Теория на вероятностите: формули и примери за решаване на проблеми. Задачи за класическо определяне на вероятности. Примери за решения
Разбирам, че всеки иска да знае предварително как ще завърши спортното събитие, кой ще спечели и кой ще загуби. С тази информация можете да залагате на спортни събития. Но възможно ли е изобщо и ако е така, как да се изчисли вероятността от събитие?
Вероятността е относителна величина, поради което не може да се говори със сигурност за нито едно събитие. Тази стойност ви позволява да анализирате и оцените необходимостта от залагане на определено състезание. Определянето на вероятностите е цяла наука, която изисква внимателно изучаване и разбиране.
Коефициент на вероятност в теорията на вероятностите
При спортните залагания има няколко варианта за изход от състезанието:
- първа отборна победа;
- победа на втория отбор;
- рисувам;
- обща сума
Всеки резултат от състезанието има своя собствена вероятност и честота, с която това събитие ще се случи, при условие че се запазят първоначалните характеристики. Както казахме по-рано, невъзможно е точно да се изчисли вероятността за всяко събитие - то може да съвпадне или да не съвпадне. Така вашият залог може или да спечели, или да загуби.
Не може да има 100% точна прогноза за резултатите от състезанието, тъй като много фактори влияят върху резултата от мача. Естествено, букмейкърите не знаят изхода от мача предварително и само предполагат резултата, като вземат решения чрез своята система за анализ и предлагат определени коефициенти за залагане.
Как да изчислим вероятността от събитие?
Да приемем, че коефициентът на букмейкъра е 2.1/2 – получаваме 50%. Оказва се, че коефициентът е 2 равно на вероятността 50%. Използвайки същия принцип, можете да получите коефициент на вероятност за рентабилност - 1/вероятност.
Много играчи смятат, че след няколко повторни поражения със сигурност ще се случи победа - това е погрешно мнение. Вероятността да спечелите залог не зависи от броя на загубите. Дори ако хвърлите няколко глави подред в игра с монети, вероятността да хвърлите опашки остава същата - 50%.
Появата на теорията на вероятностите датира от средата на 17 век, когато математиците се интересуват от поставените проблеми комарджиии все още не са изучавани по математика. В процеса на решаване на тези проблеми понятия като вероятност и очаквана стойност. В същото време учените от онова време - Хюйгенс (1629-1695), Паскал (1623-1662), Ферма (1601-1665) и Бернули (1654-1705) са убедени, че ясни модели могат да възникнат на базата на масивни случайни събития. И само състоянието на естествената наука доведе до факта, че дълго време хазартът продължи да остане почти единственият конкретен материал, въз основа на който бяха създадени концепциите и методите на теорията на вероятностите. Това обстоятелство остави своя отпечатък и върху формалния математически апарат, чрез който бяха решени проблемите, възникващи в теорията на вероятностите: той беше сведен изключително до елементарни аритметични и комбинаторни методи.
Сериозните изисквания на естествените науки и социалната практика (теорията на грешките на наблюдението, проблемите на теорията на стрелбата, проблемите на статистиката, предимно статистиката на населението) доведоха до необходимостта от по-нататъшно развитие на теорията на вероятностите и използването на по-развит аналитичен апарат. Особено важна роля в развитието на аналитичните методи на теорията на вероятностите изиграха Моавър (1667-1754), Лаплас (1749-1827), Гаус (1777-1855), Поасон (1781-1840). От формална аналитична страна работата на създателя на неевклидовата геометрия Лобачевски (1792-1856), посветена на теорията за грешките в измерванията върху сфера и извършена с цел установяване на геометрична система, която доминира във Вселената , е в непосредствена близост до същата посока.
Теорията на вероятностите, подобно на други клонове на математиката, се развива от нуждите на практиката: в абстрактна форма тя отразява моделите, присъщи на случайни събития от масов характер. Тези модели играят изключително важна роля във физиката и други области на естествените науки, различни технически дисциплини, икономика, социология и биология. Във връзка с широкото развитие на предприятия, произвеждащи масови продукти, резултатите от теорията на вероятностите започнаха да се използват не само за отхвърляне на вече произведени продукти, но и за организиране на самия производствен процес (статистически контрол в производството).
Основни понятия на теорията на вероятностите
Теорията на вероятностите обяснява и изследва различните модели, които управляват случайни събития и случайни променливи. Събитиее всеки факт, който може да бъде заявен в резултат на наблюдение или опит. Наблюдението или опитът е осъзнаването на определени условия, при които може да се случи дадено събитие.
