Logaritma. Logaritma desimal. Apa itu logaritma desimal? Cara menghapus logaritma desimal

\(a^(b)=c\) \(\Leftrightarrow\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan lebih mudah. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan pangkat \(2\) yang harus dipangkatkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).

Argumen dan basis logaritma

Setiap logaritma memiliki "anatomi" berikut:

Argumen logaritma biasanya ditulis pada levelnya, dan basisnya ditulis dalam subskrip lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini dibaca seperti ini: "logaritma dari dua puluh lima ke basis lima."

Bagaimana cara menghitung logaritma?

Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: sejauh mana basis harus dinaikkan untuk mendapatkan argumen?

Misalnya, hitung logaritma: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Pangkat berapa \(4\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Itu sebabnya:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Pangkat berapa \(\sqrt(5)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Dan derajat apa yang membuat angka apa pun menjadi unit? Nol, tentu saja!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Pangkat apa \(\sqrt(7)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Yang pertama - angka apa pun di tingkat pertama sama dengan dirinya sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Pangkat berapa \(3\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Dari kita tahu bahwa adalah pangkat pecahan, dan oleh karena itu akar kuadrat adalah pangkat dari \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Menghitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Larutan :

Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapa logaritma ditemukan?

Untuk memahami ini, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cukup cocokkan \(x\) untuk membuat persamaan berfungsi. Tentu saja, \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaan: \(3^(x)=8\) sama dengan x? Itulah intinya.

Yang paling cerdik akan berkata: "X sedikit kurang dari dua." Bagaimana tepatnya nomor ini ditulis? Untuk menjawab pertanyaan ini, mereka membuat logaritma. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), serta logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya sebagai desimal, akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Larutan :

Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma desimal dan natural

Sebagaimana dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya dapat berupa angka positif apa saja kecuali satu \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua basis yang mungkin, ada dua yang begitu sering terjadi sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma dengannya:

Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah angka Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2.7182818…\)), dan logaritma ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Itu adalah, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma desimal: Logaritma dengan basis 10 ditulis \(\lg(a)\).

Itu adalah, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah beberapa angka.

Identitas logaritmik dasar

Logaritma memiliki banyak sifat. Salah satunya disebut "Identitas logaritmik dasar" dan terlihat seperti ini:

Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana rumus ini muncul.

Ingat definisi singkat logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) alih-alih \(b\) dalam rumus \(a^(b)=c\) . Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritmik utama.

Anda dapat menemukan properti logaritma lainnya. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit dihitung secara langsung.

Contoh : Temukan nilai ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)

Larutan :

Menjawab : \(25\)

Bagaimana cara menulis angka sebagai logaritma?

Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: angka apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Misalnya, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\) alih-alih dua.

Tapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), jadi Anda juga bisa menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Demikian pula dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Artinya, ternyata

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Jadi, jika perlu, kita dapat menuliskan keduanya sebagai logaritma dengan basis apa pun di mana saja (bahkan dalam persamaan, bahkan dalam ekspresi, bahkan dalam pertidaksamaan) - kita cukup menulis basis kuadrat sebagai argumen.

Ini sama dengan triple - dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \) ... Di sini kita menulis alas dalam kubus sebagai argumen:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan minus satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Dan dengan sepertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Setiap angka \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Menemukan nilai ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Larutan :

Menjawab : \(1\)

Properti utama logaritma, grafik logaritma, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, kenaikan dan penurunan diberikan. Menemukan turunan dari logaritma dipertimbangkan. Selain integral, perluasan dan representasi deret pangkat melalui bilangan kompleks.

Domain, kumpulan nilai, naik, turun

Logaritma adalah fungsi monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti utama logaritma disajikan dalam tabel.

