ஆன்லைன் செயல்பாடுகளை எளிதாக்குதல். வெளிப்பாடுகளை மாற்றுதல். விரிவான கோட்பாடு (2019)

இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துவது இயற்கணிதத்தைக் கற்றுக்கொள்வதற்கான முக்கிய அம்சங்களில் ஒன்றாகும், மேலும் இது அனைத்து கணிதவியலாளர்களுக்கும் மிகவும் பயனுள்ள திறமையாகும். எளிமைப்படுத்தல், சிக்கலான அல்லது நீண்ட வெளிப்பாட்டை எளிதாக வேலை செய்யக்கூடிய எளிய வெளிப்பாடாகக் குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. கணிதத்தில் ஆர்வமில்லாதவர்களுக்கும் எளிமைப்படுத்துவதற்கான அடிப்படை திறன்கள் நல்லது. சில எளிய விதிகளைப் பின்பற்றுவதன் மூலம், எந்தவொரு சிறப்பு கணித அறிவும் இல்லாமல் நீங்கள் மிகவும் பொதுவான வகை இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கலாம்.

படிகள்

முக்கியமான வரையறைகள்

1. இதே போன்ற உறுப்பினர்கள்.இவை ஒரே வரிசையின் மாறியைக் கொண்ட உறுப்பினர்கள், அதே மாறிகளைக் கொண்ட உறுப்பினர்கள் அல்லது இலவச உறுப்பினர்கள் (மாறியைக் கொண்டிருக்காத உறுப்பினர்கள்). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரே மாதிரியான சொற்கள் ஒரே அளவுக்கு ஒரே மாறியை உள்ளடக்குகின்றன, ஒரே மாதிரியான பல மாறிகளை உள்ளடக்குகின்றன அல்லது ஒரு மாறியை சேர்க்க வேண்டாம். வெளிப்பாட்டின் விதிமுறைகளின் வரிசை முக்கியமில்லை.

   • எடுத்துக்காட்டாக, 3x 2 மற்றும் 4x 2 ஆகியவை ஒரே மாதிரியான சொற்களாகும், ஏனெனில் அவை இரண்டாவது வரிசை (இரண்டாவது சக்திக்கு) மாறி "x" ஐக் கொண்டிருக்கின்றன. இருப்பினும், x மற்றும் x2 ஆகியவை ஒரே மாதிரியான சொற்கள் அல்ல, ஏனெனில் அவை வெவ்வேறு ஆர்டர்களின் (முதல் மற்றும் இரண்டாவது) மாறி “x” ஐக் கொண்டிருக்கின்றன. அதேபோல், -3yx மற்றும் 5xz ஆகியவை ஒரே மாதிரியான சொற்கள் அல்ல, ஏனெனில் அவை வெவ்வேறு மாறிகளைக் கொண்டிருக்கின்றன.

2. காரணியாக்கம்.இது அசல் எண்ணுக்கு வழிவகுக்கும் எண்களைக் கண்டறிகிறது. எந்த அசல் எண்ணும் பல காரணிகளைக் கொண்டிருக்கலாம். எடுத்துக்காட்டாக, 12 என்ற எண்ணை பின்வரும் காரணிகளின் வரிசையாகக் கணக்கிடலாம்: 1 × 12, 2 × 6 மற்றும் 3 × 4, எனவே எண்கள் 1, 2, 3, 4, 6 மற்றும் 12 ஆகியவை காரணிகள் என்று கூறலாம். எண் 12. காரணிகள் காரணிகளைப் போலவே இருக்கும், அதாவது அசல் எண் வகுக்கப்படும் எண்கள்.

   • எடுத்துக்காட்டாக, நீங்கள் 20 என்ற எண்ணைக் கணக்கிட விரும்பினால், அதை இப்படி எழுதவும்: 4×5.
   • காரணியாக்கும்போது, ​​மாறி கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்க. உதாரணமாக, 20x = 4(5x).
   • முதன்மை எண்களை காரணியாக்க முடியாது, ஏனெனில் அவை தங்களால் மட்டுமே வகுபடும் மற்றும் 1.

3. தவறுகளைத் தவிர்க்க நடவடிக்கைகளின் வரிசையை நினைவில் வைத்து பின்பற்றவும்.

