நிலையான ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை மற்றும் ஒருங்கிணைப்பின் அடிப்படை முறைகள். அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள்

ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடு மற்றும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு

உண்மை 1. ஒருங்கிணைப்பு என்பது வேறுபாட்டிற்கு எதிரானது, அதாவது, இந்தச் செயல்பாட்டின் அறியப்பட்ட வழித்தோன்றலில் இருந்து ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டமைத்தல். செயல்பாடு இந்த வழியில் மீட்டமைக்கப்பட்டது எஃப்(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது பழமையானசெயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ்).

வரையறை 1. செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ் f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ், அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் என்றால் எக்ஸ்இந்த இடைவெளியில் இருந்து சமத்துவம் எஃப் "(எக்ஸ்)=f(எக்ஸ்), அதாவது, இந்த செயல்பாடு f(எக்ஸ்) என்பது ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலாகும் எஃப்(எக்ஸ்). .

உதாரணமாக, செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) = பாவம் எக்ஸ் செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும் f(எக்ஸ்) = cos எக்ஸ் முழு எண் வரியிலும், x இன் எந்த மதிப்பிற்கும் (பாவம் எக்ஸ்)" = (காஸ் எக்ஸ்) .

வரையறை 2. ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(எக்ஸ்) என்பது அதன் அனைத்து ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பாகும். இது குறிப்பைப் பயன்படுத்துகிறது

∫

f(எக்ஸ்)dx

அடையாளம் எங்கே ∫ ஒருங்கிணைந்த அடையாளம், செயல்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்) ஒரு ஒருங்கிணைப்பு, மற்றும் f(எக்ஸ்)dx ஒருங்கிணைப்பு ஆகும்.

இவ்வாறு, என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) என்பது சில ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும் f(எக்ஸ்) , அந்த

∫

f(எக்ஸ்)dx = எஃப்(எக்ஸ்) +சி

எங்கே சி - தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையான).

ஒரு செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பாகப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் ஒப்புமை பொருத்தமானது. ஒரு கதவு இருக்கட்டும் (ஒரு பாரம்பரிய மர கதவு). அதன் செயல்பாடு "கதவாக இருப்பது". கதவு எதனால் ஆனது? ஒரு மரத்திலிருந்து. இதன் பொருள், "ஒரு கதவாக இருத்தல்", அதாவது அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு, "ஒரு மரமாக இருத்தல் + C" என்ற செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பாகும், இதில் C என்பது ஒரு மாறிலி, இந்த சூழலில் இதைக் குறிக்கலாம். உதாரணமாக, ஒரு மர இனம். ஒரு கதவு சில கருவிகளைக் கொண்டு மரத்தால் ஆனது போல, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல், எதிர்வழிச் செயல்பாட்டின் "உருவாக்கப்பட்டது" வழித்தோன்றலைப் படிப்பதன் மூலம் நாம் கற்றுக்கொண்ட சூத்திரம் .

பின்னர் பொதுவான பொருட்களின் செயல்பாடுகளின் அட்டவணை மற்றும் அவற்றுடன் தொடர்புடைய ஆதிநிலைகள் ("கதவாக இருப்பது" - "ஒரு மரமாக இருக்க வேண்டும்", "ஒரு கரண்டியாக இருக்க வேண்டும்" - "ஒரு உலோகமாக இருக்க வேண்டும்" போன்றவை) அட்டவணைக்கு ஒத்ததாக இருக்கும். அடிப்படை காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள், அவை கீழே கொடுக்கப்படும். காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை பொதுவான செயல்பாடுகளை பட்டியலிடுகிறது, இந்த செயல்பாடுகள் "உருவாக்கப்பட்ட" ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் குறிக்கிறது. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான பணிகளின் ஒரு பகுதியாக, அத்தகைய ஒருங்கிணைப்புகள் வழங்கப்படுகின்றன, அவை சிறப்பு முயற்சிகள் இல்லாமல் நேரடியாக ஒருங்கிணைக்கப்படலாம், அதாவது காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையின்படி. மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களில், அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளைப் பயன்படுத்தக்கூடிய வகையில் ஒருங்கிணைப்பு முதலில் மாற்றப்பட வேண்டும்.

உண்மை 2. ஆண்டிடெரிவேடிவ் என ஒரு செயல்பாட்டை மீட்டமைக்க, நாம் தன்னிச்சையான மாறிலியை (நிலையான) கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும். சி, மற்றும் 1 முதல் முடிவிலி வரையிலான வெவ்வேறு மாறிலிகளைக் கொண்ட ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் பட்டியலை எழுதாமல் இருக்க, நீங்கள் தன்னிச்சையான மாறிலியுடன் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பை எழுத வேண்டும். சி, இது போல்: 5 எக்ஸ்³+C. எனவே, ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையான) ஆண்டிடெரிவேடிவ் வெளிப்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது, ஏனெனில் எதிர்வழி ஒரு செயல்பாடாக இருக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 5 எக்ஸ்³+4 அல்லது 5 எக்ஸ்³+3 மற்றும் வேறுபடுத்தும் போது 4 அல்லது 3 அல்லது வேறு ஏதேனும் மாறிலி மறைந்துவிடும்.

ஒருங்கிணைப்பு சிக்கலை அமைத்துள்ளோம்: கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாட்டிற்கு f(எக்ஸ்) அத்தகைய செயல்பாட்டைக் கண்டறியவும் எஃப்(எக்ஸ்), யாருடைய வழித்தோன்றல்சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்).

எடுத்துக்காட்டு 1ஒரு செயல்பாட்டின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்

தீர்வு. இந்தச் செயல்பாட்டிற்கு, ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் என்பது செயல்பாடாகும்

செயல்பாடு எஃப்(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேடிவ் என்று அழைக்கப்படுகிறது f(எக்ஸ்) வழித்தோன்றல் என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்), அல்லது, இது ஒன்றே, வேறுபாடு எஃப்(எக்ஸ்) சமமாக உள்ளது f(எக்ஸ்) dx, அதாவது

(2)

எனவே, செயல்பாடு செயல்பாட்டிற்கு எதிர் வழிவகை ஆகும். இருப்பினும், இது க்கு மட்டும் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் அல்ல. அவை செயல்பாடுகளும் கூட

எங்கே உடன்ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி. இதை வேறுபாட்டின் மூலம் சரிபார்க்கலாம்.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டிற்கு ஒரு ஆன்டிடெரிவேடிவ் இருந்தால், அதற்கு ஒரு நிலையான கூட்டுத்தொகையால் வேறுபடும் எண்ணற்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் உள்ளன. ஒரு செயல்பாட்டிற்கான அனைத்து ஆன்டிடெரிவேடிவ்களும் மேலே உள்ள வடிவத்தில் எழுதப்பட்டுள்ளன. இது பின்வரும் தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு.

தேற்றம் (உண்மை 2 இன் முறையான அறிக்கை).என்றால் எஃப்(எக்ஸ்) என்பது செயல்பாட்டிற்கான ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் ஆகும் f(எக்ஸ்) சில இடைவெளியில் எக்ஸ், பிறகு வேறு ஏதேனும் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் f(எக்ஸ்) அதே இடைவெளியில் என குறிப்பிடலாம் எஃப்(எக்ஸ்) + சி, எங்கே உடன்ஒரு தன்னிச்சையான மாறிலி.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டில், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகளுக்குப் பிறகு, பத்தி 3 இல் கொடுக்கப்படும் ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணைக்கு நாங்கள் ஏற்கனவே திரும்புகிறோம். முழு அட்டவணையுடன் நம்மைப் பழக்கப்படுத்துவதற்கு முன்பு இதைச் செய்கிறோம், இதனால் மேலே உள்ளவற்றின் சாராம்சம் தெளிவாக இருக்கும். அட்டவணை மற்றும் பண்புகளுக்குப் பிறகு, ஒருங்கிணைக்கும்போது அவற்றை முழுமையாகப் பயன்படுத்துவோம்.

உதாரணம் 2ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் தொகுப்புகளைக் கண்டறியவும்:

தீர்வு. இந்த செயல்பாடுகள் "உருவாக்கப்பட்ட" ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளின் தொகுப்புகளை நாங்கள் காண்கிறோம். ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரங்களைக் குறிப்பிடும்போது, ​​​​தற்போதைக்கு, அத்தகைய சூத்திரங்கள் உள்ளன என்பதை ஏற்றுக்கொள்ளுங்கள், மேலும் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையை இன்னும் கொஞ்சம் விரிவாகப் படிப்போம்.

1) ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரத்தை (7) பயன்படுத்துதல் n= 3, நாம் பெறுகிறோம்

2) ஒருங்கிணைந்த அட்டவணையில் இருந்து சூத்திரம் (10) ஐப் பயன்படுத்துதல் n= 1/3, எங்களிடம் உள்ளது

3) முதல்

பின்னர் சூத்திரத்தின் படி (7) மணிக்கு n= -1/4 கண்டுபிடி

ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்தின் கீழ், அவை செயல்பாட்டையே எழுதுவதில்லை f, மற்றும் வேறுபாட்டின் மூலம் அதன் தயாரிப்பு dx. ஆண்டிடெரிவேடிவ் எந்த மாறியைத் தேடுகிறது என்பதைக் குறிக்க இது முதன்மையாக செய்யப்படுகிறது. உதாரணத்திற்கு,

, ;

இங்கே இரண்டு நிகழ்வுகளிலும் ஒருங்கிணைப்பு சமமாக இருக்கும், ஆனால் கருதப்படும் நிகழ்வுகளில் அதன் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் வேறுபட்டதாக மாறிவிடும். முதல் வழக்கில், இந்த செயல்பாடு ஒரு மாறியின் செயல்பாடாக கருதப்படுகிறது எக்ஸ், மற்றும் இரண்டாவது - ஒரு செயல்பாடாக z .

ஒரு செயல்பாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கண்டறியும் செயல்முறை அந்த செயல்பாட்டை ஒருங்கிணைத்தல் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வடிவியல் பொருள்

ஒரு வளைவைக் கண்டுபிடிக்க இது தேவையாக இருக்கட்டும் y=F(x)மற்றும் அதன் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் தொடுகோடு சாய்வின் தொடுகோடு என்பது கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். f(x)இந்த புள்ளியின் abscissa.

வழித்தோன்றலின் வடிவியல் பொருளின் படி, வளைவில் கொடுக்கப்பட்ட புள்ளியில் தொடுகோடு சாய்வின் தொடுகோடு y=F(x)வழித்தோன்றலின் மதிப்புக்கு சமம் F"(x). எனவே, அத்தகைய செயல்பாட்டை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் F(x), எதற்காக F"(x)=f(x). பணியில் தேவையான செயல்பாடு F(x)இருந்து பெறப்படுகிறது f(x). பிரச்சனையின் நிலை ஒரு வளைவால் அல்ல, ஆனால் வளைவுகளின் குடும்பத்தால் திருப்தி அடைகிறது. y=F(x)- இந்த வளைவுகளில் ஒன்று மற்றும் வேறு எந்த வளைவையும் அச்சில் இணையான மொழிபெயர்ப்பு மூலம் பெறலாம் ஓ.

இன் ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை அழைப்போம் f(x)ஒருங்கிணைந்த வளைவு. என்றால் F"(x)=f(x), பின்னர் செயல்பாட்டின் வரைபடம் y=F(x)ஒரு ஒருங்கிணைந்த வளைவு ஆகும்.

உண்மை 3. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பானது அனைத்து ஒருங்கிணைந்த வளைவுகளின் குடும்பத்தால் வடிவியல் ரீதியாக குறிப்பிடப்படுகிறது கீழே உள்ள படத்தில் உள்ளது போல. தோற்றத்திலிருந்து ஒவ்வொரு வளைவின் தூரமும் தன்னிச்சையான மாறிலி (நிலையான) ஒருங்கிணைப்பால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. சி.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் பண்புகள்

உண்மை 4. தேற்றம் 1. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் வழித்தோன்றல் ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம், அதன் வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்புக்குச் சமம்.

உண்மை 5. தேற்றம் 2. ஒரு செயல்பாட்டின் வேறுபாட்டின் காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பு f(எக்ஸ்) செயல்பாட்டிற்கு சமம் f(எக்ஸ்) ஒரு நிலையான காலம் வரை , அதாவது

(3)

1 மற்றும் 2 கோட்பாடுகள் வேறுபாடு மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு ஆகியவை பரஸ்பர தலைகீழ் செயல்பாடுகள் என்பதைக் காட்டுகின்றன.

உண்மை 6. தேற்றம் 3. ஒருங்கிணைப்பில் உள்ள நிலையான காரணி காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம் , அதாவது

அடிப்படை சூத்திரங்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்பு முறைகள். தொகை அல்லது வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்பு விதி. ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து மாறிலியை எடுத்துக்கொள்வது. மாறி மாற்று முறை. பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம். ஒரு பிரச்சனை தீர்வுக்கான உதாரணம்.

நான்கு முக்கிய ஒருங்கிணைப்பு முறைகள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன.

1) தொகை அல்லது வேறுபாடு ஒருங்கிணைப்பு விதி.
.
இங்கே மற்றும் கீழே, u, v, w ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறி x இன் செயல்பாடுகள்.

2) ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து மாறிலியை எடுத்துக்கொள்வது.
c ஆனது x இலிருந்து ஒரு நிலையான சார்பற்றதாக இருக்கட்டும். பின்னர் அதை ஒருங்கிணைந்த அடையாளத்திலிருந்து வெளியே எடுக்கலாம்.

3) மாறி மாற்று முறை.
காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கவனியுங்கள்.
அத்தகைய செயல்பாட்டைத் தேர்வு செய்ய முடிந்தால் φ (எக்ஸ்) x இலிருந்து, அதனால்
,
பின்னர், t = φ(x) மாறியை மாற்றிய பின், நம்மிடம் உள்ளது
.

4) பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரம்.
,
இதில் u மற்றும் v ஆகியவை ஒருங்கிணைப்பு மாறியின் செயல்பாடுகள்.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகளைக் கணக்கிடுவதற்கான இறுதி இலக்கு, உருமாற்றங்கள் மூலம், கொடுக்கப்பட்ட ஒருங்கிணைப்பை அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் என்று அழைக்கப்படும் எளிய ஒருங்கிணைப்புகளுக்குக் கொண்டுவருவதாகும். நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி அடிப்படை செயல்பாடுகளின் அடிப்படையில் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகள் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணை >>> பார்க்கவும்

உதாரணமாக

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுங்கள்

தீர்வு

ஒருங்கிணைப்பு என்பது மூன்று சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாடு என்பதை நினைவில் கொள்க:
, மற்றும்.
நாங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் 1 .

மேலும், புதிய ஒருங்கிணைப்புகளின் ஒருங்கிணைப்புகள் மாறிலிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். 5, 4, மற்றும் 2 , முறையே. நாங்கள் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம் 2 .

ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்
.
அமைத்தல் n = 2 , முதல் ஒருங்கிணைப்பைக் காண்கிறோம்.

இரண்டாவது ஒருங்கிணைப்பை படிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்
.
என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். பிறகு

மூன்றாவது முறையைப் பயன்படுத்துவோம். t = φ மாறியை மாற்றுகிறோம் (x) = பதிவு x.
.
ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையில் நாம் சூத்திரத்தைக் காண்கிறோம்

ஒருங்கிணைப்பு மாறியை எந்த எழுத்திலும் குறிக்கலாம் என்பதால், பின்னர்

படிவத்தில் மூன்றாவது ஒருங்கிணைப்பை மீண்டும் எழுதுவோம்
.
பகுதிகள் மூலம் ஒருங்கிணைப்பதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்.
விடுங்கள் .
பிறகு
;
;

;
;
.

அடிப்படை செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகளை நாங்கள் பட்டியலிடுகிறோம், அவை சில நேரங்களில் அட்டவணை என்று அழைக்கப்படுகின்றன:

மேலே உள்ள எந்தவொரு சூத்திரத்தையும் வலது பக்கத்தின் வழித்தோன்றல் மூலம் நிரூபிக்க முடியும் (இதன் விளைவாக, ஒருங்கிணைப்பு பெறப்படும்).

ஒருங்கிணைப்பு முறைகள்

சில அடிப்படை ஒருங்கிணைப்பு முறைகளைக் கருத்தில் கொள்வோம். இவற்றில் அடங்கும்:

1. சிதைவு முறை(நேரடி ஒருங்கிணைப்பு).

