பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது எடுத்துக்காட்டுகள். சாதாரண பின்னங்களை பெருக்குதல்: விதிகள், எடுத்துக்காட்டுகள், தீர்வுகள்

சாதாரண பின்ன எண்கள் முதலில் 5 ஆம் வகுப்பில் பள்ளி மாணவர்களைச் சந்தித்து அவர்களின் வாழ்நாள் முழுவதும் அவர்களுடன் செல்கின்றன, ஏனெனில் அன்றாட வாழ்க்கையில் ஒரு பொருளை முழுவதுமாக அல்ல, ஆனால் தனித்தனி துண்டுகளாகக் கருத்தில் கொள்வது அல்லது பயன்படுத்துவது அவசியம். இந்த தலைப்பைப் படிக்கத் தொடங்குங்கள் - பங்குகள். பங்குகள் சம பாகங்கள், இதில் இந்த அல்லது அந்த பொருள் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஒரு முழு எண்ணாக ஒரு பொருளின் நீளம் அல்லது விலையை வெளிப்படுத்துவது எப்போதும் சாத்தியமில்லை; "பிரிவது" என்ற வினைச்சொல்லில் இருந்து உருவாக்கப்பட்டது - பகுதிகளாகப் பிரிப்பது மற்றும் அரபு வேர்களைக் கொண்டது, "பின்னம்" என்ற சொல் 8 ஆம் நூற்றாண்டில் ரஷ்ய மொழியில் எழுந்தது.

பின்னம் வெளிப்பாடுகள் நீண்ட காலமாக கணிதத்தின் மிகவும் கடினமான கிளையாகக் கருதப்படுகின்றன. 17 ஆம் நூற்றாண்டில், கணிதத்தில் முதல் பாடப்புத்தகங்கள் தோன்றியபோது, ​​​​அவை "உடைந்த எண்கள்" என்று அழைக்கப்பட்டன, இது மக்கள் புரிந்து கொள்ள மிகவும் கடினமாக இருந்தது.

எளிமையான பகுதியளவு எச்சங்களின் நவீன வடிவம், அதன் பகுதிகள் கிடைமட்டக் கோட்டால் பிரிக்கப்படுகின்றன, முதலில் ஃபைபோனச்சி - லியோனார்டோ ஆஃப் பைசாவால் ஊக்குவிக்கப்பட்டது. இவருடைய படைப்புகள் 1202 ஆம் ஆண்டைச் சேர்ந்தவை. ஆனால் இக்கட்டுரையின் நோக்கமானது, பல்வேறு பிரிவுகளுடன் கலந்த பின்னங்கள் எவ்வாறு பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை எளிமையாகவும் தெளிவாகவும் வாசகருக்கு விளக்குவதாகும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைப் பெருக்குதல்

ஆரம்பத்தில் அதை தீர்மானிப்பது மதிப்பு பின்னங்களின் வகைகள்:

• சரியான;
• தவறான;
• கலந்தது.

அடுத்து, அதே வகுப்பினருடன் பின்ன எண்கள் எவ்வாறு பெருக்கப்படுகின்றன என்பதை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். இந்த செயல்முறையின் விதியை சுயாதீனமாக உருவாக்குவது கடினம் அல்ல: ஒரே மாதிரியான பிரிவுகளுடன் எளிய பின்னங்களைப் பெருக்குவதன் விளைவு ஒரு பகுதியளவு வெளிப்பாடு ஆகும், இதன் எண் எண்களின் விளைபொருளாகும், மேலும் வகுப்பானது இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் விளைபொருளாகும். . அதாவது, உண்மையில், புதிய வகுப்பானது ஆரம்பத்தில் இருக்கும் ஒன்றின் சதுரமாகும்.

பெருக்கும் போது வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட எளிய பின்னங்கள்இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட காரணிகளுக்கு விதி மாறாது:

ஒரு/பி * c/ஈ = a*c / b*d.

ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், பின்னக் கோட்டின் கீழ் உருவாக்கப்பட்ட எண் வெவ்வேறு எண்களின் விளைபொருளாக இருக்கும், இயற்கையாகவே, அதை ஒரு எண் வெளிப்பாட்டின் சதுரம் என்று அழைக்க முடியாது.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கருத்தில் கொள்வது மதிப்பு:

• 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
• 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .

எடுத்துக்காட்டுகள் பகுதியளவு வெளிப்பாடுகளைக் குறைக்கும் முறைகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. பின்னம் கோட்டிற்கு மேலே அல்லது கீழே உள்ள காரணிகளை வகுத்தல் எண்களுடன் மட்டுமே நீங்கள் குறைக்க முடியும்.

எளிய பின்னங்களுடன், கலப்பு பின்னங்கள் என்ற கருத்தும் உள்ளது. ஒரு கலப்பு எண் ஒரு முழு எண் மற்றும் ஒரு பகுதியளவு பகுதியைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது, இது இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை:

1 4/ 11 =1 + 4/ 11.

பெருக்கல் எவ்வாறு செயல்படுகிறது?

பரிசீலனைக்கு பல எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.

எடுத்துக்காட்டு ஒரு எண்ணின் பெருக்கத்தைப் பயன்படுத்துகிறது சாதாரண பகுதியளவு, இந்த செயலுக்கான விதியை இவ்வாறு எழுதலாம்:

ஒரு* b/c = a*b /c.

உண்மையில், அத்தகைய தயாரிப்பு ஒரே மாதிரியான பகுதியளவு எச்சங்களின் கூட்டுத்தொகையாகும், மேலும் சொற்களின் எண்ணிக்கை இந்த இயற்கை எண்ணைக் குறிக்கிறது. சிறப்பு வழக்கு:

4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.

ஒரு எண்ணை ஒரு பகுதி மீதியால் பெருக்க மற்றொரு தீர்வு உள்ளது. நீங்கள் வகுப்பினை இந்த எண்ணால் வகுக்க வேண்டும்:

d* இ/f = இ/f: d.

வகுத்தல் ஒரு இயற்கை எண்ணால் மீதம் இல்லாமல் அல்லது அவர்கள் சொல்வது போல் முழு எண்ணால் வகுக்கப்படும் போது இந்த நுட்பம் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

கலப்பு எண்களை முறையற்ற பின்னங்களாக மாற்றி, முன்பு விவரிக்கப்பட்ட வழியில் தயாரிப்பைப் பெறவும்:

1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.

இந்த எடுத்துக்காட்டில் ஒரு கலப்புப் பகுதியை ஒரு முறையற்ற பின்னமாகக் குறிப்பிடும் வழியை உள்ளடக்கியது, மேலும் பொதுவான சூத்திரமாகவும் குறிப்பிடலாம்:

அ பிc = a*b+ c / c, புதிய பின்னத்தின் வகுத்தல், முழுப் பகுதியையும் வகுப்பினருடன் பெருக்கி, அசல் பின்னம் எஞ்சியிருக்கும் எண்ணுடன் சேர்ப்பதன் மூலம் உருவாகிறது, மேலும் வகுப்பானது அப்படியே இருக்கும்.

இந்த செயல்முறையும் எதிர் திசையில் செயல்படுகிறது. முழு பகுதியையும் பகுதியளவு எஞ்சிய பகுதியையும் பிரிக்க, நீங்கள் ஒரு "மூலையில்" பயன்படுத்தி தவறான பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை அதன் வகுப்பினால் வகுக்க வேண்டும்.

முறையற்ற பின்னங்களைப் பெருக்குதல்பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட முறையில் தயாரிக்கப்பட்டது. ஒற்றைப் பின்னக் கோட்டின் கீழ் எழுதும் போது, ​​இந்த முறையைப் பயன்படுத்தி எண்களைக் குறைக்கவும், முடிவைக் கணக்கிடுவதை எளிதாக்கவும் தேவையான பின்னங்களை நீங்கள் குறைக்க வேண்டும்.

நிரல்களின் பல்வேறு மாறுபாடுகளில் சிக்கலான கணித சிக்கல்களைக் கூட தீர்க்க இணையத்தில் பல உதவியாளர்கள் உள்ளனர். இத்தகைய சேவைகளின் போதுமான எண்ணிக்கையானது பிரிவுகளில் வெவ்வேறு எண்களைக் கொண்ட பின்னங்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுவதில் தங்கள் உதவியை வழங்குகின்றன - பின்னங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான ஆன்லைன் கால்குலேட்டர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை பெருக்குவது மட்டுமல்லாமல், சாதாரண பின்னங்கள் மற்றும் கலப்பு எண்களுடன் மற்ற அனைத்து எளிய எண்கணித செயல்பாடுகளையும் செய்ய முடியும். இணையத்தளப் பக்கத்தில் பொருத்தமான புலங்களை நிரப்பி, கணிதச் செயல்பாட்டின் அடையாளத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து, "கணக்கிடு" என்பதைக் கிளிக் செய்வது கடினம் அல்ல; நிரல் தானாகவே கணக்கிடுகிறது.

பின்னங்கள் கொண்ட எண்கணித செயல்பாடுகளின் தலைப்பு நடுத்தர மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களின் கல்வி முழுவதும் பொருத்தமானது. உயர்நிலைப் பள்ளியில், அவர்கள் இனி எளிய இனங்கள் கருதுகின்றனர், ஆனால் முழு எண் பகுதி வெளிப்பாடுகள், ஆனால் மாற்றத்திற்கான விதிகள் மற்றும் முன்னர் பெறப்பட்ட கணக்கீடுகளின் அறிவு அதன் அசல் வடிவத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நன்கு தேர்ச்சி பெற்ற அடிப்படை அறிவு மிகவும் சிக்கலான பிரச்சனைகளை வெற்றிகரமாக தீர்ப்பதில் முழுமையான நம்பிக்கையை அளிக்கிறது.