Nilai pribadi

Logaritma basis 10 disebut logaritma desimal dan ditandai seperti ini:

logaritma basis e ditelepon logaritma alami:

Rumus logaritma dasar

Properti logaritma berikut dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Formula pengganti dasar

Logaritma adalah operasi matematika mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, hasil kali faktor diubah menjadi jumlah suku.
Potensiasi adalah operasi matematika kebalikan dari logaritma. Saat mempotensiasi, basis yang diberikan dinaikkan ke kekuatan ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah suku diubah menjadi produk faktor.

Bukti rumus dasar untuk logaritma

Rumus yang berhubungan dengan logaritma mengikuti dari rumus untuk fungsi eksponensial dan dari definisi fungsi invers.

Pertimbangkan properti fungsi eksponensial
.
Kemudian
.
Terapkan properti fungsi eksponensial
:
.

Mari kita buktikan rumus perubahan basa.
;
.
Pengaturan c = b , kami memiliki:

Fungsi terbalik

Kebalikan dari basis a logaritma adalah fungsi eksponensial dengan eksponen a.

Jika kemudian

Jika kemudian

Turunan dari logaritma

Turunan dari logaritma modulo x :
.
Turunan orde ke-n:
.
Penurunan rumus > > >

Untuk menemukan turunan dari logaritma, harus direduksi menjadi basis e.
;
.

Integral

Integral dari logaritma dihitung dengan mengintegrasikan dengan bagian : .
Jadi,

Ekspresi dalam bentuk bilangan kompleks

Perhatikan fungsi bilangan kompleks z:
.
Mari kita nyatakan bilangan kompleks z melalui modul R dan argumen φ :
.
Kemudian, dengan menggunakan properti logaritma, kami memiliki:
.
Atau

Namun, argumennya φ tidak didefinisikan dengan jelas. Jika kita menempatkan
, di mana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi nomor yang sama untuk berbeda N.

Oleh karena itu, logaritma, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Untuk , ekspansi terjadi:

Referensi:
DI DALAM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.

Sering ambil angka sepuluh. Logaritma bilangan ke basis sepuluh disebut desimal. Saat melakukan perhitungan dengan logaritma desimal, biasanya beroperasi dengan tanda lg, tapi tidak catatan; sedangkan angka sepuluh, yang menentukan basis, tidak ditunjukkan. Ya kita ganti log 10 105 untuk disederhanakan lg105; A log102 pada lg2.

Untuk logaritma desimal fitur yang sama yang dimiliki logaritma dengan basis lebih besar dari satu adalah tipikal. Yakni, logaritma desimal dicirikan secara eksklusif untuk bilangan positif. Logaritma desimal angka yang lebih besar dari satu adalah positif, dan angka yang kurang dari satu adalah negatif; dari dua angka non-negatif, logaritma desimal yang lebih besar juga setara dengan yang lebih besar, dll. Selain itu, logaritma desimal memiliki ciri khas dan fitur khusus, yang menjelaskan mengapa nyaman untuk memilih angka sepuluh sebagai dasar logaritma.

Sebelum menganalisis sifat-sifat ini, mari kita lihat formulasi berikut.

Bagian bilangan bulat dari logaritma desimal suatu bilangan A ditelepon ciri, dan pecahan mantissa logaritma ini.

Karakteristik logaritma desimal suatu angka A ditunjukkan sebagai , dan mantissa sebagai (lg A}.

Mari kita ambil, katakanlah, lg 2 ≈ 0,3010. Dengan demikian, = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Hal yang sama berlaku untuk lg 543.1 ≈2.7349. Dengan demikian, = 2, (lg 543.1)≈ 0.7349.

Perhitungan logaritma desimal bilangan positif dari tabel cukup banyak digunakan.

Tanda-tanda karakteristik logaritma desimal.

Tanda pertama logaritma desimal. bilangan bulat non-negatif diwakili oleh 1 diikuti oleh nol adalah bilangan bulat positif sama dengan jumlah nol dalam nomor yang dipilih .

