பின்னங்கள். பின்னங்களை பெருக்கி வகுத்தல். பொதுவான, தசம, கலப்பு பின்னங்களின் பெருக்கல்

இந்த கட்டுரையில் நாம் பார்ப்போம் கலப்பு எண்களை பெருக்குதல். முதலில், கலப்பு எண்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியை கோடிட்டுக் காட்டுவோம் மற்றும் எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது இந்த விதியின் பயன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம். அடுத்து ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயற்கை எண்ணையும் பெருக்குவது பற்றி பேசுவோம். இறுதியாக, ஒரு கலப்பு எண்ணையும் பொதுவான பின்னத்தையும் எவ்வாறு பெருக்குவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

கலப்பு எண்களைப் பெருக்குதல்.

கலப்பு எண்களைப் பெருக்குதல்சாதாரண பின்னங்களை பெருக்குவதற்கு குறைக்கலாம். இதைச் செய்ய, கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றினால் போதும்.

அதை எழுதுவோம் கலப்பு எண் பெருக்கல் விதி:

• முதலில், பெருக்கப்படும் கலப்பு எண்கள் முறையற்ற பின்னங்களால் மாற்றப்பட வேண்டும்;
• இரண்டாவதாக, பின்னங்களை பின்னங்களால் பெருக்க விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

ஒரு கலப்பு எண்ணை ஒரு கலப்பு எண்ணால் பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

கலப்பு எண்களின் பெருக்கல் மற்றும் .

முதலில், கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாகப் பெருக்குவோம்: மற்றும் . இப்போது நாம் கலப்பு எண்களின் பெருக்கத்தை சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்துடன் மாற்றலாம்: . பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம் . இதன் விளைவாக வரும் பின்னம் குறைக்க முடியாதது (குறைக்கக்கூடிய மற்றும் குறைக்க முடியாத பின்னங்களைப் பார்க்கவும்), ஆனால் அது முறையற்றது (சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்களைப் பார்க்கவும்), எனவே, இறுதிப் பதிலைப் பெற, முழுப் பகுதியையும் முறையற்ற பின்னத்திலிருந்து தனிமைப்படுத்த வேண்டும்: .

முழு தீர்வையும் ஒரே வரியில் எழுதுவோம்: .

.

கலப்பு எண்களைப் பெருக்கும் திறன்களை வலுப்படுத்த, மற்றொரு உதாரணத்தைத் தீர்ப்பதைக் கவனியுங்கள்.

பெருக்கல் செய்யுங்கள்.

வேடிக்கையான எண்கள் மற்றும் அவை முறையே 13/5 மற்றும் 10/9 பின்னங்களுக்கு சமம். பிறகு . இந்த கட்டத்தில், ஒரு பகுதியைக் குறைப்பதைப் பற்றி நினைவில் கொள்ள வேண்டிய நேரம் இது: பின்னத்தில் உள்ள அனைத்து எண்களையும் அவற்றின் சிதைவுகளுடன் பிரதான காரணிகளாக மாற்றவும் மற்றும் ஒரே மாதிரியான காரணிகளைக் குறைக்கவும்.

ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயற்கை எண்ணையும் பெருக்குதல்

ஒரு கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பின்னத்துடன் மாற்றிய பின், ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயற்கை எண்ணையும் பெருக்குதல்ஒரு சாதாரண பின்னம் மற்றும் இயற்கை எண்ணின் பெருக்கத்திற்கு வழிவகுக்கிறது.

ஒரு கலப்பு எண்ணையும் இயல் எண் 45ஐயும் பெருக்கவும்.

ஒரு கலப்பு எண் ஒரு பின்னத்திற்குச் சமம் . விளைந்த பின்னத்தில் உள்ள எண்களை அவற்றின் சிதைவுகளுடன் பிரதான காரணிகளாக மாற்றுவோம், குறைத்து, பின்னர் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்: .

.

ஒரு கலப்பு எண் மற்றும் ஒரு இயற்கை எண்ணின் பெருக்கல் சில சமயங்களில் கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான பண்புகளைப் பயன்படுத்தி வசதியாக மேற்கொள்ளப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், ஒரு கலப்பு எண் மற்றும் ஒரு இயற்கை எண்ணின் பெருக்கல் முழு எண் பகுதியின் தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும். .

தயாரிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

கலப்பு எண்ணை முழு எண் மற்றும் பின்னப் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையுடன் மாற்றுவோம், அதன் பிறகு பெருக்கத்தின் பரவலான பண்பைப் பயன்படுத்துவோம்: .

கலப்பு எண்கள் மற்றும் பின்னங்களை பெருக்குதல்கலப்பு எண்ணை முறையற்ற பின்னமாகப் பெருக்குவதன் மூலம் அதை சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கமாகக் குறைப்பது மிகவும் வசதியானது.

கலப்பு எண்ணை பொதுவான பின்னம் 4/15 ஆல் பெருக்கவும்.

கலப்பு எண்ணை ஒரு பின்னத்துடன் மாற்றினால், நாம் பெறுகிறோம் .

www.cleverstudents.ru

பின்னங்களை பெருக்குதல்

§ 140. வரையறைகள். 1) ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது முழு எண்களை பெருக்குவதைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது, அதாவது: ஒரு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு முழு எண் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்குவதாகும், இதில் ஒவ்வொரு காலமும் பெருக்கிக்கு சமம், மற்றும் சொற்களின் எண்ணிக்கை பெருக்கிக்கு சமம்.

எனவே 5 ஆல் பெருக்கினால் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிவது:
2) ஒரு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு பின்னம் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது பெருக்கத்தின் இந்த பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதை, நாம் முன்பு கருதிய, ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கல் என்று அழைப்போம்.

3) ஒரு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு கலப்பு எண்ணால் (காரணி) பெருக்குவது என்பது பெருக்கத்தை முதலில் பெருக்கியின் முழு எண் எண்ணால் பெருக்கி, பின்னர் பெருக்கியின் பின்னத்தால் பெருக்கி, இந்த இரண்டு பெருக்கல்களின் முடிவுகளை ஒன்றாகச் சேர்ப்பது.

உதாரணத்திற்கு:

இந்த எல்லா நிகழ்வுகளிலும் பெருக்கலுக்குப் பிறகு பெறப்பட்ட எண் அழைக்கப்படுகிறது வேலை, அதாவது முழு எண்களை பெருக்கும் போது அதே.

இந்த வரையறைகளிலிருந்து, பின்ன எண்களின் பெருக்கல் என்பது எப்போதும் சாத்தியமானது மற்றும் எப்போதும் தெளிவற்ற செயல் என்பது தெளிவாகிறது.

§ 141. இந்த வரையறைகளின் தேவை.பெருக்கத்தின் கடைசி இரண்டு வரையறைகளை எண்கணிதத்தில் அறிமுகப்படுத்துவதன் ஆலோசனையைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் சிக்கலை எடுத்துக் கொள்வோம்:

பணி. ஒரு ரயில், ஒரே சீராக நகரும், மணிக்கு 40 கி.மீ. இந்த ரயில் குறிப்பிட்ட மணிநேரத்தில் எத்தனை கிலோமீட்டர் பயணிக்கும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி?

முழு எண் கணிதத்தில் (சமமான சொற்களின் கூட்டல்) குறிக்கப்படும் பெருக்கத்தின் ஒரு வரையறையுடன் நாம் இருந்தால், எங்கள் பிரச்சனைக்கு மூன்று வெவ்வேறு தீர்வுகள் இருக்கும், அதாவது:

கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முழு எண்ணாக இருந்தால் (உதாரணமாக, 5 மணிநேரம்), சிக்கலைத் தீர்க்க நீங்கள் இந்த மணிநேர எண்ணிக்கையால் 40 கிமீ பெருக்க வேண்டும்.

கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்கள் பின்னமாக வெளிப்படுத்தப்பட்டால் (உதாரணமாக, ஒரு மணிநேரம்), இந்த பின்னத்தின் மதிப்பை 40 கிமீயிலிருந்து நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

இறுதியாக, கொடுக்கப்பட்ட மணிநேரங்களின் எண்ணிக்கை (உதாரணமாக, மணிநேரம்) கலந்திருந்தால், 40 கிமீ கலப்பு எண்ணில் உள்ள முழு எண்ணால் பெருக்கப்பட வேண்டும், அதன் விளைவாக 40 கிமீ மற்றொரு பகுதியை சேர்க்க வேண்டும். எண்.

நாங்கள் வழங்கிய வரையறைகள் இந்த சாத்தியமான எல்லா நிகழ்வுகளுக்கும் ஒரு பொதுவான பதிலை வழங்க அனுமதிக்கின்றன:

நீங்கள் 40 கிமீகளை குறிப்பிட்ட மணிநேரத்தால் பெருக்க வேண்டும், அது எதுவாக இருந்தாலும் சரி.

எனவே, சிக்கல் பின்வருமாறு பொதுவான வடிவத்தில் வழங்கப்பட்டால்:

ஒரு ரயில், ஒரே சீராக நகரும், ஒரு மணி நேரத்தில் வி கி.மீ. ஒரு மணி நேரத்தில் ரயில் எத்தனை கிலோமீட்டர் பயணிக்கும்?

பின்னர், v மற்றும் t எண்கள் எதுவாக இருந்தாலும், நாம் ஒரு பதிலைக் கொடுக்கலாம்: விரும்பிய எண் v · t சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது.

குறிப்பு. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சில பகுதியைக் கண்டறிவது, நமது வரையறையின்படி, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை இந்தப் பின்னத்தால் பெருக்குவது போன்றது; எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் 5% (அதாவது ஐந்நூறில்) கண்டறிவது என்பது கொடுக்கப்பட்ட எண்ணை ஆல் அல்லது ஆல் பெருக்குவது போன்றது; கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் 125% ஐக் கண்டறிவது என்பது இந்த எண்ணை ஆல் அல்லது ஆல் பெருக்குவது போன்றதாகும்.

§ 142. ஒரு எண் எப்போது அதிகரிக்கிறது மற்றும் பெருக்கலில் இருந்து எப்போது குறைகிறது என்பது பற்றிய குறிப்பு.

முறையான பின்னத்தால் பெருக்கினால் எண்ணிக்கை குறைகிறது, மேலும் முறையற்ற பின்னத்தால் பெருக்கினால் எண்ணை அதிகரிக்கிறது, இந்த முறையற்ற பின்னம் ஒன்றுக்கு அதிகமாக இருந்தால், அது ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால் மாறாமல் இருக்கும்.
கருத்து. பின்ன எண்களையும், முழு எண்களையும் பெருக்கும்போது, ​​எந்த காரணியும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், தயாரிப்பு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக எடுக்கப்படுகிறது, எனவே .

§ 143. பெருக்கல் விதிகளின் வழித்தோன்றல்.

1) ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல். ஒரு பகுதியை 5 ஆல் பெருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் 5 மடங்கு அதிகரித்தது. ஒரு பகுதியை 5 மடங்கு அதிகரிக்க, அதன் எண்ணிக்கையை அதிகரிக்க அல்லது அதன் வகுப்பை 5 மடங்கு குறைக்க போதுமானது (§ 127).

அதனால்தான்:
விதி 1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் இந்த முழு எண்ணால் எண்ணைப் பெருக்க வேண்டும், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விடவும்; அதற்குப் பதிலாக, நீங்கள் பின்னத்தின் வகுப்பினைக் கொடுக்கப்பட்ட முழு எண்ணால் வகுக்கலாம் (முடிந்தால்), மற்றும் எண்ணை அப்படியே விடவும்.

கருத்து. ஒரு பின்னம் மற்றும் அதன் வகுப்பின் பெருக்கல் அதன் எண்ணுக்கு சமம்.

அதனால்:
விதி 2. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் முழு எண்ணையும் பின்னத்தின் எண் மூலம் பெருக்கி, இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்ற வேண்டும், மேலும் இந்த பின்னத்தின் வகுப்பை வகுப்பாக கையொப்பமிட வேண்டும்.
விதி 3. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண் மற்றும் வகுப்பை வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் முதல் தயாரிப்பை எண்ணாகவும், இரண்டாவது தயாரிப்பின் வகுப்பாகவும் மாற்ற வேண்டும்.

கருத்து. இந்த விதியானது ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவதற்கும், ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதற்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். அதனால்:

எனவே, இப்போது கோடிட்டுக் காட்டப்பட்டுள்ள மூன்று விதிகள் ஒன்றில் உள்ளன, அவை பொதுவாக பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படலாம்:
4) கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.

விதி 4. கலப்பு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதிகளின்படி பெருக்க வேண்டும். உதாரணத்திற்கு:
§ 144. பெருக்கத்தின் போது குறைப்பு. பின்னங்களைப் பெருக்கும் போது, ​​முடிந்தால், பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளில் இருந்து பார்க்கக்கூடியது போல, பூர்வாங்க குறைப்பு செய்ய வேண்டியது அவசியம்:

அத்தகைய குறைப்பு செய்யப்படலாம், ஏனெனில் ஒரு பகுதியின் எண் மற்றும் வகுப்பினை ஒரே எண்ணிக்கையில் குறைக்கப்பட்டால் அதன் மதிப்பு மாறாது.

§ 145. மாற்றும் காரணிகளுடன் ஒரு தயாரிப்பை மாற்றுதல்.காரணிகள் மாறும்போது, ​​பகுதி எண்களின் பெருக்கமானது முழு எண்களின் (§ 53) பெருக்கத்தைப் போலவே மாறும், அதாவது: நீங்கள் எந்தக் காரணியையும் பல முறை அதிகரித்தால் (அல்லது குறைத்தால்) தயாரிப்பு அதிகரிக்கும் (அல்லது குறையும்) அதே அளவு மூலம்.

எனவே, எடுத்துக்காட்டில் இருந்தால்:
பல பின்னங்களைப் பெருக்க, நீங்கள் அவற்றின் எண்களை ஒன்றோடொன்றும், பிரிவினைகளை ஒன்றோடொன்றும் பெருக்கி, முதல் தயாரிப்பை எண்ணாகவும், இரண்டாவது தயாரிப்பின் வகுப்பாகவும் மாற்ற வேண்டும்.

கருத்து. எண்ணின் சில காரணிகள் முழு எண்களாகவோ அல்லது கலந்ததாகவோ இருக்கும் அத்தகைய தயாரிப்புகளுக்கும் இந்த விதி பயன்படுத்தப்படலாம், நாம் முழு எண்ணை ஒன்றின் வகுப்பைக் கொண்ட பின்னமாகக் கருதி, கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றினால் மட்டுமே. உதாரணத்திற்கு:
§ 147. பெருக்கத்தின் அடிப்படை பண்புகள்.முழு எண்களுக்கு (§ 56, 57, 59) நாங்கள் குறிப்பிட்டுள்ள பெருக்கத்தின் பண்புகள் பின்ன எண்களின் பெருக்கத்திற்கும் பொருந்தும். இந்த பண்புகளை குறிப்பிடுவோம்.

1) காரணிகள் மாறும்போது தயாரிப்பு மாறாது.

உதாரணத்திற்கு:

உண்மையில், முந்தைய பத்தியின் விதியின்படி, முதல் தயாரிப்பு பின்னத்திற்கு சமம், இரண்டாவது பின்னத்திற்கு சமம். ஆனால் இந்த பின்னங்கள் ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் அவற்றின் சொற்கள் முழு எண் காரணிகளின் வரிசையில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன, மேலும் காரணிகளின் இடங்கள் மாற்றப்படும்போது முழு எண்களின் பெருக்கமும் மாறாது.

2) எந்தவொரு காரணிகளின் குழுவும் அவற்றின் தயாரிப்பால் மாற்றப்பட்டால் தயாரிப்பு மாறாது.

உதாரணத்திற்கு:

முடிவுகளும் அப்படியே.

இந்த பெருக்கல் பண்புகளிலிருந்து பின்வரும் முடிவை எடுக்கலாம்:

ஒரு எண்ணை ஒரு பொருளால் பெருக்க, இந்த எண்ணை முதல் காரணியால் பெருக்கலாம், அதன் விளைவாக வரும் எண்ணை இரண்டால் பெருக்கலாம்.

