தேற்றம் என்பது வியட்டா ஃபார்முலா தேற்றத்தின் நேர்மாறாகும். வியட்டாவின் தேற்றத்தின் சூத்திரம் மற்றும் தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

இருபடி சமன்பாடுகள் போன்ற பாகுபாடு 8 ஆம் வகுப்பில் அல்ஜீப்ரா பாடத்தில் படிக்கத் தொடங்குகிறது. நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை ஒரு பாகுபாடு மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம். இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் படிக்கும் முறை மற்றும் பாகுபாடான சூத்திரங்கள், உண்மையான கல்வியில் பல விஷயங்களைப் போலவே பள்ளி மாணவர்களுக்கு தோல்வியுற்றது. எனவே, பள்ளி ஆண்டுகள் கடந்து செல்கின்றன, 9-11 ஆம் வகுப்புகளில் கல்வி "உயர் கல்வி" மூலம் மாற்றப்படுகிறது, மேலும் எல்லோரும் மீண்டும் பார்க்கிறார்கள் - "ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்ப்பது?", "சமன்பாட்டின் வேர்களை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?", "பாகுபாடு காண்பதை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?" மற்றும்...

பாகுபாடு சூத்திரம்

a*x^2+bx+c=0 இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு D என்பது D=b^2–4*a*c க்கு சமம்.
இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் (தீர்வுகள்) பாகுபாட்டின் (D) அடையாளத்தைப் பொறுத்தது:
D>0 - சமன்பாடு 2 வெவ்வேறு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது;
D=0 - சமன்பாட்டில் 1 ரூட் உள்ளது (2 பொருந்தும் வேர்கள்):
டி<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
பாகுபாடு காட்டுபவர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரம் மிகவும் எளிமையானது, எனவே பல இணையதளங்கள் ஆன்லைன் பாரபட்சமான கால்குலேட்டரை வழங்குகின்றன. இதுபோன்ற ஸ்கிரிப்ட்களை நாங்கள் இன்னும் கண்டுபிடிக்கவில்லை, எனவே இதை எப்படி செயல்படுத்துவது என்று யாருக்காவது தெரிந்தால், மின்னஞ்சல் மூலம் எங்களுக்கு எழுதவும் இந்த மின்னஞ்சல் முகவரி ஸ்பேம்போட்களிலிருந்து பாதுகாக்கப்படுகிறது. அதைப் பார்க்க நீங்கள் ஜாவாஸ்கிரிப்ட் இயக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும். .

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிவதற்கான பொதுவான சூத்திரம்:

சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் காண்கிறோம்
ஒரு சதுர மாறியின் குணகம் ஜோடியாக இருந்தால், பாகுபாடு அல்ல, அதன் நான்காவது பகுதியைக் கணக்கிடுவது நல்லது.
இதுபோன்ற சந்தர்ப்பங்களில், சமன்பாட்டின் வேர்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியப்படுகின்றன

வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான இரண்டாவது வழி வியட்டாவின் தேற்றம்.

தேற்றம் இருபடி சமன்பாடுகளுக்கு மட்டுமல்ல, பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. இதை நீங்கள் விக்கிபீடியா அல்லது பிற மின்னணு ஆதாரங்களில் படிக்கலாம். இருப்பினும், எளிமைப்படுத்த, மேலே உள்ள இருபடிச் சமன்பாடுகளைப் பற்றிய பகுதியைக் கருத்தில் கொள்வோம், அதாவது, வடிவத்தின் சமன்பாடுகள் (a=1)
வியட்டாவின் சூத்திரங்களின் சாராம்சம் என்னவென்றால், சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மாறியின் குணகத்திற்கு சமமாக இருக்கும், இது எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்படுகிறது. சமன்பாட்டின் வேர்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம். வியட்டாவின் தேற்றத்தை சூத்திரங்களில் எழுதலாம்.
வியட்டாவின் சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் மிகவும் எளிமையானது. எளிய காரணிகள் மூலம் இருபடிச் சமன்பாட்டை எழுதுவோம்
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, தனித்துவமான அனைத்தும் ஒரே நேரத்தில் எளிமையானவை. வேர்களின் மாடுலஸில் உள்ள வேறுபாடு அல்லது வேர்களின் மாடுலியில் உள்ள வேறுபாடு 1, 2 ஆக இருக்கும் போது வியட்டாவின் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது பயனுள்ளதாக இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக, வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி பின்வரும் சமன்பாடுகள் வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.




