ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை - அது எதற்குச் சமம்? ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றம் கடைசி இரண்டு பண்புகளிலிருந்து ஒவ்வொரு கோணமும் ஒரு சமபக்கத்தில் உள்ளது

தேற்றம். ஒரு முக்கோணத்தின் உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை இரண்டு செங்கோணங்களுக்குச் சமம்.

சில முக்கோண ABC ஐ எடுத்துக் கொள்வோம் (படம் 208). அதன் உள் கோணங்களை 1, 2 மற்றும் 3 எண்களால் குறிப்போம். அதை நிரூபிப்போம்

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

முக்கோணத்தின் சில உச்சி வழியாக வரைவோம், எடுத்துக்காட்டாக B, AC க்கு இணையான MN நேர்கோடு.

B உச்சியில் மூன்று கோணங்களைப் பெற்றோம்: ∠4, ∠2 மற்றும் ∠5. அவற்றின் கூட்டுத்தொகை நேரான கோணம், எனவே இது 180°க்கு சமம்:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

ஆனால் ∠4 = ∠1 என்பது MN மற்றும் AC மற்றும் secant AB ஆகிய இணைக் கோடுகளுடன் உள்ள உள் குறுக்கு கோணங்களாகும்.

∠5 = ∠3 - இவை MN மற்றும் AC மற்றும் செகண்ட் BCக்கு இணையான கோடுகளுடன் உள் குறுக்கு கோணங்களாகும்.

இதன் பொருள் ∠4 மற்றும் ∠5 ஐ அவற்றின் சமமான ∠1 மற்றும் ∠3 ஆல் மாற்றலாம்.

எனவே, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

2. ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புற கோணத்தின் சொத்து.

உண்மையில், ABC முக்கோணத்தில் (படம். 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, ஆனால் ∠ВСD, இந்த முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம், ∠1 மற்றும் ∠2 க்கு அருகில் இல்லை, 180°க்கு சமம். - ∠3 .

இதனால்:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

எனவே, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணத்தின் பெறப்பட்ட பண்பு, ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணத்தில் முன்னர் நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தின் உள்ளடக்கத்தை தெளிவுபடுத்துகிறது, இது ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணமானது முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு உள் கோணத்தையும் விட அதிகமாக இருப்பதாக மட்டுமே கூறுகிறது; வெளிப்புறக் கோணம், அதனுடன் இல்லாத இரு உள் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்பது இப்போது நிறுவப்பட்டுள்ளது.

3. 30° கோணம் கொண்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் சொத்து.

வலது முக்கோண ACB இல் உள்ள கோணம் B 30°க்கு சமமாக இருக்கட்டும் (படம் 210). பின்னர் அதன் மற்ற கடுமையான கோணம் 60°க்கு சமமாக இருக்கும்.

லெக் ஏசி பாதி ஹைப்போடென்யூஸ் ஏபிக்கு சமம் என்பதை நிரூபிப்போம். லெக் ஏசியை வலது கோணம் சியின் உச்சிக்கு அப்பால் நீட்டி, ஏசி பிரிவுக்கு சமமான செக்மென்ட் சிஎம்ஐ ஒதுக்கி வைப்போம். புள்ளி M ஐ புள்ளி B உடன் இணைப்போம். இதன் விளைவாக வரும் முக்கோணம் ВСМ முக்கோண ACB க்கு சமம். ABM முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு கோணமும் 60°க்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம், எனவே இந்த முக்கோணம் ஒரு சமபக்க முக்கோணமாகும்.

லெக் ஏசி அரை ஏஎம்க்கு சமம், ஏஎம் என்பது ஏபிக்கு சமம் என்பதால், லெக் ஏசி பாதி ஹைப்போடென்யூஸ் ஏபிக்கு சமமாக இருக்கும்.

நேற்றிலிருந்து தொடர்ந்து:

வடிவியல் விசித்திரக் கதையை அடிப்படையாகக் கொண்ட மொசைக் உடன் விளையாடுவோம்:

ஒரு காலத்தில் முக்கோணங்கள் இருந்தன. அவை ஒன்றின் பிரதிகள் மட்டுமே என்று ஒத்திருக்கிறது.
எப்படியோ நேர்கோட்டில் அருகருகே நின்றனர். அவர்கள் அனைவரும் ஒரே உயரத்தில் இருந்ததால் -
பின்னர் அவர்களின் உச்சிகளும் ஆட்சியாளரின் கீழ் ஒரே மட்டத்தில் இருந்தன:

முக்கோணங்கள் கீழே விழுந்து தலையில் நிற்க விரும்பின. அவர்கள் மேல் வரிசையில் ஏறி, கூத்துக்கள் போல மூலையில் நின்றனர்.
நாம் ஏற்கனவே அறிந்திருக்கிறோம் - அவர்கள் தங்கள் உச்சியில் சரியாக ஒரு வரிசையில் நிற்கும்போது,
பின்னர் அவர்களின் உள்ளங்கால்களும் ஒரு ஆட்சியாளரைப் பின்தொடர்கின்றன - ஏனென்றால் ஒருவர் ஒரே உயரமாக இருந்தால், அவர்களும் அதே உயரத்தில் தலைகீழாக இருக்கிறார்கள்!

