ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை அடைப்புக்குறிக்குள் எழுதுவது எப்படி. இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு, வேர்களின் சூத்திரம், எடுத்துக்காட்டுகள்

நவீன சமுதாயத்தில், ஒரு வர்க்க மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளில் செயல்படும் திறன் பல செயல்பாட்டுத் துறைகளில் பயனுள்ளதாக இருக்கும் மற்றும் அறிவியல் மற்றும் தொழில்நுட்ப முன்னேற்றங்களில் நடைமுறையில் பரவலாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. கடல் மற்றும் நதிக் கப்பல்கள், விமானம் மற்றும் ஏவுகணைகள் ஆகியவற்றின் வடிவமைப்பால் இது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. இத்தகைய கணக்கீடுகளின் உதவியுடன், விண்வெளி பொருள்கள் உட்பட பல்வேறு உடல்களின் இயக்கத்தின் பாதைகள் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன. இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பொருளாதார முன்கணிப்பில், கட்டிடங்களின் வடிவமைப்பு மற்றும் கட்டுமானத்தில் மட்டுமல்ல, மிகவும் சாதாரண அன்றாட சூழ்நிலைகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. முகாம் பயணங்கள், விளையாட்டு நிகழ்வுகள், கடைகளில் ஷாப்பிங் செய்யும் போது மற்றும் பிற பொதுவான சூழ்நிலைகளில் அவை தேவைப்படலாம்.

வெளிப்பாட்டை கூறு காரணிகளாக உடைப்போம்

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு, கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாடு கொண்டிருக்கும் மாறியின் பட்டத்தின் அதிகபட்ச மதிப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இது 2 க்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது.

நாம் சூத்திரங்களின் மொழியில் பேசினால், இந்த வெளிப்பாடுகள், அவை எப்படித் தோன்றினாலும், வெளிப்பாட்டின் இடது பக்கம் மூன்று சொற்களைக் கொண்டிருக்கும்போது எப்போதும் வடிவத்திற்கு கொண்டு வர முடியும். அவற்றுள்: கோடாரி 2 (அதாவது, அதன் குணகத்துடன் ஒரு மாறி ஸ்கொயர்), bx (அதன் குணகத்துடன் சதுரம் இல்லாதது) மற்றும் c (இலவச கூறு, அதாவது ஒரு சாதாரண எண்). இவை அனைத்தும் வலதுபுறத்தில் உள்ள 0 க்கு சமம். அத்தகைய பல்லுறுப்புக்கோவை அதன் உறுப்பு சொற்களில் ஒன்று இல்லை என்றால், கோடாரி 2 தவிர, அது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. இத்தகைய சிக்கல்களின் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இதில் மாறிகளின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்பது கடினம் அல்ல, முதலில் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தில் இரண்டு சொற்கள் இருப்பது போல் தோன்றினால், இன்னும் துல்லியமாக ax 2 மற்றும் bx, மாறியின் அடைப்புக்குறிக்குள் x ஐக் கண்டுபிடிப்பது எளிது. இப்போது நமது சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்: x(ax+b). மேலும், x=0 அல்லது சிக்கல் பின்வரும் வெளிப்பாட்டிலிருந்து மாறியைக் கண்டறிவதில் குறைகிறது என்பது தெளிவாகிறது: ax+b=0. இது பெருக்கத்தின் பண்புகளில் ஒன்றால் கட்டளையிடப்படுகிறது. இரண்டு காரணிகளின் பலன் அவற்றில் ஒன்று பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே 0 இல் விளைகிறது என்று விதி கூறுகிறது.

உதாரணமாக

x=0 அல்லது 8x - 3 = 0

இதன் விளைவாக, சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களைப் பெறுகிறோம்: 0 மற்றும் 0.375.

இந்த வகையான சமன்பாடுகள் புவியீர்ப்பு செயல்பாட்டின் கீழ் உடல்களின் இயக்கத்தை விவரிக்க முடியும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட புள்ளியில் இருந்து நகரத் தொடங்கியது, தோற்றமாக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டது. இங்கே கணிதக் குறியீடு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்: y = v 0 t + gt 2/2. தேவையான மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், வலது பக்கத்தை 0 க்கு சமன் செய்வதன் மூலமும், தெரியாதவற்றைக் கண்டறிவதன் மூலமும், உடல் உயரும் தருணத்திலிருந்து அது விழும் வரை கழிந்த நேரத்தையும், அத்துடன் பல அளவுகளையும் நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். ஆனால் இதைப் பற்றி பின்னர் பேசுவோம்.

ஒரு வெளிப்பாட்டைக் காரணியாக்குதல்

மேலே விவரிக்கப்பட்ட விதி இந்த சிக்கல்களை மிகவும் சிக்கலான நிகழ்வுகளில் தீர்க்க உதவுகிறது. இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுடன் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கவனியுங்கள்.