சமன்பாடு 4 வரை, பகுப்பாய்வு இப்படி இருக்க வேண்டும். சமன்பாட்டின் வேர்களின் பெருக்கல் 6 ஆகும், எனவே வேர்கள் மதிப்புகள் (1, 6) மற்றும் (2, 3) அல்லது எதிர் அறிகுறிகளுடன் ஜோடிகளாக இருக்கலாம். வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7 (எதிர் குறியுடன் மாறியின் குணகம்). இங்கிருந்து இருபடி சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள் x=2 என்று முடிவு செய்கிறோம்; x=3.
இலவச காலத்தின் வகுப்பாளர்களிடையே சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது எளிதானது, வியட்டா சூத்திரங்களை நிறைவேற்ற அவற்றின் அடையாளத்தை சரிசெய்கிறது. முதலில், இதைச் செய்வது கடினம் என்று தோன்றுகிறது, ஆனால் பல இருபடி சமன்பாடுகளில் நடைமுறையில், இந்த நுட்பம் பாகுபாடுகளைக் கணக்கிடுவதை விடவும், இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை கிளாசிக்கல் வழியில் கண்டுபிடிப்பதை விடவும் மிகவும் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளைக் கண்டறியும் பாகுபாடு மற்றும் முறைகளைப் படிக்கும் பள்ளிக் கோட்பாடு நடைமுறை அர்த்தமற்றது - "பள்ளி மாணவர்களுக்கு ஏன் இருபடி சமன்பாடு தேவை?", "பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் உடல் அர்த்தம் என்ன?"

அதை கண்டுபிடிக்க முயற்சி செய்யலாம் பாகுபாடு காட்டுபவர் என்ன விவரிக்கிறார்?

அல்ஜீப்ரா பாடத்தில் அவர்கள் செயல்பாடுகள், செயல்பாடுகளைப் படிப்பதற்கான திட்டங்கள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் வரைபடத்தை உருவாக்குதல் ஆகியவற்றைப் படிக்கிறார்கள். அனைத்து செயல்பாடுகளிலும், பரவளையம் ஒரு முக்கிய இடத்தைப் பிடித்துள்ளது, அதன் சமன்பாட்டை வடிவத்தில் எழுதலாம்.
எனவே இருபடிச் சமன்பாட்டின் இயற்பியல் பொருள் பரவளையத்தின் பூஜ்ஜியங்கள் ஆகும், அதாவது, அப்சிஸ்ஸா அச்சு ஆக்ஸுடன் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் வெட்டும் புள்ளிகள்.
கீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ள பரவளையங்களின் பண்புகளை நினைவில் கொள்ளுமாறு கேட்டுக்கொள்கிறேன். தேர்வுகள், சோதனைகள் அல்லது நுழைவுத் தேர்வுகளை எடுக்க வேண்டிய நேரம் வரும், மேலும் குறிப்புப் பொருட்களுக்கு நீங்கள் நன்றியுள்ளவர்களாக இருப்பீர்கள். ஸ்கொயர்டு மாறியின் அடையாளம், வரைபடத்தில் உள்ள பரவளையத்தின் கிளைகள் மேலே செல்லுமா (a>0),

அல்லது கிளைகளைக் கொண்ட ஒரு பரவளையம் (அ<0) .

