ஒரு கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்புக்கான சூத்திரம். கூம்பின் பக்கவாட்டு மற்றும் மொத்த மேற்பரப்பின் பரப்பளவு

இங்கே கூம்புகள் பிரச்சினைகள் உள்ளன, நிலை அதன் மேற்பரப்புடன் தொடர்புடையது. குறிப்பாக, சில சிக்கல்களில் கூம்பின் உயரம் அல்லது அதன் அடிப்பகுதியின் ஆரம் அதிகரிக்கும் போது (குறைக்கும்போது) பகுதியை மாற்றுவதற்கான ஒரு கேள்வி உள்ளது. இல் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான கோட்பாடு. பின்வரும் பணிகளைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

27135. கூம்பின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு 3, ஜெனரேட்டர் 2. கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியைக் கண்டறியவும்.

கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு இதற்கு சமம்:

தரவை மாற்றுதல்:

75697. அதன் ஜெனரேட்ரிக்ஸ் 36 மடங்கு அதிகரித்து, அடித்தளத்தின் ஆரம் அப்படியே இருந்தால், கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு எத்தனை மடங்கு அதிகரிக்கும்?

கூம்பு பக்கவாட்டு பரப்பளவு:

ஜெனரேட்ரிக்ஸ் 36 மடங்கு அதிகரிக்கிறது. ஆரம் அப்படியே உள்ளது, அதாவது அடித்தளத்தின் சுற்றளவு மாறவில்லை.

இதன் பொருள் மாற்றியமைக்கப்பட்ட கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு வடிவம் கொண்டிருக்கும்:

இதனால், 36 மடங்கு அதிகரிக்கும்.

*உறவு நேரடியானது, எனவே இந்த சிக்கலை வாய்வழியாக எளிதாக தீர்க்க முடியும்.

27137. கூம்பின் ஆரம் 1.5 மடங்கு குறைக்கப்பட்டால், கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு எத்தனை முறை குறையும்?

கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு இதற்கு சமம்:

ஆரம் 1.5 மடங்கு குறைகிறது, அதாவது:

பக்கவாட்டு பரப்பளவு 1.5 மடங்கு குறைந்துள்ளது கண்டறியப்பட்டது.

27159. கூம்பின் உயரம் 6, ஜெனரேட்ரிக்ஸ் 10 அதன் மொத்த மேற்பரப்பின் பகுதியை பை ஆல் வகுக்கவும்.

முழு கூம்பு மேற்பரப்பு:

நீங்கள் ஆரம் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்:

உயரம் மற்றும் ஜெனரேட்ரிக்ஸ் அறியப்படுகிறது, பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஆரம் கணக்கிடுகிறோம்:

இதனால்:

முடிவை பை மூலம் பிரித்து பதிலை எழுதவும்.

76299. கூம்பின் மொத்த பரப்பளவு 108. ஒரு பகுதி கூம்பின் அடிப்பகுதிக்கு இணையாக வரையப்பட்டு, உயரத்தை பாதியாகப் பிரிக்கிறது. வெட்டப்பட்ட கூம்பின் மொத்த பரப்பளவைக் கண்டறியவும்.

பிரிவு அடித்தளத்திற்கு இணையான உயரத்தின் நடுவில் செல்கிறது. இதன் பொருள், அடித்தளத்தின் ஆரம் மற்றும் வெட்டப்பட்ட கூம்பின் ஜெனராட்ரிக்ஸ் அசல் கூம்பின் ஆரம் மற்றும் ஜெனராட்ரிக்ஸை விட 2 மடங்கு குறைவாக இருக்கும். வெட்டப்பட்ட கூம்பின் பரப்பளவை எழுதுவோம்:

இது அசல் பரப்பளவை விட 4 மடங்கு குறைவாக இருக்கும் என்று கண்டறிந்தோம், அதாவது 108:4 = 27.

