Каков оптимальный механизм нахождения решения равновесия. Типы равновесия: равновесие по Нэшу, Штекельбергу, Паретто-оптимальное равновесие, равновесие доминирующих стратегий. Основные понятия теории игр

Оптимальными стратегиями в теории конфликтов считаются такие стратегии, которые приводят игроков к устойчивым равновесиям, т.е. неким ситуациям, удовлетворяющим всех игроков.

Оптимальность решения в теории игр основана на понятии равновесной ситуации :

1) ни одному из игроков не выгодно отклоняться от равновесной ситуации, если все другие остаются в ней,

2) смысл равновесия - при многократном повторении игры, игроки выйдут на ситуацию равновесия, начав игру в любой стратегической ситуации.

В каждом взаимодействии могут существовать следующие виды равновесий:

1. равновесие в осторожных стратегиях . Определяется стратегиями, обеспечивающими игрокам гарантированный результат;

2. равновесие в доминирующих стратегиях .

Доминирующей стратегией называется такой план действий, который обеспечивает участнику максимальный выигрыш вне зависимости от действий другого участника. Поэтому равновесием доминирующих стратегий будет пересечение доминирующих стратегий обоих участников игры.

Если оптимальные стратегии игроков доминируют над всеми остальными их стратегиями, то игра имеет равновесие в доминирующих стратегиях. В игре "дилемма заключенных" равновесным по Нэшу набором стратегий будет ("признавать - признавать"). Причем важно отметить, что как для игрока А, так и для игрока Б "признавать" является доминирующей стратегией, тогда как "не признавать" – доминируемой;

3. равновесие Нэша . Равновесием Нэша называется тип решений игры двух и более игроков, в котором ни один участник не может увеличить выигрыш, изменив своё решение в одностороннем порядке, когда другие участники не меняют решения.

Допустим, - игра n лиц в нормальной форме, где - набор чистых стратегий, а - набор выигрышей.

Когда каждый игрок выбирает стратегию в профиле стратегий , игрок получает выигрыш . Причем выигрыш зависит от всего профиля стратегий: не только от стратегии, выбранной самим игроком , но и от чужих стратегий. Профиль стратегий является равновесием по Нэшу, если изменение своей стратегии не выгодно ни одному игроку, то есть для любого

Игра может иметь равновесие Нэша и в чистых стратегиях, и в смешанных.

Нэш доказал, что если разрешить смешанные стратегии , тогда в каждой игре n игроков будет хотя бы одно равновесие Нэша.

В ситуации, равновесной по Нэшу, стратегия каждого игрока обеспечивает ему наилучший отклик на стратегии других игроков;

4. Равновесие Штакельберга . Модель Штакельберга – теоретико-игровая модель олигополистического рынка при наличии информационной асимметрии. В этой модели поведение фирм описывается динамической игрой с полной совершенной информацией, в которой поведение фирм моделируется с помощью статической игры с полной информацией. Главной особенностью игры является наличие лидирующей фирмы, которая первой устанавливает объём выпуска товаров, а остальные фирмы ориентируются в своих расчетах на нее. Основные предпосылки игры:

· отрасль производит однородный товар: отличия продукции разных фирм пренебрежимо малы, а значит, покупатель при выборе, у какой фирмы покупать, ориентируется только на цену;

· в отрасли действует небольшое число фирм;

· фирмы устанавливают количество производимой продукции, а цена на неё определяется исходя из спроса;

· существует так называемая фирма-лидер, на объём производства которой ориентируются остальные фирмы.

Таким образом, модель Штакельберга используется для нахождения оптимального решения в динамических играх и соответствует максимальному выигрышу игроков, исходя из условий, сложившихся после уже сделанного выбора одним или несколькими игроками. Равновесие по Штакельбергу. - ситуация, когда ни один из игроков не может увеличить свой выигрыш в одностороннем порядке, а решения принимаются сначала одним игроком и становятся известными второму игроку. В игре «дилемма заключенных» равновесие по Штакельбергу будет достигнуто в квадрате (1;1) - "признавать вину" обоими преступниками;

5. оптимальность по Парето - такое состояние системы, при котором значение каждого частного критерия, описывающего состояние системы, не может быть улучшено без ухудшения положения других игроков.

