Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.
Осталось только 3).
Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.
И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними).
Свойства доказали! Перейдём к признакам.
Признаки параллелограмма
Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.
В значках это так:
Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри:
Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.
Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.
А значит:
И тоже несложно. Но …по-другому!
Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей!
Поэтому тот факт, что означает, что.
А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому.
Видишь, как здорово?!
И опять просто:
Точно так же, и.
Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
Для полной ясности посмотри на схему:
Свойства четырехугольников. Прямоугольник.
Свойства прямоугольника:
Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 ()
А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что
А значит, по двум катетам (и - общий).
Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.
Доказали, что!
И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^
Давай поймём, почему?
Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому.
Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!
Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .
Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм!
Свойства четырехугольников. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).
И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Но есть и особенные свойства. Формулируем.
Свойства ромба
Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.
Почему? Да, потому же!
Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.
Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.
Признаки ромба.
А это почему? А посмотри,
Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные.
Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.
Свойства четырехугольников. Квадрат
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны равны: , .
- Противоположные углы равны: , .
- Углы при одной стороне составляют в сумме: , .
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны: .
- Прямоугольник - параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства ромба:
- Диагонали ромба перпендикулярны: .
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
- Ромб - параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства квадрата:
Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.
1. Определение параллелограмма.
Если пару параллельных прямых пересечём другой парой параллельных прямых, то получим четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
В четырёхугольниках ABDС и ЕFNМ (рис. 224) ВD || АС и AB || СD;
ЕF || МN и ЕМ || FN.
Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.
2. Свойства параллелограмма.
Теорема . Диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника.
Пусть имеется параллелограмм ABDС (рис. 225), в котором AB || СD и АС || ВD.
Требуется доказать, что диагональ делит его на два равных треугольника.
Проведём в параллелограмме ABDС диагональ СВ. Докажем, что \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Сторона СВ общая для этих треугольников; ∠ABC = ∠BCD, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных AB и СD и секущей СВ; ∠ACB = ∠СВD, тоже как внутренние накрест лежащие углы при параллельных АС и ВD и секущей CB.
Отсюда \(\Delta\)CAB = \(\Delta\)СDВ.
Таким же путём можно доказать, что диагональ AD разделит параллелограмм на два равных треугольника АСD и ABD.
Следствия:
1 . Противоположные углы параллелограмма равны между собой.
∠А = ∠D, это следует из равенства треугольников CAB и СDВ.
Аналогично и ∠С = ∠В.
2. Противоположные стороны параллелограмма равны между собой.
AB = СD и АС = ВD, так как это стороны равных треугольников и лежат против равных углов.
Теорема 2. Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.
Пусть BC и AD - диагонали параллелограмма AВDС (рис. 226). Докажем, что АО = OD и СО = OB.
Для этого сравним какую-нибудь пару противоположно расположенных треугольников, например \(\Delta\)AOB и \(\Delta\)СОD.
В этих треугольниках AB = СD, как противоположные стороны параллелограмма;
∠1 = ∠2, как углы внутренние накрест лежащие при параллельных AB и СD и секущей AD;
∠3 = ∠4 по той же причине, так как AB || СD и СВ - их секущая.
Отсюда следует, что \(\Delta\)AOB = \(\Delta\)СОD. А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Следовательно, АО = OD и СО = OB.
Теорема 3. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180° .
В параллелограмме ABCD проведем диагональ АС и получим два треугольника ABC и ADC.
Треугольники равны, так как ∠1 = ∠4, ∠2 = ∠3 (накрест лежащие углы при параллельных прямых), а сторона АС общая.
Из равенства \(\Delta\)ABC = \(\Delta\)ADC следует, что AB = CD, BC = AD, ∠B = ∠D.
Сумма углов, прилежащих к одной стороне, например углов А и D, равна 180° как односторонних при параллельных прямых.
Параллелограмм - четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Площадь параллелограмма равна произведению его основания (a) на высоту (h). Также можно найте его площадь через две стороны и угол и через диагонали.
