Mnogokotnik z oglišči se imenuje mnogokotnik. Lekcija "Poligoni. Vrste poligonov" v okviru tehnologije "Razvoj kritičnega mišljenja z branjem in pisanjem"

Vrste poligonov:

Štirikotniki

Štirikotniki, sestavljeni iz 4 strani in kotov.

Strani in koti, ki so drug drugemu nasprotni, se imenujejo nasprotje.

Diagonale delijo konveksne štirikotnike na trikotnike (glej sliko).

Vsota kotov konveksnega štirikotnika je 360° (po formuli: (4-2)*180°).

Paralelogrami

Paralelogram je konveksen štirikotnik z nasprotnimi vzporednimi stranicami (številka 1 na sliki).

Nasprotni stranici in koti v paralelogramu so vedno enaki.

In diagonale na presečišču so razdeljene na pol.

Trapez

Trapez- to je tudi štirikotnik in v trapezi Le dve strani sta vzporedni, ki se imenujeta razlogov. Druge strani so straneh.

Trapez na sliki je oštevilčen z 2 in 7.

Kot v trikotniku:

Če sta stranici enaki, potem je trapez enak enakokraki;

Če je eden od kotov pravi, potem je trapez pravi pravokotne.

Srednjica trapeza je enaka polovici vsote osnov in je z njima vzporedna.

Romb

Romb je paralelogram, v katerem so vse stranice enake.

Poleg lastnosti paralelograma imajo rombovi svojo posebno lastnost - Diagonali romba sta pravokotni drug drugega in razpolovite vogale romba.

Na sliki je romb številka 5.

Pravokotniki

Pravokotnik je paralelogram, v katerem je vsak kot pravi (glej sliko številka 8).

Poleg lastnosti paralelograma imajo pravokotniki svojo posebno lastnost - Diagonali pravokotnika sta enaki.

Kvadrati

kvadrat je pravokotnik z enakimi stranicami (št. 4).

Ima lastnosti pravokotnika in romba (saj so vse stranice enake).

Lastnosti poligonov

Mnogokotnik je geometrijski lik, običajno definiran kot sklenjena lomljena črta brez samopresečišč (preprost mnogokotnik (sl. 1a)), včasih pa so dovoljena samopresečišča (takrat mnogokotnik ni preprost).

Oglišča mnogokotnika imenujemo oglišča mnogokotnika, odseke pa stranice mnogokotnika. Oglišča mnogokotnika se imenujejo sosednja, če so konci ene od njegovih stranic. Odseki, ki povezujejo nesosednja oglišča mnogokotnika, se imenujejo diagonale.

Kot (ali notranji kot) konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki ga tvorijo njegove stranice, ki se stekajo v to oglišče, in kot se izračuna iz stranice mnogokotnika. Zlasti lahko kot preseže 180°, če mnogokotnik ni konveksen.

Zunanji kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki meji na notranji kot mnogokotnika pri tem oglišču. Na splošno je zunanji kot razlika med 180° in notranjim kotom. Pri > 3 ima vsako oglišče -kotnika 3 diagonale, tako da je skupno število diagonal -kotnika enako.

Mnogokotnik s tremi oglišči se imenuje trikotnik, s štirimi - štirikotnik, s petimi - peterokotnik itd.

Poligon z n imenovane vozlišča n- kvadrat.

Ravni mnogokotnik je lik, ki je sestavljen iz mnogokotnika in končnega dela ploskve, ki je z njim omejena.

Mnogokotnik se imenuje konveksen, če je izpolnjen eden od naslednjih (enakovrednih) pogojev:

• 1. leži na eni strani poljubne premice, ki povezuje njena sosednja oglišča. (tj. podaljški strani mnogokotnika ne sekajo njegovih drugih strani);
• 2. je presečišče (tj. skupni del) več polravnin;
• 3. vsak segment s konci v točkah, ki pripadajo mnogokotniku, mu v celoti pripada.

Konveksni mnogokotnik se imenuje pravilen, če so vse strani enake in vsi koti enaki, na primer enakostranični trikotnik, kvadrat in peterokotnik.

