பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பது எப்படி

இந்த பாடம் இயற்கணித பின்னங்களை போன்ற பிரிவுகளுடன் கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் ஆகியவற்றை உள்ளடக்கும். பொதுவான பின்னங்களை போன்ற பிரிவுகளுடன் எப்படி கூட்டுவது மற்றும் கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இயற்கணித பின்னங்கள் அதே விதிகளைப் பின்பற்றுகின்றன என்று மாறிவிடும். இயற்கணித பின்னங்களுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வதற்கான அடிப்படைக் கற்களில் ஒன்று போன்ற பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களுடன் வேலை செய்யக் கற்றுக்கொள்வது. குறிப்பாக, இந்தத் தலைப்பைப் புரிந்துகொள்வது மிகவும் சிக்கலான தலைப்பில் தேர்ச்சி பெறுவதை எளிதாக்கும் - வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல். பாடத்தின் ஒரு பகுதியாக, இயற்கணித பின்னங்களை போன்ற பிரிவுகளுடன் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதிகளைப் படிப்போம், மேலும் பல பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளையும் பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

இயற்கணித பின்னங்களை போன்ற வகுப்பினருடன் கூட்டுவதற்கும் கழிப்பதற்கும் விதி

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih ffractions from one-on-to-you-mi know-na-te-la-mi (இது சாதாரண ஷாட்-பீட்களுக்கான ஒத்த விதியுடன் ஒத்துப்போகிறது): அதாவது அல்-கெப்-ரா-ஐ-சே-ஸ்கிஹ் பின்னங்களை ஒன்றுக்கு-உங்களுக்குத் தெரியும்- me-on-the-la-mi தேவையான -ho-di-mo எண்களின் தொடர்புடைய al-geb-ra-i-che-sum ஐ உருவாக்கவும், சைன்-me-na-tel எதுவும் இல்லாமல் வெளியேறவும்.

சாதாரண வென்-டிராக்கள் மற்றும் அல்-கெப்-ரா-இ-சே-டிராவின் உதாரணத்திற்கு இந்த விதியை நாங்கள் புரிந்துகொள்கிறோம்.

சாதாரண பின்னங்களுக்கு விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1. பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு

பின்னங்களின் எண்ணிக்கையைச் சேர்த்து, அடையாளத்தை அப்படியே விடுவோம். இதற்குப் பிறகு, எண்ணை சிதைத்து, எளிய பெருக்கல்கள் மற்றும் சேர்க்கைகளில் உள்நுழைகிறோம். அதைப் பெறுவோம்: .

குறிப்பு: ஒரே மாதிரியான உதாரணங்களைத் தீர்க்கும்போது அனுமதிக்கப்படும் நிலையான பிழை, பின்வரும் சாத்தியமான தீர்வில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது: . இது ஒரு பெரிய தவறு, ஏனெனில் இந்த அடையாளம் அசல் பின்னங்களில் இருந்ததைப் போலவே உள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு 2. பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு

இது முந்தையதை விட எந்த வகையிலும் வேறுபட்டதல்ல: .

இயற்கணித பின்னங்களுக்கு விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

சாதாரண ட்ரோ-பீட்களில் இருந்து, நாங்கள் அல்-கெப்-ரா-இ-சே-ஸ்கிமுக்கு செல்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3. பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு: ஏற்கனவே மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, அல்-கெப்-ரா-ஐ-சே-பின்னங்களின் கலவை வழக்கமான ஷாட்-ஃபைட்கள் போன்ற வார்த்தையிலிருந்து எந்த வகையிலும் வேறுபட்டதல்ல. எனவே, தீர்வு முறை ஒன்றே: .

எடுத்துக்காட்டு 4. நீங்கள் பின்னம்: .

தீர்வு

You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih பின்னங்கள்-இருந்து-சேர்ப்பதில் இருந்து-என்பதன் மூலம் மட்டுமே pi-sy-va-et-sya எண்ணிக்கையில் பயன்படுத்தப்படும் பின்னங்களின் எண்ணிக்கையில் உள்ள வேறுபாடு. அதனால் தான் .

எடுத்துக்காட்டு 5. நீங்கள் பின்னம்: .

தீர்வு: .

எடுத்துக்காட்டு 6. எளிமையாக்கு: .

தீர்வு: .

விதியைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள், அதைத் தொடர்ந்து குறைப்பு

கூட்டு அல்லது கணக்கிடுதல் விளைவாக அதே அர்த்தம் கொண்ட ஒரு பின்னத்தில், சேர்க்கைகள் சாத்தியமாகும். கூடுதலாக, அல்-கெப்-ரா-ஐ-சே-ஸ்கி பின்னங்களின் ODZ பற்றி நீங்கள் மறந்துவிடக் கூடாது.

எடுத்துக்காட்டு 7. எளிமையாக்கு: .

தீர்வு: .

அதே நேரத்தில். பொதுவாக, ஆரம்ப பின்னங்களின் ODZ மொத்தத்தின் ODZ உடன் இணைந்தால், அதைத் தவிர்க்கலாம் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, பின்னம் பதிலில் உள்ளது, தொடர்புடைய குறிப்பிடத்தக்க மாற்றங்களுடன் இருக்காது). ஆனால் பயன்படுத்திய பின்னங்களின் ODZ மற்றும் பதில் பொருந்தவில்லை என்றால், ODZ ஐக் குறிப்பிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 8. எளிமைப்படுத்து: .

தீர்வு: . அதே நேரத்தில், y (ஆரம்ப பின்னங்களின் ODZ முடிவின் ODZ உடன் ஒத்துப்போவதில்லை).

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

அல்-கெப்-ரா-இ-சே-பிராக்சன்களை வெவ்வேறு அறி-மீ-ஆன்-தி-லா-மியுடன் சேர்க்க மற்றும் படிக்க, நாங்கள் சாதாரண-வென்-நி பின்னங்களுடன் அனா-லோ-கியூ செய்து, அதை அல்-ஜெபிற்கு மாற்றுவோம். -ரா-இ-சே-பின்னங்கள்.

சாதாரண பின்னங்களுக்கு எளிமையான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

பின்னங்களைச் சேர்ப்பதற்கான விதிகளை நினைவில் கொள்வோம். ஒரு பகுதியுடன் தொடங்குவதற்கு, அதை ஒரு பொதுவான அடையாளத்திற்கு கொண்டு வருவது அவசியம். சாதாரண பின்னங்களுக்கான பொதுவான அடையாளத்தின் பாத்திரத்தில், நீங்கள் செயல்படுகிறீர்கள் குறைந்த பொதுவான பல(NOK) ஆரம்ப அறிகுறிகள்.

வரையறை

மிகச்சிறிய எண், அதே நேரத்தில் எண்களாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும்.

NOC ஐக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் அறிவை எளிய தொகுப்புகளாக உடைக்க வேண்டும், பின்னர் இரண்டு அறிகுறிகளின் பிரிவிலும் சேர்க்கப்பட்டுள்ள பலவற்றைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

; . பின்னர் எண்களின் LCM இரண்டு இரண்டு மற்றும் இரண்டு மூன்றுகளை உள்ளடக்கியிருக்க வேண்டும்: .

