Пирамида. Формулы и свойства пирамиды. Как вычислить площадь пирамиды: основания, боковую и полную

Площадь боковой поверхности произвольной пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Специальную формулу для выражения этой площади имеет смысл дать в случае правильной пирамиды. Так, пусть дана правильная пирамида, в основании которой лежит правильный n-угольник со стороной, равной а. Пусть h - высота боковой грани, называется также апофемой пирамиды. Площадь одной боковой грани равна 1/2ah, а вся боковая поверхность пирамиды имеет площадь, равную n/2ha.Так как na - периметр основания пирамиды, то можно написать найденную формулу в виде:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению её апофемы на половину периметра основания.

Что касается площади полной поверхности , то просто к боковой прибавляем площадь основания.

Вписанные и описанные сфера и шар . Нужно отметить, что центр вписанной в пирамиду сферы лежит на пересечении биссекторных плоскостей внутренних двугранных углов пирамиды. Центр описанной около пирамиды сферы лежит на пересечении плоскостей, проходящих через середины ребер пирамиды и перпендикулярных им.

Усеченная пирамида. Если пирамиду рассеч плоскостью, параллельной её основанию, то часть, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой. На рисунке показана пирамида, отбрасывая её часть, лежащую выше секущей плоскости, получаем усеченную пирамиду. Ясно, что малая отбрасываемая пирамида гомотетична большой пирамиде с центром гомотетии в вершине. Коэффициент подобия равен отношению высот: k=h 2 /h 1 , или боковых ребер, или других соответствующих линейных размеров обеих пирамид. Мы знаем, что площади подобных фигур относятся, как квадраты линейных размеров; так площади оснований обеих пирамид (т.е. пощади оснований усеченной пирамиды) относятся, как

Здесь S 1 - площадь нижнего основания, а S 2 - площадь верхнего основания усеченной пирамиды. В таком же отношении находятся и боковые поверхности пирамид. Сходное правило имеется и для объемов.

Объемы подобных тел относятся, как кубы их линейных размеров; например, объемы пирамид относятся, как произведения их высот на площади оснований, откуда наше правило получается сразу. Оно имеет совершенно общий характер и прямо следует из того, что объем всегда имеет размерность третей степени длины. Пользуясь этим правилом, выведем формулу, выражающую объем усеченной пирамиды через высоту и площади оснований.

Пусть дана усеченная пирамида с высотой h и площадями оснований S 1 и S 2 . Если представить себе, что она продолжена до полной пирамиды, то коэффициент подобия полнорй пирамиды и малой пирамиды легко найти, как корень из отношения S 2 /S 1 . Высота усеченной пирамиды выражается как h = h 1 - h 2 = h 1 (1 - k). Теперь имеем для объема усеченной пирамиды (через V 1 и V 2 обозначены объемы полной и малой пирамид)

формула объема усеченной пирамиды

Выведем формулу площади S боковой поверхности правильной усеченной пирамиды через периметры Р 1 и Р 2 оснований и длину апофемы а. Рассуждаем точно так же, как и при выводе формулы для объема. Дополняем пирамиду верхней частью, имеем P 2 = kP 1 , S 2 =k 2 S 1 , где k - коэффициент подобия, P 1 и P 2 - периметры оснований, а S 1 и S 2 - лощади боковых поверхностей всей полученной пирамиды и её верхней части соответственно. Для боковой поверхности найдем (а 1 и а 2 - апофемы пирамид, а = а 1 - а 2 = а 1 (1-k))

формула площади боковой поверхности правильной усеченной пирамиды

• Задача 1. Найти площадь полной поверхности пирамиды
• Задача 2. Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды

Задача 1 . Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Решение .

В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник.
Поэтому для решения задачи воспользуемся свойствами правильного треугольника:

Нам известна высота треугольника, откуда можно найти его площадь.
h = √3/2 a
a = h / (√3/2)
a = 3 / (√3/2)
a = 6 / √3

Откуда площадь основания будет равна:
S = √3/4 a 2
S = √3/4 (6 / √3) 2
S = 3√3

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся таблицей значений тригонометрических функций и подставим известные значения.