முடிவில், லெவ் நிகோலாவிச் டால்ஸ்டாயின் வார்த்தைகளை மேற்கோள் காட்டுவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கிறது: "மனிதன் ஒரு பின்னம். மனிதனின் எண்ணை - தகுதியை - அதிகப்படுத்துவது மனிதனின் சக்தியில் இல்லை, ஆனால் எவரும் தனது வகுப்பினை - தன்னைப் பற்றிய தனது கருத்தை குறைக்க முடியும், மேலும் இந்த குறைவினால் அவனது முழுமைக்கு நெருங்கி வரும்.

பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மற்றும் கழிப்பது எப்படி என்பதை கடந்த முறை கற்றுக்கொண்டோம் ("பின்னங்களைக் கூட்டுதல் மற்றும் கழித்தல்" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்). அந்த செயல்களின் மிகவும் கடினமான பகுதி பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருவது.

இப்போது பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் சமாளிக்க நேரம். நல்ல செய்தி என்னவென்றால், இந்த செயல்பாடுகள் கூட்டல் மற்றும் கழிப்பதை விட எளிமையானவை. முதலில், பிரிக்கப்பட்ட முழு எண் பகுதி இல்லாமல் இரண்டு நேர்மறை பின்னங்கள் இருக்கும்போது எளிமையான வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

இரண்டு பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்களையும் வகுப்பினையும் தனித்தனியாகப் பெருக்க வேண்டும். முதல் எண் புதிய பின்னத்தின் எண்ணாகவும், இரண்டாவது பிரிவாகவும் இருக்கும்.

இரண்டு பின்னங்களைப் பிரிக்க, நீங்கள் முதல் பகுதியை "தலைகீழ்" இரண்டாவது பகுதியால் பெருக்க வேண்டும்.

பதவி:

பின்னங்களைப் பிரிப்பது பெருக்கமாகக் குறைகிறது என்பதை வரையறையிலிருந்து பின்பற்றுகிறது. ஒரு பகுதியை "புரட்ட", எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். எனவே, பாடம் முழுவதும் நாம் முக்கியமாக பெருக்கத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

பெருக்கத்தின் விளைவாக, குறைக்கக்கூடிய பின்னம் எழலாம் (பெரும்பாலும் எழுகிறது) - அது நிச்சயமாக குறைக்கப்பட வேண்டும். அனைத்து குறைப்புகளுக்குப் பிறகும் பின்னம் தவறாக மாறிவிட்டால், முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். ஆனால் பெருக்கினால் நிச்சயமாக நடக்காதது ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பதாகும்: குறுக்கு-குறுக்கு முறைகள் இல்லை, பெரிய காரணிகள் மற்றும் குறைவான பொதுவான மடங்குகள்.

வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

முழு பகுதிகள் மற்றும் எதிர்மறை பின்னங்களுடன் பின்னங்களை பெருக்குதல்

பின்னங்கள் ஒரு முழு எண் பகுதியைக் கொண்டிருந்தால், அவை முறையற்றவையாக மாற்றப்பட வேண்டும் - பின்னர் மட்டுமே மேலே விவரிக்கப்பட்ட திட்டங்களின்படி பெருக்கப்படும்.

ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிலோ, வகுப்பிலோ அல்லது அதற்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் இருந்தால், அதை பின்வரும் விதிகளின்படி பெருக்கத்திலிருந்து எடுக்கலாம் அல்லது முழுவதுமாக அகற்றலாம்:

1. பிளஸ் பை மைனஸ் மைனஸ் கொடுக்கிறது;
2. இரண்டு எதிர்மறைகள் ஒரு உறுதிமொழியை உருவாக்குகின்றன.

இப்போது வரை, இந்த விதிகள் எதிர்மறையான பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் மட்டுமே சந்தித்தன, முழுப் பகுதியையும் அகற்ற வேண்டிய அவசியம் ஏற்பட்டால். ஒரு வேலையைப் பொறுத்தவரை, ஒரே நேரத்தில் பல குறைபாடுகளை "எரிக்க" அவை பொதுமைப்படுத்தப்படலாம்:

1. அவர்கள் முற்றிலும் மறைந்து போகும் வரை நாம் ஜோடிகளாக எதிர்மறைகளை கடக்கிறோம். தீவிர நிகழ்வுகளில், ஒரு மைனஸ் உயிர்வாழ முடியும் - துணை இல்லாத ஒன்று;
2. மைனஸ்கள் எதுவும் இல்லை என்றால், செயல்பாடு முடிந்தது - நீங்கள் பெருக்க ஆரம்பிக்கலாம். அதற்கு ஜோடி இல்லாததால் கடைசி கழித்தல் கடக்கப்படாவிட்டால், பெருக்கத்தின் வரம்புக்கு வெளியே அதை எடுத்துக்கொள்கிறோம். இதன் விளைவாக எதிர்மறை பின்னம்.

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

அனைத்து பின்னங்களையும் முறையற்றவையாக மாற்றுகிறோம், பின்னர் பெருக்கத்திலிருந்து கழித்தல்களை எடுத்துக்கொள்கிறோம். வழக்கமான விதிகளின்படி மீதமுள்ளவற்றைப் பெருக்குகிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

தனிப்படுத்தப்பட்ட முழுப் பகுதியையும் கொண்ட பின்னத்தின் முன் தோன்றும் கழித்தல் அதன் முழுப் பகுதியையும் குறிப்பதில்லை, (இது கடைசி இரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளுக்குப் பொருந்தும்) என்பதை மீண்டும் ஒருமுறை நினைவுபடுத்துகிறேன்.

எதிர்மறை எண்களுக்கும் கவனம் செலுத்துங்கள்: பெருக்கும்போது, ​​அவை அடைப்புக்குறிக்குள் இணைக்கப்படும். பெருக்கல் குறிகளிலிருந்து மைனஸ்களைப் பிரித்து முழுக் குறிப்பையும் துல்லியமாக மாற்றுவதற்காக இது செய்யப்படுகிறது.

பறக்கும்போது பின்னங்களைக் குறைத்தல்

பெருக்கல் என்பது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த செயலாகும். இங்குள்ள எண்கள் மிகப் பெரியதாக மாறிவிட்டன, மேலும் சிக்கலை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்னத்தை மேலும் குறைக்க முயற்சி செய்யலாம். பெருக்குவதற்கு முன். உண்மையில், சாராம்சத்தில், பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் சாதாரண காரணிகள், எனவே, அவை ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்படலாம். எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள்:

பணி. வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

வரையறையின்படி எங்களிடம் உள்ளது:

எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளிலும், குறைக்கப்பட்ட எண்கள் மற்றும் அவற்றில் எஞ்சியுள்ளவை சிவப்பு நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளன.

தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: முதல் வழக்கில், பெருக்கிகள் முற்றிலும் குறைக்கப்பட்டன. அவற்றின் இடத்தில் பொதுவாக எழுதப்பட வேண்டிய அவசியமில்லாத அலகுகள் உள்ளன. இரண்டாவது எடுத்துக்காட்டில், முழுமையான குறைப்பை அடைவது சாத்தியமில்லை, ஆனால் கணக்கீடுகளின் மொத்த அளவு இன்னும் குறைந்துள்ளது.

இருப்பினும், பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போதும் கழிக்கும்போதும் இந்த நுட்பத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டாம்! ஆம், சில நேரங்களில் நீங்கள் குறைக்க விரும்பும் ஒரே மாதிரியான எண்கள் உள்ளன. இதோ, பார்:

உன்னால் அது முடியாது!

பிழை நிகழ்கிறது, ஏனெனில் சேர்க்கும் போது, ​​ஒரு பின்னத்தின் எண்ணிக்கையானது ஒரு தொகையை உருவாக்குகிறது, எண்களின் பெருக்கத்தை அல்ல. இதன் விளைவாக, ஒரு பின்னத்தின் அடிப்படை சொத்தை பயன்படுத்துவது சாத்தியமற்றது, ஏனெனில் இந்த சொத்து குறிப்பாக எண்களின் பெருக்கத்துடன் தொடர்புடையது.

பின்னங்களைக் குறைப்பதற்கு வேறு காரணங்கள் எதுவும் இல்லை, எனவே முந்தைய சிக்கலுக்கான சரியான தீர்வு இதுபோல் தெரிகிறது:

சரியான தீர்வு:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சரியான பதில் மிகவும் அழகாக இல்லை. பொதுவாக, கவனமாக இருங்கள்.

அகில்லெஸ் ஆமையை விட பத்து மடங்கு வேகமாக ஓடி அதற்கு ஆயிரம் அடிகள் பின்னால் செல்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்த தூரம் ஓட அகில்லெஸ் எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். அகில்லெஸ் நூறு படிகள் ஓடும்போது, ​​ஆமை இன்னும் பத்து படிகள் ஊர்ந்து செல்லும், மற்றும் பல. இந்த செயல்முறை முடிவில்லாமல் தொடரும், அகில்லெஸ் ஒருபோதும் ஆமையைப் பிடிக்க மாட்டார்.

இந்த பகுத்தறிவு அனைத்து அடுத்தடுத்த தலைமுறைகளுக்கும் ஒரு தர்க்கரீதியான அதிர்ச்சியாக மாறியது. அரிஸ்டாட்டில், டியோஜெனெஸ், கான்ட், ஹெகல், ஹில்பர்ட்... இவர்கள் அனைவரும் ஏதோ ஒரு வகையில் ஜெனோவின் அபோரியாவைக் கருதினர். அதிர்ச்சி மிகவும் வலுவாக இருந்தது" ... விவாதங்கள் இன்றுவரை தொடர்கின்றன; முரண்பாடுகளின் சாராம்சம் குறித்த பொதுவான கருத்துக்கு விஞ்ஞான சமூகம் இன்னும் வரவில்லை. ; அவை எதுவும் பிரச்சனைக்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வாக மாறவில்லை."[விக்கிபீடியா, "ஜீனோஸ் அபோரியா". எல்லோரும் தாங்கள் ஏமாறுகிறார்கள் என்பதை புரிந்துகொள்கிறார்கள், ஆனால் ஏமாற்றுவது என்னவென்று யாருக்கும் புரியவில்லை.

கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், ஜெனோ தனது அபோரியாவில் அளவிலிருந்து க்கு மாறுவதைத் தெளிவாகக் காட்டினார். இந்த மாற்றம் நிரந்தரமானவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. நான் புரிந்து கொண்டவரை, மாறி அளவீட்டு அலகுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான கணிதக் கருவி இன்னும் உருவாக்கப்படவில்லை அல்லது அது ஜெனோவின் அபோரியாவில் பயன்படுத்தப்படவில்லை. நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்துவது நம்மை ஒரு பொறிக்குள் இட்டுச் செல்கிறது. நாம், சிந்தனையின் மந்தநிலை காரணமாக, பரஸ்பர மதிப்புக்கு நேரத்தின் நிலையான அலகுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், அகில்லெஸ் ஆமையைப் பிடிக்கும் தருணத்தில் அது முற்றிலும் நின்றுவிடும் வரை நேரம் குறைவது போல் தெரிகிறது. நேரம் நின்று விட்டால், அகில்லெஸால் ஆமையை மிஞ்ச முடியாது.

நாம் நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைத் திருப்பினால், எல்லாம் சரியாகிவிடும். அகில்லெஸ் நிலையான வேகத்தில் இயங்குகிறது. அவரது பாதையின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த பிரிவும் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவாக உள்ளது. அதன்படி, அதைக் கடக்க செலவழித்த நேரம் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவு. இந்த சூழ்நிலையில் "முடிவிலி" என்ற கருத்தை நாம் பயன்படுத்தினால், "அகில்லெஸ் ஆமையை எல்லையற்ற விரைவாகப் பிடிக்கும்" என்று சொல்வது சரியாக இருக்கும்.

இந்த தர்க்கரீதியான பொறியைத் தவிர்ப்பது எப்படி? நேரத்தின் நிலையான அலகுகளில் இருங்கள் மற்றும் பரஸ்பர அலகுகளுக்கு மாறாதீர்கள். ஜெனோவின் மொழியில் இது போல் தெரிகிறது:

அகில்லெஸ் ஆயிரம் படிகள் ஓட எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். முதல் முறைக்கு சமமான அடுத்த இடைவெளியில், அகில்லெஸ் இன்னும் ஆயிரம் படிகள் ஓடுவார், ஆமை நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். இப்போது அகில்லெஸ் ஆமையை விட எண்ணூறு படிகள் முன்னால் இருக்கிறார்.

இந்த அணுகுமுறை தர்க்கரீதியான முரண்பாடுகள் இல்லாமல் யதார்த்தத்தை போதுமான அளவில் விவரிக்கிறது. ஆனால் இது பிரச்சனைக்கு முழுமையான தீர்வு அல்ல. ஒளியின் வேகத்தின் தவிர்க்க முடியாத தன்மையைப் பற்றிய ஐன்ஸ்டீனின் கூற்று ஜீனோவின் அபோரியா "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" போன்றது. நாம் இன்னும் இந்த சிக்கலைப் படித்து, மறுபரிசீலனை செய்து தீர்க்க வேண்டும். மேலும் தீர்வை எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் அல்ல, அளவீட்டு அலகுகளில் தேட வேண்டும்.

ஜீனோவின் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான அபோரியா பறக்கும் அம்பு பற்றி கூறுகிறது:

பறக்கும் அம்பு அசைவற்றது, ஏனெனில் அது ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஓய்வில் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு தருணத்திலும் அது ஓய்வில் இருப்பதால், அது எப்போதும் ஓய்வில் இருக்கும்.

இந்த அபோரியாவில், தர்க்கரீதியான முரண்பாடு மிகவும் எளிமையாகக் கடக்கப்படுகிறது - ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஒரு பறக்கும் அம்பு விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் ஓய்வில் உள்ளது என்பதை தெளிவுபடுத்துவது போதுமானது, இது உண்மையில் இயக்கம். இன்னொரு விஷயத்தையும் இங்கு கவனிக்க வேண்டும். சாலையில் ஒரு காரின் ஒரு புகைப்படத்திலிருந்து அதன் இயக்கத்தின் உண்மை அல்லது அதற்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு கார் நகர்கிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, ஒரே புள்ளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் உங்களுக்குத் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து தூரத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு காருக்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க, உங்களுக்கு ஒரு நேரத்தில் விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து நீங்கள் இயக்கத்தின் உண்மையை தீர்மானிக்க முடியாது (நிச்சயமாக, கணக்கீடுகளுக்கு உங்களுக்கு இன்னும் கூடுதல் தரவு தேவை, முக்கோணவியல் உங்களுக்கு உதவும். ) நான் சிறப்பு கவனம் செலுத்த விரும்புவது என்னவென்றால், நேரத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் குழப்பமடையக்கூடாது, ஏனென்றால் அவை ஆராய்ச்சிக்கு வெவ்வேறு வாய்ப்புகளை வழங்குகின்றன.

புதன், ஜூலை 4, 2018

செட் மற்றும் மல்டிசெட் இடையே உள்ள வேறுபாடுகள் விக்கிபீடியாவில் நன்றாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. பார்க்கலாம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "ஒரு தொகுப்பில் இரண்டு ஒத்த கூறுகள் இருக்க முடியாது," ஆனால் ஒரு தொகுப்பில் ஒரே மாதிரியான கூறுகள் இருந்தால், அத்தகைய தொகுப்பு "மல்டிசெட்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. நியாயமான மனிதர்கள் இத்தகைய அபத்தமான தர்க்கத்தை ஒருபோதும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார்கள். "முழுமையாக" என்ற வார்த்தையிலிருந்து எந்த அறிவும் இல்லாத, பேசும் கிளிகள் மற்றும் பயிற்சி பெற்ற குரங்குகளின் நிலை இதுதான். கணிதவியலாளர்கள் சாதாரண பயிற்சியாளர்களாக செயல்படுகிறார்கள், அவர்களின் அபத்தமான கருத்துக்களை நமக்குப் போதிக்கிறார்கள்.

ஒரு சமயம், பாலத்தை கட்டிய பொறியாளர்கள் பாலத்தின் அடியில் படகில் சென்று சோதனை செய்து கொண்டிருந்தனர். பாலம் இடிந்து விழுந்தால், சாதாரண பொறியாளர் தனது படைப்பின் இடிபாடுகளில் இறந்தார். பாலம் சுமைகளைத் தாங்கினால், திறமையான பொறியாளர் மற்ற பாலங்களைக் கட்டினார்.

கணிதவியலாளர்கள் "என்னை மனதில் கொள்ளுங்கள், நான் வீட்டில் இருக்கிறேன்" அல்லது "கணிதம் சுருக்கக் கருத்துக்களைப் படிக்கிறது" என்ற சொற்றொடருக்குப் பின்னால் எப்படி மறைந்தாலும், அவற்றை யதார்த்தத்துடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கும் ஒரு தொப்புள் கொடி உள்ளது. இந்த தொப்புள் கொடி பணம். கணிதத் தொகுப்புக் கோட்பாட்டை கணிதவியலாளர்களுக்கே பயன்படுத்துவோம்.

நாங்கள் கணிதத்தை நன்றாகப் படித்தோம், இப்போது நாங்கள் பணப் பதிவேட்டில் உட்கார்ந்து சம்பளம் கொடுக்கிறோம். எனவே ஒரு கணிதவியலாளர் தனது பணத்திற்காக எங்களிடம் வருகிறார். நாங்கள் அவருக்கு முழுத் தொகையையும் எண்ணி, அதை வெவ்வேறு குவியல்களில் எங்கள் மேஜையில் வைக்கிறோம், அதில் ஒரே மதிப்பின் பில்களை வைக்கிறோம். ஒவ்வொரு பைலில் இருந்தும் ஒரு பில் எடுத்து கணிதவியலாளருக்கு அவருடைய "கணித சம்பளம்" கொடுக்கிறோம். ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு, ஒரே மாதிரியான தனிமங்களைக் கொண்ட தொகுப்பிற்குச் சமமானதல்ல என்பதை நிரூபித்தபோதுதான் மீதமுள்ள பில்களைப் பெறுவார் என்பதை கணிதவியலாளருக்கு விளக்குவோம். இங்குதான் வேடிக்கை தொடங்குகிறது.

முதலாவதாக, பிரதிநிதிகளின் தர்க்கம் வேலை செய்யும்: "இது மற்றவர்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் எனக்கு அல்ல!" ஒரே மதிப்பின் பில்களில் வெவ்வேறு பில் எண்கள் உள்ளன, அதாவது அவை ஒரே கூறுகளாக கருதப்பட முடியாது என்று அவர்கள் எங்களுக்கு உறுதியளிக்கத் தொடங்குவார்கள். சரி, சம்பளத்தை நாணயங்களில் எண்ணுவோம் - நாணயங்களில் எண்கள் இல்லை. இங்கே கணிதவியலாளர் இயற்பியலை வெறித்தனமாக நினைவில் கொள்ளத் தொடங்குவார்: வெவ்வேறு நாணயங்களில் வெவ்வேறு அளவு அழுக்குகள் உள்ளன, படிக அமைப்பு மற்றும் அணுக்களின் அமைப்பு ஒவ்வொரு நாணயத்திற்கும் தனித்துவமானது.