Принцип Парето гласит так: «Всякое изменение, которое не приносит убытков, а которое некоторым людям приносит пользу (по их собственной оценке), является улучшением». Таким образом, признаётся право на все изменения, которые не приносят никому дополнительного вреда.

Множество состояний системы, оптимальных по Парето, называют «множеством Парето», «множеством альтернатив, оптимальных в смысле Парето», либо «множеством оптимальных альтернатив».

Ситуация, когда достигнута эффективность по Парето - это ситуация, когда все выгоды от обмена исчерпаны.

Эффективность по Парето является одним из центральных понятий для современной экономической науки. На основе этого понятия строятся первая и вторая фундаментальные теоремы благосостояния.

Одним из приложений Парето-оптимальности является Парето-распределение ресурсов (трудовых ресурсов и капитала) при международной экономической интеграции, т.е. экономическом объединении двух и более государств. Интересно, что Парето-распределение до и после международной экономической интеграции было адекватно математически описано (Далимов Р.Т., 2008). Анализ показал, что добавленная стоимость секторов и доходы трудовых ресурсов движутся противонаправленно в соответствии с хорошо известным уравнением теплопроводности аналогично газу или жидкости в пространстве, что дает возможность применить методику анализа, используемую в физике, в отношении экономических задач по миграции экономических параметров.

Оптимум по Парето гласит, что благосостояние общества достигает максимума, а распределение ресурсов становится оптимальным, если любое изменение этого распределения ухудшает благосостояние хотя бы одного субъекта экономической системы.

Парето-оптимальное состояние рынка - ситуация, когда нельзя улучшить положение любого участника экономического процесса, одновременно не снижая благосостояния как минимум одного из остальных.

Согласно критерию Парето (критерию роста общественного благосостояния), движение в сторону оптимума возможно лишь при таком распределении ресурсов, которое увеличивает благосостояние по крайней мере одного человека, не нанося ущерба никому другому.

Говорят, что ситуация S* доминирует по Парето ситуацию S, если:

· для любого игрока его выигрыш в S<=S*

· есть хотя бы один игрок, для которого его выигрыш в ситуации S*>S

В задаче "дилемма заключенных" равновесию по Парето, когда улучшить положение ни одного из игроков, не ухудшая при этом положение другого, нельзя, соответствует ситуация квадрата (2;2).

Рассмотрим пример 1 :

Равновесия в доминирующих стратегиях нет.

Равновесие по Нэшу . (5,5) и (4,4). Так как ни одному из игроков невыгодно по отдельности отклоняться от выбранной стратегии.

Оптимум по Парето . (5,5). Так как выигрыш игроков при выборе этих стратегий больше выигрышей при выборе других стратегий.

Равновесие Штакельберга :

Первый ход делает игрок А.

Выбирает свою первую стратегию. Б выбирает первую стратегию. А получает 5.

Выбирает свою вторую стратегию. Б выбирает вторую. А получает 4.

5 > 4 =>

Первый ход делает Б.

Выбирает свою первую стратегию. А выбирает первую стратегию. Б получает 5.

Выбирает свою вторую стратегию. А выбирает вторую. Б получает 4.

5 > 4 => равновесие по Штакельбергу (5, 5)

Пример 2. Моделирование дуополии .

Рассмотрим существо этой модели:

пусть существует отрасль с двумя фирмами, одна из которых «фирма-лидер», другая - «фирма-последователь». Пусть цена на продукцию является линейной функцией общего объема предложения Q :

P (Q ) = a − bQ .

Предположим также, что издержки фирм на единицу продукции постоянны и равны с 1 и с 2 соответственно. Тогда прибыль первой фирмы будет определяться формулой

Π 1 = P (Q 1 + Q 2) * Q 1 − c 1 Q 1 ,

а прибыль второй соответственно

Π 2 = P (Q 1 + Q 2) * Q 2 − c 2 Q 2 .

В соответствии с моделью Штакельберга, первая фирма - фирма-лидер - на первом шаге назначает свой выпуск Q 1 . После этого вторая фирма - фирма-последователь - анализируя действия фирмы-лидера определяет свой выпуск Q 2 . Целью обеих фирм является максимизация своих платёжных функций.