OK / MK = √2/2

Учтем, что OК равен радиусу вписанной окружности. Тогда
OK = √3/6 a
OK = √3/6 * 6/√3 = 1

Тогда
OK / MK = √2/2
1 / MK = √2/2
MK = 2/√2

Площадь боковой грани тогда равна половине произведения высоты на основание треугольника.
Sбок = 1/2 (6 / √3) (2/√2) = 6/√6

Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды будет равна
S = 3√3 + 3 * 6/√6
S = 3√3 + 18/√6

Ответ : 3√3 + 18/√6

Задача 2 . Найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды

Решение .

Поскольку основанием правильной треугольной пирамиды является равносторонний треугольник, то AO является радиусом описанной вокруг основания окружности.
(Это следует из )

Радиус окружности, описанной вокруг равностороннего треугольника найдем из его свойств

Откуда длина ребер правильной треугольной пирамиды будет равна:
AM 2 = MO 2 + AO 2
высота пирамиды известна по условию (10 см), AO = 16√3/3
AM 2 = 100 + 256/3
AM = √(556/3)

Каждая из сторон пирамиды представляет собой равнобедренный треугольник. Площадь равнобедренного треугольника найдем из первой формулы, представленной ниже

S = 1/2 * 16 sqrt((√(556/3) + 8) (√(556/3) - 8))
S = 8 sqrt((556/3) - 64)
S = 8 sqrt(364/3)
S = 16 sqrt(91/3)

Поскольку все три грани у правильной пирамиды равны, то площадь боковой поверхности будет равна
3S = 48 √(91/3)

Ответ: 48 √(91/3)

Задача 3. Найти площадь полной поверхности правильной пирамиды

Сторона правильной треугольной пирамиды равна 3 см а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды .

Решение .
Поскольку пирамида правильная, в ее основании лежит равносторонний треугольник. Поэтому площадь основания равна


So = 9 * √3/4

Для того, чтобы найти площадь боковой грани, вычислим высоту KM. Угол OKM по условию задачи равен 45 градусам.
Таким образом:
OK / MK = cos 45
Воспользуемся

Площадь поверхности пирамиды. В этой статье мы рассмотрим с вами задачи с правильными пирамидами. Напомню, что правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, вершина пирамиды проецируется в центр этого многоугольника.

Боковая грань такой пирамиды это равнобедренный треугольник. Высота этого треугольника, проведенная из вершины правильной пирамиды, называется апофемой, SF – апофема:

В представленном ниже типе задач требуется найти площадь поверхности всей пирамиды или площадь её боковой поверхности. На блоге уже рассмотрено несколько задач с правильными пирамидами, где ставился вопрос о нахождении элементов (высоты, ребра основания, бокового ребра), .

В заданиях ЕГЭ, как правило, рассматриваются правильные треугольные, четырёхугольные и шестиугольные пирамиды. Задач с правильными пятиугольными и семиугольными пирамидами не встречал.

Формула площади всей поверхности проста — требуется найти сумму площади основания пирамиды и площади её боковой поверхности:

Рассмотрим задачи:

Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 72, боковые ребра равны 164. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

Площадь поверхности пирамиды равна сумме площадей боковой поверхности и основания:

*Боковая поверхность состоит из четырёх равных по площади треугольников. Основание пирамиды это квадрат.

Площадь боковой стороны пирамиды можем вычислить воспользовавшись :

Таким образом, площадь поверхности пирамиды равна:

Ответ: 28224

Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 22, боковые ребра равны 61. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Основанием правильной шестиугольной пирамиды является правильный шестиугольник.

Площадь боковой поверхности данной пирамиды состоит из шести площадей равных треугольников с сторонами 61,61 и 22:

Найдём площадь треугольника, воспользуемся формулой Герона:

Таким образом, площадь боковой поверхности равна:

Ответ: 3240

*В представленных выше задачах площадь боковой грани можно было найти используя другую формулу треугольника, но для этого нужно вычислить апофему.

27155. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4.

Для того, чтобы найти площадь поверхности пирамиды нам необходимо знать площадь основания и площадь боковой поверхности:

Площадь основания равна 36, так как это квадрат со стороной 6.

Боковая поверхность состоит из четырёх граней, которые являются равными треугольниками. Для того, чтобы найти площадь такого треугольника требуется знать его основание и высоту (апофему):

*Площадь треугольника равна половине произведения основания и высоты проведённой к этому основанию.