இப்போது எனக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமான கேள்வி உள்ளது: மல்டிசெட்டின் கூறுகள் ஒரு தொகுப்பின் கூறுகளாக மாறுவதற்கும் நேர்மாறாகவும் மாற்றும் கோடு எங்கே? அத்தகைய வரி இல்லை - எல்லாம் ஷாமன்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, விஞ்ஞானம் இங்கே பொய் சொல்லக்கூட இல்லை.

இங்கே பார். நாங்கள் ஒரே மைதானம் கொண்ட கால்பந்து மைதானங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். வயல்களின் பகுதிகள் ஒரே மாதிரியானவை - அதாவது எங்களிடம் மல்டிசெட் உள்ளது. ஆனால் இதே மைதானங்களின் பெயர்களைப் பார்த்தால், பெயர்கள் வித்தியாசமாக இருப்பதால், பலவற்றைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் ஒரு தொகுப்பு மற்றும் மல்டிசெட் ஆகும். எது சரி? இங்கே கணிதவியலாளர்-ஷாமன்-கூர்மையானவர் தனது ஸ்லீவிலிருந்து டிரம்ப்களின் சீட்டுகளை வெளியே இழுத்து, ஒரு செட் அல்லது மல்டிசெட் பற்றி எங்களிடம் சொல்லத் தொடங்குகிறார். எப்படியிருந்தாலும், அவர் சொல்வது சரி என்று நம்மை நம்ப வைப்பார்.

நவீன ஷாமன்கள் எவ்வாறு செட் கோட்பாட்டுடன் செயல்படுகிறார்கள் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அதை யதார்த்தத்துடன் இணைத்து, ஒரு கேள்விக்கு பதிலளிப்பது போதுமானது: ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் மற்றொரு தொகுப்பின் கூறுகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? "ஒரு முழுமையல்ல" அல்லது "ஒற்றை முழுதாக கற்பனை செய்ய முடியாதது" எதுவுமின்றி நான் உங்களுக்குக் காட்டுகிறேன்.

ஞாயிற்றுக்கிழமை, மார்ச் 18, 2018

ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையானது ஷாமன்களின் நடனம் ஆகும், இது கணிதத்துடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை. ஆம், கணித பாடங்களில் ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடித்து அதைப் பயன்படுத்த கற்றுக்கொடுக்கிறோம், ஆனால் அதனால்தான் அவர்கள் ஷாமன்கள், அவர்களின் சந்ததியினருக்கு அவர்களின் திறமைகளையும் ஞானத்தையும் கற்பிக்கிறார்கள், இல்லையெனில் ஷாமன்கள் வெறுமனே இறந்துவிடுவார்கள்.

ஆதாரம் தேவையா? விக்கிபீடியாவைத் திறந்து, "ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை" பக்கத்தைக் கண்டறிய முயற்சிக்கவும். அவள் இல்லை. எந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க கணிதத்தில் எந்த சூத்திரமும் இல்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எண்கள் நாம் எண்களை எழுதும் கிராஃபிக் குறியீடுகள், மேலும் கணிதத்தின் மொழியில் பணி இதுபோல் தெரிகிறது: "எந்த எண்ணையும் குறிக்கும் கிராஃபிக் சின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்." கணிதவியலாளர்களால் இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியாது, ஆனால் ஷாமன்கள் அதை எளிதாக செய்ய முடியும்.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய என்ன, எப்படிச் செய்கிறோம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எனவே, 12345 என்ற எண்ணைப் பெறுவோம். இந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க என்ன செய்ய வேண்டும்? அனைத்து படிகளையும் வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு காகிதத்தில் எண்ணை எழுதுங்கள். நாம் என்ன செய்தோம்? எண்ணை வரைகலை எண் குறியீடாக மாற்றியுள்ளோம். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.

2. ஒரு விளைவான படத்தை தனிப்பட்ட எண்களைக் கொண்ட பல படங்களாக வெட்டுங்கள். ஒரு படத்தை வெட்டுவது ஒரு கணித செயல்பாடு அல்ல.

3. தனிப்பட்ட கிராஃபிக் குறியீடுகளை எண்களாக மாற்றவும். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.

4. இதன் விளைவாக வரும் எண்களைச் சேர்க்கவும். இப்போது இது கணிதம்.

12345 என்ற எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 15. இவை கணிதவியலாளர்கள் பயன்படுத்தும் ஷாமன்களால் கற்பிக்கப்படும் "வெட்டு மற்றும் தையல் படிப்புகள்" ஆகும். ஆனால் அதெல்லாம் இல்லை.

கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், எந்த எண் அமைப்பில் எண்ணை எழுதுகிறோம் என்பது முக்கியமல்ல. எனவே, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டதாக இருக்கும். கணிதத்தில், எண் அமைப்பு எண்ணின் வலதுபுறத்தில் சப்ஸ்கிரிப்டாகக் குறிக்கப்படுகிறது. பெரிய எண் 12345 உடன், நான் என் தலையை முட்டாளாக்க விரும்பவில்லை, கட்டுரையில் இருந்து எண் 26 ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த எண்ணை பைனரி, ஆக்டல், டெசிமல் மற்றும் ஹெக்ஸாடெசிமல் எண் அமைப்புகளில் எழுதுவோம். நாம் ஒரு நுண்ணோக்கியின் கீழ் ஒவ்வொரு அடியையும் பார்க்க மாட்டோம்; முடிவைப் பார்ப்போம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டது. இந்த முடிவுக்கும் கணிதத்திற்கும் எந்த சம்பந்தமும் இல்லை. ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவை மீட்டர் மற்றும் சென்டிமீட்டர்களில் தீர்மானித்தது போலவே, நீங்கள் முற்றிலும் மாறுபட்ட முடிவுகளைப் பெறுவீர்கள்.

பூஜ்ஜியம் அனைத்து எண் அமைப்புகளிலும் ஒரே மாதிரியாகத் தெரிகிறது மற்றும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இல்லை. இது உண்மைக்கு ஆதரவான மற்றொரு வாதம். கணிதவியலாளர்களுக்கான கேள்வி: எண் இல்லாத ஒன்று கணிதத்தில் எவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது? என்ன, கணிதவியலாளர்களுக்கு எண்களைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை? நான் ஷாமன்களுக்கு இதை அனுமதிக்க முடியும், ஆனால் விஞ்ஞானிகளுக்கு அனுமதிக்க முடியாது. எதார்த்தம் என்பது எண்கள் மட்டும் அல்ல.

எண் அமைப்புகள் எண்களுக்கான அளவீட்டு அலகுகள் என்பதற்கான ஆதாரமாக பெறப்பட்ட முடிவு கருதப்பட வேண்டும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வெவ்வேறு அளவீட்டு அலகுகளுடன் எண்களை ஒப்பிட முடியாது. ஒரே அளவின் வெவ்வேறு அலகுகளைக் கொண்ட அதே செயல்கள் அவற்றை ஒப்பிட்டுப் பார்த்த பிறகு வெவ்வேறு முடிவுகளுக்கு வழிவகுத்தால், இதற்கும் கணிதத்திற்கும் எந்தத் தொடர்பும் இல்லை.

உண்மையான கணிதம் என்றால் என்ன? ஒரு கணித செயல்பாட்டின் முடிவு எண்ணின் அளவு, பயன்படுத்தப்படும் அளவீட்டு அலகு மற்றும் இந்த செயலை யார் செய்கிறார் என்பதைப் பொறுத்து இருக்காது.

ஓ! இது பெண்கள் கழிவறை இல்லையா?
- இளம் பெண்ணே! ஆன்மாக்கள் சொர்க்கத்திற்கு ஏறும் போது அவர்களின் தூய்மையற்ற புனிதத்தன்மையை ஆய்வு செய்வதற்கான ஆய்வகம் இது! மேலே ஒளிவட்டம் மற்றும் அம்புக்குறி. வேறு என்ன கழிப்பறை?

பெண்... மேலுள்ள ஒளிவட்டமும் கீழே உள்ள அம்பும் ஆண்.

அத்தகைய வடிவமைப்பு கலை ஒரு நாளைக்கு பல முறை உங்கள் கண்களுக்கு முன்பாக ஒளிரும் என்றால்,

திடீரென்று உங்கள் காரில் ஒரு விசித்திரமான ஐகானைக் கண்டால் ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை:

தனிப்பட்ட முறையில், நான் ஒரு மலம் கழிக்கும் நபரில் மைனஸ் நான்கு டிகிரிகளைப் பார்க்க முயற்சி செய்கிறேன் (ஒரு படம்) (பல படங்களின் கலவை: ஒரு கழித்தல் அடையாளம், எண் நான்கு, டிகிரிகளின் பதவி). மேலும் இந்த பெண் இயற்பியல் தெரியாத ஒரு முட்டாள் என்று நான் நினைக்கவில்லை. கிராஃபிக் படங்களை உணரும் வலுவான ஸ்டீரியோடைப் மட்டுமே அவளுக்கு உள்ளது. மேலும் கணிதவியலாளர்கள் இதை நமக்கு எப்பொழுதும் கற்பிக்கிறார்கள். இதோ ஒரு உதாரணம்.

1A என்பது "மைனஸ் நான்கு டிகிரி" அல்லது "ஒரு a" அல்ல. இது "பூப்பிங் மேன்" அல்லது ஹெக்ஸாடெசிமல் குறியீட்டில் "இருபத்தி ஆறு" எண். இந்த எண் அமைப்பில் தொடர்ந்து பணியாற்றுபவர்கள் தானாக ஒரு எண்ணையும் ஒரு எழுத்தையும் ஒரு கிராஃபிக் சின்னமாக உணர்கிறார்கள்.

