தீர்வு Vieta ஆன்லைன் வழியாகும். இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தின் வாய்வழி தீர்வு

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளில் ஒன்று பயன்படுத்துவதாகும் VIET சூத்திரங்கள், இது FRANCOIS VIETTE பெயரிடப்பட்டது.

16 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரெஞ்சு மன்னருக்குப் பணியாற்றிய புகழ்பெற்ற வழக்கறிஞர். ஓய்வு நேரத்தில் வானியல் மற்றும் கணிதம் படித்தார். அவர் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பை ஏற்படுத்தினார்.

சூத்திரத்தின் நன்மைகள்:

1 . சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நீங்கள் விரைவாக ஒரு தீர்வைக் காணலாம். சதுரத்திற்குள் இரண்டாவது குணகத்தை உள்ளிட வேண்டிய அவசியம் இல்லை என்பதால், அதிலிருந்து 4ac ஐக் கழித்து, பாகுபாட்டைக் கண்டறிந்து, அதன் மதிப்பை வேர்களைக் கண்டறிய சூத்திரத்தில் மாற்றவும்.

2 . தீர்வு இல்லாமல், நீங்கள் வேர்களின் அறிகுறிகளைத் தீர்மானிக்கலாம் மற்றும் வேர்களின் மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

3 . இரண்டு பதிவுகளின் அமைப்பைத் தீர்த்த பிறகு, வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பது கடினம் அல்ல. மேலே உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டில், வேர்களின் கூட்டுத்தொகை, கழித்தல் குறியுடன் இரண்டாவது குணகத்தின் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். மேற்கூறிய இருபடிச் சமன்பாட்டில் உள்ள வேர்களின் பெருக்கல் மூன்றாவது குணகத்தின் மதிப்புக்கு சமம்.

4 . இந்த வேர்களைப் பயன்படுத்தி, ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை எழுதுங்கள், அதாவது தலைகீழ் சிக்கலை தீர்க்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, கோட்பாட்டு இயக்கவியலில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

5 . முன்னணி குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்போது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது.

குறைபாடுகள்:

1 . சூத்திரம் உலகளாவியது அல்ல.

வியட்டாவின் தேற்றம் 8 ஆம் வகுப்பு

சூத்திரம்
x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருந்தால் x 2 + px + q = 0, பின்:

எடுத்துக்காட்டுகள்
x 1 = -1; x 2 = 3 - சமன்பாட்டின் வேர்கள் x 2 - 2x - 3 = 0.

பி = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

உரையாடல் தேற்றம்

சூத்திரம்
x 1, x 2, p, q ஆகிய எண்கள் நிபந்தனைகளுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால்:

பின்னர் x 1 மற்றும் x 2 சமன்பாட்டின் வேர்கள் x 2 + px + q = 0.

உதாரணம்
அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

X 1 = 2 - ? 3 மற்றும் x 2 = 2 + ? 3.

பி = x 1 + x 2 = 4; ப = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

தேவையான சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: x 2 - 4x + 1 = 0.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில், ரூட் சூத்திரங்களுக்கு கூடுதலாக, பிற பயனுள்ள உறவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. வியட்டாவின் தேற்றம். இந்தக் கட்டுரையில் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கான வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உருவாக்கம் மற்றும் ஆதாரத்தை வழங்குவோம். அடுத்து நாம் தேற்றம் வியட்டாவின் தேற்றத்துடன் மாறுவதைக் கருதுகிறோம். இதற்குப் பிறகு, மிகவும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். இறுதியாக, உண்மையான வேர்களுக்கு இடையிலான உறவை வரையறுக்கும் Vieta சூத்திரங்களை நாங்கள் எழுதுகிறோம் இயற்கணித சமன்பாடுபட்டம் n மற்றும் அதன் குணகங்கள்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

வியட்டாவின் தேற்றம், உருவாக்கம், ஆதாரம்

A·x 2 +b·x+c=0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சூத்திரங்களிலிருந்து, D=b 2 -4·a·c, பின்வரும் உறவுகள் பின்வருமாறு: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . இந்த முடிவுகள் உறுதிப்படுத்தப்பட்டுள்ளன வியட்டாவின் தேற்றம்:

தேற்றம்.

என்றால் x 1 மற்றும் x 2 இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் a x 2 +b x+c=0, பின்னர் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையானது, எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட b மற்றும் a குணகங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும் வேர்கள் c மற்றும் a குணகங்களின் விகிதத்திற்கு சமம், அதாவது.

ஆதாரம்.