இந்த முறை அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளின் நேரடி பயன்பாட்டின் அடிப்படையிலும், காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பின் 4 மற்றும் 5 பண்புகளின் பயன்பாட்டின் அடிப்படையிலும் உள்ளது (அதாவது, அடைப்புக்குறியிலிருந்து நிலையான காரணியை எடுத்துக்கொள்வது மற்றும் / அல்லது ஒருங்கிணைப்பை செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கிறது - ஒருங்கிணைப்பை விதிமுறைகளாக விரிவுபடுத்துதல்).

எடுத்துக்காட்டு 1எடுத்துக்காட்டாக, (dx/x 4) ஐக் கண்டறிய, x n dxக்கான அட்டவணையை நேரடியாகப் பயன்படுத்தலாம். உண்மையில், (dx/x 4) = x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

இன்னும் சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம் 2கண்டுபிடிக்க, நாங்கள் அதே ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3கண்டுபிடிக்க நீங்கள் எடுக்க வேண்டும்

எடுத்துக்காட்டு 4கண்டுபிடிக்க, படிவத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைப்பைக் குறிக்கிறோம் மற்றும் அதிவேக செயல்பாட்டிற்கு அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்தவும்:

நிலையான காரணி அடைப்புக்குறியின் பயன்பாட்டைக் கவனியுங்கள்.

உதாரணம் 5உதாரணமாக, கண்டுபிடிப்போம் . அதைக் கருத்தில் கொண்டு, நாம் பெறுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 6கண்டுபிடிப்போம். ஏனெனில் , நாங்கள் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்பைப் பயன்படுத்துகிறோம் பெறு

பின்வரும் இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளில் அடைப்புக்குறிகள் மற்றும் அட்டவணை ஒருங்கிணைப்புகளையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்:

எடுத்துக்காட்டு 7

(நாங்கள் பயன்படுத்துகிறோம் மற்றும் );

எடுத்துக்காட்டு 8

(நாம் பயன்படுத்த மற்றும் ).

கூட்டுத்தொகையைப் பயன்படுத்தும் மிகவும் சிக்கலான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 9உதாரணமாக, கண்டுபிடிப்போம்
. எண்கணிதத்தில் விரிவாக்க முறையைப் பயன்படுத்த, நாம் சம் க்யூப் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம் , அதன் விளைவாக வரும் பல்லுறுப்புக்கோவைச் சொல்லை காலத்தால் வகுப்பால் வகுக்கிறோம்.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

தீர்வு முடிவில் ஒரு பொதுவான மாறிலி C எழுதப்பட்டிருப்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும் (ஒவ்வொரு காலத்தையும் ஒருங்கிணைக்கும் போது தனித்தனியாக இல்லை). எதிர்காலத்தில், வெளிப்பாடு குறைந்தபட்சம் ஒரு காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கொண்டிருக்கும் வரை (தீர்வின் முடிவில் ஒரு மாறிலியை எழுதுவோம்) தீர்க்கும் செயல்பாட்டில் தனிப்பட்ட சொற்களின் ஒருங்கிணைப்பிலிருந்து மாறிலிகளைத் தவிர்க்கவும் முன்மொழியப்பட்டது.

எடுத்துக்காட்டு 10கண்டுபிடிப்போம் . இந்தச் சிக்கலைத் தீர்க்க, நாம் எண்ணிக்கையை காரணியாக்குகிறோம் (அதன் பிறகு, வகுப்பைக் குறைக்கலாம்).

எடுத்துக்காட்டு 11.கண்டுபிடிப்போம். முக்கோணவியல் அடையாளங்களை இங்கே பயன்படுத்தலாம்.

சில நேரங்களில், ஒரு வெளிப்பாட்டை சொற்களாக சிதைக்க, நீங்கள் மிகவும் சிக்கலான நுட்பங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 12.கண்டுபிடிப்போம் . ஒருங்கிணைப்பில், பின்னத்தின் முழு எண் பகுதியைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் . பிறகு

எடுத்துக்காட்டு 13கண்டுபிடிப்போம்

2. மாறி மாற்று முறை (மாற்று முறை)

இந்த முறை பின்வரும் சூத்திரத்தை அடிப்படையாகக் கொண்டது: f(x)dx=f((t))`(t)dt, இங்கு x =(t) என்பது கருதப்படும் இடைவெளியில் வேறுபடும் ஒரு செயல்பாடாகும்.

ஆதாரம். சூத்திரத்தின் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளிலிருந்து டி மாறியைப் பொறுத்து வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இடது பக்கத்தில் ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு உள்ளது, அதன் இடைநிலை வாதம் x = (t) ஆகும். எனவே, t ஐப் பொறுத்து அதை வேறுபடுத்த, முதலில் x ஐப் பொறுத்து ஒருங்கிணைப்பை வேறுபடுத்துகிறோம், பின்னர் t ஐப் பொறுத்து இடைநிலை வாதத்தின் வழித்தோன்றலை எடுத்துக்கொள்கிறோம்.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

வலது பக்கத்தின் வழித்தோன்றல்:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

இந்த வழித்தோன்றல்கள் சமமாக இருப்பதால், லாக்ரேஞ்ச் தேற்றத்தின் ஒரு இணைப்பால், நிரூபிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தின் இடது மற்றும் வலது பகுதிகள் சில மாறிலிகளால் வேறுபடுகின்றன. காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்புகள் காலவரையற்ற நிலையான சொல் வரை வரையறுக்கப்பட்டிருப்பதால், இந்த மாறிலியை இறுதிக் குறிப்பில் தவிர்க்கலாம். நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

மாறியின் வெற்றிகரமான மாற்றம், அசல் ஒருங்கிணைப்பை எளிதாக்க அனுமதிக்கிறது, மேலும் எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில் அதை அட்டவணையாகக் குறைக்கிறது. இந்த முறையைப் பயன்படுத்துவதில், நேரியல் மற்றும் நேரியல் அல்லாத மாற்று முறைகள் வேறுபடுகின்றன.

a) நேரியல் மாற்று முறைஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1
. Lett= 1 - 2x, பின்னர்

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

புதிய மாறி வெளிப்படையாக எழுதப்பட வேண்டியதில்லை என்பதை கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இது போன்ற சந்தர்ப்பங்களில், வேற்றுமையின் அடையாளத்தின் கீழ் ஒரு செயல்பாட்டின் மாற்றம் அல்லது வேறுபாட்டின் அடையாளத்தின் கீழ் மாறிலிகள் மற்றும் மாறிகளின் அறிமுகம் பற்றி பேசுகிறார், அதாவது. ஓ மறைமுக மாறி மாற்று.

உதாரணம் 2எடுத்துக்காட்டாக, cos(3x + 2)dx ஐக் கண்டுபிடிப்போம். வேறுபாடு dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), பின்னர்cos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

கருதப்பட்ட இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளிலும், நேர்கோட்டு மாற்று t=kx+b(k0) ஒருங்கிணைப்புகளைக் கண்டறிய பயன்படுத்தப்பட்டது.

பொது வழக்கில், பின்வரும் தேற்றம் உள்ளது.

நேரியல் மாற்று தேற்றம். F(x) செயல்பாட்டிற்கு F(x) சில எதிர்வழியாக இருக்கட்டும். பிறகுf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, இதில் k மற்றும் b சில மாறிலிகள்,k0.

ஆதாரம்.

f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C இன் வரையறையின்படி. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. ஒருங்கிணைந்த குறிக்கான நிலையான காரணி k ஐ எடுத்துக்கொள்கிறோம்: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. இப்போது நாம் சமத்துவத்தின் இடது மற்றும் வலது பகுதிகளை k ஆல் வகுத்து, நிலையான காலத்தின் குறியீடாக நிரூபிக்கப்பட வேண்டிய உறுதிமொழியைப் பெறலாம்.

ஒருங்கிணைந்த f(x)dx= F(x) + C இன் வரையறையில் வெளிப்பாடு (kx+b) மாற்றியமைக்கப்பட்டால், இது முன்னால் ஒரு கூடுதல் காரணி 1/k தோற்றத்திற்கு வழிவகுக்கும் என்று இந்த தேற்றம் கூறுகிறது. ஆண்டிடெரிவேட்டிவ்.

நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

கண்டுபிடிப்போம் . இங்கே kx+b= 3 –x, அதாவது k= -1,b= 3. பிறகு

எடுத்துக்காட்டு 4

கண்டுபிடிப்போம். இங்கே kx+b= 4x+ 3, அதாவது k= 4,b= 3. பிறகு

உதாரணம் 5

கண்டுபிடிப்போம் . இங்கே kx+b= -2x+ 7, அதாவது k= -2,b= 7. பிறகு

.

எடுத்துக்காட்டு 6கண்டுபிடிப்போம்
. இங்கே kx+b= 2x+ 0, அதாவது k= 2,b= 0.

.

பெறப்பட்ட முடிவை எடுத்துக்காட்டு 8 உடன் ஒப்பிடுவோம், இது சிதைவு முறையால் தீர்க்கப்பட்டது. அதே சிக்கலை மற்றொரு முறை மூலம் தீர்த்து, பதில் கிடைத்தது
. முடிவுகளை ஒப்பிடுவோம்: எனவே, இந்த வெளிப்பாடுகள் ஒரு நிலையான காலத்தால் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுகின்றன , அதாவது பெறப்பட்ட பதில்கள் ஒன்றுக்கொன்று முரணாக இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 7கண்டுபிடிப்போம்
. வகுப்பில் முழு சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம்.

சில சந்தர்ப்பங்களில், மாறியின் மாற்றம் ஒரு அட்டவணைக்கு நேரடியாக ஒருங்கிணைப்பைக் குறைக்காது, ஆனால் அடுத்த கட்டத்தில் சிதைவு முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்வை எளிதாக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 8உதாரணமாக, கண்டுபிடிப்போம் . t=x+ 2 ஐ மாற்றவும், பின்னர் dt=d(x+ 2) =dx. பிறகு

,

இதில் C \u003d C 1 - 6 (t வெளிப்பாட்டிற்கு பதிலாக (x + 2) பதிலாக, முதல் இரண்டு சொற்களுக்குப் பதிலாக, நாம் ½x 2 -2x - 6 ஐப் பெறுகிறோம்).

எடுத்துக்காட்டு 9கண்டுபிடிப்போம்
. t= 2x+ 1, பிறகு dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2 என்று விடுங்கள்.

t க்குப் பதிலாக (2x + 1) வெளிப்பாட்டை மாற்றி, அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து ஒத்தவற்றைக் கொடுக்கிறோம்.

மாற்றங்களின் செயல்பாட்டில் நாம் மற்றொரு நிலையான காலத்திற்கு சென்றோம், ஏனெனில் மாற்றங்களின் செயல்பாட்டில் நிலையான சொற்களின் குழு தவிர்க்கப்படலாம்.

ஆ) நேரியல் அல்லாத மாற்றீடு முறைஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1
. t= -x 2 ஐ விடுங்கள். மேலும், ஒருவர் t இன் அடிப்படையில் x ஐ வெளிப்படுத்தலாம், பின்னர் dx க்கான வெளிப்பாட்டைக் கண்டுபிடித்து, தேவையான ஒருங்கிணைப்பில் மாறியின் மாற்றத்தை செயல்படுத்தலாம். ஆனால் இந்த விஷயத்தில் வேறுவிதமாக செய்வது எளிது. dt=d(-x 2) = -2xdxஐக் கண்டறியவும். xdx என்ற வெளிப்பாடு தேவையான ஒருங்கிணைப்பின் ஒருங்கிணைப்பின் காரணியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க. இதன் விளைவாக வரும் சமத்துவம் xdx= - ½dt இல் இருந்து அதை வெளிப்படுத்துகிறோம். பிறகு

இந்த பக்கத்தில் நீங்கள் காணலாம்:

1. உண்மையில், ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணை - இது PDF வடிவத்தில் பதிவிறக்கம் செய்யப்பட்டு அச்சிடப்படலாம்;

2. இந்த அட்டவணையை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பது குறித்த வீடியோ;

3. பல்வேறு பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் சோதனைகளிலிருந்து ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளின் தொகுப்பு.

வீடியோவில், ஆண்டிடெரிவேடிவ் செயல்பாடுகளைக் கணக்கிட வேண்டிய பல பணிகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம், பெரும்பாலும் மிகவும் சிக்கலானது, ஆனால் மிக முக்கியமாக, அவை சக்தி-சட்டம் அல்ல. மேலே முன்மொழியப்பட்ட அட்டவணையில் சுருக்கப்பட்டுள்ள அனைத்து செயல்பாடுகளும் வழித்தோன்றல்கள் போன்ற இதயத்தால் அறியப்பட வேண்டும். அவை இல்லாமல், ஒருங்கிணைப்புகளைப் பற்றிய கூடுதல் ஆய்வு மற்றும் நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான அவற்றின் பயன்பாடு சாத்தியமற்றது.

இன்று நாம் தொடர்ந்து பழமையானவற்றைக் கையாள்வதோடு சற்று சிக்கலான தலைப்புக்கு செல்கிறோம். கடந்த முறை நாம் ஆற்றல் செயல்பாடுகள் மற்றும் சற்று சிக்கலான கட்டமைப்புகளில் இருந்து மட்டுமே ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கருதினால், இன்று நாம் முக்கோணவியல் மற்றும் பலவற்றை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

நான் கடந்த பாடத்தில் கூறியது போல், டெரிவேடிவ்கள் போலல்லாமல், எந்த நிலையான விதிகளையும் பயன்படுத்தி "வெற்று" தீர்க்கப்படாது. மேலும், மோசமான செய்தி என்னவென்றால், வழித்தோன்றலைப் போலல்லாமல், ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கருதப்படவே இல்லை. நாம் முற்றிலும் சீரற்ற செயல்பாட்டை எழுதி, அதன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சித்தால், மிக அதிக நிகழ்தகவுடன் நாம் வெற்றியடைவோம், ஆனால் இந்த விஷயத்தில் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் கணக்கிடப்படாது. ஆனால் ஒரு நல்ல செய்தியும் உள்ளது: அடிப்படை செயல்பாடுகள் என்று அழைக்கப்படும் ஒரு பெரிய அளவிலான செயல்பாடுகள் உள்ளன, அவற்றின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் கணக்கிட மிகவும் எளிதானது. பல்வேறு கட்டுப்பாடுகள், சுயாதீனமான மற்றும் தேர்வுகளில் வழங்கப்படும் மற்ற அனைத்து சிக்கலான கட்டுமானங்களும், உண்மையில், இந்த அடிப்படை செயல்பாடுகளை கூட்டுதல், கழித்தல் மற்றும் பிற எளிய செயல்களால் ஆனவை. இத்தகைய செயல்பாடுகளின் ஆண்டிடெரிவேடிவ்கள் நீண்ட காலமாக கணக்கிடப்பட்டு சிறப்பு அட்டவணையில் சுருக்கப்பட்டுள்ளன. அத்தகைய செயல்பாடுகள் மற்றும் அட்டவணைகளுடன் தான் இன்று நாம் வேலை செய்வோம்.

ஆனால், எப்பொழுதும் போலவே, மீண்டும் மீண்டும் தொடங்குவோம்: ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் என்றால் என்ன, அவற்றில் ஏன் எண்ணற்ற எண்ணிக்கை உள்ளது, அவற்றின் பொதுவான வடிவத்தை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். இதைச் செய்ய, நான் இரண்டு எளிய பணிகளைத் தேர்ந்தெடுத்தேன்.

எளிமையான எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்ப்பது

எடுத்துக்காட்டு #1

$\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ மற்றும் $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ செயல்பாட்டின் தேவையான ஆன்டிடெரிவேடிவ் முக்கோணவியல் தொடர்பானது என்பதை உடனடியாக நமக்குச் சுட்டிக்காட்டுகிறது. மற்றும், உண்மையில், நாம் அட்டவணையைப் பார்த்தால், $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ என்பது $\text(arctg)x$ என்பதைத் தவிர வேறில்லை. எனவே எழுதுவோம்:

கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பின்வருவனவற்றை எழுத வேண்டும்:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

எடுத்துக்காட்டு #2

இங்கே நாம் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பற்றியும் பேசுகிறோம். நாம் அட்டவணையைப் பார்த்தால், உண்மையில், இது இப்படி மாறும்:

குறிப்பிட்ட புள்ளியை கடந்து செல்லும் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு தொகுப்பிலும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\\text( ))(6)+C\]

இறுதியாக அதை எழுதுவோம்:

இது மிகவும் எளிமையானது. ஒரே பிரச்சனை என்னவென்றால், எளிய செயல்பாடுகளின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களை எண்ணுவதற்கு, நீங்கள் ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையைக் கற்றுக்கொள்ள வேண்டும். இருப்பினும், உங்களுக்காக டெரிவேடிவ் அட்டவணையைக் கற்றுக்கொண்ட பிறகு, இது ஒரு பிரச்சனையாக இருக்காது என்று நினைக்கிறேன்.