Konveksni mnogokotnik je opisan okoli kroga, če se vse njegove stranice dotikajo nekega kroga

Pravilni mnogokotnik je mnogokotnik, v katerem so vsi koti in vse stranice enaki.

Lastnosti poligonov:

1 Vsaka diagonala konveksnega -kotnika, kjer je >3, ga razgradi na dva konveksna mnogokotnika.

2 Vsota vseh kotov konveksnega trikotnika je enaka.

D-vo: Izrek bomo dokazali z metodo matematične indukcije. Pri = 3 je očitno. Predpostavimo, da je izrek resničen za -kotnik, kjer je <, in to dokazati za -gon.

Pustiti je podan mnogokotnik. Narišimo diagonalo tega mnogokotnika. Po izreku 3 je mnogokotnik razčlenjen na trikotnik in konveksni trikotnik (slika 5). Po indukcijski hipotezi. Na drugi strani, . Seštevanje teh enakosti in upoštevanje tega (- notranji kotni žarek ) in (- notranji kotni žarek ), dobimo. Ko dobimo: .

3 Okoli katerega koli pravilnega mnogokotnika lahko opišete krog in samo enega.

D-vo: Naj bo pravilni mnogokotnik in in simetrali kotov in (slika 150). Ker torej, torej * 180°< 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке O. Dokažimo to O = OA 2 = O =… = OA p . Trikotnik O enakokraki, torej O= O. Po drugem kriteriju za enakost trikotnikov je torej O = O. Podobno je dokazano, da O = O itd. Torej bistvo O je enako oddaljen od vseh oglišč mnogokotnika, torej krog s središčem O polmer O je okoli mnogokotnika opisana.

Dokažimo zdaj, da obstaja le en opisan krog. Razmislite o treh ogliščih mnogokotnika, na primer A 2 , . Ker skozi te točke poteka le en krog, potem okoli poligona … Ne morete opisati več kot enega kroga.

• 4 Krog lahko vpišete v katerikoli pravilni mnogokotnik in samo v enega.
• 5 Pravilnemu mnogokotniku včrtan krog se dotika stranic mnogokotnika v središčih.
• 6 Središče kroga, urejenega okoli pravilnega mnogokotnika, sovpada s središčem kroga, včrtanega v isti mnogokotnik.
• 7 Simetrija:

Pravijo, da ima figura simetrijo (simetrično), če obstaja takšno gibanje (ne identično), ki to figuro prevede vase.

• 7.1. Splošni trikotnik nima osi ali središč simetrije; je asimetričen. Enakokraki (vendar ne enakostranični) trikotnik ima eno simetrijsko os: simetralo, pravokotno na osnovo.
• 7.2. Enakostranični trikotnik ima tri simetrične osi (pravokotne simetrale na stranice) in rotacijsko simetrijo okoli središča z rotacijskim kotom 120°.

7.3 Vsak pravilni n-kotnik ima n simetrijskih osi, ki vse potekajo skozi njegovo središče. Ima tudi rotacijsko simetrijo okoli središča z rotacijskim kotom.

Ko celo n Nekatere simetrijske osi gredo skozi nasprotna oglišča, druge skozi središča nasprotnih stranic.

Za neparno n vsaka os poteka skozi vrh in sredino nasprotne strani.

Središče pravilnega mnogokotnika s sodim številom stranic je njegovo simetrično središče. Pravilni mnogokotnik z lihim številom stranic nima središča simetrije.

8 Podobnost:

S podobnostjo in -kotnik preide v -kotnik, polravnina v polravnino, torej konveksna n- kot postane konveksen n-gon.

Izrek: Če stranice in koti konveksnih mnogokotnikov izpolnjujejo enakosti:

kje je koeficient stopničk

potem so ti mnogokotniki podobni.

• 8.1 Razmerje obsegov dveh podobnih mnogokotnikov je enako koeficientu podobnosti.
• 8.2. Razmerje ploščin dveh konveksnih podobnih mnogokotnikov je enako kvadratu koeficienta podobnosti.

izrek o obodu mnogokotnika trikotnika

Tema: mnogokotniki - 8. razred:

Črta sosednjih segmentov, ki ne ležijo na isti ravni črti, se imenuje prekinjena črta.