X2 - 33x + 200 = 0

இந்த சதுர முக்கோணம் முடிந்தது. முதலில், நாம் வெளிப்பாட்டை மாற்றி அதை காரணிகளாக சிதைக்கிறோம். அவற்றில் இரண்டு உள்ளன: (x-8) மற்றும் (x-25) = 0. இதன் விளைவாக, நமக்கு இரண்டு வேர்கள் 8 மற்றும் 25 உள்ளன.

தரம் 9 இல் உள்ள இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள், இந்த முறையானது, இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது மற்றும் நான்காவது வரிசைகளின் வெளிப்பாடுகளில் ஒரு மாறியைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. வலது பக்கத்தை ஒரு மாறியுடன் காரணிகளாக மாற்றும்போது, ​​அவற்றில் மூன்று உள்ளன, அதாவது (x + 1), (x-3) மற்றும் (x + 3)

இதன் விளைவாக, இந்த சமன்பாடு மூன்று வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்பது தெளிவாகிறது: -3; -1; 3.

வர்க்க மூலத்தை பிரித்தெடுத்தல்

முழுமையடையாத இரண்டாம்-வரிசை சமன்பாட்டின் மற்றொரு நிகழ்வு, கோடாரி 2 மற்றும் c ஆகிய கூறுகளிலிருந்து வலது பக்கம் கட்டமைக்கப்படும் வகையில் எழுத்துக்களின் மொழியில் எழுதப்பட்ட ஒரு வெளிப்பாடு ஆகும். இங்கே, மாறியின் மதிப்பைப் பெற, இலவச சொல் வலது பக்கத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது, அதன் பிறகு, வர்க்க மூலமானது சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களிலிருந்தும் பிரித்தெடுக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் பொதுவாக சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். ஒரே விதிவிலக்குகள் c என்ற சொல்லைக் கொண்டிருக்காத சமத்துவங்கள், அங்கு மாறி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதே போல் வலது பக்கம் எதிர்மறையாக மாறும் போது வெளிப்பாடுகளின் மாறுபாடுகள். பிந்தைய வழக்கில், மேலே உள்ள செயல்களை வேர்கள் மூலம் செய்ய முடியாது என்பதால், தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை. இந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளைக் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

இந்த வழக்கில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -4 மற்றும் 4 ஆக இருக்கும்.

நிலத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுதல்

இந்த வகையான கணக்கீடுகளின் தேவை பண்டைய காலங்களில் தோன்றியது, ஏனென்றால் அந்த தொலைதூர காலங்களில் கணிதத்தின் வளர்ச்சி பெரும்பாலும் நில அடுக்குகளின் பகுதிகள் மற்றும் சுற்றளவுகளை மிகத் துல்லியத்துடன் தீர்மானிக்க வேண்டியதன் காரணமாக இருந்தது.

இந்த வகையான சிக்கல்களின் அடிப்படையில் தொகுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுடன் எடுத்துக்காட்டுகளையும் நாம் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்.

எனவே, ஒரு செவ்வக நிலம் உள்ளது, அதன் நீளம் அகலத்தை விட 16 மீட்டர் அதிகமாக உள்ளது. அதன் பரப்பளவு 612 மீ 2 என்று தெரிந்தால், தளத்தின் நீளம், அகலம் மற்றும் சுற்றளவு ஆகியவற்றை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

வணிகத்தில் இறங்குவது, முதலில் தேவையான சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். பிரிவின் அகலத்தை x ஆகக் குறிப்போம், அதன் நீளம் (x + 16) ஆக இருக்கும். x (x + 16) என்ற வெளிப்பாட்டால் பகுதி தீர்மானிக்கப்படுகிறது என்று எழுதப்பட்டதிலிருந்து இது பின்வருமாறு, இது எங்கள் பிரச்சனையின் நிபந்தனையின்படி 612 ஆகும். இதன் பொருள் x (x + 16) \u003d 612.

முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு, மற்றும் இந்த வெளிப்பாடு தான், அதே வழியில் செய்ய முடியாது. ஏன்? அதன் இடது பக்கம் இன்னும் இரண்டு காரணிகளைக் கொண்டிருந்தாலும், அவற்றின் தயாரிப்பு 0 க்கு சமமாக இல்லை, எனவே மற்ற முறைகள் இங்கே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

பாகுபாடு காட்டுபவர்

முதலில், தேவையான மாற்றங்களைச் செய்வோம், பின்னர் இந்த வெளிப்பாட்டின் தோற்றம் இப்படி இருக்கும்: x 2 + 16x - 612 = 0. இதன் பொருள் முன்பு குறிப்பிடப்பட்ட தரநிலையுடன் தொடர்புடைய வடிவத்தில் ஒரு வெளிப்பாட்டைப் பெற்றுள்ளோம். a=1, b=16, c= -612.