Свойства параллелограмма
1. Противоположные стороны тождественны.
Первым делом проведем диагональ \(AC \) . Получаются два треугольника: \(ABC \) и \(ADC \) .
Так как \(ABCD \) - параллелограмм, то справедливо следующее:
\(AD || BC \Rightarrow \angle 1 = \angle 2 \) как лежащие накрест.
\(AB || CD \Rightarrow \angle3 = \angle 4 \) как лежащие накрест.
Следовательно, (по второму признаку: и \(AC \) - общая).
И, значит, \(\triangle ABC = \triangle ADC \) , то \(AB = CD \) и \(AD = BC \) .
2. Противоположные углы тождественны.
Согласно доказательству свойства 1 мы знаем, что \(\angle 1 = \angle 2, \angle 3 = \angle 4 \) . Таким образом сумма противоположных углов равна: \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 \) . Учитывая, что \(\triangle ABC = \triangle ADC \) получаем \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) .
3. Диагонали разделены пополам точкой пересечения.
По свойству 1 мы знаем, что противоположные стороны тождественны: \(AB = CD \) . Еще раз отметим накрест лежащие равные углы.
Таким образом видно, что \(\triangle AOB = \triangle COD \) по второму признаку равенства треугольников (два угла и сторона между ними). То есть, \(BO = OD \) (напротив углов \(\angle 2 \) и \(\angle 1 \) ) и \(AO = OC \) (напротив углов \(\angle 3 \) и \(\angle 4 \) соответственно).
Признаки параллелограмма
Если лишь один признак в вашей задаче присутствует, то фигура является параллелограммом и можно использовать, все свойства данной фигуры.
Для лучшего запоминания, заметим, что признак параллелограмма будет отвечать на следующий вопрос - «как узнать?» . То есть, как узнать, что заданная фигура это параллелограмм.
1. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого две стороны равны и параллельны.
\(AB = CD \) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD \) - параллелограмм.
Рассмотрим подробнее. Почему \(AD || BC \) ?
\(\triangle ABC = \triangle ADC \) по свойству 1 : \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) как накрест лежащие при параллельных \(AB \) и \(CD \) и секущей \(AC \) .
Но если \(\triangle ABC = \triangle ADC \) , то \(\angle 3 = \angle 4 \) (лежат напротив \(AD || BC \) (\(\angle 3 \) и \(\angle 4 \) - накрест лежащие тоже равны).
Первый признак верен.
2. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.
\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) - параллелограмм.
Рассмотрим данный признак. Еще раз проведем диагональ \(AC \) .
По свойству 1 \(\triangle ABC = \triangle ACD \) .
Из этого следует, что: \(\angle 1 = \angle 2 \Rightarrow AD || BC \) и \(\angle 3 = \angle 4 \Rightarrow AB || CD \) , то есть \(ABCD \) - параллелограмм.
Второй признак верен.
3. Параллелограммом является такой четырехугольник, у которого противоположные углы равны.
\(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \Rightarrow ABCD \) - параллелограмм.
\(2 \alpha + 2 \beta = 360^{\circ} \) (поскольку \(\angle A = \angle C \) , \(\angle B = \angle D \) по условию).
Получается, \(\alpha + \beta = 180^{\circ} \) . Но \(\alpha \) и \(\beta \) являются внутренними односторонними при секущей \(AB \) .
При-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма
1. Определение и основные свойства параллелограмма
Нач-нем с того, что вспом-ним опре-де-ле-ние па-рал-ле-ло-грам-ма.
Опре-де-ле-ние. Па-рал-ле-ло-грамм - че-ты-рех-уголь-ник, у ко-то-ро-го каж-дые две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны па-рал-лель-ны (см. Рис. 1).