Равновесие Нэша в этой игре определяется методом обратной индукции. Рассмотрим предпоследний этап игры - ход второй фирмы. На этом этапе фирма 2 знает объем оптимального выпуска продукции первой фирмой Q 1 * . Тогда задача определения оптимального выпуска Q 2 * сводится к решению задачи нахождения точки максимума платёжной функции второй фирмы. Максимизируя функцию Π 2 по переменной Q 2 , считая Q 1 заданным, находим, что оптимальный выпуск второй фирмы

Это наилучший ответ фирмы-последователя на выбор фирмой-лидером выпуска Q 1 * . Фирма-лидер может максимизировать свою платёжную функцию, учитывая вид функции Q 2 * . Точка максимума функции Π 1 по переменной Q 1 при подстановке Q 2 * будет

Подставляя это в выражение для Q 2 * , получим

Таким образом, в равновесии фирма-лидер производит в два раза большее количество продукции, нежели фирма-последователь.

Каждой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие другую задачу линейного программирования. При решении одной из них автоматически решается и другая задача. Такие задачи называют взаимодвойственными. Покажем, как по данной задаче (будем называть ее исходной) построить двойственную ей.

Рассмотрим задачу о планируемом выпуске продукции.

F = 3х 1 + 5х 2 + 4х 3 + 5х 4 → max.
5x 1 +0.4x 2 +2x 3 +0.5x 4 ≤400
5x 2 +x 3 +x 4 ≤300
x 1 +x 3 +x 4 ≤100
x 1 ≥0, x 2 ≥0, x 3 ≥0, x 4 ≥0

Общие правила составления двойственной задачи :

Построим двойственную ей задачу по следующим правилам.

1. Количество переменных в двойственной задаче равно количеству неравенств в исходной.
2. Матрица коэффициентов двойственной задачи является транспонированной к матрице коэффициентов исходной.
3. Столбец свободных членов исходной задачи является строкой коэффициентов для целевой функции двойственной. Целевая функция в одной задаче максимизируется, в другой минимизируется.
4. Условиям неотрицательности переменных исходной задачи соответствуют неравенства-ограничения двойственной, направленные в другую сторону. И наоборот, неравенствам-ограничениям в исходной соответствуют условия неотрицательности в двойственной.

Заметим, что строки матрицы задачи I являются столбцами матрицы задачи II. Поэтому коэффициенты при переменных y i в задаче II - это, соответственно, коэффициенты i -го неравенства в задаче I.
Полученная модель и есть экономико-математическая модель задачи, двойственной к прямой задаче.

Неравенства, соединенные стрелочками, будем называть сопряженными .
Содержательная постановка двойственной задачи : найти такой набор цен (оценок) ресурсов Y = (y 1 , у 2 ..., у m), при котором общие затраты на ресурсы будут минимальны при условии, что затраты на ресурсы при производстве каждого вида продукции будут не менее прибыли (выручки) от реализации этой продукции.
Цены ресурсов у 1 , у 2 ..., у m в экономической литературе получили различные названия: учетные, неявные, теневые. Смысл этих названий состоит в том, что это условные, «ненастоящие» цены. В отличие от «внешних» цен с 1 , с 2 ..., с n на продукцию, известных, как правило, до начала производства цены ресурсов у 1 , у 2 ..., у m являются внутренними, ибо они задаются не извне, а определяются непосредственно в результате решения задачи, поэтому их чаще называют оценками ресурсов.
Связь прямой и двойственной задач состоит, в частности, в том, что решение одной из них может быть получено непосредственно из решения другой.

Теоремы двойственности

Первая теорема двойственности .

Если одна из пары двойственных задач I и II разрешима, то разрешима и другая, причем значения целевых функций на оптимальных планах совпадают, F (x *) = G (y *), где х *, у * - оптимальные решения задач I и II

Вторая теорема двойственности .

Планы х * и у * оптимальны в задачах I и II тогда и только тогда, когда при подстановке их в систему ограничений задач I и II соответственно хотя бы одно из любой пары сопряженных неравенств обращается в равенство.
Это основная теорема двойственности . Другими словами, если х * и у * - допустимые решения прямой и двойственной задач и если c T x*=b T y*, то х * и у * – оптимальные решения пары двойственных задач.

