முழு எண்கள். இயற்கை எண்கள் - அடிப்படைகள்

இயற்கை எண்கள் பழமையான கணிதக் கருத்துக்களில் ஒன்றாகும்.

தொலைதூர கடந்த காலத்தில், மக்கள் எண்களை அறிந்திருக்கவில்லை, அவர்கள் பொருட்களை (விலங்குகள், மீன்கள், முதலியன) எண்ண வேண்டியிருக்கும் போது, ​​இப்போது நாம் செய்வதை விட வித்தியாசமாக செய்தார்கள்.

பொருட்களின் எண்ணிக்கை உடலின் பாகங்களுடன் ஒப்பிடப்பட்டது, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு கையில் விரல்களால், அவர்கள் சொன்னார்கள்: "என் கையில் விரல்கள் உள்ள அளவுக்கு என்னிடம் பல கொட்டைகள் உள்ளன."

காலப்போக்கில், ஐந்து கொட்டைகள், ஐந்து ஆடுகள் மற்றும் ஐந்து முயல்களுக்கு ஒரு பொதுவான சொத்து இருப்பதை மக்கள் உணர்ந்தனர் - அவற்றின் எண்ணிக்கை ஐந்துக்கு சமம்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

முழு எண்கள்- இவை எண்கள், 1 இலிருந்து தொடங்கி, பொருட்களை எண்ணுவதன் மூலம் பெறப்படுகிறது.

1, 2, 3, 4, 5…

மிகச் சிறிய இயற்கை எண் — 1 .

மிகப்பெரிய இயற்கை எண்இல்லை.

எண்ணும் போது, ​​பூஜ்ஜிய எண் பயன்படுத்தப்படாது. எனவே, பூஜ்ஜியம் இயற்கை எண்ணாக கருதப்படுவதில்லை.

மக்கள் எண்ணுவதை விட மிகவும் தாமதமாக எண்களை எழுத கற்றுக்கொண்டனர். முதலில், அவர்கள் ஒன்றை ஒரு குச்சியால் சித்தரிக்கத் தொடங்கினர், பின்னர் இரண்டு குச்சிகள் - எண் 2, மூன்று - எண் 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

பின்னர் எண்களைக் குறிக்க சிறப்பு அறிகுறிகள் தோன்றின - நவீன எண்களின் முன்னோடிகள். எண்களை எழுத நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள் சுமார் 1,500 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு இந்தியாவில் உருவானது. அரேபியர்கள் அவர்களை ஐரோப்பாவிற்கு அழைத்து வந்தனர், அதனால்தான் அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள் அரபு எண்கள்.

மொத்தம் பத்து எண்கள் உள்ளன: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. இந்த எண்களைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் எந்த இயற்கை எண்ணையும் எழுதலாம்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்!

இயற்கை தொடர்அனைத்து இயற்கை எண்களின் வரிசை:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

இயற்கைத் தொடரில், ஒவ்வொரு எண்ணும் முந்தையதை விட 1 ஆல் அதிகமாக இருக்கும்.

இயற்கைத் தொடர் எல்லையற்றது; அதில் மிகப்பெரிய இயற்கை எண் இல்லை.

நாம் பயன்படுத்தும் எண்ணும் முறை அழைக்கப்படுகிறது தசம நிலை.

தசமம் ஏனெனில் ஒவ்வொரு இலக்கத்தின் 10 அலகுகள் மிகவும் குறிப்பிடத்தக்க இலக்கத்தின் 1 அலகு ஆகும். ஒரு இலக்கத்தின் பொருள் எண் பதிவில் அதன் இடத்தைப் பொறுத்தது, அதாவது அது எழுதப்பட்ட இலக்கத்தைப் பொறுத்தது.

முக்கியமான!

பில்லியனைத் தொடர்ந்து வரும் வகுப்புகள் எண்களின் லத்தீன் பெயர்களின்படி பெயரிடப்பட்டுள்ளன. ஒவ்வொரு அடுத்த அலகும் ஆயிரம் முந்தைய அலகுகளைக் கொண்டுள்ளது.

• 1,000 பில்லியன் = 1,000,000,000,000 = 1 டிரில்லியன் (“மூன்று” என்பது லத்தீன் மொழியில் “மூன்று”)
• 1,000 டிரில்லியன் = 1,000,000,000,000,000 = 1 குவாட்ரில்லியன் (“குவாட்ரா” என்பது லத்தீன் மொழியில் “நான்கு”)
• 1,000 குவாட்ரில்லியன் = 1,000,000,000,000,000,000 = 1 குவிண்டில்லியன் (“குவின்டா” என்பது லத்தீன் மொழியில் “ஐந்து”)

இருப்பினும், இயற்பியலாளர்கள் முழு பிரபஞ்சத்தில் உள்ள அனைத்து அணுக்களின் (பொருளின் மிகச்சிறிய துகள்கள்) எண்ணிக்கையை விட அதிகமான எண்ணைக் கண்டறிந்துள்ளனர்.

இந்த எண் ஒரு சிறப்புப் பெயரைப் பெற்றது - கூகோல். கூகோல் என்பது 100 பூஜ்ஜியங்களைக் கொண்ட எண்.

இயற்கை மற்றும் இயற்கையற்ற எண்கள் என்றால் என்ன? ஒரு குழந்தைக்கு எப்படி விளக்குவது, அல்லது ஒருவேளை ஒரு குழந்தை இல்லை, அவர்களுக்கு இடையே உள்ள வேறுபாடுகள் என்ன? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். எங்களுக்குத் தெரிந்தவரை, 5 ஆம் வகுப்பில் இயற்கையற்ற மற்றும் இயற்கை எண்கள் படிக்கப்படுகின்றன, மேலும் மாணவர்கள் உண்மையில் புரிந்துகொண்டு என்ன, எப்படி என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது எங்கள் குறிக்கோள்.

கதை

இயற்கை எண்கள் பழைய கருத்துக்களில் ஒன்றாகும். நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு, மக்கள் எண்ணுவது எப்படி என்று தெரியவில்லை மற்றும் எண்களைப் பற்றி எதுவும் தெரியாதபோது, ​​​​எதையாவது எண்ண வேண்டியிருக்கும் போது, ​​எடுத்துக்காட்டாக, மீன், விலங்குகள், அவர்கள் பல்வேறு பொருட்களின் மீது புள்ளிகள் அல்லது கோடுகளைத் தட்டினர், தொல்பொருள் ஆராய்ச்சியாளர்கள் பின்னர் கண்டுபிடித்தனர். . அந்த நேரத்தில் அவர்களுக்கு வாழ்க்கை மிகவும் கடினமாக இருந்தது, ஆனால் நாகரீகம் முதலில் ரோமானிய எண் முறைக்கும் பின்னர் தசம எண் முறைக்கும் வளர்ந்தது. இப்போதெல்லாம் கிட்டத்தட்ட அனைவரும் அரபு எண்களைப் பயன்படுத்துகிறார்கள்

இயற்கை எண்கள் பற்றி

இயற்கை எண்கள் என்பது நமது அன்றாட வாழ்வில் அளவு மற்றும் வரிசையை தீர்மானிக்க பொருட்களை எண்ணுவதற்கு பயன்படுத்தும் பிரதான எண்கள். தற்போது, ​​எண்களை எழுத தசம எண் முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம். எந்த எண்ணையும் எழுத, பத்து இலக்கங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம் - பூஜ்ஜியத்திலிருந்து ஒன்பது வரை.