சாதாரண பின்னங்களுடன் செய்யக்கூடிய மற்றொரு செயல்பாடு பெருக்கல் ஆகும். சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது அதன் அடிப்படை விதிகளை விளக்க முயற்சிப்போம், ஒரு சாதாரண பின்னம் இயற்கை எண்ணால் எவ்வாறு பெருக்கப்படுகிறது மற்றும் மூன்று சாதாரண பின்னங்கள் அல்லது அதற்கு மேற்பட்டவற்றை எவ்வாறு சரியாகப் பெருக்குவது என்பதைக் காட்டுவோம்.

முதலில் அடிப்படை விதியை எழுதுவோம்:

வரையறை 1

நாம் ஒரு சாதாரண பின்னத்தை பெருக்கினால், அதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தின் எண் அசல் பின்னங்களின் எண்களின் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மேலும் வகுத்தல் அவற்றின் வகுப்பின் பெருக்கத்திற்கு சமமாக இருக்கும். நேரடி வடிவத்தில், a / b மற்றும் c / d ஆகிய இரண்டு பின்னங்களுக்கு, இது ஒரு b · c d = a · c b · d ஆக வெளிப்படுத்தப்படலாம்.

இந்த விதியை எவ்வாறு சரியாகப் பயன்படுத்துவது என்பதற்கான உதாரணத்தைப் பார்ப்போம். எங்களிடம் ஒரு சதுரம் உள்ளது, அதன் பக்கமானது ஒரு எண் அலகுக்கு சமமாக இருக்கும். பின்னர் உருவத்தின் பரப்பளவு 1 சதுரமாக இருக்கும். அலகு. சதுரத்தை 1 4 மற்றும் 1 8 எண் அலகுகளுக்கு சமமான பக்கங்களுடன் சமமான செவ்வகங்களாகப் பிரித்தால், அது இப்போது 32 செவ்வகங்களைக் கொண்டுள்ளது (ஏனென்றால் 8 4 = 32). அதன்படி, அவை ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவு முழு உருவத்தின் பரப்பளவில் 1 32 க்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது. 1 32 சதுர. அலகுகள்.

எங்களிடம் 5 8 எண் அலகுகள் மற்றும் 3 4 எண் அலகுகளுக்கு சமமான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு நிழல் துண்டு உள்ளது. அதன்படி, அதன் பகுதியைக் கணக்கிட, நீங்கள் முதல் பகுதியை இரண்டாவதாகப் பெருக்க வேண்டும். இது 5 8 · 3 4 சதுர அடிக்கு சமமாக இருக்கும். அலகுகள். ஆனால் துண்டில் எத்தனை செவ்வகங்கள் சேர்க்கப்பட்டுள்ளன என்பதை நாம் வெறுமனே எண்ணலாம்: அவற்றில் 15 உள்ளன, அதாவது மொத்த பரப்பளவு 15 32 சதுர அலகுகள்.

5 3 = 15 மற்றும் 8 4 = 32 என்பதால், பின்வரும் சமத்துவத்தை நாம் எழுதலாம்:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்குவதற்கு நாம் உருவாக்கிய விதியை இது உறுதிப்படுத்துகிறது, இது ஒரு b · c d = a · c b · d ஆக வெளிப்படுத்தப்படுகிறது. இது சரியான மற்றும் முறையற்ற பின்னங்களுக்கு ஒரே மாதிரியாக செயல்படுகிறது; வெவ்வேறு மற்றும் ஒரே மாதிரியான பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைப் பெருக்க இது பயன்படுத்தப்படலாம்.

சாதாரண பின்னங்களின் பெருக்கம் சம்பந்தப்பட்ட பல சிக்கல்களுக்கான தீர்வுகளைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1

7 11 ஐ 9 8 ஆல் பெருக்கவும்.

தீர்வு

முதலில், 7 ஐ 9 ஆல் பெருக்குவதன் மூலம் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட பின்னங்களின் எண்களின் பெருக்கத்தைக் கணக்கிடுவோம். எங்களுக்கு 63 கிடைத்தது. பின்னர் நாம் பிரிவின் பலனைக் கணக்கிட்டு, பெறுகிறோம்: 11 · 8 = 88. இரண்டு எண்களை உருவாக்குவோம், பதில்: 63 88.

முழு தீர்வையும் இப்படி எழுதலாம்:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

பதில்: 7 11 · 9 8 = 63 88.

நமது பதிலில் குறைக்கக்கூடிய பின்னம் கிடைத்தால், கணக்கீட்டை முடித்து அதன் குறைப்பைச் செய்ய வேண்டும். நமக்கு ஒரு முறையற்ற பின்னம் கிடைத்தால், அதிலிருந்து முழு பகுதியையும் பிரிக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 2

பின்னங்களின் உற்பத்தியைக் கணக்கிடுங்கள் 4 15 மற்றும் 55 6 .

தீர்வு

மேலே படித்த விதியின்படி, நாம் எண்ணை எண்ணால் பெருக்க வேண்டும், மற்றும் வகுப்பை வகுப்பால் பெருக்க வேண்டும். தீர்வு பதிவு இப்படி இருக்கும்:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

நாங்கள் குறைக்கக்கூடிய பகுதியைப் பெற்றுள்ளோம், அதாவது. 10 ஆல் வகுபடும் ஒன்று.

பின்னத்தை குறைப்போம்: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு ஒரு முறையற்ற பின்னம் கிடைத்தது, அதில் இருந்து முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுத்து ஒரு கலப்பு எண்ணைப் பெறுகிறோம்: 22 9 = 2 4 9.

பதில்: 4 15 55 6 = 2 4 9.

கணக்கீட்டின் எளிமைக்காக, பெருக்கல் செயல்பாட்டைச் செய்வதற்கு முன் அசல் பின்னங்களைக் குறைக்கலாம், அதற்காக நாம் பின்னத்தை a · c b · d வடிவத்தில் குறைக்க வேண்டும். மாறிகளின் மதிப்புகளை எளிய காரணிகளாக சிதைத்து, அவற்றைக் குறைப்போம்.

ஒரு குறிப்பிட்ட பணியின் தரவைப் பயன்படுத்தி இது எப்படி இருக்கும் என்பதை விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 3

4 15 55 6 தயாரிப்பைக் கணக்கிடவும்.

தீர்வு

பெருக்கல் விதியின் அடிப்படையில் கணக்கீடுகளை எழுதுவோம். நாம் பெறுவோம்:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 மற்றும் 6 = 2 3 என்பதால், பின்னர் 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

பதில்: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

சாதாரண பின்னங்கள் பெருக்கப்படும் ஒரு எண் வெளிப்பாடு ஒரு பரிமாற்ற பண்பு உள்ளது, அதாவது, தேவைப்பட்டால், காரணிகளின் வரிசையை மாற்றலாம்:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

இயற்கை எண்ணுடன் ஒரு பகுதியை எவ்வாறு பெருக்குவது

அடிப்படை விதியை இப்போதே எழுதுவோம், பின்னர் அதை நடைமுறையில் விளக்க முயற்சிப்போம்.

வரையறை 2

ஒரு பொதுவான பின்னத்தை இயற்கை எண்ணால் பெருக்க, அந்த பின்னத்தின் எண்ணை அந்த எண்ணால் பெருக்க வேண்டும். இந்த வழக்கில், இறுதிப் பகுதியின் வகுத்தல் அசல் சாதாரண பின்னத்தின் வகுப்பிற்கு சமமாக இருக்கும். ஒரு குறிப்பிட்ட பின்னம் a b ஐ ஒரு இயற்கை எண்ணால் n பெருக்கினால் a b · n = a · n b சூத்திரமாக எழுதலாம்.

எந்தவொரு இயற்கை எண்ணையும் ஒன்றுக்கு சமமான வகுப்பினருடன் சாதாரண பின்னமாக குறிப்பிடலாம் என்பதை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தால், இந்த சூத்திரத்தைப் புரிந்துகொள்வது எளிது, அதாவது:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளுடன் எங்கள் யோசனையை விளக்குவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4

தயாரிப்பை 2 27 முறை 5 கணக்கிடவும்.

தீர்வு

அசல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது காரணியால் பெருக்குவதன் விளைவாக, நமக்கு 10 கிடைக்கும். மேலே கூறப்பட்ட விதியின் அடிப்படையில், இதன் விளைவாக 10 27 ஐப் பெறுவோம். முழு தீர்வும் இந்த இடுகையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

பதில்: 2 27 5 = 10 27

நாம் ஒரு இயற்கை எண்ணை ஒரு பின்னத்துடன் பெருக்கும்போது, ​​நாம் பெரும்பாலும் முடிவைச் சுருக்க வேண்டும் அல்லது கலப்பு எண்ணாகக் குறிப்பிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 5

நிபந்தனை: தயாரிப்பு 8 ஐ 5 12 ஆல் கணக்கிடவும்.

தீர்வு

மேலே உள்ள விதியின்படி, இயற்கை எண்ணை எண்ணால் பெருக்குகிறோம். இதன் விளைவாக, நாம் 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 ஐப் பெறுகிறோம். இறுதிப் பகுதி 2 ஆல் வகுபடுவதற்கான அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளது, எனவே நாம் அதைக் குறைக்க வேண்டும்:

LCM (40, 12) = 4, எனவே 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

இப்போது நாம் செய்ய வேண்டியது முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுத்து, தயாராக உள்ள பதிலை எழுதுங்கள்: 10 3 = 3 1 3.

இந்த பதிவில் நீங்கள் முழு தீர்வையும் பார்க்கலாம்: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

எண் மற்றும் வகுப்பினை முதன்மைக் காரணிகளாகக் காரணியாக்குவதன் மூலமும் நாம் பின்னத்தைக் குறைக்கலாம், மேலும் விளைவு சரியாகவே இருக்கும்.

