로그. 십진수 로그. 십진 로그란 무엇입니까? 십진수 로그를 제거하는 방법

\(a^(b)=c\) \(\왼쪽 화살표\) \(\log_(a)(c)=b\)

쉽게 설명해보자. 예를 들어 \(\log_(2)(8)\)은 \(8\)을 얻기 위해 \(2\)를 올려야 하는 거듭제곱과 같습니다. 이것으로부터 \(\log_(2)(8)=3\)이 분명합니다.

예:	\(\log_(5)(25)=2\)	왜냐하면 \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	왜냐하면 \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	왜냐하면 \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

로그의 인수와 밑

모든 로그에는 다음과 같은 "해부학"이 있습니다.

로그의 인수는 일반적으로 해당 수준으로 작성되며 밑은 로그의 부호에 더 가까운 아래 첨자로 작성됩니다. 그리고 이 항목은 다음과 같이 읽힙니다. "25의 밑이 5인 로그."

로그를 계산하는 방법?

로그를 계산하려면 다음 질문에 답해야 합니다. 인수를 얻기 위해 밑을 어느 정도 올려야 합니까?

예를 들어, 로그를 계산합니다: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\)을 얻기 위해 \(4\)를 몇 제곱해야 합니까? 분명히 두 번째. 그 이유는 다음과 같습니다.

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\)을 얻기 위해 \(\sqrt(5)\)를 어떤 거듭제곱으로 올려야 합니까? 숫자를 단위로 만드는 정도는 얼마입니까? 물론 제로!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\)을 얻기 위해 \(\sqrt(7)\)를 어떤 거듭제곱으로 올려야 합니까? 첫 번째 - 첫 번째 정도의 숫자는 그 자체와 같습니다.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\)를 얻기 위해 \(3\)을 몇 제곱해야 합니까? 우리는 이것이 분수 거듭제곱임을 알고 있으므로 제곱근은 \(\frac(1)(2)\) 의 거듭제곱입니다.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

예 : 로그 계산 \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

해결책 :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		대수 값을 찾아야 합니다. x로 표시해 봅시다. 이제 로그의 정의를 사용합시다: \(\log_(a)(c)=b\) \(\왼쪽 화살표\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		\(4\sqrt(2)\)와 \(8\)을 연결하는 것은 무엇입니까? 둘, 두 숫자 모두 2로 나타낼 수 있기 때문입니다. \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		왼쪽에서 차수 속성을 사용합니다: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) 및 \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		기본이 동일합니다. 지표의 평등을 진행합니다.
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		방정식의 양변에 \(\frac(2)(5)\)를 곱합니다.
		결과 근은 로그 값입니다.

답변 : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

로그는 왜 발명되었을까?

이것을 이해하기 위해 방정식을 풀어봅시다: \(3^(x)=9\). 평등이 작동하도록 \(x\)를 일치시키기만 하면 됩니다. 물론 \(x=2\)입니다.

이제 방정식을 풉니다: \(3^(x)=8\). x는 무엇과 같습니까? 그게 요점입니다.

가장 독창적인 사람은 "X는 2보다 약간 작습니다."라고 말할 것입니다. 이 숫자는 정확히 어떻게 쓰여질까요? 이 질문에 답하기 위해 그들은 로그를 생각해 냈습니다. 그 덕분에 여기에 답은 \(x=\log_(3)(8)\)로 쓸 수 있습니다.

\(\log_(3)(8)\) 뿐만 아니라 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 예, 이상해 보이지만 짧습니다. 10진수로 나타내면 다음과 같을 것입니다. \(1.892789260714.....\)

예 : 방정식 풀기 \(4^(5x-4)=10\)

해결책 :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\)와 \(10\)은 같은 밑으로 줄일 수 없습니다. 그래서 여기서 로그 없이는 할 수 없습니다. 로그의 정의를 사용합시다: \(a^(b)=c\) \(\왼쪽 화살표\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		x가 왼쪽에 오도록 방정식을 뒤집습니다.
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		우리 앞에. \(4\)를 오른쪽으로 이동합니다. 로그를 두려워하지 말고 일반 숫자처럼 다루십시오.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		방정식을 5로 나눕니다.
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		여기 우리의 뿌리가 있습니다. 예, 비정상적으로 보이지만 답변이 선택되지 않았습니다.