இயற்கை எண்கள் என்பது பொருட்களை எண்ணும்போது அல்லது ஏதாவது ஒன்றின் வரிசை எண்ணைக் குறிக்கும் போது நாம் பயன்படுத்தும் எண்கள். எடுத்துக்காட்டு: 5, 368, 99, 3684.

எண் தொடர் என்பது ஏறுவரிசையில் அமைக்கப்பட்ட இயற்கை எண்களைக் குறிக்கிறது, அதாவது. ஒன்றிலிருந்து முடிவிலி வரை. அத்தகைய தொடர் மிகச்சிறிய எண்ணுடன் தொடங்குகிறது - 1, மற்றும் எண்களின் தொடர் வெறுமனே எல்லையற்றதாக இருப்பதால், மிகப்பெரிய இயற்கை எண் எதுவும் இல்லை.

பொதுவாக, பூஜ்ஜியம் ஒரு இயற்கை எண்ணாக கருதப்படுவதில்லை, ஏனெனில் இது ஏதோ இல்லாததைக் குறிக்கிறது, மேலும் பொருள்களின் எண்ணிக்கையும் இல்லை.

அரபு எண் அமைப்பு என்பது நாம் அன்றாடம் பயன்படுத்தும் ஒரு நவீன அமைப்பு. இது இந்தியன் (தசமம்) என்பதன் மாறுபாடு.

அரேபியர்களால் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட எண் 0 காரணமாக இந்த எண் அமைப்பு நவீனமானது. இதற்கு முன், இது இந்திய அமைப்பில் இல்லை.

இயற்கைக்கு மாறான எண்கள். இது என்ன?

இயற்கை எண்களில் எதிர்மறை எண்கள் அல்லது முழு எண்கள் இல்லை. அதாவது அவை இயற்கைக்கு மாறான எண்கள்

கீழே உதாரணங்கள் உள்ளன.

இயற்கை அல்லாத எண்கள்:

• எதிர்மறை எண்கள், எடுத்துக்காட்டாக: -1, -5, -36.. மற்றும் பல.
• தசமங்களாக வெளிப்படுத்தப்படும் விகிதமுறு எண்கள்: 4.5, -67, 44.6.
• ஒரு எளிய பின்னத்தின் வடிவத்தில்: 1/2, 40 2/7, முதலியன.

e = 2.71828, √2 = 1.41421 போன்ற விகிதாசார எண்கள்.

இயற்கை அல்லாத மற்றும் இயற்கை எண்களைப் புரிந்துகொள்ள நாங்கள் பெரிதும் உதவியுள்ளோம் என்று நம்புகிறோம். இப்போது இந்த தலைப்பை உங்கள் குழந்தைக்கு விளக்குவது உங்களுக்கு எளிதாக இருக்கும், மேலும் அவர் அதை சிறந்த கணிதவியலாளர்களுடன் கற்றுக்கொள்வார்!

கணிதத்தில், பல்வேறு எண்களின் தொகுப்புகள் உள்ளன: உண்மையான, சிக்கலான, முழு எண், பகுத்தறிவு, பகுத்தறிவற்ற, ... அன்றாட வாழ்க்கைஎண்ணும் போதும், தேடும் போதும், பொருள்களின் எண்ணிக்கையைக் குறிக்கும் போதும், இயற்கை எண்களையே நாம் அடிக்கடிப் பயன்படுத்துகிறோம்.

உடன் தொடர்பில் உள்ளது

என்ன எண்கள் இயற்கை எண்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன?

பத்து இலக்கங்களிலிருந்து நீங்கள் ஏற்கனவே உள்ள வகுப்புகள் மற்றும் தரவரிசைகளின் எந்தத் தொகையையும் எழுதலாம். இயற்கை மதிப்புகள் அவை என்று கருதப்படுகின்றன பயன்படுத்தப்படும்:

• எந்த பொருட்களையும் எண்ணும் போது (முதல், இரண்டாவது, மூன்றாவது, ... ஐந்தாவது, ... பத்தாவது).
• உருப்படிகளின் எண்ணிக்கையைக் குறிப்பிடும்போது (ஒன்று, இரண்டு, மூன்று...)

N மதிப்புகள் எப்போதும் முழு எண் மற்றும் நேர்மறை. முழு எண் மதிப்புகளின் தொகுப்பு வரம்பற்றதாக இருப்பதால் மிகப்பெரிய N இல்லை.

கவனம்!பொருட்களை எண்ணும் போது அல்லது அவற்றின் அளவைக் குறிக்கும் போது இயற்கை எண்கள் பெறப்படுகின்றன.

முற்றிலும் எந்த எண்ணையும் சிதைத்து இலக்க சொற்களின் வடிவத்தில் வழங்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக: 8.346.809=8 மில்லியன்+346 ஆயிரம்+809 அலகுகள்.

அமை N

N என்பது தொகுப்பில் உள்ளது உண்மையான, முழு எண் மற்றும் நேர்மறை. தொகுப்புகளின் வரைபடத்தில், அவை ஒன்றோடொன்று அமைந்திருக்கும், ஏனெனில் இயற்கையானவை அவற்றின் ஒரு பகுதியாகும்.

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பானது N என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது. இந்த தொகுப்பில் ஒரு தொடக்கம் உள்ளது, ஆனால் முடிவு இல்லை.

நீட்டிக்கப்பட்ட தொகுப்பு N உள்ளது, இதில் பூஜ்ஜியம் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

மிகச் சிறிய இயற்கை எண்

பெரும்பாலான கணிதப் பள்ளிகளில், N இன் சிறிய மதிப்பு ஒரு அலகாக கருதப்படுகிறது, பொருள்கள் இல்லாதது வெறுமையாகக் கருதப்படுவதால்.