பொது அறிவைக் கண்டறிந்த பிறகு, ஒவ்வொரு பின்னமும் ஒரு முழுமையான பன்மடங்கு குடியிருப்பைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம் (உண்மையில், தொடர்புடைய பின்னத்தின் அடையாளத்தில் பொதுவான அடையாளத்தை வைப்பது).

பின்னர் ஒவ்வொரு பின்னமும் அரை-முழு காரணியால் பெருக்கப்படுகிறது. உங்களுக்குத் தெரிந்தவற்றிலிருந்து சில பின்னங்களைப் பெறுவோம், அவற்றைச் சேர்த்து, முந்தைய பாடங்களில் படித்தோம்.

சாப்பிடுவோம்: .

பதில்:.

இப்போது அல்-கெப்-ரா-இ-சே-பின்னங்களின் கலவையை வெவ்வேறு அடையாளங்களுடன் பார்க்கலாம். இப்போது பின்னங்களைப் பார்த்து, ஏதேனும் எண்கள் உள்ளதா என்று பார்ப்போம்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் இயற்கணித பின்னங்களைச் சேர்த்தல் மற்றும் கழித்தல்

எடுத்துக்காட்டு 2.பின்னங்களைச் சேர்: .

தீர்வு:

அல்-கோ-ரிதம் ஆஃப்-சோ-லியுட்-ஆனால் முந்தைய உதாரணத்திற்கு அனா-லோ-கி-சென். கொடுக்கப்பட்ட பின்னங்களின் பொதுவான அடையாளத்தை எடுத்துக்கொள்வது எளிது: மேலும் அவை ஒவ்வொன்றிற்கும் கூடுதல் பெருக்கிகள்.

.

பதில்:.

எனவே, உருவாக்குவோம் அல்-கோ-ரிதம் கலவை மற்றும் வெவ்வேறு அறிகுறிகளுடன் அல்-கெப்-ரா-இ-சே-பின்னங்களின் கணக்கீடு:

1. பின்னத்தின் சிறிய பொதுவான அடையாளத்தைக் கண்டறியவும்.

2. ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் பெருக்கிகளைக் கண்டறியவும் (உண்மையில், அடையாளத்தின் பொதுவான அடையாளம் -வது பின்னம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது).

3. தொடர்புடைய வரை-முழுப் பெருக்கல்களில் பல எண்கள் வரை.

4. பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் அல்லது கணக்கிடவும், வலது-ஆஃப்-மைண்ட் சேர்த்தல்களைப் பயன்படுத்தி மற்றும் அதே அறிவைக் கொண்டு பின்னங்களைக் கணக்கிடுதல் -me-na-te-la-mi.

இப்போது பின்னங்களுடன் ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம், அதன் அடையாளத்தில் நீங்கள் -னியா என்ற எழுத்துக்கள் உள்ளன.

கணிதத்திலிருந்து நாம் அறிந்தபடி, ஒரு பின்ன எண் ஒரு எண் மற்றும் ஒரு வகுப்பைக் கொண்டுள்ளது. எண் மேலே உள்ளது மற்றும் வகு கீழே உள்ளது.

ஒரே வகுப்பில் பின்ன அளவுகளைக் கூட்டுதல் அல்லது கழித்தல் போன்ற கணிதச் செயல்பாடுகளைச் செய்வது மிகவும் எளிது. நீங்கள் எண்களை (மேலே) உள்ள எண்களைச் சேர்க்கவோ அல்லது கழிக்கவோ முடியும், அதே கீழ் எண் மாறாமல் இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்ன எண் 7/9 ஐ இங்கே எடுத்துக் கொள்வோம்:

• மேலே உள்ள "ஏழு" எண் எண் ஆகும்;
• கீழே உள்ள "ஒன்பது" எண் வகுத்தல்.

எடுத்துக்காட்டு 1. கூடுதலாக:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

எடுத்துக்காட்டு 2. கழித்தல்:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட எளிய பின்ன மதிப்புகளைக் கழித்தல்

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட அளவுகளைக் கழிப்பதற்கான கணித செயல்பாட்டைச் செய்ய, நீங்கள் முதலில் அவற்றை ஒரு வகுப்பிற்குக் கொண்டு வர வேண்டும். இந்தப் பணியைச் செய்யும்போது, ​​இந்தப் பொதுப்பிரிவு சாத்தியமான அனைத்து விருப்பங்களிலும் மிகச் சிறியதாக இருக்க வேண்டும் என்ற விதியைக் கடைப்பிடிக்க வேண்டியது அவசியம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் (குறைந்த எண்கள்) இரண்டு எளிய அளவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: 7/8 மற்றும் 2/9.

முதல் மதிப்பிலிருந்து இரண்டாவது கழிக்க வேண்டியது அவசியம்.

தீர்வு பல படிகளைக் கொண்டுள்ளது:

1. பொதுவான குறைந்த எண்ணைக் கண்டறியவும், அதாவது. முதல் பின்னத்தின் குறைந்த மதிப்பு மற்றும் இரண்டாவது இரண்டாலும் வகுபடும் ஒன்று. எட்டு மற்றும் ஒன்பது எண்களின் பெருக்கல் என்பதால் இது 72 என்ற எண்ணாக இருக்கும்.

2. ஒவ்வொரு பின்னத்தின் கீழ் இலக்கமும் அதிகரித்துள்ளது:

• 7/8 என்ற பின்னத்தில் உள்ள "எட்டு" எண் ஒன்பது மடங்கு அதிகரித்துள்ளது - 8*9=72;
• 2/9 என்ற பின்னத்தில் உள்ள “ஒன்பது” எண் எட்டு மடங்கு அதிகரித்துள்ளது - 9*8=72.

3. வகு (கீழ் இலக்கம்) மாறியிருந்தால், எண்ணும் (மேல் இலக்கம்) மாற வேண்டும். தற்போதுள்ள கணித விதியின்படி, மேல் எண்ணை கீழே உள்ள அதே அளவு அதிகரிக்க வேண்டும். அதாவது:

• முதல் பின்னத்தில் (7/8) உள்ள "ஏழு" என்ற எண் "ஒன்பது" என்ற எண்ணால் பெருக்கப்படுகிறது - 7*9=63;
• இரண்டாவது பின்னத்தில் (2/9) உள்ள “இரண்டு” என்ற எண்ணை “எட்டு” - 2*8=16 என்ற எண்ணால் பெருக்குகிறோம்.

4. எங்கள் செயல்களின் விளைவாக, எங்களுக்கு இரண்டு புதிய அளவுகள் கிடைத்தன, இருப்பினும், அவை அசல் அளவைப் போலவே இருக்கும்.

• முதல்: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
• இரண்டாவது: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. இப்போது ஒரு பின்ன எண்ணை மற்றொன்றிலிருந்து கழிக்க முடியும்:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. இந்தச் செயலைச் செய்து, அதே குறைந்த இலக்கங்களுடன் (வகுப்புகள்) பின்னங்களைக் கழிப்பதற்கான தலைப்புக்குத் திரும்புகிறோம். அதாவது, கழித்தல் நடவடிக்கை மேலே, எண்ணில் மேற்கொள்ளப்படும், மேலும் கீழ் இலக்கம் மாற்றங்கள் இல்லாமல் மாற்றப்படும்.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

எடுத்துக்காட்டு 4

கீழே வெவ்வேறு ஆனால் பல எண்களைக் கொண்ட பல பின்னங்களை எடுத்துச் சிக்கலைச் சிக்கலாக்குவோம்.