답변 : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

십진수 및 자연 로그

로그의 정의에 명시된 바와 같이 밑은 \((a>0, a\neq1)\)을 제외한 모든 양수가 될 수 있습니다. 그리고 가능한 모든 밑수 중에서, 너무 자주 발생하는 두 가지가 있어서 그들과 함께 로그에 대해 특별한 짧은 표기법이 발명되었습니다:

자연 로그: 밑이 오일러 수 \(e\)(대략 \(2.7182818…\)와 같음)인 로그이고 로그는 \(\ln(a)\)로 표시됩니다.

그건, \(\ln(a)\)는 \(\log_(e)(a)\)와 같습니다.

십진수 로그: 밑이 10인 로그는 \(\lg(a)\)로 씁니다.

그건, \(\lg(a)\)는 \(\log_(10)(a)\)와 같습니다., 여기서 \(a\)는 숫자입니다.

기본 대수 항등식

로그에는 많은 속성이 있습니다. 그 중 하나는 "기본 대수 항등식"이라고 하며 다음과 같습니다.

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

이 속성은 정의에서 직접 따릅니다. 이 공식이 어떻게 생겼는지 봅시다.

로그의 짧은 정의를 상기하십시오.

\(a^(b)=c\)이면 \(\log_(a)(c)=b\)

즉 \(b\)는 \(\log_(a)(c)\)와 같습니다. 그런 다음 공식 \(a^(b)=c\) 에서 \(b\) 대신 \(\log_(a)(c)\) 를 쓸 수 있습니다. 그것은 \(a^(\log_(a)(c))=c\) - 주요 대수 항등식으로 밝혀졌습니다.

로그의 나머지 속성을 찾을 수 있습니다. 도움을 받으면 직접 계산하기 어려운 로그를 사용하여 표현식 값을 단순화하고 계산할 수 있습니다.

예 : 식 \(36^(\log_(6)(5))\)의 값을 찾습니다.

해결책 :

답변 : \(25\)

숫자를 로그로 쓰는 방법?

위에서 언급했듯이 모든 로그는 숫자일 뿐입니다. 그 반대도 마찬가지입니다. 모든 숫자는 로그로 쓸 수 있습니다. 예를 들어 \(\log_(2)(4)\)가 2라는 것을 알고 있습니다. 그런 다음 2개 대신 \(\log_(2)(4)\)를 쓸 수 있습니다.

그러나 \(\log_(3)(9)\) 도 \(2\) 와 같으므로 \(2=\log_(3)(9)\) 이라고 쓸 수도 있습니다. 마찬가지로 \(\log_(5)(25)\) 및 \(\log_(9)(81)\) 등이 있습니다. 즉, 밝혀졌습니다

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

따라서 필요한 경우 임의의 밑이 있는 로그로 둘을 쓸 수 있습니다(방정식, 표현식, 부등식에서도). 우리는 단지 제곱 밑을 인수로 씁니다.

삼중도 마찬가지입니다. \(\log_(2)(8)\) 또는 \(\log_(3)(27)\) 또는 \(\log_(4)( 64) \) ... 여기서 우리는 큐브의 밑을 인수로 씁니다.

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

그리고 4개:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

그리고 마이너스 1:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

그리고 1/3로:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

모든 숫자 \(a\)는 밑이 \(b\)인 로그로 나타낼 수 있습니다: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

예 : 표현식의 값 찾기 \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

해결책 :

답변 : \(1\)

로그의 주요 속성, 로그 그래프, 정의 영역, 값 집합, 기본 공식, 증가 및 감소가 제공됩니다. 로그의 도함수를 찾는 것이 고려됩니다. 적분뿐만 아니라 복소수를 통한 멱급수 확장 및 표현.

콘텐츠

도메인, 값 집합, 오름차순, 내림차순

로그는 단조 함수이므로 극값이 없습니다. 로그의 주요 속성은 표에 나와 있습니다.


도메인	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
값의 범위	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
단조	단조 증가	단조 감소
0, y= 0	엑스= 1	엑스= 1
y축과의 교차점, x = 0	아니요	아니요
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

비공개 값

밑이 10인 로그는 십진 로그다음과 같이 표시됩니다.