பரவளையத்தின் உச்சி வேர்களுக்கு நடுவில் உள்ளது

பாகுபாடு காண்பவரின் உடல் பொருள்:

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட (D>0) அதிகமாக இருந்தால், பரவளையமானது ஆக்ஸ் அச்சுடன் வெட்டும் இரண்டு புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது.
பாகுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் (D=0) உச்சியில் உள்ள பரவளையம் x- அச்சைத் தொடும்.
கடைசி வழக்கு, பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருக்கும்போது (டி<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

வியட்டாவின் தேற்றத்திற்குச் செல்வதற்கு முன், நாங்கள் ஒரு வரையறையை அறிமுகப்படுத்துகிறோம். படிவத்தின் இருபடி சமன்பாடு x² + px + கே= 0 குறைக்கப்பட்டது. இந்த சமன்பாட்டில், முன்னணி குணகம் ஒன்றுக்கு சமம். உதாரணமாக, சமன்பாடு x² - 3 x- 4 = 0 குறைக்கப்பட்டது. படிவத்தின் எந்த இருபடி சமன்பாடு கோடாரி² + b x + cசமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரிப்பதன் மூலம் = 0 ஐக் குறைக்கலாம் ஏ≠ 0. எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு 4 x² + 4 x— 3 = 0 4 ஆல் வகுத்தால் படிவமாகக் குறைக்கப்படுகிறது: x² + x- 3/4 = 0. குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். கோடாரி² + bx + c = 0

குறைக்கப்பட்ட சமன்பாடு x² + px + கே= 0 என்பது ஒரு பொதுவான சமன்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது ஏ = 1, பி = ப, c = கே.எனவே, கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு சூத்திரம் வடிவத்தை எடுக்கும்:

கடைசி வெளிப்பாடு குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது, இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது மிகவும் வசதியானது ஆர்- ஒரு இரட்டை எண். உதாரணமாக, சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம் x² - 14 x — 15 = 0

பதிலுக்கு, சமன்பாட்டிற்கு இரண்டு வேர்கள் உள்ளன என்று எழுதுகிறோம்.

நேர்மறையுடன் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு, பின்வரும் தேற்றம் உள்ளது.

வியட்டாவின் தேற்றம்

என்றால் x 1 மற்றும் x 2 - சமன்பாட்டின் வேர்கள் x² + px + கே= 0, பின்னர் சூத்திரங்கள் செல்லுபடியாகும்:

x 1 + x 2 = — ஆர்

x 1 * x 2 = q,அதாவது, குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் வேர்களின் பெருக்கல் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம்.

மேலே உள்ள இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், எங்களிடம் உள்ளது:

இந்த சமத்துவங்களைச் சேர்த்தால், நாம் பெறுகிறோம்: x 1 + x 2 = —ஆர்.

இந்த சமத்துவங்களைப் பெருக்கி, சதுரங்களின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி நாம் பெறுகிறோம்:

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது வியட்டாவின் தேற்றமும் செல்லுபடியாகும் என்பதை நினைவில் கொள்க, இந்த விஷயத்தில் இருபடி சமன்பாடு இரண்டு ஒத்த வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நாம் கருதினால்: x 1 = x 2 = — ஆர்/2.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்காமல் x² - 13 x+ 30 = 0 அதன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனைக் கண்டறியவும் x 1 மற்றும் x 2. இந்த சமன்பாடு டி= 169 - 120 = 49 > 0, எனவே வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம்: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. இன்னும் சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம். சமன்பாட்டின் வேர்களில் ஒன்று x² — px- 12 = 0 சமம் x 1 = 4. குணகத்தைக் கண்டறியவும் ஆர்மற்றும் இரண்டாவது வேர் xஇந்த சமன்பாட்டின் 2. வியட்டாவின் தேற்றத்தால் x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — ஆர்.ஏனெனில் x 1 = 4, பின்னர் 4 x 2 = - 12, எங்கிருந்து x 2 = — 3, ஆர் = — (x 1 + x 2) = - (4 - 3) = - 1. பதிலில் நாம் இரண்டாவது மூலத்தை எழுதுகிறோம் x 2 = - 3, குணகம் ப = - 1.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்காமல் x² + 2 x- 4 = 0 அதன் வேர்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கண்டுபிடிப்போம். விடுங்கள் x 1 மற்றும் x 2 - சமன்பாட்டின் வேர்கள். வியட்டாவின் தேற்றத்தால் x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. ஏனெனில் x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 பிறகு x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

சமன்பாடு 3 இன் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனைக் கண்டுபிடிப்போம் x² + 4 x- 5 = 0. இந்தச் சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, ஏனெனில் பாகுபாடு டி= 16 + 4*3*5 > 0. சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, நாம் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு இந்த தேற்றம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது. எனவே இந்த சமன்பாட்டை 3 ஆல் வகுப்போம்.