*அசல் மற்றும் துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பு ஒரே மாதிரியான உடல்கள் என்பதால், ஒற்றுமை சொத்தைப் பயன்படுத்தவும் முடிந்தது:

27167. கூம்பின் அடிப்பகுதியின் ஆரம் 3 மற்றும் உயரம் 4. கூம்பின் மொத்த பரப்பளவை பை ஆல் வகுக்கவும்.

கூம்பின் மொத்த மேற்பரப்பிற்கான சூத்திரம்:

ஆரம் அறியப்படுகிறது, ஜெனரேட்ரிக்ஸைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம்.

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி:

இதனால்:

முடிவை பை மூலம் பிரித்து பதிலை எழுதவும்.

பணி. கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு அடித்தளத்தின் பரப்பளவை விட நான்கு மடங்கு அதிகம். கூம்பின் ஜெனராட்ரிக்ஸுக்கும் அடித்தளத்தின் விமானத்திற்கும் இடையிலான கோணத்தின் கோசைன் என்ன என்பதைக் கண்டறியவும்.

கூம்பின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு:

ஒரு கூம்பின் பரப்பளவு (அல்லது வெறுமனே ஒரு கூம்பின் மேற்பரப்பு) அடித்தளம் மற்றும் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது: S = πR எல், R என்பது கூம்பின் அடிப்பகுதியின் ஆரம், மற்றும் எல்- ஒரு கூம்பு உருவாக்கும்.

கூம்பின் அடிப்பகுதியின் பரப்பளவு πR 2 (ஒரு வட்டத்தின் பரப்பளவு) க்கு சமமாக இருப்பதால், கூம்பின் மொத்த மேற்பரப்பின் பரப்பளவு சமமாக இருக்கும்: πR 2 + πR எல்= πR(R+ எல்).

ஒரு கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதிக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவது பின்வரும் காரணத்தால் விளக்கப்படலாம். ஒரு கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் வளர்ச்சியை வரைதல் காட்டட்டும். வளைவு AB ஐ முடிந்தவரை பல சம பாகங்களாகப் பிரித்து, அனைத்து பிரிவு புள்ளிகளையும் வளைவின் மையத்திற்கும், அண்டைப் புள்ளிகளையும் நாண்கள் மூலம் இணைப்போம்.

சமமான முக்கோணங்களின் வரிசையைப் பெறுகிறோம். ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஆ / 2 எங்கே ஏ- முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதியின் நீளம், a ம- அவரது உயர்.

அனைத்து முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை: ஆ / 2 n = anh / 2 எங்கே n- முக்கோணங்களின் எண்ணிக்கை.

அதிக எண்ணிக்கையிலான பிரிவுகளுடன், முக்கோணங்களின் பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகை வளர்ச்சியின் பகுதிக்கு மிக நெருக்கமாகிறது, அதாவது, கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பரப்பளவு. முக்கோணங்களின் அடிப்படைகளின் கூட்டுத்தொகை, அதாவது. ஒரு, வளைவு AB இன் நீளத்திற்கு மிக நெருக்கமாகிறது, அதாவது, கூம்பின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவுக்கு. ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் உயரமும் வளைவின் ஆரத்திற்கு மிக நெருக்கமாகிறது, அதாவது, கூம்பின் ஜெனரேட்ரிக்ஸுக்கு.

இந்த அளவுகளின் அளவுகளில் சிறிய வேறுபாடுகளை புறக்கணித்து, கூம்பின் (S) பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதிக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:

S=C எல் / 2, இங்கு C என்பது கூம்பின் அடிப்பகுதியின் சுற்றளவு, எல்- ஒரு கூம்பு உருவாக்கும்.

C = 2πR, R என்பது கூம்பின் அடிப்பகுதியின் வட்டத்தின் ஆரம் என்பதை அறிந்தால், நாம் பெறுகிறோம்: S = πR எல்.

குறிப்பு.எஸ் = சி சூத்திரத்தில் எல் / 2 துல்லியமான, தோராயமான சமத்துவத்தின் அடையாளம் உள்ளது, இருப்பினும் மேற்கூறிய காரணத்தின் அடிப்படையில் இந்த சமத்துவத்தை தோராயமாக நாம் கருதலாம். ஆனால் மூத்த உயர்நிலைப் பள்ளியில் சமத்துவம் என்பது நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது

S=C எல் / 2 துல்லியமானது, தோராயமானது அல்ல.