밑이 로그 이자형~라고 불리는 자연 로그:

기본 로그 공식

역함수의 정의에 따른 로그의 속성:

로그의 주요 속성과 그 결과

기본 교체 공식

로그는 로그를 취하는 수학적 연산입니다. 대수를 취할 때 요인의 곱은 항의 합으로 변환됩니다.
강화는 대수에 반대되는 수학적 연산입니다. 강화할 때 주어진 염기는 강화가 수행되는 표현의 거듭제곱으로 올라갑니다. 이 경우 항의 합은 요인의 곱으로 변환됩니다.

대수에 대한 기본 공식 증명

로그와 관련된 공식은 지수함수 공식과 역함수의 정의를 따른다.

지수 함수의 속성을 고려하십시오.
.
그 다음에
.
지수함수의 성질을 적용
:
.

염기변화 공식을 증명해보자.
;
.
c = b 로 설정하면 다음과 같습니다.

역함수

밑수 a 로그의 역수는 지수 a를 갖는 지수 함수입니다.

그렇다면

로그의 도함수

로그 모듈로 x의 도함수:
.
n차 도함수:
.
수식 유도 > > >

로그의 도함수를 찾으려면 밑으로 줄여야 합니다. 이자형.
;
.

완전한

로그의 적분은 부분으로 적분하여 계산됩니다: .
그래서,

복소수 표현

복소수 함수 고려 지:
.
복소수를 표현해보자 지모듈을 통해 아르 자형그리고 인수 φ :
.
그런 다음 로그의 속성을 사용하여 다음을 얻습니다.
.
또는

그러나 주장 φ 명확하게 정의되지 않았습니다. 우리가 넣으면
, 여기서 n은 정수이고,
그러면 서로 다른 숫자에 대해 동일한 숫자가 됩니다. N.

따라서 복소수 변수의 함수인 로그는 단일 값 함수가 아닙니다.

멱급수 확장

의 경우 확장이 수행됩니다.

참조:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 고등 교육 기관 학생을 위한 수학 핸드북, Lan, 2009.

또한보십시오:

종종 숫자 10을 사용하십시오. 밑이 10인 숫자의 로그를 호출합니다. 소수. 10진수 로그로 계산을 할 때 부호로 연산하는 것이 일반적입니다. 엘지, 하지만 통나무; 베이스를 결정하는 숫자 10은 표시되지 않습니다. 예, 교체합니다 로그 10 105단순화 LG105; ㅏ log102~에 LG2.

을 위한 십진수 로그밑이 1보다 큰 로그가 갖는 동일한 기능이 일반적입니다. 즉, 십진 로그는 양수에 대해서만 특성화됩니다. 1보다 큰 숫자의 십진 로그는 양수이고 1보다 작은 숫자는 음수입니다. 음이 아닌 두 개의 숫자 중 더 큰 십진 로그는 더 큰 것과 같습니다. 또한 십진 로그는 고유한 특징과 고유한 특징을 가지고 있으므로 로그의 기본으로 숫자 10을 선호하는 이유를 설명합니다.

이러한 속성을 분석하기 전에 다음 공식을 살펴보겠습니다.

숫자의 십진 로그의 정수 부분 ㅏ~라고 불리는 특성, 그리고 분수 가수이 로그.

숫자의 십진 로그의 특성 ㅏ로 표시되고 가수는 (lg ㅏ}.

예를 들어 lg 2 ≈ 0.3010이라고 가정하면 = 0, (log 2) ≈ 0.3010이 됩니다.

lg 543.1 ≈2.7349도 마찬가지입니다. 따라서 = 2, (lg 543.1)≈ 0.7349입니다.

테이블에서 양수의 십진 로그 계산은 매우 널리 사용됩니다.

십진 로그의 특징적인 기호.

십진 로그의 첫 번째 부호입니다. 1 다음에 0으로 표시되는 음이 아닌 정수는 선택한 숫자에서 0의 개수와 같은 양의 정수입니다. .

lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5라고 하자.

일반적으로 말하면,

저것 ㅏ= 10N , 우리가 얻는

lg a = lg 10 n = n lg 10 =피.