Misalkan lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

Secara umum, jika

Itu A= 10N , dari mana kita dapatkan

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Tanda kedua. Logaritma desimal dari desimal positif, ditunjukkan oleh satu dengan nol di depan, adalah - P, Di mana P- jumlah nol dalam representasi nomor ini, dengan mempertimbangkan nol bilangan bulat.

Mempertimbangkan , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

Secara umum, jika

,

Itu A= 10-N dan ternyata

lga = lg 10N =-n lg 10 =-n

Tanda ketiga. Karakteristik logaritma desimal dari angka non-negatif yang lebih besar dari satu sama dengan jumlah digit di bagian bilangan bulat dari angka ini, tidak termasuk satu.

Mari kita analisis fitur ini 1) Karakteristik logaritma lg 75.631 disamakan dengan 1.

Memang, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Ini menyiratkan,

lg 75.631 = 1 + b,

Menggeser koma dalam pecahan desimal ke kanan atau kiri sama dengan operasi mengalikan pecahan ini dengan pangkat sepuluh dengan eksponen bilangan bulat P(positif atau negatif). Dan oleh karena itu, ketika titik desimal dalam pecahan desimal positif digeser ke kiri atau ke kanan, mantissa dari logaritma desimal pecahan ini tidak berubah.

Jadi, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Rentang yang dapat diterima (ODZ) dari logaritma

Sekarang mari kita bicara tentang batasan (ODZ - area nilai variabel yang dapat diterima).

Kita ingat bahwa, misalnya, akar kuadrat tidak dapat diambil dari bilangan negatif; atau jika kita memiliki pecahan, maka penyebutnya tidak boleh sama dengan nol. Ada batasan serupa untuk logaritma:

Artinya, argumen dan basis harus lebih besar dari nol, dan basis tidak boleh sama.

Mengapa demikian?

Mari kita mulai dengan sederhana: katakan saja. Lalu, misalnya, angkanya tidak ada, karena berapapun derajat yang kita naikkan, selalu ternyata. Selain itu, itu tidak ada untuk siapa pun. Tetapi pada saat yang sama itu bisa sama dengan apa saja (untuk alasan yang sama - sama dengan derajat apa pun). Oleh karena itu, objek tersebut tidak menarik, dan objek tersebut dibuang begitu saja dari matematika.

Kami memiliki masalah serupa dalam kasus ini: dalam derajat positif apa pun - ini, tetapi tidak dapat dinaikkan menjadi kekuatan negatif sama sekali, karena pembagian dengan nol akan menghasilkan (saya ingatkan Anda).

Ketika kita dihadapkan pada masalah menaikkan pangkat fraksional (yang direpresentasikan sebagai root :. Misalnya, (yaitu), tetapi tidak ada.

Oleh karena itu, alasan negatif lebih mudah dibuang daripada dipusingkan.

Nah, karena basis a hanya positif bagi kita, maka berapapun derajatnya kita menaikkannya, kita akan selalu mendapatkan angka yang benar-benar positif. Jadi argumennya harus positif. Misalnya, itu tidak ada, karena itu tidak akan menjadi angka negatif sampai batas tertentu (dan bahkan nol, oleh karena itu juga tidak ada).

Dalam soal logaritma, langkah pertama adalah menuliskan ODZ. Saya akan memberikan contoh:

Mari kita selesaikan persamaannya.

Ingat definisi: logaritma adalah pangkat yang basisnya harus dinaikkan untuk mendapatkan argumen. Dan dengan syarat, gelar ini sama dengan: .

Kami mendapatkan persamaan kuadrat biasa: . Kami menyelesaikannya menggunakan teorema Vieta: jumlah akarnya sama, dan produknya. Mudah diambil, ini adalah angka dan.

Namun jika Anda langsung mengambil dan menuliskan kedua angka tersebut di jawaban, Anda bisa mendapatkan 0 poin untuk tugas tersebut. Mengapa? Mari pikirkan apa yang terjadi jika kita mengganti akar-akar ini ke persamaan awal?