பதில்: 5 12 8 = 3 1 3.

ஒரு இயற்கை எண்ணை ஒரு பகுதியால் பெருக்கப்படும் ஒரு எண் வெளிப்பாடு இடப்பெயர்ச்சியின் பண்புகளையும் கொண்டுள்ளது, அதாவது காரணிகளின் வரிசை முடிவை பாதிக்காது:

a b · n = n · a b = a · n b

மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பொதுவான பின்னங்களை எவ்வாறு பெருக்குவது

இயல்பான எண்களைப் பெருக்கும் பண்புகளையே சாதாரண பின்னங்களைப் பெருக்கும் செயலை நாம் நீட்டிக்க முடியும். இந்த கருத்துகளின் வரையறையிலிருந்து இது பின்வருமாறு.

இணைத்தல் மற்றும் பரிமாற்ற பண்புகள் பற்றிய அறிவுக்கு நன்றி, நீங்கள் மூன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சாதாரண பின்னங்களை பெருக்கலாம். அதிக வசதிக்காக காரணிகளை மறுசீரமைப்பது அல்லது எண்ணுவதை எளிதாக்கும் வகையில் அடைப்புக்குறிகளை ஏற்பாடு செய்வது ஏற்றுக்கொள்ளத்தக்கது.

இது எவ்வாறு செய்யப்படுகிறது என்பதை ஒரு எடுத்துக்காட்டுடன் காண்பிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 6

நான்கு பொதுவான பின்னங்கள் 1 20, 12 5, 3 7 மற்றும் 5 8 ஐப் பெருக்கவும்.

தீர்வு: முதலில், வேலையைப் பதிவு செய்வோம். நமக்கு 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 கிடைக்கும். நாம் அனைத்து எண்களையும் அனைத்து பிரிவுகளையும் ஒன்றாகப் பெருக்க வேண்டும்: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

நாம் பெருக்கத் தொடங்கும் முன், நாமே விஷயங்களைச் சிறிது எளிதாக்கிக் கொள்ளலாம் மேலும் மேலும் குறைப்பதற்காக சில எண்களை முதன்மைக் காரணிகளாகக் கருதலாம். இதன் விளைவாக ஏற்கனவே தயாராக இருக்கும் பகுதியைக் குறைப்பதை விட இது எளிதாக இருக்கும்.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9,280

பதில்: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9,280.

எடுத்துக்காட்டு 7

5 எண்களை பெருக்கவும் 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .

தீர்வு

வசதிக்காக, பின்னம் 7 8ஐ எண் 8 உடன் தொகுக்கலாம், மேலும் எண் 12 ஐ பின்னம் 5 36 உடன் தொகுக்கலாம், ஏனெனில் எதிர்கால சுருக்கங்கள் நமக்குத் தெளிவாகத் தெரியும். இதன் விளைவாக, நாம் பெறுவோம்:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 = 310 3 = 310 6 2 3

பதில்: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

உரையில் பிழையைக் கண்டால், அதை முன்னிலைப்படுத்தி Ctrl+Enter ஐ அழுத்தவும்

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும். எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்கள் மற்றும் . எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:

நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். பீட்சாவுடன் பீட்சாவை சேர்த்தால், பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .

பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. பணியின் முடிவு வரும்போது, ​​முறையற்ற பின்னங்களை அகற்றுவது வழக்கம். ஒரு முறையற்ற பகுதியை அகற்ற, நீங்கள் அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும். எங்கள் விஷயத்தில், முழு பகுதியும் எளிதில் தனிமைப்படுத்தப்படுகிறது - இரண்டை இரண்டால் வகுக்க ஒன்று சமம்:

இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவைப் பற்றி நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3. பின்னங்களைச் சேர்க்கவும் மற்றும் .

மீண்டும், நாங்கள் எண்களைக் கூட்டி, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடுகிறோம்:

மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் அதிக பீட்சாவைச் சேர்த்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 4.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. எண்கள் சேர்க்கப்பட வேண்டும் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்:

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் ஒரு பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்து மேலும் பீட்சாக்களைச் சேர்த்தால், 1 முழு பீட்சாவும் மேலும் பீஸ்ஸாக்களும் கிடைக்கும்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:

1. ஒரே வகுப்பில் பின்னங்களைச் சேர்க்க, அவற்றின் எண்களைச் சேர்த்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விட வேண்டும்;

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்த்தல்

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பதை இப்போது கற்றுக்கொள்வோம். பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​பின்னங்களின் பிரிவுகள் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். ஆனால் அவை எப்போதும் ஒரே மாதிரி இருப்பதில்லை.

எடுத்துக்காட்டாக, பின்னங்களைச் சேர்க்கலாம், ஏனெனில் அவை ஒரே வகுப்பினரைக் கொண்டுள்ளன.

ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், பின்னங்களை உடனடியாகச் சேர்க்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

பின்னங்களை ஒரே வகுப்பில் குறைக்க பல வழிகள் உள்ளன. இன்று நாம் அவற்றில் ஒன்றை மட்டுமே பார்ப்போம், ஏனென்றால் மற்ற முறைகள் ஒரு தொடக்கக்காரருக்கு சிக்கலானதாகத் தோன்றலாம்.

இந்த முறையின் சாராம்சம் என்னவென்றால், முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM தேடப்படுகிறது. முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெற, LCM ஆனது முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கப்படுகிறது. அவை இரண்டாவது பின்னத்துடன் அவ்வாறே செய்கின்றன - LCM இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது.

பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்களின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. பின்னங்களைச் சேர்ப்போம் மற்றும்

முதலாவதாக, இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் மிகக் குறைவான பொதுவான மடங்குகளைக் காண்கிறோம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 6 ஆகும்.

LCM (2 மற்றும் 3) = 6

இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் . முதலில், LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுத்து முதல் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3. 6 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 2 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் எண் 2 முதல் கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை முதல் பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். இதைச் செய்ய, பின்னத்தின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதவும்:

இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் பிரித்து இரண்டாவது கூடுதல் காரணியைப் பெறுகிறோம். LCM என்பது எண் 6, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 6 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும்.

இதன் விளைவாக வரும் எண் 3 இரண்டாவது கூடுதல் பெருக்கி ஆகும். நாங்கள் அதை இரண்டாவது பகுதிக்கு எழுதுகிறோம். மீண்டும், இரண்டாவது பகுதியின் மீது ஒரு சிறிய சாய்ந்த கோட்டை உருவாக்கி, அதற்கு மேலே காணப்படும் கூடுதல் காரணியை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் கூடுதலாக அனைத்தையும் தயார் செய்துள்ளோம். பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க வேண்டும்:

நாம் வந்ததை கவனமாக பாருங்கள். வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு சேர்ப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:

இது உதாரணத்தை நிறைவு செய்கிறது. இது சேர்க்க மாறிவிடும்.

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். பீட்சாவில் பீட்சாவைச் சேர்த்தால், ஒரு முழு பீட்சாவும், பீட்சாவில் ஆறில் ஒரு பங்கும் கிடைக்கும்.

பின்னங்களை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைப்பதும் படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். பின்னங்களைக் குறைத்து ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த இரண்டு பின்னங்களும் ஒரே பீட்சா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும். ஒரே வித்தியாசம் என்னவென்றால், இந்த முறை அவை சம பங்குகளாக பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்கு குறைக்கப்படும்).

முதல் வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் நான்கு துண்டுகள்), மற்றும் இரண்டாவது வரைபடம் ஒரு பகுதியைக் குறிக்கிறது (ஆறில் மூன்று துண்டுகள்). இந்த துண்டுகளைச் சேர்த்தால் நமக்குக் கிடைக்கும் (ஆறில் ஏழு துண்டுகள்). இந்த பின்னம் முறையற்றது, எனவே அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தினோம். இதன் விளைவாக, எங்களுக்கு கிடைத்தது (ஒரு முழு பீஸ்ஸா மற்றும் மற்றொரு ஆறாவது பீஸ்ஸா).

இந்த உதாரணத்தை நாங்கள் மிகவும் விரிவாக விவரித்துள்ளோம் என்பதை நினைவில் கொள்க. கல்வி நிறுவனங்களில் இவ்வளவு விரிவாக எழுதும் வழக்கம் இல்லை. நீங்கள் இரண்டு பிரிவுகளின் LCM மற்றும் அவற்றுக்கான கூடுதல் காரணிகளை விரைவாகக் கண்டறிய முடியும், அத்துடன் கண்டறியப்பட்ட கூடுதல் காரணிகளை உங்கள் எண்கள் மற்றும் வகுப்பின் மூலம் விரைவாகப் பெருக்க வேண்டும். நாம் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை பின்வருமாறு எழுத வேண்டும்:

ஆனால் நாணயத்திற்கு இன்னொரு பக்கமும் உள்ளது. கணிதம் படிக்கும் முதல் கட்டங்களில் நீங்கள் விரிவான குறிப்புகளை எடுக்கவில்லை என்றால், அந்த வகையான கேள்விகள் தோன்ற ஆரம்பிக்கும். "அந்த எண் எங்கிருந்து வருகிறது?", "பின்னங்கள் ஏன் திடீரென்று முற்றிலும் மாறுபட்ட பின்னங்களாக மாறுகின்றன? «.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்ப்பதை எளிதாக்க, நீங்கள் பின்வரும் படிப்படியான வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்தலாம்:

1. பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்;
2. ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் LCM ஐப் பிரித்து, ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்;
3. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்;
4. ஒரே வகுப்பினைக் கொண்ட பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்;
5. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கவும்;

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும் .

மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ள வழிமுறைகளைப் பயன்படுத்துவோம்.