கொடுக்கப்பட்ட மதிப்புகள்: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

இந்த வரிசையில் அவை ஒருவருக்கொருவர் அகற்றப்பட வேண்டும்.

1. மேலே உள்ள முறையைப் பயன்படுத்தி பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் கொண்டு வருகிறோம், அது "24" என்ற எண்ணாக இருக்கும்:

• 5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
• 1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
• 1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - வகுத்தல் மொத்த எண் “24” என்பதால், இந்த கடைசி மதிப்பை மாற்றாமல் விடுகிறோம்.

2. அனைத்து அளவுகளையும் கழிப்போம்:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பானது ஒரு எண்ணால் வகுபடும் என்பதால், "மூன்று" எண்ணால் வகுப்பதன் மூலம் அவற்றைக் குறைக்கலாம்:

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. பதிலை இப்படி எழுதுகிறோம்:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

எடுத்துக்காட்டு 5

பல பிரிவுகள் அல்லாத மூன்று பின்னங்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன: 3/4; 2/7; 1/13.

நீங்கள் வித்தியாசத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

1. முதல் இரண்டு எண்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம், அது "28" என்ற எண்ணாக இருக்கும்:

• ¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
• 2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. ஒன்றுக்கொன்று முதல் இரண்டு பின்னங்களை கழிக்கவும்:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பிலிருந்து கொடுக்கப்பட்ட மூன்றாவது பகுதியைக் கழிக்கவும்:

4. எண்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம். ஒரே வகுப்பினை எளிதான முறையில் தேர்ந்தெடுக்க முடியாவிட்டால், ஒரே எண்ணிக்கையால் எண்ணின் மதிப்பை அதிகரிக்க மறந்துவிடாமல், அனைத்துப் பிரிவுகளையும் வரிசையாகப் பெருக்குவதன் மூலம் நீங்கள் படிகளைச் செய்ய வேண்டும். இந்த எடுத்துக்காட்டில் நாம் இதைச் செய்கிறோம்:

• 13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, இதில் 13 என்பது 5/13 இன் கீழ் இலக்கமாகும்;
• 5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, இதில் 28 என்பது 13/28 இலிருந்து குறைந்த எண்.

5. விளைந்த பின்னங்களை கழிக்கவும்:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

பதில்: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

கலப்பு பின்னங்கள்

மேலே விவாதிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளில், சரியான பின்னங்கள் மட்டுமே பயன்படுத்தப்பட்டன.

உதாரணமாக:

• 8/9 என்பது சரியான பின்னம்;
• 9/8 தவறானது.

முறையற்ற பின்னத்தை சரியான பின்னமாக மாற்றுவது சாத்தியமில்லை, ஆனால் அதை மாற்றுவது சாத்தியமாகும் கலந்தது. மேல் எண்ணை (நியூமரேட்டர்) கீழ் (வகுப்பால்) வகுத்து, மீதியுள்ள எண்ணை ஏன் பெறுகிறீர்கள்? வகுத்தலின் விளைவாக வரும் முழு எண் இப்படி எழுதப்படுகிறது, மீதமுள்ளவை மேலே உள்ள எண்ணில் எழுதப்படுகின்றன, மேலும் கீழே உள்ள வகுப்பினரும் அப்படியே இருக்கும். அதை தெளிவுபடுத்த, ஒரு குறிப்பிட்ட உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 6

முறையற்ற பின்னம் 9/8 ஐ சரியான பின்னமாக மாற்றவும்.

இதைச் செய்ய, "ஒன்பது" எண்ணை "எட்டு" ஆல் வகுக்கவும், இதன் விளைவாக ஒரு முழு எண் மற்றும் மீதமுள்ள ஒரு கலப்பு பின்னம் கிடைக்கும்:

9: 8 = 1 மற்றும் 1/8 (இதை 1+1/8 என வேறு விதமாக எழுதலாம்), எங்கே:

• எண் 1 என்பது பிரிவின் விளைவாக வரும் முழு எண்;
• மற்றொரு எண் 1 மீதமுள்ளது;
• எண் 8 வகுத்தல், இது மாறாமல் உள்ளது.

ஒரு முழு எண் இயற்கை எண் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

மீதமுள்ள மற்றும் வகுத்தல் ஒரு புதிய, ஆனால் சரியான பின்னம்.

எண் 1 ஐ எழுதும் போது, ​​அது சரியான பின்னம் 1/8 க்கு முன் எழுதப்படுகிறது.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் கலப்பு எண்களைக் கழித்தல்

மேலே இருந்து, ஒரு கலப்பு பின்ன எண்ணின் வரையறையை நாங்கள் தருகிறோம்: "கலப்பு எண் - இது ஒரு முழு எண் மற்றும் சரியான சாதாரண பின்னத்தின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான அளவு. இந்த வழக்கில், முழு பகுதியும் அழைக்கப்படுகிறது இயற்கை எண், மற்றும் மீதமுள்ள எண் அவருடையது பகுதியளவு».

எடுத்துக்காட்டு 7

கொடுக்கப்பட்டவை: முழு எண் மற்றும் சரியான பின்னம் கொண்ட இரண்டு கலப்பு பகுதி அளவுகள்:

• முதல் மதிப்பு 9 மற்றும் 4/7, அதாவது (9+4/7);
• இரண்டாவது மதிப்பு 3 மற்றும் 5/21, அதாவது (3+5/21).

இந்த அளவுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கண்டறிவது அவசியம்.

1. 9+4/7 இலிருந்து 3+5/21 ஐக் கழிக்க, நீங்கள் முதலில் முழு எண் மதிப்புகளை ஒருவருக்கொருவர் கழிக்க வேண்டும்:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. இரண்டு கலப்பு எண்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாட்டின் விளைவாக இயற்கையான (முழு எண்) எண் 6 மற்றும் சரியான பின்னம் 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

அனைத்து நாடுகளின் கணிதவியலாளர்களும், கலப்பு அளவுகளை எழுதும் போது "+" அடையாளத்தைத் தவிர்த்துவிட்டு, எந்த ஒரு குறியும் இல்லாமல் பின்னத்தின் முன் முழு எண்ணை மட்டும் விட்டுவிடலாம் என்று ஒப்புக்கொண்டுள்ளனர்.

பகுதியளவு வெளிப்பாடுகள் ஒரு குழந்தைக்கு புரிந்துகொள்வது கடினம். பெரும்பாலான மக்களுக்கு சிரமங்கள் உள்ளன. "முழு எண்களுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பது" என்ற தலைப்பைப் படிக்கும் போது, ​​குழந்தை ஒரு மயக்கத்தில் விழுகிறது, சிக்கலைத் தீர்ப்பது கடினம். பல எடுத்துக்காட்டுகளில், ஒரு செயலைச் செய்வதற்கு முன், தொடர்ச்சியான கணக்கீடுகள் செய்யப்பட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களை மாற்றவும் அல்லது முறையற்ற பின்னத்தை சரியான பின்னமாக மாற்றவும்.