Konci segmentov so vrhovi.

Vsak segment je povezava.

In vse vsote dolžin segmentov sestavljajo skupno dolžina prekinjena črta Na primer, AM + ME + EK + KO = dolžina lomljene črte

Če so segmenti zaprti, potem to mnogokotnik(glej zgoraj) .

Povezave v mnogokotniku se imenujejo stranke.

Vsota stranskih dolžin - obseg mnogokotnik.

Oglišča, ki ležijo na eni strani, so sosednji.

Segment, ki povezuje nesosednja vozlišča, se imenuje diagonalno.

Poligoni klical po številu stranic: peterokotnik, šestkotnik itd.

Vse znotraj poligona je notranji del letala in vse, kar je zunaj - zunanji del letala.

Opomba! Na spodnji sliki- to NI poligon, saj so na eni premici dodatne skupne točke za nesosednje segmente.

Konveksni poligon leži na eni strani vsake ravne črte. Da bi jo mentalno določili (ali z risbo), nadaljujemo vsako stran.

V poligonu toliko kotov kot stranic.

V konveksnem mnogokotniku vsota vseh notranjih kotov enako (n-2)*180°. n je število kotov.

Poligon se imenuje pravilno, če so vse njegove stranice in koti enaki. Torej se izračun njegovih notranjih kotov izvede po formuli (kjer je n število kotov): 180° * (n-2) / n

Spodaj so mnogokotniki, vsota njihovih kotov in čemu je en kot enak.

Zunanji koti konveksnih mnogokotnikov se izračunajo na naslednji način:

​​​​​​​

Predmet, starost učenca: geometrija, 9. razred

Namen lekcije: preučiti vrste poligonov.

Izobraževalna naloga: posodobiti, razširiti in posplošiti znanje učencev o poligonih; oblikovati idejo o "sestavnih delih" poligona; opraviti študijo števila sestavnih elementov pravilnih mnogokotnikov (od trikotnika do n-kotnika);

Razvojna naloga: razvijati zmožnost analiziranja, primerjanja, sklepanja, razvijati računalniške sposobnosti, ustni in pisni matematični govor, spomin, pa tudi samostojnost pri razmišljanju in učnih dejavnostih, zmožnost dela v parih in skupinah; razvijati raziskovalno in izobraževalno dejavnost;

Vzgojna naloga: gojiti samostojnost, aktivnost, odgovornost za dodeljeno delo, vztrajnost pri doseganju cilja.

Med predavanji: citat, napisan na tabli

"Narava govori jezik matematike, črke tega jezika ... matematične figure." G.Galliley

Na začetku lekcije je razred razdeljen na delovne skupine (v našem primeru razdeljen na skupine po 4 osebe - število članov skupine je enako številu skupin vprašanj).

1. Stopnja klica -

Cilji:

a) posodabljanje znanja študentov o temi;

b) prebujanje zanimanja za temo, ki se preučuje, motiviranje vsakega študenta za izobraževalne dejavnosti.

Tehnika: Igra "Ali verjameš, da ...", organizacija dela z besedilom.

Oblike dela: frontalna, skupinska.

"Ali verjameš, da..."

1. ... beseda "mnogokotnik" pomeni, da imajo vsi liki v tej družini "veliko kotov"?

2. ... ali trikotnik spada v veliko družino mnogokotnikov, ki se razlikujejo med številnimi različnimi geometrijskimi oblikami na ravnini?

3. ... je kvadrat pravilen osmerokotnik (štiri stranice + štirje vogali)?

Danes bomo v lekciji govorili o poligonih. Izvemo, da je ta lik omejen s sklenjeno lomljeno črto, ta pa je lahko preprosta, zaprta. Pogovorimo se o tem, da so mnogokotniki lahko ravni, pravilni ali konveksni. Eden od ravnih poligonov je trikotnik, s katerim ste že dolgo seznanjeni (učencem lahko pokažete plakate, ki prikazujejo mnogokotnike, lomljeno črto, pokažite njihove različne vrste, lahko uporabite tudi TSO).