   • அடைப்புக்குறிகள்
   • பட்டம்
   • பெருக்கல்
   • பிரிவு
   • கூட்டல்
   • கழித்தல்

   ஒத்த உறுப்பினர்களை கொண்டு வருதல்

   1. வெளிப்பாட்டை எழுதுங்கள்.எளிய இயற்கணித வெளிப்பாடுகள் (பின்னங்கள், வேர்கள் போன்றவை இல்லாதவை) சில படிகளில் (எளிமைப்படுத்தப்பட்டவை) தீர்க்கப்படும்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள் 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. ஒத்த சொற்களை வரையறுக்கவும் (ஒரே மாறிகள் கொண்ட விதிமுறைகள், அதே மாறிகள் அல்லது இலவச விதிமுறைகள்).

      • இந்த வெளிப்பாட்டில் ஒத்த சொற்களைக் கண்டறியவும். 2x மற்றும் 4x என்ற சொற்கள் ஒரே வரிசையின் மாறியைக் கொண்டிருக்கின்றன (முதல்). மேலும், 1 மற்றும் -3 ஆகியவை இலவச சொற்கள் (மாறியைக் கொண்டிருக்க வேண்டாம்). எனவே, இந்த வெளிப்பாட்டில் விதிமுறைகள் 2x மற்றும் 4xஒத்த, மற்றும் உறுப்பினர்கள் 1 மற்றும் -3போன்றும் உள்ளன.

   3. ஒத்த விதிமுறைகளைக் கொடுங்கள்.இதன் பொருள் அவற்றைக் கூட்டுதல் அல்லது கழித்தல் மற்றும் வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குதல்.

      • 2x + 4x = 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. கொடுக்கப்பட்ட விதிமுறைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு வெளிப்பாட்டை மீண்டும் எழுதவும்.குறைவான சொற்களைக் கொண்ட எளிய வெளிப்பாட்டைப் பெறுவீர்கள். புதிய வெளிப்பாடு அசல் ஒன்றுக்கு சமம்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, அதாவது, அசல் வெளிப்பாடு எளிமைப்படுத்தப்பட்டது மற்றும் வேலை செய்ய எளிதானது.

   5. ஒரே மாதிரியான உறுப்பினர்களைக் கொண்டுவரும் போது செயல்பாடுகளின் வரிசையைப் பின்பற்றவும்.எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், ஒத்த சொற்களை வழங்குவது எளிது. இருப்பினும், அடைப்புக்குறிக்குள் சொற்கள் இணைக்கப்பட்டு பின்னங்கள் மற்றும் வேர்கள் இருக்கும் சிக்கலான வெளிப்பாடுகளின் விஷயத்தில், அத்தகைய சொற்களைக் கொண்டுவருவது அவ்வளவு எளிதானது அல்ல. இந்த சந்தர்ப்பங்களில், செயல்பாடுகளின் வரிசையைப் பின்பற்றவும்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, 5(3x - 1) + x(2x)/(2)) + 8 - 3x என்ற வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இங்கே 3x மற்றும் 2x ஐ ஒரே மாதிரியான சொற்களாக உடனடியாக வரையறுத்து அவற்றை வழங்குவது தவறு, ஏனென்றால் அடைப்புக்குறிக்குள் முதலில் திறக்க வேண்டியது அவசியம். எனவே, அவர்களின் வரிசைப்படி செயல்பாடுகளைச் செய்யுங்கள்.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. இப்போது, வெளிப்பாடு கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் செயல்பாடுகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும் போது, ​​நீங்கள் இதே போன்ற விதிமுறைகளை கொண்டு வரலாம்.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   அடைப்புக்குறியிலிருந்து பெருக்கியை வெளியே எடுத்தல்

   1. வெளிப்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினை (GCD) கண்டறியவும். GCD என்பது வெளிப்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் பிரிக்கப்படும் மிகப்பெரிய எண்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, 9x 2 + 27x - 3 சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இந்த வழக்கில், GCD = 3, இந்த வெளிப்பாட்டின் எந்த குணகமும் 3 ஆல் வகுபடும்.

   2. வெளிப்பாட்டின் ஒவ்வொரு சொல்லையும் gcd ஆல் வகுக்கவும்.இதன் விளைவாக வரும் சொற்கள் அசல் வெளிப்பாட்டைக் காட்டிலும் சிறிய குணகங்களைக் கொண்டிருக்கும்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், வெளிப்பாட்டின் ஒவ்வொரு சொல்லையும் 3 ஆல் வகுக்கவும்.
        • 9x 2/3 = 3x 2
        • 27x/3 = 9x
        • -3/3 = -1
        • இதன் விளைவாக ஒரு வெளிப்பாடு இருந்தது 3x 2 + 9x - 1. இது அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு சமமாக இல்லை.

