மூன்று பக்கங்களிலும் முக்கோணப் பகுதி சூத்திரம் 3. முக்கோணப் பகுதி - சூத்திரங்கள் மற்றும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

அறிவுறுத்தல்

கட்சிகள்மற்றும் மூலைகள் அடிப்படை கூறுகளாக கருதப்படுகின்றன ஏ. ஒரு முக்கோணம் அதன் பின்வரும் அடிப்படை கூறுகள் மூலம் முழுமையாக வரையறுக்கப்படுகிறது: மூன்று பக்கங்கள், அல்லது ஒரு பக்கம் மற்றும் இரண்டு கோணங்கள், அல்லது இரண்டு பக்கங்கள் மற்றும் அவற்றுக்கிடையே ஒரு கோணம். இருப்புக்காக முக்கோணம் a, b, c ஆகிய மூன்று பக்கங்களால் வரையறுக்கப்படுகிறது, சமத்துவமின்மைகள் சமத்துவமின்மை எனப்படுவது அவசியமானது மற்றும் போதுமானது முக்கோணம்:
a+b > c
a+c > b
b+c > a.

கட்டிடத்திற்காக முக்கோணம்மூன்று பக்கங்களிலும் a, b, c, CB=a என்ற பிரிவின் புள்ளி C இலிருந்து ஒரு திசைகாட்டி மூலம் b ஆரம் வட்டத்தை எப்படி வரைய வேண்டும். பின்னர், இதேபோல், புள்ளி B இலிருந்து பக்க c க்கு சமமான ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தை வரையவும். அவற்றின் வெட்டுப்புள்ளி A என்பது விரும்பியவற்றின் மூன்றாவது உச்சி முக்கோணம் ABC, இதில் AB=c, CB=a, CA=b - பக்கங்கள் முக்கோணம். A, b, c ஆகிய பக்கங்கள் ஏற்றத்தாழ்வுகளைப் பூர்த்தி செய்தால் பிரச்சனை உள்ளது முக்கோணம்படி 1 இல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது.

எஸ் பகுதி இந்த வழியில் கட்டப்பட்டது முக்கோணம்அறியப்பட்ட பக்கங்களைக் கொண்ட A, b, c, ஹெரானின் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
இதில் a, b, c பக்கங்கள் முக்கோணம், p என்பது அரைச்சுற்றளவு.
ப = (a+b+c)/2

முக்கோணம் சமபக்கமாக இருந்தால், அதன் அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும் (a=b=c) பரப்பளவு முக்கோணம்சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது:
S=(a^2 v3)/4

முக்கோணம் வலது கோணமாக இருந்தால், அதாவது, அதன் கோணங்களில் ஒன்று 90 ° ஆகவும், அதை உருவாக்கும் பக்கங்கள் கால்களாகவும் இருந்தால், மூன்றாவது பக்கம் ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும். IN இந்த வழக்கு சதுரம்இரண்டால் வகுக்கப்பட்ட கால்களின் உற்பத்திக்கு சமம்.
S=ab/2

கண்டுபிடிக்க சதுரம் முக்கோணம், நீங்கள் பல சூத்திரங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம். ஏற்கனவே அறியப்பட்ட தரவுகளைப் பொறுத்து சூத்திரத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

உனக்கு தேவைப்படும்

• ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரங்களின் அறிவு

அறிவுறுத்தல்

பக்கங்களில் ஒன்றின் மதிப்பு மற்றும் எதிர் மூலையில் இருந்து இந்தப் பக்கத்திற்குக் குறைக்கப்பட்ட உயரத்தின் மதிப்பு உங்களுக்குத் தெரிந்தால், பின்வருவனவற்றைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கண்டறியலாம்: S = a*h/2, இங்கு S என்பது . முக்கோணம், a என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் ஒன்றாகும், மற்றும் h - உயரம், பக்கத்திற்கு a.

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் தெரிந்தால் அதன் பரப்பளவைக் கண்டறிய அறியப்பட்ட வழி உள்ளது. அவள் ஹெரானின் சூத்திரம். அதன் பதிவை எளிதாக்க, ஒரு இடைநிலை மதிப்பு அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது - ஒரு அரை சுற்றளவு: p \u003d (a + b + c) / 2, அங்கு a, b, c - . ஹெரானின் சூத்திரம் பின்வருமாறு: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^1, ^ அதிவேகத்தன்மை.

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கமும் மூன்று கோணங்களும் உங்களுக்குத் தெரியும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். பின்னர் முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிவது எளிது: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), இங்கு β என்பது எதிர் பக்கம் a, மற்றும் α மற்றும் γ ஆகியவை பக்கத்தை ஒட்டிய கோணங்கள்.

தொடர்புடைய வீடியோக்கள்

குறிப்பு

எல்லா நிகழ்வுகளுக்கும் ஏற்ற பொதுவான சூத்திரம் ஹெரானின் சூத்திரம்.

ஆதாரங்கள்:

உதவிக்குறிப்பு 3: ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை மூன்று பக்கங்களைக் கண்டறிவது எப்படி

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிவது பள்ளித் திட்டத்தில் மிகவும் பொதுவான பணிகளில் ஒன்றாகும். எந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவையும் தீர்மானிக்க ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களை அறிந்தால் போதும். சிறப்பு நிகழ்வுகள் மற்றும் சமபக்க முக்கோணங்களில், முறையே இரண்டு மற்றும் ஒரு பக்கத்தின் நீளத்தை அறிந்தால் போதும்.

