Формули, описващи движението на тяло, хвърлено вертикално нагоре. Свободно падане на тела. Движение на тяло, хвърлено вертикално нагоре

Само по себе си тялото не се движи нагоре, както е известно. Трябва да се „хвърли“, т.е. да му се съобщи някаква начална скорост, насочена вертикално нагоре.

Тяло, хвърлено нагоре, се движи, както показва опитът, със същото ускорение като свободно падащо тяло. Това ускорение е еднакво и насочено вертикално надолу. Движението на тяло, хвърлено нагоре, също е праволинейно равномерно ускорено движение и формулите, които са написани за свободно падане на тяло, също са подходящи за описание на движението на тяло, хвърлено нагоре. Но когато пишете формули, трябва да вземете предвид, че векторът на ускорението е насочен срещу вектора на началната скорост: абсолютната стойност на скоростта на тялото не се увеличава, а намалява. Следователно, ако координатната ос е насочена нагоре, проекцията на началната скорост ще бъде положителна, а проекцията на ускорението ще бъде отрицателна и формулите ще приемат формата:

Тъй като тялото, изхвърлено нагоре, се движи с намаляваща скорост, ще настъпи момент, когато скоростта стане равна на нула. В този момент тялото ще бъде на максимална височина. Замествайки стойността във формула (1), получаваме:

От тук можете да намерите времето, необходимо на тялото да се издигне до максималната си височина:

Максималната височина се определя от формула (2).

Заместваме във формулата, която получаваме

След като тялото достигне височина, то ще започне да пада надолу; проекцията на неговата скорост ще стане отрицателна и ще се увеличи по абсолютна стойност (виж формула 1), докато височината ще намалява с времето съгласно формула (2) при

С помощта на формули (1) и (2) е лесно да се провери, че скоростта на тялото в момента на падането му на земята или изобщо до мястото, откъдето е хвърлено (при h = 0) е равна по абсолютна стойност до началната скорост и времето на падане на тялото е равно на времето на издигането му.

Падането на тяло може да се разглежда отделно и като свободно падане на тяло от височина.Тогава можем да използваме формулите, дадени в предходния параграф.

Задача. Тяло се хвърля вертикално нагоре със скорост 25 m/s. Каква е скоростта на тялото след 4 секунди? Какво движение ще направи тялото и каква е дължината на пътя, изминат от тялото за това време? Решение. Скоростта на тялото се изчислява по формулата

До края на четвъртата секунда

Знакът означава, че скоростта е насочена срещу координатната ос, насочена нагоре, т.е. в края на четвъртата секунда тялото вече се е движило надолу, след като е преминало през най-високата точка на изкачването си.

Количеството на изместване на тялото се намира по формулата

Това движение се брои от мястото, откъдето е хвърлено тялото. Но в този момент тялото вече се движеше надолу. Следователно дължината на пътя, изминат от тялото, е равна на максималната височина на изкачване плюс разстоянието, на което е успяло да слезе:

Стойността се изчислява по формулата

Замествайки стойностите, които получаваме: сек

Упражнение 13

1. От лък се изстрелва стрела вертикално нагоре със скорост 30 м/сек. Колко високо ще се издигне тя?

2. Тяло, хвърлено вертикално нагоре от земята, пада след 8 секунди. Намерете на каква височина се е издигнал и каква е била първоначалната му скорост?

3. От пружинен пистолет, разположен на височина 2 м над земята, топка лети вертикално нагоре със скорост 5 м/сек. Определете до каква максимална височина ще се издигне и каква скорост ще има топката в момента, в който падне на земята. Колко дълго летеше балонът? Какво е движението му през първите 0,2 секунди от полета?

4. Тяло е хвърлено вертикално нагоре със скорост 40 m/s. На каква височина ще бъде след 3 и 5 секунди и каква ще бъде скоростта му? Приеми

5 Две тела са хвърлени вертикално нагоре с различни начални скорости. Единият достигаше четири пъти повече от другия. Колко пъти началната му скорост е била по-голяма от началната скорост на другото тяло?

6. Тяло, хвърлено нагоре, прелита покрай прозореца със скорост 12 m/sec. С каква скорост ще прелети покрай същия прозорец надолу?

