10 odvod kompleksne funkcije. Kompleksni derivati

Kako najti izpeljanko, kako vzeti izpeljanko? V tej lekciji se bomo naučili najti odvode funkcij. Toda preden preučite to stran, toplo priporočam, da se seznanite z metodološkim gradivom Vroče formule za šolski tečaj matematike. Referenčni priročnik lahko odprete ali prenesete na strani Matematične formule in tabele. Tudi od tam bomo potrebovali Tabela izvedenih finančnih instrumentov, je bolje, da ga natisnete; pogosto se boste morali sklicevati nanj, ne samo zdaj, ampak tudi brez povezave.

Jesti? Začnimo. Za vas imam dve novici: dobro in zelo dobro. Dobra novica je naslednja: če želite izvedeti, kako najti izpeljanke, vam ni treba vedeti in razumeti, kaj je izpeljanka. Poleg tega je definicijo odvoda funkcije, matematični, fizikalni, geometrijski pomen odvoda smotrneje prebaviti kasneje, saj kakovosten študij teorije po mojem mnenju zahteva študij številnih druge teme, pa tudi nekaj praktičnih izkušenj.
In zdaj je naša naloga, da te iste derivate tehnično obvladamo. Zelo dobra novica je, da se naučiti jemati odvode ni tako težko; obstaja dokaj jasen algoritem za reševanje (in razlago) te naloge, težje je obvladati na primer integrale ali limite.

Priporočam naslednji vrstni red študija teme:: Najprej ta članek. Potem morate prebrati najpomembnejšo lekcijo Odvod kompleksne funkcije. Ta dva osnovna razreda bosta vaše spretnosti prevzela iz nič. Nato se lahko v članku seznanite z bolj zapletenimi derivati Kompleksni derivati. Logaritemski odvod. Če je letvica previsoka, najprej preberite stvar Najenostavnejši tipični problemi z izpeljankami. Lekcija poleg nove snovi zajema tudi druge, enostavnejše vrste izpeljank in je odlična priložnost za izboljšanje tehnike razlikovanja. Poleg tega testne naloge skoraj vedno vsebujejo naloge iskanja odvodov funkcij, ki so podane implicitno ali parametrično. Obstaja tudi taka lekcija: Odvodi implicitnih in parametrično definiranih funkcij.

Poskušal vas bom v dostopni obliki, korak za korakom, naučiti, kako najti izpeljanke funkcij. Vse informacije so predstavljene podrobno, z enostavnimi besedami.

Pravzaprav si takoj poglejmo primer:

Primer 1

Poiščite odvod funkcije

rešitev:

To je preprost primer, poiščite ga v tabeli odvodov elementarnih funkcij. Zdaj pa poglejmo rešitev in analizirajmo, kaj se je zgodilo? In zgodilo se je naslednje: imeli smo funkcijo, ki se je zaradi rešitve spremenila v funkcijo.

Preprosto povedano, da bi našli odvod funkcije, jo morate spremeniti v drugo funkcijo v skladu z določenimi pravili. Ponovno poglejte tabelo izpeljank - tam se funkcije spremenijo v druge funkcije. Edina izjema je eksponentna funkcija, ki se spremeni vase. Operacija iskanja odvoda se imenuje diferenciacija .

Poimenovanja: Izpeljanka je označena z ali .

POZOR, POMEMBNO! Pozabite dati črto (kjer je potrebno) ali narisati dodatno črto (kjer ni potrebno) - VELIKA NAPAKA! Funkcija in njen derivat sta dve različni funkciji!

Vrnimo se k naši tabeli derivatov. Iz te tabele je zaželeno zapomni si: pravila diferenciacije in odvodi nekaterih elementarnih funkcij, zlasti:

derivat konstante:
, kjer je konstantno število;

odvod potenčne funkcije:
, še posebej: , , .

Zakaj se spominjati? To znanje je osnovno znanje o derivatih. In če ne morete odgovoriti na učiteljevo vprašanje "Kaj je derivat števila?", Potem se lahko vaš študij na univerzi za vas konča (osebno sem seznanjen z dvema primeroma iz resničnega življenja). Poleg tega so to najpogostejše formule, ki jih moramo uporabiti skoraj vsakič, ko naletimo na izpeljanke.

V resnici so preprosti tabelarični primeri redki, pri iskanju odvodov se običajno najprej uporabijo pravila diferenciranja, nato pa tabela odvodov elementarnih funkcij.

V zvezi s tem nadaljujemo z razmislekom pravila razlikovanja:

1) Konstantno število se lahko (in mora) vzeti iz izpeljanke

Kje je konstantna številka (konstanta)

Primer 2

Poiščite odvod funkcije

Poglejmo tabelo izpeljank. Odvod kosinusa je tam, vendar imamo .

Čas je, da uporabimo pravilo, konstantni faktor vzamemo iz predznaka odvoda:

Zdaj pretvorimo naš kosinus v skladu s tabelo:

No, rezultat je priporočljivo malo "prečesati" - na prvo mesto postavite znak minus, hkrati pa se znebite oklepajev:

2) Odvod vsote je enak vsoti odvodov

Primer 3

Poiščite odvod funkcije

Odločimo se. Kot ste verjetno že opazili, je prvi korak, ki ga vedno izvedemo pri iskanju izpeljanke, ta, da celoten izraz zadamo v oklepaj in zgoraj desno postavimo praštevilo:

Uporabimo drugo pravilo:

Upoštevajte, da morajo biti za razlikovanje vsi koreni in stopnje predstavljeni v obrazcu, in če so v imenovalcu, jih premaknite navzgor. Kako to storiti, je opisano v mojih učnih gradivih.