பாரபட்சம் மூலம் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு இது ஒரு எடுத்துக்காட்டு. இங்கே தேவையான கணக்கீடுகள் திட்டத்தின் படி செய்யப்படுகின்றன: D = b 2 - 4ac. இந்த துணை மதிப்பு இரண்டாவது வரிசை சமன்பாட்டில் விரும்பிய மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பது மட்டுமல்லாமல், சாத்தியமான விருப்பங்களின் எண்ணிக்கையையும் தீர்மானிக்கிறது. வழக்கில் D>0, அவற்றில் இரண்டு உள்ளன; D=0 க்கு ஒரு ரூட் உள்ளது. வழக்கில் டி<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

வேர்கள் மற்றும் அவற்றின் சூத்திரம் பற்றி

எங்கள் விஷயத்தில், பாரபட்சமானது: 256 - 4(-612) = 2704. இது எங்கள் பிரச்சனைக்கு பதில் இருப்பதைக் குறிக்கிறது. உங்களுக்கு தெரிந்தால், இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வு கீழே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தொடர வேண்டும். இது வேர்களைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது.

இதன் பொருள் வழங்கப்பட்ட வழக்கில்: x 1 =18, x 2 =-34. இந்த இக்கட்டான சூழ்நிலையில் இரண்டாவது விருப்பம் ஒரு தீர்வாக இருக்க முடியாது, ஏனென்றால் நிலத்தின் அளவை எதிர்மறை மதிப்புகளில் அளவிட முடியாது, அதாவது x (அதாவது, சதித்திட்டத்தின் அகலம்) 18 மீ. இங்கிருந்து நாம் நீளத்தைக் கணக்கிடுகிறோம்: 18+16=34, மற்றும் சுற்றளவு 2(34+ 18) = 104 (மீ 2).

எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் பணிகள்

இருபடி சமன்பாடுகளின் ஆய்வைத் தொடர்கிறோம். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் அவற்றில் பலவற்றின் விரிவான தீர்வு கீழே கொடுக்கப்படும்.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

எல்லாவற்றையும் சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திற்கு மாற்றுவோம், ஒரு மாற்றத்தை உருவாக்குவோம், அதாவது, சமன்பாட்டின் வடிவத்தைப் பெறுவோம், இது பொதுவாக நிலையான ஒன்று என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

ஒத்தவற்றைச் சேர்த்த பிறகு, பாகுபாட்டை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம்: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. எனவே எங்கள் சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் இருக்கும். மேலே உள்ள சூத்திரத்தின்படி அவற்றைக் கணக்கிடுகிறோம், அதாவது அவற்றில் முதலாவது 4/3 க்கும், இரண்டாவது 1 க்கும் சமமாக இருக்கும்.

2) இப்போது நாம் வேறு வகையான புதிர்களை வெளிப்படுத்துவோம்.

இங்கே x 2 - 4x + 5 = 1 என்ற வேர்கள் இருக்கிறதா என்று பார்ப்போமா? ஒரு முழுமையான பதிலைப் பெற, பல்லுறுப்புக்கோவையை தொடர்புடைய பரிச்சயமான வடிவத்திற்குக் கொண்டு வந்து, பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுகிறோம். இந்த எடுத்துக்காட்டில், இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க வேண்டிய அவசியமில்லை, ஏனென்றால் சிக்கலின் சாராம்சம் இதில் இல்லை. இந்த வழக்கில், டி \u003d 16 - 20 \u003d -4, அதாவது உண்மையில் வேர்கள் இல்லை.

வியட்டாவின் தேற்றம்

பிந்தையவற்றின் மதிப்பிலிருந்து வர்க்கமூலம் பிரித்தெடுக்கப்படும்போது, ​​மேற்கூறிய சூத்திரங்கள் மற்றும் பாகுபாடு மூலம் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது வசதியானது. ஆனால் இது எப்போதும் நடக்காது. இருப்பினும், இந்த வழக்கில் மாறிகளின் மதிப்புகளைப் பெற பல வழிகள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டு: வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது. 16 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரான்சில் வாழ்ந்த ஒரு மனிதனின் பெயரால் இது பெயரிடப்பட்டது மற்றும் அவரது கணித திறமை மற்றும் நீதிமன்றத்தில் உள்ள தொடர்புகளுக்கு நன்றி. அவரது உருவப்படத்தை கட்டுரையில் காணலாம்.

புகழ்பெற்ற பிரெஞ்சுக்காரர் கவனித்த முறை பின்வருமாறு. சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை -p=b/a க்கு சமம் என்றும், அவற்றின் தயாரிப்பு q=c/a க்கு ஒத்துள்ளது என்றும் அவர் நிரூபித்தார்.

இப்போது குறிப்பிட்ட பணிகளைப் பார்ப்போம்.

3x2 + 21x - 54 = 0

எளிமைக்காக, வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம்:

x 2 + 7x - 18 = 0

வியட்டா தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, இது பின்வருவனவற்றை நமக்குத் தரும்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை -7 மற்றும் அவற்றின் தயாரிப்பு -18. இங்கிருந்து நாம் சமன்பாட்டின் வேர்கள் எண்கள் -9 மற்றும் 2 என்று பெறுகிறோம். சரிபார்த்த பிறகு, மாறிகளின் இந்த மதிப்புகள் உண்மையில் வெளிப்பாட்டிற்கு பொருந்துகின்றன என்பதை உறுதி செய்வோம்.