பின்வரும் திட்டத்தின் படி வியட்டாவின் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை நாங்கள் மேற்கொள்வோம்: அறியப்பட்ட ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனை உருவாக்குவோம், அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை மாற்றி, அவை சமமாக இருப்பதை உறுதி செய்வோம் - முறையே b/a மற்றும் c/a.

வேர்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் தொடங்கி அதை உருவாக்குவோம். இப்போது நாம் பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம். இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையில், அதன் பிறகு :. இறுதியாக, 2 க்குப் பிறகு, நாம் பெறுகிறோம். இது ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான வியட்டாவின் தேற்றத்தின் முதல் தொடர்பை நிரூபிக்கிறது. இரண்டாவதாக செல்லலாம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் உற்பத்தியை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்: . பின்னங்களைப் பெருக்கும் விதியின்படி, கடைசிப் பொருளை இவ்வாறு எழுதலாம். இப்போது நாம் ஒரு அடைப்புக்குறியை நியூமரேட்டரில் உள்ள அடைப்புக்குறியால் பெருக்குகிறோம், ஆனால் இந்த தயாரிப்பை சுருக்குவது வேகமானது சதுர வேறுபாடு சூத்திரம், எனவே. பின்னர், நினைவில் வைத்து, அடுத்த மாற்றத்தை நாங்கள் செய்கிறோம். மேலும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாடு D=b 2 -4·a·c சூத்திரத்துடன் ஒத்துப்போவதால், D க்கு பதிலாக கடைசி பின்னத்தில் b 2 −4·a·c ஐ மாற்றலாம். அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வந்த பிறகு, நாம் பின்னத்திற்கு வருகிறோம், அதன் குறைப்பு 4·a கொடுக்கிறது. வேர்களின் தயாரிப்புக்கான வியட்டாவின் தேற்றத்தின் இரண்டாவது தொடர்பை இது நிரூபிக்கிறது.

விளக்கங்களைத் தவிர்த்துவிட்டால், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் ஆதாரம் ஒரு லாகோனிக் வடிவத்தை எடுக்கும்:
,
.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இருபடி சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வேர் உள்ளது என்பதை மட்டுமே கவனிக்க வேண்டும். இருப்பினும், இந்த வழக்கில் உள்ள சமன்பாடு இரண்டு ஒத்த வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நாம் கருதினால், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் சமத்துவங்களும் இருக்கும். உண்மையில், D=0 இருபடி சமன்பாட்டின் வேர் சமமாக இருக்கும் போது, ​​பின்னர் மற்றும் , மற்றும் D=0 என்பதால், அதாவது, b 2 −4·a·c=0, எங்கிருந்து b 2 =4·a·c, பின்னர் .

நடைமுறையில், x 2 +p·x+q=0 வடிவத்தின் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு (முன்னணி குணகம் 1க்கு சமம்) தொடர்பாக வியட்டாவின் தேற்றம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில நேரங்களில் இது இந்த வகையின் இருபடி சமன்பாடுகளுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இது பொதுத்தன்மையை கட்டுப்படுத்தாது, ஏனெனில் எந்த இருபடி சமன்பாடும் இருபுறமும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண் a ஆல் வகுப்பதன் மூலம் சமமான சமன்பாட்டால் மாற்றப்படும். வியட்டாவின் தேற்றத்தின் தொடர்புடைய சூத்திரத்தை வழங்குவோம்:

தேற்றம்.

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 +p x+q=0 என்பது எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட x இன் குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் வேர்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம், அதாவது x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

தேற்றம் வியட்டாவின் தேற்றத்துடன் மாறுகிறது

முந்தைய பத்தியில் கொடுக்கப்பட்ட வியட்டாவின் தேற்றத்தின் இரண்டாவது உருவாக்கம், x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்றால் x 2 +p x+q=0, பின்னர் உறவுகள் x 1 +x 2 =-p , x 1 x 2 =q. மறுபுறம், எழுதப்பட்ட உறவுகளிலிருந்து x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 =q x 1 மற்றும் x 2 இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் x 2 +p x+q=0. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உரையாடல் உண்மை. அதை தேற்றம் வடிவில் உருவாக்கி நிரூபிப்போம்.

தேற்றம்.

x 1 மற்றும் x 2 எண்கள் x 1 +x 2 =-p மற்றும் x 1 · x 2 =q என இருந்தால், x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x 2 +p · x+q =0.

ஆதாரம்.

x 2 +p·x+q=0 சமன்பாட்டில் p மற்றும் q குணகங்களை அவற்றின் வெளிப்பாடுகளுடன் x 1 மற்றும் x 2 மூலம் மாற்றிய பின், அது சமமான சமன்பாட்டாக மாற்றப்படுகிறது.