Оставете тялото да започне да пада свободно от покой. В този случай за неговото движение са приложими формулите за равномерно ускорено движение без начална скорост с ускорение. Нека обозначим началната височина на тялото над земята през, времето на свободното му падане от тази височина на земята - през и скоростта, достигната от тялото в момента на падане на земята - през. Съгласно формулите на § 22 тези количества ще бъдат свързани с отношенията

(54.1)

(54.2)

В зависимост от естеството на проблема е удобно да се използва едното или другото от тези отношения.

Нека сега разгледаме движението на тяло, на което е дадена някаква начална скорост , насочена вертикално нагоре. В този проблем е удобно да се приеме, че посоката нагоре е положителна. Тъй като ускорението на свободното падане е насочено надолу, движението ще бъде равномерно забавено с отрицателно ускорение и с положителна начална скорост. Скоростта на това движение в даден момент се изразява с формулата

и височината на повдигане в този момент над началната точка - формулата

(54.5)

Когато скоростта на тялото намалее до нула, тялото ще достигне най-високата си точка на изкачване; ще се случи в момента, за който

След този момент скоростта ще стане отрицателна и тялото ще започне да пада надолу. И така, времето за повдигане на тялото

Замествайки времето на издигане във формула (54.5), намираме височината на издигане на тялото:

(54.8)

По-нататъшното движение на тялото може да се разглежда като падане без начална скорост (случаят, разгледан в началото на този раздел) от височина. Замествайки тази височина във формула (54.3), намираме, че скоростта, която тялото достига в момента на падане на земята, т.е. връщайки се до точката, от която е хвърлено нагоре, ще бъде равна на началната скорост на тялото (но, разбира се, ще бъде насочен противоположно - надолу). И накрая, от формула (54.2) заключаваме, че времето, през което тялото пада от най-високата точка, е равно на времето, през което тялото се издига до тази точка.

5 4.1. Тяло пада свободно без начална скорост от височина 20 м. На каква височина то ще достигне скорост, равна на половината от скоростта в момента на падане на земята?

54.2. Покажете, че тяло, хвърлено вертикално нагоре, преминава всяка точка от траекторията си с една и съща модулна скорост по пътя нагоре и по пътя надолу.

54.3. Намерете скоростта, когато камък, хвърлен от висока кула, удари земята: а) без начална скорост; б) с начална скорост, насочена вертикално нагоре; в) с начална скорост, насочена вертикално надолу.

54.4. Камък, хвърлен вертикално нагоре, премина през прозореца 1 s след хвърлянето по пътя нагоре и 3 s след хвърлянето по пътя надолу. Намерете височината на прозореца над земята и началната скорост на камъка.

54.5. При вертикална стрелба по въздушни цели снаряд, изстрелян от зенитно оръдие, достигна само половината от разстоянието до целта. Снаряд, изстрелян от друго оръдие, уцели целта си. Колко пъти е по-голяма началната скорост на снаряда на второто оръдие от скоростта на първото?

54.6. Каква е максималната височина, на която ще се издигне камък, хвърлен вертикално нагоре, ако след 1,5 s скоростта му е намаляла наполовина?

Както вече знаем, гравитацията действа върху всички тела, които се намират на повърхността на Земята и близо до нея. Няма значение дали са в покой или се движат.

Ако дадено тяло падне свободно на Земята, то в същото време ще извършва равномерно ускорено движение и скоростта ще нараства постоянно, тъй като векторът на скоростта и векторът на ускорението на свободното падане ще бъдат сънасочени един към друг.

Същността на движението вертикално нагоре

Ако хвърлим тяло вертикално нагоре,и в същото време приемаме, че няма съпротивление на въздуха, тогава можем да приемем, че той също извършва равномерно ускорено движение, с ускорение на свободното падане, което се причинява от гравитацията. Само в този случай скоростта, която дадохме на тялото по време на хвърлянето, ще бъде насочена нагоре, а ускорението на свободното падане е насочено надолу, тоест те ще бъдат насочени противоположно един на друг. Следователно скоростта постепенно ще намалява.

След известно време ще дойде моментът, когато скоростта ще бъде равна на нула. В този момент тялото ще достигне максималната си височина и ще спре за момент. Очевидно е, че колкото по-голяма е началната скорост, която даваме на тялото, толкова по-голяма височина ще издигне то до момента, в който спре.