Третья теорема двойственности . Значения переменных y i в оптимальном решении двойственной задачи представляют собой оценки влияния свободных членов b i системы ограничений - неравенств прямой задачи на величину целевой функции этой задачи:
Δf(x) = b i y i

Решая ЗЛП симплексным методом, мы одновременно решаем двойственную ЗЛП. Значения переменных двойственной задачи y i , в оптимальном плане называют объективно обусловленными, или двойственными оценками. В прикладных задачах двойственные оценки y i часто называются скрытыми, теневыми ценами или маргинальными оценками ресурсов.

Свойство взаимно двойственных задач

1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой - минимум.
2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений в другой.
3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида ≤ , а в задаче минимизации все неравенства вида ≥ .
4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограничений обеих задач являются транспонированными друг к другу:
5. Число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом переменных в другой задаче.
6. Условия неотрицательности переменных имеются в обеих задачах.

Теорема равновесия

Теорема равновесия . Пусть X*=(x 1 *,...,x n *) и Y*=(y 1 *,...,y n *) - допустимые планы пары двойственных задач в симметричной форме. Эти планы являются оптимальными тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия дополняющей нежесткости:


Теорема 4 позволяет определить оптимальное решение одной из пары двойственных задач по решению другой. Если ограничение одной задачи при подстановке оптимального решения обращается в строгое неравенство, то соответствующая двойственная переменная в оптимальном решении двойственной задачи равна 0. Если в оптимальном плане одной задачи какая-нибудь переменная положительна, то соответствующее ей ограничение двойственной задачи является уравнением.
Дадим экономическую интерпретацию условиям дополняющей нежесткости . Если в оптимальном решении какое-нибудь сырье имеет отличную от 0 оценку, то оно будет израсходовано полностью (ресурс является дефицитным). Если сырье расходуется не полностью (находится в избытке), то его оценка равна 0. Таким образом, получаем, что двойственные оценки – это мера дефицитности сырья. Оценка показывает, на сколько возрастет значение целевой функции при увеличении запаса соответствующего сырья на 1 ед. Если некоторый вид продукции входит в план производства, то затраты на его производство совпадают со стоимостью произведенной продукции. Если затраты на производство какого-нибудь вида продукции больше стоимости продукции, то продукция не производится.
В случае если одна из пары двойственных задач содержит две переменных, ее можно решить графически , а, затем, найти решение двойственной задачи , используя Теоремы 3 и 4. При этом могут возникнуть 3 случая: обе задачи имеют допустимые решения, допустимые решения имеет только одна задача, обе задачи не имеют допустимых решений.

Пример 2
Составить двойственную задачу и найти ее решение по теореме равновесия
x 2 -2x 3 +2x 4 -2x 5 ≤4
-2x 1 -2x 2 +2x 3 +2x 4 +x 5 ≥2
x i ≥0, i=1,5
Z=10x 1 -9x 2 -19x 3 -13x 4 -11x 5 → max, если известно решение исходной задачи: Zmax=(3;4;0;0;0).
Построим двойственную задачу. Согласуем знаки неравенств с целью исходной задачи.

Z=10x 1 -9x 2 -19x 3 -13x 4 -11x 5 → max
Двойственная задача:

W=4y 1 -2y 2 → min
Найдем оптимальное решение двойственной задачи по теореме равновесия. Запишем условия дополняющей нежесткости.
y 1 (4-(x 2 -2x 3 +2x 4 -2x 5))=0
y 2 (-2-(2x 1 -2x 2 -2x 3 -2x 4 -x 5))=0
x 1 (-2y 2 -10)=0
x 2 (y 1 -2y 2 +9)=0
x 3 (-2y 1 -2y 2 +19)=0
x 4 (2y 1 -2y 2 +13)=0
x 5 (-2y 1 -y 2 +11)=0
Подставим в составленную систему оптимальное решение исходной задачи: x 1 =3, x 2 =4, x 3 =0, x 4 =0, x 5 =0.
y 1 (4-(4-2·0+2·0-2·0))=0
y 2 (-2-(2·3-2·4-2·0-2·0-0))=0 W(y 1 , y 2 , y 3)=12y 1 +31y 2 +18y 3 → max . По Теореме 3 Zmax=Wmin=100000.
Окончательно, Wmin=W(0; 4000/7; 32000/21) = 100000

Рассмотрим механизм установления рыночного равновесия, когда под воздействием изменения факторов спроса или предложения рынок выходит из этого состояния. Существуют два основных варианта диспропорции между спросом и предложением: избыток и дефицит товара.