Zdaj pa se spomnimo prvega pravila diferenciacije - konstantne faktorje (števila) vzamemo izven predznaka za izpeljavo:

Običajno se med reševanjem ti dve pravili uporabita sočasno (da ne bi znova prepisali dolgega izraza).

Vse funkcije, ki se nahajajo pod potezami, so osnovne funkcije tabele, s pomočjo katere izvedemo transformacijo:

Vse lahko pustite tako, kot je, saj ni več udarcev in izpeljanka je najdena. Vendar izrazi, kot je ta, običajno poenostavijo:

Priporočljivo je, da vse potence tipa ponovno predstavimo v obliki korenov, potence z negativnimi eksponenti pa ponastavimo na imenovalec. Čeprav vam tega ni treba narediti, ne bo napaka.

Primer 4

Poiščite odvod funkcije

Poskusite sami rešiti ta primer (odgovor na koncu lekcije). Zainteresirani lahko tudi uporabljajo intenzivni tečaj v pdf formatu, kar je še posebej primerno, če imate zelo malo časa na razpolago.

3) Odvod produkta funkcij

Zdi se, da analogija nakazuje formulo ...., toda presenečenje je, da:

To je nenavadno pravilo (kot pravzaprav drugi) izhaja iz izpeljane definicije. Vendar se bomo za zdaj ustavili pri teoriji – zdaj je bolj pomembno, da se naučimo reševati:

Primer 5

Poiščite odvod funkcije

Tukaj imamo produkt dveh funkcij, odvisnih od .
Najprej uporabimo naše nenavadno pravilo, nato pa transformiramo funkcije z uporabo izpeljane tabele:

Težko? Sploh ne, čisto dostopen tudi za čajnik.

Primer 6

Poiščite odvod funkcije

Ta funkcija vsebuje vsoto in produkt dveh funkcij - kvadratnega trinoma in logaritma. Iz šole se spomnimo, da imata množenje in deljenje prednost pred seštevanjem in odštevanjem.

Tukaj je enako. NAJPREJ uporabljamo pravilo razlikovanja izdelkov:

Zdaj za oklepaj uporabljamo prvi dve pravili:

Zaradi uporabe pravil diferenciacije pod potezami nam ostanejo le elementarne funkcije, s pomočjo tabele odvodov pa jih pretvorimo v druge funkcije:

pripravljena

Z nekaj izkušnjami pri iskanju izpeljank se zdi, da preprostih izpeljank ni treba tako podrobno opisovati. Na splošno se o njih odloča ustno in se takoj zapiše .

Primer 7

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije)

4) Odvod funkcij kvocienta

V stropu se je odprla loputa, ne skrbite, to je napaka.
Ampak to je kruta realnost:

Primer 8

Poiščite odvod funkcije

Kaj tukaj manjka – vsota, razlika, zmnožek, ulomek…. S čim naj začnem?! So dvomi, ni dvomov, ampak, KAKORKOLI Najprej narišite oklepaje in postavite črto zgoraj desno:

Zdaj pa pogledamo izraz v oklepajih, kako ga lahko poenostavimo? V tem primeru opazimo faktor, ki ga je po prvem pravilu priporočljivo postaviti izven predznaka izpeljanke.

• Tabela odvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij

Izpeljanke enostavnih funkcij

Pojasnilo:
Izpeljanka prikazuje hitrost, s katero se spremeni vrednost funkcije, ko se spremeni njen argument. Ker se številka v nobenem primeru ne spremeni na noben način, je stopnja njene spremembe vedno nič.

2. Izpeljanka spremenljivke enako ena
x´ = 1

Pojasnilo:
Z vsakim povečanjem argumenta (x) za eno se vrednost funkcije (rezultat izračuna) poveča za enako vrednost. Tako je hitrost spreminjanja vrednosti funkcije y = x popolnoma enaka hitrosti spreminjanja vrednosti argumenta.

3. Odvod spremenljivke in faktorja je enak temu faktorju
сx´ = с
primer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Pojasnilo:
V tem primeru se vsakič, ko se argument funkcije spremeni ( X) njegova vrednost (y) narašča z enkrat. Tako je hitrost spreminjanja vrednosti funkcije glede na hitrost spreminjanja argumenta popolnoma enaka vrednosti z.

Od tod sledi
(cx + b)" = c
to pomeni, da je diferencial linearne funkcije y=kx+b enak naklonu premice (k).

5. Odvod spremenljivke na potenco enako zmnožku števila te potence in spremenljivke na potenco, zmanjšano za ena
(x c)"= cx c-1, pod pogojem, da sta x c in cx c-1 definirana in c ≠ 0
primer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Da si zapomnim formulo:
Premaknite stopnjo spremenljivke navzdol kot faktor in nato zmanjšajte samo stopnjo za eno. Na primer, za x 2 - dva je bila pred x, nato pa nam je zmanjšana moč (2-1 = 1) preprosto dala 2x. Enako se je zgodilo za x 3 - trojko »premaknemo navzdol«, jo zmanjšamo za eno in namesto kocke imamo kvadrat, torej 3x 2. Malo "neznanstveno", a zelo enostavno zapomniti.