குழந்தைக்கு தெளிவாக விளக்குவோம். மூன்று ஆப்பிள்களை எடுத்துக்கொள்வோம், அவற்றில் இரண்டு முழுதாக இருக்கும், மூன்றாவது 4 பகுதிகளாக வெட்டவும். வெட்டப்பட்ட ஆப்பிளில் இருந்து ஒரு துண்டுகளை பிரித்து, மீதமுள்ள மூன்றை இரண்டு முழு பழங்களுக்கு அடுத்ததாக வைக்கவும். ஒரு பக்கத்தில் ¼ ஆப்பிள் மற்றும் மறுபுறம் 2 ¾ கிடைக்கும். அவற்றை இணைத்தால், மூன்று ஆப்பிள்கள் கிடைக்கும். 2 ¾ ஆப்பிள்களை ¼ ஆல் குறைக்க முயற்சிப்போம், அதாவது மற்றொரு துண்டை அகற்றினால் 2 2/4 ஆப்பிள்கள் கிடைக்கும்.

முழு எண்களைக் கொண்ட பின்னங்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகளை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்:

முதலில், ஒரு பொதுவான வகுப்பைக் கொண்ட பகுதி வெளிப்பாடுகளுக்கான கணக்கீட்டு விதியை நினைவில் கொள்வோம்:

முதல் பார்வையில், எல்லாம் எளிதானது மற்றும் எளிமையானது. ஆனால் இது மாற்றம் தேவையில்லாத வெளிப்பாடுகளுக்கு மட்டுமே பொருந்தும்.

வகுப்புகள் வித்தியாசமாக இருக்கும் வெளிப்பாட்டின் மதிப்பை எவ்வாறு கண்டறிவது

சில பணிகளில், பிரிவுகள் வேறுபட்டிருக்கும் வெளிப்பாட்டின் பொருளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கைப் பார்ப்போம்:
3 2/7+6 1/3

இரண்டு பின்னங்களுக்கு பொதுவான வகுப்பினைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் இந்த வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்.

7 மற்றும் 3 எண்களுக்கு, இது 21. முழு எண் பகுதிகளை அப்படியே விட்டுவிட்டு, பகுதியளவு பகுதிகளை 21 க்கு கொண்டு வருகிறோம், இதற்காக முதல் பகுதியை 3 ஆல் பெருக்குகிறோம், இரண்டாவது 7 ஆல், நாம் பெறுகிறோம்:
6/21+7/21, முழு பகுதிகளையும் மாற்ற முடியாது என்பதை மறந்துவிடாதீர்கள். இதன் விளைவாக, ஒரே வகுப்பில் இரண்டு பின்னங்களைப் பெற்று அவற்றின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுகிறோம்:
3 6/21+6 7/21=9 15/21
கூட்டலின் விளைவாக ஏற்கனவே ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்ட தவறான பின்னமாக இருந்தால் என்ன செய்வது:
2 1/3+3 2/3
இந்த வழக்கில், முழு எண் பகுதிகள் மற்றும் பகுதியளவு பகுதிகளைச் சேர்க்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்:
5 3/3, உங்களுக்குத் தெரியும், 3/3 என்பது ஒன்று, அதாவது 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6

தொகையைக் கண்டறிவது தெளிவாக உள்ளது, கழித்தலைப் பார்ப்போம்:

சொல்லப்பட்ட எல்லாவற்றிலிருந்தும், கலப்பு எண்களுடன் செயல்படுவதற்கான விதி பின்வருமாறு:

• நீங்கள் ஒரு பகுதியின் வெளிப்பாட்டிலிருந்து ஒரு முழு எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் இரண்டாவது எண்ணை ஒரு பின்னமாக குறிப்பிட வேண்டிய அவசியமில்லை, முழு எண் பாகங்களில் மட்டுமே செயல்பாட்டைச் செய்தால் போதும்.

வெளிப்பாடுகளின் அர்த்தத்தை நாமே கணக்கிட முயற்சிப்போம்:

"m" என்ற எழுத்தின் கீழ் உள்ள உதாரணத்தை உற்று நோக்கலாம்:

4 5/11-2 8/11, முதல் பின்னத்தின் எண் இரண்டாவது பகுதியை விட குறைவாக உள்ளது. இதைச் செய்ய, முதல் பகுதியிலிருந்து ஒரு முழு எண்ணைக் கடன் வாங்குகிறோம், பெறுகிறோம்,
3 5/11+11/11=3 முழு 16/11, முதல் பின்னத்தில் இருந்து இரண்டாவது கழிக்கவும்:
3 16/11-2 8/11=1 முழு 8/11

• பணியை முடிக்கும்போது கவனமாக இருங்கள், தவறான பின்னங்களை கலப்பு பின்னங்களாக மாற்ற மறக்காதீர்கள், முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தவும். இதைச் செய்ய, நீங்கள் எண் மதிப்பை வகுப்பின் மதிப்பால் வகுக்க வேண்டும், நீங்கள் பெறுவது முழுப் பகுதியின் இடத்தைப் பெறுகிறது, மீதமுள்ளவை எண்களாக இருக்கும், எடுத்துக்காட்டாக:

19/4=4 ¾, சரிபார்ப்போம்: 4*4+3=19, வகுத்தல் 4 மாறாமல் உள்ளது.

சுருக்கமாகக் கூறுவோம்:

பின்னங்கள் தொடர்பான பணியைத் தொடங்குவதற்கு முன், அது என்ன வகையான வெளிப்பாடு, தீர்வு சரியாக இருக்க, பின்னத்தில் என்ன மாற்றங்கள் செய்யப்பட வேண்டும் என்பதை பகுப்பாய்வு செய்வது அவசியம். இன்னும் பகுத்தறிவு தீர்வைத் தேடுங்கள். கடினமான வழியில் செல்ல வேண்டாம். அனைத்து செயல்களையும் திட்டமிடுங்கள், அவற்றை முதலில் வரைவு வடிவத்தில் தீர்க்கவும், பின்னர் அவற்றை உங்கள் பள்ளி நோட்புக்கிற்கு மாற்றவும்.

பகுதி வெளிப்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது குழப்பத்தைத் தவிர்க்க, நீங்கள் நிலைத்தன்மையின் விதியைப் பின்பற்ற வேண்டும். அவசரப்படாமல் எல்லாவற்றையும் கவனமாக முடிவு செய்யுங்கள்.

சாதாரண பின்னங்களுடன் செய்யக்கூடிய அடுத்த செயல் கழித்தல் ஆகும். இந்த பொருளில், ஒத்த மற்றும் வகுப்புகளைப் போலல்லாமல், ஒரு இயற்கை எண்ணிலிருந்து ஒரு பகுதியை எவ்வாறு கழிப்பது மற்றும் நேர்மாறாகவும் உள்ள பின்னங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை எவ்வாறு சரியாகக் கணக்கிடுவது என்பதைப் பார்ப்போம். அனைத்து எடுத்துக்காட்டுகளும் சிக்கல்களுடன் விளக்கப்படும். பின்னங்களின் வேறுபாடு நேர்மறை எண்ணில் விளையும் நிகழ்வுகளை மட்டுமே நாங்கள் ஆராய்வோம் என்பதை முன்கூட்டியே தெளிவுபடுத்துவோம்.