Избыток (излишек) товара – это такая ситуация на рынке, когда величина предложения товара по данной цене превышает величину спроса на него. В этом случае между производителями возникает конкуренция, борьба за покупателей. В выигрыше остается тот, кто предлагает более выгодные условия реализации товара. Таким образом рынок стремится вернуться в состояние равновесия.

Дефицит товара – в этом случае величина спроса на товар по данной цене превосходит предлагаемое количество товара. В данной ситуации возникает соревнование уже между покупателями за возможность приобрести дефицитный товар. Побеждает тот, кто предлагает более высокую цену за данный товар. Возросшая цена привлекает к нему внимание производителей, которые начинают расширять производство, увеличивая тем самым предложение товара. В результате система возвращается в состояние равновесия.

Таким образом, цена выполняет уравновешивающую функцию, стимулируя расширение производства и предложения товара при дефиците и сдерживая предложение, избавляя рынок от излишков.

Уравновешивающая роль цены проявляется как через спрос, так и через предложение.

Предположим, что равновесие, установившееся на нашем рынке, было нарушено – под воздействием каких-либо факторов (например, рост доходов) произошло увеличение спроса, в результате его кривая сместилась из D1 в D2 (рис. 4.3 а), а предложение осталось неизменным.

Если цена данного товара не изменилась сразу же после смещения кривой спроса, то вслед за ростом спроса возникнет ситуация, когда по прежней цене Р1 количество товара, которое каждый из покупателей теперь может приобрести (QD) превышает тот объем, который могут предложить при данной цене производители данного товара (QS). Величина спроса теперь будет превышать величину предложения данного товара, что означает возникновение дефицита товара в размере Df = QD – Qs на данном рынке.

Дефицит товаров, как мы уже знаем, приводит к конкуренции между покупателями за возможность приобретения данного товара, что приводит к росту рыночных цен. В соответствии с законом предложения реакцией продавцов на повышение цены будет увеличение объема предлагаемого товара. На графике это будет выражено передвижением точки рыночного равновесия Е1 вдоль кривой предложения до ее пересечения с новой кривой спроса D2 где и будет достигнуто новое равновесие данного рынка Е2 с равновесным количеством товаров Q2 и равновесной ценой Р2.

Рис. 4.3. Смещение точки равновесной цены.

Рассмотрим ситуацию, когда равновесное состояние будет нарушено со стороны предложения.

Предположим, что под воздействием каких-то факторов произошло увеличение предложения, в результате его кривая сместилась вправо из положения S1 в S2 а спрос остался неизменным (рис. 4.3 б).

При условии сохранения рыночной цены на прежнем уровне (Р1) рост предложения приведет к избытку товара в размере Sp = Qs– QD. В результате возникает конкуренция продавцов, приводящая к снижению рыночной цены (с Р1 до Р2) и росту объема продаваемого товара. На графике это будет отражено перемещением точки рыночного равновесия Е1 вдоль кривой спроса до ее пересечения с новой кривой предложения, что приведет к установлению нового равновесия Е2 с параметрамиQ2 иР2.

Аналогично можно выявить влияние на равновесную цену и равновесное количество товаров уменьшения спроса и уменьшения предложения.

В учебной литературе сформулированы четыре правила взаимодействия спроса и предложения.

1. Увеличение спроса вызывает рост равновесной цены и равновесного количества товаров.

2. Уменьшение спроса вызывает падение и равновесной цены, и равновесного количества товаров.

3. Увеличение предложения влечет за собой уменьшение равновесной цены и увеличение равновесного количества товаров.

4. Сокращение предложения влечет за собой увеличение равновесной цены и уменьшение равновесного количества товаров.

Пользуясь этими правилами, можно найти равновесную точку при любых изменениях спроса и предложения.

Возвращению цены к рыночному равновесному уровню в основном могут препятствовать следующие обстоятельства:

1) административное регулирование цен\

2) монополизм производителя или потребителя, позволяющий удерживать монопольную цену, которая может быть как искусственно завышенной, так и заниженной.