ஆனால் வெளிநாட்டு கணிதப் பள்ளிகளில், உதாரணமாக பிரெஞ்சு மொழியில், இது இயற்கையாகக் கருதப்படுகிறது. தொடரில் பூஜ்ஜியத்தின் இருப்பு ஆதாரத்தை எளிதாக்குகிறது சில கோட்பாடுகள்.

பூஜ்ஜியத்தை உள்ளடக்கிய N மதிப்புகளின் தொடர் நீட்டிக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் N0 (பூஜ்ஜிய குறியீட்டு) குறியீட்டால் குறிக்கப்படுகிறது.

இயற்கை எண்களின் தொடர்

N தொடர் என்பது அனைத்து N செட் இலக்கங்களின் வரிசையாகும். இந்த வரிசைக்கு முடிவே இல்லை.

இயற்கைத் தொடரின் தனித்தன்மை என்னவென்றால், அடுத்த எண் முந்தைய எண்ணிலிருந்து ஒன்றால் வேறுபடும், அதாவது அது அதிகரிக்கும். ஆனால் அர்த்தங்கள் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது.

கவனம்!எண்ணுவதை எளிதாக்க, வகுப்புகள் மற்றும் வகைகள் உள்ளன:

• அலகுகள் (1, 2, 3),
• பத்துகள் (10, 20, 30),
• நூற்றுக்கணக்கான (100, 200, 300),
• ஆயிரக்கணக்கான (1000, 2000, 3000),
• பல்லாயிரக்கணக்கான (30,000),
• நூறாயிரக்கணக்கான (800.000),
• மில்லியன்கள் (4000000) போன்றவை.

அனைத்து என்

அனைத்து Nகளும் உண்மையான, முழு எண், எதிர்மறை அல்லாத மதிப்புகளின் தொகுப்பில் உள்ளன. அவர்கள் அவர்களுடையவர்கள் ஒருங்கிணைந்த பகுதியாக.

இந்த மதிப்புகள் முடிவிலிக்குச் செல்கின்றன, அவை மில்லியன் கணக்கான, பில்லியன்கள், குவிண்டில்லியன்கள் போன்றவற்றின் வகுப்புகளைச் சேர்ந்தவை.

உதாரணத்திற்கு:

• ஐந்து ஆப்பிள்கள், மூன்று பூனைக்குட்டிகள்,
• பத்து ரூபிள், முப்பது பென்சில்கள்,
• நூறு கிலோகிராம், முன்னூறு புத்தகங்கள்,
• ஒரு மில்லியன் நட்சத்திரங்கள், மூன்று மில்லியன் மக்கள், முதலியன.

N இல் வரிசை

வெவ்வேறு கணிதப் பள்ளிகளில், வரிசை N ஐச் சேர்ந்த இரண்டு இடைவெளிகளைக் காணலாம்:

பூஜ்ஜியத்திலிருந்து கூட்டல் முடிவிலி வரை, முனைகள் உட்பட, மற்றும் ஒன்று முதல் கூட்டல் முடிவிலி வரை, முனைகள் உட்பட, அதாவது அனைத்தும் நேர்மறை முழு எண் பதில்கள்.

இலக்கங்களின் N தொகுப்புகள் சமமாகவோ அல்லது ஒற்றைப்படையாகவோ இருக்கலாம். விந்தையின் கருத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

ஒற்றைப்படை (எந்த ஒற்றைப்படை எண்ணும் 1, 3, 5, 7, 9 ஆகிய எண்களில் முடிவடைகிறது.) இரண்டில் எஞ்சியிருக்கும். உதாரணமாக, 7:2=3.5, 11:2=5.5, 23:2=11.5.

N என்றால் என்ன?

வகுப்புகளின் எந்த இரட்டைத் தொகையும் எண்களில் முடிவடையும்: 0, 2, 4, 6, 8. N ஐ கூட 2 ஆல் வகுத்தால், மீதம் இருக்காது, அதாவது, முடிவு முழு விடையாகும். உதாரணமாக, 50:2=25, 100:2=50, 3456:2=1728.

முக்கியமான! N இன் ஒரு எண் தொடர் சம அல்லது ஒற்றைப்படை மதிப்புகளை மட்டுமே கொண்டிருக்க முடியாது, ஏனெனில் அவை மாறி மாறி வர வேண்டும்: கூட எப்போதும் ஒற்றைப்படை, அதைத் தொடர்ந்து மீண்டும், முதலியன.

பண்புகள் என்

மற்ற எல்லா தொகுப்புகளையும் போலவே, N க்கும் அதன் சொந்த சிறப்பு பண்புகள் உள்ளன. N தொடரின் பண்புகளை (நீட்டிக்கப்படவில்லை) கருத்தில் கொள்வோம்.

• மிகச்சிறியது மற்றும் வேறு எதையும் பின்பற்றாத மதிப்பு ஒன்றுதான்.
• N ஒரு வரிசையை குறிக்கிறது, அதாவது ஒரு இயற்கை மதிப்பு இன்னொன்றைப் பின்பற்றுகிறது(ஒன்றைத் தவிர - இது முதல்).
• இலக்கங்கள் மற்றும் வகுப்புகளின் N தொகைகளில் (சேர், பெருக்கு) கணக்கீட்டு செயல்பாடுகளைச் செய்யும்போது, ​​பதில் அது எப்போதும் இயற்கையாகவே மாறிவிடும்பொருள்.
• வரிசைமாற்றம் மற்றும் கலவையை கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தலாம்.
• ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த மதிப்பும் முந்தையதை விட குறைவாக இருக்கக்கூடாது. மேலும் N தொடரில் பின்வரும் சட்டம் பொருந்தும்: A எண் B ஐ விட குறைவாக இருந்தால், எண் தொடரில் எப்போதும் C இருக்கும், அதற்கு சமத்துவம் உள்ளது: A+C=B.
• நாம் இரண்டு இயற்கை வெளிப்பாடுகளை எடுத்துக் கொண்டால், எடுத்துக்காட்டாக A மற்றும் B, வெளிப்பாடுகளில் ஒன்று அவர்களுக்கு உண்மையாக இருக்கும்: A = B, A என்பது B ஐ விட பெரியது, A என்பது B ஐ விட சிறியது.
• A என்பது B ஐ விட குறைவாகவும், B ஆனது C ஐ விட குறைவாகவும் இருந்தால், அது பின்வருமாறு C ஐ விட A குறைவாக உள்ளது.
• A B ஐ விட குறைவாக இருந்தால், அது பின்வருமாறு: அதே வெளிப்பாட்டை (C) அவற்றுடன் சேர்த்தால், A + C என்பது B + C ஐ விட குறைவாக இருக்கும். இந்த மதிப்புகள் C ஆல் பெருக்கப்பட்டால், AC AB ஐ விட குறைவாக இருக்கும் என்பதும் உண்மை.
• A ஐ விட B அதிகமாகவும், C ஐ விட குறைவாகவும் இருந்தால், அது உண்மை: B-A என்பது C-A ஐ விட குறைவாக உள்ளது.