உதாரணத்திற்கு:
3) பெருக்கத்தின் பகிர்வு விதி (கூடுதலுடன் தொடர்புடையது). ஒரு தொகையை எண்ணால் பெருக்க, ஒவ்வொரு சொல்லையும் அந்த எண்ணால் தனித்தனியாகப் பெருக்கி முடிவுகளைச் சேர்க்கலாம்.

முழு எண்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படும் இந்தச் சட்டம் எங்களால் விளக்கப்பட்டது (§ 59). பின்ன எண்களுக்கு எந்த மாற்றமும் இல்லாமல் உண்மையாகவே உள்ளது.

உண்மையில் சமத்துவம் என்பதை காட்டுவோம்

(a + b + c + .)m = am + bm + cm + .

(கூடுதலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் விநியோக விதி) எழுத்துக்கள் பின்ன எண்களைக் குறிக்கும் போதும் உண்மையாகவே இருக்கும். மூன்று வழக்குகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1) முதலில் எம் காரணி ஒரு முழு எண் என்று வைத்துக் கொள்வோம், உதாரணமாக m = 3 (a, b, c – எந்த எண்களும்). ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்கலின் வரையறையின்படி, நாம் எழுதலாம் (எளிமைக்கான மூன்று சொற்களுக்கு நம்மை வரம்பிடலாம்):

(a + b + c) * 3 = (a + b + c) + (a + b + c) + (a + b + c).

கூட்டல் தொடர்பான சட்டத்தின் அடிப்படையில், வலது பக்கத்தில் உள்ள அனைத்து அடைப்புக்குறிகளையும் நாம் தவிர்க்கலாம்; கூட்டல் என்ற மாற்றுச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், மீண்டும் இணைச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நாம் வெளிப்படையாக வலது பக்கத்தை பின்வருமாறு மீண்டும் எழுதலாம்:

(a + a + a) + (b + b + b) + (c + c + c).

(a + b + c) * 3 = a * 3 + b * 3 + c * 3.

இதன் பொருள் இந்த வழக்கில் விநியோக சட்டம் உறுதிப்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

பின்னங்களை பெருக்கி வகுத்தல்

பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது எப்படி என்பதைக் கடந்த முறை கற்றுக்கொண்டோம் ("பின்னங்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல்" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). அந்த செயல்களில் மிகவும் கடினமான பகுதி பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவது.

இப்போது பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் சமாளிக்க நேரம். நல்ல செய்தி என்னவென்றால், இந்த செயல்பாடுகள் கூட்டல் மற்றும் கழிப்பதை விட எளிமையானவை. முதலில், பிரிக்கப்பட்ட முழு எண் பகுதி இல்லாமல் இரண்டு நேர்மறை பின்னங்கள் இருக்கும்போது எளிமையான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இரண்டு பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்களையும் வகுப்பினையும் தனித்தனியாகப் பெருக்க வேண்டும். முதல் எண் புதிய பின்னத்தின் எண்ணாகவும், இரண்டாவது பிரிவாகவும் இருக்கும்.

இரண்டு பின்னங்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் முதல் பகுதியை "தலைகீழ்" இரண்டாவது பகுதியால் பெருக்க வேண்டும்.

பின்னங்களைப் பிரிப்பது பெருக்கமாகக் குறைகிறது என்பதை வரையறையிலிருந்து பின்பற்றுகிறது. ஒரு பகுதியை "புரட்ட", எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். எனவே, பாடம் முழுவதும் நாம் முக்கியமாக பெருக்கத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

பெருக்கத்தின் விளைவாக, குறைக்கக்கூடிய பின்னம் எழலாம் (பெரும்பாலும் எழுகிறது) - அது நிச்சயமாக குறைக்கப்பட வேண்டும். அனைத்து குறைப்புகளுக்குப் பிறகும் பின்னம் தவறாக மாறிவிட்டால், முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். ஆனால் பெருக்கினால் நிச்சயமாக நடக்காதது ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பதாகும்: குறுக்கு-குறுக்கு முறைகள் இல்லை, பெரிய காரணிகள் மற்றும் குறைவான பொதுவான மடங்குகள்.

வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

முழு பகுதிகள் மற்றும் எதிர்மறை பின்னங்களுடன் பின்னங்களை பெருக்குதல்

பின்னங்கள் ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்டிருந்தால், அவை முறையற்றவையாக மாற்றப்பட வேண்டும் - பின்னர் மட்டுமே மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டங்களின்படி பெருக்கப்படும்.

ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிலோ, வகுப்பிலோ அல்லது அதற்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் இருந்தால், அதை பின்வரும் விதிகளின்படி பெருக்கத்திலிருந்து எடுக்கலாம் அல்லது முழுவதுமாக அகற்றலாம்:

1. பிளஸ் பை மைனஸ் மைனஸ் கொடுக்கிறது;
2. இரண்டு எதிர்மறைகள் ஒரு உறுதிமொழியை உருவாக்குகின்றன.

இப்போது வரை, இந்த விதிகள் எதிர்மறையான பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் மட்டுமே சந்தித்தன, முழுப் பகுதியையும் அகற்ற வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால். ஒரு வேலையைப் பொறுத்தவரை, ஒரே நேரத்தில் பல குறைபாடுகளை "எரிக்க" அவை பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்:

1. அவர்கள் முற்றிலும் மறைந்து போகும் வரை நாம் ஜோடிகளாக எதிர்மறைகளை கடக்கிறோம். தீவிர நிகழ்வுகளில், ஒரு மைனஸ் உயிர்வாழ முடியும் - துணை இல்லாத ஒன்று;
2. மைனஸ்கள் எதுவும் இல்லை என்றால், செயல்பாடு முடிந்தது - நீங்கள் பெருக்க ஆரம்பிக்கலாம். அதற்கு ஜோடி இல்லாததால் கடைசி கழித்தல் கடக்கப்படாவிட்டால், பெருக்கத்தின் வரம்புக்கு வெளியே அதை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இதன் விளைவாக எதிர்மறை பின்னம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவையாக மாற்றுகிறோம், பின்னர் பெருக்கத்திலிருந்து கழித்தல்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம். வழக்கமான விதிகளின்படி மீதமுள்ளவற்றைப் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

தனிப்படுத்தப்பட்ட முழுப் பகுதியையும் கொண்ட பின்னத்தின் முன் தோன்றும் கழித்தல் அதன் முழுப் பகுதியையும் குறிப்பதில்லை, (இது கடைசி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பொருந்தும்) என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவுபடுத்துகிறேன்.

எதிர்மறை எண்களுக்கும் கவனம் செலுத்துங்கள்: பெருக்கும்போது, ​​அவை அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்படும். பெருக்கல் குறிகளிலிருந்து மைனஸ்களைப் பிரித்து முழுக் குறிப்பையும் துல்லியமாக மாற்றுவதற்காக இது செய்யப்படுகிறது.

பறக்கும்போது பின்னங்களைக் குறைத்தல்

பெருக்கல் என்பது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த செயலாகும். இங்குள்ள எண்கள் மிகப் பெரியதாக மாறிவிட்டன, மேலும் சிக்கலை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்னத்தை மேலும் குறைக்க முயற்சி செய்யலாம். பெருக்குவதற்கு முன். உண்மையில், சாராம்சத்தில், பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் சாதாரண காரணிகள், எனவே, அவை ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளிலும், குறைக்கப்பட்ட எண்கள் மற்றும் அவற்றில் எஞ்சியுள்ளவை சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: முதல் வழக்கில், பெருக்கிகள் முற்றிலும் குறைக்கப்பட்டன. அவற்றின் இடத்தில் பொதுவாக எழுதப்பட வேண்டிய அவசியமில்லாத அலகுகள் உள்ளன. இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், முழுமையான குறைப்பை அடைவது சாத்தியமில்லை, ஆனால் கணக்கீடுகளின் மொத்த அளவு இன்னும் குறைந்துள்ளது.

இருப்பினும், பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்! ஆம், சில நேரங்களில் நீங்கள் குறைக்க விரும்பும் ஒரே மாதிரியான எண்கள் உள்ளன. இதோ, பார்:

உன்னால் அது முடியாது!

பிழை நிகழ்கிறது, ஏனெனில் சேர்க்கும் போது, ​​ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிக்கையானது ஒரு தொகையை உருவாக்குகிறது, எண்களின் பெருக்கத்தை அல்ல. இதன் விளைவாக, ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தை பயன்படுத்துவது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் இந்த சொத்து குறிப்பாக எண்களின் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது.

பின்னங்களைக் குறைப்பதற்கு வேறு காரணங்கள் எதுவும் இல்லை, எனவே முந்தைய சிக்கலுக்கான சரியான தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சரியான பதில் மிகவும் அழகாக இல்லை. பொதுவாக, கவனமாக இருங்கள்.

பின்னங்களை பெருக்குதல்.

ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னம் அல்லது ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் சரியாகப் பெருக்க, நீங்கள் எளிய விதிகளை அறிந்து கொள்ள வேண்டும். இப்போது இந்த விதிகளை விரிவாக ஆராய்வோம்.

ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.

ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்களின் பெருக்கத்தையும் இந்த பின்னங்களின் வகுப்பின் பெருக்கத்தையும் கணக்கிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:
முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்தை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்கணிதத்துடன் பெருக்குகிறோம், மேலும் முதல் பின்னத்தின் வகுப்பையும் இரண்டாம் பின்னத்தின் வகுப்போடு பெருக்குகிறோம்.

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்.

முதலில், விதியை நினைவில் கொள்வோம், எந்த எண்ணையும் பின்னமாக குறிப்பிடலாம் \(\bf n = \frac \) .

பெருக்கும்போது இந்த விதியைப் பயன்படுத்துவோம்.

முறையற்ற பின்னம் \(\frac = \frac = \frac + \frac = 2 + \frac = 2\frac \\\) கலப்பு பின்னமாக மாற்றப்பட்டது.

வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, ​​எண்ணை எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட்டுவிடுகிறோம்.உதாரணமாக:

கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்.

கலப்பு பின்னங்களைப் பெருக்க, முதலில் ஒவ்வொரு கலப்புப் பின்னத்தையும் முறையற்ற பின்னமாகக் குறிப்பிட வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும். நாம் எண்ணைக் கொண்டு எண்ணைப் பெருக்குகிறோம், மேலும் வகுப்பைக் கொண்டு வகுப்பினைப் பெருக்குகிறோம்.

பரஸ்பர பின்னங்கள் மற்றும் எண்களின் பெருக்கல்.

தலைப்பில் கேள்விகள்:
ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கல் என்பது ஒரு எண் கொண்ட ஒரு எண், ஒரு வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு வகுப்பின் பெருக்கல் ஆகும். கலப்பு பின்னங்களின் உற்பத்தியைப் பெற, நீங்கள் அவற்றை ஒரு முறையற்ற பின்னமாக மாற்ற வேண்டும் மற்றும் விதிகளின்படி பெருக்க வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: பின்னங்கள் ஒரே மாதிரியான அல்லது வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருக்கின்றனவா என்பது முக்கியமல்ல, ஒரு எண் கொண்ட ஒரு எண், ஒரு வகுப்பைக் கொண்ட ஒரு எண் ஆகியவற்றைக் கண்டறியும் விதியின் படி பெருக்கல் நிகழ்கிறது.

கலப்பு பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது?
பதில்: முதலில், நீங்கள் கலப்பு பகுதியை தவறான பின்னமாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பெருக்கல் விதிகளைப் பயன்படுத்தி தயாரிப்பைக் கண்டறிய வேண்டும்.

ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது எப்படி?
பதில்: எண்ணைக் கொண்டு எண்ணைப் பெருக்குகிறோம், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடுகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு #1:
தயாரிப்பைக் கணக்கிடுக: a) \(\frac \times \frac \) b) \(\frac \times \frac \)

எடுத்துக்காட்டு #2:
ஒரு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியின் தயாரிப்புகளைக் கணக்கிடவும்: a) \(3 \time \frac \) b) \(\frac \times 11\)

எடுத்துக்காட்டு #3:
\(\frac \) பின்னத்தின் எதிரொலியை எழுதவா?
பதில்: \(\frac = 3\)

எடுத்துக்காட்டு #4:
இரண்டு பரஸ்பர தலைகீழ் பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுக: a) \(\frac \times \frac \)

எடுத்துக்காட்டு #5:
பரஸ்பர பின்னங்கள் இருக்க முடியுமா:
a) சரியான பின்னங்களுடன் ஒரே நேரத்தில்;
b) ஒரே நேரத்தில் முறையற்ற பின்னங்கள்;
c) ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்கள்?

தீர்வு:
அ) முதல் கேள்விக்கு பதிலளிக்க, ஒரு உதாரணம் தருவோம். பின்னம் \(\frac \) சரியானது, அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) - ஒரு முறையற்ற பின்னத்திற்கு சமமாக இருக்கும். பதில்: இல்லை.

b) கிட்டத்தட்ட அனைத்து பின்னங்களின் எண்ணிக்கையிலும் இந்த நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படவில்லை, ஆனால் ஒரே நேரத்தில் முறையற்ற பின்னமாக இருக்கும் நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் சில எண்கள் உள்ளன. எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு முறையற்ற பின்னம் \(\frac \) , அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) க்கு சமம். நாம் இரண்டு முறையற்ற பின்னங்களைப் பெறுகிறோம். பதில்: எப்பொழுதும் சில நிபந்தனைகளின் கீழ், எண் மற்றும் வகுத்தல் சமமாக இருக்கும் போது இல்லை.

c) இயற்கை எண்கள் எண்ணும் போது நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக, 1, 2, 3, .... \(3 = \frac \) எண்ணை எடுத்துக் கொண்டால், அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) ஆக இருக்கும். பின்னம் \(\frac \) ஒரு இயற்கை எண் அல்ல. நாம் எல்லா எண்களிலும் சென்றால், 1 ஐத் தவிர, எண்ணின் எதிரொலி எப்போதும் ஒரு பின்னமாக இருக்கும். நாம் எண் 1 ஐ எடுத்துக் கொண்டால், அதன் பரஸ்பர பின்னம் \(\frac = \frac = 1\) ஆக இருக்கும். எண் 1 என்பது இயற்கை எண். பதில்: இது எண் 1 ஆக இருந்தால், அவை ஒரே நேரத்தில் இயற்கை எண்களாக இருக்க முடியும்.

எடுத்துக்காட்டு #6:
கலப்பு பின்னங்களின் பலனைச் செய்யுங்கள்: a) \(4 \ மடங்கு 2\frac \) b) \(1\frac \times 3\frac \)

தீர்வு:
a) \(4 \times 2\frac = \frac \times \frac = \frac = 11\frac \\\\ \)
b) \(1\frac \times 3\frac = \frac \times \frac = \frac = 4\frac \)

எடுத்துக்காட்டு #7:
இரண்டு எதிரொலி எண்கள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியுமா?

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். ஒரு கலப்பு பின்னத்தை எடுத்துக்கொள்வோம், அதன் தலைகீழ் பகுதியைக் கண்டறியவும், இதைச் செய்ய, அதை முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுவோம் \(1\frac = \frac \) . அதன் தலைகீழ் பின்னம் \(\frac \) க்கு சமமாக இருக்கும். பின்னம் \(\frac\) ஒரு சரியான பின்னம். பதில்: ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறான இரண்டு பின்னங்கள் ஒரே நேரத்தில் கலப்பு எண்களாக இருக்க முடியாது.

ஒரு தசமத்தை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குதல்

பாடத்திற்கான விளக்கக்காட்சி

கவனம்! ஸ்லைடு மாதிரிக்காட்சிகள் தகவல் நோக்கங்களுக்காக மட்டுமே மற்றும் விளக்கக்காட்சியின் அனைத்து அம்சங்களையும் பிரதிநிதித்துவப்படுத்தாது. இந்த வேலையில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், முழு பதிப்பையும் பதிவிறக்கவும்.