எனவே, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை -4/3 க்கும், அவற்றின் தயாரிப்பு -5/3 க்கும் சமம்.

பொதுவாக, சமன்பாட்டின் வேர்கள் கோடாரி² + b x + c= 0 பின்வரும் சமன்பாடுகளால் தொடர்புடையது: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,இந்த சூத்திரங்களைப் பெற, இந்த இருபடி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் பிரித்தால் போதும் ஏ ≠ 0 மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தை அதன் விளைவாக குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டிற்குப் பயன்படுத்தவும். ஒரு உதாரணத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம்: நீங்கள் ஒரு குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டை உருவாக்க வேண்டும், அதன் வேர்கள் x 1 = 3, x 2 = 4. ஏனெனில் x 1 = 3, x 2 = 4 - இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் x² + px + கே= 0, பின்னர் வியட்டாவின் தேற்றத்தால் ஆர் = — (x 1 + x 2) = — 7, கே = x 1 x 2 = 12. பதிலை இவ்வாறு எழுதுகிறோம் x² - 7 x+ 12 = 0. சில சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​பின்வரும் தேற்றம் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

தேற்றம் வியட்டாவின் தேற்றத்துடன் மாறுகிறது

எண்கள் என்றால் ஆர், கே, x 1 , x 2 அத்தகையவை x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, அது x 1மற்றும் x 2- சமன்பாட்டின் வேர்கள் x² + px + கே= 0. இடது பக்கமாக மாற்றவும் x² + px + கேபதிலாக ஆர்வெளிப்பாடு - ( x 1 + x 2), மற்றும் அதற்கு பதிலாக கே- வேலை x 1 * x 2நாங்கள் பெறுகிறோம்: x² + px + கே = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2).இவ்வாறு, எண்கள் என்றால் ஆர், கே, x 1 மற்றும் x 2 இந்த உறவுகளால் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, பின்னர் அனைவருக்கும் எக்ஸ்சமத்துவம் உள்ளது x² + px + கே = (x - x 1) (x - x 2),அதில் இருந்து அது பின்வருமாறு x 1 மற்றும் x 2 - சமன்பாட்டின் வேர்கள் x² + px + கே= 0. வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, சில சமயங்களில் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தேர்வு மூலம் கண்டறியலாம். ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம், x² - 5 x+ 6 = 0. இங்கே ஆர் = — 5, கே= 6. இரண்டு எண்களைத் தேர்வு செய்வோம் x 1 மற்றும் x 2 அதனால் x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. 6 = 2 * 3, மற்றும் 2 + 3 = 5, வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தால், நாம் அதைப் பெறுகிறோம் x 1 = 2, x 2 = 3 - சமன்பாட்டின் வேர்கள் x² - 5 x + 6 = 0.

I. வியட்டாவின் தேற்றம்குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு.

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 +px+q=0எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம்:

x 1 + x 2 = -p; x 1 ∙x 2 =q.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்.

எடுத்துக்காட்டு 1) x 2 -x-30=0.இது குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு ஆகும் ( x 2 +px+q=0), இரண்டாவது குணகம் ப=-1, மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=-30.முதலில், இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருப்பதையும், வேர்கள் (ஏதேனும் இருந்தால்) முழு எண்களில் வெளிப்படுத்தப்படுவதையும் உறுதி செய்வோம். இதைச் செய்ய, பாகுபாடு ஒரு முழு எண்ணின் சரியான சதுரமாக இருந்தால் போதும்.

பாகுபாடு காண்பவரைக் கண்டறிதல் டி=b 2 — 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

இப்போது, ​​வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது. ( -ப), மற்றும் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம், அதாவது. ( கே) பிறகு:

x 1 +x 2 =1; x 1 ∙x 2 =-30.அவற்றின் தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும் இரண்டு எண்களைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் -30 , மற்றும் தொகை அலகு. இவை எண்கள் -5 மற்றும் 6 . பதில்: -5; 6.