கவனம்!மேலே உள்ள அனைத்து ஏற்றத்தாழ்வுகளும் எதிர் திசையில் செல்லுபடியாகும்.

பெருக்கத்தின் கூறுகள் என்ன அழைக்கப்படுகின்றன?

பல எளிய மற்றும் சிக்கலான பிரச்சனைகளில், பதில் கண்டுபிடிப்பது மாணவர்களின் திறமையைப் பொறுத்தது

அகில்லெஸ் ஆமையை விட பத்து மடங்கு வேகமாக ஓடி அதற்கு ஆயிரம் அடிகள் பின்னால் செல்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்த தூரம் ஓட அகில்லெஸ் எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். அகில்லெஸ் நூறு படிகள் ஓடும்போது, ​​ஆமை இன்னும் பத்து படிகள் ஊர்ந்து செல்லும், மற்றும் பல. இந்த செயல்முறை முடிவில்லாமல் தொடரும், அகில்லெஸ் ஒருபோதும் ஆமையைப் பிடிக்க மாட்டார்.

இந்த பகுத்தறிவு அனைத்து அடுத்தடுத்த தலைமுறைகளுக்கும் ஒரு தர்க்கரீதியான அதிர்ச்சியாக மாறியது. அரிஸ்டாட்டில், டியோஜெனெஸ், கான்ட், ஹெகல், ஹில்பர்ட்... இவர்கள் அனைவரும் ஏதோ ஒரு வகையில் ஜெனோவின் அபோரியாவைக் கருதினர். அதிர்ச்சி மிகவும் வலுவாக இருந்தது" ... விவாதங்கள் இன்றுவரை தொடர்கின்றன; முரண்பாடுகளின் சாராம்சம் குறித்த பொதுவான கருத்துக்கு விஞ்ஞான சமூகம் இன்னும் வரவில்லை. ; அவை எதுவும் பிரச்சனைக்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வாக மாறவில்லை."[விக்கிபீடியா, "ஜீனோஸ் அபோரியா". எல்லோரும் தாங்கள் ஏமாறுகிறார்கள் என்பதை புரிந்துகொள்கிறார்கள், ஆனால் ஏமாற்றுவது என்னவென்று யாருக்கும் புரியவில்லை.

கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், ஜெனோ தனது அபோரியாவில் அளவிலிருந்து க்கு மாறுவதைத் தெளிவாகக் காட்டினார். இந்த மாற்றம் நிரந்தரமானவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. நான் புரிந்து கொண்டவரை, மாறி அளவீட்டு அலகுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான கணிதக் கருவி இன்னும் உருவாக்கப்படவில்லை அல்லது அது ஜெனோவின் அபோரியாவில் பயன்படுத்தப்படவில்லை. நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்துவது நம்மை ஒரு பொறிக்குள் இட்டுச் செல்கிறது. நாம், சிந்தனையின் மந்தநிலை காரணமாக, பரஸ்பர மதிப்புக்கு நேரத்தின் நிலையான அலகுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், அகில்லெஸ் ஆமையைப் பிடிக்கும் தருணத்தில் அது முற்றிலும் நின்றுவிடும் வரை நேரம் குறைவது போல் தெரிகிறது. நேரம் நின்று விட்டால், அகில்லெஸால் ஆமையை மிஞ்ச முடியாது.

நாம் நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைத் திருப்பினால், எல்லாம் சரியாகிவிடும். அகில்லெஸ் நிலையான வேகத்தில் இயங்குகிறது. அவரது பாதையின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த பிரிவும் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவாக உள்ளது. அதன்படி, அதைக் கடக்க செலவழித்த நேரம் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவு. இந்த சூழ்நிலையில் "முடிவிலி" என்ற கருத்தை நாம் பயன்படுத்தினால், "அகில்லெஸ் ஆமையை எல்லையற்ற விரைவாகப் பிடிக்கும்" என்று சொல்வது சரியாக இருக்கும்.

இந்த தர்க்கரீதியான பொறியைத் தவிர்ப்பது எப்படி? நேரத்தின் நிலையான அலகுகளில் இருங்கள் மற்றும் பரஸ்பர அலகுகளுக்கு மாறாதீர்கள். ஜெனோவின் மொழியில் இது போல் தெரிகிறது:

அகில்லெஸ் ஆயிரம் படிகள் ஓட எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். முதல் முறைக்கு சமமான அடுத்த நேர இடைவெளியில், அகில்லெஸ் இன்னும் ஆயிரம் படிகள் ஓடுவார், ஆமை நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். இப்போது அகில்லெஸ் ஆமையை விட எண்ணூறு படிகள் முன்னால் இருக்கிறார்.

இந்த அணுகுமுறை தர்க்கரீதியான முரண்பாடுகள் இல்லாமல் யதார்த்தத்தை போதுமான அளவில் விவரிக்கிறது. ஆனால் இது பிரச்சனைக்கு முழுமையான தீர்வு அல்ல. ஒளியின் வேகத்தின் தவிர்க்க முடியாத தன்மையைப் பற்றிய ஐன்ஸ்டீனின் கூற்று ஜீனோவின் அபோரியா "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" போன்றது. நாம் இன்னும் ஆய்வு செய்ய வேண்டும், மறுபரிசீலனை செய்ய வேண்டும் மற்றும் இந்த சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும். மேலும் தீர்வை எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் அல்ல, அளவீட்டு அலகுகளில் தேட வேண்டும்.

Zeno இன் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான அபோரியா பறக்கும் அம்பு பற்றி கூறுகிறது:

பறக்கும் அம்பு அசைவற்றது, ஏனெனில் அது ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஓய்வில் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு தருணத்திலும் அது ஓய்வில் இருப்பதால், அது எப்போதும் ஓய்வில் இருக்கும்.