   3. அசல் வெளிப்பாட்டை gcd இன் தயாரிப்புக்கும் அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டிற்கும் சமமாக எழுதவும்.அதாவது, அடைப்புக்குறிக்குள் விளைந்த வெளிப்பாட்டை இணைத்து, gcd ஐ அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கவும்.

      • எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. அடைப்புக்குறிக்கு வெளியே காரணியை வைப்பதன் மூலம் பகுதி வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குதல்.முன்பு செய்தது போல், பெருக்கியை அடைப்புக் குறிகளுக்கு வெளியே வைப்பது ஏன்? பின்னர், பகுதி வெளிப்பாடுகள் போன்ற சிக்கலான வெளிப்பாடுகளை எவ்வாறு எளிதாக்குவது என்பதை அறிய. இந்த வழக்கில், அடைப்புக்குறிக்குள் காரணியை வைப்பது பின்னத்தை (வகுப்பிலிருந்து) அகற்ற உதவும்.

      • எடுத்துக்காட்டாக, பகுதி வெளிப்பாடு (9x 2 + 27x - 3)/3 என்பதைக் கவனியுங்கள். இந்த வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த, காரணியாக்குதலைப் பயன்படுத்தவும்.
        • அடைப்புக்குறிக்குள் 3 இன் காரணியை வைக்கவும் (நீங்கள் முன்பு செய்தது போல்): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • எண் மற்றும் வகுத்தல் இரண்டிலும் இப்போது 3 இருப்பதைக் கவனியுங்கள்: (3x 2 + 9x – 1)/1
        • வகுப்பில் எண் 1ஐக் கொண்ட எந்தப் பின்னமும் எண்கணிதத்திற்குச் சமமாக இருப்பதால், அசல் பின்ன வெளிப்பாடு இதை எளிதாக்குகிறது: 3x 2 + 9x - 1.

   கூடுதல் எளிமைப்படுத்தும் முறைகள்

4. ஒரு எளிய உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்: √(90). 90 என்ற எண்ணை பின்வரும் காரணிகளாகக் குறிப்பிடலாம்: 9 மற்றும் 10, மற்றும் 9 இலிருந்து நாம் வர்க்க மூலத்தை (3) எடுத்து, மூலத்தின் கீழ் இருந்து 3 ஐ எடுக்கலாம்.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. சக்திகளுடன் வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துதல்.சில வெளிப்பாடுகள் அதிகாரங்களுடன் சொற்களின் பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல் செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. ஒரே அடிப்படையுடன் சொற்களைப் பெருக்கும்போது, ​​அவற்றின் சக்திகள் சேர்க்கப்படுகின்றன; ஒரே அடிப்படையுடன் விதிமுறைகளை வகுத்தால், அவற்றின் அதிகாரங்கள் கழிக்கப்படுகின்றன.

   • எடுத்துக்காட்டாக, 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15) என்ற வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள். பெருக்கல் விஷயத்தில், சக்திகளைச் சேர்க்கவும், வகுத்தால், அவற்றைக் கழிக்கவும்.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • பின்வருபவை அடுக்கு சொற்களை பெருக்குவதற்கும் வகுப்பதற்குமான விதிகளின் விளக்கமாகும்.
     • அதிகாரங்களுடன் சொற்களைப் பெருக்குவது சொற்களைத் தாங்களாகவே பெருக்குவதற்குச் சமம். எடுத்துக்காட்டாக, x 3 = x × x × x மற்றும் x 5 = x × x × x x x × x, பின்னர் x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), அல்லது x 8 .
     • அதேபோல, சொற்களை டிகிரிகளால் பிரிப்பது, சொற்களை தானே பிரிப்பதற்குச் சமம். x 5 /x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). எண் மற்றும் வகுப்பி இரண்டிலும் காணப்படும் ஒரே மாதிரியான சொற்களைக் குறைக்க முடியும் என்பதால், இரண்டு “x” அல்லது x 2 இன் பெருக்கல் எண்களில் இருக்கும்.