Опитът означава, че споменатият набор от обстоятелства е създаден съзнателно. По време на наблюдението наблюдателният комплекс от тези условия не го създава и не му влияе. То е създадено или от природните сили, или от други хора.
Какво трябва да знаете, за да определите вероятностите за събития
Всички събития, които хората наблюдават или създават сами, се разделят на:
- надеждни събития;
- невъзможни събития;
- случайни събития.
Надеждни събитиявинаги възникват, когато се създаде определен набор от обстоятелства. Например, ако работим, получаваме награда за това, ако издържим изпити и издържим конкурса, можем надеждно да разчитаме, че ще бъдем включени в броя на студентите. Надеждни събития могат да се наблюдават във физиката и химията. В икономиката надеждните събития се свързват със съществуващия обществен ред и законодателство. Например, ако сме депозирали пари в банка и сме изявили желание да ги получим в определен период от време, тогава ще получим парите. Това може да се счита за надеждно събитие.
Невъзможни събития определено не възникват, ако е създаден определен набор от условия. Например водата не замръзва, ако температурата е плюс 15 градуса по Целзий, производството не се извършва без електричество.
Случайни събития Когато се реализира определен набор от условия, те могат или не могат да се случат. Например, ако хвърлим монета веднъж, гербът може или не може да изпадне, в зависимост от лотариен билетможете да спечелите или да не спечелите; произведеният продукт може да е подходящ или не. Появата на дефектен продукт е случайно събитие, по-рядко от производството на подходящи продукти.
Очакваната честота на възникване на случайни събития е тясно свързана с концепцията за вероятност. Моделите на настъпване и ненастъпване на случайни събития се изучават от теорията на вероятностите.
Ако комплексът необходими условиясе прилага само веднъж, тогава не получаваме достатъчно информация за случайното събитие, тъй като то може да се случи или да не се случи. Ако набор от условия се прилага много пъти, тогава се появяват известни модели. Например, никога не е възможно да се знае коя кафе машина в магазина ще поиска следващият клиент, но ако са известни марките кафе машини, които са били най-търсени от дълго време, тогава въз основа на тези данни е възможно да организира производство или доставка, за да отговори на търсенето.
Познаването на моделите, които управляват масовите случайни събития, ни позволява да предвидим кога ще се случат тези събития. Например, както беше отбелязано по-горе, невъзможно е предварително да се предвиди резултатът от хвърлянето на монета, но ако монетата бъде хвърлена много пъти, тогава е възможно да се предвиди, че гербът ще изпадне. Грешката може да е малка.
Методите на теорията на вероятностите се използват широко в различни клонове на естествените науки, теоретичната физика, геодезията, астрономията, теорията на автоматизираното управление, теорията за наблюдение на грешките и в много други теоретични и практически науки. Теорията на вероятностите се използва широко в планирането и организацията на производството, анализа на качеството на продукта, анализа на технологичния процес, застраховането, статистиката на населението, биологията, балистиката и други индустрии.
Обикновено се обозначават случайни събития с главни букви латиница A, B, C и т.н.
Случайните събития могат да бъдат:
- несъвместим;
- става.
Извикват се събития A, B, C... несъвместими , ако в резултат на един тест може да възникне едно от тези събития, но не могат да възникнат две или повече събития.
Ако началото на един случайно събитиене изключва настъпването на друго събитие, тогава такива събития се наричат става . Например, ако друга част е отстранена от конвейерна лента и събитие A означава „частта отговаря на стандарта“, а събитие B означава „частта не отговаря на стандарта“, тогава A и B са несъвместими събития. Ако събитие C означава „взета е част от степен II“, тогава това събитие е съвместно със събитие A, но несъвместимо със събитие B.
Ако във всяко наблюдение (тест) се случи едно и само едно от несъвместимите случайни събития, тогава тези събития представляват пълен набор (система) от събития .
Надеждно събитие е появата на поне едно събитие от пълен набор от събития.
Ако събитията, които формират пълния набор от събития по двойки непоследователен , тогава в резултат на наблюдение може да се случи само едно от тези събития. Например ученикът трябва да реши две задачи тестова работа. Едно и само едно от следните събития със сигурност ще се случи:
- първият проблем ще бъде решен, а вторият проблем няма да бъде решен;
- вторият проблем ще бъде решен и първият проблем няма да бъде решен;
- и двата проблема ще бъдат решени;
- нито един от проблемите няма да бъде решен.