6.Izpeljanka ulomka 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
primer:
Ker je ulomek mogoče predstaviti kot dvig na negativno potenco
(1/x)" = (x -1)", potem lahko uporabite formulo iz pravila 5 tabele izpeljank
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Izpeljanka ulomka s spremenljivko poljubne stopnje v imenovalcu
(1 / x c)" = - c / x c+1
primer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. Izpeljanka korena(izpeljanka spremenljivke pod kvadratnim korenom)
(√x)" = 1 / (2√x) ali 1/2 x -1/2
primer:
(√x)" = (x 1/2)" pomeni, da lahko uporabite formulo iz pravila 5
(x 1/2)" = 1/2 x -1/2 = 1 / (2√x)

9. Odvod spremenljivke pod korenom poljubne stopnje
(n √x)" = 1 / (n n √x n-1)

Prva stopnja

Odvod funkcije. Ultimate Guide (2019)

Predstavljajmo si ravno cesto, ki poteka skozi hribovito območje. To pomeni, da gre gor in dol, vendar ne zavije desno ali levo. Če je os usmerjena vodoravno vzdolž ceste in navpično, bo črta ceste zelo podobna grafu neke zvezne funkcije:

Os je določena ničelna višina; v življenju kot njo uporabljamo morsko gladino.

Ko se po takšni cesti premikamo naprej, se premikamo tudi navzgor ali navzdol. Lahko tudi rečemo: ko se spremeni argument (premik vzdolž abscisne osi), se spremeni vrednost funkcije (premik vzdolž ordinatne osi). Zdaj pa razmislimo, kako določiti "strmino" naše ceste? Kakšna vrednost bi to lahko bila? Zelo preprosto: koliko se bo višina spremenila, ko se premaknete naprej na določeno razdaljo. Dejansko se bomo na različnih odsekih ceste, ki se premikamo naprej (vzdolž osi x) za en kilometer, dvignili ali spustili za različno število metrov glede na morsko gladino (vzdolž osi y).

Označimo napredek (beri "delta x").

Grška črka (delta) se v matematiki običajno uporablja kot predpona, ki pomeni "sprememba". To je - to je sprememba količine, - sprememba; kaj je potem? Tako je, sprememba velikosti.

Pomembno: izraz je ena sama celota, ena spremenljivka. Nikoli ne ločite "delta" od "x" ali katere koli druge črke! To je na primer,.

Torej, premaknili smo se naprej, vodoravno, za. Če črto ceste primerjamo z grafom funkcije, kako potem označimo vzpon? Vsekakor,. Se pravi, ko gremo naprej, se dvigamo višje.

Vrednost je enostavno izračunati: če smo bili na začetku na višini in smo se po premikanju znašli na višini, potem. Če je končna točka nižja od začetne, bo negativna – to pomeni, da se ne vzpenjamo, ampak spuščamo.

Vrnimo se k "strmini": to je vrednost, ki kaže, za koliko (strmo) se višina poveča, ko se premikamo naprej za eno enoto razdalje:

Predpostavimo, da se na nekem odseku ceste, ko se premikamo za kilometer naprej, cesta dvigne za kilometer. Potem je naklon na tem mestu enak. In če bi se cesta med premikanjem naprej za m zmanjšala za km? Potem je naklon enak.

Zdaj pa poglejmo vrh hriba. Če vzamete začetek odseka pol kilometra pred vrhom in konec pol kilometra za njim, vidite, da je višina skoraj enaka.

To pomeni, da se po naši logiki izkaže, da je naklon tukaj skoraj enak nič, kar očitno ni res. Samo na kilometrski razdalji se lahko marsikaj spremeni. Za ustreznejšo in natančnejšo oceno strmine je potrebno upoštevati manjše površine. Na primer, če izmerite spremembo višine, ko se premaknete za en meter, bo rezultat veliko natančnejši. Toda tudi ta natančnost nam morda ne bo zadostovala – navsezadnje, če je na sredini ceste drog, ga lahko preprosto peljemo mimo. Kakšno razdaljo naj potem izberemo? Centimeter? Milimeter? Manj je bolje!

V resničnem življenju je več kot dovolj merjenje razdalje na najbližji milimeter. Toda matematiki vedno stremijo k popolnosti. Zato je bil koncept izumljen infinitezimalno, kar pomeni, da je absolutna vrednost manjša od katerega koli števila, ki ga lahko imenujemo. Na primer, rečete: ena bilijontina! Koliko manj? In to številko delite z - in bo še manj. In tako naprej. Če želimo zapisati, da je količina neskončno majhna, zapišemo takole: (beremo “x teži k nič”). Zelo pomembno je razumeti da to število ni nič! Ampak zelo blizu. To pomeni, da ga lahko delite.

Koncept, ki je nasproten infinitezimalnemu, je neskončno velik (). Verjetno ste že naleteli na to, ko ste delali na neenačbah: to število je modulo večje od katerega koli števila, ki si ga lahko zamislite. Če pridete do največjega možnega števila, ga samo pomnožite z dva in dobili boste še večje število. In neskončnost je še večja od tega, kar se zgodi. Pravzaprav sta neskončno veliko in neskončno majhno nasprotje drug drugemu, to je at, in obratno: at.