• பலருக்கு சரியான அடையாளத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் சிரமம் இருப்பதால், வெளிப்பாட்டின் விதிமுறைகளுக்கு முந்தைய அறிகுறிகளை (பிளஸ் அல்லது மைனஸ்) எப்போதும் நினைவில் வைத்துக் கொள்ளுங்கள்.
• தேவைப்பட்டால் உதவி கேளுங்கள்!
• இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவது எளிதானது அல்ல, ஆனால் நீங்கள் அதைப் புரிந்துகொண்டால், அது உங்கள் வாழ்நாள் முழுவதும் பயன்படுத்தக்கூடிய திறமையாகும்.

எந்த மொழியைப் பயன்படுத்தினாலும், ஒரே தகவலை வெவ்வேறு வார்த்தைகளிலும் சொற்றொடர்களிலும் வெளிப்படுத்தலாம். கணித மொழி விதிவிலக்கல்ல. ஆனால் ஒரே வெளிப்பாடு வெவ்வேறு வழிகளில் சமமாக எழுதப்படலாம். சில சூழ்நிலைகளில், உள்ளீடுகளில் ஒன்று எளிமையானது. இந்த பாடத்தில் வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்துவது பற்றி பேசுவோம்.

மக்கள் வெவ்வேறு மொழிகளில் தொடர்பு கொள்கிறார்கள். எங்களைப் பொறுத்தவரை, ஒரு முக்கியமான ஒப்பீடு ஜோடி "ரஷ்ய மொழி - கணித மொழி". ஒரே தகவலை வெவ்வேறு மொழிகளில் தெரிவிக்கலாம். ஆனால், இது தவிர, ஒரு மொழியில் வெவ்வேறு வழிகளில் உச்சரிக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக: “பெட்யா வாஸ்யாவுடன் நண்பர்கள்”, “வாஸ்யா பெட்யாவுடன் நண்பர்கள்”, “பெட்யாவும் வாஸ்யாவும் நண்பர்கள்”. வித்தியாசமாக சொன்னது, ஆனால் ஒரே விஷயம். இந்த சொற்றொடரில் இருந்து நாம் எதைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பதைப் புரிந்துகொள்வோம்.

இந்த சொற்றொடரைப் பார்ப்போம்: "சிறுவன் பெட்டியாவும் சிறுவன் வாஸ்யாவும் நண்பர்கள்." நாங்கள் எதைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்பது எங்களுக்குப் புரிகிறது. இருப்பினும், இந்த சொற்றொடரின் ஒலி எங்களுக்குப் பிடிக்கவில்லை. நாம் அதை எளிமைப்படுத்த முடியாதா, அதையே சொல்லுங்கள், ஆனால் எளிமையானதா? “பையனும் பையனும்” - நீங்கள் ஒருமுறை சொல்லலாம்: “சிறுவர்கள் பெட்டியா மற்றும் வாஸ்யா நண்பர்கள்.”

“பையன்கள்”... அவர்களின் பெயர்களில் இருந்து அவர்கள் பெண்கள் இல்லை என்பது தெளிவாகிறது அல்லவா? நாங்கள் "சிறுவர்களை" அகற்றுகிறோம்: "பெட்யாவும் வாஸ்யாவும் நண்பர்கள்." "நண்பர்கள்" என்ற வார்த்தையை "நண்பர்கள்" என்று மாற்றலாம்: "பெட்யா மற்றும் வாஸ்யா நண்பர்கள்." இதன் விளைவாக, முதல், நீண்ட, அசிங்கமான சொற்றொடரைச் சமமான அறிக்கையுடன் மாற்றியமைத்தது, அது சொல்வது எளிதானது மற்றும் புரிந்துகொள்வது எளிது. இந்த சொற்றொடரை நாங்கள் எளிமைப்படுத்தியுள்ளோம். எளிமைப்படுத்துவது என்பது இன்னும் எளிமையாகச் சொல்வது, ஆனால் அர்த்தத்தை இழக்கவோ அல்லது சிதைக்கவோ கூடாது.