Тези събития формират пълен набор от несъвместими събития .
Ако пълният набор от събития се състои само от две несъвместими събития, тогава те се извикват взаимно противоположни или алтернатива събития.
Събитието, противоположно на събитието, се означава с . Например, в случай на едно хвърляне на монета, може да се появи номиналът () или гербът ().
Събитията се наричат еднакво възможно , ако никой от тях няма обективни предимства. Такива събития също съставляват пълния набор от събития. Това означава, че в резултат на наблюдение или тест определено трябва да се случи поне едно от еднакво възможните събития.
Например, пълна групасъбития се формират от загубата на номинала и герба при едно хвърляне на монета, наличието на 0, 1, 2, 3 и повече от 3 грешки на една печатна страница текст.
Определения и свойства на вероятността
Класическа дефиниция на вероятността.Възможност или благоприятен случай е случай, когато по време на изпълнението на определен набор от обстоятелства, събитие Аслучи се. Класическата дефиниция на вероятността включва директно изчисляване на броя на благоприятните случаи или възможности.
Класическа и статистическа вероятност. Вероятностни формули: класически и статистически
Вероятност за събитието Анаричаме отношението на броя на благоприятните възможности за това събитие към броя на всички еднакво възможни несъвместими събития нкоито могат да възникнат в резултат на единичен опит или наблюдение. Вероятностна формула събития А:
Ако е напълно ясно за каква вероятност от дадено събитие говорим, тогава вероятността се обозначава с малка буква стр, без да се уточнява обозначението на събитието.
За да се изчисли вероятността според класическата дефиниция, е необходимо да се намери броят на всички еднакво възможни несъвместими събития и да се определи колко от тях са благоприятни за определението на събитието А.
Пример 1.Намерете вероятността да получите числото 5 в резултат на хвърляне зарове.
Решение. Известно е, че и шестте лица имат еднакъв шанс да се окажат на върха. Цифрата 5 е отбелязана само от едната страна. Броят на всички еднакво възможни несъвместими събития е 6, от които само едно възможностномер 5 ( М= 1). Това означава, че желаната вероятност за хвърляне на числото 5
Пример 2.Една кутия съдържа 3 червени и 12 бели топки с еднакъв размер. Едната топка е взета без да се гледа. Намерете вероятността червената топка да бъде взета.
Решение. Необходима вероятност
Намерете сами вероятностите и след това вижте решението
Пример 3.Заровете са хвърлени. Събитие Б- хвърляне на четно число. Изчислете вероятността от това събитие.
Пример 5.В една урна има 5 бели и 7 черни топки. На случаен принцип се тегли 1 топка. Събитие А- изтегля се бяла топка. Събитие Б- изтегля се черна топка. Изчислете вероятностите за тези събития.
Класическата вероятност се нарича още предварителна вероятност, защото се изчислява преди започване на тест или наблюдение. От априорната природа на класическата вероятност следва нейният основен недостатък: само в редки случаи, преди началото на наблюдението, могат да се изчислят всички еднакво възможни несъвместими събития, включително благоприятни събития. Такива възможности обикновено възникват в ситуации, подобни на игри.
Комбинации.Ако последователността от събития не е важна, броят на възможните събития се изчислява като броя на комбинациите:
Пример 6.В групата има 30 ученици. Трима студенти трябва да отидат до катедрата по компютърни науки, за да вземат и донесат компютър и проектор. Изчислете вероятността трима конкретни студенти да направят това.
Решение. Изчисляваме броя на възможните събития, използвайки формула (2):
Вероятността трима конкретни студенти да отидат в отдела:
Пример 7.Продадено 10 мобилни телефони. 3 от тях са с дефекти. Купувачът избра 2 телефона. Изчислете вероятността и двата избрани телефона да имат дефекти.
Решение. Броят на всички еднакво възможни събития се намира по формула (2):
Използвайки същата формула, намираме числото благоприятно събитиевъзможности:
Желаната вероятност и двата избрани телефона да имат дефекти.
ТЕМА 1 . Класическа формула за изчисляване на вероятността.
Основни определения и формули:
Експеримент, чийто резултат не може да бъде предвиден, се нарича случаен експеримент(SE).
Извиква се събитие, което може или не може да се случи в даден SE случайно събитие.
Елементарни резултатисъбития, които отговарят на изискванията, се наричат:
1. при всяка реализация на SE възниква един и само един елементарен резултат;
2. всяко събитие е определена комбинация, определен набор от елементарни резултати.