ஒரு பரவளையத்தின் வரைபடம் மற்றும் சமன்பாடு

இருபடிச் சார்பு மற்றும் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் கருத்துக்கள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை. இதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் முன்பே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. இப்போது சில கணிதப் புதிர்களை சற்று விரிவாகப் பார்ப்போம். விவரிக்கப்பட்ட வகையின் எந்த சமன்பாடும் பார்வைக்கு குறிப்பிடப்படலாம். வரைபட வடிவில் வரையப்பட்ட இத்தகைய சார்பு, பரவளையம் எனப்படும். அதன் பல்வேறு வகைகள் கீழே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளன.

எந்தவொரு பரவளையத்திற்கும் ஒரு உச்சி உள்ளது, அதாவது அதன் கிளைகள் வெளியே வரும் ஒரு புள்ளி. a>0 எனில், அவை முடிவிலிக்கு உயரச் செல்கின்றன, எப்போது a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

செயல்பாடுகளின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவங்கள் இருபடிகள் உட்பட எந்த சமன்பாடுகளையும் தீர்க்க உதவுகின்றன. இந்த முறை கிராஃபிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மற்றும் x மாறியின் மதிப்பு, வரைபடக் கோடு 0x உடன் வெட்டும் புள்ளிகளில் உள்ள abscissa ஒருங்கிணைப்பு ஆகும். x 0 = -b / 2a கொடுக்கப்பட்ட சூத்திரத்தின் மூலம் உச்சியின் ஆயங்களைக் கண்டறியலாம். மேலும், விளைந்த மதிப்பை செயல்பாட்டின் அசல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவதன் மூலம், நீங்கள் y 0 ஐக் கண்டறியலாம், அதாவது y-அச்சுக்கு சொந்தமான பரவளைய உச்சியின் இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பு.

abscissa அச்சுடன் பரவளையத்தின் கிளைகளின் குறுக்குவெட்டு

இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வுடன் நிறைய எடுத்துக்காட்டுகள் உள்ளன, ஆனால் பொதுவான வடிவங்களும் உள்ளன. அவற்றைக் கருத்தில் கொள்வோம். y 0 எதிர்மறை மதிப்புகளை எடுத்தால் மட்டுமே a>0க்கான 0x அச்சுடன் வரைபடத்தின் குறுக்குவெட்டு சாத்தியமாகும் என்பது தெளிவாகிறது. மற்றும் ஒரு<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. இல்லையெனில் டி<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

பரவளையத்தின் வரைபடத்திலிருந்து, நீங்கள் வேர்களைத் தீர்மானிக்கலாம். தலைகீழ் என்பதும் உண்மை. அதாவது, ஒரு இருபடிச் செயல்பாட்டின் காட்சிப் பிரதிநிதித்துவத்தைப் பெறுவது எளிதல்ல என்றால், வெளிப்பாட்டின் வலது பக்கத்தை 0க்கு சமன் செய்து அதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கலாம். மற்றும் 0x அச்சுடன் வெட்டும் புள்ளிகளை அறிந்தால், சதி செய்வது எளிது.

வரலாற்றில் இருந்து

ஒரு சதுர மாறியைக் கொண்ட சமன்பாடுகளின் உதவியுடன், பழைய நாட்களில், கணிதக் கணக்கீடுகள் மட்டுமல்ல, வடிவியல் வடிவங்களின் பரப்பளவையும் தீர்மானித்தது. இயற்பியல் மற்றும் வானியல் துறையில் மகத்தான கண்டுபிடிப்புகளுக்கும், ஜோதிட கணிப்புகளைச் செய்வதற்கும் பழங்காலங்களுக்கு இத்தகைய கணக்கீடுகள் தேவைப்பட்டன.

நவீன விஞ்ஞானிகள் கூறுவது போல், இருபடி சமன்பாடுகளை முதலில் தீர்த்தவர்களில் பாபிலோனில் வசிப்பவர்கள் இருந்தனர். இது நமது சகாப்தம் தோன்றுவதற்கு நான்கு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. நிச்சயமாக, அவர்களின் கணக்கீடுகள் தற்போது ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்டவற்றிலிருந்து அடிப்படையில் வேறுபட்டவை மற்றும் மிகவும் பழமையானவை. உதாரணமாக, மெசபடோமிய கணிதவியலாளர்களுக்கு எதிர்மறை எண்கள் இருப்பதைப் பற்றி எதுவும் தெரியாது. நம் காலத்தின் எந்த மாணவருக்கும் தெரிந்த மற்ற நுணுக்கங்களையும் அவர்கள் அறிந்திருக்கவில்லை.