அவை எல்லாவற்றிலும் ஒரே மாதிரியாக இருந்தன - அதே உயரம் மற்றும் அதே உள்ளங்கால்கள்,
மற்றும் பக்கங்களில் உள்ள ஸ்லைடுகள் - ஒன்று செங்குத்தானது, மற்றொன்று தட்டையானது - நீளம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்
மேலும் அவை ஒரே சாய்வைக் கொண்டுள்ளன. சரி, வெறும் இரட்டையர்கள்! (வெவ்வேறு ஆடைகளில் மட்டுமே, ஒவ்வொன்றும் அதன் சொந்த புதிர் துண்டுகளுடன்).

- முக்கோணங்களுக்கு ஒரே மாதிரியான பக்கங்கள் எங்கே உள்ளன? மூலைகள் ஒரே மாதிரியானவை எங்கே?

முக்கோணங்கள் தலையில் நின்று, அங்கேயே நின்று, சறுக்கி கீழே வரிசையில் படுத்துக் கொள்ள முடிவு செய்தன.
அவர்கள் ஒரு மலையிலிருந்து சறுக்கி கீழே விழுந்தனர்; ஆனால் அவற்றின் ஸ்லைடுகள் ஒன்றே!
எனவே அவை குறைந்த முக்கோணங்களுக்கு இடையில் சரியாக பொருந்துகின்றன, இடைவெளிகள் இல்லாமல், யாரும் யாரையும் ஒதுக்கித் தள்ளவில்லை.

நாங்கள் முக்கோணங்களைச் சுற்றிப் பார்த்தோம் மற்றும் ஒரு சுவாரஸ்யமான அம்சத்தைக் கவனித்தோம்.
அவற்றின் கோணங்கள் எங்கு ஒன்று சேர்ந்தாலும், மூன்று கோணங்களும் நிச்சயமாக சந்திக்கும்:
மிகப்பெரியது "தலை கோணம்", மிகவும் கடுமையான கோணம் மற்றும் மூன்றாவது, நடுத்தர பெரிய கோணம்.
எது என்று உடனடியாகத் தெரிய வேண்டும் என்பதற்காக அவர்கள் வண்ண ரிப்பன்களைக் கூட கட்டினர்.

முக்கோணத்தின் மூன்று கோணங்கள், அவற்றை இணைத்தால் -
ஒரு பெரிய கோணத்தை உருவாக்கவும், ஒரு "திறந்த மூலை" - திறந்த புத்தகத்தின் அட்டை போன்றது,

________________________ ஓ __________________

அது திரும்பிய கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

எந்த முக்கோணமும் பாஸ்போர்ட் போன்றது: மூன்று கோணங்களும் ஒன்றாக விரிந்த கோணத்திற்கு சமம்.
யாரோ உங்கள் கதவைத் தட்டுகிறார்கள்: - தட்டுங்கள், நான் ஒரு முக்கோணம், நான் இரவைக் கழிக்கிறேன்!
நீங்கள் அவரிடம் சொல்லுங்கள் - விரிவாக்கப்பட்ட வடிவத்தில் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காட்டு!
இது உண்மையான முக்கோணமா அல்லது வஞ்சகமா என்பது உடனடியாகத் தெளிவாகிறது.
தோல்வி சரிபார்ப்பு - நூற்றி எண்பது டிகிரி சுற்றி திரும்பி வீட்டிற்கு செல்லுங்கள்!

அவர்கள் "திருப்பு 180°" என்று சொன்னால், பின்னோக்கித் திரும்புவது மற்றும்
எதிர் திசையில் செல்ல.

"ஒரு காலத்தில்" இல்லாமல், மிகவும் பழக்கமான வெளிப்பாடுகளில் அதே விஷயம்:

OX அச்சில் ABC முக்கோணத்தின் இணையான மொழிபெயர்ப்பைச் செய்வோம்
திசையன் வரை ஏபிஅடிப்படை AB இன் நீளத்திற்கு சமம்.
முக்கோணங்களின் சி மற்றும் சி 1 செங்குத்துகள் வழியாக செல்லும் கோடு DF
OX அச்சுக்கு இணையாக, OX அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால்
பிரிவுகள் h மற்றும் h 1 (சமமான முக்கோணங்களின் உயரங்கள்) சமம்.
எனவே, A 2 B 2 C 2 முக்கோணத்தின் அடிப்பகுதி AB க்கு இணையாக உள்ளது
மற்றும் அதற்கு சமமான நீளம் (உச்சி C 1 ஆனது C உடன் ஒப்பிடும்போது AB அளவு மூலம் மாற்றப்படுகிறது).
முக்கோணங்கள் A 2 B 2 C 2 மற்றும் ABC மூன்று பக்கங்களிலும் சமமாக இருக்கும்.
எனவே, நேர்கோணத்தை உருவாக்கும் ∠A 1 ∠B ∠C 2 கோணங்கள் ABC முக்கோணத்தின் கோணங்களுக்குச் சமம்.
=> ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்

இயக்கங்களுடன் - "மொழிபெயர்ப்புகள்", ஆதாரம் என்று அழைக்கப்படுவது குறுகிய மற்றும் தெளிவானது,
ஒரு குழந்தை கூட மொசைக் துண்டுகளை புரிந்து கொள்ள முடியும்.