• ஒரு வேடிக்கையான வழியில், தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால், இட மதிப்பு அலகு மூலம் பெருக்குவதற்கான விதி மற்றும் தசமப் பகுதியை சதவீதமாக வெளிப்படுத்தும் விதியை மாணவர்களுக்கு அறிமுகப்படுத்துங்கள். எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது வாங்கிய அறிவைப் பயன்படுத்துவதற்கான திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.
• மாணவர்களின் தர்க்கரீதியான சிந்தனையை வளர்த்து செயல்படுத்துதல், வடிவங்களை அடையாளம் கண்டு அவற்றைப் பொதுமைப்படுத்துதல், நினைவகத்தை வலுப்படுத்துதல், ஒத்துழைக்கும் திறன், உதவி வழங்குதல், அவர்களின் சொந்த வேலை மற்றும் ஒருவருக்கொருவர் வேலையை மதிப்பீடு செய்யும் திறன்.
• கணிதம், செயல்பாடு, இயக்கம் மற்றும் தகவல் தொடர்பு திறன் ஆகியவற்றில் ஆர்வத்தை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்.

உபகரணங்கள்:ஊடாடும் ஒயிட்போர்டு, சைபர்கிராம் கொண்ட சுவரொட்டி, கணிதவியலாளர்களின் அறிக்கைகள் கொண்ட சுவரொட்டிகள்.

1. ஏற்பாடு நேரம்.
2. வாய்வழி எண்கணிதம் - முன்னர் படித்த பொருளின் பொதுமைப்படுத்தல், புதிய பொருளைப் படிப்பதற்கான தயாரிப்பு.
3. புதிய பொருள் விளக்கம்.
4. வீட்டுப்பாடம்.
5. கணித உடற்கல்வி.
6. கணினியைப் பயன்படுத்தி விளையாட்டுத்தனமான முறையில் பெற்ற அறிவை பொதுமைப்படுத்துதல் மற்றும் முறைப்படுத்துதல்.
7. தரப்படுத்துதல்.

2. நண்பர்களே, இன்று எங்கள் பாடம் சற்று அசாதாரணமாக இருக்கும், ஏனென்றால் நான் தனியாக கற்பிக்க மாட்டேன், ஆனால் என் நண்பருடன். என் நண்பரும் அசாதாரணமானவர், நீங்கள் இப்போது அவரைப் பார்ப்பீர்கள். (ஒரு கார்ட்டூன் கணினி திரையில் தோன்றும்.) என் நண்பருக்கு ஒரு பெயர் இருக்கிறது, அவர் பேசக்கூடியவர். உன் பெயர் என்ன நண்பா? கொம்போஷா பதிலளிக்கிறார்: "என் பெயர் கொம்போஷா." இன்று எனக்கு உதவ நீங்கள் தயாரா? ஆம்! சரி, பாடத்தை ஆரம்பிக்கலாம்.

இன்று நான் ஒரு மறைகுறியாக்கப்பட்ட சைபர்கிராம் பெற்றேன், நண்பர்களே, அதை நாம் ஒன்றாக தீர்க்க வேண்டும் மற்றும் புரிந்து கொள்ள வேண்டும். (தசம பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கும் கழிப்பதற்கும் வாய்வழிக் கணக்கீட்டுடன் பலகையில் ஒரு சுவரொட்டி தொங்கவிடப்பட்டுள்ளது, இதன் விளைவாக குழந்தைகள் பின்வரும் குறியீட்டைப் பெறுகிறார்கள் 523914687. )

பெறப்பட்ட குறியீட்டைப் புரிந்துகொள்ள கொம்போஷா உதவுகிறது. டிகோடிங்கின் விளைவு MULTIPLICATION என்ற சொல். பெருக்கல் என்பது இன்றைய பாடத்தின் தலைப்பின் முக்கிய சொல். பாடத்தின் தலைப்பு மானிட்டரில் காட்டப்படும்: "தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குதல்"

நண்பர்களே, இயற்கை எண்களை எவ்வாறு பெருக்குவது என்பது எங்களுக்குத் தெரியும். தசம எண்களை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குவதை இன்று பார்ப்போம். ஒரு தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்குவது, சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் கருதப்படலாம், ஒவ்வொன்றும் இந்த தசமப் பகுதிக்கு சமம், மேலும் சொற்களின் எண்ணிக்கை இந்த இயற்கை எண்ணுக்குச் சமம். உதாரணமாக: 5.21 ·3 = 5.21 + 5.21 + 5.21 = 15.63 எனவே, 5.21 ·3 = 15.63. 5.21 ஐ ஒரு இயற்கை எண்ணுக்கு பொதுவான பின்னமாக வழங்கினால், நாம் பெறுகிறோம்

இந்த விஷயத்தில் எங்களுக்கு அதே முடிவு கிடைத்தது: 15.63. இப்போது, ​​கமாவைப் புறக்கணித்து, 5.21 என்ற எண்ணுக்குப் பதிலாக, 521 என்ற எண்ணை எடுத்து, இந்த இயற்கை எண்ணால் பெருக்கவும். காரணிகளில் ஒன்றில் கமா இரண்டு இடங்களுக்கு வலதுபுறமாக நகர்த்தப்பட்டது என்பதை இங்கே நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எண்கள் 5, 21 மற்றும் 3 ஐப் பெருக்கும்போது, ​​15.63 க்கு சமமான ஒரு பொருளைப் பெறுகிறோம். இப்போது இந்த எடுத்துக்காட்டில் கமாவை இடதுபுறமாக இரண்டு இடங்களுக்கு நகர்த்துகிறோம். இவ்வாறு, காரணிகளில் ஒன்று எத்தனை மடங்கு அதிகரித்தது, எத்தனை மடங்கு தயாரிப்பு குறைக்கப்பட்டது. இந்த முறைகளின் ஒற்றுமைகளின் அடிப்படையில், நாம் ஒரு முடிவை எடுப்போம்.

ஒரு தசமப் பகுதியை இயற்கை எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:
1) கமாவுக்கு கவனம் செலுத்தாமல், இயற்கை எண்களை பெருக்கவும்;
2) விளைந்த தயாரிப்பில், தசமப் பகுதியிலுள்ள பல இலக்கங்களை வலப்பக்கத்தில் இருந்து கமாவால் பிரிக்கவும்.

பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகள் மானிட்டரில் காட்டப்படும், நாங்கள் கொம்போஷா மற்றும் தோழர்களுடன் சேர்ந்து பகுப்பாய்வு செய்கிறோம்: 5.21 ·3 = 15.63 மற்றும் 7.624 ·15 = 114.34. பின்னர் நான் 12.6 · 50 = 630 என்ற வட்ட எண் மூலம் பெருக்கத்தைக் காட்டுகிறேன். அடுத்து, ஒரு தசமப் பகுதியை இட மதிப்பு அலகு மூலம் பெருக்குகிறேன். நான் பின்வரும் எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகிறேன்: 7.423 · 100 = 742.3 மற்றும் 5.2 · 1000 = 5200. எனவே, ஒரு தசமப் பகுதியை இலக்க அலகு மூலம் பெருக்குவதற்கான விதியை அறிமுகப்படுத்துகிறேன்:

இலக்க அலகுகளான 10, 100, 1000, போன்றவற்றால் ஒரு தசமப் பகுதியைப் பெருக்க, இலக்க அலகில் பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும் அளவுக்கு இந்தப் பின்னத்தில் உள்ள தசமப் புள்ளியை வலப்புறமாக நகர்த்த வேண்டும்.

தசம பகுதியை ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்தி எனது விளக்கத்தை முடிக்கிறேன். நான் விதியை அறிமுகப்படுத்துகிறேன்:

ஒரு தசம பகுதியை ஒரு சதவீதமாக வெளிப்படுத்த, நீங்கள் அதை 100 ஆல் பெருக்கி % குறியைச் சேர்க்க வேண்டும்.

கணினியில் ஒரு உதாரணம் தருகிறேன்: 0.5 100 = 50 அல்லது 0.5 = 50%.

4. விளக்கத்தின் முடிவில், நான் தோழர்களுக்கு வீட்டுப்பாடம் கொடுக்கிறேன், இது கணினி மானிட்டரிலும் காட்டப்படும்: № 1030, № 1034, № 1032.

5. தோழர்களே சிறிது ஓய்வெடுக்க, தலைப்பை ஒருங்கிணைக்க கொம்போஷாவுடன் சேர்ந்து கணித உடற்கல்வி அமர்வை நடத்துகிறோம். எல்லோரும் எழுந்து நிற்கிறார்கள், தீர்க்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளை வகுப்பிற்குக் காட்டுகிறார்கள், மேலும் உதாரணம் சரியாக அல்லது தவறாக தீர்க்கப்பட்டதா என்று அவர்கள் பதிலளிக்க வேண்டும். உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்பட்டால், அவர்கள் தங்கள் கைகளை தலைக்கு மேலே உயர்த்தி, உள்ளங்கையில் கைதட்டுகிறார்கள். உதாரணம் சரியாக தீர்க்கப்படாவிட்டால், தோழர்களே தங்கள் கைகளை பக்கங்களுக்கு நீட்டி, விரல்களை நீட்டுகிறார்கள்.

6. இப்போது நீங்கள் சிறிது ஓய்வெடுத்துள்ளீர்கள், நீங்கள் பணிகளை தீர்க்க முடியும். உங்கள் பாடப்புத்தகத்தை பக்கம் 205 இல் திறக்கவும். № 1029. இந்த பணியில் நீங்கள் வெளிப்பாடுகளின் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும்:

பணிகள் கணினியில் தோன்றும். அவை தீர்க்கப்படும்போது, ​​ஒரு படகின் உருவத்துடன் ஒரு படம் தோன்றுகிறது, அது முழுமையாக கூடியதும் மிதக்கிறது.

கணினியில் இந்தப் பணியைத் தீர்ப்பதன் மூலம், கடைசி உதாரணத்தைத் தீர்த்த பிறகு, ராக்கெட் படிப்படியாக மடிகிறது. ஆசிரியர் மாணவர்களுக்கு ஒரு சிறிய தகவலைத் தருகிறார்: “ஒவ்வொரு ஆண்டும், பைகோனூர் காஸ்மோட்ரோமில் இருந்து கஜகஸ்தானின் மண்ணிலிருந்து நட்சத்திரங்களுக்கு விண்கலங்கள் புறப்படுகின்றன. பைகோனூர் அருகே கஜகஸ்தான் அதன் புதிய பைடெரெக் காஸ்மோட்ரோமைக் கட்டுகிறது.

பயணிகள் காரின் வேகம் மணிக்கு 74.8 கிமீ என்றால், ஒரு பயணிகள் கார் 4 மணி நேரத்தில் எவ்வளவு தூரம் பயணிக்கும்.

பரிசு சான்றிதழ் உங்கள் குறிப்பிடத்தக்க மற்றவர்களுக்கு, நண்பர்கள், பணியாளர்கள், உறவினர்களுக்கு என்ன கொடுக்க வேண்டும் என்று தெரியவில்லையா? எங்கள் சிறப்பு சலுகையைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள்: "ப்ளூ செட்ஜ் கன்ட்ரி ஹோட்டலுக்கான பரிசுச் சான்றிதழ்."

நடுத்தர மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளி படிப்புகளில், மாணவர்கள் "பின்னங்கள்" என்ற தலைப்பை உள்ளடக்கினர். இருப்பினும், இந்த கருத்து கற்றல் செயல்பாட்டில் கொடுக்கப்பட்டதை விட மிகவும் விரிவானது. இன்று, ஒரு பின்னத்தின் கருத்து அடிக்கடி எதிர்கொள்ளப்படுகிறது, மேலும் ஒவ்வொருவரும் எந்த வெளிப்பாட்டையும் கணக்கிட முடியாது, எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களை பெருக்குதல்.

பின்னம் என்றால் என்ன?

வரலாற்று ரீதியாக, பகுதி எண்கள் அளவிட வேண்டிய தேவையிலிருந்து எழுந்தன. நடைமுறையில் காண்பிக்கிறபடி, ஒரு பிரிவின் நீளம் மற்றும் ஒரு செவ்வக செவ்வகத்தின் அளவை தீர்மானிப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் பெரும்பாலும் உள்ளன.

ஆரம்பத்தில், மாணவர்களுக்கு ஒரு பங்கு என்ற கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு தர்பூசணியை 8 பகுதிகளாகப் பிரித்தால், ஒவ்வொருவருக்கும் தர்பூசணியில் எட்டில் ஒரு பங்கு கிடைக்கும். இந்த எட்டில் ஒரு பகுதி பங்கு எனப்படும்.

எந்த மதிப்பிலும் ½க்கு சமமான பங்கு பாதி எனப்படும்; ⅓ - மூன்றாவது; ¼ - கால். 5/8, 4/5, 2/4 படிவத்தின் பதிவுகள் சாதாரண பின்னங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. ஒரு பொதுவான பின்னம் ஒரு எண் மற்றும் ஒரு வகுப்பாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. அவற்றுக்கிடையே பின்னம் பட்டை அல்லது பின்னம் பட்டை உள்ளது. பின்னக் கோட்டை ஒரு கிடைமட்ட அல்லது சாய்ந்த கோடாக வரையலாம். இந்த வழக்கில், இது பிரிவு அடையாளத்தைக் குறிக்கிறது.

அளவு அல்லது பொருள் எத்தனை சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை வகுத்தல் குறிக்கிறது; மற்றும் ஒரே மாதிரியான எத்தனை பங்குகள் எடுக்கப்படுகின்றன என்பதுதான் எண். பின்னக் கோட்டிற்கு மேலே எண் எழுதப்பட்டுள்ளது, அதன் கீழே வகுப்பு எழுதப்பட்டுள்ளது.

ஒரு ஆயக் கதிரில் சாதாரண பின்னங்களைக் காண்பிப்பது மிகவும் வசதியானது. ஒரு பகுதி 4 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்பட்டால், ஒவ்வொரு பகுதியும் ஒரு லத்தீன் எழுத்தால் நியமிக்கப்பட்டால், இதன் விளைவாக ஒரு சிறந்த காட்சி உதவியாக இருக்கும். எனவே, புள்ளி A ஆனது முழு யூனிட் பிரிவின் 1/4 க்கு சமமான பங்கைக் காட்டுகிறது, மேலும் புள்ளி B என்பது கொடுக்கப்பட்ட பிரிவின் 2/8 ஐக் குறிக்கிறது.

பின்னங்களின் வகைகள்

பின்னங்கள் சாதாரண, தசம மற்றும் கலப்பு எண்களாக இருக்கலாம். கூடுதலாக, பின்னங்களை சரியான மற்றும் முறையற்றதாக பிரிக்கலாம். இந்த வகைப்பாடு சாதாரண பின்னங்களுக்கு மிகவும் பொருத்தமானது.

சரியான பின்னம் என்பது அதன் வகுப்பினை விடக் குறைவாக உள்ள எண்ணாகும். அதன்படி, ஒரு முறையற்ற பின்னம் என்பது அதன் வகுப்பினை விட எண் அதிகமாக இருக்கும் எண்ணாகும். இரண்டாவது வகை பொதுவாக கலப்பு எண்ணாக எழுதப்படுகிறது. இந்த வெளிப்பாடு ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியளவு பகுதியைக் கொண்டுள்ளது. உதாரணமாக, 1½. 1 ஒரு முழு எண் பகுதி, ½ என்பது ஒரு பகுதியளவு பகுதி. இருப்பினும், நீங்கள் வெளிப்பாட்டுடன் சில கையாளுதல்களைச் செய்ய வேண்டும் என்றால் (பின்னங்களைப் பிரித்தல் அல்லது பெருக்குதல், அவற்றைக் குறைத்தல் அல்லது மாற்றுதல்), கலப்பு எண் தவறான பின்னமாக மாற்றப்படும்.

சரியான பின்னம் வெளிப்பாடு எப்போதும் ஒன்றை விட குறைவாக இருக்கும், மேலும் தவறானது எப்போதும் 1 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும்.

இந்த வெளிப்பாட்டைப் பொறுத்தவரை, எந்தவொரு எண்ணும் குறிப்பிடப்படும் ஒரு பதிவைக் குறிக்கிறோம், அதன் பகுதியளவு வெளிப்பாட்டின் வகுப்பானது பல பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட ஒன்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம். பின்னம் சரியாக இருந்தால், தசம குறியீட்டில் உள்ள முழு எண் பகுதி பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.