தேற்றம். கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அடித்தளத்தின் சுற்றளவு மற்றும் ஜெனராட்ரிக்ஸின் பாதியின் தயாரிப்புக்கு சமம்.

கூம்பில் சில வழக்கமான பிரமிடுகளை பொறித்து (படம்) அதை எழுத்துக்களால் குறிப்பிடுவோம் ஆர்மற்றும் எல்இந்த பிரமிட்டின் அடிப்பகுதி மற்றும் அபோதெம் சுற்றளவு நீளத்தை வெளிப்படுத்தும் எண்கள்.

பின்னர் அதன் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு தயாரிப்பு 1/2 ஆக வெளிப்படுத்தப்படும் ஆர் எல் .

அடித்தளத்தில் பொறிக்கப்பட்ட பலகோணத்தின் பக்கங்களின் எண்ணிக்கை வரம்பில்லாமல் அதிகரிக்கிறது என்று இப்போது வைத்துக்கொள்வோம். பிறகு சுற்றளவு ஆர்அடிப்படை சுற்றளவின் நீளம் C மற்றும் அபோதெம் என எடுக்கப்பட்ட வரம்புக்கு முனையும் எல்கூம்பின் ஜெனரட்ரிக்ஸ் வரம்பாக இருக்கும் (ΔSAK என்பதால் SA - SK
1 / 2 ஆர் எல், 1/2 C வரம்பில் இருக்கும் எல். இந்த வரம்பு கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் அளவாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பை எஸ் என்ற எழுத்துடன் நியமித்து, நாம் எழுதலாம்:

எஸ் = 1/2 சி எல் = சி 1/2 எல்

விளைவுகள்.
1) C = 2 என்பதால் π R, பின்னர் கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு சூத்திரத்தால் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது:

எஸ் = 1/2 2π ஆர் L= π ஆர்.எல்.

2) பக்கவாட்டு மேற்பரப்பை அடித்தளத்தின் பகுதிக்கு சேர்த்தால், கூம்பின் முழு மேற்பரப்பைப் பெறுகிறோம்; எனவே, முழு மேற்பரப்பையும் T ஆல் குறிக்கும், நாம் பெறுவோம்:

T= π RL+ π R2= π ஆர்(எல்+ஆர்)

தேற்றம். துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு அடித்தளங்கள் மற்றும் ஜெனரேட்டரின் வட்டங்களின் நீளத்தின் பாதி கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

சில வழக்கமான துண்டிக்கப்பட்ட பிரமிடுகளை துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பில் (படம்) பதித்து, அதை எழுத்துக்களால் குறிப்பிடுவோம். ஆர், ஆர் 1 மற்றும் எல்இந்த பிரமிட்டின் கீழ் மற்றும் மேல் தளங்கள் மற்றும் அபோதெம் ஆகியவற்றின் சுற்றளவுகளின் நீளத்தை ஒரே நேரியல் அலகுகளில் வெளிப்படுத்தும் எண்கள்.

பின்னர் பொறிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு 1/2 ( ப + ப 1) எல்

பொறிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு முகங்களின் எண்ணிக்கையில் வரம்பற்ற அதிகரிப்புடன், சுற்றளவுகள் ஆர்மற்றும் ஆர் 1 அடிப்படை வட்டங்களின் நீளம் C மற்றும் C 1 ஆக எடுக்கப்பட்ட வரம்புகள் மற்றும் அபோதெம் எல்துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் ஜெனரேட்டர் எல் வரம்பாக உள்ளது. இதன் விளைவாக, பொறிக்கப்பட்ட பிரமிட்டின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் அளவு (C + C 1) L க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வரம்பு துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் அளவாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. S என்ற எழுத்துடன் துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பைக் குறிக்கிறது, எங்களிடம் உள்ளது:

எஸ் = 1 / 2 (சி + சி 1) எல்

விளைவுகள்.
1) R மற்றும் R 1 என்பது கீழ் மற்றும் மேல் தளங்களின் வட்டங்களின் ஆரங்களைக் குறிக்கும் என்றால், துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு:

எஸ் = 1/2 (2 π R+2 π ஆர் 1) எல் = π (ஆர் + ஆர் 1) எல்.