Основание известно, оно равно шести. Найдём высоту. Рассмотрим прямоугольный треугольник (он выделен жёлтым):

Один катет равен 4, так как это высота пирамиды, другой равен 3, так как он равен половине ребра основания. Можем найти гипотенузу, по теореме Пифагора:

Значит площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Таким образом, площадь поверхности всей пирамиды равна:

Ответ: 96

27069. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.

27070. Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Существуют ещё формулы площади боковой поверхности правильной пирамиды. В правильной пирамиде основание является ортогональной проекцией боковой поверхности, поэтому:

P - периметр основания, l - апофема пирамиды

*Эта формула основывается на формуле площади треугольника.

Если хотите узнать подробнее как эти формулы выводятся, не пропустите, следите за публикацией статей. На этом всё. Успеха Вам!

С уважением, Александр Крутицких.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Перед изучением вопросов о данной геометрической фигуре и её свойствах, следует разобраться в некоторых терминах. Когда человек слышит о пирамиде, ему представляются большущие постройки в Египте. Так выглядят самые простые из них. Но они бывают разных видов и форм, а значит и формула вычисления для геометрических фигур будет разной.

Пирамида – геометрическая фигура , обозначающая и представляющая собой несколько граней. По сути – это тот же многогранник, в основании которого лежит многоугольник, а по бокам расположены треугольники, соединяющиеся в одной точке – вершине. Фигура бывает двух основных видов:

• правильная;
• усечённая.

В первом случае, в основании лежит правильный многоугольник. Тут все боковые поверхности равны между собой и сама фигура порадует глаз перфекциониста.

Во втором случае, оснований два — большое в самом низу и малое между вершиной, повторяющее форму основного. Иными словами – усечённая пирамида представляет собой многогранник с сечением, образованным параллельно основанию.

Термины и обозначения

Основные термины:

• Правильный (равносторонний) треугольник – фигура с тремя одинаковыми углами и равными сторонами. В этом случае все углы имеют 60 градусов. Фигура является простейшей из правильных многогранников. Если эта фигура лежит в основании, то такой многогранник будет называться правильной треугольной. Если в основании лежит квадрат, пирамида будет называться правильной четырёхугольной пирамидой.
• Вершина – самая верхняя точка, где сходятся грани. Высота вершины образуется прямой линией, исходящей от вершины к основанию пирамиды.
• Грань – одна из плоскостей многоугольника. Она может быть в виде треугольника в случае с треугольной пирамидой либо в виде трапеции для усечённой пирамиды.
• Сечение – плоская фигура, образующаяся в результате рассечения. Не стоит путать с разрезом, так как разрез показывает и то, что находится за сечением.
• Апофема – отрезок, проведённый из вершины пирамиды к её основанию. Он также является высотой той грани, где находится вторая точка высоты. Данное определение справедливо лишь по отношению к правильному многограннику. К примеру – если это не усечённая пирамида, то грань будет представлять собой треугольник. В данном случае высота этого треугольника и станет апофемой.

Формулы площади

Находить площадь боковой поверхности пирамиды любого типа можно несколькими способами. Если фигура не симметричная и представляет собой многоугольник с разными сторонами, то в данном случае легче вычислить общую площадь поверхности через совокупность всех поверхностей. Иными словами – надо посчитать площадь каждой грани и сложить их вместе.

В зависимости от того, какие параметры известны, могут потребоваться формулы вычисления квадрата, трапеции, произвольного четырёхугольника и т.д. Сами формулы в разных случаях тоже будут иметь отличия.

В случае с правильной фигурой находить площадь намного проще. Достаточно знать всего несколько ключевых параметров. В большинстве случаев требуются вычисления именно для таких фигур. Поэтому далее будут приведены соответствующие формулы. В противном случае пришлось бы расписать всё на несколько страниц, что только запутает и собьёт с толку.

