நிகழ்வுகளின் செயல்பாடுகள் (தொகை, வேறுபாடு, தயாரிப்பு). நிகழ்வுகள் மீதான செயல்பாடுகளின் கூட்டுத் தொகை மற்றும் சீரற்ற நிகழ்வுகளின் வேறுபாடு

மாதிரி இடத்தில் நிகழ்வுகளின் அனைத்து நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை 1. எடுத்துக்காட்டாக, சோதனையானது நிகழ்வு A = தலைகள் மற்றும் நிகழ்வு B = வால்கள் கொண்ட நாணயத்தைத் தூக்கி எறிந்தால், A மற்றும் B முழு மாதிரி இடத்தையும் குறிக்கும். பொருள் P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1.

உதாரணமாக. ரோப் பாக்கெட்டில் இருந்து சிவப்பு பேனாவை அகற்றுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கான முன்னர் முன்மொழியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் (இது நிகழ்வு A), இதில் இரண்டு நீலம் மற்றும் ஒரு சிவப்பு பேனாக்கள் உள்ளன, P(A) = 1/3 ≈ 0.33, எதிர் நிகழ்தகவு நிகழ்வு - ஒரு நீல பேனா வரைதல் - இருக்கும்

முக்கிய கோட்பாடுகளுக்குச் செல்வதற்கு முன், நாங்கள் இரண்டு சிக்கலான கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்துகிறோம் - நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் தயாரிப்பு. இந்தக் கருத்துக்கள் எண்கணிதத்தில் உள்ள தொகை மற்றும் தயாரிப்பு என்ற வழக்கமான கருத்துக்களிலிருந்து வேறுபட்டவை. நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் என்பது சில விதிகளுக்கு உட்பட்டு அறிவியல் முடிவுகளின் தர்க்கரீதியான கட்டுமானத்தை எளிதாக்கும் குறியீட்டு செயல்பாடுகள் ஆகும்.

தொகைபல நிகழ்வுகள் என்பது அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒரு நிகழ்வை உள்ளடக்கிய ஒரு நிகழ்வாகும். அதாவது, A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை நிகழ்வு C என அழைக்கப்படுகிறது, இதில் நிகழ்வு A, அல்லது நிகழ்வு B அல்லது நிகழ்வுகள் A மற்றும் B ஆகியவை ஒன்றாக உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பயணி இரண்டு வழித்தடங்களில் ஒன்றிற்கு டிராம் நிறுத்தத்தில் காத்திருந்தால், அவருக்குத் தேவையான நிகழ்வு முதல் பாதையில் (நிகழ்வு A), அல்லது இரண்டாவது பாதையில் (நிகழ்வு B) டிராம் தோன்றுவது. அல்லது முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தடங்களில் டிராம்களின் கூட்டுத் தோற்றம் (நிகழ்வுடன்). நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் மொழியில், பயணிகளுக்கு தேவைப்படும் நிகழ்வு D நிகழ்வு A, அல்லது நிகழ்வு B அல்லது நிகழ்வு C நிகழ்வில் உள்ளது, இது வடிவத்தில் குறியீட்டு முறையில் எழுதப்படும்:

D=A+B+C

இரண்டு நிகழ்வுகளின் தயாரிப்புஏமற்றும் INநிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும் ஏமற்றும் IN. பல நிகழ்வுகளின் தயாரிப்புஇந்த அனைத்து நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வு அழைக்கப்படுகிறது.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் ஒரு பயணியுடன், நிகழ்வு உடன்(இரண்டு வழித்தடங்களில் டிராம்களின் கூட்டுத் தோற்றம்) இரண்டு நிகழ்வுகளின் விளைவாகும் ஏமற்றும் IN, இது குறியீடாக பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

ஒரு குறிப்பிட்ட நோயைக் கண்டறிய இரண்டு மருத்துவர்கள் தனித்தனியாக ஒரு நோயாளியை பரிசோதிக்கிறார்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஆய்வின் போது, ​​​​பின்வரும் நிகழ்வுகள் ஏற்படலாம்:

முதல் மருத்துவரால் நோய்களைக் கண்டறிதல் ( ஏ);

முதல் மருத்துவரால் நோயைக் கண்டறியத் தவறியது ();

இரண்டாவது மருத்துவரால் நோயைக் கண்டறிதல் ( IN);

இரண்டாவது மருத்துவரால் நோயைக் கண்டறியத் தவறியது ().

சரியாக ஒரு முறை பரிசோதனையின் போது நோய் கண்டறியப்படும் நிகழ்வைக் கவனியுங்கள். இந்த நிகழ்வை இரண்டு வழிகளில் செயல்படுத்தலாம்:

நோய் முதல் மருத்துவரால் கண்டறியப்படும் ( ஏ) மற்றும் இரண்டாவது ();

முதல் மருத்துவரால் நோய் கண்டறியப்படாது () மற்றும் இரண்டாவது () பி).

பரிசீலனையில் உள்ள நிகழ்வைக் குறிப்போம், குறியீடாக எழுதுவோம்:

இரண்டு முறை பரிசோதனையின் போது நோய் கண்டறியப்படும் நிகழ்வைக் கவனியுங்கள் (முதல் மற்றும் இரண்டாவது மருத்துவரால்). இந்த நிகழ்வைக் குறிக்கவும் மற்றும் எழுதவும்: .

முதல் அல்லது இரண்டாவது மருத்துவர் நோயைக் கண்டறிந்து அதை எழுதாத நிகழ்வைக் குறிக்கிறோம்: .

நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டின் அடிப்படைக் கோட்பாடுகள்

இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

கூட்டல் தேற்றத்தை குறியீடாக எழுதுவோம்:

P(A + B) = P(A)+P(B),

எங்கே ஆர்- தொடர்புடைய நிகழ்வின் நிகழ்தகவு (நிகழ்வு அடைப்புக்குறிக்குள் குறிக்கப்படுகிறது).