எடுத்துக்காட்டு 2) x 2 +6x+8=0.இரண்டாவது குணகத்துடன் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு எங்களிடம் உள்ளது ப=6மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=8. முழு எண் வேர்கள் இருப்பதை உறுதி செய்வோம். பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1 டி 1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . பாரபட்சமான D 1 என்பது எண்ணின் சரியான சதுரம் 1 , அதாவது இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்கள். வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்போம்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் –р=-6, மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் q=8. இவை எண்கள் -4 மற்றும் -2 .

உண்மையில்: -4-2=-6=-р; -4∙(-2)=8=கே. பதில்: -4; -2.

எடுத்துக்காட்டு 3) x 2 +2x-4=0. இந்த குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டில், இரண்டாவது குணகம் ப=2, மற்றும் இலவச உறுப்பினர் q=-4. பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம் டி 1, இரண்டாவது குணகம் இரட்டை எண் என்பதால். டி 1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. பாகுபாடு என்பது எண்ணின் சரியான சதுரம் அல்ல, எனவே நாங்கள் செய்கிறோம் முடிவு: இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் முழு எண்கள் அல்ல மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டுபிடிக்க முடியாது.இதன் பொருள், இந்த சமன்பாட்டை வழக்கம் போல், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி (இந்த விஷயத்தில், சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி) தீர்க்கிறோம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

எடுத்துக்காட்டு 4).இருபடி சமன்பாட்டை அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி எழுதவும் x 1 =-7, x 2 =4.

தீர்வு.தேவையான சமன்பாடு படிவத்தில் எழுதப்படும்: x 2 +px+q=0, மற்றும், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் அடிப்படையில் –p=x 1 +x 2=-7+4=-3 → ப=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: x 2 +3x-28=0.

எடுத்துக்காட்டு 5).ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி எழுதவும்:

II. வியட்டாவின் தேற்றம்ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டிற்கு கோடாரி 2 +bx+c=0.

வேர்களின் கூட்டுத்தொகை கழித்தல் பி, வகுத்தல் ஏ, வேர்களின் தயாரிப்பு சமம் உடன், வகுத்தல் A:

x 1 + x 2 = -b/a; x 1 ∙x 2 =c/a.

இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளில் ஒன்று பயன்படுத்துவதாகும் VIET சூத்திரங்கள், இது FRANCOIS VIETTE பெயரிடப்பட்டது.

16 ஆம் நூற்றாண்டில் பிரெஞ்சு மன்னருக்குப் பணியாற்றிய புகழ்பெற்ற வழக்கறிஞர். ஓய்வு நேரத்தில் வானியல் மற்றும் கணிதம் படித்தார். அவர் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையே ஒரு தொடர்பை ஏற்படுத்தினார்.

சூத்திரத்தின் நன்மைகள்:

1 . சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், நீங்கள் விரைவாக ஒரு தீர்வைக் காணலாம். சதுரத்திற்குள் இரண்டாவது குணகத்தை உள்ளிட வேண்டிய அவசியம் இல்லை என்பதால், அதிலிருந்து 4ac ஐக் கழித்து, பாகுபாட்டைக் கண்டறிந்து, அதன் மதிப்பை வேர்களைக் கண்டறிய சூத்திரத்தில் மாற்றவும்.

2 . தீர்வு இல்லாமல், நீங்கள் வேர்களின் அறிகுறிகளைத் தீர்மானிக்கலாம் மற்றும் வேர்களின் மதிப்புகளைத் தேர்ந்தெடுக்கலாம்.

3 . இரண்டு பதிவுகளின் அமைப்பைத் தீர்த்த பிறகு, வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பது கடினம் அல்ல. மேலே உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டில், வேர்களின் கூட்டுத்தொகை, கழித்தல் குறியுடன் இரண்டாவது குணகத்தின் மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும். மேற்கூறிய இருபடிச் சமன்பாட்டில் உள்ள வேர்களின் பெருக்கல் மூன்றாவது குணகத்தின் மதிப்புக்கு சமம்.

4 . இந்த வேர்களைப் பயன்படுத்தி, ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை எழுதுங்கள், அதாவது தலைகீழ் சிக்கலை தீர்க்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, கோட்பாட்டு இயக்கவியலில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது.

5 . முன்னணி குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்போது சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவது வசதியானது.