Освен това тялото ще започне да пада с равномерно ускорение под въздействието на гравитацията.

Как да решаваме проблеми

Когато сте изправени пред задачи за движение на тялото нагоре, което не отчита съпротивлението на въздуха и други сили, а се смята, че върху тялото действа само гравитацията, тогава тъй като движението е равномерно ускорено, можете да приложите същите формули като при праволинейно равномерно ускорено движение с някаква начална скорост V0.

Тъй като в този случай ускорението ax е ускорението на свободно падане на тялото, ax се заменя с gx.

Vx=V0x+gx*t,
Sx=V(0x)*t+(gx*t^2)/2.

Трябва също така да се има предвид, че при движение нагоре векторът на гравитационното ускорение е насочен надолу, а векторът на скоростта е нагоре, т.е. те са противоположно насочени и следователно техните проекции ще имат различни знаци.

Например, ако оста Ox е насочена нагоре, тогава проекцията на вектора на скоростта при движение нагоре ще бъде положителна, а проекцията на гравитационното ускорение ще бъде отрицателна. Това трябва да се вземе предвид при заместване на стойности във формули, в противен случай ще се получи напълно грешен резултат.

Движение на тяло, хвърлено вертикално нагоре

Аз ниво. Прочети текста

Ако дадено тяло падне свободно на Земята, то ще извършва равномерно ускорено движение и скоростта ще нараства постоянно, тъй като векторът на скоростта и векторът на ускорението на свободното падане ще бъдат сънасочени един към друг.

Ако хвърлим някакво тяло вертикално нагоре и в същото време приемем, че няма съпротивление на въздуха, тогава можем да приемем, че то също извършва равномерно ускорено движение, с ускорение на свободно падане, което се дължи на гравитацията. Само в този случай скоростта, която дадохме на тялото по време на хвърлянето, ще бъде насочена нагоре, а ускорението на свободното падане е насочено надолу, тоест те ще бъдат насочени противоположно един на друг. Следователно скоростта постепенно ще намалява.

За движението на хвърлено нагоре тяло са приложими всички формули за равномерно ускорено движение. V0 винаги > 0

Движението на тяло, хвърлено вертикално нагоре, е праволинейно с постоянно ускорение. Ако насочите координатната ос OY вертикално нагоре, подравнявайки началото на координатите със земната повърхност, тогава за да анализирате свободното падане без начална скорост, можете да използвате формулата https://pandia.ru/text/78/086/images /image002_13.gif" width="151 "height="57 src=">

Близо до повърхността на Земята, при липса на забележимо влияние на атмосферата, скоростта на тяло, хвърлено вертикално нагоре, се променя във времето по линеен закон: https://pandia.ru/text/78/086/images /image004_7.gif" width="55" height ="28">.

Скоростта на тялото на определена височина h може да се намери по формулата:

https://pandia.ru/text/78/086/images/image006_6.gif" width="65" height="58 src=">

Височината на тялото за известно време, знаейки крайната скорост

https://pandia.ru/text/78/086/images/image008_5.gif" width="676" height="302 src=">

IIазниво. Решавам проблеми. За 9 б. 9а решава от задачника!

1. Топка е хвърлена вертикално нагоре със скорост 18 m/s. Какво движение ще направи за 3 секунди?

2. Стрела, изстреляна от лък вертикално нагоре със скорост 25 m/s, уцелва целта след 2 s. Каква беше скоростта на стрелата, когато удари целта?

3. От пружинен пистолет е изстреляно топче вертикално нагоре, което се е издигнало на височина 4,9 м. С каква скорост е излетяло топчето от пистолета?

4. Момчето хвърли топката вертикално нагоре и я улови след 2 s. Каква е височината на топката и каква е началната й скорост?

5. С каква начална скорост трябва да се хвърли тялото вертикално нагоре, така че след 10 s да се движи надолу със скорост 20 m/s?

6. „Хъмпти Дъмпти седеше на стена (20 м висока),

Хъмпти Дъмпти се срина в съня си.

Имате ли нужда от цялата кралска кавалерия, цялата кралска армия,

към Хъмпти, към Хъмпти, Хъмпти Дъмпти,

Дъмпти-Хъмпти събира "

(ако се срине само с 23 m/s?)