அதிவேக செயல்பாட்டைக் கொண்ட சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

பின்வரும் சூத்திரங்களுடன் ஆரம்பிக்கலாம்:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

இவை அனைத்தும் நடைமுறையில் எவ்வாறு செயல்படுகின்றன என்பதைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு #1

அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ளவற்றைப் பார்த்தால், ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையில் $((e)^(x))$ ஒரு சதுரத்தில் உள்ளது என்று எந்த வெளிப்பாடும் இல்லை, எனவே இந்த சதுரம் திறக்கப்பட வேண்டும். இதைச் செய்ய, சுருக்கமான பெருக்கத்தின் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

ஒவ்வொரு சொற்களுக்கும் எதிர் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

\[((இ)^(2x))=((\இடது(((இ)^(2)) \வலது))^(x))\இலிருந்து \frac((\இடது(((இ)) (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((இ)^(-2x))=((\இடது((இ)^(-2)) \வலது))^(x))\ to \frac(((\left(((e)) )^(-2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

இப்போது நாம் அனைத்து சொற்களையும் ஒரே வெளிப்பாட்டில் சேகரித்து ஒரு பொதுவான ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு #2

இந்த நேரத்தில், அடுக்கு ஏற்கனவே பெரியதாக உள்ளது, எனவே சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரம் மிகவும் சிக்கலானதாக இருக்கும். அடைப்புக்குறிகளை விரிவாக்குவோம்:

இப்போது இந்த கட்டுமானத்தில் இருந்து நமது சூத்திரத்தின் ஆண்டிடெரிவேடிவ் எடுக்க முயற்சிப்போம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதிவேக செயல்பாட்டின் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களில் சிக்கலான மற்றும் இயற்கைக்கு அப்பாற்பட்ட எதுவும் இல்லை. அனைத்தும் அட்டவணைகள் மூலம் கணக்கிடப்படுகின்றன, இருப்பினும், கவனமுள்ள மாணவர்கள் கண்டிப்பாக $((e)^(2x))$ ஆனது $((a) ஐ விட $((e)^(x))$ க்கு மிக அருகில் இருப்பதை கண்டிப்பாக கவனிப்பார்கள். )^(x ))$. எனவே, $((e)^(2x))$ ஐக் கண்டுபிடிக்க, $((e)^(x))$ என்ற எதிர்வழியை அறிந்து கொள்ள அனுமதிக்கும் இன்னும் சில சிறப்பு விதிகள் இருக்கலாம்? ஆம், அத்தகைய விதி உள்ளது. மேலும், இது ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையுடன் பணிபுரிவதில் ஒரு ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும். நாங்கள் இப்போது ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் பணிபுரிந்த அதே வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி இப்போது அதை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையுடன் வேலை செய்வதற்கான விதிகள்

எங்கள் செயல்பாட்டை மீண்டும் எழுதுவோம்:

முந்தைய வழக்கில், தீர்க்க பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தினோம்:

\[((a)^(x))\to \frac((((a)^(x)))(\ஆபரேட்டர் பெயர்(lna))\]

ஆனால் இப்போது வேறு ஏதாவது செய்வோம்: எந்த அடிப்படையில் $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள். ஏற்கனவே கூறியது போல், $((e)^(x))$ என்பதன் வழித்தோன்றல் $((e)^(x))$ தவிர வேறொன்றும் இல்லை, எனவே அதன் எதிர் வழித்தோன்றல் அதே $((e) ^( x))$. ஆனால் பிரச்சனை என்னவென்றால், நம்மிடம் $((e)^(2x))$ மற்றும் $((e)^(-2x))$ உள்ளது. இப்போது $((e)^(2x))$ என்ற வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்:

\[((\left(((e))^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

எங்கள் கட்டுமானத்தை மீண்டும் எழுதுவோம்:

\[((\இடது(((இ))^(2x)) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((இ)^(2x))=((\இடது(\frac(((இ))^2x)))(2) \வலது))^(\ப்ரைம் ))\]

இதன் பொருள் என்னவென்றால், $((e)^(2x))$ என்ற எதிர்ப்பொருளைக் கண்டறியும் போது, ​​பின்வருவனவற்றைப் பெறுகிறோம்:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

நீங்கள் பார்ப்பது போல், முன்பு இருந்த அதே முடிவைப் பெற்றுள்ளோம், ஆனால் $((a)^(x))$ஐக் கண்டுபிடிக்க நாங்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவில்லை. இப்போது இது முட்டாள்தனமாகத் தோன்றலாம்: நிலையான சூத்திரம் இருக்கும்போது கணக்கீடுகளை ஏன் சிக்கலாக்க வேண்டும்? இருப்பினும், சற்று சிக்கலான வெளிப்பாடுகளில், இந்த நுட்பம் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருப்பதை நீங்கள் காண்பீர்கள், அதாவது. வழித்தோன்றல்களைப் பயன்படுத்தி ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கண்டறியவும்.

ஒரு வார்ம்-அப் ஆக, இதே வழியில் $((e)^(2x))$ இன் ஆன்டிடெரிவேட்டிவ்வைக் கண்டுபிடிப்போம்:

\[((\left(((e))^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e))^-2x))(-2) \right))^(\prime ))\]

கணக்கிடும்போது, ​​​​எங்கள் கட்டுமானம் பின்வருமாறு எழுதப்படும்:

\[((இ)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((இ)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

நாங்கள் அதே முடிவைப் பெற்றோம், ஆனால் வேறு வழியில் சென்றோம். இந்த வழிதான், இப்போது நமக்கு கொஞ்சம் சிக்கலானதாகத் தோன்றுகிறது, எதிர்காலத்தில் மிகவும் சிக்கலான ஆன்டிடெரிவேடிவ்களைக் கணக்கிடுவதற்கும் அட்டவணைகளைப் பயன்படுத்துவதற்கும் இது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

குறிப்பு! இது ஒரு மிக முக்கியமான விஷயம்: டெரிவேடிவ்கள் போன்ற ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் பல வழிகளில் கணக்கிடப்படலாம். இருப்பினும், அனைத்து கணக்கீடுகளும் கணக்கீடுகளும் சமமாக இருந்தால், பதில் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். $((e)^(-2x))$ -ன் எடுத்துக்காட்டில் இதைப் பார்த்தோம் - ஒருபுறம், இந்த ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் "முழுவதும்" என்று கணக்கிட்டு, வரையறையைப் பயன்படுத்தி மாற்றங்களின் உதவியுடன் அதைக் கணக்கிடுகிறோம். மறுபுறம், $ ((இ)^(-2x))$ ஐ $(\இடது(((இ))^(-2)) \வலது))^(x))$ எனக் குறிப்பிடலாம் என்பதை நினைவில் வைத்திருக்கிறோம். $((a)^(x))$ செயல்பாட்டிற்கு ஆன்டிடெரிவேட்டிவ் பயன்படுத்தவும். இருப்பினும், அனைத்து மாற்றங்களுக்கும் பிறகு, முடிவு எதிர்பார்த்தது போலவே இருக்கும்.

இப்போது நாம் இதையெல்லாம் புரிந்து கொண்டோம், இன்னும் கணிசமான ஒன்றுக்கு செல்ல வேண்டிய நேரம் இது. இப்போது நாம் இரண்டு எளிய கட்டுமானங்களை பகுப்பாய்வு செய்வோம், இருப்பினும், அவற்றைத் தீர்க்கும் போது அமைக்கப்படும் நுட்பம் அட்டவணையில் இருந்து அண்டை ஆண்டிடெரிவேடிவ்களுக்கு இடையில் ஒரு எளிய "இயங்கும்" விட சக்திவாய்ந்த மற்றும் பயனுள்ள கருவியாகும்.