두 번째 기호.앞에 0이 있는 1로 표시되는 양의 십진수의 십진 로그는 다음과 같습니다. 피, 어디 피- 정수의 0을 고려하여 이 숫자를 나타내는 0의 수.

고려하다 , LG 0.001 = -3, LG 0.000001 = -6.

일반적으로 말하면,

저것 ㅏ= 10-N 그리고 그것은 밝혀졌다

엘가 = 엘가 10N =-n lg 10 =-n

세 번째 기호. 1보다 큰 음이 아닌 숫자의 십진 로그의 특성은 이 숫자의 정수 부분에서 하나를 제외한 자릿수와 같습니다.

이 특징을 분석해 보자 1) 로그 lg 75.631의 특성은 1과 같다.

과연, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

엘지 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

이것은 다음을 의미합니다.

lg 75.631 = 1 + b,

소수의 쉼표를 오른쪽 또는 왼쪽으로 이동하는 것은 이 분수에 정수 지수를 사용하여 10의 거듭제곱을 곱하는 연산과 같습니다. 피(양수 또는 음수). 따라서 양의 소수점 분수의 소수점을 왼쪽이나 오른쪽으로 이동해도 이 분수의 소수점 로그의 가수는 변하지 않습니다.

따라서 (로그 0.0053) = (로그 0.53) = (로그 0.0000053)입니다.

대수의 허용 범위(ODZ)

이제 제한 사항(ODZ - 변수의 허용 가능한 값 영역)에 대해 이야기해 봅시다.

예를 들어, 제곱근은 음수에서 가져올 수 없습니다. 또는 분수가 있으면 분모가 0이 될 수 없습니다. 로그에 대한 유사한 제한 사항이 있습니다.

즉, 인수와 밑이 모두 0보다 커야 하며 밑이 같을 수 없습니다.

왜 그런 겁니까?

간단하게 시작합시다. 그렇게 말합시다. 예를 들어 숫자는 존재하지 않습니다. 우리가 어느 정도 올리더라도 항상 밝혀지기 때문입니다. 또한 그것은 존재하지 않습니다. 그러나 동시에 그것은 무엇이든 같을 수 있습니다 (같은 이유로 - 그것은 어느 정도와 같습니다). 따라서 객체는 관심이 없으며 단순히 수학에서 제외되었습니다.

이 경우에도 비슷한 문제가 있습니다. 양의 정도는 있지만 음의 거듭 제곱으로 올릴 수는 없습니다. 0으로 나누면 결과가 나오기 때문입니다.

우리가 소수 거듭제곱으로 올리는 문제에 직면했을 때(근으로 표시됨:. 예를 들어, (즉), 하지만 존재하지 않습니다.

따라서 부정적인 이유는 엉망으로 만드는 것보다 버리는 것이 더 쉽습니다.

글쎄, 밑수 a는 우리에게만 양수이므로 우리가 그것을 어느 정도 올리더라도 우리는 항상 엄격한 양수를 얻을 것입니다. 따라서 인수는 긍정적이어야 합니다. 예를 들어, 음수가 아니므로 존재하지 않습니다(심지어 0도 존재하지 않습니다).

대수 문제에서 첫 번째 단계는 ODZ를 기록하는 것입니다. 예를 들어 보겠습니다.

방정식을 풀어봅시다.

정의를 상기하십시오. 로그는 인수를 얻기 위해 밑을 올려야 하는 거듭제곱입니다. 그리고 조건에 따라 이 차수는 다음과 같습니다. .

우리는 일반적인 이차 방정식을 얻습니다: . Vieta 정리를 사용하여 해결합니다. 근의 합은 같고 곱은 같습니다. 픽업하기 쉽고 숫자입니다.

그러나 답변에이 두 숫자를 즉시 가져와 적어두면 작업에 대해 0 점을 얻을 수 있습니다. 왜? 이 근을 초기 방정식에 대입하면 어떻게 되는지 생각해 봅시다.

베이스가 음수가 될 수 없기 때문에, 즉 루트가 "제3자"이기 때문에 이것은 명백히 거짓입니다.

이러한 불쾌한 속임수를 피하려면 방정식을 풀기 전에도 ODZ를 기록해야 합니다.

그런 다음 근을 받고 즉시 근을 버리고 정답을 씁니다.