ஒரு தசமப் பகுதியை எழுத, நீங்கள் முதலில் முழுப் பகுதியையும் எழுத வேண்டும், கமாவைப் பயன்படுத்தி பின்னத்திலிருந்து பிரித்து, பின்னம் வெளிப்பாட்டை எழுத வேண்டும். தசம புள்ளிக்குப் பிறகு, எண் வகுப்பில் பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும் அதே எண்ணிக்கையிலான டிஜிட்டல் எழுத்துகள் இருக்க வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

உதாரணமாக. பின்னம் 7 21 / 1000 ஐ தசம குறியீட்டில் வெளிப்படுத்தவும்.

முறையற்ற பின்னத்தை கலப்பு எண்ணாகவும், நேர்மாறாகவும் மாற்றுவதற்கான அல்காரிதம்

சிக்கலுக்கான பதிலில் தவறான பின்னத்தை எழுதுவது தவறானது, எனவே அதை கலப்பு எண்ணாக மாற்ற வேண்டும்:

• தற்போதுள்ள வகுப்பினால் எண்ணை வகுக்கவும்;
• ஒரு குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டில், முழுமையடையாத பகுதி முழுமை;
• மற்றும் எஞ்சிய பகுதியின் பகுதியின் எண் ஆகும், வகுத்தல் மாறாமல் இருக்கும்.

உதாரணமாக. முறையற்ற பின்னத்தை கலப்பு எண்ணாக மாற்றவும்: 47/5.

தீர்வு. 47: 5. பகுதி அளவு 9, மீதி = 2. எனவே, 47 / 5 = 9 2 / 5.

சில நேரங்களில் நீங்கள் ஒரு கலப்பு எண்ணை தவறான பின்னமாக குறிப்பிட வேண்டும். பின்னர் நீங்கள் பின்வரும் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

• முழு எண் பகுதியானது பகுதியளவு வெளிப்பாட்டின் வகுப்பினால் பெருக்கப்படுகிறது;
• இதன் விளைவாக தயாரிப்பு எண்களில் சேர்க்கப்படுகிறது;
• முடிவு எண்ணில் எழுதப்பட்டுள்ளது, வகுத்தல் மாறாமல் இருக்கும்.

உதாரணமாக. தவறான பின்னமாக கலப்பு வடிவத்தில் எண்ணை வழங்கவும்: 9 8 / 10.

தீர்வு. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 என்பது எண்.

பதில்: 98 / 10.

பின்னங்களை பெருக்குதல்

பல்வேறு இயற்கணித செயல்பாடுகளை சாதாரண பின்னங்களில் செய்ய முடியும். இரண்டு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண்ணுடன் பெருக்க வேண்டும். மேலும், வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டு பின்னங்களைப் பெருக்குவது, ஒரே வகுப்பில் உள்ள பின்னங்களைப் பெருக்குவதில் இருந்து வேறுபட்டதல்ல.

முடிவைக் கண்டறிந்த பிறகு, நீங்கள் பகுதியைக் குறைக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக வெளிப்பாட்டை முடிந்தவரை எளிதாக்குவது கட்டாயமாகும். நிச்சயமாக, ஒரு பதிலில் ஒரு தவறான பின்னம் ஒரு பிழை என்று சொல்ல முடியாது, ஆனால் அதை சரியான பதில் என்று அழைப்பதும் கடினம்.

உதாரணமாக. இரண்டு சாதாரண பின்னங்களின் பலனைக் கண்டறியவும்: ½ மற்றும் 20/18.

எடுத்துக்காட்டில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், தயாரிப்பைக் கண்டுபிடித்த பிறகு, குறைக்கக்கூடிய பகுதி குறியீடு பெறப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் எண் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டும் 4 ஆல் வகுக்கப்படுகின்றன, இதன் விளைவாக பதில் 5/9 ஆகும்.

தசம பின்னங்களை பெருக்குதல்

தசம பின்னங்களின் பலன் அதன் கொள்கையில் சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கத்திலிருந்து முற்றிலும் வேறுபட்டது. எனவே, பின்னங்களை பெருக்குவது பின்வருமாறு:

• இரண்டு தசம பின்னங்கள் ஒன்றின் கீழ் மற்றொன்றின் கீழ் எழுதப்பட வேண்டும், இதனால் வலதுபுற இலக்கங்கள் ஒன்றின் கீழ் ஒன்றாக இருக்கும்;
• நீங்கள் எழுதப்பட்ட எண்களை, காற்புள்ளிகள் இருந்தபோதிலும், அதாவது இயற்கை எண்களாகப் பெருக்க வேண்டும்;
• ஒவ்வொரு எண்ணிலும் தசம புள்ளிக்குப் பிறகு இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை எண்ணுங்கள்;
• பெருக்கலுக்குப் பிறகு பெறப்பட்ட முடிவில், தசமப் புள்ளிக்குப் பிறகு இரண்டு காரணிகளிலும் கூட்டுத்தொகையில் உள்ள பல டிஜிட்டல் சின்னங்களை நீங்கள் வலதுபுறத்தில் இருந்து எண்ணி, பிரிக்கும் அடையாளத்தை வைக்க வேண்டும்;
• தயாரிப்பில் குறைவான எண்கள் இருந்தால், இந்த எண்ணை மறைக்க அவற்றின் முன் பல பூஜ்ஜியங்களை எழுத வேண்டும், கமாவை வைத்து முழு பகுதியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக சேர்க்க வேண்டும்.

உதாரணமாக. இரண்டு தசம பின்னங்களின் பலனைக் கணக்கிடுக: 2.25 மற்றும் 3.6.

தீர்வு.

கலப்பு பின்னங்களை பெருக்குதல்

இரண்டு கலப்பு பின்னங்களின் உற்பத்தியைக் கணக்கிட, பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கான விதியைப் பயன்படுத்த வேண்டும்:

• கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றவும்;
• எண்களின் பலனைக் கண்டறியவும்;
• பிரிவின் பலனைக் கண்டறியவும்;
• முடிவை எழுதுங்கள்;
• முடிந்தவரை வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள்.

உதாரணமாக. 4½ மற்றும் 6 2/5 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

ஒரு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல் (ஒரு எண்ணால் பின்னங்கள்)

இரண்டு பின்னங்கள் மற்றும் கலப்பு எண்களின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிவதைத் தவிர, நீங்கள் ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க வேண்டிய பணிகள் உள்ளன.

எனவே, ஒரு தசம பின்னம் மற்றும் இயற்கை எண்ணின் விளைபொருளைக் கண்டறிய, உங்களுக்குத் தேவை:

• பின்னத்தின் கீழ் எண்ணை எழுதவும், இதனால் வலதுபுற இலக்கங்கள் ஒன்றின் மேல் ஒன்றாக இருக்கும்;
• காற்புள்ளி இருந்தபோதிலும் தயாரிப்பு கண்டுபிடிக்க;
• இதன் விளைவாக வரும் முடிவில், பகுதியிலுள்ள பகுதியிலிருந்து முழு எண் பகுதியை கமாவைப் பயன்படுத்தி பிரிக்கவும், பின்னத்தில் உள்ள தசமப் புள்ளிக்குப் பிறகு அமைந்துள்ள இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையை வலதுபுறத்தில் இருந்து எண்ணவும்.

ஒரு பொதுவான பின்னத்தை ஒரு எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் எண் மற்றும் இயற்கை காரணியின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிய வேண்டும். பதில் குறைக்கப்படக்கூடிய ஒரு பின்னமாக இருந்தால், அதை மாற்ற வேண்டும்.

உதாரணமாக. 5/8 மற்றும் 12 இன் பலனைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.

பதில்: 7 1 / 2.

முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் இருந்து நீங்கள் பார்க்கக்கூடியது போல, இதன் விளைவாக வரும் முடிவைக் குறைப்பது மற்றும் தவறான பகுதியளவு வெளிப்பாட்டை கலப்பு எண்ணாக மாற்றுவது அவசியம்.

பின்னங்களின் பெருக்கல் என்பது கலப்பு வடிவத்திலும் இயற்கையான காரணியிலும் எண்ணின் பெருக்கத்தைக் கண்டறிவதும் ஆகும். இந்த இரண்டு எண்களையும் பெருக்க, கலப்புக் காரணியின் முழுப் பகுதியையும் எண்ணால் பெருக்க வேண்டும், அதே மதிப்பால் எண்ணைப் பெருக்கி, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும். தேவைப்பட்டால், விளைந்த முடிவை முடிந்தவரை எளிதாக்க வேண்டும்.

உதாரணமாக. 9 5 / 6 மற்றும் 9 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.

பதில்: 88 1 / 2.

10, 100, 1000 அல்லது 0.1 காரணிகளால் பெருக்கல்; 0.01; 0.001

பின்வரும் விதி முந்தைய பத்தியிலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. ஒரு தசமப் பகுதியை 10, 100, 1000, 10000, போன்றவற்றால் பெருக்க, தசமப் புள்ளியை பல இலக்கங்களால் வலதுபுறமாக நகர்த்த வேண்டும்.

உதாரணம் 1. 0.065 மற்றும் 1000 இன் பலனைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.

பதில்: 65.

எடுத்துக்காட்டு 2. 3.9 மற்றும் 1000 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.

பதில்: 3900.

நீங்கள் ஒரு இயற்கை எண் மற்றும் 0.1 ஐ பெருக்க வேண்டும் என்றால்; 0.01; 0.001; 0.0001, முதலியன., விளைந்த தயாரிப்பில் உள்ள கமாவை ஒன்றுக்கு முன் பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும் அளவுக்கு பல இலக்க எழுத்துகளால் இடதுபுறமாக நகர்த்த வேண்டும். தேவைப்பட்டால், இயற்கை எண்ணுக்கு முன் போதுமான எண்ணிக்கையிலான பூஜ்ஜியங்கள் எழுதப்படும்.

உதாரணம் 1. 56 மற்றும் 0.01 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.

பதில்: 0,56.

எடுத்துக்காட்டு 2. 4 மற்றும் 0.001 இன் பலன்களைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.

பதில்: 0,004.

எனவே, வெவ்வேறு பின்னங்களின் விளைபொருளைக் கண்டறிவது, ஒருவேளை முடிவைக் கணக்கிடுவதைத் தவிர, எந்த சிரமத்தையும் ஏற்படுத்தக்கூடாது; இந்த வழக்கில், நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டர் இல்லாமல் செய்ய முடியாது.

§ 87. பின்னங்கள் சேர்த்தல்.

பின்னங்களைச் சேர்ப்பது முழு எண்களைச் சேர்ப்பதில் பல ஒற்றுமைகள் உள்ளன. பின்னங்களைச் சேர்ப்பது என்பது பல கொடுக்கப்பட்ட எண்கள் (விதிமுறைகள்) ஒரு எண்ணாக (தொகை) இணைக்கப்பட்டு, விதிமுறைகளின் அலகுகளின் அனைத்து அலகுகள் மற்றும் பின்னங்களைக் கொண்ட ஒரு செயலாகும்.

நாங்கள் மூன்று வழக்குகளை தொடர்ச்சியாக பரிசீலிப்போம்:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.
3. கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்.

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்: 1/5 + 2/5.

AB பிரிவை எடுத்துக் கொள்வோம் (படம் 17), அதை ஒன்றாக எடுத்து 5 சம பாகங்களாகப் பிரித்தால், இந்தப் பிரிவின் AC பகுதி AB இன் 1/5க்கு சமமாக இருக்கும், அதே பகுதி CD யின் பகுதி சமமாக இருக்கும். 2/5 ஏபி.

AD பிரிவை எடுத்துக் கொண்டால், அது 3/5 AB க்கு சமமாக இருக்கும் என்பது வரைபடத்திலிருந்து தெளிவாகிறது; ஆனால் பிரிவு AD என்பது துல்லியமாக AC மற்றும் CD ஆகிய பிரிவுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும். எனவே நாம் எழுதலாம்:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

இந்த விதிமுறைகளையும் அதன் விளைவாக வரும் தொகையையும் கருத்தில் கொண்டு, சொற்களின் எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் கூட்டுத்தொகையின் எண் கிடைத்ததையும், வகுத்தல் மாறாமல் இருப்பதையும் காண்கிறோம்.

இதிலிருந்து நாம் பின்வரும் விதியைப் பெறுகிறோம்: ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, அதே வகுப்பை விட்டுவிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்.

பின்னங்களைச் சேர்ப்போம்: 3 / 4 + 3 / 8 முதலில் அவை குறைந்த பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்:

இடைநிலை இணைப்பு 6/8 + 3/8 எழுத முடியவில்லை; அதை தெளிவுபடுத்த இங்கு எழுதியுள்ளோம்.

எனவே, வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றைக் குறைந்த பொது வகுப்பிற்குக் குறைத்து, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, பொதுவான வகுப்பினை லேபிளிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம் (தொடர்புடைய பின்னங்களுக்கு மேலே கூடுதல் காரணிகளை எழுதுவோம்):

3. கலப்பு எண்களைச் சேர்த்தல்.

எண்களைச் சேர்ப்போம்: 2 3/8 + 3 5/6.

முதலில் நமது எண்களின் பகுதிகளை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வந்து மீண்டும் எழுதுவோம்:

இப்போது நாம் முழு எண் மற்றும் பின்ன பகுதிகளை வரிசையாக சேர்க்கிறோம்:

§ 88. பின்னங்களின் கழித்தல்.

பின்னங்களைக் கழிப்பது முழு எண்களைக் கழிப்பதைப் போலவே வரையறுக்கப்படுகிறது. இது ஒரு செயலாகும், இதன் உதவியுடன், இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் அவற்றில் ஒன்று, மற்றொரு சொல் காணப்படுகிறது. அடுத்தடுத்து மூன்று நிகழ்வுகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.
3. கலப்பு எண்களின் கழித்தல்.

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

13 / 15 - 4 / 15

AB பிரிவை எடுத்துக்கொள்வோம் (படம் 18), அதை ஒரு அலகாக எடுத்து 15 சம பாகங்களாக பிரிக்கவும்; இந்த பிரிவின் பகுதி AC AB இன் 1/15 ஐக் குறிக்கும், அதே பிரிவின் பகுதி AD 13/15 AB க்கு ஒத்திருக்கும். 4/15 AB க்கு சமமான மற்றொரு பிரிவான ED ஐ ஒதுக்குவோம்.

4/15 என்ற பின்னத்தை 13/15 இலிருந்து கழிக்க வேண்டும். வரைபடத்தில், பிரிவு ED பிரிவிலிருந்து AD கழிக்கப்பட வேண்டும் என்பதாகும். இதன் விளைவாக, பிரிவு AE இருக்கும், இது AB பிரிவின் 9/15 ஆகும். எனவே நாம் எழுதலாம்:

நாங்கள் செய்த உதாரணம், எண்களைக் கழிப்பதன் மூலம் வேறுபாட்டின் எண் பெறப்பட்டது என்பதைக் காட்டுகிறது, ஆனால் வகுத்தல் அப்படியே இருந்தது.

எனவே, ஒத்த வகுப்பிகளுடன் பின்னங்களைக் கழிக்க, மினுஎண்டின் எண்ணிலிருந்து சப்ட்ராஹெண்டின் எண்ணைக் கழித்து, அதே வகுப்பை விட்டுவிட வேண்டும்.

2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்.

உதாரணமாக. 3/4 - 5/8

முதலில், இந்த பின்னங்களை மிகக் குறைந்த பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்போம்:

இடைநிலை 6 / 8 - 5 / 8 தெளிவுக்காக இங்கே எழுதப்பட்டுள்ளது, ஆனால் பின்னர் தவிர்க்கலாம்.

எனவே, ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றை மிகக் குறைந்த பொது வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும், பின்னர் மினுவெண்டின் எண்ணிலிருந்து மினுவெண்டின் எண்களைக் கழித்து, அவற்றின் வேறுபாட்டின் கீழ் பொதுவான வகுப்பில் கையொப்பமிட வேண்டும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

3. கலப்பு எண்களின் கழித்தல்.

உதாரணமாக. 10 3/4 - 7 2/3.