உதாரணமாக . நோயாளிக்கு இரைப்பை இரத்தப்போக்கு உள்ளது. இந்த அறிகுறி ஒரு பாத்திரத்தின் அல்சரேட்டிவ் அரிப்பு (நிகழ்வு A), உணவுக்குழாயின் வீங்கி பருத்து வலிக்கிற நரம்புகளின் சிதைவு (நிகழ்வு B), வயிற்று புற்றுநோய் (நிகழ்வு சி), இரைப்பை பாலிப் (நிகழ்வு D), ரத்தக்கசிவு நீரிழிவு (நிகழ்வு F) ஆகியவற்றில் பதிவு செய்யப்படுகிறது. தடைசெய்யும் மஞ்சள் காமாலை (நிகழ்வு E) மற்றும் இறுதி இரைப்பை அழற்சி (நிகழ்வுஜி).

மருத்துவர், புள்ளியியல் தரவுகளின் பகுப்பாய்வின் அடிப்படையில், ஒவ்வொரு நிகழ்விற்கும் ஒரு நிகழ்தகவு மதிப்பை ஒதுக்குகிறார்:

மொத்தத்தில், மருத்துவர் இரைப்பை இரத்தப்போக்கு கொண்ட 80 நோயாளிகளைக் கொண்டிருந்தார் (n= 80), இதில் 12 பாத்திரத்தின் அல்சரேட்டிவ் அரிப்பைக் கொண்டிருந்தது (), மணிக்கு6 - உணவுக்குழாயின் வீங்கி பருத்து வலிக்கிற நரம்புகளின் சிதைவு (), 36 பேருக்கு வயிற்றுப் புற்றுநோய் இருந்தது () முதலியன

ஒரு பரிசோதனைக்கு உத்தரவிட, மருத்துவர் வயிற்று இரத்தப்போக்கு வயிற்று நோயுடன் தொடர்புடைய சாத்தியக்கூறுகளை தீர்மானிக்க விரும்புகிறார் (நிகழ்வு I):

இரைப்பை இரத்தப்போக்கு வயிற்று நோயுடன் தொடர்புடையதாக இருப்பதற்கான நிகழ்தகவு மிகவும் அதிகமாக உள்ளது, மேலும் நிகழ்தகவு கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தி ஒரு அளவு மட்டத்தில் நியாயப்படுத்தப்படும் வயிற்று நோயின் அனுமானத்தின் அடிப்படையில் மருத்துவர் பரிசோதனை தந்திரங்களை தீர்மானிக்க முடியும்.

கூட்டு நிகழ்வுகள் கருதப்பட்டால், இரண்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு, அவற்றின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு இல்லாமல் இந்த நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும்.

குறியீடாக, இது பின்வரும் சூத்திரத்தால் எழுதப்பட்டுள்ளது:

அந்த நிகழ்வை நாம் கற்பனை செய்தால் ஏபடப்பிடிப்பின் போது கிடைமட்ட கோடுகளுடன் நிழலாடிய இலக்கை தாக்குவது மற்றும் நிகழ்வைக் கொண்டுள்ளது IN- செங்குத்து கோடுகளுடன் நிழலாடிய இலக்கைத் தாக்கும்போது, ​​பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் போது, ​​கூட்டல் தேற்றத்தின்படி, கூட்டுத்தொகையின் நிகழ்தகவு தனிப்பட்ட நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். இந்த நிகழ்வுகள் ஒன்றாக இருந்தால், நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வுக்கு தொடர்புடைய ஒரு குறிப்பிட்ட நிகழ்தகவு உள்ளது ஏமற்றும் IN. கழிக்கப்படுவதற்கு நீங்கள் சரி செய்யவில்லை என்றால் பி(ஏபி), அதாவது நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வின் நிகழ்தகவு மீது, இந்த நிகழ்தகவு இரண்டு முறை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும், ஏனெனில் கிடைமட்ட மற்றும் செங்குத்து கோடுகளால் நிழலிடப்பட்ட பகுதி இரண்டு இலக்குகளின் ஒருங்கிணைந்த பகுதியாகும் மற்றும் முதல் மற்றும் இரண்டாவது விதிமுறைகளில் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும். .

படத்தில். 1 இந்த சூழ்நிலையை தெளிவாக விளக்கும் வடிவியல் விளக்கம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. படத்தின் மேல் பகுதியில் ஒன்றுடன் ஒன்று சேராத இலக்குகள் உள்ளன, அவை பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் அனலாக், கீழ் பகுதியில் - வெட்டும் இலக்குகள், அவை கூட்டு நிகழ்வுகளின் அனலாக் ஆகும் (ஒரு ஷாட் மூலம் நீங்கள் இலக்கு A மற்றும் இலக்கு B இரண்டையும் தாக்கலாம். ஒரே நேரத்தில்).

பெருக்கல் தேற்றத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், சுயாதீனமான மற்றும் சார்பு நிகழ்வுகள் மற்றும் நிபந்தனை மற்றும் நிபந்தனையற்ற நிகழ்தகவுகளின் கருத்துகளை கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

சுதந்திரமானநிகழ்வு B என்பது நிகழ்வு A என்பது நிகழ்வின் நிகழ்தகவு B இன் நிகழ்வு அல்லது நிகழாததைப் பொறுத்தது அல்ல.

சார்ந்தவர்நிகழ்வு B என்பது ஒரு நிகழ்வு A ஆகும், அதன் நிகழ்தகவு B இன் நிகழ்வு அல்லது நிகழாததைப் பொறுத்தது.