Рис. 1. Па-рал-ле-ло-грамм
Вспом-ним ос-нов-ные свой-ства па-рал-ле-ло-грам-ма :
Для того, чтобы иметь воз-мож-ность поль-зо-вать-ся всеми этими свой-ства-ми, необ-хо-ди-мо быть уве-рен-ным, что фи-гу-ра, о ко-то-рой идет речь, - па-рал-ле-ло-грамм. Для этого необ-хо-ди-мо знать такие факты, как при-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма. Пер-вые два из них мы се-год-ня и рас-смот-рим.
2. Первый признак параллелограмма
Тео-ре-ма. Пер-вый при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма.
Если в че-ты-рех-уголь-ни-ке две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны и па-рал-лель-ны, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм
. 
.
Рис. 2. Пер-вый при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма
До-ка-за-тель-ство. Про-ве-дем в че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-наль (см. Рис. 2), она раз-би-ла его на два тре-уголь-ни-ка. За-пи-шем, что мы знаем об этих тре-уголь-ни-ках:
по пер-во-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков.
Из ра-вен-ства ука-зан-ных тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что по при-зна-ку па-рал-лель-но-сти пря-мых при пе-ре-се-че-нии их се-ку-щей. Имеем, что:
До-ка-за-но.
3. Второй признак параллелограмма
Тео-ре-ма. Вто-рой при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма.
Если в че-ты-рех-уголь-ни-ке каж-дые две про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны, то этот че-ты-рех-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм
. 
.
Рис. 3. Вто-рой при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма
До-ка-за-тель-ство. Про-ве-дем в че-ты-рех-уголь-ни-ке диа-го-наль (см. Рис. 3), она раз-би-ва-ет его на два тре-уголь-ни-ка. За-пи-шем, что мы знаем об этих тре-уголь-ни-ках, ис-хо-дя из фор-му-ли-ров-ки тео-ре-мы:
по тре-тье-му при-зна-ку ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков.
Из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что и по при-зна-ку па-рал-лель-но-сти пря-мых при пе-ре-се-че-нии их се-ку-щей. По-лу-ча-ем:
па-рал-ле-ло-грамм по опре-де-ле-нию. Что и тре-бо-ва-лось до-ка-зать.
До-ка-за-но.
4. Пример на применение первого признака параллелограмма
Рас-смот-рим при-мер на при-ме-не-ние при-зна-ков па-рал-ле-ло-грам-ма.
При-мер 1. В вы-пук-лом че-ты-рех-уголь-ни-ке Найти: а) углы че-ты-рех-уголь-ни-ка; б) сто-ро-ну .
Ре-ше-ние. Изоб-ра-зим Рис. 4.
па-рал-ле-ло-грамм по пер-во-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма.
А. 
по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма о про-ти-во-по-лож-ных углах, по свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма о сумме углов, при-ле-жа-щих к одной сто-роне.
Б. 
по свой-ству ра-вен-ства про-ти-во-по-лож-ных сто-рон.
ре-тий при-знак па-рал-ле-ло-грам-ма
5. Повторение: определение и свойства параллелограмма
На-пом-ним, что па-рал-ле-ло-грамм
- это че-ты-рёх-уголь-ник, у ко-то-ро-го про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны по-пар-но па-рал-лель-ны. То есть, если - па-рал-ле-ло-грамм, то 
(см. Рис. 1).
Па-рал-ле-ло-грамм об-ла-да-ет целым рядом свойств: про-ти-во-по-лож-ные углы равны (), про-ти-во-по-лож-ные сто-ро-ны равны (
). Кроме того, диа-го-на-ли па-рал-ле-ло-грам-ма в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, сумма углов, при-ле-жа-щих к любой сто-роне па-рал-ле-ло-грам-ма, равна и т.д.