ஆனால் பாரம்பரிய பள்ளி:

இணையான கோடுகளில் துண்டிக்கப்பட்ட உள் குறுக்கு-பொய் கோணங்களின் சமத்துவத்தின் அடிப்படையில்

மதிப்புமிக்கது, இது ஏன் அப்படி இருக்கிறது என்பதற்கான ஒரு யோசனையை அளிக்கிறது,
ஏன்ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை தலைகீழ் கோணத்திற்கு சமம்?

இல்லையெனில் இணையான கோடுகள் நம் உலகிற்கு நன்கு தெரிந்த பண்புகளை கொண்டிருக்காது.

கோட்பாடுகள் இரண்டு வழிகளிலும் செயல்படுகின்றன. இணையான கோடுகளின் கோட்பாட்டிலிருந்து அது பின்வருமாறு
குறுக்கு வழியில் பொய் மற்றும் செங்குத்து கோணங்களின் சமத்துவம், மற்றும் அவற்றிலிருந்து - ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை.

ஆனால் இதற்கு நேர்மாறானது உண்மைதான்: ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்கள் 180° இருக்கும் வரை, இணையான கோடுகள் இருக்கும்
(ஒரு கோட்டில் படுக்காத ஒரு புள்ளியின் மூலம் ஒருவர் ஒரு தனித்துவமான கோட்டை வரையலாம் || கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றின்).
ஒரு நாள் உலகில் ஒரு முக்கோணம் தோன்றினால், அதன் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை விரிந்த கோணத்திற்கு சமமாக இல்லை -
பின்னர் இணையானவை இணையாக இருப்பதை நிறுத்திவிடும், முழு உலகமும் வளைந்து வளைந்திருக்கும்.

முக்கோண வடிவங்களைக் கொண்ட கோடுகள் ஒன்றன் மேல் ஒன்றாக வைக்கப்பட்டால் -
ஓடுகள் கொண்ட தரையைப் போல, முழுப் பகுதியையும் திரும்பத் திரும்பக் கொண்டு நீங்கள் மறைக்கலாம்:

அத்தகைய கட்டத்தில் நீங்கள் வெவ்வேறு வடிவங்களைக் கண்டுபிடிக்கலாம் - அறுகோணங்கள், ரோம்பஸ்கள்,
நட்சத்திர பலகோணங்கள் மற்றும் பலவிதமான parquets கிடைக்கும்

பார்க்வெட்டுடன் ஒரு விமானத்தை டைல் செய்வது ஒரு பொழுதுபோக்கு விளையாட்டு மட்டுமல்ல, தொடர்புடைய கணித சிக்கலும் கூட:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

ஒவ்வொரு நாற்கரமும் ஒரு செவ்வகம், சதுரம், ரோம்பஸ் போன்றவை.
இரண்டு முக்கோணங்களால் ஆனது
முறையே, ஒரு நாற்கரத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை: 180° + 180° = 360°

ஒரே மாதிரியான ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்கள் வெவ்வேறு வழிகளில் சதுரங்களாக மடிக்கப்படுகின்றன.
2 பகுதிகளைக் கொண்ட ஒரு சிறிய சதுரம். சராசரி 4. மற்றும் 8 இல் மிகப்பெரியது.
6 முக்கோணங்களைக் கொண்ட வரைபடத்தில் எத்தனை உருவங்கள் உள்ளன?

பிரிவுகள்: கணிதம்

விளக்கக்காட்சி . (ஸ்லைடு 1)

பாடம் வகை:புதிய பொருள் கற்றல் பாடம்.

பாடத்தின் நோக்கங்கள்:

• கல்வி:
  • ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றத்தைக் கவனியுங்கள்,
  • சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் தேற்றத்தின் பயன்பாட்டைக் காட்டு.
• கல்வி:
  • அறிவைப் பற்றிய மாணவர்களின் நேர்மறையான அணுகுமுறையை வளர்ப்பது,
  • பாடங்கள் மூலம் மாணவர்களுக்கு தன்னம்பிக்கையை ஏற்படுத்த வேண்டும்.
• வளர்ச்சிக்குரிய:
  • பகுப்பாய்வு சிந்தனையின் வளர்ச்சி,
  • "கற்றுக்கொள்வதற்கான திறன்களின்" வளர்ச்சி: கல்விச் செயல்பாட்டில் அறிவு, திறன்கள் மற்றும் திறன்களைப் பயன்படுத்துதல்,
  • தர்க்கரீதியான சிந்தனையின் வளர்ச்சி, ஒருவரின் எண்ணங்களை தெளிவாக வடிவமைக்கும் திறன்.

உபகரணங்கள்:ஊடாடும் ஒயிட்போர்டு, விளக்கக்காட்சி, அட்டைகள்.

வகுப்புகளின் போது

I. நிறுவன தருணம்

- இன்று வகுப்பில் நாம் வலது, சமபக்க முக்கோணங்கள் மற்றும் சமபக்க முக்கோணங்களின் வரையறைகளை நினைவில் கொள்வோம். முக்கோணங்களின் கோணங்களின் பண்புகளை மீண்டும் செய்வோம். உள் ஒரு பக்க மற்றும் உள் குறுக்கு-பொய் கோணங்களின் பண்புகளைப் பயன்படுத்தி, ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை பற்றிய தேற்றத்தை நிரூபிப்போம் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும்போது அதை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம்.