படி 1. பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும்

இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னங்களின் பிரிவுகள் எண்கள் 2, 3 மற்றும் 4 ஆகும்

படி 2. ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் LCM ஐப் பிரித்து ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணியைப் பெறவும்

LCM ஐ முதல் பின்னத்தின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும். 12 ஐ 2 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 6 கிடைக்கும். முதல் கூடுதல் காரணி 6 கிடைத்தது. முதல் பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 4 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது நாம் LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கிறோம். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் மூன்றாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 3. மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே அதை எழுதுகிறோம்:

படி 3. பின்னங்களின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கவும்

எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்குகிறோம்:

படி 4. அதே வகுப்பினருடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கவும்

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். இந்த பின்னங்களைச் சேர்ப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. அதைச் சேர்க்கவும்:

கூட்டல் ஒரு வரியில் பொருந்தவில்லை, எனவே மீதமுள்ள வெளிப்பாட்டை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தினோம். இது கணிதத்தில் அனுமதிக்கப்படுகிறது. ஒரு வெளிப்பாடு ஒரு வரியில் பொருந்தாதபோது, ​​​​அது அடுத்த வரிக்கு நகர்த்தப்படுகிறது, மேலும் முதல் வரியின் முடிவிலும் புதிய வரியின் தொடக்கத்திலும் சமமான அடையாளத்தை (=) வைக்க வேண்டியது அவசியம். இரண்டாவது வரியில் உள்ள சம அடையாளம் இது முதல் வரியில் இருந்த வெளிப்பாட்டின் தொடர்ச்சி என்பதைக் குறிக்கிறது.

படி 5. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழுப் பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்தவும்

எங்கள் பதில் தவறான பின்னமாக மாறியது. அதன் முழுப் பகுதியையும் நாம் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும். நாங்கள் முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்:

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

பின்னங்களின் கழித்தல் இரண்டு வகைகள் உள்ளன:

1. ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்
2. வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

முதலாவதாக, ஒத்த பிரிவுகளுடன் பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இங்கே எல்லாம் எளிது. ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், ஆனால் வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிடவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம். இந்த எடுத்துக்காட்டைத் தீர்க்க, நீங்கள் முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து இரண்டாவது பகுதியின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும். இதைச் செய்வோம்:

நான்கு பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நாம் நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் இருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீஸ்ஸா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

மீண்டும், முதல் பின்னத்தின் எண்கணிதத்திலிருந்து, இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழித்து, வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்:

மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கப்பட்ட பீட்சாவை நினைவில் வைத்துக் கொண்டால் இந்த உதாரணத்தை எளிதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம். நீங்கள் பீட்சாவில் இருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீஸ்ஸா கிடைக்கும்:

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த எடுத்துக்காட்டு முந்தையதைப் போலவே தீர்க்கப்படுகிறது. முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையிலிருந்து மீதமுள்ள பின்னங்களின் எண்களைக் கழிக்க வேண்டும்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அதே பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழிப்பதில் சிக்கலான எதுவும் இல்லை. பின்வரும் விதிகளைப் புரிந்துகொள்வது போதுமானது:

1. ஒரு பின்னத்திலிருந்து மற்றொன்றைக் கழிக்க, முதல் பின்னத்தின் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும், மேலும் வகுப்பினை மாற்றாமல் விடவும்;
2. பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைக் கழித்தல்

எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்கலாம், ஏனெனில் பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பினரைக் கொண்டுள்ளன. ஆனால் இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டிருப்பதால், ஒரு பின்னத்திலிருந்து ஒரு பகுதியைக் கழிக்க முடியாது. இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்பட வேண்டும்.

வெவ்வேறு பிரிவுகளுடன் பின்னங்களைச் சேர்க்கும்போது நாம் பயன்படுத்திய அதே கொள்கையைப் பயன்படுத்தி பொதுவான வகுப்பான் காணப்படுகிறது. முதலில், இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டறியவும். பின்னர் LCM முதல் பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் முதல் கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது. இதேபோல், LCM இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கப்படுகிறது மற்றும் இரண்டாவது கூடுதல் காரணி பெறப்படுகிறது, இது இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதப்பட்டுள்ளது.

பின்னங்கள் அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்கப்படுகின்றன. இந்த செயல்பாட்டின் விளைவாக, வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாற்றப்படுகின்றன. அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் பொருளைக் கண்டறியுங்கள்:

இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே நீங்கள் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.

முதலில் இரண்டு பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம். முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 12 ஆகும்.

LCM (3 மற்றும் 4) = 12

இப்போது பின்னங்கள் மற்றும் திரும்புவோம்

முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ முதல் பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 12 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 4 கிடைக்கும். முதல் பின்னத்திற்கு மேலே நான்கை எழுதவும்:

இரண்டாவது பகுதியிலும் நாங்கள் அதையே செய்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 12, மற்றும் இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 4. 12 ஐ 4 ஆல் வகுத்தால், நமக்கு 3 கிடைக்கும். இரண்டாவது பின்னத்தின் மீது மூன்றை எழுதவும்:

இப்போது நாம் கழிப்பதற்கு தயாராக உள்ளோம். பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே வகுப்பைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை இறுதிவரை எடுத்துக்கொள்வோம்:

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒரு வரைபடத்தைப் பயன்படுத்தி எங்கள் தீர்வை சித்தரிக்க முயற்சிப்போம். நீங்கள் பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை வெட்டினால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்

இது தீர்வின் விரிவான பதிப்பாகும். நாங்கள் பள்ளியில் இருந்திருந்தால், இந்த உதாரணத்தை சுருக்கமாக தீர்க்க வேண்டும். அத்தகைய தீர்வு இப்படி இருக்கும்:

பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைப்பது ஒரு படத்தைப் பயன்படுத்தி சித்தரிக்கப்படலாம். இந்த பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்து, பின்னங்கள் மற்றும் . இந்த பின்னங்கள் ஒரே பீஸ்ஸா துண்டுகளால் குறிக்கப்படும், ஆனால் இந்த முறை அவை சம பங்குகளாகப் பிரிக்கப்படும் (ஒரே வகுப்பிற்குக் குறைக்கப்படும்):

முதல் படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் எட்டு துண்டுகள்), இரண்டாவது படம் ஒரு பகுதியைக் காட்டுகிறது (பன்னிரண்டில் மூன்று துண்டுகள்). எட்டு துண்டுகளிலிருந்து மூன்று துண்டுகளை வெட்டுவதன் மூலம், பன்னிரண்டில் ஐந்து துண்டுகள் கிடைக்கும். பின்னம் இந்த ஐந்து பகுதிகளை விவரிக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 2.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

இந்த பின்னங்கள் வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்டுள்ளன, எனவே முதலில் அவற்றை ஒரே (பொதுவான) வகுப்பிற்குக் குறைக்க வேண்டும்.

இந்த பின்னங்களின் வகுப்பினரின் LCM ஐக் கண்டுபிடிப்போம்.

பின்னங்களின் வகுத்தல்கள் எண்கள் 10, 3 மற்றும் 5 ஆகும். இந்த எண்களின் பொதுவான பெருக்கல் 30 ஆகும்.

LCM(10, 3, 5) = 30

இப்போது ஒவ்வொரு பின்னத்திற்கும் கூடுதல் காரணிகளைக் காண்கிறோம். இதைச் செய்ய, LCM ஐ ஒவ்வொரு பின்னத்தின் வகுப்பினால் வகுக்கவும்.

முதல் பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் கண்டுபிடிப்போம். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் முதல் பின்னத்தின் வகுத்தல் எண் 10 ஆகும். 30 ஐ 10 ஆல் வகுத்தால், முதல் கூடுதல் காரணி 3 ஐப் பெறுகிறோம். அதை முதல் பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது இரண்டாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ இரண்டாவது பகுதியின் வகுப்பினால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் இரண்டாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 3 ஆகும். 30 ஐ 3 ஆல் வகுத்தால், இரண்டாவது கூடுதல் காரணி 10 ஐப் பெறுகிறோம். அதை இரண்டாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது மூன்றாவது பகுதிக்கான கூடுதல் காரணியைக் காண்கிறோம். LCM ஐ மூன்றாவது பகுதியின் வகுப்பால் வகுக்கவும். LCM என்பது எண் 30, மற்றும் மூன்றாவது பகுதியின் வகுத்தல் எண் 5 ஆகும். 30 ஐ 5 ஆல் வகுத்தால், மூன்றாவது கூடுதல் காரணி 6 ஐப் பெறுகிறோம். அதை மூன்றாவது பின்னத்திற்கு மேலே எழுதுகிறோம்:

இப்போது எல்லாம் கழிக்க தயாராக உள்ளது. பின்னங்களை அவற்றின் கூடுதல் காரணிகளால் பெருக்க இது உள்ளது:

வெவ்வேறு பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்கள் ஒரே (பொதுவான) பிரிவுகளைக் கொண்ட பின்னங்களாக மாறும் என்ற முடிவுக்கு வந்தோம். அத்தகைய பின்னங்களை எவ்வாறு கழிப்பது என்பது எங்களுக்கு ஏற்கனவே தெரியும். இந்த உதாரணத்தை முடிப்போம்.

உதாரணத்தின் தொடர்ச்சி ஒரு வரியில் பொருந்தாது, எனவே தொடர்ச்சியை அடுத்த வரிக்கு நகர்த்துகிறோம். புதிய வரியில் சம அடையாளத்தை (=) மறந்துவிடாதீர்கள்:

பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, எல்லாமே நமக்கு ஏற்றதாகத் தெரிகிறது, ஆனால் அது மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் அசிங்கமானது. நாம் அதை எளிமையாக்க வேண்டும். என்ன செய்ய முடியும்? இந்த பகுதியை நீங்கள் சுருக்கலாம்.