И така, необходима ли е цялата кралска кавалерия?

7. Сега гръмът на саби, шпори, султан,
И камерния юнкерски кафтан
Шарени - съблазнителни красавици,
Не беше ли изкушение
Кога от охраната, други от съда
Дойдох тук навреме!
Жените викаха: ура!
И хвърлиха капачки във въздуха.

„Горко от ума“.

Момичето Екатерина хвърли шапката си нагоре със скорост 10 m/s. В същото време тя стоеше на балкона на 2-рия етаж (на височина 5 метра). Колко дълго ще бъде капачката в полет, ако падне под краката на смелия хусар Никита Петрович (естествено стоящ под балкона на улицата).

Знаете, че когато всяко тяло падне на Земята, скоростта му се увеличава. Дълго време се смяташе, че Земята придава различни ускорения на различни тела. Простите наблюдения изглежда потвърждават това.

Но само Галилей успя да докаже емпирично, че това не е така в действителност. Трябва да се вземе предвид съпротивлението на въздуха. Именно тя изкривява картината на свободното падане на телата, което би могло да се наблюдава при липса на земна атмосфера. За да провери предположението си, Галилей, според легендата, наблюдавал падането на различни тела (гюле, мускетно гюле и др.) от известната наклонена кула в Пиза. Всички тези тела достигнаха повърхността на Земята почти едновременно.

Особено прост и убедителен е експериментът с така наречената тръба на Нютон. В стъклена тръба се поставят различни предмети: пелети, парчета корк, мъхчета и т.н. Ако сега обърнем тръбата, така че тези предмети да могат да паднат, тогава топчето ще мине най-бързо, последвано от парчета корк и накрая мъхът плавно ще падне (фиг. 1а). Но ако изпомпвате въздух от тръбата, тогава всичко ще се случи съвсем различно: пухът ще падне, поддържайки пелетата и корка (фиг. 1, b). Това означава, че движението му е било забавено от съпротивлението на въздуха, което в по-малка степен е повлияло на движението, например, на задръствания. Когато върху тези тела действа само привличане към Земята, тогава всички падат с еднакво ускорение.

Ориз. 1

Свободното падане е движението на тялото само под въздействието на привличането към Земята(без въздушно съпротивление).

Ускорението, придавано на всички тела от земното кълбо, се нарича ускорение на свободно падане. Неговия модул ще обозначаваме с буквата ж. Свободното падане не означава непременно движение надолу. Ако началната скорост е насочена нагоре, то тялото в свободно падане известно време ще лети нагоре, намалявайки скоростта си и едва след това ще започне да пада надолу.

Вертикално движение на тялото

Уравнението за проекцията на скоростта върху оста 0Y: $\upsilon _(y) =\upsilon _(0y) +g_(y) \cdot t,$

уравнение на движение по оста 0Y: $y=y_(0) +\upsilon _(0y) \cdot t+\dfrac(g_(y) \cdot t^(2) )(2) =y_(0) +\dfrac(\upsilon _(y) )^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(2g_(y) ) ,$

Където г 0 - начална координата на тялото; υ г- проекция на крайната скорост по ос 0 Y; υ 0 г- проекция на началната скорост върху оста 0 Y; T- време, през което се променя скоростта (s); g y- проекция на ускорението на свободното падане върху ос 0 Y.

Ако ос 0 Yточка нагоре (фиг. 2), след това g y = –ж, а уравненията приемат формата

$\begin(array)(c) (\upsilon _(y) =\upsilon _(0y) -g\cdot t,) \\ (\, y=y_(0) +\upsilon _(0y) \cdot t-\dfrac(g\cdot t^(2) )(2) =y_(0) -\dfrac(\upsilon _(y)^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(2g ) .) \край (масив)$

Ориз. 2 Скрити данни Когато тялото се движи надолу

"тяло пада" или "тяло пада" - υ 0 при = 0.

земна повърхност, Че:

тялото паднало на земята ч = 0.

При движение на тялото нагоре

„тялото е достигнало максималната си височина“ – υ при = 0.

Ако приемем за произход земна повърхност, Че:

тялото паднало на земята ч = 0;

"тялото е хвърлено от земята" - ч 0 = 0.