உதாரணமாக . கலசத்தில் 3 பந்துகள் உள்ளன, 2 வெள்ளை மற்றும் 1 கருப்பு. சீரற்ற முறையில் ஒரு பந்தைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது, ​​வெள்ளைப் பந்தை (நிகழ்வு A) தேர்ந்தெடுக்கும் நிகழ்தகவு: P(A) = 2/3, மற்றும் ஒரு கருப்பு பந்து (நிகழ்வு B) P(B) = 1/3. நாங்கள் ஒரு வழக்கு முறையைக் கையாளுகிறோம், மேலும் நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகள் சூத்திரத்தின்படி கண்டிப்பாக கணக்கிடப்படுகின்றன. சோதனை மீண்டும் செய்யப்படும்போது, ​​​​ஒவ்வொரு தேர்வுக்குப் பிறகும் பந்தைத் திரும்பப் பெற்றால், A மற்றும் B நிகழ்வுகள் நிகழும் நிகழ்தகவு மாறாமல் இருக்கும். இந்த வழக்கில், A மற்றும் B நிகழ்வுகள் சுயாதீனமானவை. முதல் பரிசோதனையில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பந்து கலசத்திற்குத் திரும்பவில்லை என்றால், இரண்டாவது பரிசோதனையில் நிகழ்வின் (A) நிகழ்தகவு முதல் பரிசோதனையில் நிகழ்வின் (B) நிகழ்வு அல்லது நிகழாததைப் பொறுத்தது. எனவே, முதல் சோதனை நிகழ்வில் B தோன்றியிருந்தால் (ஒரு கருப்பு பந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது), பின்னர் இரண்டாவது பரிசோதனையானது கலத்தில் 2 வெள்ளை பந்துகள் இருந்தால் மற்றும் இரண்டாவது பரிசோதனையில் A நிகழ்வின் நிகழ்தகவு சமமாக இருந்தால்: P (A) = 2/2 = 1.

முதல் பரிசோதனையில் நிகழ்வு B தோன்றவில்லை என்றால் (ஒரு வெள்ளை பந்து தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது), பின்னர் இரண்டாவது பரிசோதனையில் ஒரு வெள்ளை மற்றும் ஒரு கருப்பு பந்து மற்றும் இரண்டாவது பரிசோதனையில் நிகழ்வு A நிகழ்வதற்கான நிகழ்தகவு இருந்தால், இரண்டாவது பரிசோதனை மேற்கொள்ளப்படுகிறது. சமம்: P(A) = 1/2. வெளிப்படையாக, இந்த விஷயத்தில், A மற்றும் B நிகழ்வுகள் நெருங்கிய தொடர்புடையவை மற்றும் அவை நிகழும் நிகழ்தகவுகள் சார்ந்து இருக்கும்.

நிபந்தனை நிகழ்தகவுநிகழ்வு A என்பது அதன் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு, நிபந்தனை நிகழ்தகவு என்பது குறியீடாகக் குறிக்கப்படுகிறது பி(A/B).

ஒரு நிகழ்வு நிகழும் நிகழ்தகவு என்றால் ஏநிகழ்வின் நிகழ்வைப் பொறுத்தது அல்ல IN, பின்னர் நிகழ்வின் நிபந்தனை நிகழ்தகவு ஏநிபந்தனையற்ற நிகழ்தகவுக்கு சமம்:

நிகழ்வு A இன் நிகழ்வின் நிகழ்தகவு B நிகழ்வின் நிகழ்வைப் பொறுத்தது என்றால், நிபந்தனை நிகழ்தகவு ஒருபோதும் நிபந்தனையற்ற நிகழ்தகவுக்கு சமமாக இருக்க முடியாது:

நடைமுறை சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பல்வேறு நிகழ்வுகளின் சார்புநிலையை அடையாளம் காண்பது மிகவும் முக்கியமானது. எடுத்துக்காட்டாக, இருதய அறுவை சிகிச்சை நிறுவனத்தில் உருவாக்கப்பட்ட ஒரு நிகழ்தகவு முறையைப் பயன்படுத்தி இதய குறைபாடுகளைக் கண்டறியும் போது சில அறிகுறிகளின் தோற்றத்தின் சுதந்திரம் பற்றிய தவறான அனுமானம். A. N. Bakulev, சுமார் 50% பிழையான நோயறிதல்களை ஏற்படுத்தினார்.

உண்மையான அனுபவத்தின் (பரிசோதனை) முடிவு ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட பரஸ்பர பிரத்தியேக விளைவுகளாக இருக்கலாம் என்று நாம் கருதுவோம்; இந்த முடிவுகள் சிதைக்க முடியாதவை மற்றும் பரஸ்பரம் பிரத்தியேகமானவை. இந்நிலையில் இந்த சோதனை ஒரே ஒருவருடன் முடிவடையும் என கூறப்படுகிறது அடிப்படை முடிவு.

இதன் விளைவாக நடக்கும் அனைத்து அடிப்படை நிகழ்வுகளின் தொகுப்பு சீரற்றபரிசோதனை, நாங்கள் அதை அழைப்போம் ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் இடம்டபிள்யூ (ஒரு ஆரம்ப நிகழ்வு ஒரு அடிப்படை விளைவுக்கு ஒத்திருக்கிறது).

தற்செயல் நிகழ்வுகள்(நிகழ்வுகள்), தொடக்க நிகழ்வுகளின் இடத்தின் துணைக்குழுக்களை W என்று அழைப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.நாணயத்தை ஒருமுறை புரட்டுவோம். நாணயம் மேலே உள்ள எண்ணுடன் விழலாம் - தொடக்க நிகழ்வு w c (அல்லது w 1), அல்லது கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் - தொடக்க நிகழ்வு w Г (அல்லது w 2). தொடக்க நிகழ்வுகளின் தொடர்புடைய இடம் W இரண்டு அடிப்படை நிகழ்வுகளைக் கொண்டுள்ளது:

W = (w c,w Г) அல்லது W = (w 1,w 2).

உதாரணம் 2. நாம் ஒரு முறை பகடை வீசுகிறோம். இந்தச் சோதனையில், தொடக்க நிகழ்வுகளின் இடம் W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), இங்கு w நான்- கைவிடுதல் நான்புள்ளிகள். நிகழ்வு ஏ- சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைப் பெறுதல், ஏ= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), ஏடபிள்யூ.

எடுத்துக்காட்டு 3. ஒரு புள்ளி ஒரு பிரிவில் சீரற்ற முறையில் (ரேண்டமாக) வைக்கப்படுகிறது. பிரிவின் இடது முனையிலிருந்து புள்ளியின் தூரம் அளவிடப்படுகிறது. இந்த சோதனையில், தொடக்க நிகழ்வுகளின் இடம் W = என்பது ஒரு யூனிட் பிரிவில் உள்ள உண்மையான எண்களின் தொகுப்பாகும்.

இன்னும் துல்லியமாக, முறையான சொற்கள், ஆரம்ப நிகழ்வுகள் மற்றும் ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் இடம் பின்வருமாறு விவரிக்கப்பட்டுள்ளன.

ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் இடம் ஒரு தன்னிச்சையான தொகுப்பு W, W =(w). இந்த தொகுப்பின் w கூறுகள் W என்று அழைக்கப்படுகின்றன ஆரம்ப நிகழ்வுகள் .

கருத்துக்கள் ஆரம்ப நிகழ்வு, நிகழ்வு, ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் இடம், நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் அசல் கருத்துக்கள். ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் இடத்தைப் பற்றி இன்னும் குறிப்பிட்ட விளக்கத்தை கொடுக்க இயலாது. ஒவ்வொரு உண்மையான மாதிரியையும் விவரிக்க, தொடர்புடைய இடம் W தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது.

நிகழ்வு W அழைக்கப்படுகிறது நம்பகமானநிகழ்வு.

ஒரு நம்பகமான நிகழ்வு ஒரு பரிசோதனையின் விளைவாக நிகழ முடியாது; எப்போதும் நடக்கும்.

உதாரணம் 4. நாம் ஒரு முறை பகடை வீசுகிறோம். ஒரு நம்பகமான நிகழ்வு என்னவென்றால், உருட்டப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஒன்றுக்கு குறைவாகவும் ஆறுக்கு மேல் இல்லை, அதாவது. W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), இங்கு w நான்- கைவிடுதல் நான்புள்ளிகள், ஒரு நம்பகமான நிகழ்வு.

ஒரு சாத்தியமற்ற நிகழ்வு ஒரு வெற்று தொகுப்பு.

ஒரு சோதனையின் விளைவாக ஒரு சாத்தியமற்ற நிகழ்வு நிகழ முடியாது; ஒருபோதும் நடக்காது.

ஒரு சோதனையின் விளைவாக ஒரு சீரற்ற நிகழ்வு நிகழலாம் அல்லது நிகழாமல் போகலாம், அது சில நேரங்களில் நடக்கும்.

உதாரணம் 5. நாம் ஒரு முறை பகடை வீசுகிறோம். ஆறு புள்ளிகளுக்கு மேல் சுருட்டுவது சாத்தியமற்ற நிகழ்வு.

நிகழ்வின் எதிர் ஏநிகழ்வை உள்ளடக்கிய ஒரு நிகழ்வு என்று அழைக்கப்படுகிறது ஏநடக்கவில்லை. ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, .

உதாரணம் 6. நாம் ஒரு முறை பகடை வீசுகிறோம். நிகழ்வு ஏபின்னர் நிகழ்வு என்பது ஒற்றைப்படை எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளை இழப்பதாகும். இங்கே W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), இங்கு w நான்- கைவிடுதல் நான்கண்ணாடிகள், ஏ= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), = .

உதாரணம் 7. நாம் ஒரு முறை பகடை வீசுகிறோம். நிகழ்வு ஏ- சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளை உருட்டுதல், நிகழ்வு பி- கைவிடப்பட்ட புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை இரண்டுக்கும் குறைவாக உள்ளது. நிகழ்வு ஏபி இரண்டுக்கும் குறைவான புள்ளிகளின் சம எண்ணிக்கையை உருட்டுவதைக் கொண்டுள்ளது. இது சாத்தியமற்றது, ஏ= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), பி=(வ 1), ஏபி =, அந்த. நிகழ்வுகள் ஏமற்றும் பி-பொருந்தாத.

தொகைநிகழ்வுகள் ஏமற்றும் பிநிகழ்வுகளில் ஒன்றிற்குச் சொந்தமான அனைத்து ஆரம்ப நிகழ்வுகளையும் உள்ளடக்கிய ஒரு நிகழ்வாகும் ஏஅல்லது பி.நியமிக்கப்பட்டது A+ பி.

உதாரணம் 8. நாம் ஒரு முறை பகடை வீசுகிறோம். இந்தச் சோதனையில், தொடக்க நிகழ்வுகளின் இடம் W = (w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), இங்கு தொடக்க நிகழ்வு w நான்- கைவிடுதல் நான்புள்ளிகள். நிகழ்வு ஏ- சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைப் பெறுதல், ஏ பி பி=(w 5, w 6).

நிகழ்வு A+ பி = (w 2 ,w 4 , w 5 , w 6 ) என்பது சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் அல்லது நான்குக்கும் அதிகமான புள்ளிகள், அதாவது. ஒரு நிகழ்வு நடந்தது ஏ, அல்லது நிகழ்வு பி.என்பது வெளிப்படையானது A+ பிடபிள்யூ.

வேலைநிகழ்வுகள் ஏமற்றும் பிஒரே நேரத்தில் நிகழ்வுகளுக்குச் சொந்தமான அனைத்து அடிப்படை நிகழ்வுகளையும் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும் ஏமற்றும் பி.நியமிக்கப்பட்டது ஏபி.

எடுத்துக்காட்டு 9. நாம் ஒரு முறை பகடை வீசுகிறோம். இந்த அனுபவத்தில், ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் இடம் W = ( w 1, w 2, w 3, w 4, w 5, w 6), இங்கு ஆரம்ப நிகழ்வு w நான்- கைவிடுதல் நான்புள்ளிகள். நிகழ்வு ஏ- சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைப் பெறுதல், ஏ= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), நிகழ்வு பி- நான்குக்கும் அதிகமான புள்ளிகளை உருட்டுதல், பி=(w 5, w 6).

நிகழ்வு ஏ பிநான்கிற்கும் அதிகமான புள்ளிகளின் சம எண்ணிக்கையில் சுருட்டப்பட்டிருப்பதைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது. இரண்டு நிகழ்வுகளும் நிகழ்ந்தன மற்றும் நிகழ்வு ஏமற்றும் நிகழ்வு பி, ஏ பி = (வ 6) ஏ பிடபிள்யூ.

வித்தியாசத்தால்நிகழ்வுகள் ஏமற்றும் பிஅனைத்து அடிப்படை நிகழ்வுகளையும் உள்ளடக்கிய ஒரு நிகழ்வு ஆகும் ஏ, ஆனால் சொந்தமானது அல்ல பி.நியமிக்கப்பட்டது A\B.