Но для того, чтобы поль-зо-вать-ся всеми этими свой-ства-ми, необ-хо-ди-мо быть аб-со-лют-но уве-рен-ны-ми в том, что рас-смат-ри-ва-е-мый че-ты-рёх-уголь-ник - па-рал-ле-ло-грамм. Для этого и су-ще-ству-ют при-зна-ки па-рал-ле-ло-грам-ма: то есть те факты, из ко-то-рых можно сде-лать од-но-знач-ный вывод, что че-ты-рёх-уголь-ник яв-ля-ет-ся па-рал-ле-ло-грам-мом. На преды-ду-щем уроке мы уже рас-смот-ре-ли два при-зна-ка. Сей-час рас-смот-рим тре-тий.
6. Третий признак параллелограмма и его доказательство
Если в че-ты-рёх-уголь-ни-ке диа-го-на-ли в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам, то дан-ный че-ты-рёх-уголь-ник яв-ля-ет-ся па-рал-ле-ло-грам-мом.
Дано:
Че-ты-рёх-уголь-ник; ; .
До-ка-зать:
Па-рал-ле-ло-грамм.
До-ка-за-тель-ство:
Для того чтобы до-ка-зать дан-ный факт, необ-хо-ди-мо до-ка-зать па-рал-лель-ность сто-рон па-рал-ле-ло-грам-ма. А па-рал-лель-ность пря-мых чаще всего до-ка-зы-ва-ет-ся через ра-вен-ство внут-рен-них на-крест ле-жа-щих углов при этих пря-мых. Таким об-ра-зом, на-пра-ши-ва-ет-ся сле-ду-ю-щий спо-соб до-ка-за-тель-ства тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма: через ра-вен-ство тре-уголь-ни-ков 
.
До-ка-жем ра-вен-ство этих тре-уголь-ни-ков. Дей-стви-тель-но, из усло-вия сле-ду-ет: . Кроме того, по-сколь-ку углы - вер-ти-каль-ные, то они равны. То есть:
(пер-вый при-знак ра-вен-ства
тре-уголь-ни-ков
- по двум сто-ро-нам и углу между ними).
Из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков: (так как равны внут-рен-ние на-крест ле-жа-щие углы при этих пря-мых и се-ку-щей ). Кроме того, из ра-вен-ства тре-уголь-ни-ков сле-ду-ет, что . Зна-чит, мы по-лу-чи-ли, что в че-ты-рёх-уголь-ни-ке две сто-ро-ны равны и па-рал-лель-ны. По пер-во-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма: - па-рал-ле-ло-грамм.
До-ка-за-но.
7. Пример задачи на третий признак параллелограмма и обобщение
Рас-смот-рим при-мер на при-ме-не-ние тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма.
При-мер 1
Дано:
- па-рал-ле-ло-грамм; . - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на , - се-ре-ди-на (см. Рис. 2).
До-ка-зать: - па-рал-ле-ло-грамм.
До-ка-за-тель-ство:
Зна-чит, в че-ты-рёх-уголь-ни-ке диа-го-на-ли в точке пе-ре-се-че-ния де-лят-ся по-по-лам. По тре-тье-му при-зна-ку па-рал-ле-ло-грам-ма из этого сле-ду-ет, что - па-рал-ле-ло-грамм.
До-ка-за-но.
Если про-ве-сти ана-лиз тре-тье-го при-зна-ка па-рал-ле-ло-грам-ма, то можно за-ме-тить, что этот при-знак со-от-вет-ству-ет свой-ству па-рал-ле-ло-грам-ма. То есть, то, что диа-го-на-ли де-лят-ся по-по-лам, яв-ля-ет-ся не про-сто свой-ством па-рал-ле-ло-грам-ма, а его от-ли-чи-тель-ным, ха-рак-те-ри-сти-че-ским свой-ством, по ко-то-ро-му его можно вы-де-лить из мно-же-ства че-ты-рёх-уголь-ни-ков.
ИСТОЧНИК
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma
http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma
http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg
http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg
http://wwww.tepka.ru/geometriya/16.1.gif
Средний уровень
Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат (2019)
1. Параллелограмм
Сложное слово «параллелограмм »? А скрывается за ним очень простая фигура.