ஒருவேளை பாபிலோனின் விஞ்ஞானிகளை விட முன்னதாகவே, இந்தியாவைச் சேர்ந்த முனிவர், பௌதயாமா, இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வை எடுத்தார். இது கிறிஸ்துவின் சகாப்தம் வருவதற்கு சுமார் எட்டு நூற்றாண்டுகளுக்கு முன்பு நடந்தது. உண்மை, இரண்டாம் வரிசை சமன்பாடுகள், அவர் கொடுத்த தீர்வுக்கான முறைகள் எளிமையானவை. அவரைத் தவிர, சீனக் கணிதவியலாளர்களும் பழைய நாட்களில் இதே போன்ற கேள்விகளில் ஆர்வமாக இருந்தனர். ஐரோப்பாவில், இருபடி சமன்பாடுகள் 13 ஆம் நூற்றாண்டின் தொடக்கத்தில் மட்டுமே தீர்க்கப்படத் தொடங்கின, ஆனால் பின்னர் அவை நியூட்டன், டெஸ்கார்ட்ஸ் மற்றும் பலர் போன்ற சிறந்த விஞ்ஞானிகளால் தங்கள் வேலைகளில் பயன்படுத்தப்பட்டன.

வீடியோ பாடம் 2: இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

சொற்பொழிவு: இருபடி சமன்பாடுகள்

சமன்பாடு- இது ஒரு வகையான சமத்துவம், இதன் வெளிப்பாடுகளில் ஒரு மாறி உள்ளது.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்- ஒரு மாறிக்கு பதிலாக அத்தகைய எண்ணைக் கண்டறிவது என்பது சரியான சமத்துவத்திற்கு வழிவகுக்கும்.

ஒரு சமன்பாட்டில் ஒரு தீர்வு இருக்கலாம், பல இருக்கலாம் அல்லது எதுவும் இல்லை.

எந்தவொரு சமன்பாட்டையும் தீர்க்க, அது படிவத்தில் முடிந்தவரை எளிமைப்படுத்தப்பட வேண்டும்:

நேரியல்: a*x = b;

சதுரம்: a*x 2 + b*x + c = 0.

அதாவது, தீர்க்கும் முன் எந்த சமன்பாடும் நிலையான வடிவத்திற்கு மாற்றப்பட வேண்டும்.

எந்த சமன்பாடும் இரண்டு வழிகளில் தீர்க்கப்படலாம்: பகுப்பாய்வு மற்றும் வரைகலை.

வரைபடத்தில், சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு, வரைபடம் x- அச்சை வெட்டும் புள்ளிகளாகக் கருதப்படுகிறது.

இருபடி சமன்பாடுகள்

a*x 2 + b*x + c = 0.

இதில் a, b, cபூஜ்ஜியத்திலிருந்து வேறுபடும் சமன்பாட்டின் குணகங்கள். ஏ "எக்ஸ்"- சமன்பாட்டின் வேர். ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது அல்லது தீர்வு இல்லாமல் இருக்கலாம் என்று நம்பப்படுகிறது. இதன் விளைவாக வரும் வேர்கள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கலாம்.

"ஏ"- சதுரத்தில் வேரின் முன் நிற்கும் குணகம்.

"b"- முதல் பட்டத்தில் தெரியாததற்கு முன் நிற்கிறது.

"உடன்"- சமன்பாட்டின் இலவச சொல்.

எடுத்துக்காட்டாக, எங்களிடம் படிவத்தின் சமன்பாடு இருந்தால்:

2x 2 -5x+3=0

அதில், "2" என்பது சமன்பாட்டின் மிக உயர்ந்த காலத்தின் குணகம், "-5" என்பது இரண்டாவது குணகம், மற்றும் "3" என்பது இலவச சொல்.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க பல வழிகள் உள்ளன. இருப்பினும், பள்ளிக் கணிதப் பாடத்தில், தீர்வு வியட்டா தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஆய்வு செய்யப்படுகிறது, அதே போல் பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்துகிறது.

பாரபட்சமான தீர்வு:

இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கும் போது, ​​சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாட்டைக் கணக்கிடுவது அவசியம்:

கணக்கீடுகளின் போது நீங்கள் பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருந்தால், இந்த சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை என்று அர்த்தம்.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால், சமன்பாடு இரண்டு ஒத்த தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. இந்த வழக்கில், சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரத்தின்படி, கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் சதுரத்தில் பல்லுறுப்புக்கோவை சுருக்கப்படலாம். பின்னர் அதை நேரியல் சமன்பாடு போல தீர்க்கவும். அல்லது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால், பின்வரும் முறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

வியட்டாவின் தேற்றம்

சமன்பாடு குறைக்கப்பட்டால், அதாவது, உயர்ந்த காலத்தின் குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் வியட்டாவின் தேற்றம்.

எனவே சமன்பாடு என்று சொல்லலாம்:

சமன்பாட்டின் வேர்கள் பின்வருமாறு காணப்படுகின்றன:

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுவதற்கு பல விருப்பங்கள் உள்ளன, அதன் வடிவம் குணகங்களின் இருப்பைப் பொறுத்தது.

1. இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது குணகங்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால் (b=0, c=0), பின்னர் இருபடி சமன்பாடு இப்படி இருக்கும்:

இந்த சமன்பாடு ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும். சமன்பாட்டின் தீர்வு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே சமத்துவம் உண்மையாக இருக்கும்.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 அல்லது x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொண்டதால், நிச்சயமாக, நான் மற்றவர்களுடன் வேலை செய்ய விரும்புகிறேன், குறிப்பாக, இரண்டாம் பட்டத்தின் சமன்பாடுகளுடன், இல்லையெனில் அவை இருபடி என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இருபடிச் சமன்பாடுகள் ax² + bx + c = 0 வகையின் சமன்பாடுகள் ஆகும், இதில் x மாறி, எண்கள் இருக்கும் - a, b, c, இங்கு a பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை.

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டில் ஒன்று அல்லது மற்ற குணகம் (c அல்லது b) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இந்த சமன்பாடு முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டைக் குறிக்கும்.

மாணவர்களால் இதுவரை முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடுகளை மட்டுமே தீர்க்க முடிந்தால், முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது? பல்வேறு வகைகளின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான எளிய வழிகளைக் கவனியுங்கள்.

a) குணகம் c 0 க்கு சமமாக இருந்தால், மற்றும் b குணகம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், ax ² + bx + 0 = 0 ஆனது ax ² + bx = 0 வடிவத்தின் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கப்படுகிறது.

அத்தகைய சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தை நீங்கள் அறிந்து கொள்ள வேண்டும், இது அதன் இடது பக்கத்தை காரணிகளாக சிதைத்து பின்னர் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்ற நிபந்தனையைப் பயன்படுத்துகிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, 5x ² - 20x \u003d 0. வழக்கமான கணிதச் செயல்பாட்டைச் செய்யும்போது, ​​சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைக் கணக்கிடுகிறோம்: பொதுவான காரணியை அடைப்புக் குறிகளுக்கு வெளியே எடுத்தல்

5x (x - 4) = 0

தயாரிப்புகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்ற நிபந்தனையைப் பயன்படுத்துகிறோம்.

5 x = 0 அல்லது x - 4 = 0

பதில்: முதல் ரூட் 0; இரண்டாவது வேர் 4.

b) b \u003d 0, மற்றும் இலவச சொல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால், கோடாரி ² + 0x + c \u003d 0 சமன்பாடு கோடாரி ² + c \u003d 0 வடிவத்தின் சமன்பாட்டிற்குக் குறைக்கப்படும். சமன்பாடுகளை இரண்டாகத் தீர்க்கவும் வழிகள்: அ) இடது பக்கத்தில் உள்ள சமன்பாட்டின் பல்லுறுப்புக்கோவையை காரணிகளாக சிதைத்தல்; b) எண்கணித வர்க்க மூலத்தின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துதல். அத்தகைய சமன்பாடு முறைகளில் ஒன்றால் தீர்க்கப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. பதில்: முதல் ரூட் 5/2; இரண்டாவது வேர் - 5/2.

c) b என்பது 0 க்கு சமம் மற்றும் c என்பது 0 க்கு சமம் எனில், ax² + 0 + 0 = 0 ஆனது ax² = 0 வடிவத்தின் சமன்பாட்டிற்கு குறைக்கிறது. அத்தகைய சமன்பாட்டில், x 0 க்கு சமமாக இருக்கும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள் அதிகபட்சம் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம்.

”, அதாவது, முதல் பட்டத்தின் சமன்பாடுகள். இந்த பாடத்தில், நாம் ஆராய்வோம் ஒரு இருபடி சமன்பாடு என்றால் என்னமற்றும் அதை எவ்வாறு தீர்ப்பது.

இருபடி சமன்பாடு என்றால் என்ன

முக்கியமான!

ஒரு சமன்பாட்டின் அளவு அறியப்படாதது எந்த அளவிற்கு உயர்ந்தது என்பதை தீர்மானிக்கிறது.

தெரியாதது நிற்கும் அதிகபட்ச அளவு "2" என்றால், உங்களிடம் இருபடி சமன்பாடு இருக்கும்.

இருபடி சமன்பாடுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

• 5x2 - 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x2 + 0.25x = 0
• x 2 - 8 = 0

முக்கியமான! இருபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவம் இதுபோல் தெரிகிறது:

A x 2 + b x + c = 0

• "a" - முதல் அல்லது மூத்த குணகம்;
• "b" - இரண்டாவது குணகம்;
• "c" ஒரு இலவச உறுப்பினர்.

"a", "b" மற்றும் "c" ஆகியவற்றைக் கண்டறிய, உங்கள் சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c \u003d 0" என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவத்துடன் ஒப்பிட வேண்டும்.

இருபடி சமன்பாடுகளில் "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை நிர்ணயிப்பதை பயிற்சி செய்வோம்.