예 1(직접 해결해보세요) :

방정식의 근을 찾으십시오. 근이 여러 개인 경우 답에 더 작은 근을 표시하십시오.

해결책:

먼저 ODZ를 작성해 보겠습니다.

이제 우리는 로그가 무엇인지 기억합니다. 인수를 얻기 위해 밑을 올리려면 어떤 힘이 필요합니까? 두 번째로. 그건:

더 작은 루트가 같은 것처럼 보일 것입니다. 그러나 이것은 사실이 아닙니다. ODZ에 따르면 루트는 타사입니다. 즉, 이 방정식의 루트가 아닙니다. 따라서 방정식에는 단 하나의 루트가 있습니다: .

답변: .

기본 대수 항등식

일반적인 용어로 로그의 정의를 상기하십시오.

대수 대신 두 번째 평등으로 대체하십시오.

이 평등이라고합니다 기본 대수 항등식. 본질적으로 이 평등은 다르게 쓰여졌지만 로그의 정의:

이것은 당신이 얻기 위해 올려야 할 힘입니다.

예를 들어:

다음 예제를 해결하십시오.

예 2

표현식의 값을 찾으십시오.

해결책:

섹션에서 규칙을 기억하십시오. 즉, 정도를 거듭제곱하면 지표가 곱해집니다. 적용해 봅시다:

예 3

그것을 증명하십시오.

해결책:

로그의 속성

불행히도 작업이 항상 그렇게 간단한 것은 아닙니다. 종종 먼저 표현을 단순화하고 일반적인 형식으로 가져와야 값을 계산할 수 있습니다. 이것을 아는 것이 가장 쉽습니다. 로그의 속성. 그럼 로그의 기본 속성을 알아봅시다. 규칙이 어디에서 왔는지 알면 규칙을 기억하기가 더 쉽기 때문에 각각을 증명할 것입니다.

이러한 모든 속성을 기억해야 하며, 이러한 속성이 없으면 로그와 관련된 대부분의 문제를 해결할 수 없습니다.

이제 로그의 모든 속성에 대해 자세히 설명합니다.

속성 1:

증거:

그럼.

우리는: , h.t.d.

속성 2: 로그의 합

밑이 같은 로그의 합은 곱의 로그와 같습니다. .

증거:

그럼. 그럼.

예:표현식의 값을 찾으십시오: .

해결책: .

방금 배운 공식은 차이가 아닌 로그의 합을 단순화하는 데 도움이 되므로 이러한 로그를 바로 결합할 수 없습니다. 그러나 반대로 할 수 있습니다 - 첫 번째 로그를 2로 "나누십시오": 그리고 여기에 약속된 단순화가 있습니다:
.
이것이 필요한 이유는 무엇입니까? 예를 들어, 그게 무슨 상관이야?

이제 그것은 분명합니다.

지금 쉽게 만들 수 있습니다.

작업:

답변:

속성 3: 로그의 차이:

증거:

모든 것은 단락 2와 정확히 동일합니다.

그럼.

그럼. 우리는:

마지막 지점의 예는 이제 훨씬 더 간단합니다.

더 복잡한 예: . 어떻게 결정해야 할까요?

여기에서 로그 제곱에 대한 단일 공식이 없다는 점에 유의해야 합니다. 이것은 표현과 유사한 것입니다. 이것은 즉시 단순화할 수 없습니다.

따라서 로그에 대한 공식에서 벗어나 일반적으로 수학에서 가장 자주 사용하는 공식이 무엇인지 생각해 봅시다. 7학년 때부터!

이것 - . 그들이 어디에나 있다는 사실에 익숙해져야 합니다! 그리고 지수함수, 삼각함수, 비합리적인 문제에서 발견됩니다. 그러므로 그것들을 기억해야 합니다.

처음 두 용어를 자세히 살펴보면 이것이 다음이라는 것이 분명해집니다. 제곱의 차이:

확인 답변:

자신을 단순화하십시오.

예

답변.

속성 4: 로그의 인수에서 지수 파생:

증거:그리고 여기서 우리는 또한 로그의 정의를 사용합니다: let, then. 우리는: , h.t.d.

이 규칙을 다음과 같이 이해할 수 있습니다.

즉, 인수의 차수는 계수로 로그보다 앞으로 나옵니다.