Ну, то есть, взяли две параллельные прямые:
Пересекли ещё двумя:
И вот внутри - параллелограмм !
Какие же есть свойства у параллелограмма?
Свойства параллелограмма.
То есть, чем можно пользоваться, если в задаче дан параллелограмм ?
На этот вопрос отвечает следующая теорема:
Давай нарисуем все подробно.
Что означает первый пункт теоремы ? А то, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то непременно
Второй пункт означает, что если ЕСТЬ параллелограмм , то, опять же, непременно :
Ну, и наконец, третий пункт означает, что если у тебя ЕСТЬ параллелограмм, то обязательно:
Видишь, какое богатство выбора? Что же использовать в задаче? Попробуй ориентироваться на вопрос задачи, или просто пробуй все по очереди - какой-нибудь «ключик» да подойдёт.
А теперь зададимся другим вопросом: а как узнать параллелограмм «в лицо»? Что такое должно случиться с четырехугольником, чтобы мы имели право выдать ему «звание» параллелограмма?
На этот вопрос отвечает несколько признаков параллелограмма.
Признаки параллелограмма.
Внимание! Начинаем.
Паралелограмм.
Обрати внимание : если ты нашёл хотя бы один признак в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
2. Прямоугольник
Думаю, что для тебя вовсе не явится новостью то, что
Первый вопрос: а является ли прямоугольник параллелограммом?
Конечно, является! Ведь у него и - помнишь, наш признак 3 ?
А отсюда, конечно же, следует, что у прямоугольника, как и у всякого параллелограмма и, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Но есть у прямоугольника и одно отличительное свойство.
Свойство прямоугольника
Почему это свойство отличительное? Потому что ни у какого другого параллелограмма не бывает равных диагоналей. Сформулируем более чётко.
Обрати внимание : чтобы стать прямоугольником, четырехугольнику нужно сперва стать параллелограммом, а потом уже предъявлять равенство диагоналей.
3. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм , потому что у него и (вспоминаем наш признак 2 ).
И снова, раз ромб - параллелограмм , то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Свойства ромба
Посмотри на картинку:
Как и в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , то есть по каждому из этих свойств можно заключить, что перед нами не просто параллелограмм , а именно ромб.
Признаки ромба
И снова обрати внимание : должен быть не просто четырехугольник, у которого перпендикулярны диагонали, а именно параллелограмм . Убедись:
Нет, конечно, хотя его диагонали и перпендикулярны, а диагональ - биссектриса углов и. Но … диагонали не делятся, точкой пересечения пополам, поэтому - НЕ параллелограмм , а значит, и НЕ ромб .
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно почему? - ромб - биссектриса угла A, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
СРЕДНИЙ УРОВЕНЬ
Свойства четырехугольников. Параллелограмм
Свойства параллелограмма
Внимание! Слова «свойства параллелограмма » означают, что если у тебя в задаче есть параллелограмм, то всем нижеследующим можно пользоваться.
Теорема о свойствах параллелограмма.
В любом параллелограмме:
Давай-ка поймём, почему это всё верно, иными словами ДОКАЖЕМ теорему.
Итак, почему верно 1)?
Раз - параллелограмм, то:
- как накрест лежащие
- как накрест лежащие.
Значит, (по II признаку: и - общая.)
Ну вот, а раз, то и - всё! - доказали.
Но кстати! Мы ещё доказали при этом и 2)!
Почему? Но ведь (смотри на картинку), то есть, а именно потому, что.
Осталось только 3).
Для этого всё-таки придётся провести вторую диагональ.
И теперь видим, что - по II признаку (угла и сторона «между» ними).
Свойства доказали! Перейдём к признакам.
Признаки параллелограмма
Напомним, что признак параллелограмма отвечает на вопрос "как узнать?", что фигура является параллелограммом.
В значках это так:
Почему? Хорошо бы понять, почему - этого хватит. Но смотри:
Ну вот и разобрались, почему признак 1 верен.