Ini jelas salah, karena basis tidak boleh negatif, yaitu root adalah "pihak ketiga".

Untuk menghindari trik yang tidak menyenangkan seperti itu, Anda perlu menuliskan ODZ bahkan sebelum mulai menyelesaikan persamaan:

Kemudian, setelah menerima root dan, kami segera membuang root, dan menulis jawaban yang benar.

Contoh 1(coba selesaikan sendiri) :

Temukan akar persamaan. Jika ada beberapa akar, tunjukkan yang lebih kecil pada jawaban Anda.

Larutan:

Pertama-tama, mari tulis ODZ:

Sekarang kita ingat apa itu logaritma: pangkat apa yang Anda butuhkan untuk menaikkan basis untuk mendapatkan argumen? Yang kedua. Itu adalah:

Tampaknya akar yang lebih kecil sama. Tetapi tidak demikian: menurut ODZ, akarnya adalah pihak ketiga, artinya, itu sama sekali bukan akar dari persamaan ini. Jadi, persamaan tersebut hanya memiliki satu akar: .

Menjawab: .

Identitas logaritmik dasar

Ingat definisi logaritma secara umum:

Gantikan persamaan kedua alih-alih logaritma:

Kesetaraan ini disebut identitas logaritmik dasar. Padahal pada hakikatnya persamaan ini hanya ditulis berbeda definisi logaritma:

Ini adalah kekuatan yang perlu Anda tingkatkan untuk mendapatkannya.

Misalnya:

Selesaikan contoh berikut:

Contoh 2

Temukan nilai ekspresi.

Larutan:

Ingat aturan dari bagian ini: yaitu, saat menaikkan derajat pangkat, indikatornya dikalikan. Mari kita terapkan:

Contoh 3

Buktikan itu.

Larutan:

Properti logaritma

Sayangnya, tugasnya tidak selalu sesederhana itu - sering kali Anda perlu menyederhanakan ekspresi terlebih dahulu, membawanya ke bentuk biasa, dan baru setelah itu dimungkinkan untuk menghitung nilainya. Paling mudah untuk melakukan ini mengetahui sifat-sifat logaritma. Jadi mari kita pelajari sifat dasar logaritma. Saya akan membuktikannya masing-masing, karena aturan apa pun lebih mudah diingat jika Anda tahu dari mana asalnya.

Semua properti ini harus diingat, tanpanya, sebagian besar masalah dengan logaritma tidak dapat diselesaikan.

Dan sekarang tentang semua properti logaritma secara lebih rinci.

Properti 1:

Bukti:

Biarkan, lalu.

Kami memiliki: , h.t.d.

Properti 2: Jumlah logaritma

Jumlah logaritma dengan basis yang sama sama dengan logaritma hasil kali: .

Bukti:

Biarkan, lalu. Biarkan, lalu.

Contoh: Temukan nilai ekspresi: .

Solusi: .

Rumus yang baru saja Anda pelajari membantu menyederhanakan jumlah logaritma, bukan selisihnya, sehingga logaritma ini tidak dapat langsung digabungkan. Tetapi Anda dapat melakukan yang sebaliknya - "memecah" logaritma pertama menjadi dua: Dan inilah penyederhanaan yang dijanjikan:
.
Mengapa ini dibutuhkan? Nah, misalnya: apa bedanya?

Sekarang sudah jelas itu.

Sekarang permudah untuk diri sendiri:

Tugas:

Jawaban:

Properti 3: Selisih logaritma:

Bukti:

Semuanya persis sama seperti di paragraf 2:

Biarkan, lalu.

Biarkan, lalu. Kita punya:

Contoh dari poin terakhir sekarang lebih sederhana:

Contoh yang lebih rumit: . Tebak sendiri bagaimana cara memutuskannya?