예:표현식의 값을 찾으십시오.

해결책: .

스스로 결정하십시오.

예:

답변:

속성 5: 로그의 밑에서 지수의 파생:

증거:그럼.

우리는: , h.t.d.
기억하세요: 부터 근거학위는 다음과 같이 렌더링됩니다. 뒤집다이전 사례와 달리 번호!

속성 6: 로그의 밑수와 인수에서 지수 파생:

또는 정도가 동일한 경우: .

속성 7: 새 기지로 전환:

증거:그럼.

우리는: , h.t.d.

속성 8: 로그의 밑과 인수 교환:

증거:이것은 공식 7의 특별한 경우입니다. 대입하면 다음과 같이 됩니다. , p.t.d.

몇 가지 예를 더 살펴보겠습니다.

예 4

표현식의 값을 찾으십시오.

우리는 대수 2의 속성을 사용합니다. 밑이 같은 대수의 합은 곱의 대수와 같습니다.

실시예 5

표현식의 값을 찾으십시오.

해결책:

로그 3번과 4번의 속성을 사용합니다.

실시예 6

표현식의 값을 찾으십시오.

해결책:

속성 번호 7 사용 - 베이스 2로 이동:

실시예 7

표현식의 값을 찾으십시오.

해결책:

기사가 마음에 드십니까?

이 줄을 읽고 있다면 전체 기사를 읽은 것입니다.

그리고 멋지다!

이제 기사가 마음에 드십니까?

로그를 푸는 방법을 배웠습니까? 그렇지 않다면 무엇이 문제입니까?

아래 의견에 저희에게 편지를 보내주십시오.

그리고 네, 시험에 행운을 빕니다.

통합 상태 시험 및 OGE 및 일반적으로 인생에서

그래서, 우리는 2의 거듭제곱을 가집니다. 밑줄에서 숫자를 가져오면 이 숫자를 얻기 위해 2를 올려야 하는 거듭제곱을 쉽게 찾을 수 있습니다. 예를 들어, 16을 얻으려면 2의 4승을 올려야 합니다. 그리고 64를 얻으려면 2의 6제곱을 올려야 합니다. 이것은 테이블에서 볼 수 있습니다.

그리고 이제 - 사실 로그의 정의는 다음과 같습니다.

인수 x의 밑 a 로그는 숫자 x를 얻기 위해 숫자 a를 올려야 하는 거듭제곱입니다.

표기법 : log a x \u003d b, 여기서 a는 밑, x는 인수, b는 실제로 로그와 같습니다.

예를 들어, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3(8의 밑이 2인 로그는 2 3 = 8이기 때문에 3입니다). 2 6 = 64이기 때문에 2 64 = 6을 기록할 수도 있습니다.

주어진 밑수에 대한 로그를 찾는 연산을 로그라고 합니다. 이제 테이블에 새 행을 추가해 보겠습니다.

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
로그 2 2 = 1	로그 2 4 = 2	로그 2 8 = 3	로그 216 = 4	로그 2 32 = 5	로그 264 = 6

불행히도 모든 로그가 그렇게 쉽게 고려되는 것은 아닙니다. 예를 들어, 로그 2 5를 찾으십시오. 숫자 5는 테이블에 없지만 논리는 로그가 세그먼트 어딘가에 있을 것이라고 지시합니다. 왜냐하면 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

이러한 숫자를 무리수라고 합니다. 소수점 이하의 숫자는 무한정 쓸 수 있으며 반복되지 않습니다. 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 다음과 같이 두는 것이 좋습니다: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

로그는 두 개의 변수(밑과 인수)가 있는 표현식임을 이해하는 것이 중요합니다. 처음에는 많은 사람들이 근거가 어디에 있고 주장이 어디에 있는지 혼동합니다. 성가신 오해를 피하려면 사진을 살펴보십시오.

우리 앞에는 로그의 정의에 지나지 않습니다. 기억하다: 로그는 거듭제곱, 인수를 얻으려면 베이스를 올려야 합니다. 그것은 힘으로 올라간 기초입니다. 그림에서 빨간색으로 강조 표시됩니다. 기지는 항상 바닥에 있다는 것이 밝혀졌습니다! 나는 첫 번째 수업에서 학생들에게 이 놀라운 규칙을 말하며 혼란이 없습니다.