சிக்கலைத் தீர்ப்பது: ஒரு செயல்பாட்டின் எதிர் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்

எடுத்துக்காட்டு #1

எண்களில் உள்ள தொகையை மூன்று தனித்தனி பின்னங்களாக சிதைக்கவும்:

இது மிகவும் இயல்பான மற்றும் புரிந்துகொள்ளக்கூடிய மாற்றமாகும் - பெரும்பாலான மாணவர்களுக்கு இதில் எந்த பிரச்சனையும் இல்லை. எங்கள் வெளிப்பாட்டை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

இப்போது இந்த சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்வோம்:

எங்கள் விஷயத்தில், பின்வருவனவற்றைப் பெறுவோம்:

இந்த மூன்று-அடுக்கு பின்னங்கள் அனைத்தையும் அகற்ற, பின்வருவனவற்றைச் செய்ய பரிந்துரைக்கிறேன்:

எடுத்துக்காட்டு #2

முந்தைய பகுதியைப் போலன்றி, வகுத்தல் என்பது தயாரிப்பு அல்ல, ஆனால் கூட்டுத்தொகை. இந்த வழக்கில், பல எளிய பின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையால் நமது பின்னத்தை இனி வகுக்க முடியாது, ஆனால் எண்ணில் தோராயமாக வகுப்பின் அதே வெளிப்பாடு உள்ளதா என்பதை எப்படியாவது உறுதிப்படுத்த முயற்சிக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், இதைச் செய்வது மிகவும் எளிதானது:

கணிதத்தின் மொழியில் "பூஜ்ஜியத்தைச் சேர்ப்பது" என்று அழைக்கப்படும் அத்தகைய குறியீடு, பின்னத்தை மீண்டும் இரண்டு துண்டுகளாகப் பிரிக்க அனுமதிக்கும்:

இப்போது நாம் தேடுவதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

அவ்வளவுதான் கணக்கீடுகள். முந்தைய சிக்கலை விட அதிக சிக்கலானது இருந்தபோதிலும், கணக்கீடுகளின் அளவு இன்னும் சிறியதாக மாறியது.

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

அட்டவணைப் பழமையானவற்றுடன் பணிபுரிவதில் முக்கிய சிரமம் உள்ளது, இது இரண்டாவது பணியில் குறிப்பாக கவனிக்கப்படுகிறது. உண்மை என்னவென்றால், அட்டவணையின் மூலம் எளிதில் கணக்கிடக்கூடிய சில கூறுகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதற்கு, நாம் எதைத் தேடுகிறோம் என்பதைத் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும், மேலும் இந்த உறுப்புகளுக்கான தேடலில்தான் ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் முழு கணக்கீடும் உள்ளது.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை மனப்பாடம் செய்வது மட்டும் போதாது - இதுவரை இல்லாத ஒன்றை நீங்கள் பார்க்க வேண்டும், ஆனால் இந்த சிக்கலின் ஆசிரியரும் தொகுப்பாளரும் என்ன அர்த்தம். அதனால்தான், பல கணிதவியலாளர்கள், ஆசிரியர்கள் மற்றும் பேராசிரியர்கள் தொடர்ந்து வாதிடுகின்றனர்: "எதிர்ப்பொருட்கள் அல்லது ஒருங்கிணைப்பு என்றால் என்ன - இது ஒரு கருவியா அல்லது உண்மையான கலையா?" உண்மையில், என் தனிப்பட்ட கருத்துப்படி, ஒருங்கிணைப்பு என்பது ஒரு கலை அல்ல - அதில் உன்னதமான எதுவும் இல்லை, அது மீண்டும் பயிற்சி மற்றும் பயிற்சி மட்டுமே. மேலும் பயிற்சி செய்ய, இன்னும் மூன்று தீவிர உதாரணங்களைத் தீர்ப்போம்.

நடைமுறையில் ஒருங்கிணைப்பு பயிற்சி

பணி எண் 1

பின்வரும் சூத்திரங்களை எழுதுவோம்:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\ to \text(arctg)x\]

பின்வருவனவற்றை எழுதுவோம்:

பணி #2

அதை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதுவோம்:

மொத்த ஆண்டிடெரிவேடிவ் இதற்கு சமமாக இருக்கும்:

பணி #3

இந்த பணியின் சிக்கலானது, முந்தைய செயல்பாடுகளைப் போலன்றி, மேலே $x$ மாறி இல்லை, அதாவது. கீழே உள்ளதைப் போன்ற ஏதாவது ஒன்றைப் பெறுவதற்கு எதைச் சேர்ப்பது, கழிப்பது என்பது எங்களுக்குத் தெளிவாகத் தெரியவில்லை. இருப்பினும், உண்மையில், இந்த வெளிப்பாடு முந்தைய கட்டமைப்பிலிருந்து எந்த வெளிப்பாட்டையும் விட எளிமையானதாகக் கருதப்படுகிறது, ஏனெனில் இந்த செயல்பாடு பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதப்படலாம்:

நீங்கள் இப்போது கேட்கலாம்: இந்த செயல்பாடுகள் ஏன் சமமாக உள்ளன? சரிபார்ப்போம்:

மீண்டும் எழுதுவோம்:

நமது வெளிப்பாட்டை சற்று மாற்றுவோம்:

இதையெல்லாம் என் மாணவர்களுக்கு நான் விளக்கும்போது, ​​இதே பிரச்சனை எப்போதும் எழுகிறது: முதல் செயல்பாட்டின் மூலம் எல்லாம் அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ தெளிவாக உள்ளது, இரண்டாவதாக நீங்கள் அதை அதிர்ஷ்டம் அல்லது பயிற்சி மூலம் கண்டுபிடிக்கலாம், ஆனால் மாற்று உணர்வு என்ன செய்கிறது மூன்றாவது உதாரணத்தைத் தீர்க்க நீங்கள் வைத்திருக்க வேண்டுமா? உண்மையில், பயப்பட வேண்டாம். கடைசி ஆண்டிடெரிவேட்டிவைக் கணக்கிடும்போது நாங்கள் பயன்படுத்திய நுட்பம் "ஒரு செயல்பாட்டை எளிமையானதாக சிதைப்பது" என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது மிகவும் தீவிரமான நுட்பமாகும், மேலும் ஒரு தனி வீடியோ பாடம் அதற்கு அர்ப்பணிக்கப்படும்.

இதற்கிடையில், நாங்கள் இப்போது படித்தவற்றுக்கு, அதாவது அதிவேக செயல்பாடுகளுக்குத் திரும்புவதற்கும், அவற்றின் உள்ளடக்கத்துடன் பணிகளைச் சிக்கலாக்குவதற்கும் நான் முன்மொழிகிறேன்.

ஆண்டிடெரிவேடிவ் அதிவேக செயல்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்கள்

பணி எண் 1

பின்வருவனவற்றைக் கவனியுங்கள்:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

இந்த வெளிப்பாட்டின் எதிர்விளைவைக் கண்டறிய, $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$ என்ற நிலையான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

எங்கள் விஷயத்தில், பழமையானது இப்படி இருக்கும்:

நிச்சயமாக, நாங்கள் இப்போது தீர்த்த கட்டுமானத்தின் பின்னணிக்கு எதிராக, இது எளிமையானதாகத் தெரிகிறது.

பணி #2

மீண்டும், இந்த செயல்பாட்டை இரண்டு தனித்தனி சொற்களாக - இரண்டு தனித்தனி பின்னங்களாகப் பிரிப்பது எளிது என்பதைப் பார்ப்பது எளிது. மீண்டும் எழுதுவோம்:

மேலே உள்ள சூத்திரத்தின்படி இந்த சொற்கள் ஒவ்வொன்றின் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

ஆற்றல் செயல்பாடுகளுடன் ஒப்பிடும்போது அதிவேக செயல்பாடுகளின் சிக்கலான தன்மை அதிகமாக இருந்தாலும், கணக்கீடுகள் மற்றும் கணக்கீடுகளின் மொத்த அளவு மிகவும் எளிமையானதாக மாறியது.