Di sini perlu dicatat bahwa kami tidak memiliki rumus tunggal tentang kuadrat logaritma. Ini adalah sesuatu yang mirip dengan ekspresi - ini tidak dapat langsung disederhanakan.

Oleh karena itu, mari kita menyimpang dari rumus tentang logaritma, dan memikirkan rumus apa yang paling sering kita gunakan dalam matematika? Sejak kelas 7!

Ini - . Anda harus terbiasa dengan fakta bahwa mereka ada di mana-mana! Dan dalam eksponensial, dan trigonometri, dan dalam masalah irasional, mereka ditemukan. Karena itu, mereka harus diingat.

Jika Anda melihat lebih dekat pada dua istilah pertama, menjadi jelas bahwa ini benar selisih kuadrat:

Jawaban untuk memeriksa:

Sederhanakan diri Anda.

Contoh

Jawaban.

Properti 4: Derivasi eksponen dari argumen logaritma:

Bukti: Dan di sini kami juga menggunakan definisi logaritma: biarkan, lalu. Kami memiliki: , h.t.d.

Anda dapat memahami aturan ini seperti ini:

Artinya, tingkat argumen diambil di depan logaritma, sebagai koefisien.

Contoh: Temukan nilai ekspresi.

Larutan: .

Putuskan sendiri:

Contoh:

Jawaban:

Properti 5: Derivasi eksponen dari basis logaritma:

Bukti: Biarkan, lalu.

Kami memiliki: , h.t.d.
Ingat: dari tanah derajat diterjemahkan sebagai balik nomor, tidak seperti kasus sebelumnya!

Properti 6: Derivasi eksponen dari basis dan argumen logaritma:

Atau jika derajatnya sama: .

Properti 7: Transisi ke basis baru:

Bukti: Biarkan, lalu.

Kami memiliki: , h.t.d.

Properti 8: Menukar basis dan argumen logaritma:

Bukti: Ini adalah kasus khusus dari formula 7: jika kita mengganti, kita mendapatkan: , p.t.d.

Mari kita lihat beberapa contoh lagi.

Contoh 4

Temukan nilai ekspresi.

Kami menggunakan properti logaritma No. 2 - jumlah logaritma dengan basis yang sama sama dengan logaritma hasil kali:

Contoh 5

Temukan nilai ekspresi.

Larutan:

Kami menggunakan properti logaritma No. 3 dan No. 4:

Contoh 6

Temukan nilai ekspresi.

Larutan:

Menggunakan properti nomor 7 - buka basis 2:

Contoh 7

Temukan nilai ekspresi.

Larutan:

Bagaimana Anda menyukai artikel itu?

Jika Anda membaca baris-baris ini, maka Anda telah membaca keseluruhan artikel.

Dan itu keren!

Sekarang beri tahu kami bagaimana Anda menyukai artikel ini?

Sudahkah Anda belajar memecahkan logaritma? Jika tidak, apa masalahnya?

Tulis kepada kami di komentar di bawah.

Dan ya, semoga sukses dengan ujianmu.

Di Ujian Negara Bersatu dan OGE dan secara umum dalam kehidupan

Jadi, kita memiliki kekuatan dua. Jika Anda mengambil angka dari baris terbawah, maka Anda dapat dengan mudah menemukan pangkat yang harus Anda naikkan dua untuk mendapatkan angka ini. Misalnya, untuk mendapatkan 16, Anda perlu menaikkan dua pangkat empat. Dan untuk mendapatkan 64, Anda perlu menaikkan dua pangkat enam. Ini bisa dilihat dari tabel.

Dan sekarang - sebenarnya, definisi logaritma:

Basis a logaritma dari argumen x adalah pangkat yang harus dipangkatkan angka a untuk mendapatkan angka x .

Notasi: log a x \u003d b, di mana a adalah basis, x adalah argumen, b sebenarnya sama dengan logaritma.