மினுஎண்டின் பின்னப் பகுதிகளைக் குறைப்போம் மற்றும் மிகக் குறைந்த பொது வகுப்பிற்கு துணைப் பிடிப்போம்:

ஒரு முழுமையிலிருந்து ஒரு முழுமையையும், ஒரு பகுதியிலிருந்து ஒரு பகுதியையும் கழித்தோம். ஆனால் குறைக்கப்பட்டவற்றின் பகுதியளவு பகுதியை விடக் கழிக்கப்படும் பகுதி அதிகமாக இருக்கும் சந்தர்ப்பங்கள் உள்ளன. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், நீங்கள் மினுவெண்டின் முழுப் பகுதியிலிருந்தும் ஒரு யூனிட்டை எடுத்து, பகுதியளவு வெளிப்படுத்தப்பட்ட பகுதிகளாகப் பிரித்து, மினுவெண்டின் பகுதியளவு பகுதியுடன் சேர்க்க வேண்டும். பின்னர் கழித்தல் முந்தைய எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போலவே செய்யப்படும்:

§ 89. பின்னங்களின் பெருக்கல்.

பின்னம் பெருக்கத்தைப் படிக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல்.
2. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல்.
3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
4. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.
5. கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.
6. வட்டி கருத்து.
7. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சதவீதத்தைக் கண்டறிதல். அவற்றை வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குதல்.

ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குவது முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது போன்ற அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு பகுதியை (பெருக்கி) ஒரு முழு எண் (காரணி) மூலம் பெருக்குவது என்பது ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை உருவாக்குவதாகும்.

இதன் பொருள் நீங்கள் 1/9 ஐ 7 ஆல் பெருக்க வேண்டும் என்றால், அதை இப்படி செய்யலாம்:

ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கு நடவடிக்கை குறைக்கப்பட்டதால், முடிவை எளிதாகப் பெற்றோம். எனவே,

இந்தச் செயலைக் கருத்தில் கொண்டால், ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் பெருக்குவது, முழு எண்ணில் எத்தனை அலகுகள் இருக்கிறதோ, அவ்வளவு முறை இந்தப் பின்னத்தை அதிகரிப்பதற்குச் சமம் என்பதைக் காட்டுகிறது. மேலும் ஒரு பகுதியை அதிகரிப்பதால் அதன் எண்ணிக்கையை அதிகரிப்பதன் மூலம் அடையலாம்

அல்லது அதன் பிரிவைக் குறைப்பதன் மூலம் , அப்படிப் பிரித்தல் சாத்தியம் என்றால், நாம் எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்கலாம் அல்லது வகுப்பை அதன் மூலம் வகுக்கலாம்.

இங்கிருந்து நாம் விதியைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்க, நீங்கள் அந்த முழு எண்ணால் எண்ணைப் பெருக்கி, வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடுங்கள் அல்லது முடிந்தால், அந்த எண்ணால் வகுப்பினைப் பிரித்து, அந்த எண்ணை மாற்றாமல் விடவும்.

பெருக்கும்போது, ​​சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

2. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல்.கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க அல்லது கணக்கிட வேண்டிய பல சிக்கல்கள் உள்ளன. இந்த சிக்கல்களுக்கும் மற்றவற்றுக்கும் உள்ள வித்தியாசம் என்னவென்றால், அவை சில பொருள்களின் எண்ணிக்கை அல்லது அளவீட்டு அலகுகளைக் கொடுக்கின்றன, மேலும் இந்த எண்ணின் ஒரு பகுதியை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், இது ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியாலும் குறிக்கப்படுகிறது. புரிந்துகொள்வதற்கு வசதியாக, முதலில் இதுபோன்ற சிக்கல்களின் உதாரணங்களைத் தருவோம், பின்னர் அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான ஒரு முறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

பணி 1.என்னிடம் 60 ரூபிள் இருந்தது; இந்தப் பணத்தில் 1/3 பங்கு புத்தகங்கள் வாங்கச் செலவு செய்தேன். புத்தகங்களின் விலை எவ்வளவு?

பணி 2.ரயில் ஏ மற்றும் பி நகரங்களுக்கு இடையே 300 கிமீ தூரம் பயணிக்க வேண்டும். அவர் ஏற்கனவே இந்த தூரத்தில் 2/3 ஐ கடந்துள்ளார். இது எத்தனை கிலோமீட்டர்?

பணி 3.கிராமத்தில் 400 வீடுகள் உள்ளன, அவற்றில் 3/4 செங்கல், மீதமுள்ளவை மர. மொத்தம் எத்தனை செங்கல் வீடுகள் உள்ளன?

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதில் நாம் சந்திக்கும் பல சிக்கல்களில் சில இவை. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிய அவை பொதுவாக சிக்கல்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

பிரச்சனைக்கு தீர்வு 1. 60 ரூபிள் இருந்து. நான் 1/3 புத்தகங்களுக்கு செலவு செய்தேன்; இதன் பொருள் புத்தகங்களின் விலையைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் 60 என்ற எண்ணை 3 ஆல் வகுக்க வேண்டும்:

சிக்கலைத் தீர்ப்பது 2.பிரச்சனையின் புள்ளி நீங்கள் 300 கிமீ 2/3 கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 300ல் 1/3ஐக் கணக்கிடுவோம்; 300 கிமீ 3 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் இது அடையப்படுகிறது:

300: 3 = 100 (அது 300 இல் 1/3).

300-ல் மூன்றில் இரண்டு பங்கைக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் பெறப்பட்ட பகுதியை இரட்டிப்பாக்க வேண்டும், அதாவது 2 ஆல் பெருக்கவும்:

100 x 2 = 200 (அது 300 இல் 2/3).

சிக்கலைத் தீர்ப்பது 3. 400 இல் 3/4 ஆகும் செங்கல் வீடுகளின் எண்ணிக்கையை இங்கே நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும். முதலில் 400 இல் 1/4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம்,

400: 4 = 100 (அது 400 இல் 1/4).

400 இன் முக்கால்வாசியைக் கணக்கிட, விளைந்த பங்கு மூன்று மடங்காக இருக்க வேண்டும், அதாவது 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும்:

100 x 3 = 300 (அது 400 இல் 3/4).

இந்த சிக்கல்களுக்கான தீர்வின் அடிப்படையில், பின்வரும் விதியை நாம் பெறலாம்:

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணிலிருந்து ஒரு பின்னத்தின் மதிப்பைக் கண்டறிய, நீங்கள் இந்த எண்ணை பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து, அதன் எண்ணால் விளைந்த பகுதியைப் பெருக்க வேண்டும்.

3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.

முன்னதாக (§ 26) முழு எண்களின் பெருக்கல் ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டலாக புரிந்து கொள்ளப்பட வேண்டும் என்று நிறுவப்பட்டது (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). இந்த பத்தியில் (புள்ளி 1) ஒரு பகுதியை ஒரு முழு எண்ணால் பெருக்குவது என்பது இந்த பின்னத்திற்கு சமமான ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும், பெருக்கல் என்பது ஒரே மாதிரியான சொற்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிவதாகும்.

இப்போது நாம் ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவோம். இங்கே நாம் சந்திப்போம், எடுத்துக்காட்டாக, பெருக்கல்: 9 2/3. பெருக்கல் பற்றிய முந்தைய வரையறை இந்த வழக்கில் பொருந்தாது என்பது தெளிவாகிறது. சம எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் அத்தகைய பெருக்கத்தை மாற்ற முடியாது என்பதிலிருந்து இது தெளிவாகிறது.

இதன் காரணமாக, நாம் பெருக்கத்திற்கு ஒரு புதிய வரையறையை கொடுக்க வேண்டும், அதாவது, வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு பகுதியால் பெருக்குவதன் மூலம் எதைப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும், இந்த செயலை எவ்வாறு புரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்ற கேள்விக்கு பதிலளிக்கவும்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதன் பொருள் பின்வரும் வரையறையிலிருந்து தெளிவாகிறது: ஒரு முழு எண்ணை (பெருக்கி) ஒரு பின்னத்தால் (பெருக்கி) பெருக்குவது என்பது பெருக்கத்தின் இந்த பகுதியைக் கண்டுபிடிப்பதாகும்.

அதாவது, 9ஐ 2/3 ஆல் பெருக்கினால், ஒன்பது அலகுகளில் 2/3ஐக் கண்டறிவது. முந்தைய பத்தியில், அத்தகைய சிக்கல்கள் தீர்க்கப்பட்டன; எனவே நாம் 6 உடன் முடிப்போம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்பது எளிது.

ஆனால் இப்போது ஒரு சுவாரஸ்யமான மற்றும் முக்கியமான கேள்வி எழுகிறது: சம எண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிதல் மற்றும் ஒரு எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல் போன்ற வெளித்தோற்றத்தில் வேறுபட்ட செயல்பாடுகள் ஏன் "பெருக்கல்" என்ற ஒரே வார்த்தையால் எண்கணிதத்தில் அழைக்கப்படுகின்றன?

முந்தைய செயல் (ஒரு எண்ணை விதிமுறைகளுடன் பல முறை திரும்பத் திரும்பச் சொல்வது) மற்றும் புதிய செயல் (எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிதல்) ஒரே மாதிரியான கேள்விகளுக்கான பதில்களைக் கொடுப்பதால் இது நிகழ்கிறது. ஒரே மாதிரியான கேள்விகள் அல்லது பணிகள் ஒரே செயலால் தீர்க்கப்படுகின்றன என்ற கருத்தில் இருந்து இங்கு தொடர்கிறோம் என்பதே இதன் பொருள்.

இதைப் புரிந்து கொள்ள, பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்: “1 மீ துணிக்கு 50 ரூபிள் செலவாகும். அத்தகைய 4 மீ துணியின் விலை எவ்வளவு?

இந்த சிக்கல் ரூபிள் (50) எண்ணிக்கையை மீட்டர் (4) மூலம் பெருக்குவதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகிறது, அதாவது 50 x 4 = 200 (ரூபிள்கள்).

அதே சிக்கலை எடுத்துக்கொள்வோம், ஆனால் அதில் துணியின் அளவு ஒரு பகுதியாக வெளிப்படுத்தப்படும்: “1 மீ துணிக்கு 50 ரூபிள் செலவாகும். அத்தகைய துணியின் 3/4 மீ விலை எவ்வளவு?"

ரூபிள் எண்ணிக்கையை (50) மீட்டர் எண்ணிக்கையால் (3/4) பெருக்குவதன் மூலமும் இந்த சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும்.

சிக்கலின் அர்த்தத்தை மாற்றாமல், அதில் உள்ள எண்களை இன்னும் பல முறை மாற்றலாம், எடுத்துக்காட்டாக, 9/10 மீ அல்லது 2 3/10 மீ போன்றவற்றை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்.

இந்தச் சிக்கல்கள் ஒரே உள்ளடக்கத்தைக் கொண்டிருப்பதால், எண்களில் மட்டுமே வேறுபடுவதால், அவற்றைத் தீர்ப்பதில் பயன்படுத்தப்படும் செயல்களை ஒரே வார்த்தை - பெருக்கல் என்று அழைக்கிறோம்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் எவ்வாறு பெருக்குவது?

கடைசி சிக்கலில் சந்தித்த எண்களை எடுத்துக் கொள்வோம்:

வரையறையின்படி, நாம் 50 இல் 3/4 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 50 இல் 1/4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம், பின்னர் 3/4 ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

50 இல் 1/4 என்பது 50/4;

எண் 50 இல் 3/4 ஆகும்.

எனவே.

மற்றொரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்: 12 5/8 =?

12 என்ற எண்ணில் 1/8 என்பது 12/8,

12 என்ற எண்ணின் 5/8 என்பது.

எனவே,

இங்கிருந்து நாம் விதியைப் பெறுகிறோம்:

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் முழு எண்ணையும் பின்னத்தின் எண் மூலம் பெருக்கி, இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்ற வேண்டும், மேலும் இந்த பின்னத்தின் வகுப்பை வகுப்பாக கையொப்பமிட வேண்டும்.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி இந்த விதியை எழுதுவோம்:

இந்த விதியை முற்றிலும் தெளிவுபடுத்துவதற்கு, ஒரு பகுதியை ஒரு பங்காகக் கருதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட விதியை § 38 இல் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு எண்ணை ஒரு கோட்டால் பெருக்குவதற்கான விதியுடன் ஒப்பிடுவது பயனுள்ளது.

பெருக்கல் செய்வதற்கு முன், நீங்கள் (முடிந்தால்) செய்ய வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம். குறைப்புகள், உதாரணத்திற்கு:

4. ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குதல்.ஒரு பின்னத்தை ஒரு பகுதியால் பெருக்குவது ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவது போன்ற அதே பொருளைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்கும்போது, ​​முதல் பின்னத்திலிருந்து (பெருக்கி) காரணியில் உள்ள பின்னத்தை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

அதாவது, 3/4 ஐ 1/2 ஆல் பெருக்கினால் (பாதி) 3/4 இல் பாதியைக் கண்டறிவது.

ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் எவ்வாறு பெருக்குவது?

ஒரு உதாரணத்தை எடுத்துக்கொள்வோம்: 3/4 ஐ 5/7 ஆல் பெருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் நீங்கள் 3/4 இல் 5/7 ஐக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். முதலில் 3/4ல் 1/7ஐயும், பிறகு 5/7ஐயும் கண்டுபிடிப்போம்

3/4 என்ற எண்ணின் 1/7 பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

5/7 எண்கள் 3/4 பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

இதனால்,

மற்றொரு உதாரணம்: 5/8 பெருக்கல் 4/9.

5/8 இல் 1/9 என்பது,

5/8 என்ற எண்ணின் 4/9 என்பது .

இதனால்,

இந்த எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து, பின்வரும் விதியைக் கண்டறியலாம்:

ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்ணை எண்களால் பெருக்க வேண்டும், மற்றும் வகுப்பை வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் முதல் தயாரிப்பை எண்ணாகவும், இரண்டாவது தயாரிப்பை உற்பத்தியின் வகுப்பாகவும் மாற்ற வேண்டும்.

இந்த விதியை பொதுவான வடிவத்தில் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

பெருக்கும்போது, ​​(முடிந்தால்) குறைப்புகளைச் செய்வது அவசியம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்:

5. கலப்பு எண்களின் பெருக்கல்.கலப்பு எண்களை தவறான பின்னங்களால் எளிதாக மாற்ற முடியும் என்பதால், கலப்பு எண்களை பெருக்கும் போது இந்த சூழ்நிலை பொதுவாக பயன்படுத்தப்படுகிறது. இதன் பொருள், பெருக்கல், அல்லது பெருக்கி, அல்லது இரண்டு காரணிகளும் கலப்பு எண்களாக வெளிப்படுத்தப்படும் சந்தர்ப்பங்களில், அவை முறையற்ற பின்னங்களால் மாற்றப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, கலப்பு எண்களை பெருக்கலாம்: 2 1/2 மற்றும் 3 1/5. அவை ஒவ்வொன்றையும் முறையற்ற பின்னமாக மாற்றுவோம், பின்னர் ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்களை பெருக்கலாம்:

விதி.கலப்பு எண்களைப் பெருக்க, நீங்கள் முதலில் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களை பின்னங்களால் பெருக்குவதற்கான விதியின்படி அவற்றைப் பெருக்க வேண்டும்.

குறிப்பு.காரணிகளில் ஒன்று முழு எண்ணாக இருந்தால், பகிர்வு சட்டத்தின் அடிப்படையில் பெருக்கல் பின்வருமாறு செய்யப்படலாம்:

6. வட்டி கருத்து.சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் மற்றும் பல்வேறு நடைமுறைக் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, ​​​​எல்லா வகையான பின்னங்களையும் பயன்படுத்துகிறோம். ஆனால் பல அளவுகள் அவற்றுக்கான இயற்கையான பிளவுகளை மட்டும் அனுமதிக்காது என்பதை மனதில் கொள்ள வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு ரூபிளின் நூறில் (1/100) எடுக்கலாம், அது ஒரு கோபெக், இருநூறில் ஒரு பங்கு 2 கோபெக்குகள், முந்நூறில் ஒரு பங்கு 3 கோபெக்குகள். நீங்கள் ஒரு ரூபிளில் 1/10 ஐ எடுத்துக் கொள்ளலாம், அது "10 கோபெக்குகள், அல்லது பத்து-கோபெக் துண்டுகள். நீங்கள் ஒரு ரூபிள் கால் பகுதி, அதாவது 25 கோபெக்குகள், அரை ரூபிள், அதாவது 50 கோபெக்குகள் (ஐம்பது கோபெக்குகள்) எடுத்துக் கொள்ளலாம். அவர்கள் நடைமுறையில் அதை எடுத்துக்கொள்வதில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, ரூபிளின் 2/7, ஏனெனில் ரூபிள் ஏழில் பிரிக்கப்படவில்லை.