உனக்கு தேவைப்படும்

• முக்கோணங்களின் பக்க நீளம், ஹெரானின் சூத்திரம், கொசைன் தேற்றம்

அறிவுறுத்தல்

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவிற்கு ஹெரானின் சூத்திரம் பின்வருமாறு: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). நீங்கள் அரைச்சுற்றளவு p ஐ வரைந்தால், நீங்கள் பெறுவீர்கள்: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) /2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

நீங்கள் பரிசீலனைகளிலிருந்து ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதிக்கான சூத்திரத்தைப் பெறலாம், எடுத்துக்காட்டாக, கொசைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம்.

கொசைன்களின் விதிப்படி, AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, இவை வடிவத்திலும் இருக்கலாம்: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). எனவே, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு S = a*c*sin(ABC)/2 என்ற சூத்திரத்தால் இரண்டு பக்கங்களிலும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணத்திலும் கண்டறியப்படுகிறது. கோண ABC இன் சைன் அடிப்படை முக்கோணவியல் அடையாளத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படலாம்: sin (ABC) = sqrt (1- ((cos (ABC)) ^ 2) பகுதி சூத்திரத்தில் சைனை மாற்றி அதை ஓவியம் வரையலாம். ஒரு முக்கோண ABC பகுதிக்கான சூத்திரத்திற்கு வரவும்.

தொடர்புடைய வீடியோக்கள்

பழுதுபார்ப்பதற்கு, அதை அளவிட வேண்டியிருக்கலாம் சதுரம்சுவர்கள். தேவையான அளவு பெயிண்ட் அல்லது வால்பேப்பரைக் கணக்கிடுவது எளிது. அளவீடுகளுக்கு, டேப் அளவீடு அல்லது சென்டிமீட்டர் டேப்பைப் பயன்படுத்துவது சிறந்தது. அளவீடுகள் பிறகு எடுக்கப்பட வேண்டும் சுவர்கள்சீரமைக்கப்பட்டுள்ளன.

உனக்கு தேவைப்படும்

• - சில்லி;
• -ஏணி.

அறிவுறுத்தல்

எண்ண சதுரம்சுவர்கள், நீங்கள் கூரையின் சரியான உயரத்தை அறிந்து கொள்ள வேண்டும், அதே போல் தரையில் நீளத்தை அளவிட வேண்டும். இது பின்வருமாறு செய்யப்படுகிறது: ஒரு சென்டிமீட்டர் எடுத்து, பீடம் மீது இடுங்கள். வழக்கமாக முழு நீளத்திற்கும் ஒரு சென்டிமீட்டர் போதாது, எனவே அதை மூலையில் சரிசெய்து, அதிகபட்ச நீளத்திற்கு அதை அவிழ்த்து விடுங்கள். இந்த கட்டத்தில், ஒரு பென்சிலுடன் ஒரு குறி வைத்து, முடிவை எழுதி, கடைசி அளவீட்டு புள்ளியிலிருந்து தொடங்கி, அதே வழியில் மேலும் அளவீட்டை மேற்கொள்ளவும்.

வழக்கமான உச்சவரம்பு - 2 மீட்டர் 80 சென்டிமீட்டர், 3 மீட்டர் மற்றும் 3 மீட்டர் 20 சென்டிமீட்டர், வீட்டைப் பொறுத்து. வீடு 50 களுக்கு முன்பு கட்டப்பட்டிருந்தால், பெரும்பாலும் உண்மையான உயரம் சுட்டிக்காட்டப்பட்டதை விட சற்று குறைவாக இருக்கும். நீங்கள் கணக்கிடுகிறீர்கள் என்றால் சதுரம்பழுதுபார்க்கும் பணிக்காக, ஒரு சிறிய விளிம்பு பாதிக்கப்படாது - தரநிலையின் அடிப்படையில் கருதுங்கள். நீங்கள் இன்னும் உண்மையான உயரத்தை தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்றால் - அளவீடுகளை எடுக்கவும். கொள்கை நீளத்தை அளவிடுவது போன்றது, ஆனால் உங்களுக்கு ஒரு படிக்கட்டு தேவைப்படும்.

இதன் விளைவாக வரும் புள்ளிவிவரங்களை பெருக்கவும் - இது சதுரம்உங்கள் சுவர்கள். உண்மை, ஓவியம் வரைவதற்கு அல்லது கழிக்க வேண்டியது அவசியம் சதுரம்கதவு மற்றும் ஜன்னல் திறப்புகள். இதைச் செய்ய, திறப்புடன் ஒரு சென்டிமீட்டர் இடுங்கள். நீங்கள் பின்னர் மாற்றப் போகும் ஒரு கதவைப் பற்றி நாங்கள் பேசுகிறோம் என்றால், அதை மட்டும் கருத்தில் கொண்டு, கதவு சட்டத்தை அகற்றி செயல்படுத்தவும் சதுரம்திறப்பு தன்னை. சாளர பகுதி அதன் சட்டத்தின் சுற்றளவுடன் கணக்கிடப்படுகிறது. பிறகு சதுரம்ஜன்னல் மற்றும் கதவு கணக்கிடப்படுகிறது, பெறப்பட்ட மொத்த அறை பகுதியிலிருந்து முடிவைக் கழிக்கவும்.

அறையின் நீளம் மற்றும் அகலத்தின் அளவீடுகள் ஒன்றாக மேற்கொள்ளப்படுகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்க, ஒரு சென்டிமீட்டர் அல்லது டேப் அளவை சரிசெய்வது எளிது, அதன்படி, மிகவும் துல்லியமான முடிவைப் பெறுங்கள். நீங்கள் பெறும் எண்கள் துல்லியமானவை என்பதை உறுதிப்படுத்த, அதே அளவீட்டை பல முறை எடுக்கவும்.