2. Faza spočetja

Cilj: pridobiti nove informacije, jih razumeti, izbrati.

Tehnika: cikcak.

Oblike dela: individualno->par->skupina.

Vsak član skupine dobi besedilo na temo lekcije, besedilo pa je sestavljeno tako, da vključuje informacije, ki so študentom že znane, in informacije, ki so povsem nove. Skupaj z besedilom učenci prejmejo vprašanja, na katera morajo odgovore najti v tem besedilu.

Poligoni. Vrste mnogokotnikov.

Kdo še ni slišal za skrivnostni Bermudski trikotnik, v katerem brez sledu izginjajo ladje in letala? Toda trikotnik, ki nam je znan iz otroštva, je poln veliko zanimivih in skrivnostnih stvari.

Poleg že znanih vrst trikotnikov, ki so razdeljeni po stranicah (razkokraki, enakokraki, enakostranični) in koti (ostri, topi, pravokotni), spada trikotnik v veliko družino mnogokotnikov, ki se razlikujejo med številnimi različnimi geometrijskimi oblikami na letalo.

Beseda "poligon" nakazuje, da imajo vse figure v tej družini "veliko kotov". Toda to ni dovolj za karakterizacijo figure.

Lomljena črta A 1 A 2 ...A n je lik, ki je sestavljen iz točk A 1, A 2, ...A n in odsekov, ki jih povezujejo A 1 A 2, A 2 A 3,.... Točke imenujemo oglišča lomljene črte, odseke pa členke lomljene črte. (slika 1)

Zlomljena črta se imenuje preprosta, če nima samopresečišč (sl. 2, 3).

Polilinija se imenuje zaprta, če njeni konci sovpadajo. Dolžina lomljene črte je vsota dolžin njenih členov (slika 4).

Enostavno zaprto lomljeno črto imenujemo mnogokotnik, če njeni sosednji členi ne ležijo na isti premici (slika 5).

Zamenjajte določeno številko, na primer 3, v besedi "poligon" namesto dela "mnogo". Dobili boste trikotnik. Ali 5. Potem - peterokotnik. Upoštevajte, da kolikor je kotov, toliko je tudi stranic, zato bi te figure lahko imenovali mnogostranice.

Oglišča lomljene črte imenujemo oglišča mnogokotnika, členi lomljene črte pa stranice mnogokotnika.

Poligon deli ravnino na dve območji: notranjo in zunanjo (slika 6).

Ravninski poligon ali mnogokotno območje je končni del ravnine, ki ga omejuje mnogokotnik.

Dve točki mnogokotnika, ki sta koncu ene stranice, imenujemo sosednji. Oglišča, ki niso konca ene strani, so nesosednja.

Mnogokotnik z n oglišči in s tem n stranicami se imenuje n-kotnik.

Čeprav je najmanjše število strani mnogokotnika 3. Toda trikotniki, ko so med seboj povezani, lahko tvorijo druge figure, ki so prav tako poligoni.

Odseki, ki povezujejo nesosednja oglišča mnogokotnika, se imenujejo diagonale.

Mnogokotnik se imenuje konveksen, če leži v isti polravnini glede na katero koli premico, ki vsebuje njegovo stranico. V tem primeru velja, da premica sama pripada polravnini.

Kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki ga tvorijo njegove stranice, ki se stekajo v to oglišče.

Dokažimo izrek (o vsoti kotov konveksnega n-kotnika): Vsota kotov konveksnega n-kotnika je enaka 180 0 *(n - 2).

Dokaz. V primeru n=3 je izrek veljaven. Naj bo A 1 A 2 ...A n dan konveksen mnogokotnik in n>3. Vanj narišimo diagonale (iz enega oglišča). Ker je mnogokotnik konveksen, ga te diagonale delijo na n – 2 trikotnika. Vsota kotov mnogokotnika je vsota kotov vseh teh trikotnikov. Vsota kotov vsakega trikotnika je enaka 180 0, število teh trikotnikov n pa je 2. Zato je vsota kotov konveksnega n-kotnika A 1 A 2 ...A n enaka 180 0 * (n - 2). Izrek je dokazan.