இந்த அபோரியாவில், தர்க்கரீதியான முரண்பாடு மிகவும் எளிமையாகக் கடக்கப்படுகிறது - ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஒரு பறக்கும் அம்பு விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் ஓய்வில் உள்ளது என்பதை தெளிவுபடுத்துவது போதுமானது, இது உண்மையில் இயக்கம். இன்னொரு விஷயத்தையும் இங்கு கவனிக்க வேண்டும். சாலையில் ஒரு காரின் ஒரு புகைப்படத்திலிருந்து அதன் இயக்கத்தின் உண்மை அல்லது அதற்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு கார் நகர்கிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, ஒரே புள்ளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் உங்களுக்குத் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து தூரத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு காருக்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க, உங்களுக்கு ஒரு நேரத்தில் விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து நீங்கள் இயக்கத்தின் உண்மையை தீர்மானிக்க முடியாது (நிச்சயமாக, கணக்கீடுகளுக்கு உங்களுக்கு இன்னும் கூடுதல் தரவு தேவை, முக்கோணவியல் உங்களுக்கு உதவும். ) நான் சிறப்பு கவனம் செலுத்த விரும்புவது என்னவென்றால், நேரத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் குழப்பமடையக்கூடாது, ஏனென்றால் அவை ஆராய்ச்சிக்கு வெவ்வேறு வாய்ப்புகளை வழங்குகின்றன.

புதன், ஜூலை 4, 2018

செட் மற்றும் மல்டிசெட் இடையே உள்ள வேறுபாடுகள் விக்கிபீடியாவில் நன்றாக விவரிக்கப்பட்டுள்ளன. பார்க்கலாம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "ஒரு தொகுப்பில் இரண்டு ஒத்த கூறுகள் இருக்க முடியாது," ஆனால் ஒரு தொகுப்பில் ஒரே மாதிரியான கூறுகள் இருந்தால், அத்தகைய தொகுப்பு "மல்டிசெட்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. நியாயமான மனிதர்கள் இத்தகைய அபத்தமான தர்க்கத்தை ஒருபோதும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார்கள். "முழுமையாக" என்ற வார்த்தையிலிருந்து எந்த அறிவும் இல்லாத, பேசும் கிளிகள் மற்றும் பயிற்சி பெற்ற குரங்குகளின் நிலை இதுதான். கணிதவியலாளர்கள் சாதாரண பயிற்சியாளர்களாக செயல்படுகிறார்கள், அவர்களின் அபத்தமான கருத்துக்களை நமக்குப் போதிக்கிறார்கள்.

ஒரு சமயம், பாலத்தை கட்டிய பொறியாளர்கள் பாலத்தின் அடியில் படகில் சென்று சோதனை செய்து கொண்டிருந்தனர். பாலம் இடிந்து விழுந்தால், சாதாரண பொறியாளர் தனது படைப்பின் இடிபாடுகளில் இறந்தார். பாலம் சுமைகளைத் தாங்கினால், திறமையான பொறியாளர் மற்ற பாலங்களைக் கட்டினார்.

கணிதவியலாளர்கள் "என்னை மனதில் கொள்ளுங்கள், நான் வீட்டில் இருக்கிறேன்" அல்லது "கணிதம் சுருக்கக் கருத்துக்களைப் படிக்கிறது" என்ற சொற்றொடருக்குப் பின்னால் எப்படி மறைந்தாலும், அவற்றை யதார்த்தத்துடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கும் ஒரு தொப்புள் கொடி உள்ளது. இந்த தொப்புள் கொடி பணம். கணிதத் தொகுப்புக் கோட்பாட்டை கணிதவியலாளர்களுக்கே பயன்படுத்துவோம்.

நாங்கள் கணிதத்தை நன்றாகப் படித்தோம், இப்போது நாங்கள் பணப் பதிவேட்டில் உட்கார்ந்து சம்பளம் கொடுக்கிறோம். எனவே ஒரு கணிதவியலாளர் தனது பணத்திற்காக எங்களிடம் வருகிறார். நாங்கள் அவருக்கு முழுத் தொகையையும் எண்ணி, அதை வெவ்வேறு குவியல்களில் எங்கள் மேஜையில் வைக்கிறோம், அதில் ஒரே மதிப்பின் பில்களை வைக்கிறோம். ஒவ்வொரு பைலில் இருந்தும் ஒரு பில் எடுத்து கணிதவியலாளருக்கு அவருடைய "கணித சம்பளம்" கொடுக்கிறோம். ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு, ஒரே மாதிரியான தனிமங்களைக் கொண்ட தொகுப்பிற்குச் சமமானதல்ல என்பதை நிரூபித்தபோதுதான் மீதமுள்ள பில்களைப் பெறுவார் என்பதை கணிதவியலாளருக்கு விளக்குவோம். இங்குதான் வேடிக்கை தொடங்குகிறது.

முதலாவதாக, பிரதிநிதிகளின் தர்க்கம் வேலை செய்யும்: "இது மற்றவர்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் எனக்கு அல்ல!" ஒரே மதிப்பின் பில்களில் வெவ்வேறு பில் எண்கள் உள்ளன, அதாவது அவற்றை ஒரே கூறுகளாகக் கருத முடியாது என்று அவர்கள் எங்களுக்கு உறுதியளிக்கத் தொடங்குவார்கள். சரி, சம்பளத்தை நாணயங்களில் எண்ணுவோம் - நாணயங்களில் எண்கள் இல்லை. இங்கே கணிதவியலாளர் இயற்பியலை வெறித்தனமாக நினைவில் கொள்ளத் தொடங்குவார்: வெவ்வேறு நாணயங்களில் வெவ்வேறு அளவு அழுக்குகள் உள்ளன, படிக அமைப்பு மற்றும் அணுக்களின் அமைப்பு ஒவ்வொரு நாணயத்திற்கும் தனித்துவமானது.

இப்போது எனக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமான கேள்வி உள்ளது: மல்டிசெட்டின் கூறுகள் ஒரு தொகுப்பின் கூறுகளாக மாறுவதற்கும் நேர்மாறாகவும் மாற்றும் கோடு எங்கே? அத்தகைய வரி இல்லை - எல்லாம் ஷாமன்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, விஞ்ஞானம் இங்கே பொய் சொல்லக்கூட இல்லை.

இங்கே பாருங்கள். நாங்கள் ஒரே மைதானம் கொண்ட கால்பந்து மைதானங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். வயல்களின் பகுதிகள் ஒரே மாதிரியானவை - அதாவது எங்களிடம் மல்டிசெட் உள்ளது. ஆனால் இதே மைதானங்களின் பெயர்களைப் பார்த்தால், பெயர்கள் வித்தியாசமாக இருப்பதால், பலவற்றைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் ஒரு தொகுப்பு மற்றும் மல்டிசெட் ஆகும். எது சரி? இங்கே கணிதவியலாளர்-ஷாமன்-கூர்மையானவர் தனது ஸ்லீவிலிருந்து டிரம்ப்களின் சீட்டுகளை வெளியே இழுத்து, ஒரு செட் அல்லது மல்டிசெட் பற்றி எங்களிடம் சொல்லத் தொடங்குகிறார். எப்படியிருந்தாலும், அவர் சொல்வது சரி என்று நம்மை நம்ப வைப்பார்.