தொடர்புடைய வீடியோக்கள்

ஒரு முக்கோணத்தின் அளவைக் கண்டறிவது உண்மையில் அற்பமான செயல் அல்ல. உண்மை என்னவென்றால், ஒரு முக்கோணம் ஒரு இரு பரிமாண உருவம், அதாவது. இது முற்றிலும் ஒரு விமானத்தில் உள்ளது, அதாவது அது வெறுமனே அளவு இல்லை. நிச்சயமாக, இல்லாத ஒன்றை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க முடியாது. ஆனால் விடக்கூடாது! பின்வரும் அனுமானத்தை நாம் செய்யலாம் - இரு பரிமாண உருவத்தின் அளவு, இது அதன் பரப்பளவு. நாங்கள் முக்கோணத்தின் பகுதியைத் தேடுகிறோம்.

உனக்கு தேவைப்படும்

• தாள், பென்சில், ஆட்சியாளர், கால்குலேட்டர்

அறிவுறுத்தல்

ஒரு ஆட்சியாளர் மற்றும் பென்சிலுடன் ஒரு தாளில் வரையவும். முக்கோணத்தை கவனமாக ஆராய்வதன் மூலம், அது ஒரு விமானத்தில் வரையப்பட்டிருப்பதால், அது உண்மையில் இல்லை என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளலாம். முக்கோணத்தின் பக்கங்களை லேபிளிடுங்கள்: ஒரு பக்கம் "a", மறுபக்கம் "b" மற்றும் மூன்றாவது பக்கம் "c". முக்கோணத்தின் முனைகளை "A", "B" மற்றும் "C" என்ற எழுத்துக்களுடன் லேபிளிடுங்கள்.

முக்கோணத்தின் எந்தப் பக்கத்தையும் ஒரு ஆட்சியாளரைக் கொண்டு அளந்து முடிவை எழுதுங்கள். அதன் பிறகு, எதிர் முனையிலிருந்து அளவிடப்பட்ட பக்கத்திற்கு செங்குத்தாக மீட்டமைக்கவும், அத்தகைய செங்குத்தாக முக்கோணத்தின் உயரம் இருக்கும். படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள நிலையில், செங்குத்தாக "h" ஆனது "A" என்ற உச்சியிலிருந்து "c" பக்கத்திற்கு மீட்டமைக்கப்படும். இதன் விளைவாக உயரத்தை ஒரு ஆட்சியாளருடன் அளவிடவும் மற்றும் அளவீட்டின் முடிவை பதிவு செய்யவும்.

சரியான செங்குத்தாக மீட்டெடுப்பது உங்களுக்கு கடினமாக இருக்கலாம். இந்த வழக்கில், நீங்கள் வேறு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும். முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களையும் ஒரு ஆட்சியாளருடன் அளவிடவும். அதன் பிறகு, "p" முக்கோணத்தின் அரை-சுற்றளவைக் கணக்கிடுவதன் மூலம் பக்கங்களின் விளைவாக வரும் நீளங்களைச் சேர்த்து, அவற்றின் தொகையை பாதியாகப் பிரிக்கவும். அரை சுற்றளவு மதிப்பை உங்கள் வசம் வைத்திருப்பதால், நீங்கள் ஹெரான் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம். இதைச் செய்ய, பின்வருவனவற்றின் வர்க்க மூலத்தை நீங்கள் எடுக்க வேண்டும்: p(p-a)(p-b)(p-c).

முக்கோணத்தின் விரும்பிய பகுதியைப் பெற்றுள்ளீர்கள். ஒரு முக்கோணத்தின் அளவைக் கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் தீர்க்கப்படவில்லை, ஆனால் மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, தொகுதி இல்லை. 3D உலகில் அடிப்படையில் ஒரு முக்கோணமான தொகுதியை நீங்கள் காணலாம். எங்கள் அசல் முக்கோணம் முப்பரிமாண பிரமிடாக மாறிவிட்டது என்று நாம் கற்பனை செய்தால், அத்தகைய பிரமிட்டின் அளவு அதன் அடித்தளத்தின் நீளம் மற்றும் நாம் பெற்ற முக்கோணத்தின் பரப்பளவு ஆகியவற்றின் விளைவாக இருக்கும்.

குறிப்பு

நீங்கள் எவ்வளவு கவனமாக அளவீடுகளை எடுக்கிறீர்களோ, அவ்வளவு துல்லியமாக கணக்கீடுகள் இருக்கும்.

ஆதாரங்கள்:

• ஆல்-டு-ஆல் கால்குலேட்டர் - குறிப்பு போர்டல்
• 2019 இல் முக்கோண அளவு

கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு முக்கோணத்தை தனித்துவமாக வரையறுக்கும் மூன்று புள்ளிகள் அதன் முனைகளாகும். ஒவ்வொரு ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கும் தொடர்புடைய அவற்றின் நிலையை அறிந்து, இந்த தட்டையான உருவத்தின் எந்த அளவுருவையும் அதன் சுற்றளவால் வரையறுக்கப்பட்டவை உட்பட கணக்கிடலாம். சதுரம். இதை பல வழிகளில் செய்யலாம்.