• a = -1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது

நேரியல் சமன்பாடுகளைப் போலன்றி, இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க ஒரு சிறப்பு சமன்பாடு பயன்படுத்தப்படுகிறது. வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க உங்களுக்கு இது தேவைப்படும்:

• இருபடி சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c \u003d 0" என்ற பொது வடிவத்திற்கு கொண்டு வரவும். அதாவது, வலது பக்கத்தில் "0" மட்டுமே இருக்க வேண்டும்;
• வேர்களுக்கு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்:

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய சூத்திரத்தை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க ஒரு உதாரணத்தைப் பயன்படுத்துவோம். இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்.

X 2 - 3x - 4 = 0

"x 2 - 3x - 4 = 0" என்ற சமன்பாடு ஏற்கனவே "ax 2 + bx + c = 0" என்ற பொது வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டுள்ளது மேலும் கூடுதல் எளிமைப்படுத்தல் தேவையில்லை. அதைத் தீர்க்க, நாம் விண்ணப்பிக்க வேண்டும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரம்.

இந்த சமன்பாட்டிற்கான குணகங்களை "a", "b" மற்றும் "c" வரையறுப்போம்.

அதன் உதவியுடன், எந்த இருபடி சமன்பாடும் தீர்க்கப்படுகிறது.

"x 1; 2 \u003d" சூத்திரத்தில் மூல வெளிப்பாடு அடிக்கடி மாற்றப்படும்
"டி" எழுத்துக்கு "b 2 - 4ac" மற்றும் பாரபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு பாகுபாடு பற்றிய கருத்து "பாகுபாடு என்றால் என்ன" என்ற பாடத்தில் இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகிறது.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் மற்றொரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

x 2 + 9 + x = 7x

இந்த வடிவத்தில், "a", "b" மற்றும் "c" குணகங்களை தீர்மானிப்பது மிகவும் கடினம். முதலில் சமன்பாட்டை "ax 2 + bx + c \u003d 0" என்ற பொது வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவோம்.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x - 7x = 0
x2 + 9 - 6x = 0
x 2 - 6x + 9 = 0

இப்போது நீங்கள் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x=

இருபடி சமன்பாடுகளில் வேர்கள் இல்லாத நேரங்கள் உள்ளன. மூலத்தின் கீழ் உள்ள சூத்திரத்தில் எதிர்மறை எண் தோன்றும்போது இந்த நிலை ஏற்படுகிறது.

இது சமத்துவக் கோடாரி 2 + இன் + c \u003d o இன் ஒரு குறிப்பிட்ட பதிப்பு என்பது அறியப்படுகிறது, இதில் a, b மற்றும் c ஆகியவை தெரியாத xக்கான உண்மையான குணகங்களாகும், மேலும் a ≠ o மற்றும் b மற்றும் c ஆகியவை பூஜ்ஜியங்களாக இருக்கும் - ஒரே நேரத்தில் அல்லது தனித்தனியாக. எடுத்துக்காட்டாக, c = o, v ≠ o அல்லது நேர்மாறாகவும். இருபடி சமன்பாட்டின் வரையறையை நாங்கள் கிட்டத்தட்ட நினைவில் வைத்திருக்கிறோம்.

இரண்டாவது பட்டத்தின் முக்கோணம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம். அதன் முதல் குணகம் a ≠ o, b மற்றும் c எந்த மதிப்பையும் எடுக்கலாம். x மாறியின் மதிப்பு, மாற்றும் போது, ​​அதை சரியான எண் சமத்துவமாக மாற்றும் போது இருக்கும். சமன்பாட்டின் தீர்வுகளும் முழுமையானதாக இருக்க முடியும் என்றாலும், உண்மையான வேர்களில் வாழ்வோம், எந்தக் குணகமும் o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o க்கு சமமாக இல்லாத சமன்பாட்டை அழைப்பது வழக்கம்.
ஒரு உதாரணத்தை தீர்ப்போம். 2x2 -9x-5 = ஓ, நாங்கள் கண்டுபிடிக்கிறோம்
டி \u003d 81 + 40 \u003d 121,
D நேர்மறை, எனவே வேர்கள் உள்ளன, x 1 = (9+√121): 4 = 5, மற்றும் இரண்டாவது x 2 = (9-√121): 4 = -o.5. சரிபார்ப்பது அவை சரியானவை என்பதை உறுதிப்படுத்த உதவும்.

இருபடி சமன்பாட்டிற்கான படிப்படியான தீர்வு இங்கே

பாகுபாடு மூலம், நீங்கள் எந்த சமன்பாட்டையும் தீர்க்கலாம், அதன் இடது பக்கத்தில் ≠ o உடன் அறியப்பட்ட சதுர முக்கோணம் உள்ளது. எங்கள் உதாரணத்தில். 2x 2 -9x-5 \u003d 0 (ax 2 + in + c \u003d o)