Време на нарастванетялото до максимална височина Tпод равно на времето на падане от тази височина до началната точка Tпадане и общото време на полета T = 2Tпод.

Максималната височина на повдигане на тяло, хвърлено вертикално нагоре от нулева височина (при максимална височина υ г = 0)

$h_(\max ) =\dfrac(\upsilon _(x)^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(-2g) =\dfrac(\upsilon _(0y)^(2) )(2g).$

Движение на тяло, хвърлено хоризонтално

Специален случай на движението на тяло, хвърлено под ъгъл спрямо хоризонта, е движението на тяло, хвърлено хоризонтално. Траекторията е парабола с връх в точката на хвърляне (фиг. 3).

Ориз. 3

Това движение може да се разложи на две:

1) униформадвижение хоризонталносъс скорост υ 0 х (a x = 0)

уравнение за проекция на скоростта: $\upsilon _(x) =\upsilon _(0x) =\upsilon _(0) $;
уравнение на движението: $x=x_(0) +\upsilon _(0x) \cdot t$;

2) равномерно ускоренодвижение вертикалнос ускорение жи начална скорост υ 0 при = 0.

За да се опише движението по оста 0 Yсе прилагат формулите за равномерно ускорено вертикално движение:

уравнение за проекция на скоростта: $\upsilon _(y) =\upsilon _(0y) +g_(y) \cdot t$;

уравнение на движението: $y=y_(0) +\dfrac(g_(y) \cdot t^(2) )(2) =y_(0) +\dfrac(\upsilon _(y)^(2) )(2g_( y) ) $.

Ако ос 0 Yпосочете нагоре тогава g y = –ж, а уравненията приемат формата:

$\begin(array)(c) (\upsilon _(y) =-g\cdot t,\, ) \\ (y=y_(0) -\dfrac(g\cdot t^(2) )(2 ) =y_(0) -\dfrac(\upsilon _(y)^(2) )(2g) .) \end(масив)$

Обхват на полетасе определя по формулата: $l=\upsilon _(0) \cdot t_(nad) .$

Скоростта на тялото във всеки даден момент Tще бъде равно на (фиг. 4):

$\upsilon =\sqrt(\upsilon _(x)^(2) +\upsilon _(y)^(2) ) ,$

където v х = υ 0 х , υ г = g y Tили υ х= υ∙cosα, υ г= υ∙sinα.

Ориз. 4

При решаване на задачи за свободно падане

1. Изберете референтното тяло, посочете началната и крайната позиция на тялото, изберете посоката на осите 0 Yи 0 х.

2. Начертайте тяло, посочете посоката на началната скорост (ако е равна на нула, тогава посоката на моментната скорост) и посоката на ускорението на свободното падане.

3. Запишете изходните уравнения в проекции на оста 0 Y(и, ако е необходимо, по ос 0 х)

$\begin(array)(c) (0Y:\; \; \; \; \; \upsilon _(y) =\upsilon _(0y) +g_(y) \cdot t,\; \; \; (1)) \\ () \\ (y=y_(0) +\upsilon _(0y) \cdot t+\dfrac(g_(y) \cdot t^(2) )(2) =y_(0) +\dfrac(\upsilon _(y)^(2) -\upsilon _(0y)^(2) )(2g_(y) ) ,\; \; \; \; (2)) \\ () \ \ (0X:\; \; \; \; \; \upsilon _(x) =\upsilon _(0x) +g_(x) \cdot t,\; \; \; (3)) \\ () \\ (x=x_(0) +\upsilon _(0x) \cdot t+\dfrac(g_(x) \cdot t^(2) )(2) .\; \; \; (4)) \end (масив)$

4. Намерете стойностите на проекциите на всяко количество

х 0 = …, υ х = …, υ 0 х = …, g x = …, г 0 = …, υ г = …, υ 0 г = …, g y = ….

Забележка. Ако ос 0 хнасочен хоризонтално, тогава g x = 0.

5. Заместете получените стойности в уравнения (1) - (4).

6. Решете получената система от уравнения.

Забележка. Тъй като умението за решаване на такива проблеми се развива, точка 4 може да се направи наум, без да се пише в тетрадка.