அறிவுறுத்தல்

பரப்பளவைக் கணக்கிட ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும் முக்கோணம். இது உருவத்தின் மூன்று பக்கங்களின் பரிமாணங்களை உள்ளடக்கியது, எனவே கணக்கீடுகளை தொடங்கவும். ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளமும் ஆய அச்சுகளில் அதன் கணிப்புகளின் நீளங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் மூலத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) மற்றும் C(X₃,Y₃,Z₃) ஆகிய ஆயங்களைக் குறிப்பதால், அவற்றின் பக்கங்களின் நீளம் பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படலாம்: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(((( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

கணக்கீடுகளை எளிதாக்க, ஒரு துணை மாறியை உள்ளிடவும் - அரை சுற்றளவு (P). அதிலிருந்து இது அனைத்து பக்கங்களின் நீளத்தின் பாதி தொகை: P \u003d ½ * (AB + BC + AC) \u003d ½ * (√ ((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁)- ²).

ஒரு முக்கோணம் என்பது எளிமையான வடிவியல் உருவமாகும், இது மூன்று பக்கங்களையும் மூன்று செங்குத்துகளையும் கொண்டுள்ளது. அதன் எளிமை காரணமாக, முக்கோணம் பழங்காலத்திலிருந்தே பல்வேறு அளவீடுகளுக்கு பயன்படுத்தப்படுகிறது, இன்று இந்த எண்ணிக்கை நடைமுறை மற்றும் அன்றாட பிரச்சினைகளை தீர்க்க பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

முக்கோண அம்சங்கள்

இந்த எண்ணிக்கை பண்டைய காலங்களிலிருந்து கணக்கீடுகளுக்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது, எடுத்துக்காட்டாக, சர்வேயர்கள் மற்றும் வானியலாளர்கள் பகுதிகள் மற்றும் தூரங்களைக் கணக்கிட முக்கோணங்களின் பண்புகளுடன் செயல்படுகிறார்கள். இந்த உருவத்தின் பரப்பளவு மூலம், எந்த n-gon இன் பகுதியையும் வெளிப்படுத்துவது எளிது, மேலும் இந்த சொத்து பலகோணங்களின் பகுதிகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பெற பண்டைய விஞ்ஞானிகளால் பயன்படுத்தப்பட்டது. முக்கோணங்களுடனான நிலையான வேலை, குறிப்பாக செங்கோண முக்கோணத்துடன், கணிதத்தின் முழுப் பகுதிக்கும் அடிப்படையாக மாறியுள்ளது - முக்கோணவியல்.

முக்கோண வடிவியல்

வடிவியல் உருவத்தின் பண்புகள் பண்டைய காலங்களிலிருந்து ஆய்வு செய்யப்பட்டுள்ளன: முக்கோணத்தைப் பற்றிய முந்தைய தகவல்கள் 4000 ஆண்டுகள் பழமையான எகிப்திய பாப்பிரியில் காணப்பட்டன. பின்னர் அந்த உருவம் ஆய்வு செய்யப்பட்டது பண்டைய கிரீஸ்மற்றும் முக்கோணத்தின் வடிவவியலுக்கு யூக்ளிட், பிதாகரஸ் மற்றும் ஹெரான் ஆகியோர் மிகப்பெரிய பங்களிப்புகளைச் செய்தனர். முக்கோணத்தின் ஆய்வு ஒருபோதும் நிறுத்தப்படவில்லை, மேலும் 18 ஆம் நூற்றாண்டில் லியோன்ஹார்ட் ஆய்லர் உருவத்தின் ஆர்த்தோசென்டர் மற்றும் யூலரின் வட்டம் என்ற கருத்தை அறிமுகப்படுத்தினார். 19 மற்றும் 20 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் தொடக்கத்தில், ஒரு முக்கோணத்தைப் பற்றி முற்றிலும் தெரியும் என்று தோன்றியபோது, ​​​​ஃபிராங்க் மோர்லி ஒரு கோணத்தின் முக்கோணங்களில் தேற்றத்தை வகுத்தார், மேலும் வக்லாவ் சியர்பின்ஸ்கி ஒரு முறிவு முக்கோணத்தை முன்மொழிந்தார்.

பள்ளி வடிவியல் பாடத்தில் இருந்து நமக்குத் தெரிந்த பல வகையான தட்டையான முக்கோணங்கள் உள்ளன:

• கடுமையான கோணம் - உருவத்தின் அனைத்து மூலைகளும் கூர்மையானவை;
• மழுங்கிய - உருவம் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது (90 டிகிரிக்கு மேல்);
• செவ்வக - உருவம் 90 டிகிரிக்கு சமமான ஒரு வலது கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது;
• ஐசோசெல்ஸ் - இரண்டு சம பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம்;
• சமபக்க - அனைத்து சம பக்கங்களும் கொண்ட ஒரு முக்கோணம்.
• நிஜ வாழ்க்கையில், அனைத்து வகையான முக்கோணங்களும் உள்ளன, சில சந்தர்ப்பங்களில் நாம் ஒரு வடிவியல் உருவத்தின் பகுதியை கணக்கிட வேண்டியிருக்கும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

பரப்பளவு என்பது, அந்த உருவம் எவ்வளவு விமானத்தின் எல்லையைக் கொண்டுள்ளது என்பதற்கான மதிப்பீடாகும். ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை ஆறு வழிகளில் காணலாம், பக்கங்கள், உயரம், கோணங்கள், பொறிக்கப்பட்ட அல்லது சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம், அத்துடன் ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் அல்லது விமானத்தை இணைக்கும் கோடுகளின் மீது இரட்டை ஒருங்கிணைப்பைக் கணக்கிடுதல். ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான எளிய சூத்திரம்:

இதில் a என்பது முக்கோணத்தின் பக்கம், h என்பது அதன் உயரம்.