Zdaj pa se vrnimo k naši cesti. Idealno izračunan naklon je naklon, izračunan za neskončno majhen segment poti, to je:

Opažam, da bo pri neskončno majhnem premiku tudi sprememba višine neskončno majhna. Vendar naj vas spomnim, da infinitezimalno ne pomeni enako nič. Če neskončno majhna števila delite eno z drugim, lahko dobite povsem običajno število, na primer . To pomeni, da je lahko ena majhna vrednost natanko krat večja od druge.

Čemu je vse to namenjeno? Cesta, strmina ... Ne gremo na avto reli, ampak poučujemo matematiko. In v matematiki je vse popolnoma enako, le drugače se imenuje.

Koncept derivata

Odvod funkcije je razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta.

Postopoma v matematiki imenujejo sprememba. Imenuje se obseg, v katerem se argument () spreminja, ko se premika vzdolž osi povečanje argumenta in je označeno. Koliko se je funkcija (višina) spremenila pri premikanju vzdolž osi za razdaljo, se imenuje prirast funkcije in je določen.

Torej je odvod funkcije razmerje do kdaj. Odvod označujemo z isto črko kot funkcijo, le s praštevilo desno zgoraj: ali preprosto. Torej, zapišimo izpeljano formulo z uporabo teh zapisov:

Tako kot v analogiji s cesto je tudi tukaj, ko funkcija narašča, odvod pozitiven, ko se zmanjšuje pa je negativen.

Ali je lahko odvod enak nič? Vsekakor. Če se na primer vozimo po ravni vodoravni cesti, je strmina enaka nič. In res je, višina se sploh ne spremeni. Tako je tudi z odvodom: odvod konstantne funkcije (konstante) je enak nič:

saj je prirastek takšne funkcije enak nič za katerokoli.

Spomnimo se primera na hribu. Izkazalo se je, da je mogoče konce segmenta razporediti na nasprotnih straneh vrha tako, da se višina na koncih izkaže za enako, to je, da je segment vzporeden z osjo:

Toda veliki segmenti so znak netočne meritve. Naš segment bomo dvignili vzporedno s seboj, nato pa se bo njegova dolžina zmanjšala.

Sčasoma, ko smo neskončno blizu vrha, bo dolžina segmenta postala neskončno majhna. Toda hkrati je ostal vzporeden z osjo, to je razlika v višinah na njegovih koncih je enaka nič (ne teži k, ampak je enaka). Izpeljanka torej

To lahko razumemo takole: ko stojimo čisto na vrhu, majhen premik v levo ali desno zanemarljivo spremeni našo višino.

Obstaja tudi povsem algebraična razlaga: levo od oglišča funkcija narašča, desno pa pada. Kot smo že prej ugotovili, ko funkcija narašča, je odvod pozitiven, ko se zmanjšuje pa negativen. Spreminja pa se gladko, brez skokov (saj cesta nikjer ne spreminja strmo naklona). Zato mora obstajati med negativnimi in pozitivnimi vrednostmi. To bo tam, kjer funkcija ne narašča in ne pada – v točki vrha.

Enako velja za korito (območje, kjer se funkcija na levi zmanjšuje in na desni povečuje):

Še malo o prirastkih.

Zato spremenimo argument v velikost. Od katere vrednosti spreminjamo? Kaj je (argument) zdaj postal? Izberemo lahko katero koli točko in zdaj bomo plesali iz nje.

Razmislite o točki s koordinato. Vrednost funkcije v njej je enaka. Nato naredimo enako povečanje: povečamo koordinato za. Kaj je zdaj argument? Zelo enostavno: . Kakšna je zdaj vrednost funkcije? Kamor gre argument, gre tudi funkcija: . Kaj pa povečanje funkcije? Nič novega: to je še vedno znesek, za katerega se je funkcija spremenila:

Vadite iskanje prirastkov:

1. Poiščite prirastek funkcije v točki, ko je prirastek argumenta enak.
2. Enako velja za funkcijo v točki.

rešitve:

Na različnih točkah z enakim prirastkom argumenta bo prirast funkcije različen. To pomeni, da je izpeljanka na vsaki točki drugačna (o tem smo govorili že na začetku - strmina ceste je na različnih točkah različna). Zato moramo, ko pišemo izpeljanko, navesti, na kateri točki:

Funkcija moči.

Funkcija moči je funkcija, pri kateri je argument do neke mere (logičen, kajne?).

Še več – v kakršni koli meri: .

Najenostavnejši primer je, ko je eksponent:

Poiščimo njegovo izpeljanko v točki. Spomnimo se definicije derivata:

Torej se argument spremeni iz v. Kolikšen je prirastek funkcije?

Povečanje je to. Toda funkcija na kateri koli točki je enaka svojemu argumentu. Zato:

Izpeljanka je enaka:

Izpeljanka je enaka:

b) Zdaj razmislite o kvadratni funkciji (): .

Zdaj pa si zapomnimo to. To pomeni, da lahko vrednost prirastka zanemarimo, saj je neskončno majhna in zato nepomembna glede na drugi izraz:

Tako smo prišli do drugega pravila:

c) Nadaljujemo logični niz: .

Ta izraz lahko poenostavimo na različne načine: odpremo prvi oklepaj s formulo za skrajšano množenje kuba vsote ali faktoriziramo celoten izraz s formulo razlike kubov. Poskusite to narediti sami s katero koli od predlaganih metod.