Yandex.RTB R-A-339285-1

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை எவ்வாறு கண்டறிவது

ஒரு தெளிவான உதாரணத்துடன் இப்போதே தொடங்குவோம்: எட்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட ஒரு ஆப்பிள் உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். தட்டில் ஐந்து பாகங்களை விட்டு அதில் இரண்டை எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த செயலை இப்படி எழுதலாம்:

இதன் விளைவாக, 5 − 2 = 3 என்பதால், எங்களிடம் 3 எட்டாவது மீதமுள்ளது. 5 8 - 2 8 = 3 8 என்று மாறிவிடும்.

இந்த எளிய உதாரணத்தின் மூலம், பிரிவினைகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் பின்னங்களுக்குக் கழித்தல் விதி எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்த்தோம். அதை முறைப்படுத்துவோம்.

வரையறை 1

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கண்டறிய, நீங்கள் ஒன்றின் எண்ணிலிருந்து மற்றொன்றின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும். இந்த விதியை b - c b = a - c b என எழுதலாம்.

எதிர்காலத்தில் இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்.

குறிப்பிட்ட உதாரணங்களை எடுத்துக் கொள்வோம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

24 15 என்ற பின்னத்திலிருந்து பொதுவான பின்னம் 17 15 ஐ கழிக்கவும்.

தீர்வு

இந்த பின்னங்கள் ஒரே பிரிவைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம். எனவே நாம் செய்ய வேண்டியது 24ல் இருந்து 17ஐ கழிப்பதுதான். நாம் 7 ஐப் பெறுகிறோம், அதில் வகுப்பினைச் சேர்த்தால், நமக்கு 7 15 கிடைக்கும்.

எங்கள் கணக்கீடுகளை பின்வருமாறு எழுதலாம்: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

தேவைப்பட்டால், நீங்கள் ஒரு சிக்கலான பகுதியைக் குறைக்கலாம் அல்லது கணக்கீட்டை மிகவும் வசதியாக மாற்ற, முறையற்ற பகுதியிலிருந்து முழுப் பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 2

37 12 - 15 12 வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

மேலே விவரிக்கப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடுவோம்: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

எண் மற்றும் வகுப்பினை 2 ஆல் வகுக்க முடியும் என்பதைக் கவனிப்பது எளிது (வகுத்தல் அறிகுறிகளை ஆராய்ந்தபோது இதைப் பற்றி முன்பே பேசினோம்). பதிலைச் சுருக்கினால், நமக்கு 11 6 கிடைக்கும். இது ஒரு முறையற்ற பின்னம், அதில் இருந்து முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுப்போம்: 11 6 = 1 5 6.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களின் வேறுபாட்டை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

இந்த கணித செயல்பாட்டை நாம் ஏற்கனவே மேலே விவரித்ததைக் குறைக்கலாம். இதைச் செய்ய, தேவையான பின்னங்களை ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கிறோம். ஒரு வரையறையை உருவாக்குவோம்:

வரையறை 2

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கண்டறிய, அவற்றை ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைத்து, எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டைக் கண்டறிய வேண்டும்.

இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

2 9 இலிருந்து 1 15 என்ற பின்னத்தை கழிக்கவும்.

தீர்வு

பிரிவுகள் வேறுபட்டவை, மேலும் அவற்றை நீங்கள் சிறிய பொதுவான மதிப்பாகக் குறைக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், LCM 45 ஆகும். முதல் பகுதிக்கு கூடுதல் காரணி 5 தேவைப்படுகிறது, இரண்டாவது - 3.

கணக்கிடுவோம்: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

எங்களிடம் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட இரண்டு பின்னங்கள் உள்ளன, இப்போது முன்னர் விவரிக்கப்பட்ட வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி அவற்றின் வேறுபாட்டை எளிதாகக் கண்டறியலாம்: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

தீர்வின் சுருக்கமான சுருக்கம் இதுபோல் தெரிகிறது: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.

தேவைப்பட்டால், முடிவைக் குறைப்பதையோ அல்லது முழு பகுதியையும் அதிலிருந்து பிரிப்பதையோ புறக்கணிக்காதீர்கள். இந்த எடுத்துக்காட்டில் நாம் அதை செய்ய வேண்டியதில்லை.

எடுத்துக்காட்டு 4

வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும் 19 9 - 7 36.

தீர்வு

நிபந்தனையில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள பின்னங்களை மிகக் குறைந்த பொதுவான 36 க்குக் குறைத்து முறையே 76 9 மற்றும் 7 36 ஐப் பெறுவோம்.

நாங்கள் பதிலைக் கணக்கிடுகிறோம்: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

முடிவை 3 ஆல் குறைக்கலாம் மற்றும் 23 12 ஐப் பெறலாம். எண் வகுப்பை விட பெரியது, அதாவது முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கலாம். இறுதி விடை 111 12 ஆகும்.

முழு தீர்வின் சுருக்கமான சுருக்கம் 19 9 - 7 36 = 1 11 12 ஆகும்.

ஒரு பொதுவான பின்னத்திலிருந்து இயற்கை எண்ணைக் கழிப்பது எப்படி

இந்தச் செயலை சாதாரண பின்னங்களின் எளிய கழிப்பிற்கு எளிதாகக் குறைக்கலாம். ஒரு இயற்கை எண்ணை பின்னமாக குறிப்பிடுவதன் மூலம் இதைச் செய்யலாம். அதை ஒரு உதாரணத்துடன் காண்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5

83 21 - 3 வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

3 என்பது 3 1க்கு சமம். பின்னர் நீங்கள் அதை இவ்வாறு கணக்கிடலாம்: 83 21 - 3 = 20 21.

நிபந்தனைக்கு முறையற்ற பின்னத்திலிருந்து முழு எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும் என்றால், முதலில் அதிலிருந்து முழு எண்ணைப் பிரித்து கலப்பு எண்ணாக எழுதுவது மிகவும் வசதியானது. முந்தைய உதாரணத்தை வேறு விதமாக தீர்க்க முடியும்.

83 21 என்ற பகுதியிலிருந்து, முழுப் பகுதியையும் பிரிக்கும்போது, ​​83 21 = 3 20 21 கிடைக்கும்.

இப்போது அதிலிருந்து 3 ஐக் கழிப்போம்: 3 20 21 - 3 = 20 21.

இயற்கை எண்ணிலிருந்து ஒரு பகுதியை எப்படி கழிப்பது

இந்த செயல் முந்தையதைப் போலவே செய்யப்படுகிறது: இயற்கை எண்ணை ஒரு பின்னமாக மீண்டும் எழுதுகிறோம், இரண்டையும் ஒரே வகுப்பில் கொண்டு வந்து வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும். இதை ஒரு உதாரணத்தின் மூலம் விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 6

வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும்: 7 - 5 3 .

தீர்வு

7 ஒரு பின்னம் 7 1 ஆக்குவோம். நாங்கள் கழித்தலைச் செய்து இறுதி முடிவை மாற்றுகிறோம், அதிலிருந்து முழு பகுதியையும் பிரிக்கிறோம்: 7 - 5 3 = 5 1 3.