2) ட்ரெப்சாய்டு OO 1 A 1 A (படம்) இல், துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பு பெறப்பட்ட சுழற்சியில் இருந்து, BC நடுத்தர கோட்டை வரைகிறோம், பின்னர் நாம் பெறுகிறோம்:

BC = 1 / 2 (OA + O 1 A 1) = 1 / 2 (R + R 1),

R + R 1 = 2VS.

எனவே,

S=2 π BC L,

அதாவது துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பு நடுத்தர பிரிவு மற்றும் ஜெனரேட்ரிக்ஸின் சுற்றளவுக்கு சமமாக இருக்கும்.

3) துண்டிக்கப்பட்ட கூம்பின் மொத்த மேற்பரப்பு T பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும்:

T= π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)

பள்ளியில் படிக்கும் சுழற்சியின் உடல்கள் சிலிண்டர், கூம்பு மற்றும் பந்து ஆகும்.

கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வில் ஒரு சிக்கலில் நீங்கள் ஒரு கூம்பின் அளவையோ அல்லது ஒரு கோளத்தின் பகுதியையோ கணக்கிட வேண்டும் என்றால், உங்களை அதிர்ஷ்டசாலி என்று கருதுங்கள்.

ஒரு சிலிண்டர், கூம்பு மற்றும் கோளத்தின் அளவு மற்றும் மேற்பரப்புக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துங்கள். அவை அனைத்தும் எங்கள் அட்டவணையில் உள்ளன. இதயத்தால் கற்றுக்கொள்ளுங்கள். ஸ்டீரியோமெட்ரி பற்றிய அறிவு இங்குதான் தொடங்குகிறது.

சில நேரங்களில் மேலே இருந்து காட்சியை வரைவது நல்லது. அல்லது, இந்த சிக்கலைப் போலவே, கீழே இருந்து.

2. இந்த பிரமிட்டில் பொறிக்கப்பட்ட கூம்பின் அளவை விட ஒரு வழக்கமான நாற்கோண பிரமிட்டைச் சுற்றி ஒரு கூம்பின் அளவு எத்தனை மடங்கு அதிகமாக உள்ளது?

இது எளிது - கீழே இருந்து காட்சியை வரையவும். பெரிய வட்டத்தின் ஆரம் சிறிய வட்டத்தின் ஆரத்தை விட மடங்கு பெரியதாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். இரண்டு கூம்புகளின் உயரமும் ஒன்றுதான். எனவே, பெரிய கூம்பின் அளவு இரண்டு மடங்கு பெரியதாக இருக்கும்.

மற்றொரு முக்கியமான புள்ளி. கணிதத்தில் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வின் பகுதி B இன் சிக்கல்களில், பதில் முழு எண் அல்லது இறுதி தசம பின்னமாக எழுதப்பட்டுள்ளது என்பதை நாங்கள் நினைவில் கொள்கிறோம். எனவே, உங்கள் பதிலில் பகுதி B இல் எதுவும் இருக்கக்கூடாது. எண்ணின் தோராயமான மதிப்பையும் மாற்ற வேண்டிய அவசியமில்லை! கண்டிப்பாக சுருங்க வேண்டும்! இந்த நோக்கத்திற்காகவே சில சிக்கல்களில் பணி வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, எடுத்துக்காட்டாக, பின்வருமாறு: "சிலிண்டரின் பக்கவாட்டு மேற்பரப்பின் பகுதியை வகுக்கவும்."

புரட்சியின் உடல்களின் அளவு மற்றும் மேற்பரப்புக்கான சூத்திரங்கள் வேறு எங்கு பயன்படுத்தப்படுகின்றன? நிச்சயமாக, சிக்கலில் C2 (16). அதைப்பற்றியும் உங்களுக்குச் சொல்வோம்.