இரண்டாம் பட்டத்தின் முழுமையற்ற சமன்பாடுகள் என்ன என்பதைக் கவனியுங்கள்

1. கோடாரி 2 + in = o. இலவச சொல், x 0 இல் உள்ள குணகம் c, இங்கே ≠ o இல் பூஜ்ஜியமாகும்.
   இந்த வகையான முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது? x ஐ அடைப்புக்குறியிலிருந்து வெளியே எடுப்போம். இரண்டு காரணிகளின் தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது நினைவில் கொள்ளுங்கள்.
   x(ax+b) = o, இது x = o ஆகவோ அல்லது ax+b = o ஆகவோ இருக்கலாம்.
   2வது தீர்க்கும் போது, ​​எங்களிடம் x = -v/a உள்ளது.
   இதன் விளைவாக, x 2 \u003d -b / a கணக்கீடுகளின்படி, எங்களிடம் x 1 \u003d 0 வேர்கள் உள்ளன.
2. இப்போது x இன் குணகம் o, ஆனால் c ஆனது (≠) o க்கு சமமாக இல்லை.
   x 2 + c \u003d o. c ஐ சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்திற்கு மாற்றுகிறோம், x 2 \u003d -c ஐப் பெறுகிறோம். -c நேர்மறை எண்ணாக (c ‹ o) இருக்கும்போது மட்டுமே இந்த சமன்பாடு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.
   x 1 என்பது முறையே √(-c) க்கு சமம், x 2 என்பது -√(-c). இல்லையெனில், சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை.
3. கடைசி விருப்பம்: b \u003d c \u003d o, அதாவது, ax 2 \u003d o. இயற்கையாகவே, அத்தகைய எளிய சமன்பாடு x = o என்ற ஒரு மூலத்தைக் கொண்டுள்ளது.

சிறப்பு வழக்குகள்

ஒரு முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை நாங்கள் பரிசீலித்தோம், இப்போது நாம் எந்த வகையையும் எடுப்போம்.

• முழு இருபடி சமன்பாட்டில், x இன் இரண்டாவது குணகம் ஒரு இரட்டை எண்.
  k = o,5b எனலாம். பாகுபாடு மற்றும் வேர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள் எங்களிடம் உள்ளன.
  D / 4 \u003d k 2 - ac, வேர்கள் பின்வருமாறு கணக்கிடப்படுகின்றன x 1,2 \u003d (-k ± √ (D / 4)) / a க்கு D › o.
  x = -k/a இல் D = o.
  D ‹ க்கு வேர்கள் இல்லை.
• குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகள் உள்ளன, x வர்க்கத்தின் குணகம் 1 ஆக இருக்கும் போது, ​​அவை பொதுவாக x 2 + px + q \u003d o என்று எழுதப்படும். மேலே உள்ள அனைத்து சூத்திரங்களும் அவர்களுக்கு பொருந்தும், ஆனால் கணக்கீடுகள் ஓரளவு எளிமையானவை.
  உதாரணம், x 2 -4x-9 \u003d 0. D: 2 2 +9, D \u003d 13 என்று கணக்கிடுகிறோம்.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• கூடுதலாக, இது கொடுக்கப்பட்டவற்றில் எளிதாகப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை -p க்கு சமம் என்றும், இரண்டாவது குணகம் கழித்தல் (எதிர் குறியைக் குறிக்கும்) மற்றும் இதே வேர்களின் பலன் இலவச காலமான q க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களை வாய்மொழியாக தீர்மானிப்பது எவ்வளவு எளிது என்று பாருங்கள். குறைக்கப்படாத (பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாத அனைத்து குணகங்களுக்கும்), இந்த தேற்றம் பின்வருமாறு பொருந்தும்: கூட்டுத்தொகை x 1 + x 2 -v / a க்கு சமம், தயாரிப்பு x 1 x 2 என்பது c / a க்கு சமம் .

இலவச கால c மற்றும் முதல் குணகம் a இன் கூட்டுத்தொகை குணகம் b க்கு சமம். இந்த சூழ்நிலையில், சமன்பாட்டில் குறைந்தபட்சம் ஒரு ரூட் உள்ளது (நிரூபிப்பது எளிது), முதலாவது அவசியம் -1 க்கு சமம், மற்றும் இரண்டாவது - சி / ஏ, அது இருந்தால். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது, அதை நீங்களே சரிபார்க்கலாம். பை போல எளிதானது. குணகங்கள் தங்களுக்குள் சில விகிதங்களில் இருக்கலாம்

• x 2 + x \u003d o, 7x 2 -7 \u003d o.
• அனைத்து குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை ஓ.
  அத்தகைய சமன்பாட்டின் வேர்கள் 1 மற்றும் c / a ஆகும். எடுத்துக்காட்டு, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 13/2.

இரண்டாவது பட்டத்தின் வெவ்வேறு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வேறு பல வழிகள் உள்ளன. இங்கே, எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட பல்லுறுப்புக்கோவையிலிருந்து முழு சதுரத்தைப் பிரித்தெடுப்பதற்கான ஒரு முறை. பல கிராஃபிக் வழிகள் உள்ளன. இதுபோன்ற உதாரணங்களை நீங்கள் அடிக்கடி கையாளும் போது, ​​விதைகளைப் போல "கிளிக்" செய்ய கற்றுக்கொள்வீர்கள், ஏனென்றால் எல்லா முறைகளும் தானாகவே நினைவுக்கு வரும்.