குறைபாடுகள்:

1 . சூத்திரம் உலகளாவியது அல்ல.

வியட்டாவின் தேற்றம் 8 ஆம் வகுப்பு

சூத்திரம்
x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்றால் x 2 + px + q = 0, பின்:

எடுத்துக்காட்டுகள்
x 1 = -1; x 2 = 3 - சமன்பாட்டின் வேர்கள் x 2 - 2x - 3 = 0.

பி = -2, q = -3.

X 1 + x 2 = -1 + 3 = 2 = -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

உரையாடல் தேற்றம்

சூத்திரம்
x 1, x 2, p, q ஆகிய எண்கள் நிபந்தனைகளுடன் தொடர்புடையதாக இருந்தால்:

பின்னர் x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை x 2 + px + q = 0 சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

உதாரணம்
அதன் வேர்களைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம்:

X 1 = 2 - ? 3 மற்றும் x 2 = 2 + ? 3.

பி = x 1 + x 2 = 4; ப = -4; q = x 1 x 2 = (2 - ? 3 )(2 + ? 3 ) = 4 - 3 = 1.

தேவையான சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது: x 2 - 4x + 1 = 0.

இந்த கணித திட்டத்தின் மூலம் உங்களால் முடியும் இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

நிரல் சிக்கலுக்கான பதிலை வழங்குவது மட்டுமல்லாமல், தீர்வு செயல்முறையை இரண்டு வழிகளில் காண்பிக்கும்:
- ஒரு பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்துதல்
- வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல் (முடிந்தால்).

மேலும், பதில் துல்லியமாக காட்டப்படும், தோராயமாக இல்லை.
எடுத்துக்காட்டாக, \(81x^2-16x-1=0\) சமன்பாட்டிற்கான பதில் பின்வரும் வடிவத்தில் காட்டப்படும்:

பொதுக் கல்விப் பள்ளிகளில் உள்ள உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களுக்கு, சோதனைகள் மற்றும் தேர்வுகளுக்குத் தயாராகும் போது, ​​ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுக்கு முன் அறிவைப் பரிசோதிக்கும் போது, ​​கணிதம் மற்றும் இயற்கணிதத்தில் உள்ள பல சிக்கல்களின் தீர்வைக் கட்டுப்படுத்த பெற்றோருக்கு இந்தத் திட்டம் பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

அல்லது நீங்கள் ஒரு ஆசிரியரை நியமிப்பது அல்லது புதிய பாடப்புத்தகங்களை வாங்குவது மிகவும் விலை உயர்ந்ததா? அல்லது உங்கள் கணிதம் அல்லது இயற்கணிதம் வீட்டுப்பாடத்தை கூடிய விரைவில் முடிக்க வேண்டுமா? இந்த வழக்கில், விரிவான தீர்வுகளுடன் எங்கள் நிரல்களையும் நீங்கள் பயன்படுத்தலாம்.

இந்த வழியில், நீங்கள் உங்கள் சொந்த பயிற்சி மற்றும்/அல்லது உங்கள் இளைய சகோதரர்கள் அல்லது சகோதரிகளின் பயிற்சியை நடத்தலாம், அதே நேரத்தில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் துறையில் கல்வியின் நிலை அதிகரிக்கிறது.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவையை உள்ளிடுவதற்கான விதிகளை நீங்கள் அறிந்திருக்கவில்லை என்றால், அவற்றை நீங்கள் நன்கு அறிந்திருக்குமாறு பரிந்துரைக்கிறோம்.

இருபடி பல்லுறுப்புக்கோவைக்குள் நுழைவதற்கான விதிகள்
எந்த லத்தீன் எழுத்தும் மாறியாக செயல்படும்.

எடுத்துக்காட்டாக: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) போன்றவை.
எண்களை முழு அல்லது பின்ன எண்களாக உள்ளிடலாம்.

மேலும், பின்ன எண்களை ஒரு தசம வடிவில் மட்டுமல்ல, ஒரு சாதாரண பின்னத்தின் வடிவத்திலும் உள்ளிடலாம்.
தசம பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.
தசம பின்னங்களில், பகுதியளவு பகுதியை முழுப் பகுதியிலிருந்தும் ஒரு காலம் அல்லது கமாவால் பிரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் இது போன்ற தசம பின்னங்களை உள்ளிடலாம்: 2.5x - 3.5x^2
சாதாரண பின்னங்களை உள்ளிடுவதற்கான விதிகள்.