எடையின் அலகு, அதாவது கிலோகிராம், முதன்மையாக தசம பிரிவுகளை அனுமதிக்கிறது, எடுத்துக்காட்டாக 1/10 கிலோ அல்லது 100 கிராம் மற்றும் ஒரு கிலோகிராமின் 1/6, 1/11, 1/13 போன்ற பின்னங்கள் பொதுவானவை அல்ல.

பொதுவாக, எங்கள் (மெட்ரிக்) நடவடிக்கைகள் தசம மற்றும் தசமப் பிரிவுகளை அனுமதிக்கின்றன.

எவ்வாறாயினும், அளவுகளை உட்பிரிப்பதற்கான ஒரே (சீரான) முறையைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் பயனுள்ளது மற்றும் பலவகையான நிகழ்வுகளில் வசதியானது என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். இத்தகைய நன்கு நியாயப்படுத்தப்பட்ட பிரிவு "நூறாவது" பிரிவு என்பதை பல வருட அனுபவம் காட்டுகிறது. மனித நடைமுறையின் மிகவும் மாறுபட்ட பகுதிகள் தொடர்பான பல உதாரணங்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

1. புத்தகங்களின் விலை முந்தைய விலையில் 12/100 குறைந்துள்ளது.

உதாரணமாக. புத்தகத்தின் முந்தைய விலை 10 ரூபிள். இது 1 ரூபிள் குறைந்துள்ளது. 20 கோபெக்குகள்

2. சேமிப்பு வங்கிகள் வைப்புத்தொகையாளர்களுக்கு வருடத்தில் சேமிப்பிற்காக டெபாசிட் செய்யப்பட்ட தொகையில் 2/100 செலுத்துகின்றன.

உதாரணமாக. 500 ரூபிள் பணப் பதிவேட்டில் டெபாசிட் செய்யப்பட்டுள்ளது, இந்த ஆண்டுக்கான வருமானம் 10 ரூபிள் ஆகும்.

3. ஒரு பள்ளியில் பட்டம் பெற்றவர்களின் எண்ணிக்கை மொத்த மாணவர்களின் எண்ணிக்கையில் 5/100 ஆக இருந்தது.

உதாரணமாக பள்ளியில் 1,200 மாணவர்கள் மட்டுமே இருந்தனர், அதில் 60 பேர் தேர்ச்சி பெற்றனர்.

எண்ணின் நூறாவது பகுதி சதவீதம் எனப்படும்.

"சதவீதம்" என்ற வார்த்தை லத்தீன் மொழியிலிருந்து கடன் வாங்கப்பட்டது மற்றும் அதன் மூலமான "சென்ட்" என்பது நூறு என்று பொருள். முன்மொழிவுடன் (ப்ரோ சென்டம்), இந்த வார்த்தைக்கு "நூறுக்கு" என்று பொருள். இந்த வெளிப்பாட்டின் பொருள், ஆரம்பத்தில் பண்டைய ரோமில் வட்டி என்பது கடனாளி கடனளிப்பவருக்கு "ஒவ்வொரு நூற்றுக்கும்" செலுத்திய பணத்திற்கு கொடுக்கப்பட்ட பெயர் என்பதிலிருந்து பின்வருமாறு. "சென்ட்" என்ற வார்த்தை மிகவும் பழக்கமான வார்த்தைகளில் கேட்கப்படுகிறது: சென்டர் (நூறு கிலோகிராம்), சென்டிமீட்டர் (சென்டிமீட்டர் என்று சொல்லுங்கள்).

எடுத்துக்காட்டாக, கடந்த மாதத்தில் ஆலை உற்பத்தி செய்த அனைத்து பொருட்களில் 1/100 குறைபாடுள்ளது என்று கூறுவதற்குப் பதிலாக, நாங்கள் இதைச் சொல்வோம்: கடந்த மாதத்தில் ஆலை ஒரு சதவீத குறைபாடுகளை உருவாக்கியது. கூறுவதற்குப் பதிலாக: ஆலை நிறுவப்பட்ட திட்டத்தை விட 4/100 கூடுதல் தயாரிப்புகளை உற்பத்தி செய்தது, நாங்கள் கூறுவோம்: ஆலை திட்டத்தை 4 சதவிகிதம் தாண்டியது.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளை வேறு விதமாக வெளிப்படுத்தலாம்:

1. புத்தகங்களின் விலை முந்தைய விலையை விட 12 சதவீதம் குறைந்துள்ளது.

2. சேமிப்பு வங்கிகள் வைப்பாளர்களுக்கு சேமிப்பில் டெபாசிட் செய்யப்படும் தொகையில் ஆண்டுக்கு 2 சதவீதம் செலுத்துகின்றன.

3. ஒரு பள்ளியில் பட்டதாரிகளின் எண்ணிக்கை அனைத்து பள்ளி மாணவர்களில் 5 சதவீதமாக இருந்தது.

கடிதத்தை சுருக்க, "சதவீதம்" என்ற வார்த்தைக்கு பதிலாக % குறியீட்டை எழுதுவது வழக்கம்.

இருப்பினும், கணக்கீடுகளில் % அடையாளம் பொதுவாக எழுதப்படவில்லை என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அது சிக்கல் அறிக்கையிலும் இறுதி முடிவிலும் எழுதப்படலாம். கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது, ​​இந்தக் குறியீட்டைக் கொண்டு முழு எண்ணுக்குப் பதிலாக 100 என்ற வகுப்பில் ஒரு பகுதியை எழுத வேண்டும்.

நீங்கள் ஒரு முழு எண்ணை சுட்டிக்காட்டப்பட்ட ஐகானுடன் 100 பிரிவின் ஒரு பகுதியுடன் மாற்ற வேண்டும்:

மாறாக, 100 என்ற பிரிவைக் கொண்ட பின்னத்திற்குப் பதிலாக சுட்டிக்காட்டப்பட்ட குறியீட்டைக் கொண்டு ஒரு முழு எண்ணை எழுதப் பழக வேண்டும்:

7. கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் சதவீதத்தைக் கண்டறிதல்.

பணி 1.பள்ளிக்கு 200 கன மீட்டர் தண்ணீர் வந்தது. மீ விறகு, பிர்ச் விறகு 30% கணக்கில் உள்ளது. எவ்வளவு பிர்ச் விறகு இருந்தது?

இந்த சிக்கலின் பொருள் என்னவென்றால், பள்ளிக்கு வழங்கப்பட்ட விறகின் ஒரு பகுதியை மட்டுமே பிர்ச் விறகு உருவாக்கியது, மேலும் இந்த பகுதி 30/100 என்ற பின்னத்தில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. ஒரு எண்ணின் ஒரு பகுதியைக் கண்டுபிடிக்கும் பணி நமக்கு உள்ளது என்பதே இதன் பொருள். அதைத் தீர்க்க, நாம் 200 ஐ 30/100 ஆல் பெருக்க வேண்டும் (எண்ணின் பின்னத்தை கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல்கள் எண்ணை பின்னத்தால் பெருக்குவதன் மூலம் தீர்க்கப்படும்.).

இதன் பொருள் 200 இல் 30% 60 க்கு சமம்.

இந்த சிக்கலில் எதிர்கொள்ளும் 30/100 என்ற பின்னத்தை 10 ஆல் குறைக்கலாம். ஆரம்பத்தில் இருந்தே இந்தக் குறைப்பைச் செய்ய முடியும்; பிரச்சனைக்கான தீர்வு மாறியிருக்காது.

பணி 2.முகாமில் பல்வேறு வயதுடைய 300 குழந்தைகள் கலந்து கொண்டனர். 11 வயது குழந்தைகள் 21% ஆகவும், 12 வயது குழந்தைகள் 61% ஆகவும், இறுதியாக 13 வயது குழந்தைகள் 18% ஆகவும் உள்ளனர். முகாமில் ஒவ்வொரு வயதினரும் எத்தனை குழந்தைகள் இருந்தனர்?

இந்த சிக்கலில் நீங்கள் மூன்று கணக்கீடுகளைச் செய்ய வேண்டும், அதாவது 11 வயது, பின்னர் 12 வயது மற்றும் இறுதியாக 13 வயது குழந்தைகளின் எண்ணிக்கையை தொடர்ச்சியாகக் கண்டறியவும்.

இதன் பொருள் இங்கே நீங்கள் எண்ணின் பகுதியை மூன்று முறை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். அதை செய்வோம்:

1) 11 வயது குழந்தைகள் எத்தனை பேர்?

2) 12 வயது குழந்தைகள் எத்தனை பேர்?

3) 13 வயது குழந்தைகள் எத்தனை பேர்?

சிக்கலைத் தீர்த்த பிறகு, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண்களைச் சேர்ப்பது பயனுள்ளது; அவற்றின் தொகை 300 ஆக இருக்க வேண்டும்:

63 + 183 + 54 = 300

சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சதவீதங்களின் கூட்டுத்தொகை 100 என்பதையும் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும்:

21% + 61% + 18% = 100%

முகாமில் உள்ள மொத்த குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை 100% ஆக எடுக்கப்பட்டதாக இது தெரிவிக்கிறது.

3 a d a h a 3.தொழிலாளி மாதத்திற்கு 1,200 ரூபிள் பெற்றார். இதில், அவர் 65% உணவுக்காகவும், 6% அடுக்குமாடி குடியிருப்புகள் மற்றும் வெப்பமாக்கலுக்காகவும், 4% எரிவாயு, மின்சாரம் மற்றும் வானொலிக்காகவும், 10% கலாச்சார தேவைகளுக்காகவும், 15% சேமிப்பிற்காகவும் செலவிட்டார். பிரச்சனையில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட தேவைகளுக்கு எவ்வளவு பணம் செலவிடப்பட்டது?

இந்த சிக்கலை தீர்க்க நீங்கள் 1,200 இன் பகுதியை 5 முறை கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

1) உணவுக்காக எவ்வளவு பணம் செலவிடப்பட்டது? இந்தச் செலவு மொத்த வருவாயில் 65% ஆகும், அதாவது 1,200 எண்ணில் 65/100 என்று கணக்கீடு செய்வோம்:

2) வெப்பமூட்டும் அபார்ட்மெண்டிற்கு நீங்கள் எவ்வளவு பணம் செலுத்தினீர்கள்? முந்தைய கணக்கீட்டைப் போலவே, பின்வரும் கணக்கீட்டிற்கு வருகிறோம்:

3) எரிவாயு, மின்சாரம் மற்றும் வானொலிக்கு எவ்வளவு பணம் செலுத்தினீர்கள்?

4) கலாச்சார தேவைகளுக்காக எவ்வளவு பணம் செலவிடப்பட்டது?

5) தொழிலாளி எவ்வளவு பணம் சேமித்தார்?

சரிபார்க்க, இந்த 5 கேள்விகளில் காணப்படும் எண்களைக் கூட்டுவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். தொகை 1,200 ரூபிள் இருக்க வேண்டும். அனைத்து வருவாய்களும் 100% ஆகக் கணக்கிடப்படுகின்றன, இது சிக்கல் அறிக்கையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ள சதவீத எண்களைச் சேர்ப்பதன் மூலம் சரிபார்க்க எளிதானது.

நாங்கள் மூன்று பிரச்சினைகளை தீர்த்தோம். இந்த சிக்கல்கள் வெவ்வேறு விஷயங்களைக் கையாண்ட போதிலும் (பள்ளிக்கு விறகு விநியோகம், வெவ்வேறு வயது குழந்தைகளின் எண்ணிக்கை, தொழிலாளியின் செலவுகள்), அவை அதே வழியில் தீர்க்கப்பட்டன. எல்லா சிக்கல்களிலும் கொடுக்கப்பட்ட எண்களில் பல சதவீதத்தைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் என்பதால் இது நடந்தது.

§ 90. பின்னங்களின் பிரிவு.

பின்னங்களின் பிரிவைப் படிக்கும்போது, ​​​​பின்வரும் கேள்விகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்கவும்.
2. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுத்தல்
3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.
4. ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.
5. கலப்பு எண்களின் பிரிவு.
6. கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தில் இருந்து எண்ணைக் கண்டறிதல்.
7. ஒரு எண்ணை அதன் சதவீதத்தால் கண்டறிதல்.

அவற்றை வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்கவும்.

முழு எண்களின் பிரிவில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளபடி, பிரிவு என்பது இரண்டு காரணிகளின் (ஈவுத்தொகை) மற்றும் இந்த காரணிகளில் ஒன்றின் (வகுப்பான்) விளைபொருளைக் கொடுத்தால், மற்றொரு காரணி கண்டறியப்படும் என்ற உண்மையை உள்ளடக்கிய செயலாகும்.

முழு எண்களின் பிரிவில் ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுப்பதைப் பார்த்தோம். பிரிவின் இரண்டு நிகழ்வுகளை நாங்கள் அங்கு சந்தித்தோம்: மீதி இல்லாத பிரிவு, அல்லது "முழுமையாக" (150: 10 = 15), மற்றும் மீதியுடன் பிரிவு (100: 9 = 11 மற்றும் 1 மீதி). எனவே முழு எண்களின் துறையில், துல்லியமான வகுத்தல் எப்போதும் சாத்தியமில்லை என்று நாம் கூறலாம், ஏனெனில் ஈவுத்தொகை எப்போதும் முழு எண்ணால் வகுக்கும் பொருளாக இருக்காது. ஒரு பின்னம் மூலம் பெருக்கலை அறிமுகப்படுத்திய பிறகு, முழு எண்களின் வகுத்தலின் எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்தையும் முடிந்தவரை நாம் பரிசீலிக்கலாம் (பூஜ்ஜியத்தால் வகுத்தல் மட்டுமே விலக்கப்பட்டுள்ளது).

எடுத்துக்காட்டாக, 7 ஐ 12 ஆல் வகுத்தல் என்பது 12 ஆல் 7 க்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதாகும். அத்தகைய எண் 7 / 12 பின்னம், ஏனெனில் 7 / 12 12 = 7 ஆகும். மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு: 14: 25 = 14 / 25, ஏனெனில் 14 / 25 25 = 14.

எனவே, ஒரு முழு எண்ணை ஒரு முழு எண்ணால் வகுக்க, நீங்கள் ஒரு பகுதியை உருவாக்க வேண்டும், அதன் எண் ஈவுத்தொகைக்கு சமமாகவும், வகுத்தல் வகுப்பிற்கு சமமாகவும் இருக்கும்.

2. ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுத்தல்.

பின்னம் 6 / 7 ஐ 3 ஆல் வகுக்கவும். மேலே கொடுக்கப்பட்ட வகுப்பின் வரையறையின்படி, நாம் இங்கே தயாரிப்பு (6 / 7) மற்றும் காரணிகளில் ஒன்று (3); 3 ஆல் பெருக்கினால், கொடுக்கப்பட்ட தயாரிப்பு 6/7 ஐக் கொடுக்கும் இரண்டாவது காரணியைக் கண்டறிய வேண்டும். வெளிப்படையாக, இது இந்த தயாரிப்பை விட மூன்று மடங்கு சிறியதாக இருக்க வேண்டும். அதாவது 6/7 என்ற பகுதியை 3 மடங்கு குறைப்பதே நமக்கு முன் வைக்கப்பட்ட பணி.

ஒரு பகுதியைக் குறைப்பது அதன் எண்ணிக்கையைக் குறைப்பதன் மூலமோ அல்லது அதன் வகுப்பை அதிகரிப்பதன் மூலமோ செய்யப்படலாம் என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம். எனவே நீங்கள் எழுதலாம்:

இந்த வழக்கில், எண் 6 ஆனது 3 ஆல் வகுபடும், எனவே எண் 3 மடங்கு குறைக்கப்பட வேண்டும்.