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டில் x க்கு பதிலாக x 1 என்ற எண்ணை மாற்றுவோம், மேலும் நமக்கு சமத்துவம் உள்ளது x 1 2 -(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, எந்த x 1 மற்றும் x 2 க்கு சரியான எண் சமத்துவம் 0=0 ஐக் குறிக்கிறது. x 1 2 -(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 -x 1 2 -x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. எனவே, x 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, அதாவது x 1 என்பது x 2 +p·x+q=0 சமமான சமன்பாட்டின் வேர்.

சமன்பாட்டில் இருந்தால் x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x க்கு பதிலாக x 2 என்ற எண்ணை மாற்றினால் சமத்துவம் கிடைக்கும் x 2 2 -(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. இதுவே உண்மையான சமத்துவம் என்பதால் x 2 2 -(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 -x 1 ·x 2 -x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. எனவே, x 2 என்பது சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமும் ஆகும் x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, எனவே சமன்பாடுகள் x 2 +p·x+q=0.

இது வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை நிறைவு செய்கிறது.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

வியட்டாவின் தேற்றத்தின் நடைமுறை பயன்பாடு மற்றும் அதன் உரையாடல் தேற்றம் பற்றி பேச வேண்டிய நேரம் இது. இந்த பிரிவில், மிகவும் பொதுவான பல எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்தில் தேற்றம் உரையாடலைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம். கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு எண்கள் கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களா என்பதைச் சரிபார்க்க இது வசதியானது. இந்த வழக்கில், அவற்றின் தொகை மற்றும் வேறுபாடு கணக்கிடப்படுகிறது, அதன் பிறகு உறவுகளின் செல்லுபடியாகும் சரிபார்க்கப்படுகிறது. இந்த இரண்டு உறவுகளும் திருப்திகரமாக இருந்தால், தேற்றம் வியட்டாவின் தேற்றத்துடன் மாறியதால், இந்த எண்கள் சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்று முடிவு செய்யப்படுகிறது. உறவுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று திருப்தி அடையவில்லை என்றால், இந்த எண்கள் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் அல்ல. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களைச் சரிபார்க்க இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது இந்த அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

உதாரணம்.

1) x 1 =−5, x 2 =3, அல்லது 2) அல்லது 3) எண்களின் ஜோடிகளில் எது 4 x 2 -16 x+9=0 இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு ஜோடி வேர்கள்?

தீர்வு.

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு 4 x 2 -16 x+9=0 குணகங்கள் a=4, b=-16, c=9. வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை −b/a க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது 16/4=4, மற்றும் வேர்களின் பலன் c/a க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது 9 /4.

இப்போது கொடுக்கப்பட்ட மூன்று ஜோடிகளில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனைக் கணக்கிட்டு, அவற்றை நாம் பெற்ற மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடுவோம்.

முதல் வழக்கில் x 1 +x 2 =−5+3=−2. இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு 4 இலிருந்து வேறுபட்டது, எனவே மேலும் சரிபார்ப்பை மேற்கொள்ள முடியாது, ஆனால் வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, முதல் ஜோடி எண்கள் கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் ஒரு ஜோடி வேர்கள் அல்ல என்று உடனடியாக முடிவு செய்யலாம்.

இரண்டாவது வழக்குக்கு செல்லலாம். இங்கே, அதாவது, முதல் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது. இரண்டாவது நிபந்தனையை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்: இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு 9/4 இலிருந்து வேறுபட்டது. இதன் விளைவாக, இரண்டாவது ஜோடி எண்கள் இருபடி சமன்பாட்டின் ஒரு ஜோடி வேர்கள் அல்ல.

கடைசியாக ஒரு வழக்கு உள்ளது. இங்கே மற்றும். இரண்டு நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன, எனவே இந்த எண்கள் x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

பதில்:

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய வியட்டாவின் தேற்றத்தின் மாற்றத்தை நடைமுறையில் பயன்படுத்தலாம். வழக்கமாக, முழு எண் குணகங்களுடன் கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளின் முழு எண் வேர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் மற்ற சந்தர்ப்பங்களில் இதைச் செய்வது மிகவும் கடினம். இந்த வழக்கில், இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், கழித்தல் குறியுடன் எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், இந்த எண்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமமாக இருந்தால், இந்த எண்கள் இந்த இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள். இதை ஒரு உதாரணத்தின் மூலம் புரிந்து கொள்வோம்.

x 2 -5 x+6=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம். x 1 மற்றும் x 2 எண்கள் இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருப்பதற்கு, இரண்டு சமத்துவங்கள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: x 1 + x 2 =5 மற்றும் x 1 · x 2 =6. அத்தகைய எண்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது மட்டுமே மீதமுள்ளது. இந்த வழக்கில், இதைச் செய்வது மிகவும் எளிது: அத்தகைய எண்கள் 2 மற்றும் 3 ஆகும், ஏனெனில் 2+3=5 மற்றும் 2·3=6. எனவே, இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் 2 மற்றும் 3 ஆகும்.

வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றம், கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரண்டாவது மூலத்தைக் கண்டறிய, வேர்களில் ஒன்று ஏற்கனவே தெரிந்திருந்தால் அல்லது வெளிப்படையாக இருக்கும் போது பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானது. இந்த வழக்கில், இரண்டாவது மூலத்தை எந்த உறவுகளிலிருந்தும் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாடு 512 x 2 -509 x -3=0 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், ஒற்றுமை என்பது சமன்பாட்டின் வேர் என்பதை இங்கே எளிதாகக் காணலாம். எனவே x 1 =1. இரண்டாவது ரூட் x 2 ஐக் காணலாம், எடுத்துக்காட்டாக, x 1 ·x 2 =c/a உறவிலிருந்து. எங்களிடம் 1 x 2 =−3/512 உள்ளது, அதில் இருந்து x 2 =-3/512. இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரு வேர்களையும் இப்படித்தான் தீர்மானித்தோம்: 1 மற்றும் −3/512.

வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே அறிவுறுத்தப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது. மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், வேர்களைக் கண்டறிய, ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பாகுபாடு மூலம் பயன்படுத்தலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உரையாடலின் மற்றொரு நடைமுறை பயன்பாடு x 1 மற்றும் x 2 வேர்களைக் கொண்டு இருபடி சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதாகும். இதைச் செய்ய, வேர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுவது போதுமானது, இது கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் எதிர் அடையாளத்துடன் x இன் குணகத்தையும், இலவச காலத்தை வழங்கும் வேர்களின் பெருக்கத்தையும் வழங்குகிறது.

உதாரணம்.

−11 மற்றும் 23 ஆகிய இருபடி சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தீர்வு.

x 1 =−11 மற்றும் x 2 =23 ஐக் குறிப்போம். இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனைக் கணக்கிடுகிறோம்: x 1 +x 2 =12 மற்றும் x 1 ·x 2 =−253. எனவே, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட எண்கள் -12 இன் இரண்டாவது குணகம் மற்றும் −253 இன் இலவச காலத்துடன் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களாகும். அதாவது, x 2 −12·x−253=0 என்பது தேவையான சமன்பாடு.

பதில்:

x 2 −12·x−253=0 .

இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களின் அறிகுறிகளுடன் தொடர்புடைய சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது வியட்டாவின் தேற்றம் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. வியட்டாவின் தேற்றம் x 2 +p·x+q=0 குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் அறிகுறிகளுடன் எவ்வாறு தொடர்புடையது? இரண்டு தொடர்புடைய அறிக்கைகள் இங்கே:

• கட்டற்ற சொல் q நேர்மறை எண்ணாகவும், இருபடிச் சமன்பாடு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், அவை இரண்டும் நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கும்.
• இலவச சொல் q என்பது எதிர்மறை எண்ணாகவும், இருபடிச் சமன்பாடு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், அவற்றின் அறிகுறிகள் வேறுபட்டவை, வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு வேர் நேர்மறையாகவும் மற்றொன்று எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

இந்த அறிக்கைகள் x 1 · x 2 =q சூத்திரத்தில் இருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன, அத்துடன் நேர்மறை, எதிர்மறை எண்கள் மற்றும் எண்களை வெவ்வேறு அடையாளங்களுடன் பெருக்குவதற்கான விதிகள். அவற்றின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

உதாரணம்.

ஆர் இது நேர்மறை. பாரபட்சமான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு r 2 +8 எந்த உண்மையான r க்கும் நேர்மறையாக இருக்கும், எனவே எந்த உண்மையான r க்கும் D>0. இதன் விளைவாக, அசல் இருபடி சமன்பாடு r அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புகளுக்கு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

வேர்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கும்போது இப்போது கண்டுபிடிப்போம். வேர்களின் அறிகுறிகள் வேறுபட்டால், அவற்றின் தயாரிப்பு எதிர்மறையானது, மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம். எனவே, இலவசச் சொல் r−1 எதிர்மறையாக இருக்கும் r இன் மதிப்புகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். எனவே, நாம் ஆர்வமுள்ள r இன் மதிப்புகளைக் கண்டறிய, நமக்குத் தேவை நேரியல் சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் r−1<0 , откуда находим r<1 .