II. வாய்வழி(ஸ்லைடு 2)

1) படங்களில் செவ்வக, சமபக்க முக்கோணங்கள், சமபக்க முக்கோணங்களைக் கண்டறியவும்.
2) இந்த முக்கோணங்களை வரையறுக்கவும்.
3) ஒரு சமபக்க மற்றும் சமபக்க முக்கோணத்தின் கோணங்களின் பண்புகளை உருவாக்கவும்.

4) படத்தில் KE II NH. (ஸ்லைடு 3)

- இந்த வரிகளுக்கு செகண்டுகளைக் குறிப்பிடவும்
- உட்புற ஒருபக்க கோணங்கள், குறுக்கு வழியில் அமைந்துள்ள உள் கோணங்கள், அவற்றின் பண்புகளை பெயரிடவும்

III. புதிய பொருள் விளக்கம்

தேற்றம்.ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180° ஆகும்

தேற்றத்தின் படி, தோழர்களே ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறார்கள், நிபந்தனை மற்றும் முடிவை எழுதுகிறார்கள். கேள்விகளுக்கு பதிலளிப்பதன் மூலம், அவர்கள் சுயாதீனமாக தேற்றத்தை நிரூபிக்கிறார்கள்.

கொடுக்கப்பட்டது: நிரூபிக்க:

ஆதாரம்:

1. முக்கோணத்தின் உச்சி B மூலம் நாம் ஒரு நேர்கோடு BD II AC ஐ வரைகிறோம்.
2. இணை கோடுகளுக்கு செகண்டுகளைக் குறிப்பிடவும்.
3. CBD மற்றும் ACB என்ற கோணங்களைப் பற்றி என்ன சொல்ல முடியும்? (குறிப்பு செய்யுங்கள்)
4. CAB மற்றும் ABD கோணங்களைப் பற்றி நமக்கு என்ன தெரியும்? (குறிப்பு செய்யுங்கள்)
5. கோண CBD ஐ கோண ACB உடன் மாற்றவும்
6. ஒரு முடிவை வரையவும்.

IV. வாக்கியத்தை முடிக்கவும்.(ஸ்லைடு 4)

1. ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை...
2. ஒரு முக்கோணத்தில், ஒரு கோணம் சமம், மற்றொன்று, முக்கோணத்தின் மூன்றாவது கோணம் சமம்...
3. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை ...
4. ஐசோசெல்ஸ் வலது முக்கோணத்தின் கோணங்கள் சமம்...
5. சமபக்க முக்கோணத்தின் கோணங்கள் சமம்...
6. ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் பக்கவாட்டு பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் 1000 ஆக இருந்தால், அடிவாரத்தில் உள்ள கோணங்கள் சமமாக இருக்கும்...

V. ஒரு சிறிய வரலாறு.(ஸ்லைடுகள் 5-7)

முக்கோணம் என்பது மூன்று பக்கங்களைக் கொண்ட (மூன்று கோணங்கள்) பலகோணம் ஆகும். பெரும்பாலும், பக்கங்கள் எதிரெதிர் செங்குத்துகளைக் குறிக்கும் பெரிய எழுத்துக்களுடன் தொடர்புடைய சிறிய எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன. இந்த கட்டுரையில் இந்த வடிவியல் உருவங்களின் வகைகளை நாம் அறிந்து கொள்வோம், ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன என்பதை தீர்மானிக்கும் தேற்றம்.

கோண அளவு மூலம் வகைகள்

மூன்று செங்குத்துகளைக் கொண்ட பின்வரும் வகை பலகோணங்கள் வேறுபடுகின்றன:

• கடுமையான கோணம், இதில் அனைத்து மூலைகளும் கூர்மையானவை;
• செவ்வகமானது, ஒரு வலது கோணம் கொண்டது, அதன் ஜெனரேட்டர்கள் கால்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் வலது கோணத்திற்கு எதிரே அமைந்துள்ள பக்கமானது ஹைப்போடென்யூஸ் என்று அழைக்கப்படுகிறது;
• ஒரு போது மழுங்கிய;
• ஐசோசெல்ஸ், இதில் இரண்டு பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும், மேலும் அவை பக்கவாட்டு என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் மூன்றாவது முக்கோணத்தின் அடிப்படை;
• சமபக்கமானது, மூன்று சம பக்கங்களையும் கொண்டது.

பண்புகள்

ஒவ்வொரு வகை முக்கோணத்தின் சிறப்பியல்பு அடிப்படை பண்புகள் உள்ளன:

• பெரிய பக்கத்திற்கு எதிரே எப்போதும் ஒரு பெரிய கோணம் இருக்கும், மற்றும் நேர்மாறாகவும் இருக்கும்;
• எதிர் சம பக்கங்களில் சம கோணங்கள் உள்ளன, மற்றும் நேர்மாறாகவும்;
• எந்த முக்கோணமும் இரண்டு கடுமையான கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது;
• வெளிப்புறக் கோணம் அதனுடன் இல்லாத உள் கோணத்தை விட பெரியது;
• எந்த இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 டிகிரிக்கு குறைவாக இருக்கும்;
• வெளிப்புற கோணம் அதனுடன் வெட்டாத மற்ற இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்.

முக்கோணக் கூட்டுத் தேற்றம்

யூக்ளிடியன் விமானத்தில் அமைந்துள்ள கொடுக்கப்பட்ட வடிவியல் உருவத்தின் அனைத்து கோணங்களையும் நீங்கள் கூட்டினால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரியாக இருக்கும் என்று தேற்றம் கூறுகிறது. இந்த தேற்றத்தை நிரூபிக்க முயற்சிப்போம்.