Наборът от всички възможни елементарни резултати напълно описва SE. Такъв набор обикновено се нарича пространство на елементарни резултати(PEI). Изборът на PEI за описание на даден SE е двусмислен и зависи от проблема, който се решава.
P(A) = n(A)/n,
където n е общият брой еднакво възможни резултати,
n (A) – броят на резултатите, които съставляват събитие А, както се казва, благоприятно за събитие А.
Думите „на случаен принцип“, „на случаен принцип“, „на случаен принцип“ гарантират еднаква възможност за елементарни резултати.
Решаване на типични примери
Пример 1. От урна, съдържаща 5 червени, 3 черни и 2 бели топки, се изтеглят 3 топки на случаен принцип. Намерете вероятностите за събития:
А– „всички изтеглени топки са червени“;
IN– „всички изтеглени топки са от един и същи цвят“;
СЪС– „сред извлечените има точно 2 черни.“
Решение:
Елементарният резултат от тази SE е тройка (неподредена!) от топки. Следователно общият брой резултати е броят на комбинациите: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).
Събитие Асе състои само от онези тройки, които са изтеглени от пет червени топки, т.е. n(A)==10.
Събитие INОсвен 10 червени тройки, благоприятни са и черните тройки, чийто брой е = 1. Следователно: n (B)=10+1=11.
Събитие СЪСТези тройки топки, които съдържат 2 черни и една нечерна са предпочитани. Всеки метод за избиране на две черни топки може да се комбинира с избиране на една нечерна топка (от седем). Следователно: n (C) = = 3 * 7 = 21.
Така: P(A) = 10/120; P(B) = 11/120; R(S) = 21/120.
Пример 2. В условията на предишната задача ще приемем, че топките от всеки цвят имат собствена номерация, като се започне от 1. Намерете вероятностите за събития:
д– „максималното извлечено число е 4“;
д– „Максималният извлечен брой е 3.“
Решение:
За да изчислим n(D), можем да предположим, че урната има една топка с номер 4, една топка с по-висок номер и 8 топки (3k+3h+2b) с по-ниски числа. Събитие дТези тройки топки, които задължително съдържат топка с номер 4 и 2 топки с по-ниски номера, са предпочитани. Следователно: n(D) = 
P(D) = 28/120.
За да изчислим n (E), вземаме предвид: в урната има две топки с номер 3, две с по-високи номера и шест топки с по-ниски номера (2k+2h+2b). Събитие дсе състои от триплети от два вида:
1. една топка с номер 3 и две с по-малки числа;
2.две топки с номер 3 и една с по-нисък номер.
Следователно: n(E)= 
P(E) = 36/120.
Пример 3. Всяка от M различни частици се хвърля на случаен принцип в една от N клетки. Намерете вероятностите за събития:
А– всички частици са попаднали във втората клетка;
IN– всички частици попаднаха в една клетка;
СЪС– всяка клетка съдържа не повече от една частица (M £ N);
д– всички клетки са заети (M =N +1);
д– втората клетка съдържа точно Да се частици.
Решение:
За всяка частица има N начина да влезе в определена клетка. Съгласно основния принцип на комбинаториката за M частици имаме N *N *N *…*N (M пъти). И така, общият брой резултати в тази SE n = N M .
За всяка частица имаме една възможност да влезем във втората клетка, следователно n (A) = 1*1*…*1= 1 M = 1 и P(A) = 1/ N M.
Попадането в една клетка (за всички частици) означава вкарване на всички в първата, или всички във втората, или т.н. всички в Nth. Но всяка от тези N опции може да бъде приложена по един начин. Следователно n (B)=1+1+…+1(N - пъти)=N и Р(В)=N/N M.
Събитие C означава, че всяка частица има един брой по-малко опции за разположение от предишната частица и първата може да попадне във всяка от N клетки. Ето защо:
n (C) = N *(N -1)*…*(N +M -1) и Р(С) = 
В частния случай с M =N: Р(С)=
Събитие D означава, че една от клетките съдържа две частици и всяка от (N -1) останалите клетки съдържа една частица. За да намерим n (D), разсъждаваме по следния начин: изберете клетка, в която ще има две частици, това може да стане по =N начина; тогава ще изберем две частици за тази клетка, има начини да направим това. След това разпределяме останалите (N -1) частици една по една в останалите (N -1) клетки, за това има (N -1)! начини.
Така че n(D) = 
.