மற்றொரு உதாரணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்: 5/8 ஐ 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும். இங்கே எண் 5 ஐ 2 ஆல் வகுக்க முடியாது, அதாவது வகுப்பினை இந்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும்:

இதன் அடிப்படையில், ஒரு விதியை உருவாக்கலாம்: ஒரு பகுதியை முழு எண்ணால் வகுக்க, பின்னத்தின் எண்ணை அந்த முழு எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.(முடிந்தால்), அதே வகுப்பை விட்டு, அல்லது பின்னத்தின் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் பெருக்கி, அதே எண்ணை விட்டு.

3. ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.

5 ஐ 1/2 ஆல் வகுக்க வேண்டியது அவசியமாக இருக்கட்டும், அதாவது, 1/2 ஆல் பெருக்கினால், தயாரிப்பு 5 ஐக் கொடுக்கும் எண்ணைக் கண்டறியவும். வெளிப்படையாக, இந்த எண் 5 ஐ விட அதிகமாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் 1/2 சரியான பின்னம். , மற்றும் ஒரு எண்ணைப் பெருக்கும் போது சரியான பின்னத்தின் பலன் பெருக்கப்படும் விளைபொருளை விட குறைவாக இருக்க வேண்டும். இதை தெளிவுபடுத்த, எங்கள் செயல்களை பின்வருமாறு எழுதுவோம்: 5: 1 / 2 = எக்ஸ் , அதாவது x 1/2 = 5.

அத்தகைய எண்ணை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் எக்ஸ் , இது, 1/2 ஆல் பெருக்கினால், 5 கிடைக்கும். ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணை 1/2 ஆல் பெருக்கினால், இந்த எண்ணின் 1/2 ஐக் கண்டுபிடிப்பது, எனவே, தெரியாத எண்ணின் 1/2 எக்ஸ் 5 க்கு சமம், மற்றும் முழு எண் எக்ஸ் இரண்டு மடங்கு, அதாவது 5 2 = 10.

எனவே 5: 1 / 2 = 5 2 = 10

சரிபார்ப்போம்:

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். 6ஐ 2/3ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். முதலில் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி விரும்பிய முடிவைக் கண்டுபிடிக்க முயற்சிப்போம் (படம் 19).

படம்.19

6 அலகுகளுக்கு சமமான AB பிரிவை வரைவோம், மேலும் ஒவ்வொரு யூனிட்டையும் 3 சம பாகங்களாகப் பிரிப்போம். ஒவ்வொரு யூனிட்டிலும், AB முழு பிரிவின் மூன்றில் மூன்று பங்கு (3/3) 6 மடங்கு பெரியது, அதாவது. இ. 18/3. சிறிய அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தி, 2 இன் 18 விளைவான பிரிவுகளை இணைக்கிறோம்; 9 பிரிவுகள் மட்டுமே இருக்கும். இதன் பொருள் 2/3 என்ற பின்னம் 6 அலகுகளில் 9 முறை உள்ளது அல்லது வேறுவிதமாகக் கூறினால், 2/3 என்ற பின்னம் 6 முழு அலகுகளை விட 9 மடங்கு குறைவாக உள்ளது. எனவே,

கணக்கீடுகளை மட்டும் பயன்படுத்தி வரைதல் இல்லாமல் இந்த முடிவை எவ்வாறு பெறுவது? இப்படிக் காரணம் கூறுவோம்: 6ஐ 2/3 ஆல் வகுக்க வேண்டும், அதாவது 6ல் 2/3 எத்தனை முறை உள்ளது என்ற கேள்விக்கு நாம் பதிலளிக்க வேண்டும். முதலில் கண்டுபிடிப்போம்: 6ல் 1/3 எத்தனை முறை உள்ளது? ஒரு முழு அலகில் மூன்றில் 3 பங்கு உள்ளது, மேலும் 6 அலகுகளில் 6 மடங்கு அதிகம், அதாவது 18 மூன்றில்; இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க நாம் 6 ஐ 3 ஆல் பெருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் 1/3 ஆனது b அலகுகளில் 18 முறை உள்ளது, மேலும் 2/3 என்பது b அலகுகளில் 18 முறை அல்ல, ஆனால் பாதி மடங்கு அதிகமாக உள்ளது, அதாவது 18: 2 = 9 எனவே, 6 ஐ 2/3 ஆல் வகுக்கும் போது பின்வருவனவற்றைச் செய்தோம்:

இங்கிருந்து ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னத்தால் வகுக்கும் விதியைப் பெறுகிறோம். ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பகுதியால் வகுக்க, நீங்கள் இந்த முழு எண்ணையும் கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் வகுப்பினால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் இந்த தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்றினால், கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி விதியை எழுதுவோம்:

இந்த விதியை முற்றிலும் தெளிவுபடுத்துவதற்கு, ஒரு பகுதியை ஒரு பங்காகக் கருதலாம் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும். எனவே, கண்டுபிடிக்கப்பட்ட விதியை § 38 இல் குறிப்பிடப்பட்ட ஒரு எண்ணை ஒரு கோட்டால் வகுக்கும் விதியுடன் ஒப்பிடுவது பயனுள்ளது. அதே சூத்திரம் அங்கேயும் பெறப்பட்டது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

பிரிக்கும்போது, ​​​​சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

4. ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் வகுத்தல்.

3/4 ஐ 3/8 ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம். பிரிவதால் வரும் எண் என்ன அர்த்தம்? 3/4 என்ற பின்னத்தில் 3/8 என்ற பின்னம் எத்தனை முறை உள்ளது என்ற கேள்விக்கு இது பதிலளிக்கும். இந்த சிக்கலைப் புரிந்து கொள்ள, ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குவோம் (படம் 20).

AB பிரிவை எடுத்து, அதை ஒன்றாக எடுத்து, 4 சம பாகங்களாகப் பிரித்து, அத்தகைய 3 பகுதிகளைக் குறிக்கவும். ஏசி பிரிவு AB பிரிவின் 3/4க்கு சமமாக இருக்கும். இப்போது நான்கு அசல் பிரிவுகளில் ஒவ்வொன்றையும் பாதியாகப் பிரிப்போம், பின்னர் பிரிவு AB 8 சம பாகங்களாகப் பிரிக்கப்படும் மற்றும் அத்தகைய ஒவ்வொரு பகுதியும் AB பிரிவின் 1/8 க்கு சமமாக இருக்கும். அத்தகைய 3 பிரிவுகளை வளைவுடன் இணைப்போம், பின்னர் AD மற்றும் DC பிரிவுகள் ஒவ்வொன்றும் AB பிரிவின் 3/8 க்கு சமமாக இருக்கும். 3/8 க்கு சமமான ஒரு பிரிவு 3/4 க்கு சமமான ஒரு பிரிவில் சரியாக 2 மடங்கு இருப்பதை வரைபடம் காட்டுகிறது; இதன் பொருள் பிரிவின் முடிவை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

3 / 4: 3 / 8 = 2

இன்னொரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். 15/16 ஐ 3/32 ஆல் வகுக்க வேண்டும் என்று வைத்துக் கொள்வோம்:

நாம் இப்படி நியாயப்படுத்தலாம்: 3/32 ஆல் பெருக்கினால், 15/16க்கு சமமான ஒரு பொருளைக் கொடுக்கும் எண்ணை நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கணக்கீடுகளை இப்படி எழுதுவோம்:

15 / 16: 3 / 32 = எக்ஸ்

3 / 32 எக்ஸ் = 15 / 16

3/32 தெரியாத எண் எக்ஸ் 15/16 ஆகும்

தெரியாத எண்ணில் 1/32 எக்ஸ் இருக்கிறது ,

32/32 எண்கள் எக்ஸ் ஒப்பனை .

எனவே,

எனவே, ஒரு பின்னத்தை ஒரு பின்னத்தால் வகுக்க, நீங்கள் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டின் வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும், மேலும் முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டின் எண்ணால் பெருக்கி, முதல் தயாரிப்பை எண்ணாக மாற்ற வேண்டும். மற்றும் இரண்டாவது வகுத்தல்.

எழுத்துக்களைப் பயன்படுத்தி விதியை எழுதுவோம்:

பிரிக்கும்போது, ​​​​சுருக்கங்கள் சாத்தியமாகும், எடுத்துக்காட்டாக:

5. கலப்பு எண்களின் பிரிவு.

கலப்பு எண்களை வகுக்கும் போது, ​​முதலில் அவை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றப்பட வேண்டும், பின்னர் அதன் விளைவாக வரும் பின்னங்கள் பின்னங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதிகளின்படி பிரிக்கப்பட வேண்டும். ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றுவோம்:

இப்போது பிரிப்போம்:

எனவே, கலப்பு எண்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் அவற்றை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்ற வேண்டும், பின்னர் பின்னங்களைப் பிரிப்பதற்கான விதியைப் பயன்படுத்தி பிரிக்க வேண்டும்.

6. கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தில் இருந்து எண்ணைக் கண்டறிதல்.

பல்வேறு பின்னம் சிக்கல்களில், சில சமயங்களில் அறியப்படாத எண்ணின் சில பகுதியின் மதிப்பு கொடுக்கப்பட்டிருக்கும், இந்த எண்ணை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பகுதியைக் கண்டறிவதில் உள்ள சிக்கலின் நேர்மாறாக இந்த வகையான சிக்கல் இருக்கும்; அங்கு ஒரு எண் கொடுக்கப்பட்டது, இந்த எண்ணின் சில பகுதியைக் கண்டுபிடிக்க அது தேவைப்பட்டது, இங்கே ஒரு எண்ணின் ஒரு பகுதி கொடுக்கப்பட்டது, மேலும் இந்த எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க அது தேவைப்பட்டது. இந்த வகையான சிக்கலை தீர்க்க நாம் திரும்பினால் இந்த யோசனை இன்னும் தெளிவாகிவிடும்.

பணி 1.முதல் நாளில், கிளாசியர்ஸ் 50 ஜன்னல்களை மெருகூட்டியது, இது கட்டப்பட்ட வீட்டின் அனைத்து ஜன்னல்களிலும் 1/3 ஆகும். இந்த வீட்டில் எத்தனை ஜன்னல்கள் உள்ளன?

தீர்வு. 50 மெருகூட்டப்பட்ட ஜன்னல்கள் வீட்டின் அனைத்து ஜன்னல்களிலும் 1/3 ஆகும் என்று பிரச்சனை கூறுகிறது, அதாவது மொத்தம் 3 மடங்கு அதிகமான ஜன்னல்கள் உள்ளன, அதாவது.

வீட்டில் 150 ஜன்னல்கள் இருந்தன.

பணி 2.கடையில் 1,500 கிலோ மாவு விற்கப்பட்டது, இது கடையில் இருந்த மொத்த மாவில் 3/8 ஆகும். கடையின் ஆரம்ப சப்ளை மாவு என்ன?

தீர்வு.பிரச்சனையின் நிலைமைகளில் இருந்து 1,500 கிலோ மாவு மொத்த கையிருப்பில் 3/8 ஆகும் என்பது தெளிவாகிறது; இதன் பொருள் இந்த இருப்பில் 1/8 3 மடங்கு குறைவாக இருக்கும், அதாவது அதைக் கணக்கிட நீங்கள் 1500 ஐ 3 மடங்கு குறைக்க வேண்டும்:

1,500: 3 = 500 (இது கையிருப்பில் 1/8 ஆகும்).

வெளிப்படையாக, முழு விநியோகமும் 8 மடங்கு அதிகமாக இருக்கும். எனவே,

500 8 = 4,000 (கிலோ).

கடையில் ஆரம்பகட்ட மாவு இருப்பு 4,000 கிலோவாக இருந்தது.

இந்த சிக்கலைக் கருத்தில் கொண்டு, பின்வரும் விதியைப் பெறலாம்.

அதன் பின்னத்தின் கொடுக்கப்பட்ட மதிப்பிலிருந்து ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க, இந்த மதிப்பை பின்னத்தின் எண்ணிக்கையால் வகுத்து, பின்னத்தின் வகுப்பால் முடிவைப் பெருக்க போதுமானது.

ஒரு எண்ணை அதன் பின்னத்தில் கண்டறிவதில் இரண்டு சிக்கல்களைத் தீர்த்தோம். இத்தகைய சிக்கல்கள், குறிப்பாக கடந்த ஒன்றிலிருந்து தெளிவாகக் காணப்படுகின்றன, இரண்டு செயல்களால் தீர்க்கப்படுகின்றன: பிரிவு (ஒரு பகுதி கண்டுபிடிக்கப்படும்போது) மற்றும் பெருக்கல் (முழு எண் கண்டுபிடிக்கப்படும்போது).

இருப்பினும், பின்னங்களைப் பிரிப்பதைக் கற்றுக்கொண்ட பிறகு, மேலே உள்ள சிக்கல்களை ஒரு செயலால் தீர்க்க முடியும், அதாவது: ஒரு பகுதியால் வகுத்தல்.

எடுத்துக்காட்டாக, கடைசி பணியை இது போன்ற ஒரு செயலில் தீர்க்க முடியும்:

எதிர்காலத்தில், அதன் பின்னத்திலிருந்து ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிப்பதில் உள்ள சிக்கல்களை ஒரு செயலின் மூலம் தீர்ப்போம் - பிரிவு.

7. ஒரு எண்ணை அதன் சதவீதத்தால் கண்டறிதல்.

இந்தச் சிக்கல்களில், அந்த எண்ணின் சில சதவீதத்தை அறிந்து ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

பணி 1.இந்த ஆண்டின் தொடக்கத்தில் நான் சேமிப்பு வங்கியில் இருந்து 60 ரூபிள் பெற்றேன். ஒரு வருடத்திற்கு முன்பு நான் சேமித்த தொகையிலிருந்து வருமானம். சேமிப்பு வங்கியில் எவ்வளவு பணம் போட்டுள்ளேன்? (பண மேசைகள் வைப்புத்தொகையாளர்களுக்கு வருடத்திற்கு 2% வருமானத்தை அளிக்கின்றன.)

ஒரு சேமிப்பு வங்கியில் குறிப்பிட்ட தொகையை போட்டுவிட்டு ஓராண்டு காலம் தங்கியிருந்தேன் என்பதே பிரச்சனையின் புள்ளி. ஒரு வருடம் கழித்து, நான் அவளிடமிருந்து 60 ரூபிள் பெற்றேன். வருமானம், நான் டெபாசிட் செய்த பணத்தில் 2/100. நான் எவ்வளவு பணம் போட்டேன்?

இதன் விளைவாக, இந்த பணத்தின் ஒரு பகுதியை அறிந்துகொள்வது, இரண்டு வழிகளில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது (ரூபிள் மற்றும் பின்னங்களில்), நாம் முழு, இன்னும் அறியப்படாத, தொகை கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இது ஒரு எண்ணை அதன் பின்னம் மூலம் கண்டறிவதில் ஏற்படும் ஒரு சாதாரண பிரச்சனை. பின்வரும் சிக்கல்கள் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

இதன் பொருள் சேமிப்பு வங்கியில் 3,000 ரூபிள் டெபாசிட் செய்யப்பட்டது.

பணி 2.மீனவர்கள் மாதாந்திர திட்டத்தை இரண்டு வாரங்களில் 64% பூர்த்தி செய்து 512 டன் மீன்களை அறுவடை செய்தனர். அவர்களின் திட்டம் என்ன?

பிரச்சினையின் நிலைமைகளிலிருந்து மீனவர்கள் திட்டத்தின் ஒரு பகுதியை முடித்தனர் என்பது அறியப்படுகிறது. இந்த பகுதி 512 டன்களுக்கு சமம், இது திட்டத்தின் 64% ஆகும். திட்டத்தின் படி எத்தனை டன் மீன்கள் தயாரிக்கப்பட வேண்டும் என்பது எங்களுக்குத் தெரியாது. இந்த எண்ணைக் கண்டறிவது பிரச்சனைக்கு தீர்வாக இருக்கும்.