நவீன ஷாமன்கள் எவ்வாறு செட் கோட்பாட்டுடன் செயல்படுகிறார்கள் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அதை யதார்த்தத்துடன் இணைத்து, ஒரு கேள்விக்கு பதிலளிப்பது போதுமானது: ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் மற்றொரு தொகுப்பின் கூறுகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? "ஒரு முழுமையல்ல" அல்லது "ஒற்றை முழுதாக கற்பனை செய்ய முடியாதது" எதுவுமின்றி நான் உங்களுக்குக் காட்டுகிறேன்.

ஞாயிற்றுக்கிழமை, மார்ச் 18, 2018

ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையானது ஷாமன்களின் நடனம் ஆகும், இது கணிதத்துடன் எந்த தொடர்பும் இல்லை. ஆம், கணித பாடங்களில் ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடித்து அதைப் பயன்படுத்த கற்றுக்கொடுக்கிறோம், ஆனால் அதனால்தான் அவர்கள் ஷாமன்கள், அவர்களின் சந்ததியினருக்கு அவர்களின் திறமைகளையும் ஞானத்தையும் கற்பிக்கிறார்கள், இல்லையெனில் ஷாமன்கள் வெறுமனே இறந்துவிடுவார்கள்.

ஆதாரம் தேவையா? விக்கிபீடியாவைத் திறந்து, "ஒரு எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை" பக்கத்தைக் கண்டறிய முயற்சிக்கவும். அவள் இல்லை. எந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க கணிதத்தில் எந்த சூத்திரமும் இல்லை. எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, எண்கள் நாம் எண்களை எழுதும் கிராஃபிக் குறியீடுகள், மேலும் கணிதத்தின் மொழியில் பணி இதுபோல் தெரிகிறது: "எந்த எண்ணையும் குறிக்கும் கிராஃபிக் சின்னங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறியவும்." கணிதவியலாளர்களால் இந்த சிக்கலை தீர்க்க முடியாது, ஆனால் ஷாமன்கள் அதை எளிதாக செய்ய முடியும்.

கொடுக்கப்பட்ட எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டறிய என்ன, எப்படிச் செய்கிறோம் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம். எனவே, 12345 என்ற எண்ணைப் பெறுவோம். இந்த எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிக்க என்ன செய்ய வேண்டும்? அனைத்து படிகளையும் வரிசையாகக் கருதுவோம்.

1. ஒரு காகிதத்தில் எண்ணை எழுதுங்கள். நாம் என்ன செய்தோம்? எண்ணை வரைகலை எண் குறியீடாக மாற்றியுள்ளோம். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.

2. ஒரு விளைவான படத்தை தனிப்பட்ட எண்களைக் கொண்ட பல படங்களாக வெட்டுகிறோம். ஒரு படத்தை வெட்டுவது ஒரு கணித செயல்பாடு அல்ல.

3. தனிப்பட்ட கிராஃபிக் குறியீடுகளை எண்களாக மாற்றவும். இது கணித செயல்பாடு அல்ல.

4. இதன் விளைவாக வரும் எண்களைச் சேர்க்கவும். இப்போது இது கணிதம்.

12345 என்ற எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை 15. இவை கணிதவியலாளர்கள் பயன்படுத்தும் ஷாமன்களால் கற்பிக்கப்படும் "வெட்டு மற்றும் தையல் படிப்புகள்" ஆகும். ஆனால் அது மட்டும் அல்ல.

கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், எந்த எண் அமைப்பில் எண்ணை எழுதுகிறோம் என்பது முக்கியமல்ல. எனவே, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டதாக இருக்கும். கணிதத்தில், எண் அமைப்பு எண்ணின் வலதுபுறத்தில் சப்ஸ்கிரிப்டாகக் குறிக்கப்படுகிறது. பெரிய எண் 12345 உடன், நான் என் தலையை முட்டாளாக்க விரும்பவில்லை, கட்டுரையில் இருந்து எண் 26 ஐக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த எண்ணை பைனரி, ஆக்டல், டெசிமல் மற்றும் ஹெக்ஸாடெசிமல் எண் அமைப்புகளில் எழுதுவோம். நாம் ஒரு நுண்ணோக்கியின் கீழ் ஒவ்வொரு அடியையும் பார்க்க மாட்டோம்; முடிவைப் பார்ப்போம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, வெவ்வேறு எண் அமைப்புகளில் ஒரே எண்ணின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை வேறுபட்டது. இந்த முடிவுக்கும் கணிதத்திற்கும் எந்த சம்பந்தமும் இல்லை. ஒரு செவ்வகத்தின் பரப்பளவை மீட்டர் மற்றும் சென்டிமீட்டர்களில் தீர்மானித்தது போலவே, நீங்கள் முற்றிலும் மாறுபட்ட முடிவுகளைப் பெறுவீர்கள்.

பூஜ்ஜியம் அனைத்து எண் அமைப்புகளிலும் ஒரே மாதிரியாகத் தெரிகிறது மற்றும் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகை இல்லை. இது உண்மைக்கு ஆதரவான மற்றொரு வாதம். கணிதவியலாளர்களுக்கான கேள்வி: எண் இல்லாத ஒன்று கணிதத்தில் எவ்வாறு குறிப்பிடப்படுகிறது? என்ன, கணிதவியலாளர்களுக்கு எண்களைத் தவிர வேறு எதுவும் இல்லை? நான் ஷாமன்களுக்கு இதை அனுமதிக்க முடியும், ஆனால் விஞ்ஞானிகளுக்கு அனுமதிக்க முடியாது. எதார்த்தம் என்பது எண்களைப் பற்றியது மட்டுமல்ல.

எண் அமைப்புகள் எண்களுக்கான அளவீட்டு அலகுகள் என்பதற்கான ஆதாரமாக பெறப்பட்ட முடிவு கருதப்பட வேண்டும். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வெவ்வேறு அளவீட்டு அலகுகளுடன் எண்களை ஒப்பிட முடியாது. ஒரே அளவின் வெவ்வேறு அளவீட்டு அலகுகளைக் கொண்ட அதே செயல்கள் அவற்றை ஒப்பிட்டுப் பார்த்த பிறகு வெவ்வேறு முடிவுகளுக்கு வழிவகுத்தால், இதற்கும் கணிதத்திற்கும் எந்த தொடர்பும் இல்லை.

உண்மையான கணிதம் என்றால் என்ன? ஒரு கணித செயல்பாட்டின் முடிவு எண்ணின் அளவு, பயன்படுத்தப்படும் அளவீட்டு அலகு மற்றும் இந்த செயலை யார் செய்கிறார் என்பதைப் பொறுத்து இருக்காது.