KMN செங்குத்துகளைக் கொண்ட ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தைப் பெறுவோம்.

எம் உச்சியின் மூலம் நாம் KN ஐ வரைகிறோம் (இந்த கோடு யூக்ளிடியன் நேர்கோடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது). K மற்றும் A புள்ளிகள் MH இன் வெவ்வேறு பக்கங்களில் அமைந்திருக்கும் வகையில் புள்ளி A ஐ அதில் குறிக்கிறோம். AMN மற்றும் KNM ஆகிய சம கோணங்களைப் பெறுகிறோம், அவை உள் கோணங்களைப் போலவே, குறுக்கு வழியில் அமைந்து, இணையான KH மற்றும் MA என்ற நேர் கோடுகளுடன் சேர்ந்து செகண்ட் MN ஆல் உருவாகின்றன. இதிலிருந்து M மற்றும் H செங்குத்துகளில் அமைந்துள்ள முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை KMA கோணத்தின் அளவிற்கு சமமாக இருக்கும். மூன்று கோணங்களும் KMA மற்றும் MKN ஆகிய கோணங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமான தொகையை உருவாக்குகின்றன. இந்த கோணங்கள் KN மற்றும் MA க்கு இணையான நேர்கோடுகளுடன் ஒப்பிடும்போது உள் ஒருபக்கமாக இருப்பதால், அவற்றின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரி ஆகும். தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

விளைவு

மேலே நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றத்தில் இருந்து பின்வரும் தொடர்ச்சி பின்வருமாறு: எந்த முக்கோணமும் இரண்டு கடுமையான கோணங்களைக் கொண்டுள்ளது. இதை நிரூபிக்க, இந்த வடிவியல் உருவத்திற்கு ஒரே ஒரு தீவிர கோணம் மட்டுமே உள்ளது என்று வைத்துக்கொள்வோம். மூலைகள் எதுவும் கடுமையானதாக இல்லை என்றும் கருதலாம். இந்த வழக்கில், குறைந்தபட்சம் இரண்டு கோணங்கள் இருக்க வேண்டும், அதன் அளவு 90 டிகிரிக்கு சமமாகவோ அல்லது அதிகமாகவோ இருக்கும். ஆனால் பின்னர் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரிக்கு மேல் இருக்கும். ஆனால் இது நடக்காது, ஏனெனில் தேற்றத்தின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°க்கு சமம் - அதிகமாகவும் இல்லை குறைவாகவும் இல்லை. இதைத்தான் நிரூபிக்க வேண்டியிருந்தது.

வெளிப்புற கோணங்களின் சொத்து

ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன? இந்த கேள்விக்கான பதிலை இரண்டு முறைகளில் ஒன்றைப் பயன்படுத்தி பெறலாம். முதலாவதாக, ஒவ்வொரு உச்சியிலும் ஒன்று எடுக்கப்பட்ட கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்பது அவசியம், அதாவது மூன்று கோணங்கள். இரண்டாவது ஆறு உச்சி கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. முதலில், முதல் விருப்பத்தைப் பார்ப்போம். எனவே, முக்கோணத்தில் ஆறு வெளிப்புற கோணங்கள் உள்ளன - ஒவ்வொரு உச்சியிலும் இரண்டு.

ஒவ்வொரு ஜோடிக்கும் சம கோணங்கள் உள்ளன, ஏனெனில் அவை செங்குத்தாக உள்ளன:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

கூடுதலாக, ஒரு முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணம் அதனுடன் குறுக்கிடாத இரண்டு உட்புறங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம் என்று அறியப்படுகிறது. எனவே,

∟1 = ∟A + ∟C, ∟2 = ∟A + ∟B, ∟3 = ∟B + ∟C.

இதிலிருந்து ஒவ்வொரு உச்சியிலும் ஒன்று எடுக்கப்பட்ட வெளிப்புற கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும்:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரிக்கு சமம் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, ∟A + ∟B + ∟C = 180° என்று கூறலாம். இதன் பொருள் ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180° = 360°. இரண்டாவது விருப்பம் பயன்படுத்தப்பட்டால், ஆறு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை, அதன்படி, இரண்டு மடங்கு பெரியதாக இருக்கும். அதாவது, முக்கோணத்தின் வெளிப்புறக் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

வலது முக்கோணம்

செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன? இந்த கேள்விக்கான பதில், மீண்டும், ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்கள் 180 டிகிரி வரை சேர்க்கும் தேற்றத்திலிருந்து பின்வருமாறு கூறுகிறது. எங்கள் அறிக்கை (சொத்து) இது போல் தெரிகிறது: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், கடுமையான கோணங்கள் 90 டிகிரி வரை சேர்க்கின்றன. அதன் உண்மைத்தன்மையை நிரூபிப்போம்.

நமக்கு ஒரு முக்கோண KMN வழங்குவோம், அதில் ∟Н = 90°. ∟К + ∟М = 90° என்பதை நிரூபிக்க வேண்டியது அவசியம்.

எனவே, கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றத்தின்படி ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. எங்கள் நிலை ∟H = 90° என்று கூறுகிறது. எனவே அது மாறிவிடும், ∟К + ∟М + 90° = 180°. அதாவது, ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. இதைத்தான் நாம் நிரூபிக்க வேண்டியிருந்தது.