இத்தகைய சிக்கல்கள் பிரிப்பதன் மூலம் தீர்க்கப்படுகின்றன:

அதாவது திட்டத்தின்படி 800 டன் மீன்கள் தயார் செய்ய வேண்டும்.

பணி 3.ரயில் ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்குச் சென்றது. அவர் 276 வது கிலோமீட்டரைக் கடந்தபோது, ​​பயணிகளில் ஒருவர் அந்த வழியாகச் சென்ற கண்டக்டரிடம் தாங்கள் ஏற்கனவே எவ்வளவு பயணத்தை கடந்துவிட்டீர்கள் என்று கேட்டார். இதற்கு நடத்துனர் பதிலளித்தார்: "முழு பயணத்தில் 30% நாங்கள் ஏற்கனவே முடித்துவிட்டோம்." ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்கு உள்ள தூரம் என்ன?

சிக்கல் நிலைமைகளில் இருந்து ரிகாவிலிருந்து மாஸ்கோவிற்கு 30% பாதை 276 கிமீ ஆகும் என்பது தெளிவாகிறது. இந்த நகரங்களுக்கிடையேயான முழு தூரத்தையும் நாம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதாவது, இந்த பகுதிக்கு, முழுவதையும் கண்டறியவும்:

§ 91. பரஸ்பர எண்கள். பெருக்கல் மூலம் வகுத்தல் பதிலாக.

பின்னம் 2/3 ஐ எடுத்து, வகுப்பின் இடத்தில் எண்களை மாற்றுவோம், நமக்கு 3/2 கிடைக்கும். இந்த பின்னத்தின் தலைகீழ் எங்களுக்கு கிடைத்தது.

கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பைப் பெற, நீங்கள் அதன் எண்ணை வகுப்பின் இடத்தில் வைக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பின் இடத்தில் வகுப்பை வைக்க வேண்டும். இந்த வழியில் நாம் எந்த பின்னத்தின் மறுபக்கத்தையும் பெறலாம். உதாரணத்திற்கு:

3/4, தலைகீழ் 4/3; 5/6, தலைகீழ் 6/5

முதலின் எண் இரண்டின் வகுத்தல், முதலின் வகுத்தல் இரண்டின் எண் ஆகிய பண்புகளைக் கொண்ட இரண்டு பின்னங்கள் அழைக்கப்படுகின்றன. பரஸ்பர தலைகீழ்.

இப்போது 1/2 இன் எதிரொலியாக என்ன பின்னம் இருக்கும் என்பதைப் பற்றி சிந்திப்போம். வெளிப்படையாக, அது 2/1 அல்லது 2 ஆக இருக்கும். கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றின் தலைகீழ் பகுதியைத் தேடுவதன் மூலம், நமக்கு ஒரு முழு எண் கிடைத்தது. இந்த வழக்கு தனிமைப்படுத்தப்படவில்லை; மாறாக, 1 (ஒன்று) எண் கொண்ட அனைத்து பின்னங்களுக்கும், பரஸ்பர எண்கள் முழு எண்களாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக:

1/3, தலைகீழ் 3; 1/5, தலைகீழ் 5

பரஸ்பர பின்னங்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் முழு எண்களையும் சந்தித்ததால், பின்வருவனவற்றில் நாம் பரஸ்பர பின்னங்களைப் பற்றி அல்ல, மாறாக பரஸ்பர எண்களைப் பற்றி பேசுவோம்.

ஒரு முழு எண்ணின் தலைகீழ் எவ்வாறு எழுதுவது என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். பின்னங்களுக்கு, இது எளிமையாக தீர்க்கப்படும்: நீங்கள் எண்களின் இடத்தில் வகுப்பினை வைக்க வேண்டும். அதே வழியில், நீங்கள் ஒரு முழு எண்ணின் தலைகீழ் பெறலாம், ஏனெனில் எந்த முழு எண்ணும் 1 இன் பிரிவைக் கொண்டிருக்கலாம். இதன் பொருள் 7 இன் தலைகீழ் 1/7 ஆக இருக்கும், ஏனெனில் 7 = 7/1; 10 = 10/1 என்பதால், 10 என்ற எண்ணுக்கு தலைகீழ் 1/10 ஆக இருக்கும்

இந்த யோசனையை வேறு விதமாக வெளிப்படுத்தலாம்: கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் பரஸ்பரம் கொடுக்கப்பட்ட எண்ணால் ஒன்றைப் பிரிப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது. இந்த அறிக்கை முழு எண்களுக்கு மட்டுமல்ல, பின்னங்களுக்கும் பொருந்தும். உண்மையில், நாம் பின்னம் 5/9 இன் தலைகீழ் எழுத வேண்டும் என்றால், நாம் 1 ஐ எடுத்து 5/9 ஆல் வகுக்கலாம், அதாவது.

இப்போது ஒன்றைக் குறிப்பிடுவோம் சொத்துபரஸ்பர எண்கள், இது எங்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும்: பரஸ்பர எண்களின் பலன் ஒன்றுக்கு சமம்.உண்மையில்:

இந்த பண்பைப் பயன்படுத்தி, நாம் பின்வரும் வழியில் பரஸ்பர எண்களைக் கண்டறியலாம். நாம் 8 இன் தலைகீழ் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம்.

அதை எழுத்தால் குறிப்போம் எக்ஸ் , பின்னர் 8 எக்ஸ் = 1, எனவே எக்ஸ் = 1/8. 7/12 இன் தலைகீழ் உள்ள மற்றொரு எண்ணைக் கண்டுபிடித்து அதை எழுத்தால் குறிக்கலாம் எக்ஸ் , பின்னர் 7/12 எக்ஸ் = 1, எனவே எக்ஸ் = 1: 7 / 12 அல்லது எக்ஸ் = 12 / 7 .

பின்னங்களைப் பிரிப்பது பற்றிய தகவல்களைச் சற்று கூடுதலாக்கும் வகையில், பரஸ்பர எண்களின் கருத்தை இங்கு அறிமுகப்படுத்தியுள்ளோம்.

எண் 6 ஐ 3/5 ஆல் வகுத்தால், பின்வருவனவற்றைச் செய்கிறோம்:

வெளிப்பாட்டிற்கு சிறப்பு கவனம் செலுத்தி, கொடுக்கப்பட்டவற்றுடன் ஒப்பிடவும்: .

முந்தையதைத் தொடர்புபடுத்தாமல் தனித்தனியாக வெளிப்பாட்டை எடுத்துக் கொண்டால், அது எங்கிருந்து வந்தது என்ற கேள்வியைத் தீர்க்க முடியாது: 6 ஐ 3/5 ஆல் வகுத்தல் அல்லது 6 ஐ 5/3 ஆல் பெருக்குவது. இரண்டு சந்தர்ப்பங்களிலும் ஒரே விஷயம் நடக்கும். எனவே நாம் கூறலாம் ஒரு எண்ணை மற்றொன்றால் வகுத்தால், ஈவுத்தொகையை வகுக்கும் தலைகீழ் மூலம் பெருக்க முடியும்.

கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த முடிவை முழுமையாக உறுதிப்படுத்துகின்றன.

பின்னங்களை பெருக்கி வகுத்தல்.

கவனம்!
கூடுதல் உள்ளன
சிறப்புப் பிரிவு 555 இல் உள்ள பொருட்கள்.
மிகவும் "மிகவும் இல்லை..." என்று இருப்பவர்களுக்கு.
மற்றும் "மிகவும்..." இருப்பவர்களுக்கு)

கூட்டல்-கழிப்பதை விட இந்த செயல்பாடு மிகவும் இனிமையானது! ஏனெனில் இது எளிதானது. ஒரு நினைவூட்டலாக, ஒரு பகுதியை ஒரு பின்னத்தால் பெருக்க, நீங்கள் எண்களை (இது முடிவின் எண்ணாக இருக்கும்) மற்றும் வகுப்பினரை (இது வகுப்பாக இருக்கும்) பெருக்க வேண்டும். அது:

உதாரணத்திற்கு:

எல்லாம் மிகவும் எளிமையானது. மேலும் தயவு செய்து ஒரு பொதுவான வகுப்பைத் தேடாதீர்கள்! அவன் இங்கு தேவை இல்லை...

ஒரு பகுதியை ஒரு பகுதியால் பிரிக்க, நீங்கள் தலைகீழாக மாற்ற வேண்டும் இரண்டாவது(இது முக்கியமானது!) பின்னம் மற்றும் அவற்றைப் பெருக்கவும், அதாவது:

உதாரணத்திற்கு:

நீங்கள் முழு எண்கள் மற்றும் பின்னங்களுடன் பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல் கண்டால், பரவாயில்லை. கூடுதலாக, ஒரு முழு எண்ணிலிருந்து ஒரு பகுதியை வகுப்பில் ஒன்றைக் கொண்டு - மேலும் முன்னேறுவோம்! உதாரணத்திற்கு:

உயர்நிலைப் பள்ளியில், நீங்கள் அடிக்கடி மூன்று-அடுக்கு (அல்லது நான்கு-அடுக்கு!) பின்னங்களைக் கையாள வேண்டும். உதாரணத்திற்கு:

இந்தப் பகுதியை நான் எப்படி கண்ணியமானதாக மாற்றுவது? ஆம், மிகவும் எளிமையானது! இரண்டு புள்ளி பிரிவைப் பயன்படுத்தவும்:

ஆனால் பிரிவின் வரிசையைப் பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள்! பெருக்கல் போலல்லாமல், இது இங்கே மிகவும் முக்கியமானது! நிச்சயமாக, நாங்கள் 4:2 அல்லது 2:4 ஐ குழப்ப மாட்டோம். ஆனால் மூன்று அடுக்கு பின்னத்தில் தவறு செய்வது எளிது. உதாரணமாக கவனிக்கவும்:

முதல் வழக்கில் (இடதுபுறத்தில் வெளிப்பாடு):

இரண்டாவது (வலதுபுறத்தில் வெளிப்பாடு):

வித்தியாசத்தை உணர்கிறீர்களா? 4 மற்றும் 1/9!

பிரிவின் வரிசையை எது தீர்மானிக்கிறது? ஒன்று அடைப்புக்குறிகளுடன், அல்லது (இங்கே) கிடைமட்ட கோடுகளின் நீளத்துடன். உங்கள் கண்ணை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள். அடைப்புக்குறிகள் அல்லது கோடுகள் இல்லை என்றால், இது போன்றது:

பின்னர் பிரித்து பெருக்கவும் வரிசையில், இடமிருந்து வலமாக!

மற்றொரு மிக எளிய மற்றும் முக்கியமான நுட்பம். டிகிரி கொண்ட செயல்களில், இது உங்களுக்கு மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்! ஒன்றை எந்தப் பகுதியாலும் பிரிப்போம், எடுத்துக்காட்டாக, 13/15 ஆல்:

ஷாட் திரும்பியது! மேலும் இது எப்போதும் நடக்கும். 1ஐ எந்தப் பகுதியாலும் வகுத்தால், அதே பின்னம்தான், தலைகீழாக மட்டுமே வரும்.

பின்னங்கள் கொண்ட செயல்பாடுகளுக்கு அவ்வளவுதான். விஷயம் மிகவும் எளிது, ஆனால் அது போதுமான பிழைகளை விட அதிகமாக கொடுக்கிறது. நடைமுறை ஆலோசனைகளை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், அவற்றில் குறைவான (தவறுகள்) இருக்கும்!

நடைமுறை குறிப்புகள்:

1. பகுதி வெளிப்பாடுகளுடன் பணிபுரியும் போது மிக முக்கியமான விஷயம் துல்லியம் மற்றும் கவனிப்பு! இவை பொதுவான வார்த்தைகள் அல்ல, நல்வாழ்த்துக்கள் அல்ல! இது மிகக் கடுமையான தேவை! ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் அனைத்து கணக்கீடுகளையும் முழு அளவிலான பணியாக, கவனம் செலுத்தி, தெளிவாகச் செய்யுங்கள். மனக் கணக்கீடுகளைச் செய்யும்போது குழப்பமடைவதை விட உங்கள் வரைவில் இரண்டு கூடுதல் வரிகளை எழுதுவது நல்லது.

2. பல்வேறு வகையான பின்னங்களைக் கொண்ட எடுத்துக்காட்டுகளில், நாம் சாதாரண பின்னங்களுக்குச் செல்கிறோம்.

3. அனைத்து பின்னங்களையும் அவர்கள் நிறுத்தும் வரை குறைக்கிறோம்.

4. இரண்டு புள்ளிகள் மூலம் வகுப்பைப் பயன்படுத்தி பல-நிலை பகுதியளவு வெளிப்பாடுகளை சாதாரணமானதாகக் குறைக்கிறோம் (நாங்கள் பிரிவின் வரிசையைப் பின்பற்றுகிறோம்!).

5. ஒரு யூனிட்டை உங்கள் தலையில் உள்ள ஒரு பகுதியால் பிரித்து, பின்னத்தை அப்படியே திருப்பவும்.

நீங்கள் கண்டிப்பாக முடிக்க வேண்டிய பணிகள் இங்கே உள்ளன. அனைத்து பணிகளுக்கும் பிறகு பதில்கள் வழங்கப்படுகின்றன. இந்த தலைப்பில் உள்ள பொருட்கள் மற்றும் நடைமுறை உதவிக்குறிப்புகளைப் பயன்படுத்தவும். எத்தனை உதாரணங்களை நீங்கள் சரியாக தீர்க்க முடிந்தது என்பதை மதிப்பிடுங்கள். முதல் முறை! கால்குலேட்டர் இல்லாமல்! மற்றும் சரியான முடிவுகளை எடுங்கள் ...

நினைவில் கொள்ளுங்கள் - சரியான பதில் இரண்டாவது (குறிப்பாக மூன்றாவது) நேரத்திலிருந்து பெறப்பட்ட நேரம் கணக்கிடப்படாது!கடினமான வாழ்க்கையும் அப்படித்தான்.

அதனால், தேர்வு முறையில் தீர்வு ! இது ஏற்கனவே ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கான தயாரிப்பு ஆகும். நாங்கள் உதாரணத்தைத் தீர்க்கிறோம், அதைச் சரிபார்த்து, அடுத்ததைத் தீர்க்கிறோம். நாங்கள் எல்லாவற்றையும் முடிவு செய்தோம் - முதலில் இருந்து கடைசி வரை மீண்டும் சரிபார்த்தோம். ஆனால் மட்டும் பிறகுபதில்களை பாருங்கள்.

கணக்கிடு:

நீங்கள் முடிவு செய்துவிட்டீர்களா?

உங்களுக்கான பதில்களை நாங்கள் தேடுகிறோம். நான் வேண்டுமென்றே, சலனத்திலிருந்து விலகி, குழப்பத்தில் எழுதிவிட்டேன்.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

இப்போது நாம் முடிவுகளை எடுக்கிறோம். எல்லாம் செயல்பட்டால், நான் உங்களுக்காக மகிழ்ச்சியடைகிறேன்! பின்னங்கள் கொண்ட அடிப்படை கணக்கீடுகள் உங்கள் பிரச்சனை அல்ல! நீங்கள் இன்னும் தீவிரமான விஷயங்களைச் செய்யலாம். இல்லை என்றால்...

எனவே உங்களுக்கு இரண்டு பிரச்சனைகளில் ஒன்று உள்ளது. அல்லது இரண்டும் ஒரே நேரத்தில்.) அறிவு இல்லாமை மற்றும் (அல்லது) கவனக்குறைவு. ஆனால் இது தீர்க்கக்கூடிய பிரச்சனைகள்.

இந்த தளம் உங்களுக்கு பிடித்திருந்தால்...

உங்களுக்காக இன்னும் இரண்டு சுவாரஸ்யமான தளங்கள் என்னிடம் உள்ளன.)

உதாரணங்களைத் தீர்ப்பதில் நீங்கள் பயிற்சி செய்யலாம் மற்றும் உங்கள் நிலையைக் கண்டறியலாம். உடனடி சரிபார்ப்புடன் சோதனை. கற்றுக்கொள்வோம் - ஆர்வத்துடன்!)

செயல்பாடுகள் மற்றும் வழித்தோன்றல்களை நீங்கள் அறிந்து கொள்ளலாம்.