கணக்கீடுகளை செய்ய மற்றொரு வழி உள்ளது. சிக்கலில் உள்ள பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் அதிக எண்ணிக்கையில் இருக்கும் சந்தர்ப்பங்களில் இது சில நன்மைகளைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறை 3

கழிக்கப்பட வேண்டிய பின்னம் சரியானதாக இருந்தால், நாம் கழிக்கும் இயற்கை எண்ணானது இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்பட வேண்டும், அதில் ஒன்று 1 க்கு சமம். இதற்குப் பிறகு, நீங்கள் ஒற்றுமையிலிருந்து விரும்பிய பகுதியைக் கழித்து, பதிலைப் பெற வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 7

1 065 - 13 62 வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு

கழிக்கப்பட வேண்டிய பின்னம் சரியானது, ஏனெனில் அதன் எண் அதன் வகுப்பை விட குறைவாக உள்ளது. எனவே, 1065 இலிருந்து ஒன்றைக் கழித்து, அதிலிருந்து விரும்பிய பகுதியைக் கழிக்க வேண்டும்: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

இப்போது நாம் பதில் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். கழித்தல் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, விளைவான வெளிப்பாட்டை 1064 + 1 - 13 62 என எழுதலாம். அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வேறுபாட்டைக் கணக்கிடுவோம். இதைச் செய்ய, அலகு ஒரு பின்னம் 1 1 ஆக கற்பனை செய்வோம்.

1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 என்று மாறிவிடும்.

இப்போது 1064 ஐ நினைவில் வைத்து பதிலை உருவாக்குவோம்: 1064 49 62.

இது குறைவான வசதியானது என்பதை நிரூபிக்க பழைய முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். நாங்கள் கொண்டு வரும் கணக்கீடுகள் இவை:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4

பதில் ஒன்றுதான், ஆனால் கணக்கீடுகள் மிகவும் சிக்கலானவை.

சரியான பின்னத்தை கழிக்க வேண்டிய வழக்கைப் பார்த்தோம். அது தவறாக இருந்தால், அதை ஒரு கலப்பு எண்ணுடன் மாற்றி, பழக்கமான விதிகளின்படி கழிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 8

644 - 73 5 வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு

இரண்டாவது பின்னம் ஒரு முறையற்ற பின்னம், மேலும் முழு பகுதியும் அதிலிருந்து பிரிக்கப்பட வேண்டும்.

இப்போது நாம் முந்தைய உதாரணத்தைப் போலவே கணக்கிடுகிறோம்: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

பின்னங்களுடன் பணிபுரியும் போது கழித்தல் பண்புகள்

இயல்பான எண்களைக் கழிக்கும் பண்புகள் சாதாரண பின்னங்களின் கழித்தல் நிகழ்வுகளுக்கும் பொருந்தும். எடுத்துக்காட்டுகளைத் தீர்க்கும்போது அவற்றை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 9

24 4 - 3 2 - 5 6 வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

ஒரு எண்ணிலிருந்து ஒரு தொகையைக் கழிப்பதைப் பார்க்கும்போது இதே போன்ற எடுத்துக்காட்டுகளை நாங்கள் ஏற்கனவே தீர்த்துள்ளோம், எனவே ஏற்கனவே அறியப்பட்ட வழிமுறையைப் பின்பற்றுகிறோம். முதலில், 25 4 - 3 2 வித்தியாசத்தைக் கணக்கிடுவோம், பின்னர் அதிலிருந்து கடைசி பகுதியைக் கழிப்போம்:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

முழுப் பகுதியையும் பிரித்து விடையை மாற்றுவோம். முடிவு - 3 11 12.

முழு தீர்வின் சுருக்கமான சுருக்கம்:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

வெளிப்பாடு பின்னங்கள் மற்றும் இயற்கை எண்கள் இரண்டையும் கொண்டிருந்தால், கணக்கிடும் போது அவற்றை வகையின்படி தொகுக்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 10

98 + 17 20 - 5 + 3 5 வித்தியாசத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு

கழித்தல் மற்றும் கூட்டல் ஆகியவற்றின் அடிப்படை பண்புகளை அறிந்து, எண்களை பின்வருமாறு தொகுக்கலாம்: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

கணக்கீடுகளை முடிப்போம்: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்கள் மற்றும் . எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:

நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். பீட்சாவுடன் பீட்சாவை சேர்த்தால், பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .

பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. பணியின் முடிவு வரும்போது, ​​முறையற்ற பின்னங்களை அகற்றுவது வழக்கம். முறையற்ற பகுதியை அகற்ற, நீங்கள் அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில், முழு பகுதியும் எளிதில் தனிமைப்படுத்தப்படுகிறது - இரண்டை இரண்டால் வகுக்க ஒன்று சமம்:

இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவைப் பற்றி நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3. பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .

மீண்டும், நாங்கள் எண்களைக் கூட்டி, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடுகிறோம்:

மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 4.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. எண்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்:

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்து மேலும் பீஸ்ஸாக்களைச் சேர்த்தால், 1 முழு பீட்சாவும் மேலும் பீட்சாவும் கிடைக்கும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:

1. ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்;

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பதை இப்போது கற்றுக்கொள்வோம். பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​பின்னங்களின் பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் அவை எப்போதும் ஒரே மாதிரி இருப்பதில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களைச் சேர்க்கலாம், ஏனெனில் அவை ஒரே வகுப்பினரைக் கொண்டுள்ளன.

ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், பின்னங்களை உடனடியாகச் சேர்க்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

பின்னங்களை ஒரே வகுப்பில் குறைக்க பல வழிகள் உள்ளன. இன்று நாம் அவற்றில் ஒன்றை மட்டுமே பார்ப்போம், ஏனென்றால் மற்ற முறைகள் ஒரு தொடக்கக்காரருக்கு சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம்.

இந்த முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM தேடப்படுகிறது. முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெற, LCM ஆனது முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கப்படுகிறது. அவை இரண்டாவது பின்னத்துடன் அவ்வாறே செய்கின்றன - LCM இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது.

பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்களின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறுகின்றன. அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. பின்னங்களைச் சேர்ப்போம் மற்றும்

முதலாவதாக, இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்குகளைக் காண்கிறோம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 6 ஆகும்.

LCM (2 மற்றும் 3) = 6

இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் . முதலில், LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3. 6 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 2 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் எண் 2 முதல் கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை முதல் பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். இதைச் செய்ய, பின்னத்தின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதவும்:

இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் பிரித்து இரண்டாவது கூடுதல் காரணியைப் பெறுகிறோம். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 6 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் எண் 3 இரண்டாவது கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை இரண்டாவது பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். மீண்டும், இரண்டாவது பகுதியின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் கூடுதலாக அனைத்தையும் தயார் செய்துள்ளோம். பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க வேண்டும்:

நாம் வந்ததை கவனமாக பாருங்கள். வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:

இது உதாரணத்தை நிறைவு செய்கிறது. இது சேர்க்க மாறிவிடும்.