Zunanji kot konveksnega mnogokotnika pri danem oglišču je kot, ki meji na notranji kot mnogokotnika pri tem oglišču.

Konveksni mnogokotnik se imenuje pravilen, če so vse njegove stranice enake in vsi koti enaki.

Torej kvadrat lahko imenujemo drugače - navaden štirikotnik. Pravilni so tudi enakostranični trikotniki. Takšne figure so že dolgo zanimale obrtnike, ki so okrasili zgradbe. Naredili so lepe vzorce, na primer na parketu. Toda vseh pravilnih mnogokotnikov ni bilo mogoče uporabiti za izdelavo parketa. Parketa ni mogoče izdelati iz pravilnih osmerokotnikov. Dejstvo je, da je vsak kot enak 135 0. In če je neka točka vrh dveh takih osmerokotnikov, potem bosta predstavljala 270 0 in tam ni prostora za tretji osmerokotnik: 360 0 - 270 0 = 90 0. Toda za kvadrat je to dovolj. Zato lahko izdelate parket iz pravilnih osmerokotnikov in kvadratov.

Tudi zvezde so pravilne. Naša peterokraka zvezda je navadna peterokotna zvezda. In če kvadrat zavrtite okoli središča za 45 0, dobite navadno osmerokotno zvezdo.

1 skupina

Kaj je prekinjena črta? Pojasnite, kaj so oglišča in členi lomljene črte.

Katera lomljena črta se imenuje preprosta?

Katera lomljena črta se imenuje sklenjena?

Kako se imenuje mnogokotnik? Kako se imenujejo oglišča mnogokotnika? Kako se imenujejo stranice mnogokotnika?

2. skupina

Kateri mnogokotnik imenujemo ravni? Navedite primere mnogokotnikov.

Kaj je n – kvadrat?

Pojasni, katera oglišča mnogokotnika so sosednja in katera ne.

Kaj je diagonala mnogokotnika?

3 skupina

Kateri mnogokotnik imenujemo konveksen?

Pojasni, kateri koti mnogokotnika so zunanji in kateri notranji?

Kateri mnogokotnik imenujemo pravilen? Navedite primere pravilnih mnogokotnikov.

4 skupina

Kolikšna je vsota kotov konveksnega n-kotnika? Dokaži.

Učenci delajo z besedilom, iščejo odgovore na zastavljena vprašanja, nakar se oblikujejo strokovne skupine, v katerih poteka delo na istih vprašanjih: učenci izpostavijo bistvene točke, pripravijo pomožni povzetek in predstavijo informacije v enem od grafične oblike. Po končanem delu se učenci vrnejo v svoje delovne skupine.

3. Faza refleksije -

a) ocena lastnega znanja, izziv na naslednjo stopnjo znanja;

b) razumevanje in prisvajanje prejetih informacij.

Recepcija: raziskovalno delo.

Oblike dela: individualno->par->skupina.

Delovne skupine vključujejo strokovnjake, ki odgovarjajo na vsak del predlaganih vprašanj.

Po vrnitvi v delovno skupino strokovnjak druge člane skupine seznani z odgovori na svoja vprašanja. Skupina izmenjuje informacije med vsemi člani delovne skupine. Tako se v vsaki delovni skupini, zahvaljujoč delu strokovnjakov, oblikuje splošno razumevanje teme, ki se preučuje.

Raziskovalno delo študentov - izpolnjevanje tabele.

Reševanje zanimivih problemov na temo lekcije.

• V štirikotnik nariši ravno črto, tako da ga deli na tri trikotnike.
• Koliko stranic ima pravilni mnogokotnik, pri čemer vsak njegov notranji kot meri 135 0?
• V določenem mnogokotniku so vsi notranji koti med seboj enaki. Ali je lahko vsota notranjih kotov tega mnogokotnika enaka: 360 0, 380 0?

Povzetek lekcije. Snemanje domačih nalog.

Del ravnine, ki ga omejuje sklenjena lomljena črta, imenujemo mnogokotnik.