மேலே விவரிக்கப்பட்ட செங்கோண முக்கோணத்தின் பண்புகளுக்கு கூடுதலாக, நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் சேர்க்கலாம்:

• கால்களுக்கு எதிரே இருக்கும் கோணங்கள் கடுமையானவை;
• ஹைப்போடென்யூஸ் எந்த கால்களையும் விட முக்கோணமாக பெரியது;
• கால்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைப்போடென்ஸை விட அதிகமாக உள்ளது;
• முக்கோணத்தின் கால், 30 டிகிரி கோணத்திற்கு எதிரே உள்ளது, இது ஹைபோடென்யூஸின் பாதி அளவு, அதாவது அதன் பாதிக்கு சமம்.

இந்த வடிவியல் உருவத்தின் மற்றொரு சொத்தாக, நாம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தை முன்னிலைப்படுத்தலாம். 90 டிகிரி (செவ்வக) கோணம் கொண்ட ஒரு முக்கோணத்தில், கால்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஹைபோடென்யூஸின் சதுரத்திற்கு சமம் என்று அவர் கூறுகிறார்.

ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை

மூன்று செங்குத்துகள் மற்றும் இரண்டு சம பக்கங்களைக் கொண்ட சமபக்க பலகோணம் அழைக்கப்படுகிறது என்று முன்பு சொன்னோம். இந்த வடிவியல் உருவத்தின் இந்த சொத்து அறியப்படுகிறது: அதன் அடிவாரத்தில் உள்ள கோணங்கள் சமமாக இருக்கும். நிரூபிப்போம்.

KMN முக்கோணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம், இது சமபக்கமாக உள்ளது, KN அதன் அடிப்படையாகும்.

∟К = ∟Н என்பதை நாம் நிரூபிக்க வேண்டும். எனவே, எம்.ஏ என்பது நமது முக்கோணமான KMN இன் இருசமப்பிரிவு என்று வைத்துக் கொள்வோம். முக்கோணம் MKA, சமத்துவத்தின் முதல் அடையாளத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, முக்கோண MNA க்கு சமம். அதாவது, நிபந்தனையின்படி, KM = NM, MA என்பது பொதுவான பக்கமாகும், ∟1 = ∟2, ஏனெனில் MA ஒரு இருசமவெட்டி. இந்த இரண்டு முக்கோணங்களும் சமமாக இருப்பதைப் பயன்படுத்தி, ∟К = ∟Н என்று குறிப்பிடலாம். இதன் பொருள் தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஆனால் ஒரு முக்கோணத்தின் (ஐசோசெல்ஸ்) கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை என்ன என்பதில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். இது சம்பந்தமாக அதன் சொந்த தனித்தன்மைகள் இல்லாததால், முன்னர் விவாதிக்கப்பட்ட தேற்றத்தை உருவாக்குவோம். அதாவது ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, அல்லது 2 x ∟К + ∟М = 180° (∟К = ∟Н என்பதால்) என்று சொல்லலாம். ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையின் தேற்றம் முன்பே நிரூபிக்கப்பட்டதால், இந்த சொத்தை நாங்கள் நிரூபிக்க மாட்டோம்.

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களைப் பற்றி விவாதிக்கப்பட்ட பண்புகளுக்கு கூடுதலாக, பின்வரும் முக்கியமான அறிக்கைகளும் பொருந்தும்:

• அது அடித்தளத்தின் மீது தாழ்த்தப்பட்டது, அதே சமயம் இடைநிலை, சம பக்கங்களுக்கு இடையில் இருக்கும் கோணத்தின் இருமண்டலம், அதே போல் அதன் அடித்தளம்;
• அத்தகைய வடிவியல் உருவத்தின் பக்கவாட்டு பக்கங்களுக்கு வரையப்பட்ட இடைநிலைகள் (இருப்பிரிவுகள், உயரங்கள்) சமமாக இருக்கும்.

சமபக்க முக்கோணம்

இது வழக்கமானது என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, இது அனைத்து பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும் முக்கோணம். எனவே கோணங்களும் சமமாக இருக்கும். ஒவ்வொன்றும் 60 டிகிரி. இந்த சொத்தை நிரூபிப்போம்.

நம்மிடம் ஒரு முக்கோணம் KMN உள்ளது என்று வைத்துக் கொள்வோம். KM = NM = KN என்று நமக்குத் தெரியும். இதன் பொருள், ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணத்தில் அடிவாரத்தில் அமைந்துள்ள கோணங்களின் பண்புப்படி, ∟К = ∟М = ∟Н. தேற்றத்தின்படி, ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை ∟К + ∟М + ∟Н = 180°, பின்னர் 3 x ∟К = 180° அல்லது ∟К = 60°, ∟М = 60°, ∟ Н = 60°. இவ்வாறு, அறிக்கை நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

தேற்றத்தின் அடிப்படையில் மேற்கூறிய ஆதாரத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், வேறு எந்த முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைப் போலவே கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரி ஆகும். இந்த தேற்றத்தை மீண்டும் நிரூபிக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.

ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தின் சிறப்பியல்பு போன்ற பண்புகளும் உள்ளன:

• அத்தகைய வடிவியல் உருவத்தில் சராசரி, இருசமவெட்டி, உயரம் ஒத்துப்போகின்றன, அவற்றின் நீளம் (a x √3) என கணக்கிடப்படுகிறது: 2;
• கொடுக்கப்பட்ட பலகோணத்தைச் சுற்றி ஒரு வட்டத்தை விவரித்தால், அதன் ஆரம் (a x √3) க்கு சமமாக இருக்கும்: 3;
• நீங்கள் ஒரு சமபக்க முக்கோணத்தில் ஒரு வட்டத்தை பொறித்தால், அதன் ஆரம் (a x √3): 6;
• இந்த வடிவியல் உருவத்தின் பரப்பளவு சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது: (a2 x √3) : 4.

மழுங்கிய முக்கோணம்

வரையறையின்படி, அதன் கோணங்களில் ஒன்று 90 முதல் 180 டிகிரி வரை இருக்கும். ஆனால் இந்த வடிவியல் உருவத்தின் மற்ற இரண்டு கோணங்களும் கடுமையானதாக இருப்பதால், அவை 90 டிகிரிக்கு மேல் இல்லை என்று நாம் முடிவு செய்யலாம். எனவே, முக்கோணக் கோணத் தொகை தேற்றம் ஒரு மழுங்கிய முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் தொகையைக் கணக்கிடுவதில் வேலை செய்கிறது. மேலே குறிப்பிடப்பட்ட தேற்றத்தின் அடிப்படையில், ஒரு மழுங்கிய முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரிக்கு சமம் என்று நாம் பாதுகாப்பாக சொல்ல முடியும். மீண்டும், இந்த தேற்றம் மீண்டும் நிரூபிக்கப்பட வேண்டியதில்லை.

ஆராய்ச்சி

தலைப்பில்:

"ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180˚க்கு சமமாகுமா?"

நிறைவு:

7பி வகுப்பு மாணவர்

MBOU இன்சென்ஸ்காயா மேல்நிலைப் பள்ளி எண். 2

Inza, Ulyanovsk பகுதி

மாலிஷேவ் இயன்

அறிவியல் ஆலோசகர்:

போல்ஷகோவா லியுட்மிலா யூரிவ்னா

பொருளடக்கம்

அறிமுகம்……………………………………………………………….3 பக்.

முக்கிய பகுதி …………………………………………………… 4

தகவல் தேட

பரிசோதனைகள்

முடிவுரை

முடிவு ………………………………………………………………..12

அறிமுகம்

இந்த ஆண்டு நான் ஒரு புதிய பாடத்தைப் படிக்க ஆரம்பித்தேன் - வடிவியல். இந்த அறிவியல் வடிவியல் வடிவங்களின் பண்புகளை ஆய்வு செய்கிறது. ஒரு பாடத்தில் ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை பற்றிய தேற்றத்தைப் படித்தோம். ஆதாரத்தின் உதவியுடன் அவர்கள் முடிவு செய்தனர்: ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180˚.

கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180˚க்கு சமமாக இல்லாத முக்கோணங்கள் ஏதேனும் உள்ளதா என்று நான் ஆச்சரியப்பட்டேன்.

பிறகு நானே அமைத்துக்கொண்டேன்இலக்கு :

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போது 180˚ க்கு சமமாக இல்லை என்பதைக் கண்டறியவும்?

நான் பின்வருவனவற்றை நிறுவினேன்பணிகள் :

வடிவவியலின் வரலாற்றைப் பற்றி அறிந்து கொள்ளுங்கள்;

யூக்லிட், ரோமன், லோபசெவ்ஸ்கியின் வடிவவியலைப் பற்றி அறிந்து கொள்ளுங்கள்;

ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180˚க்கு சமமாக இருக்காது என்பதை சோதனை முறையில் நிரூபிக்கவும்.

முக்கிய பாகம்

மனித நடைமுறை நடவடிக்கைகளின் தேவைகள் தொடர்பாக வடிவியல் எழுந்தது மற்றும் வளர்ந்தது. மிகவும் பழமையான கட்டமைப்புகளைக் கூட கட்டும் போது, ​​கட்டுமானத்திற்காக எவ்வளவு பொருள் செலவழிக்கப்படும் என்பதைக் கணக்கிடுவது அவசியம், விண்வெளியில் உள்ள புள்ளிகள் மற்றும் விமானங்களுக்கு இடையிலான கோணங்களுக்கு இடையிலான தூரங்களைக் கணக்கிடுங்கள். வர்த்தகம் மற்றும் வழிசெலுத்தலின் வளர்ச்சிக்கு நேரம் மற்றும் இடத்தில் செல்லக்கூடிய திறன் தேவைப்பட்டது.

பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானிகள் வடிவவியலின் வளர்ச்சிக்கு நிறைய செய்தார்கள். வடிவியல் உண்மைகளின் முதல் சான்று பெயருடன் தொடர்புடையதுமிலேட்டஸின் தேல்ஸ்.

மிகவும் பிரபலமான பள்ளிகளில் ஒன்று பித்தகோரியன் பள்ளி, அதன் நிறுவனர், பல கோட்பாடுகளின் சான்றுகளின் ஆசிரியர் பெயரிடப்பட்டது,பிதாகரஸ்.

பள்ளியில் படிக்கும் வடிவவியலுக்கு யூக்ளிடியன் என்று பெயரிடப்பட்டதுயூக்ளிட் - பண்டைய கிரேக்க விஞ்ஞானி.