Числото n(E) може да се изчисли, както следва: Да се частиците за втората клетка могат да бъдат направени по начини; останалите (M – K) частици се разпределят на случаен принцип в (N -1) клетка (N -1) по M-K начини. Ето защо:
като онтологична категория отразява степента на възможността за възникване на всяка единица при всякакви условия. За разлика от математическото и логическото тълкуване на това понятие, онтологичната математика не се свързва със задължението за количествено изразяване. Значението на В. се разкрива в контекста на разбирането на детерминизма и природата на развитието като цяло.
Отлично определение
Непълна дефиниция ↓
ВЕРОЯТНОСТ
концепция, характеризираща количества. мярката за възможността за настъпване на определено събитие в определено време условия. В научната знание има три интерпретации на V. Класическата концепция на V., възникнала от мат. анализ хазарти най-пълно разработен от Б. Паскал, Дж. Бернули и П. Лаплас, разглежда V. като отношението на броя на благоприятните случаи към общ бройвсички еднакво възможни. Например, когато хвърляте зар, който има 6 страни, може да се очаква всяка от тях да се окаже със стойност 1/6, тъй като никоя страна няма предимства пред друга. Такава симетрия на експерименталните резултати се взема предвид специално при организирането на игри, но е сравнително рядко при изследване на обективни събития в науката и практиката. Класически Тълкуването на В. отстъпи място на статистиката. Концепции на В., които се основават на факт наблюдение на настъпването на определено събитие за дълъг период от време. опит при точно определени условия. Практиката потвърждава, че колкото по-често се случва дадено събитие, толкова по-голяма е степента на обективна възможност за неговото възникване или Б. Следователно статистически. Тълкуването на В. се основава на концепцията за отношението. честота, която може да се определи експериментално. V. като теоретична понятието никога не съвпада с емпирично определената честота, но в множествено число. В случаите той практически се различава малко от относителния. честота, установена в резултат на продължителността. наблюдения. Много статистици смятат V. за „двойно“ отнасяне. честотите, ръбовете се определят статистически. изследване на резултатите от наблюденията
или експерименти. По-малко реалистично беше определението на V. във връзка с границата. честоти на масови събития или групи, предложени от R. Mises. Като по-нататъшно развитие на честотния подход към V. се излага диспозиционна или предразполагаща интерпретация на V. (K. Popper, J. Hacking, M. Bunge, T. Settle). Според това тълкуване V. характеризира свойството да генерира условия, напр. експеримент. инсталации за получаване на поредица от масивни случайни събития. Точно тази нагласа поражда физическите предразположения или предразположения, V. които могат да бъдат проверени с помощта на роднини. честота
Статистически Интерпретацията на В. доминира в научните изследвания. когнитивност, защото отразява специф. естеството на закономерностите, присъщи на масовите явления със случаен характер. В много физически, биологични, икономически, демографски. и т.н. социални процесинеобходимо е да се вземе предвид влиянието на много случайни фактори, които се характеризират със стабилна честота. Идентифициране на тези стабилни честоти и количества. оценката му с помощта на В. дава възможност да се разкрие необходимостта, която си проправя път чрез кумулативното действие на множество произшествия. Тук намира своето проявление диалектиката на превръщането на случайността в необходимост (вж. Ф. Енгелс, в книгата: К. Маркс и Ф. Енгелс, Съчинения, том 20, стр. 535-36).
Логическите или индуктивни разсъждения характеризират връзката между предпоставките и заключението на недемонстративните и по-специално индуктивните разсъждения. За разлика от дедукцията, предпоставките на индукцията не гарантират истинността на заключението, а само го правят повече или по-малко правдоподобно. Тази правдоподобност, с точно формулирани предпоставки, понякога може да бъде оценена с помощта на V. Стойността на това V. най-често се определя чрез сравнение. понятия (по-голямо, по-малко или равно), а понякога и по числов начин. Логично интерпретацията често се използва за анализ на индуктивните разсъждения и конструиране на различни системи от вероятностна логика (Р. Карнап, Р. Джефри). В семантиката логически понятия V. често се определя като степента, в която едно твърдение се потвърждава от други (например хипотеза от нейните емпирични данни).
Във връзка с развитието на теориите за вземане на решения и игри, т.нар персоналистична интерпретация на V. Въпреки че V. в същото време изразява степента на вяра на субекта и настъпването на определено събитие, самите V. трябва да бъдат избрани по такъв начин, че да бъдат изпълнени аксиомите на смятането на V. Следователно В. с такова тълкуване изразява не толкова степента на субективна, а по-скоро разумна вяра. Следователно решенията, взети въз основа на такъв V., ще бъдат рационални, тъй като не отчитат психологическото. характеристики и наклонности на субекта.