ஓ! இது பெண்கள் கழிவறை இல்லையா?
- இளம்பெண்! ஆன்மாக்கள் சொர்க்கத்திற்கு ஏறும் போது அவர்களின் தூய்மையற்ற புனிதத்தன்மையை ஆய்வு செய்வதற்கான ஆய்வகம் இது! மேலே ஒளிவட்டம் மற்றும் அம்புக்குறி. வேறு என்ன கழிப்பறை?

பெண்... மேலுள்ள ஒளிவட்டமும் கீழே உள்ள அம்பும் ஆண்.

அத்தகைய வடிவமைப்பு கலை ஒரு நாளைக்கு பல முறை உங்கள் கண்களுக்கு முன்பாக ஒளிரும் என்றால்,

திடீரென்று உங்கள் காரில் ஒரு விசித்திரமான ஐகானைக் கண்டால் ஆச்சரியப்படுவதற்கில்லை:

தனிப்பட்ட முறையில், நான் ஒரு மலம் கழிக்கும் நபரில் மைனஸ் நான்கு டிகிரிகளைப் பார்க்க முயற்சி செய்கிறேன் (ஒரு படம்) (பல படங்களின் கலவை: ஒரு கழித்தல் அடையாளம், எண் நான்கு, டிகிரிகளின் பதவி). மேலும் இந்த பெண் இயற்பியல் தெரியாத ஒரு முட்டாள் என்று நான் நினைக்கவில்லை. கிராஃபிக் படங்களை உணரும் வலுவான ஸ்டீரியோடைப் மட்டுமே அவளுக்கு உள்ளது. மேலும் கணிதவியலாளர்கள் இதை நமக்கு எப்பொழுதும் கற்பிக்கிறார்கள். இதோ ஒரு உதாரணம்.

1A என்பது "மைனஸ் நான்கு டிகிரி" அல்லது "ஒரு a" அல்ல. இது "பூப்பிங் மேன்" அல்லது ஹெக்ஸாடெசிமல் குறியீட்டில் "இருபத்தி ஆறு" எண். இந்த எண் அமைப்பில் தொடர்ந்து பணியாற்றுபவர்கள் தானாக ஒரு எண்ணையும் ஒரு எழுத்தையும் ஒரு கிராஃபிக் சின்னமாக உணர்கிறார்கள்.

இயற்கை எண்கள் மற்றும் அவற்றின் பண்புகள்

வாழ்வில் உள்ள பொருட்களை எண்ணுவதற்கு இயற்கை எண்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எந்தவொரு இயற்கை எண்ணையும் எழுதும்போது, ​​$0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ எண்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

இயற்கை எண்களின் வரிசை, ஒவ்வொரு அடுத்த எண்ணிலும் முந்தையதை விட $1$ அதிகமாக உள்ளது, இது ஒரு இயற்கைத் தொடரை உருவாக்குகிறது, இது ஒன்றிலிருந்து தொடங்குகிறது (ஒன்று மிகச்சிறிய இயற்கை எண் என்பதால்) மற்றும் பெரிய மதிப்பு இல்லை, அதாவது. எல்லையற்ற.

பூஜ்ஜியம் இயற்கை எண்ணாகக் கருதப்படுவதில்லை.

வாரிசு உறவின் பண்புகள்

இயற்கை எண்களின் அனைத்து பண்புகள் மற்றும் அவற்றின் செயல்பாடுகள் வாரிசு உறவுகளின் நான்கு பண்புகளிலிருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன, அவை 1891 இல் டி. பீனோவால் உருவாக்கப்பட்டன:

ஒன்று எந்த இயற்கை எண்ணையும் பின்பற்றாத இயற்கை எண்.

ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணையும் தொடர்ந்து ஒரே ஒரு எண் வரும்

$1$ ஐத் தவிர மற்ற ஒவ்வொரு இயற்கை எண்ணும் ஒரே ஒரு இயற்கை எண்ணைப் பின்பற்றுகிறது

$1$ என்ற எண்ணைக் கொண்ட இயற்கை எண்களின் துணைக்குழுவும், அதைத் தொடர்ந்து வரும் ஒவ்வொரு எண்ணும் சேர்ந்து அனைத்து இயற்கை எண்களையும் கொண்டிருக்கும்.

இயல்பான எண்ணின் உள்ளீடு ஒரு இலக்கத்தைக் கொண்டிருந்தால், அது ஒற்றை இலக்கம் எனப்படும் (உதாரணமாக, $2,6.9$, முதலியன), உள்ளீடு இரண்டு இலக்கங்களைக் கொண்டிருந்தால், அது இரட்டை இலக்கம் எனப்படும் (உதாரணமாக, $12 ,18,45$), முதலியன. இதேபோல். இரண்டு இலக்கங்கள், மூன்று இலக்கங்கள், நான்கு இலக்கங்கள் போன்றவை. கணிதத்தில், எண்கள் பல இலக்கங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இயற்கை எண்களின் சேர்க்கையின் சொத்து

பரிமாற்ற சொத்து: $a+b=b+a$

விதிமுறைகள் மறுசீரமைக்கப்படும் போது தொகை மாறாது

சொத்துக்களை இணைத்தல்: $a+ (b+c) =(a+b) +c$

ஒரு எண்ணுடன் இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையைச் சேர்க்க, நீங்கள் முதலில் முதல் சொல்லைச் சேர்க்கலாம், பின்னர், அதன் விளைவாக வரும் தொகையில், இரண்டாவது சொல்லைச் சேர்க்கலாம்

பூஜ்ஜியத்தைச் சேர்ப்பது எண்ணை மாற்றாது, நீங்கள் எந்த எண்ணையும் பூஜ்ஜியத்துடன் சேர்த்தால், சேர்க்கப்பட்ட எண்ணைப் பெறுவீர்கள்.

கழித்தல் பண்புகள்

$b+c ≤ a$ எனில் $a-(b+c) =a-b-c$ என்ற எண்ணிலிருந்து ஒரு தொகையைக் கழிப்பதற்கான சொத்து

ஒரு எண்ணிலிருந்து ஒரு தொகையைக் கழிப்பதற்காக, முதலில் இந்த எண்ணிலிருந்து முதல் சொல்லைக் கழிக்கலாம், பின்னர் அதன் விளைவாக வரும் வேறுபாட்டிலிருந்து இரண்டாவது சொல்லைக் கழிக்கலாம்.

$c ≤ ​​b$ எனில் $(a+b) -c=a+(b-c)$ இலிருந்து எண்ணைக் கழிக்கும் பண்பு

ஒரு தொகையிலிருந்து ஒரு எண்ணைக் கழிக்க, நீங்கள் அதை ஒரு சொல்லிலிருந்து கழித்து, அதன் விளைவாக வரும் வேறுபாட்டிற்கு மற்றொரு சொல்லைச் சேர்க்கலாம்.