Приступая к решению задачи, следут вначале определить число степеней свободы рассматриваемой системы (в частности, механизма), по числу независимых возможных перемещений или координат системы.

В плоских механизмах число степеней свободы можно практически определять так. Представим себе, что механизм движется. Если, остановив поступательное или вращательное движение какого-нибудь одного звена, мы одновременно останавливаем весь механизм, то он имеет одну степень свободы. Если после этого часть механизма может продолжать движение, но, когда затем будет остановлено перемещение какого-нибудь другого звена, механизм остановится, то он имеет две степени свободы и т. д. Аналогично, если определить положение механизма какой-нибудь координатой и когда она постоянна, механизм не может двигаться - у него одна степень свободы. Если же после этого часть механизма может двигаться, то выбирается вторая координата и т. д.

Для решения задачи геометрическим методом, когда система имеет одну степень свободы, надо: 1) изобразить все действующие на систему активные силы; 2) сообщить системе возможное перемещение и показать на чертеже элементарные перемещения точек приложения сил или углы 69, элементарных поворотов тел, на которые действуют силы (у элементарных перемещений будем на чертеже указывать их модули , которые непосредственно входят в условия равновесия); 3) подсчитать элементарные работы всех активных сил на данном перемещении по формулам:

и составить условие (99); 4) установить зависимость между величинами вошедшими в равенство (99), и выразить эти величины через какую-нибудь одну, что для системы с одной степенью свободы всегда можно сделать.

После замены в равенстве (99) всех величн через одну получим уравнение, из которого и найдется искомая в задаче величина или зависимость.

Зависимости между можно находить: а) из соответствующих геометрических соотношений (задачи 164, 169); б) из кинематических соотношений, считая, что система движется, и определяя при данном положении системы зависимости между линейными или угловыми скоростями соответствующих точек или тел системы, а затем полагая , что справедливо, так как получаемые точками или телами за время dt действительные перемещения будут при стационарных связях одними из возможных (иначе, здесь можно сразу считать зависимости между возможными перемещениями такими же, как между соответствующими скоростями, см. задачи 165, 166 и др.).

Для системы с несколькими степенями свободы задачу можно решать, составляя условие (99) для каждого из независимых возможных перемещений системы и преобразуя его тем же путем. В результате для системы получится столько условий равновесия, сколько она имеет степеней свободы. Другой метод решения, приводящий к тем же результатам, изложен в § 144.

При аналитическом методе расчета условие равновесия составляют в виде (100). Для этого выбирают координатные оси, связанные с телом, которое при возможных перемещениях системы остается неподвижным. Затем вычисляют проекции всех активных сил на выбранные оси и координаты точек приложения этих сил, выражая все координаты через какой-нибудь параметр (например, угол). После этого величины находятся дифференцированием координат по этому параметру.

Если все координаты выразить через один параметр сразу не удается, то надо ввести несколько параметров, а затем установить зависимость между ними.

Отметим в заключение, что условиями (99) или (100) можно пользоваться для решения задач и при наличии трения, включая силу трения в число активных сил. Этим же путем можно находить реакции связей, если, отбросив связь, заменить ее соответствующей реакцией, включить последнюю в число активных сил и учесть, что после отбрасывания связи у системы появляется новая степень свободы.

Задача 164. В механизме, изображенном на рис. 354, найти зависимость между силами Р и Q при равновесии.

Решение, У системы одна степень свободы. Если сообщить системе возможное перемещение, то все диагонали параллелограммов, образованных стержнями, удлинятся на одну и ту же величину . Тогда .

Составляя уравнение (99), получим:

откуда . Результат получается очень просто.

Задача 165. Вес бревна Q, вес каждого из двух цилиндрических катков, на которые оно положено, Р. Определить, какую силу F надо приложить к бревну, чтобы удержать его в равновесии на наклонной плоскости при данном угле наклона а (рис. 355). Трение катков о плоскость и бревно обеспечивает отсутствие скольжения.

Решение. Если пренебречь сопротивлением качению, то плоскость для катков будет идеальной связью. При качении без скольжения у системы одна степень свободы. Сообщая системе возможное перемещение, получаем по условию (99)

где - возможное перемещение бревна, совпадающее с перемещением точки В.