கணித மொழியில், தோராயமாக இதேதான் நடக்கும். ஒரே விஷயத்தை வேறு விதமாக எழுதலாம். ஒரு வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்துவது என்றால் என்ன? இதன் பொருள் அசல் வெளிப்பாட்டிற்கு பல சமமான வெளிப்பாடுகள் உள்ளன, அதாவது ஒரே பொருளைக் குறிக்கும். இந்த எல்லா வகைகளிலிருந்தும் நாம் எளிமையான, எங்கள் கருத்துப்படி, அல்லது எங்கள் மேலும் நோக்கங்களுக்காக மிகவும் பொருத்தமானதைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டாக, எண் வெளிப்பாட்டைக் கவனியுங்கள். க்கு சமமாக இருக்கும்.

இது முதல் இரண்டிற்கும் சமமாக இருக்கும்: .

நாங்கள் எங்கள் வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்தியுள்ளோம் மற்றும் குறுகிய சமமான வெளிப்பாட்டைக் கண்டறிந்துள்ளோம்.

எண் வெளிப்பாடுகளுக்கு, நீங்கள் எப்பொழுதும் அனைத்து படிகளையும் செய்து அதற்கு சமமான வெளிப்பாட்டை ஒற்றை எண்ணாகப் பெற வேண்டும்.

ஒரு நேரடி வெளிப்பாட்டின் உதாரணத்தைப் பார்ப்போம் . வெளிப்படையாக, அது எளிதாக இருக்கும்.

நேரடி வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கும் போது, ​​சாத்தியமான அனைத்து செயல்களையும் செய்ய வேண்டியது அவசியம்.

ஒரு வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்துவது எப்போதுமே அவசியமா? இல்லை, சில சமயங்களில் சமமான ஆனால் நீண்ட நுழைவு நமக்கு மிகவும் வசதியாக இருக்கும்.

உதாரணம்: ஒரு எண்ணிலிருந்து ஒரு எண்ணைக் கழிக்க வேண்டும்.

கணக்கிடுவது சாத்தியம், ஆனால் முதல் எண்ணை அதன் சமமான குறிப்பால் குறிப்பிடப்பட்டால்: , கணக்கீடுகள் உடனடியாக இருக்கும்: .

அதாவது, மேலும் கணக்கீடுகளுக்கு எளிமைப்படுத்தப்பட்ட வெளிப்பாடு எப்போதும் நமக்குப் பயனளிக்காது.

இருப்பினும், "வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவது" போன்ற ஒரு பணியை நாம் அடிக்கடி எதிர்கொள்கிறோம்.

வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கு: .

தீர்வு

1) முதல் மற்றும் இரண்டாவது அடைப்புக்குறிக்குள் செயல்களைச் செய்யவும்: .

2) தயாரிப்புகளை கணக்கிடுவோம்: .

வெளிப்படையாக, கடைசி வெளிப்பாடு ஆரம்ப வடிவத்தை விட எளிமையான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது. நாங்கள் அதை எளிதாக்கியுள்ளோம்.

வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்த, அது சமமான (சமம்) மூலம் மாற்றப்பட வேண்டும்.

சமமான வெளிப்பாட்டைத் தீர்மானிக்க உங்களுக்குத் தேவை:

1) சாத்தியமான அனைத்து செயல்களையும் செய்யவும்

2) கணக்கீடுகளை எளிதாக்க கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் ஆகிய பண்புகளைப் பயன்படுத்தவும்.

கூட்டல் மற்றும் கழித்தல் பண்புகள்:

1. கூட்டல் மாற்றும் சொத்து: விதிமுறைகளை மறுசீரமைப்பது தொகையை மாற்றாது.

2. கூட்டுச் சொத்து: இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் மூன்றாவது எண்ணைச் சேர்க்க, முதல் எண்ணுடன் இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது எண்களின் கூட்டுத்தொகையைச் சேர்க்கலாம்.

3. எண்ணிலிருந்து ஒரு தொகையைக் கழிக்கும் பண்பு: ஒரு எண்ணிலிருந்து ஒரு தொகையைக் கழிக்க, ஒவ்வொரு சொல்லையும் தனித்தனியாகக் கழிக்கலாம்.

பெருக்கல் மற்றும் வகுத்தல் பண்புகள்

1. பெருக்கத்தின் பரிமாற்றப் பண்பு: காரணிகளை மறுசீரமைப்பது உற்பத்தியை மாற்றாது.

2. கூட்டுப் பண்பு: இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்தால் ஒரு எண்ணைப் பெருக்க, முதலில் அதை முதல் காரணியால் பெருக்கி, அதன் விளைவாக வரும் பொருளை இரண்டாவது காரணியால் பெருக்கலாம்.