Segmenti te lomljene črte se imenujejo stranke mnogokotnik. AB, BC, CD, DE, EA (slika 1) so stranice mnogokotnika ABCDE. Vsota vseh strani mnogokotnika se imenuje njegova obseg.

Poligon se imenuje konveksen, če se nahaja na eni strani katere koli njegove stranice, neomejeno razširjeno čez obe oglišči.

Poligon MNPKO (slika 1) ne bo konveksen, saj se nahaja na več kot eni strani premice KR.

Upoštevali bomo samo konveksne mnogokotnike.

Koti, ki jih tvorita dve sosednji stranici mnogokotnika, se imenujejo njegovi notranji vogali, njihovi vrhovi pa so oglišča mnogokotnika.

Odsek premice, ki povezuje dve nesosednji oglišči mnogokotnika, se imenuje diagonala mnogokotnika.

AC, AD - diagonale poligona (slika 2).

Koti, ki mejijo na notranje kote mnogokotnika, se imenujejo zunanji koti mnogokotnika (slika 3).

Glede na število kotov (stranic) imenujemo mnogokotnik trikotnik, štirikotnik, peterokotnik itd.

Za dva poligona pravimo, da sta skladna, če ju je mogoče združiti s prekrivanjem.

Včrtani in opisani mnogokotniki

Če vsa oglišča mnogokotnika ležijo na krožnici, se mnogokotnik imenuje vpisana v krog in krog - opisano blizu poligona (slika).

Če se vse strani mnogokotnika dotikajo kroga, se imenuje mnogokotnik opisano o krogu, krog pa se imenuje vpisana v mnogokotnik (sl.).

Podobnost mnogokotnikov

Dva istoimenska mnogokotnika se imenujeta podobna, če sta kota enega od njiju enaka kotom drugega in sta podobni strani mnogokotnikov sorazmerni.

Mnogokotnike z enakim številom stranic (kotov) imenujemo istoimenski mnogokotniki.

Stranice podobnih mnogokotnikov, ki povezujejo oglišča ustrezno enakih kotov, se imenujejo podobne (slika).

Da bi bil na primer mnogokotnik ABCDE podoben mnogokotniku A'B'C'D'E', je potrebno, da: ∠A = ∠A' ∠B = ∠B' ∠C = ∠C' ∠ D = ∠D' ∠ E = ∠E' in poleg tega AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A' .

Razmerje obsegov podobnih mnogokotnikov

Najprej razmislite o lastnosti niza enakih razmerij. Vzemimo na primer naslednja razmerja: 2/1 = 4/2 = 6/3 = 8/4 =2.

Poiščemo vsoto prejšnjih členov teh odnosov, nato vsoto njihovih naslednjih členov in poiščemo razmerje dobljenih vsot, dobimo:

$$ \frac(2 + 4 + 6 + 8)(1 + 2 + 3 + 4) = \frac(20)(10) = 2 $$

Enako dobimo, če vzamemo vrsto drugih relacij, na primer: 2 / 3 = 4 / 6 = 6 / 9 = 8 / 12 = 10 / 15 = 2 / 3. Poiščemo vsoto prejšnjih členov teh razmerij in vsote naslednjih, nato pa poiščemo razmerje teh vsot, dobimo:

$$ \frac(2 + 4 + 5 + 8 + 10)(3 + 6 + 9 + 12 + 15) = \frac(30)(45) = \frac(2)(3) $$

V obeh primerih se vsota prejšnjih členov niza enakih relacij nanaša na vsoto naslednjih členov iste vrste, tako kot se prejšnji člen katerega koli od teh relacij nanaša na svojega naslednjega.

To lastnost smo izpeljali z upoštevanjem številnih numeričnih primerov. Lahko se izpelje strogo in v splošni obliki.

Zdaj razmislite o razmerju obsegov podobnih mnogokotnikov.

Naj bo mnogokotnik ABCDE podoben mnogokotniku A’B’C’D’E’ (slika).