Torej, dobil sem naslednje:

In še enkrat se spomnimo tega. To pomeni, da lahko zanemarimo vse izraze, ki vsebujejo:

Dobimo: .

d) Podobna pravila lahko dobimo za velike moči:

e) Izkazalo se je, da je to pravilo mogoče posplošiti za potenčno funkcijo s poljubnim eksponentom, niti celim številom:

Pravilo je mogoče formulirati z besedami: "stopnja se premakne naprej kot koeficient in nato zmanjša za."

To pravilo bomo dokazali kasneje (skoraj čisto na koncu). Zdaj pa si poglejmo nekaj primerov. Poiščite odvod funkcij:

1. (na dva načina: s formulo in z uporabo definicije odvoda - z izračunom prirastka funkcije);

1. . Verjeli ali ne, to je funkcija moči. Če imate vprašanja, kot je »Kako je s tem? Kje je diploma?«, spomnite se teme »«!
   Da, da, koren je tudi stopnja, le ulomek: .
   To pomeni, da je naš kvadratni koren samo potenca z eksponentom:
   .
   Izpeljanko iščemo po nedavno naučeni formuli:

   Če na tej točki spet postane nejasno, ponovite temo “”!!! (o diplomi z negativnim eksponentom)

2. . Zdaj eksponent:

   In zdaj skozi definicijo (ste že pozabili?):
   ;
   .
   Zdaj, kot običajno, zanemarimo izraz, ki vsebuje:
   .

3. . Kombinacija prejšnjih primerov: .

Trigonometrične funkcije.

Tukaj bomo uporabili eno dejstvo iz višje matematike:

Z izrazom.

Dokazilo se boste naučili v prvem letniku inštituta (in da pridete tja, morate dobro opraviti enotni državni izpit). Zdaj bom samo grafično prikazal:

Vidimo, da ko funkcija ne obstaja - je točka na grafu izrezana. Toda bližje kot je vrednost, bližje je funkcija temu "cilju".

Poleg tega lahko to pravilo preverite s kalkulatorjem. Da, da, ne bodite sramežljivi, vzemite kalkulator, še nismo na enotnem državnem izpitu.

Torej, poskusimo: ;

Ne pozabite preklopiti kalkulatorja v radianski način!

itd. Vidimo, da manjše kot je, bližje je vrednost razmerja.

a) Razmislite o funkciji. Kot običajno, poiščimo njegov prirastek:

Spremenimo razliko sinusov v produkt. Za to uporabimo formulo (zapomnite si temo “”): .

Zdaj pa izpeljanka:

Naredimo zamenjavo: . Potem je za infinitezimalno tudi infinitezimalno: . Izraz za ima obliko:

In zdaj se tega spomnimo z izrazom. In tudi, kaj če lahko neskončno majhno količino zanemarimo v vsoti (to je pri).

Torej dobimo naslednje pravilo: odvod sinusa je enak kosinusu:

To so osnovne ("tabelarne") izpeljanke. Tukaj so na enem seznamu:

Kasneje jih bomo dodali še nekaj, vendar so ti najpomembnejši, saj se najpogosteje uporabljajo.

Praksa:

1. Poiščite odvod funkcije v točki;
2. Poiščite odvod funkcije.

rešitve:

1. Najprej poiščimo izpeljanko v splošni obliki in nato nadomestimo njeno vrednost:
   ;
   .
2. Tukaj imamo nekaj podobnega funkciji moči. Poskusimo jo pripeljati do
   navaden pogled:
   .
   Super, zdaj lahko uporabite formulo:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Kaj je to????

V redu, prav imate, takšnih derivatov še ne znamo najti. Tu imamo kombinacijo več vrst funkcij. Če želite delati z njimi, se morate naučiti še nekaj pravil:

Eksponent in naravni logaritem.

V matematiki obstaja funkcija, katere odvod za katero koli vrednost je hkrati enak vrednosti same funkcije. Imenuje se "eksponent" in je eksponentna funkcija

Osnova te funkcije - konstanta - je neskončen decimalni ulomek, torej iracionalno število (kot npr.). Imenuje se "Eulerjevo število", zato je označeno s črko.

Torej, pravilo:

Zelo enostavno zapomniti.

No, ne gremo daleč, takoj razmislimo o inverzni funkciji. Katera funkcija je inverzna eksponentni funkciji? Logaritem:

V našem primeru je osnova številka:

Takšen logaritem (to je logaritem z osnovo) imenujemo »naravni«, zanj pa uporabljamo poseben zapis: namesto tega pišemo.

Čemu je enako? Seveda, .

Izpeljanka naravnega logaritma je tudi zelo preprosta:

Primeri:

1. Poiščite odvod funkcije.
2. Kaj je odvod funkcije?

odgovori: Eksponentni in naravni logaritem sta edinstveno preprosti funkciji z vidika izpeljave. Eksponentne in logaritemske funkcije s katero koli drugo osnovo bodo imele drugačen odvod, ki ga bomo analizirali kasneje, ko bomo preučili pravila diferenciacije.

Pravila razlikovanja

Pravila česa? Spet nov mandat, spet?!...

Diferenciacija je postopek iskanja izpeljanke.

To je vse. Kako drugače lahko poimenujete ta proces z eno besedo? Ni izpeljanka... Matematiki imenujejo diferencial enak prirastek funkcije pri. Ta izraz izhaja iz latinskega differentia - razlika. Tukaj.

Pri izpeljavi vseh teh pravil bomo uporabili dve funkciji, na primer in. Potrebovali bomo tudi formule za njihove prirastke:

Skupaj je 5 pravil.