Точка касания К является мгновенным центром скоростей катка. Следовательно, , если считать , Подставляя это значение в предыдущее уравнение, найдем окончательно

Задача 166. Найти зависимость между моментом М пары, действующей на кривошип кривошипно-ползунного механизма (рис, 356), и силой давления Р на поршень при равновесии, если

Решение. У механизма одна степепь свободы. Из условия равновесия (99), если положить получим:

Решение сводится к нахождению зависимости между Эта кинематическая задача была решена ранее (см. § 57, задача 63). Пользуясь полученным там результатом, находим

Задача 167. Для редуктора, рассмотренного в задаче 83 (см. § 70), найти зависимость между вращающим моментом приложенным к ведущему валу А, и моментом сопротивлений приложенным к ведомому валу В, когда оба вала вращаются равномерно.

Решение. При равномерном вращении соотношение между будет таким же, как при равновесии. Следовательно, по условию (99), если положить будет:

Отсюда, пользуясь результатом, полученным в задаче 83, находим

Задача 168. Пайтн зависимость между силами Р и Q в подъемном механизме детали которого скрыты в коробке К (рис. 357), если известно, что при каждом повороте рукоятки винт D выдвигается на величину

Решение. Составляя условие равновесия (99), получаем

Предполагается, что при равномерном вращении рукоятки виит вывинчивается также равномерно, тогда

Подставляя это значение в предыдущее равенство, находим

Заметим, что методами геометрической статики эту несложную задачу вообще нельзя было бы решить, так как детали механизма не известны.

Решенная задача показывает, каковы (принципиально) возможности примененного метода. Но при конкретном инженерном расчёте подобного механизма необходимо будет, конечно, учесть трение между его деталями, для чего понадобится знать, каков механизм.

Задача 169. Балка, состоящая из двух брусьев, соединенных шарниром С, несет нагрузку Р (рис. 358, а). Размеры балки и расположение опор показаны на чертеже. Определить силу давления на опору В, вызываемую заданной нагрузкой.

Решение. Отбрасываем опору В и заменяем ее реакцией N в, численно равной искомой силе давления (рис. 358, б). Сообщив системе возможное перемещение (у нее теперь появилась одна степень свободы), составляем условие (99)

Связь между находим из пропорций:

Следовательно,

При применении метода геометрической статики решение оказалось бы более длинным (пришлось бы рассмотреть равновесие частей балки и ввести дополнительно реакции других связей, а затем исключить эти реакции из полученной системы уравнений равновесия).

Задача 170. Горизонтальный брус 1 весом закрепленный в точке А шарниром (рис. 359), соединен шарниром В с брусом 2 весом концом С брус опирается на горизонтальный пол, образуя с ним угол а. Определить, при каком значении силы трения бруса о пол система будет в равновесии.

Решение. Изображаем действующие на систему силы и силу трения F, включая ее в число активных сил; при этом силу разлагаем на две составляющие, равные каждая и приложенные в точках В и С (обращаем внимание на этот прием, существенно облегчающий вычисление возможной работы).

Составляя условие равновесия (99) и учитывая формулы (101), получим обозначив

Но, по аналогии с теоремой о проекциях скоростей двух точек тела, , где . Тогда и окончательно

Заметим, что методами геометрической статики в этой задаче составить только одно уравнение, из которого сразу найдется F, нельзя.

Задача 171. В планетарном механизме с дифференциальной передачей (см. § 70) на ось А независимо друг от друга насажены шестерня 1 радиусом и кривошип АВ, несущий на себе ось В шестерни 2 радиусом (рис. 360). На кривошип действует вращающий момент М, а на шестерни 1 и 2 - моменты сопротивлений Найти значения при равновесии механизма.

Изучим механизм установления рыночного равновесия, когда под воздействием изменения факторов спроса или предложения рынок выходит из ϶ᴛᴏго состояния. Существуют два основных варианта диспропорции между спросом и предложением: избыток и дефицит товара.