Iz podobnosti teh mnogokotnikov sledi, da

AB / A'B' = BC / B'C' = CD / C'D' = DE / D'E' = EA / E'A'

Na podlagi lastnosti, ki smo jo izpeljali za vrsto enakih razmerij, lahko zapišemo:

Vsota prejšnjih členov relacij, ki smo jih vzeli, predstavlja obseg prvega poligona (P), vsota naslednjih členov teh relacij pa predstavlja obseg drugega poligona (P'), kar pomeni P / P ' = AB / A'B'.

torej Obseg podobnih mnogokotnikov je povezan z njihovimi podobnimi stranicami.

Razmerje ploščin podobnih mnogokotnikov

Naj sta ABCDE in A’B’C’D’E’ podobna mnogokotnika (slika).

Znano je, da ΔАВС ~ ΔA'В'С' ΔACD ~ ΔA'C'D' in ΔADE ~ ΔA'D'E'.

Poleg tega

;

Ker sta druga razmerja teh razmerij enaka, kar izhaja iz podobnosti mnogokotnikov, torej

Z uporabo lastnosti niza enakih razmerij dobimo:

oz

kjer sta S in S' ploščini teh podobnih mnogokotnikov.

torej Ploščine podobnih mnogokotnikov so povezane kot kvadrati podobnih stranic.

Nastalo formulo je mogoče pretvoriti v to obliko: S / S’ = (AB / A’B’) 2

Območje poljubnega poligona

Naj bo treba izračunati površino poljubnega štirikotnika ABC (sl.).

Vanj narišimo diagonalo, na primer AD. Dobimo dva trikotnika ABD in ACD, katerih ploščini lahko izračunamo. Nato poiščemo vsoto ploščin teh trikotnikov. Dobljena vsota bo izrazila površino tega štirikotnika.

Če morate izračunati površino peterokotnika, naredimo isto: narišemo diagonale iz ene od oglišč. Dobimo tri trikotnike, katerih ploščine lahko izračunamo. To pomeni, da lahko najdemo površino tega peterokotnika. Enako storimo pri izračunu površine katerega koli poligona.

Projektirano območje poligona

Spomnimo se, da je kot med premico in ravnino kot med dano premico in njeno projekcijo na ravnino (slika).

Izrek. Območje pravokotne projekcije poligona na ravnino je enako površini projiciranega mnogokotnika, pomnoženemu s kosinusom kota, ki ga tvorita ravnina poligona in projekcijska ravnina.

Vsak poligon lahko razdelimo na trikotnike, katerih vsota površin je enaka površini mnogokotnika. Zato je dovolj dokazati izrek za trikotnik.

Naj se ΔАВС projicira na ravnino R. Razmislimo o dveh primerih:

a) ena od stranic ΔABC je vzporedna z ravnino R;

b) nobena od stranic ΔABC ni vzporedna R.

Razmislimo prvi primer: naj [AB] || R.

Narišimo ravnino skozi (AB) R 1 || R in projicira pravokotno ΔАВС na R 1 in naprej R(riž); dobimo ΔАВС 1 in ΔА'В'С'.

Z lastnostjo projekcije imamo ΔАВС 1 (cong) ΔА'В'С' in zato

S Δ ABC1 = S Δ A’B’C’

Narišimo ⊥ in odsek D 1 C 1 . Potem je ⊥ , a \(\overbrace(CD_1C_1)\) = φ vrednost kota med ravnino ΔABC in ravnino R 1. Zato

S Δ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos φ = S Δ ABC cos φ

in torej S Δ A’B’C’ = S Δ ABC cos φ.

Pojdimo k razmisleku drugi primer. Narišimo letalo R 1 || R skozi tisto oglišče ΔАВС, razdalja od katerega do ravnine R najmanjši (naj bo to oglišče A).

Projicirajmo ΔАВС na ravnino R 1 in R(riž); naj bodo njegove projekcije ΔАВ 1 С 1 oziroma ΔА'В'С'.

Naj bo (BC) ∩ str 1 = D. Potem

S Δ A’B’C’ = S ΔAB1 C1 = S ΔADC1 - S ΔADB1 = (S ΔADC - S ΔADB) cos φ = S Δ ABC cos φ