இருப்பினும், நடைமுறையில் ஒரு வடிவியல் உருவத்தின் உயரத்தைக் கண்டுபிடிப்பது எங்களுக்கு எப்போதும் வசதியாக இருக்காது. எங்கள் கால்குலேட்டரின் அல்காரிதம் பகுதியைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கிறது, தெரிந்து கொள்ளுங்கள்:

• மூன்று பக்கங்கள்;
• இரண்டு பக்கங்களும் அவற்றுக்கிடையேயான கோணமும்;
• ஒரு பக்கம் மற்றும் இரண்டு மூலைகள்.

மூன்று பக்கங்களின் அடிப்படையில் பகுதியைத் தீர்மானிக்க, ஹெரானின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

இங்கு p என்பது முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு.

கிளாசிக்கல் சூத்திரத்தின்படி இரண்டு பக்கங்களிலும் ஒரு கோணத்திலும் உள்ள பகுதியின் கணக்கீடு செய்யப்படுகிறது:

S = a × b × sin(alfa),

ஆல்ஃபா என்பது a மற்றும் b பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம்.

ஒரு பக்கம் மற்றும் இரண்டு மூலைகள் மூலம் பகுதியைத் தீர்மானிக்க, பின்வரும் தொடர்பைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

ஒரு எளிய விகிதத்தைப் பயன்படுத்தி, இரண்டாவது பக்கத்தின் நீளத்தை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம், அதன் பிறகு S = a × b × sin (alfa) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பகுதியைக் கணக்கிடுகிறோம். இந்த அல்காரிதம் முழுவதுமாக தானியக்கமானது மற்றும் கொடுக்கப்பட்ட மாறிகளை மட்டும் உள்ளிட்டு முடிவைப் பெற வேண்டும். ஓரிரு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

நிஜ வாழ்க்கை உதாரணங்கள்

நடைபாதை அடுக்குகள்

நீங்கள் முக்கோண ஓடுகளால் தரையை அமைக்க விரும்புகிறீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம், மேலும் தேவையான பொருட்களின் அளவை தீர்மானிக்க, நீங்கள் ஒரு ஓடு மற்றும் தரையின் பரப்பளவைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm என இருக்கும் ஓடுகளைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் 6 சதுர மீட்டர் பரப்பளவைச் செயலாக்க வேண்டும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். முடிவை கொடுங்கள்:

எனவே, ஒரு ஓடு உறுப்பின் பரப்பளவு 0.021 சதுர மீட்டராக இருக்கும், மேலும் தரையை மேம்படுத்த உங்களுக்கு 6 / 0.021 \u003d 285 முக்கோணங்கள் தேவைப்படும். 20, 21 மற்றும் 29 ஆகிய எண்கள் பித்தகோரியன் மூன்று-எண்களை திருப்திப்படுத்துகின்றன. அது சரி, எங்கள் கால்குலேட்டர் முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களையும் கணக்கிட்டது, மேலும் காமா கோணம் சரியாக 90 டிகிரி ஆகும்.

பள்ளி பணி

பள்ளிச் சிக்கலில், ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய வேண்டும், பக்கமானது ஒரு \u003d 5 செ.மீ., மற்றும் காயத்தின் ஆல்ஃபா மற்றும் பீட்டா கோணங்கள் முறையே 30 மற்றும் 50 டிகிரி ஆகும். இந்த சிக்கலை கைமுறையாக தீர்க்க, முதலில் பக்க விகிதத்தையும் எதிர் கோணங்களின் சைன்களையும் பயன்படுத்தி பக்க b இன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம், பின்னர் S = a × b × sin(alfa) என்ற எளிய சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பகுதியைத் தீர்மானிப்போம். நேரத்தைச் சேமிப்போம், கால்குலேட்டர் படிவத்தில் தரவை உள்ளிட்டு உடனடி பதிலைப் பெறுவோம்

கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தும் போது, ​​கோணங்கள் மற்றும் பக்கங்களை சரியாகக் குறிப்பிடுவது முக்கியம், இல்லையெனில் முடிவு தவறாக இருக்கும்.

முடிவுரை

முக்கோணம் என்பது நிஜ வாழ்க்கையிலும் சுருக்க கணக்கீடுகளிலும் நிகழும் ஒரு தனித்துவமான உருவமாகும். எந்த வகையான முக்கோணங்களின் பகுதியையும் கண்டறிய எங்கள் ஆன்லைன் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தவும்.

ஒரு முக்கோணம் என்பது ஒரு வடிவியல் உருவமாகும், இது ஒரு நேர் கோட்டில் இல்லாத புள்ளிகளில் இணைக்கும் மூன்று நேர் கோடுகளைக் கொண்டுள்ளது. கோடுகளின் இணைப்பு புள்ளிகள் முக்கோணத்தின் முனைகளாகும், அவை லத்தீன் எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன (உதாரணமாக, A, B, C). ஒரு முக்கோணத்தின் இணைக்கும் நேர்கோடுகள் பிரிவுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, அவை பொதுவாக லத்தீன் எழுத்துக்களிலும் குறிக்கப்படுகின்றன. பின்வரும் வகையான முக்கோணங்கள் உள்ளன:

• செவ்வக வடிவமானது.
• மழுங்கிய.
• கடுமையான கோணம்.
• பல்துறை.
• சமபக்க.
• ஐசோசெல்ஸ்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான பொதுவான சூத்திரங்கள்

நீளம் மற்றும் உயரத்திற்கான முக்கோணப் பகுதி சூத்திரம்

S=a*h/2,
இதில் a என்பது முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம், அதன் பரப்பளவு கண்டறியப்பட வேண்டும், h என்பது அடிப்பகுதிக்கு வரையப்பட்ட உயரத்தின் நீளம்.