ஒரு எண்ணிலிருந்து பூஜ்ஜியத்தைக் கழித்தால், எண் மாறாது

எண்ணிலிருந்து கழித்தால், பூஜ்ஜியம் கிடைக்கும்

பெருக்கத்தின் பண்புகள்

தகவல்தொடர்பு $a\cdot b=b\cdot a$

காரணிகள் மறுசீரமைக்கப்படும் போது இரண்டு எண்களின் பெருக்கல் மாறாது

இணைந்த $a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c$

இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்தால் ஒரு எண்ணைப் பெருக்க, முதலில் அதை முதல் காரணியால் பெருக்கலாம், அதன் பிறகு வரும் விளைபொருளை இரண்டாவது காரணியால் பெருக்கலாம்.

ஒன்றால் பெருக்கும்போது, ​​தயாரிப்பு $m\cdot 1=m$ மாறாது

பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கினால், தயாரிப்பு பூஜ்ஜியமாகும்

தயாரிப்புக் குறிப்பில் அடைப்புக்குறிகள் இல்லாதபோது, ​​இடமிருந்து வலமாகப் பெருக்கல் செய்யப்படுகிறது

கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் தொடர்பான பெருக்கத்தின் பண்புகள்

கூட்டலுடன் தொடர்புடைய பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து

$(a+b)\cdot c=ac+bc$

ஒரு தொகையை எண்ணால் பெருக்க, ஒவ்வொரு சொல்லையும் இந்த எண்ணால் பெருக்கி அதன் விளைவாக வரும் பொருட்களைச் சேர்க்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, $5(x+y)=5x+5y$

கழித்தல் தொடர்பான பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து

$(a-b)\cdot c=ac-bc$

வித்தியாசத்தை ஒரு எண்ணால் பெருக்க, இந்த எண்ணால் minuend மற்றும் subtrahend ஐ பெருக்கி, முதல் தயாரிப்பிலிருந்து இரண்டாவதாக கழிக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டாக, $5(x-y)=5x-5y$

இயற்கை எண்களின் ஒப்பீடு

எந்த இயற்கை எண்களுக்கும் $a$ மற்றும் $b$, மூன்று உறவுகளில் ஒன்றை மட்டுமே திருப்திப்படுத்த முடியும்: $a=b$, $a

இயற்கை தொடரில் முன்பு தோன்றும் எண் சிறியதாகவும், பின்னர் தோன்றும் எண் பெரியதாகவும் கருதப்படுகிறது. எந்த இயற்கை எண்ணையும் விட பூஜ்ஜியம் குறைவு.

எடுத்துக்காட்டு 1

$a$ மற்றும் $555$ எண்களை ஒப்பிடவும், ஒரு குறிப்பிட்ட எண் $b$ இருப்பதாகத் தெரிந்தால், பின்வரும் உறவுகள் உள்ளன: $a

தீர்வு: குறிப்பிட்ட சொத்து அடிப்படையில், ஏனெனில் நிபந்தனையின்படி $a

குறைந்தபட்சம் ஒரு எண்ணைக் கொண்ட இயற்கை எண்களின் துணைக்குழுவில் ஒரு சிறிய எண் உள்ளது

கணிதத்தில், துணைக்குழு என்பது ஒரு தொகுப்பின் ஒரு பகுதியாகும். துணைக்குழுவின் ஒவ்வொரு உறுப்பும் பெரிய தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பாக இருந்தால் ஒரு தொகுப்பு மற்றொன்றின் துணைக்குழு என்று கூறப்படுகிறது

பெரும்பாலும், எண்களை ஒப்பிடுவதற்கு, அவற்றின் வேறுபாட்டைக் கண்டறிந்து பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுகிறார்கள். வித்தியாசம் $0$ ஐ விட அதிகமாக இருந்தால், ஆனால் முதல் எண் இரண்டாவது எண்ணை விட அதிகமாக இருந்தால், வித்தியாசம் $0$ ஐ விட குறைவாக இருந்தால், முதல் எண் இரண்டாவது விட குறைவாக இருக்கும்.

இயற்கை எண்களை வட்டமிடுதல்

முழுத் துல்லியம் தேவைப்படாதபோது அல்லது சாத்தியமில்லாதபோது, ​​எண்கள் வட்டமிடப்படும், அதாவது, அவை முடிவில் பூஜ்ஜியங்களுடன் நெருக்கமான எண்களால் மாற்றப்படுகின்றன.

இயற்கை எண்கள் பத்து, நூற்றுக்கணக்கான, ஆயிரக்கணக்கான போன்றவற்றில் வட்டமிடப்படுகின்றன.

ஒரு எண்ணை பத்துகளாக வட்டமிடும்போது, ​​அது முழு பத்துகளைக் கொண்ட அருகிலுள்ள எண்ணால் மாற்றப்படுகிறது; அத்தகைய எண்ணில் அலகுகள் இடத்தில் $0$ என்ற இலக்கம் உள்ளது

ஒரு எண்ணை அருகிலுள்ள நூற்றுக்குச் சுற்றும் போது, ​​அது முழு நூறுகளைக் கொண்ட அருகிலுள்ள எண்ணால் மாற்றப்படுகிறது; அத்தகைய எண்ணில் பத்துகள் மற்றும் ஒரு இடத்தில் $0$ என்ற இலக்கம் இருக்க வேண்டும். முதலியன

இது வட்டமிடப்பட்ட எண்கள், சுட்டிக்காட்டப்பட்ட இலக்கங்களின் துல்லியத்துடன் எண்ணின் தோராயமான மதிப்பு என்று அழைக்கப்படுகின்றன, எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் எண்ணை $564$ முதல் பத்துகள் வரை சுற்றினால், நீங்கள் அதைச் சுருக்கி $560$ பெறலாம் அல்லது பெறலாம். கூடுதல் மற்றும் $570$ கிடைக்கும்.

இயற்கை எண்களை வட்டமிடுவதற்கான விதி

எண் வட்டமிடப்பட்ட இலக்கத்தின் வலதுபுறத்தில் ஒரு இலக்கம் $5$ அல்லது $5$ ஐ விட அதிகமான இலக்கம் இருந்தால், இந்த இலக்கத்தின் இலக்கத்துடன் $1$ சேர்க்கப்படும்; இல்லையெனில் இந்த எண்ணிக்கை மாறாமல் இருக்கும்

எண் வட்டமிடப்பட்ட இலக்கத்தின் வலதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள அனைத்து இலக்கங்களும் பூஜ்ஜியங்களால் மாற்றப்படுகின்றன