பதில்:

ஆர் மணிக்கு<1 .

வியட்டா சூத்திரங்கள்

மேலே நாம் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கான வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பற்றிப் பேசினோம் மற்றும் அது உறுதிப்படுத்தும் உறவுகளை பகுப்பாய்வு செய்தோம். ஆனால் இருபடி சமன்பாடுகளின் உண்மையான வேர்கள் மற்றும் குணகங்களை இணைக்கும் சூத்திரங்கள் உள்ளன, ஆனால் கன சமன்பாடுகள், நான்காவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் மற்றும் பொதுவாக, இயற்கணித சமன்பாடுகள்பட்டம் n. அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள் வியட்டாவின் சூத்திரங்கள்.

படிவத்தின் n பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டிற்கு வியட்டா சூத்திரத்தை எழுதுவோம், மேலும் அது n உண்மையான வேர்கள் x 1, x 2, ..., x n (அவற்றில் ஒரே மாதிரியானவை இருக்கலாம்) என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பெறலாம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை நேரியல் காரணிகளாக சிதைப்பது பற்றிய தேற்றம், அத்துடன் சம பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வரையறை அவற்றுடன் தொடர்புடைய அனைத்து குணகங்களின் சமத்துவத்தின் மூலம். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் வடிவத்தின் நேரியல் காரணிகளாக அதன் விரிவாக்கம் சமம். கடைசி தயாரிப்பில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, அதனுடன் தொடர்புடைய குணகங்களை சமன் செய்தால், நாங்கள் வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்.

குறிப்பாக, n=2க்கு இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கான ஏற்கனவே தெரிந்த வியட்டா சூத்திரங்கள் உள்ளன.

கன சமன்பாட்டிற்கு, வியட்டாவின் சூத்திரங்கள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன

வியட்டாவின் சூத்திரங்களின் இடது பக்கத்தில் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.

குறிப்புகள்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியது எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8 ஆம் வகுப்பு. 2 மணி நேரத்தில் பகுதி 1. பொது கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் / ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• இயற்கணிதம்மற்றும் கணித பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம். 10 ஆம் வகுப்பு: பாடநூல். பொது கல்விக்காக நிறுவனங்கள்: அடிப்படை மற்றும் சுயவிவரம். நிலைகள் / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; திருத்தியது A. B. Zhizhchenko. - 3வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2010.- 368 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-022771-1.

இருபடி சமன்பாடுகள் போன்ற பாகுபாடு 8 ஆம் வகுப்பில் அல்ஜீப்ரா பாடத்தில் படிக்கத் தொடங்குகிறது. நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை ஒரு பாகுபாடு மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம். இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் படிக்கும் முறை மற்றும் பாகுபாடான சூத்திரங்கள், உண்மையான கல்வியில் பல விஷயங்களைப் போலவே பள்ளி மாணவர்களுக்கு தோல்வியுற்றது. எனவே, பள்ளி ஆண்டுகள் கடந்து செல்கின்றன, 9-11 ஆம் வகுப்புகளில் கல்வி "உயர் கல்வி" மூலம் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் எல்லோரும் மீண்டும் பார்க்கிறார்கள் - "ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?", "சமன்பாட்டின் வேர்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?", "பாகுபாடு காண்பதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?" மற்றும்...

பாகுபாடு சூத்திரம்

a*x^2+bx+c=0 இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு D என்பது D=b^2–4*a*c க்கு சமம்.
இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் (தீர்வுகள்) பாகுபாட்டின் (D) அடையாளத்தைப் பொறுத்தது:
D>0 - சமன்பாடு 2 வெவ்வேறு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது;
D=0 - சமன்பாட்டில் 1 ரூட் உள்ளது (2 பொருந்தும் வேர்கள்):
டி<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
பாகுபாடு காட்டுபவர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது, எனவே பல இணையதளங்கள் ஆன்லைன் பாரபட்சமான கால்குலேட்டரை வழங்குகின்றன. இதுபோன்ற ஸ்கிரிப்ட்களை நாங்கள் இன்னும் கண்டுபிடிக்கவில்லை, எனவே இதை எப்படி செயல்படுத்துவது என்று யாருக்காவது தெரிந்தால், மின்னஞ்சல் மூலம் எங்களுக்கு எழுதவும் இந்த மின்னஞ்சல் முகவரி ஸ்பேம்போட்களிலிருந்து பாதுகாக்கப்படுகிறது. அதைப் பார்க்க நீங்கள் ஜாவாஸ்கிரிப்ட் இயக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும். .