ஹெரானின் சூத்திரம்

S=√p*(p-a)*(p-b)*(p-c),
இதில் √ என்பது சதுர வேர், p என்பது முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு, a,b,c என்பது முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளமும் ஆகும். ஒரு முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவை p=(a+b+c)/2 என்ற சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

பிரிவின் கோணம் மற்றும் நீளத்தின் அடிப்படையில் ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம்

S = (a*b*sin(α))/2,
b,c என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நீளம், sin(α) என்பது இரு பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணத்தின் சைன் ஆகும்.

பொறிக்கப்பட்ட வட்டம் மற்றும் மூன்று பக்கங்களின் ஆரம் கொடுக்கப்பட்ட ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம்

S=p*r,
இதில் p என்பது முக்கோணத்தின் அரைச்சுற்றளவு, அதன் பரப்பளவு கண்டறியப்பட வேண்டும், r என்பது இந்த முக்கோணத்தில் பொறிக்கப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவுக்கான சூத்திரம் மூன்று பக்கங்களும் அதைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தின் ஆரம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

S= (a*b*c)/4*R,
இதில் a,b,c என்பது முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளமும், R என்பது முக்கோணத்தைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தின் ஆரம் ஆகும்.

புள்ளிகளின் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொலைவுகளில் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதிக்கான சூத்திரம்

புள்ளிகளின் கார்ட்டீசியன் ஆயத்தொகுப்புகள் xOy அமைப்பில் உள்ள ஆயத்தொலைவுகளாகும், இங்கு x என்பது abscissa மற்றும் y என்பது ஆர்டினேட் ஆகும். ஒரு விமானத்தில் உள்ள கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு xOy பரஸ்பர செங்குத்து எண் அச்சுகள் Ox மற்றும் Oy என்று அழைக்கப்படுகிறது, புள்ளி O இல் ஒரு பொதுவான குறிப்பு புள்ளியுடன். இந்த விமானத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகள் A (x1, y1), B (x2,) வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால். y2) மற்றும் C (x3, y3), பின்னர் நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கணக்கிடலாம், இது இரண்டு திசையன்களின் குறுக்கு உற்பத்தியிலிருந்து பெறப்படுகிறது.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
எங்கே || தொகுதியைக் குறிக்கிறது.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

செங்கோண முக்கோணம் என்பது 90 டிகிரி கோணம் கொண்ட ஒரு முக்கோணம். ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரே ஒரு கோணம் மட்டுமே இருக்க முடியும்.

இரண்டு கால்களில் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பகுதிக்கான சூத்திரம்

S=a*b/2,
இதில் a,b என்பது கால்களின் நீளம். கால்கள் வலது கோணத்திற்கு அருகில் உள்ள பக்கங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பகுதிக்கான சூத்திரம் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் கடுமையான கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது

S = a*b*sin(α)/ 2,
இதில் a, b என்பது முக்கோணத்தின் கால்கள், மற்றும் sin(α) என்பது a, b கோடுகள் வெட்டும் கோணத்தின் சைன் ஆகும்.

ஒரு வலது முக்கோணத்தின் பரப்பளவை கால் மற்றும் எதிர் கோணத்தின் மூலம் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம்

S = a*b/2*tg(β),
இதில் a, b என்பது முக்கோணத்தின் கால்கள், tg(β) என்பது a, b கால்கள் இணைக்கப்பட்டுள்ள கோணத்தின் தொடுகோடு ஆகும்.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பரப்பளவை எவ்வாறு கணக்கிடுவது

சமபக்க முக்கோணம் என்பது இரண்டு சம பக்கங்களைக் கொண்ட ஒன்று. இந்த பக்கங்கள் பக்கங்கள் என்றும் மறுபக்கம் அடித்தளம் என்றும் அழைக்கப்படுகின்றன. ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட பின்வரும் சூத்திரங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தலாம்.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான அடிப்படை சூத்திரம்

S=h*c/2,
c என்பது முக்கோணத்தின் அடிப்பாகம், h என்பது முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதிக்குக் குறைக்கப்பட்ட உயரம்.

பக்கவாட்டு பக்கத்திலும் அடித்தளத்திலும் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் சூத்திரம்

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
c என்பது முக்கோணத்தின் அடிப்பாகம், a என்பது சமபக்க முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் மதிப்பு.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

ஒரு சமபக்க முக்கோணம் என்பது அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும் ஒரு முக்கோணம். ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கணக்கிட, நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தலாம்:
எஸ் = (√3*a*a)/4,
இதில் a என்பது ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பக்கத்தின் நீளம்.

மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் முக்கோணத்தின் தேவையான பகுதியைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கும். முக்கோணங்களின் இடைவெளியைக் கணக்கிடுவதற்கு, முக்கோணத்தின் வகையையும் கணக்கீட்டிற்குப் பயன்படுத்தக்கூடிய கிடைக்கக்கூடிய தரவையும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை தீர்மானிக்க, நீங்கள் வெவ்வேறு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். அனைத்து முறைகளிலும், எளிதான மற்றும் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுவது அடித்தளத்தின் நீளத்தால் உயரத்தை பெருக்கி, பின்னர் முடிவை இரண்டாகப் பிரிப்பதாகும். இருப்பினும், இந்த முறை ஒரே ஒரு முறையிலிருந்து வெகு தொலைவில் உள்ளது. வெவ்வேறு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை கீழே படிக்கலாம்.