Konstanta je vzeta iz predznaka izpeljanke.

Če - neko konstantno število (konstanta), potem.

Očitno to pravilo deluje tudi za razliko: .

Dokažimo. Naj bo ali preprosteje.

Primeri.

Poiščite odvode funkcij:

1. na točki;
2. na točki;
3. na točki;
4. na točki.

rešitve:

1. (odvod je v vseh točkah enak, saj je linearna funkcija, se spomnite?);

Izpeljanka izdelka

Tukaj je vse podobno: predstavimo novo funkcijo in poiščimo njen prirastek:

Izpeljanka:

Primeri:

1. Poiščite odvode funkcij in;
2. Poiščite odvod funkcije v točki.

rešitve:

Odvod eksponentne funkcije

Zdaj je vaše znanje dovolj, da se naučite poiskati odvod poljubne eksponentne funkcije in ne samo eksponentov (ste že pozabili, kaj je to?).

Torej, kje je kakšna številka.

Izpeljanko funkcije že poznamo, zato poskusimo prenesti našo funkcijo na novo osnovo:

Za to bomo uporabili preprosto pravilo: . Nato:

No, uspelo je. Zdaj poskusite najti izpeljanko in ne pozabite, da je ta funkcija kompleksna.

Se je zgodilo?

Evo, preverite sami:

Izkazalo se je, da je formula zelo podobna izpeljanki eksponenta: kot je bila, ostaja enaka, pojavil se je le faktor, ki je le številka, ne pa spremenljivka.

Primeri:
Poiščite odvode funkcij:

odgovori:

To je le številka, ki je brez kalkulatorja ni mogoče izračunati, torej je ni mogoče zapisati v enostavnejši obliki. Zato ga v odgovoru pustimo v tej obliki.

Odvod logaritemske funkcije

Tukaj je podobno: odvod naravnega logaritma že poznate:

Zato, če želite najti poljuben logaritem z drugačno osnovo, na primer:

Ta logaritem moramo zmanjšati na osnovo. Kako spremenite osnovo logaritma? Upam, da se spomnite te formule:

Samo zdaj bomo namesto tega napisali:

Imenovalec je preprosto konstanta (konstantno število, brez spremenljivke). Izpeljanko dobimo zelo preprosto:

Izvodov eksponentnih in logaritemskih funkcij skoraj nikoli ne najdemo v enotnem državnem izpitu, vendar jih ne bo odveč poznati.

Odvod kompleksne funkcije.

Kaj je "kompleksna funkcija"? Ne, to ni logaritem in ni arktangens. Te funkcije so lahko težko razumljive (čeprav se vam zdi logaritem težak, preberite temo "Logaritmi" in vse bo v redu), vendar z matematičnega vidika beseda "kompleksno" ne pomeni "težko".

Predstavljajte si majhen tekoči trak: dve osebi sedita in delata nekaj dejanj z nekaterimi predmeti. Prvi na primer zavije čokoladno tablico v ovoj, drugi pa jo zaveže s pentljo. Rezultat je sestavljen predmet: čokoladna ploščica, ovita in zavezana s trakom. Če želite pojesti čokoladico, morate narediti obratne korake v obratnem vrstnem redu.

Ustvarimo podoben matematični cevovod: najprej bomo našli kosinus števila in nato kvadrirali dobljeno število. Torej, dobimo številko (čokolado), jaz poiščem njen kosinus (ovitek), nato pa ti kvadriraš, kar sem jaz dobil (zavežeš s trakom). Kaj se je zgodilo? funkcija. To je primer kompleksne funkcije: ko za iskanje njene vrednosti izvedemo prvo dejanje neposredno s spremenljivko in nato drugo dejanje s tistim, kar je rezultat prvega.

Enake korake lahko preprosto izvedemo v obratnem vrstnem redu: najprej ga kvadrirate, nato pa poiščem kosinus dobljenega števila: . Zlahka je uganiti, da bo rezultat skoraj vedno drugačen. Pomembna značilnost kompleksnih funkcij: ko se spremeni vrstni red dejanj, se spremeni funkcija.

Z drugimi besedami, kompleksna funkcija je funkcija, katere argument je druga funkcija: .

Za prvi primer,.

Drugi primer: (isto). .

Poklicano bo dejanje, ki ga izvedemo nazadnje "zunanjo" funkcijo, in prvo izvedeno dejanje - temu primerno "notranja" funkcija(to so neformalna imena, uporabljam jih samo za razlago snovi v preprostem jeziku).

Poskusite sami ugotoviti, katera funkcija je zunanja in katera notranja:

odgovori: Ločevanje notranjih in zunanjih funkcij je zelo podobno spreminjanju spremenljivk: na primer v funkciji

1. Katero dejanje bomo najprej izvedli? Najprej izračunajmo sinus, šele nato ga kubiramo. To pomeni, da gre za notranjo funkcijo, vendar zunanjo.
   In prvotna funkcija je njihova sestava: .
2. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
3. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
4. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .
5. Notranji: ; zunanji:.
   Pregled: .

Spremenimo spremenljivke in dobimo funkcijo.

No, zdaj bomo izluščili našo čokoladico in poiskali izpeljanko. Postopek je vedno obraten: najprej iščemo odvod zunanje funkcije, nato rezultat pomnožimo z odvodom notranje funkcije. Glede na originalni primer je videti takole:

Še en primer:

Torej, končno oblikujmo uradno pravilo:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

Zdi se preprosto, kajne?