С епистемологични т.зр. разлика между статистически, логически. и персоналистичните интерпретации на В. е, че ако първото характеризира обективните свойства и връзки на масови явления от случаен характер, то последните две анализират характеристиките на субективното, познаващо. човешка дейност в условия на несигурност.
ВЕРОЯТНОСТ
едно от най-важните понятия на науката, характеризиращо специална системна визия за света, неговата структура, еволюция и познание. Спецификата на вероятностния възглед за света се разкрива чрез включването на понятията за случайност, независимост и йерархия (идеята за нивата в структурата и детерминацията на системите) сред основните понятия на съществуването.
Идеите за вероятността са възникнали в древни времена и са свързани с характеристиките на нашето знание, като е признато съществуването на вероятностно знание, което се различава от надеждното знание и от фалшивото знание. Въздействието на идеята за вероятността върху научното мислене и върху развитието на знанието е пряко свързано с развитието на теорията на вероятностите като математическа дисциплина. Произходът на математическата доктрина за вероятността датира от 17-ти век, когато развитието на ядрото от концепции позволява. количествени (числови) характеристики и изразяване на вероятностна идея.
Интензивни приложения на вероятността за развитието на познанието настъпват през 2-рата половина. 19 - 1-во полувреме. 20-ти век Вероятността е влязла в структурите на такива фундаментални науки за природата като класическата статистическа физика, генетика, квантова теория и кибернетика (теория на информацията). Съответно вероятността олицетворява този етап от развитието на науката, който сега се определя като некласическа наука. За да се разкрие новостта и характеристиките на вероятностния начин на мислене, е необходимо да се изхожда от анализа на предмета на теорията на вероятностите и основите на нейните многобройни приложения. Теорията на вероятностите обикновено се определя като математическа дисциплина, която изучава моделите на масови случайни явления при определени условия. Случайността означава, че в рамките на масовия характер съществуването на всяко елементарно явление не зависи и не се определя от съществуването на други явления. В същото време самата масовост на явленията има стабилна структура и съдържа определени закономерности. Едно масово явление е доста строго разделено на подсистеми, а относителният брой на елементарните явления във всяка от подсистемите (относителна честота) е много стабилен. Тази стабилност се сравнява с вероятността. Едно масово явление като цяло се характеризира с разпределение на вероятностите, т.е. чрез определяне на подсистеми и съответните им вероятности. Езикът на теорията на вероятностите е езикът на вероятностните разпределения. Съответно теорията на вероятностите се определя като абстрактна наука за работа с разпределения.
Вероятността породи в науката идеи за статистически модели и статистически системи. Последната същностсистеми, образувани от независими или квазинезависими единици, тяхната структура се характеризира с вероятностни разпределения. Но как е възможно да се формират системи от независими единици? Обикновено се приема, че за формирането на системи с интегрални характеристики е необходимо между техните елементи да съществуват достатъчно стабилни връзки, които цементират системите. Стабилността на статистическите системи се дава от наличието на външни условия, външна среда, външна и не вътрешни сили. Самото определение на вероятността винаги се основава на определяне на условията за формиране на първоначалното масово явление. Друга важна идея, характеризираща вероятностната парадигма, е идеята за йерархия (подчинение). Тази идея изразява връзката между характеристиките на отделните елементи и интегралните характеристики на системите: последните, така да се каже, са изградени върху първите.
Значението на вероятностните методи в познанието се състои в това, че те позволяват да се изучават и теоретично изразяват моделите на структура и поведение на обекти и системи, които имат йерархична, „двустепенна“ структура.
Анализът на естеството на вероятността се основава на нейната честота, статистическа интерпретация. В същото време много дълго времеВ науката преобладава такова разбиране за вероятността, което се нарича логическа или индуктивна вероятност. Логическа вероятностинтересуват се от въпроси относно валидността на отделно индивидуално решение при определени условия. Възможно ли е да се оцени степента на потвърждение (надеждност, истинност) на индуктивно заключение (хипотетично заключение) в количествена форма? По време на развитието на теорията на вероятностите такива въпроси бяха многократно обсъждани и те започнаха да говорят за степените на потвърждение на хипотетичните заключения. Тази мярка за вероятност се определя от наличните този човекинформация, неговия опит, възгледи за света и психологическо мислене. Във всичко подобни случаивеличината на вероятността не подлежи на строги измервания и на практика е извън компетентността на теорията на вероятностите като последователна математическа дисциплина.