உதாரணம் 10. நாம் ஒரு முறை பகடை வீசுகிறோம். நிகழ்வு ஏ- சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைப் பெறுதல், ஏ= (w 2 ,w 4 ,w 6 ), நிகழ்வு பி- நான்குக்கும் அதிகமான புள்ளிகளை உருட்டுதல், பி=(w 5, w 6). நிகழ்வு A\ பி = (w 2 ,w 4 ) என்பது நான்கு புள்ளிகளுக்கு மிகாமல், இரட்டை எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் உருட்டப்படுகின்றன, அதாவது. ஒரு நிகழ்வு நடந்தது ஏமற்றும் நிகழ்வு நடக்கவில்லை பி, ஏ\பிடபிள்யூ.

என்பது வெளிப்படையானது

A+A=A, AA=A, .

சமத்துவத்தை நிரூபிப்பது எளிது:

, (A+B)C=AC+BC.

நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் விளைபொருளின் வரையறைகள் நிகழ்வுகளின் எல்லையற்ற வரிசைகளுக்கு செல்கிறது:

, ஆரம்ப நிகழ்வுகளைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வு, ஒவ்வொன்றும் குறைந்தது ஒருவருக்குச் சொந்தமானது;

, ஆரம்ப நிகழ்வுகளைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வு, ஒவ்வொன்றும் ஒரே நேரத்தில் அனைவருக்கும் சொந்தமானது.

தொடக்க நிகழ்வுகளின் தன்னிச்சையான இடமாக W இருக்கட்டும், மற்றும் - இது போன்ற பின்வருபவை உண்மையாக இருக்கும் சீரற்ற நிகழ்வுகளின் தொகுப்பு: W , AB, A+B மற்றும் A\B, என்றால் A மற்றும் பி.

நிகழ்வுகளின் தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு எண்சார் செயல்பாடு P அழைக்கப்படுகிறது நிகழ்தகவு,என்றால் : (ஏ) எதற்கும் 0 ஏஇருந்து ; (W) = 1;

அவர்கள் முக்கோணத்தை அழைக்கிறார்கள் நிகழ்தகவு இடம்.

கூட்டு மற்றும் கூட்டு அல்லாத நிகழ்வுகள்.

இரண்டு நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன கூட்டுகொடுக்கப்பட்ட பரிசோதனையில், அவற்றில் ஒன்றின் தோற்றம் மற்றொன்றின் தோற்றத்தை விலக்கவில்லை என்றால். எடுத்துக்காட்டுகள் : இரண்டு வெவ்வேறு அம்புகளால் அழிக்க முடியாத இலக்கைத் தாக்கி இரண்டு பகடைகளிலும் ஒரே எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகளைப் பெறுதல்.

இரண்டு நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பொருந்தாத(பொருத்தமற்றது) கொடுக்கப்பட்ட பரிசோதனையில் அவை ஒரே சோதனையில் ஒன்றாக நிகழ முடியாவிட்டால். பல நிகழ்வுகள் ஜோடியாக பொருந்தாதவையாக இருந்தால் அவை பொருந்தாதவை என்று அழைக்கப்படுகின்றன. பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்: அ) ஒரு ஷாட் அடித்து மிஸ்; b) பகுதிகள் கொண்ட பெட்டியில் இருந்து ஒரு பகுதி தோராயமாக எடுக்கப்படுகிறது - நிகழ்வுகள் "ஒரு நிலையான பகுதி எடுக்கப்பட்டது" மற்றும் "ஒரு தரமற்ற பகுதி எடுக்கப்பட்டது" c) நிறுவனத்தின் அழிவு மற்றும் அதன் லாபம்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நிகழ்வுகள் ஏமற்றும் INதொடர்புடைய தொகுப்புகள் இருந்தால் இணக்கமாக இருக்கும் ஏமற்றும் INபொதுவான கூறுகள் உள்ளன, மேலும் தொடர்புடைய தொகுப்புகள் என்றால் சீரற்றதாக இருக்கும் ஏமற்றும் INபொதுவான கூறுகள் இல்லை.

நிகழ்வுகளின் நிகழ்தகவுகளை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​கருத்து அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது சமமாக சாத்தியம் நிகழ்வுகள். கொடுக்கப்பட்ட சோதனையில் பல நிகழ்வுகள் சமச்சீரின் நிலைமைகளின்படி, மற்றவற்றை விட புறநிலை ரீதியாக சாத்தியமில்லை என்று நம்புவதற்கு காரணம் இருந்தால் (தலைகள் மற்றும் வால்கள் இழப்பு, ஏதேனும் ஒரு அட்டையின் தோற்றம் வழக்கு, ஒரு கலசத்திலிருந்து ஒரு பந்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது போன்றவை)

ஒவ்வொரு சோதனையும் பல நிகழ்வுகளுடன் தொடர்புடையது, அவை பொதுவாக ஒரே நேரத்தில் நிகழலாம். உதாரணமாக, ஒரு பகடை எறியும் போது, ​​நிகழ்வு என்பது இரண்டின் ரோல் ஆகும், நிகழ்வு என்பது இரட்டை எண்ணின் ரோல் ஆகும். வெளிப்படையாக, இந்த நிகழ்வுகள் ஒன்றுக்கொன்று பிரத்தியேகமானவை அல்ல.

சாத்தியமான அனைத்து சோதனை முடிவுகளும் பரஸ்பரம் பிரத்தியேகமான தனிப்பட்ட சாத்தியமான குறிப்பிட்ட நிகழ்வுகளில் உணரப்படட்டும். பிறகு

ü ஒவ்வொரு சோதனை முடிவும் ஒரே ஒரு தொடக்க நிகழ்வால் குறிக்கப்படுகிறது;

ü இந்த சோதனையுடன் தொடர்புடைய ஒவ்வொரு நிகழ்வும் வரையறுக்கப்பட்ட அல்லது எண்ணற்ற தொடக்க நிகழ்வுகளின் தொகுப்பாகும்;

ü இந்த தொகுப்பில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள அடிப்படை நிகழ்வுகளில் ஒன்றை உணர்ந்தால் மட்டுமே ஒரு நிகழ்வு நிகழும்.