Misalnya, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (logaritma basis 2 dari 8 adalah tiga karena 2 3 = 8). Mungkin juga mencatat 2 64 = 6, karena 2 6 = 64.

Operasi pencarian logaritma suatu bilangan ke basis tertentu disebut logaritma. Jadi, mari tambahkan baris baru ke tabel kita:

Sayangnya, tidak semua logaritma dianggap begitu mudah. Misalnya, coba temukan log 2 5. Angka 5 tidak ada di tabel, tetapi logika menyatakan bahwa logaritma akan terletak di suatu tempat di segmen tersebut. Karena 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Angka seperti itu disebut irasional: angka setelah titik desimal dapat ditulis tanpa batas waktu, dan tidak pernah berulang. Jika logaritma ternyata tidak rasional, lebih baik biarkan seperti ini: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Penting untuk dipahami bahwa logaritma adalah ekspresi dengan dua variabel (basis dan argumen). Pada awalnya, banyak orang bingung mana dasarnya dan mana dalilnya. Untuk menghindari kesalahpahaman yang mengganggu, lihat saja gambarnya:

Sebelum kita tidak lebih dari definisi logaritma. Ingat: logaritma adalah kekuatan, di mana Anda perlu menaikkan basis untuk mendapatkan argumen. Ini adalah basis yang dinaikkan menjadi kekuatan - dalam gambar itu disorot dengan warna merah. Ternyata alasnya selalu di bawah! Saya memberi tahu aturan yang luar biasa ini kepada siswa saya di pelajaran pertama - dan tidak ada kebingungan.

Kami menemukan definisinya - masih mempelajari cara menghitung logaritma, mis. singkirkan tanda "log". Sebagai permulaan, kami mencatat bahwa dua fakta penting mengikuti dari definisi tersebut:

1. Argumen dan basis harus selalu lebih besar dari nol. Ini mengikuti dari definisi derajat dengan eksponen rasional, yang definisi logaritmanya direduksi.
2. Basis harus berbeda dari kesatuan, karena satu unit untuk kekuatan apa pun tetaplah satu unit. Karena itu, pertanyaan "kekuasaan apa yang harus dinaikkan untuk mendapatkan dua" tidak ada artinya. Tidak ada gelar seperti itu!

Pembatasan seperti itu disebut rentang yang valid(ODZ). Ternyata ODZ dari logaritma terlihat seperti ini: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Perhatikan bahwa tidak ada batasan pada angka b (nilai logaritma) tidak dikenakan. Misalnya, logaritma mungkin negatif: log 2 0,5 = −1, karena 0,5 = 2 −1 .

Namun, sekarang kami hanya mempertimbangkan ekspresi numerik, di mana tidak diperlukan untuk mengetahui ODZ logaritma. Semua batasan telah diperhitungkan oleh penyusun soal. Tetapi ketika persamaan dan ketidaksetaraan logaritmik mulai berlaku, persyaratan DHS akan menjadi wajib. Memang, dalam dasar dan argumen bisa ada konstruksi yang sangat kuat, yang belum tentu sesuai dengan batasan di atas.

Sekarang pertimbangkan skema umum untuk menghitung logaritma. Ini terdiri dari tiga langkah:

1. Nyatakan basis a dan argumen x sebagai pangkat dengan basis terkecil yang mungkin lebih besar dari satu. Sepanjang jalan, lebih baik singkirkan pecahan desimal;
2. Selesaikan persamaan untuk variabel b: x = a b ;
3. Angka yang dihasilkan b akan menjadi jawabannya.

Itu saja! Jika logaritma ternyata tidak rasional, ini sudah terlihat pada langkah pertama. Persyaratan bahwa basis lebih besar dari satu sangat relevan: ini mengurangi kemungkinan kesalahan dan sangat menyederhanakan perhitungan. Demikian pula dengan pecahan desimal: jika Anda segera mengubahnya menjadi pecahan biasa, kesalahan akan jauh lebih sedikit.