நிச்சயமாக, அறிவுள்ள மாணவர்களுக்கு, நாம் இப்போது கையாண்டது (குறிப்பாக நாம் முன்பு கையாண்டதன் பின்னணியில்) அடிப்படை வெளிப்பாடுகளாகத் தோன்றலாம். இருப்பினும், இன்றைய வீடியோ டுடோரியலுக்கான இந்த இரண்டு பணிகளைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், மற்றொரு சிக்கலான மற்றும் தந்திரமான தந்திரத்தை உங்களுக்குச் சொல்லும் இலக்கை நான் அமைக்கவில்லை - அசல் செயல்பாடுகளை மாற்றுவதற்கு நிலையான அல்ஜீப்ரா தந்திரங்களைப் பயன்படுத்த நீங்கள் பயப்படக்கூடாது என்பதை நான் உங்களுக்குக் காட்ட விரும்பினேன். .

"ரகசிய" நுட்பத்தைப் பயன்படுத்துதல்

முடிவில், மற்றொரு சுவாரஸ்யமான தந்திரத்தை நான் பகுப்பாய்வு செய்ய விரும்புகிறேன், இது ஒருபுறம், இன்று நாம் முக்கியமாக பகுப்பாய்வு செய்ததைத் தாண்டியது, ஆனால், மறுபுறம், இது முதலில், எந்த வகையிலும் சிக்கலானது அல்ல, அதாவது. புதிய மாணவர்கள் கூட இதில் தேர்ச்சி பெற முடியும், இரண்டாவதாக, இது பெரும்பாலும் அனைத்து வகையான கட்டுப்பாடு மற்றும் சுயாதீனமான வேலைகளில் காணப்படுகிறது, அதாவது. ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை அறிவதுடன், அதை அறிவது மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

பணி எண் 1

வெளிப்படையாக, சக்தி செயல்பாட்டிற்கு மிகவும் ஒத்த ஒன்று உள்ளது. இந்த வழக்கில் நாம் எவ்வாறு தொடர வேண்டும்? இதைப் பற்றி யோசிப்போம்: $x-5$ என்பது $x$ இலிருந்து வேறுபடவில்லை - $-5$ சேர்க்கப்பட்டது. அதை இப்படி எழுதுவோம்:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[(\இடது(\frac(((x))^(5)))(5) \வலது))^(\ப்ரைம் ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

$((\left(x-5 \right))^(5))$ இன் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம்:

\[((\left((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

இது குறிக்கிறது:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=(\left(\frac(((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ வலது))^(\பிரதம ))\]

அட்டவணையில் அத்தகைய மதிப்பு இல்லை, எனவே சக்தி செயல்பாட்டிற்கான நிலையான ஆண்டிடெரிவேடிவ் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, இப்போது இந்த சூத்திரத்தை நாமே பெற்றுள்ளோம். பதிலை இப்படி எழுதுவோம்:

பணி #2

முதல் தீர்வைப் பார்க்கும் பல மாணவர்களுக்கு, எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது என்று தோன்றலாம்: சக்தி செயல்பாட்டில் $x$ ஐ நேரியல் வெளிப்பாட்டுடன் மாற்றினால் போதும், எல்லாமே சரியான இடத்தில் விழும். துரதிர்ஷ்டவசமாக, எல்லாம் அவ்வளவு எளிதல்ல, இப்போது இதைப் பார்ப்போம்.

முதல் வெளிப்பாட்டுடன் ஒப்புமை மூலம், பின்வருவனவற்றை எழுதுகிறோம்:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \right))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

எங்கள் வழித்தோன்றலுக்குத் திரும்பி, நாம் எழுதலாம்:

\[((\left((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\இடது(4-3x \வலது))^(9))=(\இடது(\frac((\இடது(4-3x \வலது))^(10)))(-30) \வலது))^(\பிரதம ))\]

இங்கிருந்து அது உடனடியாக பின்வருமாறு:

தீர்வின் நுணுக்கங்கள்

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: கடந்த முறை அடிப்படையில் எதுவும் மாறவில்லை என்றால், இரண்டாவது வழக்கில் $-10$ க்கு பதிலாக $-30$ தோன்றியது. $-10$ மற்றும் $-30$ இடையே என்ன வித்தியாசம்? வெளிப்படையாக, $-3$ காரணி மூலம். கேள்வி: அது எங்கிருந்து வந்தது? உன்னிப்பாகப் பார்த்தால், சிக்கலான செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கணக்கிடுவதன் விளைவாக இது எடுக்கப்பட்டது என்பதை நீங்கள் காணலாம் - $x$ இல் இருக்கும் குணகம் கீழே உள்ள ஆன்டிடெரிவேடிவ்வில் தோன்றுகிறது. இது ஒரு மிக முக்கியமான விதி, இது இன்றைய வீடியோ டுடோரியலில் நான் முதலில் பகுப்பாய்வு செய்யத் திட்டமிடவில்லை, ஆனால் அது இல்லாமல், அட்டவணை ஆண்டிடெரிவேடிவ்களின் விளக்கக்காட்சி முழுமையடையாது.

எனவே அதை மீண்டும் செய்வோம். எங்கள் முக்கிய சக்தி செயல்பாடு இருக்கட்டும்:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

இப்போது, ​​$x$ க்குப் பதிலாக, $kx+b$ என்ற வெளிப்பாட்டை மாற்றுவோம். அப்போது என்ன நடக்கும்? பின்வருவனவற்றை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\ to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1))(\left(n+ 1 \வலது)\cdot k)\]

எந்த அடிப்படையில் இதை வலியுறுத்துகிறோம்? மிக எளிய. மேலே எழுதப்பட்ட கட்டுமானத்தின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

\[((\left(\frac((\left(kx+b \right)))^(n+1))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

இது முதலில் இருந்த அதே வெளிப்பாடு. எனவே, இந்த சூத்திரமும் சரியானது, மேலும் இது ஆன்டிடெரிவேடிவ்களின் அட்டவணையை கூடுதலாகப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் முழு அட்டவணையையும் நினைவில் வைத்திருப்பது நல்லது.

"ரகசியம்: வரவேற்பு: இருந்து முடிவுகள்:

• நாம் இப்போது கருத்தில் கொண்ட இரண்டு செயல்பாடுகளும், உண்மையில், டிகிரிகளைத் திறப்பதன் மூலம் அட்டவணையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஆன்டிடெரிவேடிவ்களாகக் குறைக்கப்படலாம், ஆனால் நான்காவது பட்டத்தை எப்படியாவது அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ சமாளிக்க முடிந்தால், நான் ஒன்பதாம் பட்டத்தை செய்ய மாட்டேன். வெளிப்படுத்த முனைந்தார்.
• நாம் பட்டங்களைத் திறக்க வேண்டும் என்றால், ஒரு எளிய பணி போதுமான நேரத்தை எடுத்துக்கொள்ளும் அளவுக்கு கணக்கீடுகளின் அளவைப் பெறுவோம்.
• அதனால்தான் இதுபோன்ற பணிகள், நேரியல் வெளிப்பாடுகள் உள்ளன, "வெற்று" தீர்க்கப்பட வேண்டிய அவசியமில்லை. உள்ளே $kx+b$ என்ற வெளிப்பாட்டின் மூலம் மட்டுமே டேபிளில் உள்ள ஒன்றிலிருந்து வேறுபடும் ஒரு ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் ஒன்றை நீங்கள் சந்தித்தவுடன், மேலே எழுதப்பட்ட சூத்திரத்தை உடனடியாக நினைவில் வைத்து, அதை உங்கள் டேபுலர் ஆண்டிடெரிவேட்டிவ் ஆக மாற்றவும், மேலும் அனைத்தும் பலனளிக்கும். வேகமாகவும் எளிதாகவும்.

இயற்கையாகவே, இந்த நுட்பத்தின் சிக்கலான தன்மை மற்றும் தீவிரத்தன்மை காரணமாக, எதிர்கால வீடியோ டுடோரியல்களில் அதன் பரிசீலனைக்கு மீண்டும் மீண்டும் வருவோம், ஆனால் இன்று என்னிடம் எல்லாம் உள்ளது. ஆன்டிடெரிவேடிவ்கள் மற்றும் ஒருங்கிணைப்புகளைப் புரிந்துகொள்ள விரும்பும் மாணவர்களுக்கு இந்தப் பாடம் உண்மையில் உதவும் என்று நம்புகிறேன்.