ஒரு முழு எண் மட்டுமே ஒரு பகுதியின் எண், வகுப்பி மற்றும் முழு எண் பகுதியாக செயல்பட முடியும்.

வகுத்தல் எதிர்மறையாக இருக்க முடியாது. /
ஒரு எண் பின்னத்தை உள்ளிடும்போது, ​​எண் பிரிவிலிருந்து வகுப்பின் அடையாளத்தால் பிரிக்கப்படுகிறது: &
முழு பகுதியும் பின்னத்திலிருந்து ஆம்பர்சண்ட் அடையாளத்தால் பிரிக்கப்பட்டுள்ளது:
உள்ளீடு: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2

முடிவு: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\) வெளிப்பாடு உள்ளிடும்போதுநீங்கள் அடைப்புக்குறிகளைப் பயன்படுத்தலாம்
. இந்த வழக்கில், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, ​​அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாடு முதலில் எளிமைப்படுத்தப்படுகிறது.

முடிவு செய்யுங்கள்
இந்த சிக்கலை தீர்க்க தேவையான சில ஸ்கிரிப்ட்கள் ஏற்றப்படவில்லை, மேலும் நிரல் வேலை செய்யாமல் போகலாம்.
நீங்கள் AdBlock இயக்கப்பட்டிருக்கலாம்.

ஏனெனில் பிரச்சனையை தீர்க்க நிறைய பேர் தயாராக உள்ளனர், உங்கள் கோரிக்கை வரிசையாக உள்ளது.
சில நொடிகளில் தீர்வு கீழே தோன்றும்.
தயவுசெய்து காத்திருக்கவும் நொடி...

நீங்கள் என்றால் தீர்வில் பிழை இருப்பதை கவனித்தேன், பிறகு இதைப் பற்றி பின்னூட்டப் படிவத்தில் எழுதலாம்.
மறக்காதே எந்த பணியைக் குறிக்கவும்நீங்கள் என்ன முடிவு செய்யுங்கள் துறைகளில் நுழையுங்கள்.

எங்கள் விளையாட்டுகள், புதிர்கள், முன்மாதிரிகள்:

ஒரு சிறிய கோட்பாடு.

இருபடி சமன்பாடு மற்றும் அதன் வேர்கள். முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகள்

சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும்
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
போல் தெரிகிறது
\(ax^2+bx+c=0, \)
இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c ஆகியவை எண்கள்.
முதல் சமன்பாட்டில் a = -1, b = 6 மற்றும் c = 1.4, இரண்டாவது a = 8, b = -7 மற்றும் c = 0, மூன்றாவது a = 1, b = 0 மற்றும் c = 4/9. இத்தகைய சமன்பாடுகள் அழைக்கப்படுகின்றன இருபடி சமன்பாடுகள்.

வரையறை.
இருபடி சமன்பாடு ax 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதில் x என்பது ஒரு மாறி, a, b மற்றும் c என்பது சில எண்கள் மற்றும் \(a \neq 0 \).

எண்கள் a, b மற்றும் c இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள். எண் a முதல் குணகம் என்றும், எண் b இரண்டாவது குணகம் என்றும், c எண் இலவசச் சொல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

கோடாரி 2 +bx+c=0 வடிவத்தின் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளிலும், \(a\neq 0\), x மாறியின் மிகப்பெரிய சக்தி ஒரு சதுரமாகும். எனவே பெயர்: இருபடி சமன்பாடு.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டாவது பட்டத்தின் சமன்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது, ஏனெனில் அதன் இடது பக்கம் இரண்டாவது பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.

x 2 இன் குணகம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது. எடுத்துக்காட்டாக, கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகள் சமன்பாடுகள்
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டில் கோடாரி 2 +bx+c=0 குணகங்கள் b அல்லது c பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய சமன்பாடு அழைக்கப்படுகிறது முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடு. எனவே, சமன்பாடுகள் -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடுகள். அவற்றில் முதலாவது b=0, இரண்டாவது c=0, மூன்றாவது b=0 மற்றும் c=0.

முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளில் மூன்று வகைகள் உள்ளன:
1) கோடாரி 2 +c=0, இங்கு \(c \neq 0 \);
2) கோடாரி 2 +bx=0, இங்கு \(b \neq 0 \);
3) கோடாரி 2 =0.

இந்த வகைகளில் ஒவ்வொன்றின் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

\(c \neq 0 \) வடிவ ax 2 +c=0 இன் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, அதன் இலவச காலத்தை வலது பக்கமாக நகர்த்தி சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் ஒரு ஆல் வகுக்கவும்:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \), பின்னர் \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

\(-\frac(c)(a)>0\) எனில், சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

\(-\frac(c)(a) \(b \neq 0 \) காரணி அதன் இடது பக்கத்தை கொண்டு ax 2 +bx=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்க மற்றும் சமன்பாட்டைப் பெறவும்
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (வரிசை)(எல்) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right.

\(b \neq 0 \) க்கான ax 2 +bx=0 வடிவத்தின் முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு எப்போதும் இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும்.

கோடாரி 2 =0 வடிவத்தின் முழுமையடையாத இருபடிச் சமன்பாடு x 2 =0 சமன்பாட்டிற்குச் சமமானதாகும், எனவே ஒற்றை வேர் 0 உள்ளது.

இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம்

அறியப்படாதவற்றின் குணகங்கள் மற்றும் கட்டற்ற சொல் இரண்டும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இருபடி சமன்பாடுகளை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பதை இப்போது பார்ப்போம்.

இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் தீர்ப்போம், இதன் விளைவாக வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பெறுவோம். எந்த இருபடி சமன்பாட்டையும் தீர்க்க இந்த சூத்திரம் பயன்படுத்தப்படலாம்.

கோடாரி 2 +bx+c=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்

இரு பக்கங்களையும் a ஆல் வகுத்தால், சமமான குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

இந்த சமன்பாட்டை ஈருறுப்புக் குறியீட்டின் சதுரத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் மாற்றுவோம்:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

தீவிர வெளிப்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு ax 2 +bx+c=0 (லத்தீன் மொழியில் "பாகுபாடு" - பாரபட்சம்). இது D என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, அதாவது.
\(D = b^2-4ac\)

இப்போது, ​​பாரபட்சமான குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தை மீண்டும் எழுதுகிறோம்:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), இங்கு \(D= b^2-4ac \)

இது வெளிப்படையானது:
1) D>0 எனில், இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
2) D=0 எனில், இருபடிச் சமன்பாட்டில் ஒரு ரூட் \(x=-\frac(b)(2a)\) உள்ளது.
3) D எனில், பாகுபாட்டின் மதிப்பைப் பொறுத்து, ஒரு இருபடி சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டிருக்கலாம் (D > 0 க்கு), ஒரு ரூட் (D = 0 க்கு) அல்லது வேர்கள் இல்லை (D க்கு இதைப் பயன்படுத்தி ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது சூத்திரம், பின்வரும் வழியைச் செய்வது நல்லது:
1) பாகுபாட்டைக் கணக்கிட்டு பூஜ்ஜியத்துடன் ஒப்பிடுக;
2) பாரபட்சம் நேர்மறையாக இருந்தால் அல்லது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், பாகுபாடு எதிர்மறையாக இருந்தால், வேர்கள் இல்லை என்று எழுதவும்.

வியட்டாவின் தேற்றம்

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு கோடாரி 2 -7x+10=0 க்கு வேர்கள் 2 மற்றும் 5 உள்ளது. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 7, மற்றும் தயாரிப்பு 10. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் கொண்ட இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமமாக இருப்பதைக் காண்கிறோம். அடையாளம், மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம். வேர்களைக் கொண்ட எந்தவொரு குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடும் இந்தப் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் வேர்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம்.

அந்த. குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் x 1 மற்றும் x 2 வேர்கள் x 2 +px+q=0 பண்புகளைக் கொண்டுள்ளன என்று வியட்டாவின் தேற்றம் கூறுகிறது:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)