우리는 정의를 알아 냈습니다. 대수를 계산하는 방법을 배우는 것이 남아 있습니다. "로그" 표시를 제거하십시오. 우선 정의에서 두 가지 중요한 사실이 뒤따른다는 점에 유의하십시오.

인수와 기준은 항상 0보다 커야 합니다. 이것은 로그의 정의가 감소되는 합리적인 지수에 의한 정도의 정의에서 따릅니다.
어떤 권력에 대한 단위도 여전히 단위이기 때문에 기초는 통일성과는 달라야 합니다. 이 때문에 “둘을 얻으려면 어떤 권세로 높여야 하나”라는 질문은 무의미합니다. 그런 학위가 없습니다!

이러한 제한을 유효한 범위(ODZ). 로그의 ODZ는 다음과 같습니다: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

숫자 b(대수의 값)에 대한 제한이 없음에 유의하십시오. 예를 들어, 로그는 음수일 수 있습니다: log 2 0.5 = −1, 왜냐하면 0.5 = 2 -1 .

그러나 이제 우리는 로그의 ODZ를 알 필요가 없는 수치식만 고려하고 있습니다. 문제의 컴파일러는 모든 제한 사항을 이미 고려했습니다. 그러나 대수 방정식과 부등식이 작용하면 DHS 요구 사항이 의무 사항이 됩니다. 사실, 근거와 주장에는 위의 제한 사항에 반드시 일치하지 않는 매우 강력한 구성이 있을 수 있습니다.

이제 대수를 계산하는 일반적인 체계를 고려하십시오. 세 단계로 구성됩니다.

밑수 a와 인수 x를 가능한 가장 작은 밑수가 1보다 큰 거듭제곱으로 표현하십시오. 그 과정에서 소수점 이하 자릿수를 제거하는 것이 좋습니다.
변수 b에 대한 방정식을 풉니다: x = a b ;
결과 숫자 b가 답이 됩니다.

그게 다야! 로그가 비합리적인 것으로 판명되면 이것은 이미 첫 번째 단계에서 볼 수 있습니다. 기준이 1보다 커야 한다는 요구 사항은 매우 관련이 있습니다. 이는 오류 가능성을 줄이고 계산을 크게 단순화합니다. 소수의 경우도 마찬가지입니다. 즉시 일반 분수로 변환하면 오류가 몇 배나 줄어듭니다.

이 체계가 구체적인 예와 함께 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

일. 대수 계산: log 5 25

밑과 인수를 5의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
방정식을 만들고 풀자:
log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
답변을 받았습니다: 2.

일. 로그를 계산합니다.

일. 대수 계산: log 4 64

밑과 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
방정식을 만들고 풀자:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
답변을 받았습니다: 3.

일. 대수 계산: log 16 1

밑과 인수를 2의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
방정식을 만들고 풀자:
로그 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
응답을 받았습니다: 0.

일. 대수 계산: log 7 14

밑과 인수를 7의 거듭제곱으로 표현해 봅시다: 7 = 7 1 ; 14는 7의 거듭제곱으로 나타내지 않습니다.< 14 < 7 2 ;
로그가 고려되지 않는다는 것은 이전 단락에서 이어집니다.
정답은 변화가 없다는 것입니다: log 7 14.

마지막 예에 대한 작은 메모입니다. 숫자가 다른 숫자의 정확한 거듭제곱이 아닌지 확인하는 방법은 무엇입니까? 매우 간단합니다. 소인수로 분해하면 됩니다. 그리고 그러한 요소를 동일한 지표로 어느 정도 수집할 수 없다면 원래 숫자는 정확한 정도가 아닙니다.

일. 숫자의 정확한 거듭제곱이 다음과 같은지 알아보십시오: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3은 정확한 정도입니다. 승수는 하나뿐입니다.
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4는 3과 2의 두 인수가 있기 때문에 정확한 거듭제곱이 아닙니다.
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 -정확한 정도;
35 \u003d 7 5 - 다시 정확한 정도는 아닙니다.
14 \u003d 7 2 - 다시 정확한 정도는 아닙니다.

또한 소수 자체는 항상 정확한 거듭제곱이라는 점에 유의하십시오.