Ну, это ещё легче! Снова проведём диагональ.
А значит:
И тоже несложно. Но …по-другому!
Значит, . Ух! Но и - внутренние односторонние при секущей!
Поэтому тот факт, что означает, что.
А если посмотришь с другой стороны, то и - внутренние односторонние при секущей! И поэтому.
Видишь, как здорово?!
И опять просто:
Точно так же, и.
Обрати внимание: если ты нашел хотя бы один признак параллелограмма в своей задаче, то у тебя точно параллелограмм, и ты можешь пользоваться всеми свойствами параллелограмма.
Для полной ясности посмотри на схему:
Свойства четырехугольников. Прямоугольник.
Свойства прямоугольника:
Пункт 1) совсем очевидный - ведь просто выполнен признак 3 ()
А пункт 2) - очень важный . Итак, докажем, что
А значит, по двум катетам (и - общий).
Ну вот, раз треугольники и равны, то у них и гипотенузы и тоже равны.
Доказали, что!
И представь себе, равенство диагоналей - отличительное свойство именно прямоугольника среди всех параллелограммов. То есть верно такое утверждение^
Давай поймём, почему?
Значит, (имеются в виду углы параллелограмма). Но ещё раз вспомним, что - параллелограмм, и поэтому.
Значит, . Ну и, конечно, из этого следует, что каждый из них по! Ведь в сумме-то они должны давать!
Вот и доказали, что если у параллелограмма вдруг (!) окажутся равные диагонали, то это точно прямоугольник .
Но! Обрати внимание! Речь идёт о параллелограммах ! Не любой четырехугольник с равными диагоналями - прямоугольник, а только параллелограмм!
Свойства четырехугольников. Ромб
И снова вопрос: ромб - это параллелограмм или нет?
С полным правом - параллелограмм, потому что у него и (Вспоминаем наш признак 2).
И снова, раз ромб - параллелограмм, то он обязан обладать всеми свойствами параллелограмма. Это означает, что у ромба противоположные углы равны, противоположные стороны параллельны, а диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Но есть и особенные свойства. Формулируем.
Свойства ромба
Почему? Ну, раз ромб - это параллелограмм, то его диагонали делятся пополам.
Почему? Да, потому же!
Иными словами, диагонали и оказались биссектрисами углов ромба.
Как в случае с прямоугольником, свойства эти - отличительные , каждые из них является ещё и признаком ромба.
Признаки ромба.
А это почему? А посмотри,
Значит, и оба этих треугольника - равнобедренные.
Чтобы быть ромбом, четырёхугольник сперва должен «стать» параллелограммом, а потом уже демонстрировать признак 1 или признак 2.
Свойства четырехугольников. Квадрат
То есть квадрат - это прямоугольник и ромб одновременно. Давай посмотрим, что из этого получится.
Понятно, почему? Квадрат - ромб - биссектриса угла, который равен. Значит делит (да и тоже) на два угла по.
Ну, это совсем ясно: прямоугольник диагонали равны; ромб диагонали перпендикулярны, и вообще - параллелограмм диагонали делятся точкой пересечения пополам.
Почему? Ну, просто применим теорему Пифагора к.
КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Свойства параллелограмма:
- Противоположные стороны равны: , .
- Противоположные углы равны: , .
- Углы при одной стороне составляют в сумме: , .
- Диагонали делятся точкой пересечения пополам: .
Свойства прямоугольника:
- Диагонали прямоугольника равны: .
- Прямоугольник - параллелограмм (для прямоугольника выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства ромба:
- Диагонали ромба перпендикулярны: .
- Диагонали ромба являются биссектрисами его углов: ; ; ; .
- Ромб - параллелограмм (для ромба выполняются все свойства параллелограмма).
Свойства квадрата:
Квадрат - ромб и прямоугольник одновременно, следовательно для квадрата выполняются все свойства прямоугольника и ромба. А так же.