Обективното, често срещано тълкуване на вероятността беше установено в науката със значителни трудности. Първоначално разбирането за природата на вероятността беше силно повлияно от онези философски и методологически възгледи, които бяха характерни за класическа наука. Исторически развитието на вероятностните методи във физиката се извършва под определящото влияние на идеите на механиката: статистическите системи се тълкуват просто като механични. Тъй като съответните проблеми не бяха решени със строги методи на механиката, възникнаха твърдения, че обръщането към вероятностните методи и статистическите закони е резултат от непълнотата на нашите знания. В историята на развитието на класическата статистическа физика са правени многобройни опити тя да се обоснове на базата на класическата механика, но всички те са се провалили. Основата на вероятността е, че тя изразява структурните характеристики на определен клас системи, различни от механичните системи: състоянието на елементите на тези системи се характеризира с нестабилност и специален (несвеждащ се до механиката) характер на взаимодействията.
Навлизането на вероятността в знанието води до отричане на концепцията за твърд детерминизъм, до отричане на основния модел на битието и знанието, разработен в процеса на формиране на класическата наука. Основните модели, представени от статистическите теории, са от различен, по-общ характер: те включват идеите за случайност и независимост. Идеята за вероятността е свързана с разкриването на вътрешната динамика на обектите и системите, които не могат да бъдат изцяло определени от външни условия и обстоятелства.
Концепцията за вероятностна визия за света, основана на абсолютизирането на идеите за независимост (както преди парадигмата на твърдата детерминация), сега разкри своите ограничения, което най-силно засяга прехода съвременна наукакъм аналитичните методи за изследване на сложни системи и физическите и математически основи на явленията на самоорганизация.
Отлично определение
Непълна дефиниция ↓
Вероятностсъбитие е съотношението на броя на елементарните резултати, благоприятни за дадено събитие, към броя на всички еднакво възможни резултати от опита, в който това събитие може да се появи. Вероятността за събитие А се обозначава с P(A) (тук P е първата буква френска дума probabilite - вероятност). Според дефиницията
(1.2.1)
където е броят на елементарните резултати, благоприятни за събитие А; - броят на всички еднакво възможни елементарни резултати от експеримента, образуващи пълна група от събития.
Това определение на вероятността се нарича класическо. Възникна на начална фазаразвитие на теорията на вероятностите.
Вероятността за събитие има следните свойства:
1. Вероятността за надеждно събитие е равна на единица. Нека означим достоверно събитие с буквата . За определено събитие, следователно
(1.2.2)
2. Вероятността за невъзможно събитие е нула. Нека означим невъзможно събитие с буквата . За невъзможно събитие, следователно
(1.2.3)
3. Изразява се вероятността за случайно събитие положително число, по-малко от едно. Тъй като за случайно събитие неравенствата , или , са изпълнени, тогава
(1.2.4)
4. Вероятността за всяко събитие удовлетворява неравенствата
(1.2.5)
Това следва от съотношения (1.2.2) - (1.2.4).
Пример 1.Една урна съдържа 10 топки с еднакъв размер и тегло, от които 4 са червени и 6 са сини. От урната се изтегля една топка. Каква е вероятността изтеглената топка да е синя?
Решение. Означаваме събитието „изтеглената топка се оказа синя“ с буквата А. Този тест има 10 еднакво възможни елементарни резултата, от които 6 благоприятстват събитие А. В съответствие с формула (1.2.1) получаваме 
Пример 2.Всички естествени числа от 1 до 30 са написани на еднакви карти и поставени в урна. След щателно разбъркване на картите, една карта се изважда от урната. Каква е вероятността числото на взетата карта да е кратно на 5?
Решение.Нека означим с А събитието „числото на взетата карта е кратно на 5“. В този тест има 30 еднакво възможни елементарни изхода, от които събитие А е облагодетелствано от 6 изхода (числата 5, 10, 15, 20, 25, 30). следователно 
Пример 3.Хвърлят се два зара и се изчислява сумата от точките на горните лица. Намерете вероятността за събитие B, така че горните страни на заровете да имат общо 9 точки.
Решение.В този тест има само 6 2 = 36 еднакво възможни елементарни резултата. Събитие B се благоприятства от 4 резултата: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), следователно 
Пример 4. Избрани на случаен принцип естествено число, не повече от 10. Каква е вероятността това число да е просто?