அடிப்படை நிகழ்வுகளின் தன்னிச்சையான ஆனால் நிலையான இடத்தை விமானத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியாகக் குறிப்பிடலாம். இந்த வழக்கில், அடிப்படை நிகழ்வுகள் உள்ளே இருக்கும் விமானத்தின் புள்ளிகள். ஒரு நிகழ்வு ஒரு தொகுப்புடன் அடையாளம் காணப்படுவதால், செட்களில் செய்யக்கூடிய அனைத்து செயல்பாடுகளும் நிகழ்வுகளில் செய்யப்படலாம். தொகுப்பு கோட்பாட்டுடன் ஒப்புமை மூலம், நாங்கள் கட்டமைக்கிறோம் நிகழ்வுகளின் இயற்கணிதம். இந்த வழக்கில், பின்வரும் செயல்பாடுகள் மற்றும் நிகழ்வுகளுக்கு இடையிலான உறவுகள் வரையறுக்கப்படலாம்:

ஏÌ பி(செட் சேர்ப்பு உறவு: தொகுப்பு ஏதொகுப்பின் துணைக்குழு ஆகும் IN) – நிகழ்வு A என்பது நிகழ்வு B. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், நிகழ்வு INஒரு நிகழ்வு நடக்கும் போதெல்லாம் நிகழ்கிறது ஏ. உதாரணமாக - இரண்டு முடிவுகளை உருட்டினால் சம எண்ணிக்கையிலான புள்ளிகள் உருளும்.

(சமமான உறவை அமைக்கவும்) – நிகழ்வு ஒரே மாதிரியாகஅல்லது இணையானநிகழ்வு. ஒரே நேரத்தில் இருந்தால் மட்டுமே இது சாத்தியமாகும், அதாவது. மற்றொன்று நிகழும் போதெல்லாம் ஒவ்வொன்றும் நிகழும். உதாரணமாக - நிகழ்வு A - சாதனத்தின் முறிவு, நிகழ்வு B - சாதனத்தின் தொகுதிகளில் (பாகங்கள்) குறைந்தபட்சம் ஒரு முறிவு.

() – நிகழ்வுகளின் தொகை. இது இரண்டு நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று அல்லது (தர்க்கரீதியான "அல்லது") நிகழ்ந்திருப்பதைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும். பொதுவாக, பல நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையானது இந்த நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒரு நிகழ்வைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. உதாரணமாக - இலக்கு முதல் ஆயுதத்தால் தாக்கப்படுகிறது, இரண்டாவது அல்லது இரண்டும் ஒரே நேரத்தில்.

() – நிகழ்வுகளின் தயாரிப்பு. இது நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வு மற்றும் (தர்க்கரீதியான "மற்றும்") கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும். பொதுவாக, பல நிகழ்வுகளின் உருவாக்கம் இந்த நிகழ்வுகளின் ஒரே நேரத்தில் நிகழ்வைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாக புரிந்து கொள்ளப்படுகிறது. எனவே, அவற்றின் உற்பத்தி சாத்தியமற்ற நிகழ்வாக இருந்தால் நிகழ்வுகள் பொருந்தாது, அதாவது. . உதாரணமாக - நிகழ்வு A என்பது டெக்கிலிருந்து வைர உடையின் அட்டையை அகற்றுவது, நிகழ்வு B என்பது ஒரு சீட்டை அகற்றுவது, பின்னர் வைரங்களின் சீட்டின் தோற்றம் ஏற்படவில்லை.

நிகழ்வுகளின் செயல்பாடுகளின் வடிவியல் விளக்கம் பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். செயல்பாடுகளின் கிராஃபிக் விளக்கப்படங்கள் வென் வரைபடங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

மாதிரி இடத்தில் நிகழ்வுகளின் அனைத்து நிகழ்தகவுகளின் கூட்டுத்தொகை 1.எடுத்துக்காட்டாக, சோதனையானது நிகழ்வு A = தலைகள் மற்றும் நிகழ்வு B = வால்கள் கொண்ட நாணயத்தைத் தூக்கி எறிந்தால், A மற்றும் B முழு மாதிரி இடத்தையும் குறிக்கும். பொருள் P(A) + P(B) = 0.5 + 0.5 = 1.

உதாரணமாக.ரோப் பாக்கெட்டில் இருந்து சிவப்பு பேனாவை அகற்றுவதற்கான நிகழ்தகவைக் கணக்கிடுவதற்கான முன்னர் முன்மொழியப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் (இது நிகழ்வு A), இதில் இரண்டு நீலம் மற்றும் ஒரு சிவப்பு பேனாக்கள் உள்ளன, P(A) = 1/3 ≈ 0.33, எதிர் நிகழ்தகவு நிகழ்வு - ஒரு நீல பேனா வரைதல் - இருக்கும்

முக்கிய கோட்பாடுகளுக்குச் செல்வதற்கு முன், நாங்கள் இரண்டு சிக்கலான கருத்துக்களை அறிமுகப்படுத்துகிறோம் - நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் தயாரிப்பு. இந்தக் கருத்துக்கள் எண்கணிதத்தில் உள்ள தொகை மற்றும் தயாரிப்பு என்ற வழக்கமான கருத்துக்களிலிருந்து வேறுபட்டவை. நிகழ்தகவுக் கோட்பாட்டில் கூட்டல் மற்றும் பெருக்கல் என்பது சில விதிகளுக்கு உட்பட்டு அறிவியல் முடிவுகளின் தர்க்கரீதியான கட்டுமானத்தை எளிதாக்கும் குறியீட்டு செயல்பாடுகள் ஆகும்.

தொகைபல நிகழ்வுகள் என்பது அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒரு நிகழ்வை உள்ளடக்கிய ஒரு நிகழ்வாகும். அதாவது, A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை நிகழ்வு C என அழைக்கப்படுகிறது, இதில் நிகழ்வு A, அல்லது நிகழ்வு B அல்லது நிகழ்வுகள் A மற்றும் B ஆகியவை ஒன்றாக உள்ளன.

எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு பயணி இரண்டு வழித்தடங்களில் ஒன்றிற்கு டிராம் நிறுத்தத்தில் காத்திருந்தால், அவருக்குத் தேவையான நிகழ்வு முதல் பாதையில் (நிகழ்வு A), அல்லது இரண்டாவது பாதையில் (நிகழ்வு B) டிராம் தோன்றுவது. அல்லது முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தடங்களில் டிராம்களின் கூட்டுத் தோற்றம் (நிகழ்வுடன்). நிகழ்தகவு கோட்பாட்டின் மொழியில், பயணிகளுக்கு தேவைப்படும் நிகழ்வு D நிகழ்வு A, அல்லது நிகழ்வு B அல்லது நிகழ்வு C நிகழ்வில் உள்ளது, இது வடிவத்தில் குறியீட்டு முறையில் எழுதப்படும்:

D=A+B+C

இரண்டு நிகழ்வுகளின் தயாரிப்புஏமற்றும் INநிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வைக் கொண்ட ஒரு நிகழ்வாகும் ஏமற்றும் IN. பல நிகழ்வுகளின் தயாரிப்புஇந்த அனைத்து நிகழ்வுகளின் கூட்டு நிகழ்வு அழைக்கப்படுகிறது.

மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டில் ஒரு பயணியுடன், நிகழ்வு உடன்(இரண்டு வழித்தடங்களில் டிராம்களின் கூட்டுத் தோற்றம்) இரண்டு நிகழ்வுகளின் விளைவாகும் ஏமற்றும் IN, இது குறியீடாக பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது:

ஒரு குறிப்பிட்ட நோயைக் கண்டறிய இரண்டு மருத்துவர்கள் தனித்தனியாக ஒரு நோயாளியை பரிசோதிக்கிறார்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஆய்வின் போது, ​​​​பின்வரும் நிகழ்வுகள் ஏற்படலாம்:

முதல் மருத்துவரால் நோய்களைக் கண்டறிதல் ( ஏ);

முதல் மருத்துவரால் நோயைக் கண்டறியத் தவறியது ();

இரண்டாவது மருத்துவரால் நோயைக் கண்டறிதல் ( IN);

இரண்டாவது மருத்துவரால் நோயைக் கண்டறியத் தவறியது ().

சரியாக ஒரு முறை பரிசோதனையின் போது நோய் கண்டறியப்படும் நிகழ்வைக் கவனியுங்கள். இந்த நிகழ்வை இரண்டு வழிகளில் செயல்படுத்தலாம்:

நோய் முதல் மருத்துவரால் கண்டறியப்படும் ( ஏ) மற்றும் இரண்டாவது ();

முதல் மருத்துவரால் நோய் கண்டறியப்படாது () மற்றும் இரண்டாவது () பி).

பரிசீலனையில் உள்ள நிகழ்வைக் குறிப்போம், குறியீடாக எழுதுவோம்:

இரண்டு முறை பரிசோதனையின் போது நோய் கண்டறியப்படும் நிகழ்வைக் கவனியுங்கள் (முதல் மற்றும் இரண்டாவது மருத்துவரால்). இந்த நிகழ்வைக் குறிக்கவும் மற்றும் எழுதவும்: .

முதல் அல்லது இரண்டாவது மருத்துவர் நோயைக் கண்டறிந்து அதை எழுதாத நிகழ்வைக் குறிக்கிறோம்: .

சீரற்ற நிகழ்வுகளின் வகைகள்

நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பொருந்தாத, அவற்றில் ஒன்றின் நிகழ்வு அதே சோதனையில் மற்ற நிகழ்வுகளின் நிகழ்வை விலக்கினால்.

எடுத்துக்காட்டு 1.10.பாகங்கள் பெட்டியிலிருந்து ஒரு பகுதி சீரற்ற முறையில் வரையப்பட்டது. ஒரு நிலையான பகுதியின் தோற்றம் தரமற்ற பகுதியின் தோற்றத்தை நீக்குகிறது. நிகழ்வுகள் (ஒரு நிலையான பகுதி தோன்றியது) மற்றும் (தரமற்ற பகுதி தோன்றியது) - பொருந்தாத .

எடுத்துக்காட்டு 1.11.ஒரு நாணயம் தூக்கி எறியப்படுகிறது. "கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ்" தோற்றம் எண்ணின் தோற்றத்தை விலக்குகிறது. நிகழ்வுகள் (கோட் ஆஃப் ஆர்ம்ஸ் தோன்றியது) மற்றும் (ஒரு எண் தோன்றியது) - பொருந்தாத .

பல நிகழ்வுகள் உருவாகின்றன முழு குழு, சோதனையின் விளைவாக அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று தோன்றினால்.வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், முழு குழுவின் நிகழ்வுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று நிகழ்வது நம்பகமான நிகழ்வு. குறிப்பாக, ஒரு முழுமையான குழுவை உருவாக்கும் நிகழ்வுகள் ஜோடியாக பொருந்தவில்லை என்றால், சோதனையானது இந்த நிகழ்வுகளில் ஒன்றை மட்டுமே ஏற்படுத்தும்.இந்த குறிப்பிட்ட வழக்கு எங்களுக்கு மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளது, ஏனெனில் இது மேலும் பயன்படுத்தப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு 1.12.இரண்டு பணம் மற்றும் ஆடை லாட்டரி சீட்டுகள் வாங்கப்பட்டன. பின்வரும் நிகழ்வுகளில் ஒன்று மட்டுமே நிச்சயமாக நடக்கும்: (வெற்றிகள் முதல் டிக்கெட்டில் விழுந்தது மற்றும் இரண்டாவது டிக்கெட்டில் விழவில்லை), (வெற்றிகள் முதல் டிக்கெட்டில் விழவில்லை மற்றும் இரண்டாவது டிக்கெட்டில் விழுந்தது), (வெற்றிகள் விழுந்தன இரண்டு டிக்கெட்டுகளிலும்), (வெற்றிகள் இரண்டு டிக்கெட்டுகளிலும் விழவில்லை). இந்த நிகழ்வுகள் உருவாகின்றன முழு குழு பொருந்தாத நிகழ்வுகளின் ஜோடி.