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சாவும், பீட்சாவில் ஆறில் ஒரு பங்கும் கிடைக்கும்.

பின்னங்களை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைப்பதும் படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். பின்னங்களைக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த இரண்டு பின்னங்களும் ஒரே பீட்சா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும். ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், இந்த முறை அவை சம பங்குகளாக பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்கு குறைக்கப்படும்).

முதல் வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் நான்கு துண்டுகள்), மற்றும் இரண்டாவது வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் மூன்று துண்டுகள்). இந்த துண்டுகளைச் சேர்த்தால் நமக்குக் கிடைக்கும் (ஆறில் ஏழு துண்டுகள்). இந்த பின்னம் முறையற்றது, எனவே அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தினோம். இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு கிடைத்தது (ஒரு முழு பீஸ்ஸா மற்றும் மற்றொரு ஆறாவது பீஸ்ஸா).

இந்த உதாரணத்தை நாங்கள் மிகவும் விரிவாக விவரித்துள்ளோம் என்பதை நினைவில் கொள்க. கல்வி நிறுவனங்களில் இவ்வளவு விரிவாக எழுதும் வழக்கம் இல்லை. நீங்கள் இரண்டு பிரிவுகளின் LCM மற்றும் அவற்றுக்கான கூடுதல் காரணிகளை விரைவாகக் கண்டறிய முடியும், அத்துடன் கண்டறியப்பட்ட கூடுதல் காரணிகளை உங்கள் எண்கள் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் விரைவாகப் பெருக்க வேண்டும். நாம் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை பின்வருமாறு எழுத வேண்டும்:

ஆனால் நாணயத்திற்கு இன்னொரு பக்கமும் உள்ளது. கணிதம் படிக்கும் முதல் கட்டங்களில் நீங்கள் விரிவான குறிப்புகளை எடுக்கவில்லை என்றால், அந்த வகையான கேள்விகள் தோன்ற ஆரம்பிக்கும். "அந்த எண் எங்கிருந்து வருகிறது?", "பின்னங்கள் ஏன் திடீரென்று முற்றிலும் மாறுபட்ட பின்னங்களாக மாறுகின்றன? «.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்வரும் படிப்படியான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்:

1. பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்;
2. ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் LCM ஐப் பிரித்து, ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்;
3. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்;
4. ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்;
5. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்;

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் .

மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்துவோம்.

படி 1. பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்

இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னங்களின் பிரிவுகள் எண்கள் 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும்

படி 2. ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் LCM ஐப் பிரித்து ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்

LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 12 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 6 கிடைக்கும். முதல் கூடுதல் காரணி 6 கிடைத்தது. முதல் பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 4 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் மூன்றாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 3. மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

படி 3. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்

எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்குகிறோம்:

படி 4. அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். இந்த பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. அதைச் சேர்க்கவும்:

கூட்டல் ஒரு வரியில் பொருந்தவில்லை, எனவே மீதமுள்ள வெளிப்பாட்டை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தினோம். இது கணிதத்தில் அனுமதிக்கப்படுகிறது. ஒரு வெளிப்பாடு ஒரு வரியில் பொருந்தாதபோது, ​​​​அது அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தப்படுகிறது, மேலும் முதல் வரியின் முடிவிலும் புதிய வரியின் தொடக்கத்திலும் சமமான அடையாளத்தை (=) வைக்க வேண்டியது அவசியம். இரண்டாவது வரியில் உள்ள சம அடையாளம் இது முதல் வரியில் இருந்த வெளிப்பாட்டின் தொடர்ச்சி என்பதைக் குறிக்கிறது.

படி 5. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழுப் பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தவும்

எங்கள் பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. அதன் முழுப் பகுதியையும் நாம் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். நாங்கள் முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்:

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

பின்னங்களின் கழித்தல் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும். இதைச் செய்வோம்:

நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் இருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீஸ்ஸா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

மீண்டும், முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்திலிருந்து, இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழித்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:

மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து மீதமுள்ள பின்னங்களின் எண்களைக் கழிக்க வேண்டும்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதே பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:

1. ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்;
2. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்கலாம், ஏனெனில் பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பினரைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது நாம் பயன்படுத்திய அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி பொதுவான வகுப்பான் காணப்படுகிறது. முதலில், இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னர் LCM முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் முதல் கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது. இதேபோல், LCM இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது.

பின்னங்கள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்பாட்டின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாற்றப்படுகின்றன. அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே நீங்கள் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.

முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 12 ஆகும்.

LCM (3 மற்றும் 4) = 12

இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் திரும்புவோம்

முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ முதல் பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். முதல் பின்னத்திற்கு மேலே நான்கை எழுதவும்:

இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். இரண்டாவது பின்னத்தின் மீது மூன்றை எழுதவும்:

இப்போது நாம் கழிப்பதற்கு தயாராக உள்ளோம். பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்

இது தீர்வின் விரிவான பதிப்பாகும். நாங்கள் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை சுருக்கமாக தீர்க்க வேண்டும். அத்தகைய தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பது ஒரு படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். இந்த பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்து, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த பின்னங்கள் ஒரே பீஸ்ஸா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும், ஆனால் இந்த முறை அவை சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்):

முதல் படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் எட்டு துண்டுகள்), இரண்டாவது படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் மூன்று துண்டுகள்). எட்டு துண்டுகளிலிருந்து மூன்று துண்டுகளை வெட்டுவதன் மூலம், பன்னிரண்டில் ஐந்து துண்டுகள் கிடைக்கும். பின்னம் இந்த ஐந்து பகுதிகளை விவரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே முதலில் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.

இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

பின்னங்களின் வகுத்தல்கள் எண்கள் 10, 3 மற்றும் 5 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 30 ஆகும்.

LCM(10, 3, 5) = 30

இப்போது ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணிகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கவும்.

முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 10 ஆகும். 30 ஐ 10 ஆல் வகுத்தால், முதல் கூடுதல் காரணி 3 ஐப் பெறுகிறோம். அதை முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது இரண்டாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 30 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 10 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது மூன்றாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் மூன்றாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 5 ஆகும். 30 ஐ 5 ஆல் வகுத்தால், மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 6 ஐப் பெறுகிறோம். அதை மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது எல்லாம் கழிக்க தயாராக உள்ளது. பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை முடிப்போம்.

உதாரணத்தின் தொடர்ச்சி ஒரு வரியில் பொருந்தாது, எனவே தொடர்ச்சியை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்துகிறோம். புதிய வரியில் சம அடையாளத்தை (=) மறந்துவிடாதீர்கள்:

பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, எல்லாமே நமக்கு ஏற்றதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் அது மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் அசிங்கமானது. நாம் அதை எளிதாக்க வேண்டும். என்ன செய்ய முடியும்? இந்த பகுதியை நீங்கள் சுருக்கலாம்.

ஒரு பகுதியைக் குறைக்க, அதன் எண் மற்றும் வகுப்பினை 20 மற்றும் 30 எண்களின் (GCD) மூலம் வகுக்க வேண்டும்.