தனித்தனியாக, குறிப்பிட்ட வகை முக்கோணங்களின் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதற்கான முறைகளை நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம் - செவ்வக, சமபக்க மற்றும் சமபக்க. ஒவ்வொரு சூத்திரத்தையும் அதன் சாராம்சத்தைப் புரிந்துகொள்ள உதவும் ஒரு சிறிய விளக்கத்துடன் நாங்கள் இணைக்கிறோம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறிய உலகளாவிய வழிகள்

கீழே உள்ள சூத்திரங்கள் சிறப்பு குறியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்றன. அவை ஒவ்வொன்றையும் நாங்கள் புரிந்துகொள்வோம்:

• a, b, c ஆகியவை நாம் கருத்தில் கொண்ட உருவத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நீளம்;
• r என்பது நமது முக்கோணத்தில் பொறிக்கக்கூடிய ஒரு வட்டத்தின் ஆரம்;
• R என்பது அதைச் சுற்றி விவரிக்கக்கூடிய வட்டத்தின் ஆரம்;
• α - பக்கங்கள் b மற்றும் c மூலம் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் மதிப்பு;
• β என்பது a மற்றும் c இடையே உள்ள கோணம்;
• γ - a மற்றும் b பக்கங்களால் உருவாக்கப்பட்ட கோணத்தின் மதிப்பு;
• h என்பது நமது முக்கோணத்தின் உயரம், கோணம் α இலிருந்து பக்கத்திற்கு a வரை குறைக்கப்படுகிறது;
• p என்பது a, b மற்றும் c பக்கங்களின் பாதித் தொகை.

இந்த வழியில் ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை நீங்கள் ஏன் கண்டுபிடிக்க முடியும் என்பது தர்க்கரீதியாக தெளிவாக உள்ளது. முக்கோணம் ஒரு இணையான வரைபடத்திற்கு எளிதாக முடிக்கப்படுகிறது, இதில் முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கம் ஒரு மூலைவிட்டமாக செயல்படும். ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு அதன் பக்கங்களில் ஒன்றின் நீளத்தை அதன் உயரத்தின் மதிப்பால் பெருக்குவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. மூலைவிட்டமானது இந்த நிபந்தனை இணையான வரைபடத்தை 2 ஒத்த முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கிறது. எனவே, நமது அசல் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு இந்த துணை இணையான வரைபடத்தின் பாதி பகுதிக்கு சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பது மிகவும் வெளிப்படையானது.

S=½ a b sin γ

இந்த சூத்திரத்தின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அதன் இரு பக்கங்களின் நீளத்தை, அதாவது a மற்றும் b, அவை உருவாக்கும் கோணத்தின் சைன் மூலம் பெருக்குவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது. இந்த சூத்திரம் தர்க்கரீதியாக முந்தைய ஒன்றிலிருந்து பெறப்பட்டது. கோணம் β இலிருந்து பக்க b க்கு உயரத்தைக் குறைத்தால், ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகளின்படி, பக்கத்தின் நீளத்தை γ கோணத்தால் பெருக்கும்போது, ​​​​முக்கோணத்தின் உயரத்தைப் பெறுகிறோம், அதாவது h.

பரிசீலனையில் உள்ள உருவத்தின் பரப்பளவு வட்டத்தின் அரை ஆரம் பெருக்குவதன் மூலம் கண்டறியப்படுகிறது, அதை அதன் சுற்றளவு மூலம் அதில் பொறிக்க முடியும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அரை சுற்றளவு மற்றும் குறிப்பிடப்பட்ட வட்டத்தின் ஆரம் ஆகியவற்றின் பலனைக் காண்கிறோம்.

S= a b c/4R

இந்த சூத்திரத்தின்படி, உருவத்தின் பக்கங்களின் பெருக்கத்தை அதைச் சுற்றியுள்ள வட்டத்தின் 4 ஆரங்களால் வகுப்பதன் மூலம் நமக்குத் தேவையான மதிப்பைக் கண்டறியலாம்.

இந்த சூத்திரங்கள் உலகளாவியவை, ஏனெனில் அவை எந்த முக்கோணத்தின் பகுதியையும் (ஸ்கேலின், ஐசோசெல்ஸ், சமபக்க, வலது கோணம்) தீர்மானிக்க உதவுகிறது. இது மிகவும் சிக்கலான கணக்கீடுகளின் உதவியுடன் செய்யப்படலாம், இது நாம் விரிவாக வாழ மாட்டோம்.

குறிப்பிட்ட பண்புகள் கொண்ட முக்கோணங்களின் பகுதிகள்

ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? இந்த உருவத்தின் ஒரு அம்சம் என்னவென்றால், அதன் இரு பக்கங்களும் ஒரே நேரத்தில் அதன் உயரம் ஆகும். a மற்றும் b கால்களாக இருந்தால், c ஹைப்போடென்யூஸாக மாறினால், அந்தப் பகுதி பின்வருமாறு காணப்படும்:

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? நீளம் a மற்றும் ஒரு பக்கம் b நீளத்துடன் இரண்டு பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளது. எனவே, பக்கத்தின் சதுரத்தின் பெருக்கத்தை 2 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் அதன் பரப்பளவை γ கோணத்தின் சைன் மூலம் தீர்மானிக்க முடியும்.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? அதில், அனைத்து பக்கங்களின் நீளம் a, மற்றும் அனைத்து கோணங்களின் மதிப்பு α. அதன் உயரம் பக்கத்தின் நீளத்தின் பாதிப் பெருக்கமாகும். இது 3 இன் வர்க்க மூலத்தை விட அதிகமாகும். வழக்கமான முக்கோணத்தின் பரப்பளவைக் கண்டறிய, பக்கத்தின் சதுரத்தை 3 இன் வர்க்க மூலத்தால் பெருக்கி 4 ஆல் வகுக்க வேண்டும்.