Основная формула для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды будет иметь следующий вид:

S=½ Pa (P – периметр основания, а – апофема)

Рассмотрим один из примеров. Многогранник имеет основание с отрезками A1, А2, А3, А4, А5, и все они равны 10 см. Апофема пусть будет равна 5 см. Для начала надо найти периметр. Так как все пять граней основания одинаковые, можно находить так: Р=5*10=50 см. Далее применяем основную формулу: S =½*50*5=125 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды вычислить легче всего. Формула имеет следующий вид:

S =½* ab *3, где а – апофема, b – грань основания. Множитель тройки здесь означает количество граней основания, а первая часть – площадь боковой поверхности. Рассмотрим пример. Дана фигура с апофемой 5 см и гранью основания 8 см. Вычисляем: S =1/2*5*8*3=60 см в квадрате.

Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды вычислять немного сложнее. Формула выглядит так: S =1/2*(p _01+ p _02)*a , где р_01 и р_02 являются периметрами оснований, а – апофема. Рассмотрим пример. Допустим, для четырёхугольной фигуры даны размеры сторон оснований 3 и 6 см, апофема равна 4 см.

Тут для начала следует найти периметры оснований: р_01 =3*4=12 см; р_02=6*4=24 см. Осталось подставить значения в основную формулу и получим: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 см в квадрате.

Таким образом, можно найти площадь боковой поверхности правильной пирамиды любой сложности. Следует быть внимательным и не путать эти вычисления с полной площадью всего многогранника. А если это всё же понадобится сделать – достаточно вычислить площадь самого большого основания многогранника и прибавить её к площади боковой поверхности многогранника.

Видео

Закрепить информацию о том, как найти площадь боковой поверхности разных пирамид, вам поможет это видео.

Не получили ответ на свой вопрос? Предложите авторам тему.

Мы знаем, что такое конус, попробуем найти площадь его поверхности. Зачем нужно решать такую задачу? Например, нужно понять, сколько теста пойдет на изготовление вафельного рожка? Или сколько кирпичей понадобится, чтобы сложить кирпичную крышу замка?

Измерить площадь боковой поверхности конуса просто так не получится. Но представим себе все тот же рожок, обмотанный тканью. Чтобы найти площадь куска ткани, нужно разрезать и разложить ее на столе. Получится плоская фигура, ее площадь мы сможем найти.

Рис. 1. Разрез конуса по образующей

Сделаем так же с конусом. «Разрежем» его боковую поверхность вдоль любой образующей, например, (см. рис. 1).

Теперь «размотаем» боковую поверхность на плоскость. Получаем сектор. Центр этого сектора - вершина конуса, радиус сектора равен образующей конуса, а длина его дуги совпадает с длиной окружности основания конуса. Такой сектор называется разверткой боковой поверхности конуса (см. рис. 2).

Рис. 2. Развертка боковой поверхности

Рис. 3. Измерение угла в радианах

Попробуем найти площадь сектора по имеющимся данным. Сперва введем обозначение: пусть угол при вершине сектора в радианах (см. рис. 3).

С углом при вершине развертки нам придется часто сталкиваться в задачах. Пока же попробуем ответить на вопрос: а не может ли этот угол получиться больше 360 градусов? То есть не получится ли так, что развертка наложится сама на себя? Конечно же, нет. Докажем это математически. Пусть развертка «наложилась» сама на себя. Это означает, что длина дуги развертки больше длины окружности радиуса . Но, как уже было сказано, длина дуги развертки есть длина окружности радиуса . А радиус основания конуса, разумеется, меньше образующей, например, потому, что катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы

Тогда вспомним две формулы из курса планиметрии: длина дуги . Площадь сектора: .

В нашем случае роль играет образующая , а длина дуги равна длине окружности основания конуса, то есть . Имеем:

Окончательно получаем: .

Наряду с площадью боковой поверхности можно найти и площадь полной поверхности. Для этого к площади боковой поверхности надо прибавить площадь основания. Но основание - это круг радиуса , чья площадь по формуле равна .

Окончательно имеем: , где - радиус основания цилиндра, - образующая.

Решим пару задач на приведенные формулы.

Рис. 4. Искомый угол

Пример 1 . Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с углом при вершине. Найти этот угол, если высота конуса равна 4 см, а радиус основания равен 3 см (см. рис. 4).

Рис. 5. Прямоугольный треугольник, образующий конус

Первым действием, по теореме Пифагора, найдем образующую: 5 см (см. рис. 5). Далее, мы знаем, что .

Пример 2 . Площадь осевого сечения конуса равна , высота равна . Найти площадь полной поверхности (см. рис. 6).