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான பொதுவான சூத்திரம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காண்கிறோம்
ஒரு சதுர மாறியின் குணகம் ஜோடியாக இருந்தால், பாகுபாடு அல்ல, அதன் நான்காவது பகுதியைக் கணக்கிடுவது நல்லது.
இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகின்றன

வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான இரண்டாவது வழி வியட்டாவின் தேற்றம்.

தேற்றம் இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு மட்டுமல்ல, பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இதை நீங்கள் விக்கிபீடியா அல்லது பிற மின்னணு ஆதாரங்களில் படிக்கலாம். இருப்பினும், எளிமைப்படுத்த, மேலே உள்ள இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் பற்றிய பகுதியைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது, வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் (a=1)
வியட்டாவின் சூத்திரங்களின் சாராம்சம் என்னவென்றால், சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மாறியின் குணகத்திற்கு சமமாக இருக்கும், இது எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் வேர்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம். வியட்டாவின் தேற்றத்தை சூத்திரங்களில் எழுதலாம்.
வியட்டாவின் சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையானது. எளிய காரணிகள் மூலம் இருபடிச் சமன்பாட்டை எழுதுவோம்
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, புத்திசாலித்தனமான அனைத்தும் ஒரே நேரத்தில் எளிமையானவை. வேர்களின் மாடுலஸில் உள்ள வேறுபாடு அல்லது வேர்களின் மாடுலியில் உள்ள வேறுபாடு 1, 2 ஆக இருக்கும் போது வியட்டாவின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி பின்வரும் சமன்பாடுகள் வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.




சமன்பாடு 4 வரை, பகுப்பாய்வு இப்படி இருக்க வேண்டும். சமன்பாட்டின் வேர்களின் பெருக்கல் 6 ஆகும், எனவே வேர்கள் மதிப்புகள் (1, 6) மற்றும் (2, 3) அல்லது எதிர் அடையாளத்துடன் ஜோடிகளாக இருக்கலாம். வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7 (எதிர் குறியுடன் மாறியின் குணகம்). இங்கிருந்து இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் x=2 என்று முடிவு செய்கிறோம்; x=3.
இலவச காலத்தின் வகுப்பாளர்களிடையே சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது எளிதானது, வியட்டா சூத்திரங்களை நிறைவேற்ற அவற்றின் அடையாளத்தை சரிசெய்கிறது. முதலில், இதைச் செய்வது கடினம் என்று தோன்றுகிறது, ஆனால் பல இருபடி சமன்பாடுகளில் நடைமுறையில், இந்த நுட்பம் பாகுபாடுகளைக் கணக்கிடுவதை விடவும், இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை கிளாசிக்கல் வழியில் கண்டுபிடிப்பதை விடவும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியும் பாகுபாடு மற்றும் முறைகளைப் படிக்கும் பள்ளிக் கோட்பாடு நடைமுறை அர்த்தம் இல்லாதது - "பள்ளி மாணவர்களுக்கு ஏன் இருபடி சமன்பாடு தேவை?", "பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் உடல் அர்த்தம் என்ன?"

அதை கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்யலாம் பாகுபாடு காட்டுபவர் என்ன விவரிக்கிறார்?

அல்ஜீப்ரா பாடத்தில் அவர்கள் செயல்பாடுகள், செயல்பாடுகளைப் படிப்பதற்கான திட்டங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரைபடத்தை உருவாக்குதல் ஆகியவற்றைப் படிக்கிறார்கள். அனைத்து செயல்பாடுகளிலும், பரவளையம் ஒரு முக்கிய இடத்தைப் பிடித்துள்ளது, அதன் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதலாம்.
எனவே இருபடிச் சமன்பாட்டின் இயற்பியல் பொருள் பரவளையத்தின் பூஜ்ஜியங்கள் ஆகும், அதாவது, அப்சிஸ்ஸா அச்சு ஆக்ஸுடன் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் வெட்டும் புள்ளிகள்.
கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள பரவளையங்களின் பண்புகளை நினைவில் கொள்ளுமாறு கேட்டுக்கொள்கிறேன். தேர்வுகள், சோதனைகள் அல்லது நுழைவுத் தேர்வுகளை எடுக்க வேண்டிய நேரம் வரும், மேலும் குறிப்புப் பொருட்களுக்கு நீங்கள் நன்றியுள்ளவர்களாக இருப்பீர்கள். ஸ்கொயர்டு மாறியின் அடையாளம், வரைபடத்தில் உள்ள பரவளையத்தின் கிளைகள் மேலே செல்லுமா (a>0),

அல்லது கிளைகளைக் கொண்ட ஒரு பரவளையம் (அ<0) .