பகுதியின் கருத்து

எந்த வடிவியல் உருவத்தின் பரப்பளவு, குறிப்பாக ஒரு முக்கோணம், ஒரு சதுரம் போன்ற ஒரு உருவத்துடன் தொடர்புடையதாக இருக்கும். எந்த வடிவியல் உருவத்தின் ஒரு யூனிட் பகுதிக்கும், ஒரு சதுரத்தின் பரப்பளவை எடுத்துக்கொள்வோம், அதன் பக்கமானது ஒன்றுக்கு சமம். முழுமைக்காக, வடிவியல் வடிவங்களின் பகுதிகளின் கருத்துக்கு இரண்டு அடிப்படை பண்புகளை நினைவுபடுத்துகிறோம்.

சொத்து 1:வடிவியல் உருவங்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் பகுதிகளும் சமமாக இருக்கும்.

சொத்து 2:எந்த உருவத்தையும் பல உருவங்களாகப் பிரிக்கலாம். மேலும், அசல் உருவத்தின் பரப்பளவு அதை உருவாக்கும் அனைத்து புள்ளிவிவரங்களின் பகுதிகளின் மதிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

ஒரு உதாரணத்தைக் கவனியுங்கள்.

எடுத்துக்காட்டு 1

முக்கோணத்தின் பக்கங்களில் ஒன்று செவ்வகத்தின் மூலைவிட்டம் என்பது தெளிவாகிறது, இதில் ஒரு பக்கம் $5$ ($5$ செல்கள் முதல்) மற்றும் மற்றொன்று $6$ ($6$ செல்கள் முதல்). எனவே, இந்த முக்கோணத்தின் பரப்பளவு அத்தகைய செவ்வகத்தின் பாதிக்கு சமமாக இருக்கும். செவ்வகத்தின் பரப்பளவு

பின்னர் முக்கோணத்தின் பரப்பளவு

பதில்: $15$.

அடுத்து, முக்கோணங்களின் பகுதிகளைக் கண்டறிவதற்கான பல முறைகளைக் கவனியுங்கள், அதாவது உயரம் மற்றும் அடித்தளத்தைப் பயன்படுத்துதல், ஹெரான் சூத்திரம் மற்றும் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் பகுதியைப் பயன்படுத்துதல்.

உயரம் மற்றும் அடித்தளத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு முக்கோணத்தின் பகுதியை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது

தேற்றம் 1

ஒரு முக்கோணத்தின் பரப்பளவை ஒரு பக்கத்தின் நீளத்தின் பாதிப் பெருக்கத்தில் அந்த பக்கத்திற்கு வரையப்பட்ட உயரத்தின் பாதியாகக் காணலாம்.

கணித ரீதியாக இது போல் தெரிகிறது

$S=\frac(1)(2)αh$

$a$ என்பது பக்கத்தின் நீளம், $h$ என்பது அதற்கு வரையப்பட்ட உயரம்.

ஆதாரம்.

$AC=α$ என்ற முக்கோணத்தை $ABC$ கருதுக. உயரம் $BH$ இந்தப் பக்கமாக இழுக்கப்பட்டு $h$க்கு சமம். படம் 2 இல் உள்ளதைப் போல $AXYC$ சதுரம் வரை உருவாக்குவோம்.

$AXBH$ செவ்வகத்தின் பரப்பளவு $h\cdot AH$, மற்றும் $HBYC$ செவ்வகத்தின் பரப்பளவு $h\cdot HC$ ஆகும். பிறகு

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

எனவே, முக்கோணத்தின் விரும்பிய பகுதி, சொத்து 2 இன் படி, சமம்

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

உதாரணம் 2

செல் ஒன்றுக்கு சமமான பகுதியைக் கொண்டிருந்தால், கீழே உள்ள படத்தில் முக்கோணத்தின் பகுதியைக் கண்டறியவும்

இந்த முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதி $9$ ($9$ என்பது $9$ கலங்கள் என்பதால்). உயரமும் $9$. பின்னர், தேற்றம் 1 மூலம், நாம் பெறுகிறோம்

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

பதில்: $40.5$.

ஹெரானின் சூத்திரம்

தேற்றம் 2

ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்கள் $α$, $β$ மற்றும் $γ$ என வழங்கப்பட்டால், அதன் பரப்பளவை பின்வருமாறு காணலாம்.

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

இங்கே $ρ$ என்பது இந்த முக்கோணத்தின் அரை சுற்றளவு.

ஆதாரம்.

பின்வரும் உருவத்தைக் கவனியுங்கள்:

பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, $ABH$ முக்கோணத்திலிருந்து நாம் பெறுகிறோம்

முக்கோணத்திலிருந்து $CBH$, பித்தகோரியன் தேற்றம் மூலம், நம்மிடம் உள்ளது

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

இந்த இரண்டு உறவுகளிலிருந்தும் நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

$ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, பின்னர் $α+β+γ=2ρ$, எனவே

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

தேற்றம் 1 மூலம், நாம் பெறுகிறோம்

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$