Preverimo s primeri:

rešitve:

1) Notranji: ;

Zunanji: ;

2) Notranji: ;

(Samo ne poskušajte ga zdaj odrezati! Nič ne pride izpod kosinusa, se spomnite?)

3) Notranji: ;

Zunanji: ;

Takoj je jasno, da gre za trinivojsko kompleksno funkcijo: navsezadnje je to že sama po sebi kompleksna funkcija in iz nje izluščimo tudi koren, torej izvedemo tretje dejanje (čokolado damo v ovoj in s trakom v aktovki). Vendar ni razloga za strah: to funkcijo bomo še vedno "odpakirali" v istem vrstnem redu kot običajno: od konca.

To pomeni, da najprej diferenciramo koren, nato kosinus in šele nato izraz v oklepaju. In potem vse pomnožimo.

V takih primerih je priročno oštevilčiti dejanja. Se pravi, predstavljajmo si, kaj vemo. V kakšnem vrstnem redu bomo izvajali dejanja za izračun vrednosti tega izraza? Poglejmo primer:

Kasneje ko se izvede dejanje, bolj "zunanja" bo ustrezna funkcija. Zaporedje dejanj je enako kot prej:

Tu je gnezdenje običajno 4-nivojsko. Določimo potek ukrepanja.

1. Radikalno izražanje. .

2. Koren. .

3. Sinus. .

4. Kvadrat. .

5. Vse skupaj:

IZPELJAVKA. NA KRATKO O GLAVNEM

Odvod funkcije- razmerje med prirastkom funkcije in prirastkom argumenta za neskončno majhen prirastek argumenta:

Osnovni derivati:

Pravila razlikovanja:

Konstanta je vzeta iz izpeljanke:

Izpeljanka vsote:

Izpeljanka izdelka:

Izpeljanka količnika:

Odvod kompleksne funkcije:

Algoritem za iskanje odvoda kompleksne funkcije:

1. Definiramo “notranjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
2. Definiramo “zunanjo” funkcijo in poiščemo njen odvod.
3. Rezultate prve in druge točke pomnožimo.

Na katerem smo pregledali najpreprostejše izpeljanke, seznanili pa se tudi s pravili diferenciacije in nekaterimi tehničnimi prijemi iskanja izpeljank. Torej, če niste zelo dobri z izpeljankami funkcij ali nekatere točke v tem članku niso povsem jasne, potem najprej preberite zgornjo lekcijo. Prosim, da se resno razpoložite - snov ni preprosta, vendar jo bom vseeno poskušal predstaviti preprosto in jasno.

V praksi se moraš z odvodom kompleksne funkcije ukvarjati zelo pogosto, rekel bi celo skoraj vedno, ko ti dajo nalogo najti odvode.

Oglejmo si tabelo pri pravilu (št. 5) za razlikovanje kompleksne funkcije:

Ugotovimo. Najprej bodimo pozorni na vnos. Tu imamo dve funkciji - in , funkcija pa je, figurativno rečeno, ugnezdena znotraj funkcije . Funkcija tega tipa (ko je ena funkcija ugnezdena v drugo) se imenuje kompleksna funkcija.

Poklical bom funkcijo zunanja funkcija, in funkcijo – notranja (ali ugnezdena) funkcija.

! Te definicije niso teoretične in se ne smejo pojavljati v končni zasnovi nalog. Neformalne izraze »zunanja funkcija«, »notranja« funkcija uporabljam samo zato, da bi lažje razumeli snov.

Če želite razjasniti situacijo, upoštevajte:

Primer 1

Poiščite odvod funkcije

Pod sinusom nimamo samo črke "X", ampak celoten izraz, zato iskanje izpeljanke takoj iz tabele ne bo delovalo. Opazimo tudi, da tukaj ni mogoče uporabiti prvih štirih pravil, zdi se, da obstaja razlika, dejstvo pa je, da sinusa ni mogoče "raztrgati na koščke":

V tem primeru je že iz mojih razlag intuitivno jasno, da je funkcija kompleksna funkcija, polinom pa notranja funkcija (vdelava) in zunanja funkcija.

Prvi korak kar morate storiti pri iskanju odvoda kompleksne funkcije je razumeti, katera funkcija je notranja in katera zunanja.

V primeru preprostih primerov se zdi jasno, da je polinom vstavljen pod sinus. Kaj pa, če ni vse očitno? Kako natančno določiti, katera funkcija je zunanja in katera notranja? Da bi to naredili, predlagam uporabo naslednje tehnike, ki jo lahko izvajate mentalno ali v osnutku.

Predstavljajmo si, da moramo na kalkulatorju izračunati vrednost izraza pri (namesto 1 je lahko poljubno število).

Kaj bomo najprej izračunali? Najprej boste morali izvesti naslednje dejanje: , zato bo polinom notranja funkcija:

Drugič bo treba najti, zato bo sinus zunanja funkcija:

Potem ko smo RAZPRODANO pri notranjih in zunanjih funkcijah je čas, da uporabimo pravilo razlikovanja kompleksnih funkcij .