ஒரு பகுதியைக் குறைக்க, அதன் எண் மற்றும் வகுப்பினை 20 மற்றும் 30 எண்களின் (GCD) மூலம் வகுக்க வேண்டும்.

எனவே, 20 மற்றும் 30 எண்களின் gcd ஐக் காண்கிறோம்:

இப்போது நாம் எங்கள் உதாரணத்திற்குத் திரும்பி, பின்னத்தின் எண்ணிக்கையையும் வகுப்பையும் கண்டறிந்த ஜிசிடியால் வகுக்கிறோம், அதாவது 10 ஆல் வகுக்கிறோம்.

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்குதல்

ஒரு பின்னத்தை எண்ணால் பெருக்க, பின்னத்தின் எண்ணை அந்த எண்ணால் பெருக்கி, வகுப்பினை அப்படியே விட்டுவிட வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1. ஒரு பகுதியை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்.

பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை எண் 1 ஆல் பெருக்கவும்

ரெக்கார்டிங் அரை 1 முறை எடுத்ததை புரிந்து கொள்ளலாம். உதாரணமாக, நீங்கள் ஒரு முறை பீட்சா எடுத்தால், உங்களுக்கு பீட்சா கிடைக்கும்

பெருக்கல் விதிகள் மூலம், பெருக்கல் மற்றும் காரணி மாற்றப்பட்டால், தயாரிப்பு மாறாது என்பதை நாம் அறிவோம். வெளிப்பாடு என எழுதப்பட்டால், தயாரிப்பு இன்னும் சமமாக இருக்கும். மீண்டும், ஒரு முழு எண்ணையும் ஒரு பகுதியையும் பெருக்குவதற்கான விதி செயல்படுகிறது:

இந்த குறியீடானது ஒன்றின் பாதியை எடுத்துக்கொள்வதாக புரிந்து கொள்ளலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 1 முழு பீட்சா இருந்தால், அதில் பாதியை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பீட்சா சாப்பிடுவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

பின்னத்தின் எண்ணை 4 ஆல் பெருக்கவும்

பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

இரண்டு காலாண்டுகளை 4 முறை எடுத்துக்கொள்வதாக வெளிப்பாடு புரிந்து கொள்ள முடியும். உதாரணமாக, நீங்கள் 4 பீட்சாக்களை எடுத்துக் கொண்டால், உங்களுக்கு இரண்டு முழு பீஸ்ஸாக்கள் கிடைக்கும்

மேலும் நாம் பெருக்கி மற்றும் பெருக்கியை மாற்றினால், வெளிப்பாடு கிடைக்கும். இது 2க்கு சமமாக இருக்கும். இந்த வெளிப்பாடு நான்கு முழு பீஸ்ஸாக்களிலிருந்து இரண்டு பீஸ்ஸாக்களை எடுப்பதாகப் புரிந்து கொள்ளலாம்:

பின்னங்களை பெருக்குதல்

பின்னங்களைப் பெருக்க, அவற்றின் எண்கள் மற்றும் பிரிவுகளை நீங்கள் பெருக்க வேண்டும். பதில் தவறான பின்னமாக இருந்தால், அதன் முழு பகுதியையும் நீங்கள் முன்னிலைப்படுத்த வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

எங்களுக்கு பதில் கிடைத்தது. இந்த பகுதியைக் குறைப்பது நல்லது. பின்னத்தை 2 ஆல் குறைக்கலாம். பின்னர் இறுதி தீர்வு பின்வரும் வடிவத்தை எடுக்கும்:

அரை பீட்சாவிலிருந்து பீட்சாவை எடுப்பது போன்ற வெளிப்பாடுகளை புரிந்து கொள்ளலாம். எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

இந்த பாதியில் இருந்து மூன்றில் இரண்டு பங்கை எப்படி எடுப்பது? முதலில் நீங்கள் இந்த பாதியை மூன்று சம பாகங்களாக பிரிக்க வேண்டும்:

இந்த மூன்று துண்டுகளிலிருந்து இரண்டை எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்:

நாங்கள் பீட்சா செய்வோம். மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கும்போது பீட்சா எப்படி இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

இந்த பீட்சாவின் ஒரு துண்டு மற்றும் நாங்கள் எடுத்த இரண்டு துண்டுகள் ஒரே பரிமாணங்களைக் கொண்டிருக்கும்:

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நாங்கள் அதே அளவு பீட்சாவைப் பற்றி பேசுகிறோம். எனவே வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு

எடுத்துக்காட்டு 2. வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:

பதில் ஒரு முறையற்ற பின்னம். அதன் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

எடுத்துக்காட்டு 3.வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்

முதல் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையை இரண்டாவது பின்னத்தின் எண்ணால் பெருக்கவும், முதல் பின்னத்தின் வகுப்பை இரண்டாவது பின்னத்தின் வகுப்பால் பெருக்கவும்:

பதில் ஒரு வழக்கமான பின்னமாக மாறியது, ஆனால் அதை சுருக்கினால் நன்றாக இருக்கும். இந்தப் பகுதியைக் குறைக்க, இந்த பின்னத்தின் எண் மற்றும் வகுப்பினை 105 மற்றும் 450 எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பால் (GCD) வகுக்க வேண்டும்.

எனவே, 105 மற்றும் 450 எண்களின் gcd ஐக் கண்டுபிடிப்போம்:

இப்போது நாம் கண்டறிந்த gcd ஆல், அதாவது 15 ஆல் நமது பதிலின் எண் மற்றும் வகுப்பினை வகுக்கிறோம்.

ஒரு முழு எண்ணை ஒரு பின்னமாகக் குறிக்கும்

எந்த முழு எண்ணையும் ஒரு பின்னமாக குறிப்பிடலாம். எடுத்துக்காட்டாக, எண் 5 ஐக் குறிப்பிடலாம். இது ஐந்தின் பொருளை மாற்றாது, ஏனெனில் வெளிப்பாட்டின் பொருள் "ஒன்றால் வகுக்கப்படும் எண் ஐந்து", மேலும் இது ஐந்துக்கு சமம்:

பரஸ்பர எண்கள்

இப்போது நாம் கணிதத்தில் மிகவும் சுவாரஸ்யமான தலைப்பைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். இது "தலைகீழ் எண்கள்" என்று அழைக்கப்படுகிறது.

வரையறை. எண்ணுக்குத் தலைகீழாகஅ பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண்அ ஒன்றை கொடுக்கிறது.

இந்த வரையறையில் மாறிக்கு பதிலாக மாற்றுவோம் அஎண் 5 மற்றும் வரையறையைப் படிக்க முயற்சிக்கவும்:

எண்ணுக்குத் தலைகீழாக 5 பெருக்கப்படும் போது ஒரு எண் 5 ஒன்றை கொடுக்கிறது.

5 ஆல் பெருக்கினால், ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா? அது சாத்தியம் என்று மாறிவிடும். ஐந்தை ஒரு பின்னமாக கற்பனை செய்வோம்:

இந்த பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கி, எண் மற்றும் வகுப்பினை மாற்றவும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், பின்னத்தை தானாகவே பெருக்கலாம், தலைகீழாக மட்டுமே:

இதன் விளைவாக என்ன நடக்கும்? இந்த உதாரணத்தைத் தொடர்ந்து தீர்த்துக்கொண்டால், ஒன்றைப் பெறுவோம்:

இதன் பொருள், எண் 5 இன் தலைகீழ் எண் , நீங்கள் 5 ஐப் பெருக்கும்போது ஒன்று கிடைக்கும்.

ஒரு எண்ணின் எதிரொலியை வேறு எந்த முழு எண்ணுக்கும் காணலாம்.

வேறு எந்தப் பகுதியினதும் எதிரொலியையும் நீங்கள் காணலாம். இதைச் செய்ய, அதைத் திருப்புங்கள்.

ஒரு பகுதியை எண்ணால் வகுத்தல்

எங்களிடம் அரை பீட்சா உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

அதை இரண்டிற்கும் சமமாகப் பிரிப்போம். ஒவ்வொருவருக்கும் எவ்வளவு பீட்சா கிடைக்கும்?

பாதி பீட்சாவைப் பிரித்த பிறகு, இரண்டு சமமான துண்டுகள் கிடைத்தன, அவை ஒவ்வொன்றும் ஒரு பீட்சாவை உருவாக்குகின்றன. அதனால் அனைவருக்கும் பீட்சா கிடைக்கும்.

பின்னங்களின் பிரிவு பரஸ்பரங்களைப் பயன்படுத்தி செய்யப்படுகிறது. பரஸ்பர எண்கள் வகுப்பை பெருக்கத்துடன் மாற்ற உங்களை அனுமதிக்கின்றன.

ஒரு பகுதியை ஒரு எண்ணால் வகுக்க, நீங்கள் பிரிவின் தலைகீழ் மூலம் பகுதியைப் பெருக்க வேண்டும்.

இந்த விதியைப் பயன்படுத்தி, பீட்சாவின் பாதியை இரண்டு பகுதிகளாகப் பிரிப்பதை எழுதுவோம்.

எனவே, நீங்கள் பின்னத்தை எண் 2 ஆல் வகுக்க வேண்டும். இங்கே ஈவுத்தொகை பின்னம் மற்றும் வகுத்தல் எண் 2 ஆகும்.

ஒரு பின்னத்தை எண் 2 ஆல் வகுக்க, நீங்கள் இந்த பின்னத்தை வகுக்கும் 2 இன் பரஸ்பரத்தால் பெருக்க வேண்டும். எனவே நீங்கள் பெருக்க வேண்டும்