Избыток (излишек) товара – ϶ᴛᴏ такая ситуация на рынке, когда величина предложения товара по данной цене превышает величину спроса на него. В ϶ᴛᴏм случае между производителями возникает конкуренция, борьба за покупателей. В выигрыше остается тот, кто предлагает более выгодные условия реализации товара. Таким образом рынок стремится вернуться в состояние равновесия.

Дефицит товара – в ϶ᴛᴏм случае величина спроса на товар по данной цене превосходит предлагаемое количество товара. В данной ситуации возникает соревнование уже между покупателями за возможность приобрести дефицитный товар. Побеждает тот, кто предлагает более высокую цену за данный товар. Возросшая цена привлекает к нему внимание производителей, кᴏᴛᴏᴩые начинают расширять производство, увеличивая тем самым предложение товара. В результате система возвращается в состояние равновесия.

Исходя из всего выше сказанного, мы приходим к выводу, что цена реализует уравновешивающую функцию, стимулируя расширение производства и предложения товара при дефиците и сдерживая предложение, избавляя рынок от излишков.

Уравновешивающая роль цены пробудет как через спрос, так и через предложение.

Будем исходить из предположения того, что равновесие, установившееся на нашем рынке, было нарушено – под воздействием каких-либо факторов (например, рост доходов) произошло увеличение спроса, в результате его кривая сместилась из D1 в D2 (рис. 4.3 а), а предложение осталось неизменным.

В случае если цена данного товара не изменилась сразу же после смещения кривой спроса, то вслед за ростом спроса возникнет ситуация, когда по прежней цене Р1 количество товара, кᴏᴛᴏᴩое каждый из покупателей теперь может приобрести (QD) превышает тот объем, кᴏᴛᴏᴩый могут предложить при данной цене производители данного товара (QS) . Величина спроса теперь будет превышать величину предложения данного товара, что означает возникновение дефицита товара в размере Df = QD – Qs на данном рынке.

Дефицит товаров, как мы уже знаем, приводит к конкуренции между покупателями за возможность приобретения данного товара, что приводит к росту рыночных цен. В ϲᴏᴏᴛʙᴇᴛϲᴛʙии с законом предложения реакцией продавцов на повышение цены будет увеличение объема предлагаемого товара. На графике ϶ᴛᴏ будет выражено передвижением точки рыночного равновесия Е1 вдоль кривой предложения до ее пересечения с новой кривой спроса D2 где и будет достигнуто новое равновесие данного рынка Е2 с равновесным количеством товаров Q2 и равновесной ценой Р2.

Рис. 4.3. Смещение точки равновесной цены.

Изучим ситуацию, когда равновесное состояние будет нарушено со стороны предложения.

Будем исходить из предположения того, что под воздействием каких-то факторов произошло увеличение предложения, в результате его кривая сместилась вправо из положения S1 в S2 а спрос остался неизменным (рис. 4.3 б).

При условии сохранения рыночной цены на прежнем уровне (Р1) рост предложения приведет к избытку товара в размере Sp = Qs– QD. В результате возникает конкуренция продавцов, приводящая к снижению рыночной цены (с Р1 до Р2) и росту объема продаваемого товара. На графике ϶ᴛᴏ будет отражено перемещением точки рыночного равновесия Е1 вдоль кривой спроса до ее пересечения с новой кривой предложения, что приведет к установлению нового равновесия Е2 с параметрамиQ2 иР2.

Аналогично можно выявить влияние на равновесную цену и равновесное количество товаров уменьшения спроса и уменьшения предложения.

В учебной литературе сформулированы четыре правила взаимодействия спроса и предложения.

Увеличение спроса вызывает рост равновесной цены и равновесного количества товаров.

Уменьшение спроса вызывает падение и равновесной цены, и равновесного количества товаров.

Увеличение предложения влечет за собой уменьшение равновесной цены и увеличение равновесного количества товаров.

Сокращение предложения влечет за собой увеличение равновесной цены и уменьшение равновесного количества товаров.

Стоит сказать - пользуясь данными правилами, можно найти равновесную точку при любых изменениях спроса и предложения.

Возвращению цены к рыночному равновесному уровню в основном могут препятствовать следующие обстоятельства:

административное регулирование цен;

монополизм производителя или потребителя, позволяющий удерживать монопольную цену, кᴏᴛᴏᴩая может быть как искусственно завышенной, так и заниженной.