எனவே, 20 மற்றும் 30 எண்களின் gcd ஐக் காண்கிறோம்:

இப்போது நாம் எங்கள் உதாரணத்திற்குத் திரும்பி, பின்னத்தின் எண்ணிக்கையையும் வகுப்பையும் கண்டறிந்த ஜிசிடியால் வகுக்கிறோம், அதாவது 10 ஆல் வகுக்கிறோம்.

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்க, கொடுக்கப்பட்ட பின்னத்தின் எண்ணை அந்த எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு பகுதியை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்

ரெக்கார்டிங் அரை 1 முறை எடுத்ததை புரிந்து கொள்ளலாம். உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு முறை பீட்சா எடுத்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்

பெருக்கல் விதிகள் மூலம், பெருக்கல் மற்றும் காரணி மாற்றப்பட்டால், தயாரிப்பு மாறாது என்பதை நாம் அறிவோம். வெளிப்பாடு என எழுதப்பட்டால், தயாரிப்பு இன்னும் சமமாக இருக்கும். மீண்டும், ஒரு முழு எண்ணையும் ஒரு பகுதியையும் பெருக்குவதற்கான விதி செயல்படுகிறது:

இந்த குறியீடானது ஒன்றின் பாதியை எடுத்துக்கொள்வதாக புரிந்து கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 1 முழு பீட்சா இருந்தால், அதில் பாதியை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பீட்சா சாப்பிடுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

பின்னத்தின் எண்ணை 4 ஆல் பெருக்கவும்

பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

இரண்டு காலாண்டுகளை 4 முறை எடுத்துக்கொள்வதாக வெளிப்பாடு புரிந்து கொள்ள முடியும். உதாரணமாக, நீங்கள் 4 பீஸ்ஸாக்களை எடுத்துக் கொண்டால், உங்களுக்கு இரண்டு முழு பீஸ்ஸாக்கள் கிடைக்கும்

மேலும் நாம் பெருக்கி மற்றும் பெருக்கியை மாற்றினால், வெளிப்பாடு கிடைக்கும். இது 2க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வெளிப்பாடு நான்கு முழு பீஸ்ஸாக்களிலிருந்து இரண்டு பீஸ்ஸாக்களை எடுப்பதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்:

பின்னங்களை பெருக்குதல்

பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை நீங்கள் பெருக்க வேண்டும். பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது. இந்த பகுதியைக் குறைப்பது நல்லது. பின்னத்தை 2 ஆல் குறைக்கலாம். பின்னர் இறுதி தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

அரை பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை எடுப்பது போன்ற வெளிப்பாடுகளை புரிந்து கொள்ளலாம். எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இந்த பாதியில் இருந்து மூன்றில் இரண்டு பங்கை எப்படி எடுப்பது? முதலில் நீங்கள் இந்த பாதியை மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்க வேண்டும்:

இந்த மூன்று துண்டுகளிலிருந்து இரண்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

நாங்கள் பீட்சா செய்வோம். மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீஸ்ஸா எப்படி இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

இந்த பீட்சாவின் ஒரு துண்டு மற்றும் நாங்கள் எடுத்த இரண்டு துண்டுகள் ஒரே பரிமாணங்களைக் கொண்டிருக்கும்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாங்கள் அதே அளவு பீட்சாவைப் பற்றி பேசுகிறோம். எனவே வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு

எடுத்துக்காட்டு 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:

பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:

பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, ஆனால் அதை சுருக்கினால் நன்றாக இருக்கும். இந்தப் பகுதியைக் குறைக்க, இந்த பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 105 மற்றும் 450 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பால் (GCD) வகுக்க வேண்டும்.

எனவே, 105 மற்றும் 450 எண்களின் gcd ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:

இப்போது நாம் கண்டறிந்த ஜிசிடியால், அதாவது 15ஆல் நமது பதிலின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுக்கிறோம்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாகக் குறிக்கும்

எந்த முழு எண்ணையும் ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 5 ஐக் குறிப்பிடலாம். இது ஐந்தின் பொருளை மாற்றாது, ஏனெனில் வெளிப்பாட்டின் பொருள் "ஒன்றால் வகுக்கப்படும் எண் ஐந்து", மேலும் இது ஐந்துக்கு சமம்:

பரஸ்பர எண்கள்

இப்போது நாம் கணிதத்தில் மிகவும் சுவாரஸ்யமான தலைப்பைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். இது "தலைகீழ் எண்கள்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை. எண்ணுக்குத் தலைகீழ்அ பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண்அ ஒன்றை கொடுக்கிறது.

இந்த வரையறையில் மாறிக்கு பதிலாக மாற்றுவோம் அஎண் 5 மற்றும் வரையறையைப் படிக்க முயற்சிக்கவும்:

எண்ணுக்குத் தலைகீழாக 5 பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண் 5 ஒன்றை கொடுக்கிறது.

5 ஆல் பெருக்கினால், ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? அது சாத்தியம் என்று மாறிவிடும். ஐந்தை ஒரு பின்னமாக கற்பனை செய்வோம்:

இந்த பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கி, எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கலாம், தலைகீழாக மட்டுமே:

இதன் விளைவாக என்ன நடக்கும்? இந்த உதாரணத்தைத் தொடர்ந்து தீர்த்துக்கொண்டால், ஒன்றைப் பெறுவோம்:

இதன் பொருள், எண் 5 இன் தலைகீழ் எண் , நீங்கள் 5 ஐப் பெருக்கும்போது ஒன்று கிடைக்கும்.

ஒரு எண்ணின் எதிரொலியை வேறு எந்த முழு எண்ணுக்கும் காணலாம்.

வேறு எந்தப் பகுதியினதும் எதிரொலியையும் நீங்கள் காணலாம். இதைச் செய்ய, அதைத் திருப்புங்கள்.

ஒரு பகுதியை எண்ணால் வகுத்தல்

எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

அதை இரண்டிற்கும் சமமாகப் பிரிப்போம். ஒவ்வொருவருக்கும் எவ்வளவு பீட்சா கிடைக்கும்?

பாதி பீட்சாவைப் பிரித்த பிறகு, இரண்டு சமமான துண்டுகள் கிடைத்தன, அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு பீட்சாவை உருவாக்குகின்றன. அதனால் அனைவருக்கும் பீட்சா கிடைக்கும்.

பின்னங்களின் பிரிவு பரஸ்பரங்களைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது. பரஸ்பர எண்கள் வகுப்பை பெருக்கத்துடன் மாற்ற உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் வகுக்க, நீங்கள் பிரிவின் தலைகீழ் மூலம் பகுதியைப் பெருக்க வேண்டும்.

இந்த விதியைப் பயன்படுத்தி, பீட்சாவின் பாதியை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிப்பதை எழுதுவோம்.

எனவே, நீங்கள் பின்னத்தை எண் 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும். இங்கே ஈவுத்தொகை பின்னம் மற்றும் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும்.

ஒரு பின்னத்தை எண் 2 ஆல் வகுக்க, நீங்கள் இந்த பின்னத்தை வகுக்கும் 2 இன் பரஸ்பரத்தால் பெருக்க வேண்டும். எனவே நீங்கள் பெருக்க வேண்டும்