பரவளையத்தின் உச்சி வேர்களுக்கு நடுவில் உள்ளது

பாகுபாடு காண்பவரின் உடல் பொருள்:

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட (D>0) அதிகமாக இருந்தால், பரவளையமானது ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது.
பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் (D=0) உச்சியில் உள்ள பரவளையம் x- அச்சைத் தொடும்.
கடைசி வழக்கு, பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும்போது (டி<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

ஏற்கனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை சரிபார்க்க வியட்டாவின் தேற்றம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நீங்கள் வேர்களைக் கண்டறிந்தால், \(p இன் மதிப்புகளைக் கணக்கிட \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். \) மற்றும் \(q\ ). அவை அசல் சமன்பாட்டில் உள்ளதைப் போலவே மாறினால், வேர்கள் சரியாகக் காணப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக, \(x^2+x-56=0\) சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, வேர்களைப் பெறுவோம்: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). தீர்வு செயல்பாட்டில் நாங்கள் தவறு செய்திருந்தால் சரிபார்ப்போம். எங்கள் விஷயத்தில், \(p=1\), மற்றும் \(q=-56\). வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி நம்மிடம் உள்ளது:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

இரண்டு அறிக்கைகளும் ஒன்றிணைந்தன, அதாவது சமன்பாட்டை சரியாக தீர்த்தோம்.

இந்த சோதனையை வாய்வழியாக செய்யலாம். இது 5 வினாடிகள் எடுக்கும் மற்றும் முட்டாள் தவறுகளிலிருந்து உங்களைக் காப்பாற்றும்.

வியட்டாவின் உரையாடல் தேற்றம்

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), \(x_1\) மற்றும் \(x_2\) இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் \ (x^ 2+px+q=0\).

அல்லது எளிமையான முறையில்: \(x^2+px+q=0\) படிவத்தின் சமன்பாடு உங்களிடம் இருந்தால் \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) நீங்கள் அதன் வேர்களைக் காண்பீர்கள்.

இந்த தேற்றத்திற்கு நன்றி, நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை விரைவாகக் கண்டறியலாம், குறிப்பாக இந்த வேர்கள் . இந்த திறன் முக்கியமானது, ஏனெனில் இது நிறைய நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது.

உதாரணம் . \(x^2-5x+6=0\) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு : Vieta இன் தலைகீழ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, வேர்கள் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்வதைக் காண்கிறோம்: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும் \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) எண்ணை எந்த இரண்டாக சிதைக்கலாம்? அன்று \(2\) மற்றும் \(3\), \(6\) மற்றும் \(1\) அல்லது \(-2\) மற்றும் \(-3\), மற்றும் \(-6\) மற்றும் \(- 1\). கணினியின் முதல் சமன்பாடு எந்த ஜோடியை தேர்வு செய்ய வேண்டும் என்பதை உங்களுக்குத் தெரிவிக்கும்: \(x_1+x_2=5\). \(2\) மற்றும் \(3\) ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் \(2+3=5\).
பதில் : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

எடுத்துக்காட்டுகள் . வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உரையாடலைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); ஈ) \(x^2-88x+780=0\).

தீர்வு :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(2\) மற்றும் \(7\), \(-2\) மற்றும் \(-7\), \(-1\) மற்றும் \(-14\), \(1\) மற்றும் \(14\ ) எந்த ஜோடி எண்கள் \(15\) வரை சேர்க்கின்றன? பதில்: \(1\) மற்றும் \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(-2\) மற்றும் \(2\), \(4\) மற்றும் \(-1\), \(1\) மற்றும் \(-4\). எந்த ஜோடி எண்கள் \(-3\) வரை சேர்க்கின்றன? பதில்: \(1\) மற்றும் \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(4\) மற்றும் \(5\), \(-4\) மற்றும் \(-5\), \(2\) மற்றும் \(10\), \(-2\) மற்றும் \(-10\ ), \(-20\) மற்றும் \(-1\), \(20\) மற்றும் \(1\). எந்த ஜோடி எண்கள் \(-9\) வரை சேர்க்கின்றன? பதில்: \(-4\) மற்றும் \(-5\).

ஈ) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(390\) மற்றும் \(2\). அவை \(88\) வரை சேர்க்குமா? இல்லை \(780\) வேறு என்ன பெருக்கிகள் உள்ளன? \(78\) மற்றும் \(10\). அவை \(88\) வரை சேர்க்குமா? ஆம். பதில்: \(78\) மற்றும் \(10\).