Mari kita lihat bagaimana skema ini bekerja dengan contoh spesifik:

Tugas. Hitung logaritma: log 5 25

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat lima: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Mendapat jawaban: 2.

Tugas. Hitung logaritma:

Tugas. Hitung logaritma: log 4 64

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Mendapat jawaban: 3.

Tugas. Hitung logaritma: log 16 1

1. Mari kita nyatakan basis dan argumen sebagai pangkat dua: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Mari kita buat dan selesaikan persamaan:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Mendapat tanggapan: 0.

Tugas. Hitung logaritma: log 7 14

1. Mari kita nyatakan basis dan argumennya sebagai pangkat tujuh: 7 = 7 1 ; 14 tidak direpresentasikan sebagai kekuatan tujuh, karena 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Mengikuti dari paragraf sebelumnya bahwa logaritma tidak dipertimbangkan;
3. Jawabannya tidak ada perubahan: log 7 14.

Catatan kecil tentang contoh terakhir. Bagaimana cara memastikan bahwa suatu angka bukanlah kekuatan pasti dari angka lain? Sangat sederhana - cukup uraikan menjadi faktor prima. Dan jika faktor-faktor tersebut tidak dapat dikumpulkan dalam derajat dengan indikator yang sama, maka angka aslinya bukanlah derajat yang tepat.

Tugas. Cari tahu apakah pangkat yang tepat dari angka tersebut adalah: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 adalah derajat pastinya, karena hanya ada satu pengganda;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 bukan pangkat pasti karena ada dua faktor: 3 dan 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - derajat pasti;
35 \u003d 7 5 - sekali lagi bukan derajat yang tepat;
14 \u003d 7 2 - sekali lagi bukan derajat yang tepat;

Perhatikan juga bahwa bilangan prima itu sendiri selalu merupakan pangkat eksak dari dirinya sendiri.

Logaritma desimal

Beberapa logaritma sangat umum sehingga memiliki nama dan penunjukan khusus.

Logaritma desimal dari argumen x adalah logaritma basis 10, mis. kekuatan yang Anda butuhkan untuk menaikkan angka 10 untuk mendapatkan angka x. Penunjukan: lg x .

Misalnya, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - dst.

Mulai sekarang, ketika frasa seperti "Temukan lg 0,01" muncul di buku teks, ketahuilah bahwa ini bukan salah ketik. Ini adalah logaritma desimal. Namun, jika Anda tidak terbiasa dengan penunjukan seperti itu, Anda selalu dapat menulis ulang:
log x = log 10 x

Segala sesuatu yang benar untuk logaritma biasa juga berlaku untuk desimal.

logaritma alami

Ada logaritma lain yang memiliki notasinya sendiri. Dalam arti tertentu, ini bahkan lebih penting daripada desimal. Ini adalah logaritma natural.

Logaritma natural dari argumen x adalah logaritma ke basis e , mis. pangkat yang harus dipangkatkan bilangan e untuk mendapatkan bilangan x. Penunjukan: ln x .

Banyak yang akan bertanya: apa lagi angka e? Ini adalah bilangan irasional, nilai pastinya tidak dapat ditemukan dan ditulis. Ini hanya angka pertama:
e = 2,718281828459...

Kami tidak akan menyelidiki apa nomor ini dan mengapa itu diperlukan. Ingatlah bahwa e adalah basis dari logaritma natural:
ln x = log e x

Jadi ln e = 1; log e 2 = 2; Dalam e 16 = 16 - dst. Di sisi lain, ln 2 adalah bilangan irasional. Secara umum, logaritma natural dari setiap bilangan rasional adalah irasional. Kecuali, tentu saja, kesatuan: ln 1 = 0.

Untuk logaritma natural, semua aturan yang berlaku untuk logaritma biasa adalah valid.