Začnimo se odločati. Iz lekcije Kako najti izpeljanko? spomnimo se, da se zasnova rešitve katere koli izpeljanke vedno začne takole - izraz zapremo v oklepaj in zgoraj desno postavimo črto:

Najprej poiščemo odvod zunanje funkcije (sinus), pogledamo tabelo odvodov elementarnih funkcij in opazimo, da . Vse formule tabele so uporabne tudi, če je "x" zamenjan s kompleksnim izrazom, v tem primeru:

Upoštevajte, da notranja funkcija ni spremenil, se ga ne dotikamo.

No, to je povsem očitno

Rezultat uporabe formule v končni obliki izgleda takole:

Konstantni faktor je običajno postavljen na začetek izraza:

Če pride do nesporazuma, rešitev zapiši na papir in še enkrat preberi razlago.

Primer 2

Poiščite odvod funkcije

Primer 3

Poiščite odvod funkcije

Kot vedno zapišemo:

Ugotovimo, kje imamo zunanjo funkcijo in kje notranjo. Da bi to naredili, poskušamo (miselno ali v osnutku) izračunati vrednost izraza pri . Kaj morate storiti najprej? Najprej morate izračunati, čemu je enaka osnova: zato je polinom notranja funkcija:

In šele nato se izvede potenciranje, zato je funkcija moči zunanja funkcija:

Po formuli , najprej morate najti odvod zunanje funkcije, v tem primeru stopnjo. V tabeli poiščemo zahtevano formulo: . Še enkrat ponavljamo: katera koli tabelarična formula velja ne samo za "X", ampak tudi za kompleksen izraz. Tako je rezultat uporabe pravila za razlikovanje kompleksne funkcije Naslednji:

Ponovno poudarjam, da ko vzamemo izpeljanko zunanje funkcije, se naša notranja funkcija ne spremeni:

Zdaj ostane le še najti zelo preprosto izpeljanko notranje funkcije in rezultat nekoliko prilagoditi:

Primer 4

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije).

Da bi utrdil vaše razumevanje odvoda kompleksne funkcije, bom dal primer brez komentarjev, poskusite sami ugotoviti, razložite, kje je zunanja in kje notranja funkcija, zakaj so naloge rešene na ta način?

Primer 5

a) Poiščite odvod funkcije

b) Poiščite odvod funkcije

Primer 6

Poiščite odvod funkcije

Tukaj imamo koren in da bi razlikovali koren, ga je treba predstaviti kot moč. Tako najprej pripeljemo funkcijo v obliko, primerno za razlikovanje:

Z analizo funkcije pridemo do zaključka, da je vsota treh členov notranja funkcija, dvig na potenco pa zunanja funkcija. Uporabimo pravilo diferenciacije kompleksnih funkcij :

Stopnjo ponovno predstavimo kot radikal (koren), za odvod notranje funkcije pa uporabimo preprosto pravilo za razlikovanje vsote:

pripravljena Izraz lahko tudi skrčiš na skupni imenovalec v oklepaju in vse zapišeš kot en ulomek. Seveda je lepo, a ko dobite okorne dolge izpeljanke, je bolje, da tega ne storite (lahko se zmedete, naredite nepotrebno napako in učitelju bo neprijetno preverjati).

Primer 7

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije).

Zanimivo je, da lahko včasih namesto pravila za razlikovanje kompleksne funkcije uporabite pravilo za razlikovanje količnika , vendar bo takšna rešitev videti kot nenavadna perverznost. Tukaj je tipičen primer:

Primer 8

Poiščite odvod funkcije

Tukaj lahko uporabite pravilo diferenciacije količnika , vendar je veliko bolj donosno najti derivat s pravilom diferenciacije kompleksne funkcije:

Funkcijo pripravimo na diferenciacijo - minus premaknemo iz predznaka odvoda, kosinus pa dvignemo v števec:

Kosinus je notranja funkcija, potenciranje je zunanja funkcija.
Uporabimo svoje pravilo :

Poiščemo odvod notranje funkcije in ponastavimo kosinus nazaj navzdol:

pripravljena V obravnavanem primeru je pomembno, da se ne zmedete v znakih. Mimogrede, poskusite to rešiti s pravilom , se morata odgovora ujemati.

Primer 9

Poiščite odvod funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami (odgovor na koncu lekcije).

Doslej smo si ogledali primere, ko smo imeli samo eno gnezdenje v kompleksni funkciji. V praktičnih nalogah lahko pogosto najdemo izpeljanke, kjer so kot gnezdeče lutke ena v drugo ugnezdene 3 ali celo 4-5 funkcij hkrati.

Primer 10

Poiščite odvod funkcije

Razumejmo priloge te funkcije. Poskusimo izračunati izraz z uporabo eksperimentalne vrednosti. Kako bi računali na kalkulator?

Najprej morate najti , kar pomeni, da je arkus sinus najgloblja vdelava:

Ta arksinus ena je treba nato kvadrirati:

In končno, dvignemo sedem na potenco:

To pomeni, da imamo v tem primeru tri različne funkcije in dve vdelavi, medtem ko je najbolj notranja funkcija arksinus, najbolj zunanja funkcija pa eksponentna funkcija.

Začnimo se odločati

Po pravilu Najprej morate vzeti odvod zunanje funkcije. Pogledamo tabelo odvodov in poiščemo odvod eksponentne funkcije: Edina razlika je v tem, da imamo namesto “x” kompleksen izraz, kar pa ne izniči veljavnosti te formule. Torej, rezultat uporabe pravila za razlikovanje kompleksne funkcije Naslednji.