Решение.Нека означим с буквата C събитието „избраното число е просто“. IN в такъв случай n = 10, m = 4 (прости числа 2, 3, 5, 7). Следователно, необходимата вероятност 
Пример 5.Хвърлят се две симетрични монети. Каква е вероятността от горната страна на двете монети да има числа?
Решение.Нека обозначим с буквата D събитието „има число от горната страна на всяка монета“. В този тест има 4 еднакво възможни елементарни изхода: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Означението (G, C) означава, че първата монета е с герб, втората е с номер). Събитие D се предпочита от един елементарен изход (C, C). Тъй като m = 1, n = 4, тогава 
Пример 6.Каква е вероятността произволно избрано двуцифрено число да има еднакви цифри?
Решение.Двуцифрените числа са числата от 10 до 99; Има общо 90 такива числа. Същите числаимат 9 числа (тези числа са 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Тъй като в този случай m = 9, n = 90, тогава 
,
където A е събитието „число с еднакви цифри“.
Пример 7.От буквите на думата диференциалЕдна буква се избира на случаен принцип. Каква е вероятността тази буква да бъде: а) гласна, б) съгласна, в) буква ч?
Решение. Думата диференциал има 12 букви, от които 5 са гласни и 7 са съгласни. Писма чняма в тази дума. Нека обозначим събитията: A - „гласна буква“, B - „съгласна буква“, C - „буква ч". Броят на благоприятните елементарни резултати: - за събитие A, - за събитие B, - за събитие C. Тъй като n = 12, тогава
, И .
Пример 8.Хвърлят се два зара и се отбелязва броят на точките отгоре на всеки зар. Намерете вероятността двата зара да показват еднакъв брой точки.
Решение.Нека обозначим това събитие с буквата A. Събитие A се предпочита от 6 елементарни изхода: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6 ;6). Общият брой еднакво възможни елементарни резултати, които образуват пълна група от събития, в този случай n=6 2 =36. Това означава, че необходимата вероятност 
Пример 9.Книгата има 300 страници. Каква е вероятността да има произволно отворена страница сериен номер, кратно на 5?
Решение.От условията на задачата следва, че всички еднакво възможни елементарни резултати, които образуват пълна група от събития, ще бъдат n = 300. От тях m = 60 благоприятстват настъпването на определеното събитие. Наистина, число, което е кратно на 5, има формата 5k, където k е естествено число и , откъдето 
. следователно 
, където A - събитието „страница“ има пореден номер, който е кратен на 5".
Пример 10. Хвърлят се два зара и се изчислява сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно - да получите общо 7 или 8?
Решение. Нека обозначим събитията: A - „Хвърлят се 7 точки“, B – „Хвърлят се 8 точки“. Събитие A се предпочита от 6 елементарни изхода: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1) и събитие B се предпочита по 5 изхода: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Всички еднакво възможни елементарни резултати са n = 6 2 = 36. Това означава И .
И така, P(A)>P(B), тоест получаването на общо 7 точки е по-вероятно събитие от получаването на общо 8 точки.
Задачи
1. На случаен принцип е избрано естествено число, което не надвишава 30?
2. В урната ачервено и bсини топки, еднакви по размер и тегло. Каква е вероятността произволно изтеглена топка от тази урна да бъде синя?
3. Число, което не надвишава 30, е избрано произволно. Каква е вероятността това число да е делител на 30?
4. В урната Асиньо и bчервени топки, еднакви по размер и тегло. От тази урна се взема една топка и се оставя настрана. Тази топка се оказа червена. След това от урната се изтегля друга топка. Намерете вероятността втората топка също да е червена.
5. Национално число, което не надвишава 50, е избрано произволно. Каква е вероятността това число да е просто?
6. Хвърлят се три зара и се изчислява сумата от точките на горните лица. Кое е по-вероятно - да получите общо 9 или 10 точки?
7. Хвърлят се три зара и се изчислява сумата от хвърлените точки. Какво е по-вероятно - да получите общо 11 (събитие A) или 12 точки (събитие B)?
Отговори
1. 1/3. 2 . b/(а+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(а+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - вероятност да получите общо 9 точки; p 2 = 27/216 - вероятност да получите общо 10 точки; p 2 > p 1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).
Въпроси
1. Как се нарича вероятността от събитие?
2. Каква е вероятността за надеждно събитие?
3. Каква е вероятността за невъзможно събитие?
4. Какви са границите на вероятността от случайно събитие?
5. Какви са границите на вероятността за всяко събитие?
6. Каква дефиниция на вероятността се нарича класическа?