எடுத்துக்காட்டு 1.13.சுடும் வீரர் இலக்கை நோக்கி சுட்டார். பின்வரும் இரண்டு விஷயங்களில் ஒன்று கண்டிப்பாக நடக்கும்: ஒரு வெற்றி அல்லது மிஸ். இந்த இரண்டு பொருந்தாத நிகழ்வுகள் உருவாகின்றன முழு குழு .

நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன சமமாக சாத்தியம் , என்று நம்புவதற்கு காரணம் இருந்தால் அவர்களில் எவரும் இல்லைமற்றதை விட சாத்தியமில்லை.

3. நிகழ்வுகள் மீதான செயல்பாடுகள்: தொகை (ஒன்றியம்), தயாரிப்பு (குறுக்கு) மற்றும் நிகழ்வுகளின் வேறுபாடு; வியன்னா வரைபடங்கள்.

நிகழ்வுகள் மீதான செயல்பாடுகள்

நிகழ்வுகள் லத்தீன் எழுத்துக்கள் A, B, C, D, ... ஆகியவற்றின் தொடக்கத்தின் பெரிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன, தேவைப்பட்டால் அவர்களுக்கு குறியீடுகளை வழங்குகின்றன. அடிப்படை விளைவு என்பது உண்மை எக்ஸ்நிகழ்வு A இல் உள்ளது, குறிக்கவும்.

வியன்னா வரைபடங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு வடிவியல் விளக்கம் புரிந்து கொள்ள வசதியானது: ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் இடத்தை ஒரு சதுர வடிவில் கற்பனை செய்வோம் Ω, ஒவ்வொரு புள்ளியும் ஒரு தொடக்க நிகழ்வுக்கு ஒத்திருக்கிறது. சீரற்ற நிகழ்வுகள் A மற்றும் B, ஆரம்ப நிகழ்வுகளின் தொகுப்பைக் கொண்டுள்ளது x iமற்றும் ஒய் ஜே, அதன்படி, சதுர Ω (படம். 1-a, 1-b) இல் கிடக்கும் சில உருவங்களின் வடிவத்தில் வடிவியல் ரீதியாக சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது.

படம் 1-a இல் காட்டப்பட்டுள்ள சதுரத்திற்குள் ஒரு புள்ளியை சீரற்ற முறையில் தேர்ந்தெடுப்பதில் சோதனை இருக்கட்டும். A நிகழ்வை (தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளி இடது வட்டத்திற்குள் உள்ளது) (படம் 1-a), B நிகழ்வால் (தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட புள்ளி வலது வட்டத்திற்குள் உள்ளது) (படம் 1-b ) மூலம் குறிப்போம்.

ஒரு நம்பகமான நிகழ்வு எந்த ஒருவருக்கும் சாதகமாக இருக்கும், எனவே நம்பகமான நிகழ்வை அதே சின்னமான Ω மூலம் குறிப்போம்.

இரண்டு நிகழ்வுகள் ஒரே மாதிரியானவைஒன்றுக்கொன்று (A=B) இந்த நிகழ்வுகள் ஒரே ஆரம்ப நிகழ்வுகளை (புள்ளிகள்) கொண்டிருந்தால் மட்டுமே.

இரண்டு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை (அல்லது ஒன்றியம்). A மற்றும் B நிகழ்வு A+B (அல்லது) எனப்படும், A அல்லது B நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகை A மற்றும் B (படம் 1-e) ஆகிய இரண்டில் ஒன்று ஏற்பட்டால் மட்டுமே நிகழ்கிறது. .

எடுத்துக்காட்டு 1.15.சம எண்ணை உருட்டும் நிகழ்வு நிகழ்வுகளின் கூட்டுத்தொகையாகும்: 2 உருட்டப்பட்டது, 4 உருட்டப்பட்டது, 6 உருட்டப்பட்டது, (x = கூட }= {x=2}+{x=4 }+{x=6 }.

இரண்டு நிகழ்வுகளின் தயாரிப்பு (அல்லது குறுக்குவெட்டு). A மற்றும் B நிகழ்வுகள் AB (அல்லது), A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு நிகழ்வுகளின் பெருக்கமும் A மற்றும் B (படம் 1) ஆகியவற்றின் குறுக்குவெட்டுக்கு ஒத்திருந்தால் மட்டுமே நிகழ்கிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1.16. 5 ஐ உருட்டும் நிகழ்வு நிகழ்வுகளின் குறுக்குவெட்டு ஆகும்: ஒற்றைப்படை எண் உருட்டப்பட்டது மற்றும் 3க்கு மேல் உருட்டப்பட்டது, அதாவது A(x=5)=B(x-odd)∙C(x>3).

வெளிப்படையான உறவுகளை நாம் கவனிக்கலாம்:

நிகழ்வு அழைக்கப்படுகிறது எதிர் A க்கு அது ஏற்பட்டால் மற்றும் A ஏற்படவில்லை என்றால் மட்டுமே. வடிவியல் ரீதியாக, இது ஒரு சதுரத்தின் புள்ளிகளின் தொகுப்பாகும், இது துணைக்குழு A (படம் 1-c) இல் சேர்க்கப்படவில்லை. ஒரு நிகழ்வு இதேபோல் வரையறுக்கப்படுகிறது (படம் 1-d).

எடுத்துக்காட்டு 1.14.. இரட்டைப்படை எண்கள் தோன்றும் நிகழ்வுகள் எதிர் நிகழ்வுகள்.

வெளிப்படையான உறவுகளை நாம் கவனிக்கலாம்:

இரண்டு நிகழ்வுகள் அழைக்கப்படுகின்றன பொருந்தாத, அனுபவத்தில் அவர்களின் ஒரே நேரத்தில் தோற்றம் சாத்தியமற்றது என்றால். எனவே, A மற்றும் B பொருந்தவில்லை என்றால், அவற்றின் தயாரிப்பு சாத்தியமற்றது:

முன்னர் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட ஆரம்ப நிகழ்வுகள் வெளிப்படையாக ஜோடியாக பொருந்தாது, அதாவது

எடுத்துக்காட்டு 1.17. இரட்டைப்படை மற்றும் இரட்டை எண்ணின் தோற்றம் கொண்ட நிகழ்வுகள் பொருந்தாத நிகழ்வுகள்.