சாத்தியமான அனைத்து காரணிகளிலும் கடைசி காலத்தை விரிவாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை (கடைசி உதாரணத்தைப் போல). அவற்றின் தொகை \(-p\) கொடுக்கிறதா என்பதை உடனடியாகச் சரிபார்க்கலாம்.

முக்கியமானது!வியட்டாவின் தேற்றம் மற்றும் உரையாடல் தேற்றம் ஆகியவை மட்டுமே வேலை செய்கின்றன, அதாவது \(x^2\) குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். ஆரம்பத்தில் நமக்குக் குறைக்கப்படாத சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், \(x^2\) க்கு முன்னால் உள்ள குணகத்தால் வகுத்து அதைக் குறைக்கலாம்.

உதாரணமாக, சமன்பாடு \(2x^2-4x-6=0\) கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும், நாங்கள் வியட்டாவின் தேற்றங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்த விரும்புகிறோம். ஆனால் \(x^2\) இன் குணகம் \(2\) க்கு சமமாக இருப்பதால் நம்மால் முடியாது. முழு சமன்பாட்டையும் \(2\) ஆல் வகுப்பதன் மூலம் அதை அகற்றுவோம்.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

தயார். இப்போது நீங்கள் இரண்டு தேற்றங்களையும் பயன்படுத்தலாம்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகளுக்கான பதில்கள்

கேள்வி: வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, நீங்கள் எதையாவது தீர்க்க முடியுமா?
பதில்: துரதிருஷ்டவசமாக இல்லை. சமன்பாட்டில் முழு எண்கள் இல்லை அல்லது சமன்பாட்டில் வேர்கள் இல்லை என்றால், வியட்டாவின் தேற்றம் உதவாது. இந்த வழக்கில், நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும் பாரபட்சமான . அதிர்ஷ்டவசமாக, பள்ளிக் கணிதத்தில் 80% சமன்பாடுகள் முழு எண் தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன.

I. வியட்டாவின் தேற்றம்குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு.

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 +px+q=0எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம்:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1) x 2 -x-30=0.இது குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு ஆகும் ( x 2 +px+q=0), இரண்டாவது குணகம் ப=-1, மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=-30.முதலில், இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருப்பதையும், வேர்கள் (ஏதேனும் இருந்தால்) முழு எண்களில் வெளிப்படுத்தப்படுவதையும் உறுதி செய்வோம். இதைச் செய்ய, பாகுபாடு ஒரு முழு எண்ணின் சரியான சதுரமாக இருந்தால் போதும்.

பாகுபாடு காண்பவரைக் கண்டறிதல் டி=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

இப்போது, ​​வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது. ( -ப), மற்றும் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம், அதாவது. ( கே) பிறகு:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.அவற்றின் தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும் இரண்டு எண்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் -30 , மற்றும் தொகை அலகு. இவை எண்கள் -5 மற்றும் 6 . பதில்: -5; 6.

எடுத்துக்காட்டு 2) x 2 +6x+8=0.இரண்டாவது குணகத்துடன் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு எங்களிடம் உள்ளது ப=6மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=8. முழு எண் வேர்கள் இருப்பதை உறுதி செய்வோம். பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1 டி 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . பாரபட்சமான D 1 என்பது எண்ணின் சரியான சதுரம் 1 , அதாவது இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்கள். வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்போம்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் –р=-6, மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் q=8. இவை எண்கள் -4 மற்றும் -2 .

உண்மையில்: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=கே. பதில்: -4; -2.

எடுத்துக்காட்டு 3) x 2 +2x-4=0. இந்த குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டில், இரண்டாவது குணகம் ப=2, மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=-4. பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1, இரண்டாவது குணகம் இரட்டை எண் என்பதால். டி 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. பாகுபாடு என்பது எண்ணின் சரியான சதுரம் அல்ல, எனவே நாங்கள் செய்கிறோம் முடிவு: இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்கள் அல்ல மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்க முடியாது.இதன் பொருள், இந்த சமன்பாட்டை வழக்கம் போல், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (இந்த விஷயத்தில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி) தீர்க்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4).இருபடி சமன்பாட்டை அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி எழுதவும் x 1 =-7, x 2 =4.

தீர்வு.தேவையான சமன்பாடு படிவத்தில் எழுதப்படும்: x 2 +px+q=0, மற்றும், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → ப=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: x 2 +3x-28=0.

எடுத்துக்காட்டு 5).ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி எழுதவும்:

II. வியட்டாவின் தேற்றம்ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிற்கு கோடாரி 2 +bx+c=0.

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை கழித்தல் பி, வகுத்தல் ஏ, வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் உடன், வகுத்தல் A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.