ஒவ்வொரு மாணவரும் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய முதன்மை ஒருங்கிணைப்புகள்

பட்டியலிடப்பட்ட ஒருங்கிணைப்புகள் அடிப்படை, அடித்தளங்களின் அடிப்படை. இந்த சூத்திரங்கள், நிச்சயமாக, நினைவில் கொள்ள வேண்டும். மிகவும் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்புகளை கணக்கிடும் போது, ​​நீங்கள் தொடர்ந்து அவற்றைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

(5), (7), (9), (12), (13), (17) மற்றும் (19) சூத்திரங்களுக்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்துங்கள். ஒருங்கிணைக்கும்போது பதிலில் தன்னிச்சையான மாறிலி C ஐ சேர்க்க மறக்காதீர்கள்!

ஒரு மாறிலியின் ஒருங்கிணைப்பு

சக்தி செயல்பாடு ஒருங்கிணைப்பு

உண்மையில், ஒருவர் தன்னை சூத்திரங்கள் (5) மற்றும் (7) ஆகியவற்றிற்குள் கட்டுப்படுத்திக் கொள்ளலாம், ஆனால் இந்த குழுவிலிருந்து மீதமுள்ள ஒருங்கிணைப்புகள் மிகவும் பொதுவானவை, அவற்றில் கொஞ்சம் கவனம் செலுத்துவது மதிப்பு.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = பதிவு | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = - 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

அதிவேக செயல்பாடு மற்றும் ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகளின் ஒருங்கிணைப்புகள்

நிச்சயமாக, சூத்திரம் (8) (ஒருவேளை நினைவில் கொள்ள மிகவும் வசதியானது) சூத்திரத்தின் (9) ஒரு சிறப்பு வழக்காக கருதப்படலாம். ஹைபர்போலிக் சைன் மற்றும் ஹைபர்போலிக் கோசைன் ஆகியவற்றின் ஒருங்கிணைப்புகளுக்கான சூத்திரங்கள் (10) மற்றும் (11) சூத்திரத்தில் (8) இருந்து எளிதாகப் பெறப்படுகின்றன, ஆனால் இந்த உறவுகளை மட்டும் நினைவில் வைத்துக் கொள்வது நல்லது.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அடிப்படை ஒருங்கிணைப்புகள்

மாணவர்கள் அடிக்கடி செய்யும் தவறு: சூத்திரங்கள் (12) மற்றும் (13) இல் உள்ள அறிகுறிகளை அவர்கள் குழப்புகிறார்கள். சைனின் வழித்தோன்றல் கொசைனுக்கு சமம் என்பதை நினைவில் வைத்து, சில காரணங்களால் சின்க்ஸ் செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு காஸ்க்ஸுக்கு சமம் என்று பலர் நம்புகிறார்கள். இது உண்மையல்ல! சைனின் ஒருங்கிணைப்பு "மைனஸ் கோசைன்", ஆனால் காஸ்க்ஸின் ஒருங்கிணைப்பு "ஜஸ்ட் சைன்":

∫ sin x d x = - cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 பாவம் 2 x d x = - c t g x + C (15)

தலைகீழ் டிரிகோனோமெட்ரிக் செயல்பாடுகளை குறைக்கும் ஒருங்கிணைப்புகள்

ஆர்க் டேன்ஜென்ட்டுக்கு வழிவகுக்கும் ஃபார்முலா (16), இயற்கையாகவே a=1க்கான சூத்திரத்தின் (17) சிறப்பு வழக்கு. இதேபோல், (18) என்பது (19) ஒரு சிறப்பு வழக்கு.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = - a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 - x 2 d x = arcsin x + C = - arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 - x 2 d x = arcsin x a + C = - arccos x a + C (a > 0) (19)

மிகவும் சிக்கலான ஒருங்கிணைப்புகள்

இந்த சூத்திரங்களும் நினைவில் கொள்ள விரும்பத்தக்கவை. அவை அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் வெளியீடு மிகவும் கடினமானது.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 - a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 - x 2 d x = x 2 a 2 - x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + சி (a > 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + சி (a > 0) (24)

பொது ஒருங்கிணைப்பு விதிகள்

1) இரண்டு சார்புகளின் கூட்டுத்தொகையானது தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) இரண்டு சார்புகளின் வேறுபாட்டின் ஒருங்கிணைப்பானது தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகளின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்: ∫ (f (x) - g (x)) d x = ∫ f (x) d x - ∫ g (x) d x (26)

3) ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து மாறிலியை எடுக்கலாம்: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

சொத்து (26) என்பது சொத்துக்கள் (25) மற்றும் (27) ஆகியவற்றின் கலவையாக இருப்பதைப் பார்ப்பது எளிது.

4) உள் செயல்பாடு நேரியல் என்றால் சிக்கலான செயல்பாட்டின் ஒருங்கிணைப்பு: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

இங்கே F(x) என்பது f(x) செயல்பாட்டிற்கான எதிர் வழித்தோன்றலாகும். உள் செயல்பாடு Ax + B ஆக இருக்கும்போது மட்டுமே இந்த சூத்திரம் செயல்படும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

முக்கியமானது: இரண்டு செயல்பாடுகளின் உற்பத்தியின் ஒருங்கிணைப்புக்கும், ஒரு பகுதியின் ஒருங்கிணைப்புக்கும் உலகளாவிய சூத்திரம் இல்லை:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (முப்பது)

நிச்சயமாக, ஒரு பின்னம் அல்லது ஒரு பொருளை ஒருங்கிணைக்க முடியாது என்று இது அர்த்தப்படுத்துவதில்லை. (30) போன்ற ஒரு ஒருங்கிணைப்பைப் பார்க்கும் ஒவ்வொரு முறையும், அதனுடன் "சண்டை" செய்வதற்கான வழியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். சில சந்தர்ப்பங்களில், பகுதிகளின் ஒருங்கிணைப்பு உங்களுக்கு உதவும், எங்காவது நீங்கள் மாறியின் மாற்றத்தை செய்ய வேண்டியிருக்கும், மேலும் சில சமயங்களில் இயற்கணிதம் அல்லது முக்கோணவியல் "பள்ளி" சூத்திரங்கள் கூட உதவலாம்.

காலவரையற்ற ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுவதற்கான எளிய எடுத்துக்காட்டு

நாம் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் (25) மற்றும் (26) (செயல்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் ஒருங்கிணைப்பானது தொடர்புடைய ஒருங்கிணைப்புகளின் கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டிற்கு சமம். நாம் பெறுவது: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x - ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

ஒருங்கிணைந்த குறியிலிருந்து மாறிலியை வெளியே எடுக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்க (சூத்திரம் (27)). வெளிப்பாடு வடிவத்திற்கு மாற்றப்படுகிறது

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x - 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

இப்போது அடிப்படை ஒருங்கிணைப்புகளின் அட்டவணையைப் பயன்படுத்துவோம். நாம் (3), (12), (8) மற்றும் (1) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும். சக்தி செயல்பாடு, சைன், அடுக்கு மற்றும் மாறிலி 1 ஆகியவற்றை ஒருங்கிணைப்போம். முடிவில் தன்னிச்சையான மாறிலி C ஐ சேர்க்க மறக்காதீர்கள்:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

அடிப்படை மாற்றங்களுக்குப் பிறகு, இறுதி பதிலைப் பெறுகிறோம்:

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

வேறுபாட்டுடன் உங்களை நீங்களே சோதித்து பாருங்கள்: விளைந்த செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலை எடுத்து, அது அசல் ஒருங்கிணைப்புக்கு சமமாக இருப்பதை உறுதிசெய்யவும்.

ஒருங்கிணைப்புகளின் சுருக்க அட்டவணை

இந்த இணைப்பிலிருந்து ஒருங்கிணைந்த அட்டவணையை (பகுதி II) பதிவிறக்கவும்

நீங்கள் ஒரு பல்கலைக்கழகத்தில் படித்தால், உயர் கணிதத்தில் (கணித பகுப்பாய்வு, நேரியல் இயற்கணிதம், நிகழ்தகவு கோட்பாடு, புள்ளியியல்) ஏதேனும் சிரமங்கள் இருந்தால், உங்களுக்கு தகுதியான ஆசிரியரின் சேவைகள் தேவைப்பட்டால், உயர் கணிதத்தில் ஒரு ஆசிரியரின் பக்கத்திற்குச் செல்லவும். உங்கள் பிரச்சினைகளை ஒன்றாக தீர்ப்போம்!

நீங்களும் ஆர்வமாக இருக்கலாம்