யூக்லிட் அலெக்ஸாண்டிரியாவில் வாழ்ந்தார். அவர் "கொள்கைகள்" என்ற புகழ்பெற்ற புத்தகத்தை எழுதினார். நிலைத்தன்மையும் கடுமையும் இந்த வேலையை உலகெங்கிலும் உள்ள பல நாடுகளில் இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கும் மேலாக வடிவியல் அறிவின் ஆதாரமாக ஆக்கியுள்ளன. சமீப காலம் வரை, கிட்டத்தட்ட அனைத்து பள்ளி பாடப்புத்தகங்களும் பல வழிகளில் கூறுகளைப் போலவே இருந்தன.

ஆனால் 19 ஆம் நூற்றாண்டில் யூக்ளிட்டின் கோட்பாடுகள் உலகளாவியவை அல்ல என்றும் எல்லா சூழ்நிலைகளிலும் உண்மை இல்லை என்றும் காட்டப்பட்டது. யூக்ளிட்டின் கோட்பாடுகள் உண்மையில்லாத வடிவியல் அமைப்பின் முக்கிய கண்டுபிடிப்புகள் ஜார்ஜ் ரீமான் மற்றும் நிகோலாய் லோபசெவ்ஸ்கி ஆகியோரால் செய்யப்பட்டன. அவர்கள் யூக்ளிடியன் அல்லாத வடிவவியலின் படைப்பாளிகள் என்று பேசப்படுகிறார்கள்.

எனவே, யூக்லிட், ரீமான் மற்றும் லோபசெவ்ஸ்கியின் போதனைகளின் அடிப்படையில், கேள்விக்கு பதிலளிக்க முயற்சிப்போம்: ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180˚ க்கு சமம்?

பரிசோதனைகள்

வடிவவியலின் பார்வையில் முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள்யூக்ளிட்.

இதைச் செய்ய, ஒரு முக்கோணத்தை எடுத்துக் கொள்வோம்.

அதன் மூலைகளை சிவப்பு, பச்சை மற்றும் நீல வண்ணங்களால் வரைவோம்.

ஒரு நேர்கோடு வரைவோம். இது ஒரு வளர்ந்த கோணம், இது 180˚க்கு சமம்.

எங்கள் முக்கோணத்தின் மூலைகளை துண்டித்து, அவற்றை திறக்கப்படாத மூலையில் இணைப்போம். மூன்று கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180˚ என்பதைக் காண்கிறோம்.

வடிவவியலின் வளர்ச்சியின் நிலைகளில் ஒன்று நீள்வட்ட வடிவியல் ஆகும்ரீமான். இந்த நீள்வட்ட வடிவவியலின் ஒரு சிறப்பு வழக்கு ஒரு கோளத்தில் வடிவியல் ஆகும். ரீமான் வடிவவியலில், ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180˚ ஐ விட அதிகமாக உள்ளது.

எனவே இது ஒரு கோளம்.

இந்த கோளத்தின் உள்ளே, மெரிடியன்கள் மற்றும் பூமத்திய ரேகையால் ஒரு முக்கோணம் உருவாகிறது. இந்த முக்கோணத்தை எடுத்து அதன் மூலைகளை வரைவோம்.

அவற்றை துண்டித்து ஒரு நேர் கோட்டில் இணைப்போம். மூன்று கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180˚ ஐ விட அதிகமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

வடிவவியலில்லோபசெவ்ஸ்கி ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180˚ க்கும் குறைவானது.

இந்த வடிவியல் ஒரு ஹைபர்போலிக் பரபோலாய்டின் மேற்பரப்பில் கருதப்படுகிறது (இது சேணத்தை ஒத்த ஒரு குழிவான மேற்பரப்பு).

பரபோலாய்டுகளின் எடுத்துக்காட்டுகளை கட்டிடக்கலையில் காணலாம்.

மேலும் பிரிங்கிள் சில்லுகள் கூட ஒரு பரபோலாய்டுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

ஹைபர்போலிக் பாராபோலாய்டின் மாதிரியில் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையைச் சரிபார்ப்போம்.

மேற்பரப்பில் ஒரு முக்கோணம் உருவாகிறது.

இந்த முக்கோணத்தை எடுத்து, அதன் மூலைகளுக்கு மேல் வண்ணம் தீட்டுவோம், அவற்றை துண்டித்து ஒரு நேர் கோட்டில் பயன்படுத்துவோம். இப்போது மூன்று கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180˚ க்கும் குறைவாக இருப்பதைக் காண்கிறோம்.

முடிவுரை

எனவே, ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180˚க்கு சமமாக இருக்காது என்பதை நிரூபித்துள்ளோம்.

இது அதிகமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கலாம்.

முடிவுரை

எனது பணியின் முடிவில், இந்த தலைப்பில் பணியாற்றுவது சுவாரஸ்யமானது என்று நான் கூற விரும்புகிறேன். நான் எனக்காக நிறைய புதிய விஷயங்களைக் கற்றுக்கொண்டேன், எதிர்காலத்தில், இந்த சுவாரஸ்யமான வடிவவியலைப் படிப்பதில் மகிழ்ச்சி அடைவேன்.

தகவல் ஆதாரங்கள்

en.wikipedia.org

e-osnova.ru

vestishki.ru

yun.moluch.ru