3. பெருக்கத்தின் பரவலான சொத்து: ஒரு எண்ணை ஒரு தொகையால் பெருக்க, நீங்கள் அதை ஒவ்வொரு காலத்திலும் தனித்தனியாக பெருக்க வேண்டும்.

நாம் உண்மையில் மனக் கணக்கீடுகளை எவ்வாறு செய்கிறோம் என்பதைப் பார்ப்போம்.

கணக்கிடு:

தீர்வு

1) எப்படி என்று கற்பனை செய்யலாம்

2) முதல் காரணியை பிட் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் கற்பனை செய்து பெருக்குவோம்:

3) பெருக்குவது எப்படி மற்றும் செய்வது என்பதை நீங்கள் கற்பனை செய்யலாம்:

4) முதல் காரணியை சமமான தொகையுடன் மாற்றவும்:

விநியோகச் சட்டத்தை எதிர் திசையிலும் பயன்படுத்தலாம்: .

இந்த வழிமுறைகளைப் பின்பற்றவும்:

1) 2)

தீர்வு

1) வசதிக்காக, நீங்கள் விநியோகச் சட்டத்தைப் பயன்படுத்தலாம், ஆனால் அதை எதிர் திசையில் பயன்படுத்தலாம் - பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கவும்.

2) பொதுவான காரணியை அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து எடுக்கலாம்

சமையலறை மற்றும் ஹால்வேக்கு லினோலியம் வாங்குவது அவசியம். சமையலறை பகுதி - , நடைபாதை - . லினோலியம் மூன்று வகைகள் உள்ளன: ஐந்து, மற்றும் ரூபிள். மூன்று வகையான லினோலியம் ஒவ்வொன்றும் எவ்வளவு செலவாகும்? (படம் 1)

அரிசி. 1. பிரச்சனை அறிக்கைக்கான விளக்கம்

தீர்வு

முறை 1. சமையலறைக்கு லினோலியம் வாங்குவதற்கு எவ்வளவு பணம் எடுக்கும் என்பதை நீங்கள் தனித்தனியாகக் கண்டுபிடிக்கலாம், பின்னர் ஹால்வேயில் மற்றும் அதன் விளைவாக தயாரிப்புகளைச் சேர்க்கலாம்.

குறிப்பு 1

ஒரு பூலியன் செயல்பாடு ஒரு பூலியன் வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி எழுதப்படலாம், பின்னர் அதை ஒரு லாஜிக் சர்க்யூட்டுக்கு நகர்த்தலாம். எளிமையான சாத்தியமான (எனவே மலிவான) தருக்க சுற்றுகளைப் பெறுவதற்கு தருக்க வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவது அவசியம். உண்மையில், ஒரு தருக்க செயல்பாடு, ஒரு தருக்க வெளிப்பாடு மற்றும் ஒரு தருக்க சுற்று ஆகியவை ஒரு நிறுவனத்தைப் பற்றி பேசும் மூன்று வெவ்வேறு மொழிகள்.

தருக்க வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்த பயன்படுத்தவும் இயற்கணித தர்க்கத்தின் விதிகள்.

சில மாற்றங்கள் கிளாசிக்கல் இயற்கணிதத்தில் உள்ள சூத்திரங்களின் மாற்றங்களைப் போலவே இருக்கும் (அடைப்புக்குறிக்குள் இருந்து பொதுவான காரணியை எடுத்து, பரிமாற்ற மற்றும் கூட்டுச் சட்டங்களைப் பயன்படுத்துதல் போன்றவை), மற்ற மாற்றங்கள் கிளாசிக்கல் இயற்கணிதத்தின் செயல்பாடுகள் இல்லாத பண்புகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை (விநியோகத்தைப் பயன்படுத்தி. இணைப்பிற்கான சட்டம், உறிஞ்சுதல் விதிகள், ஒட்டுதல், டி மோர்கனின் விதிகள் போன்றவை).

தர்க்க இயற்கணிதத்தின் விதிகள் அடிப்படை தருக்க செயல்பாடுகளுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளன - "NOT" - தலைகீழ் (எதிர்ப்பு), "AND" - இணைப்பு (தருக்க பெருக்கல்) மற்றும் "OR" - டிஸ்ஜங்க்ஷன் (தர்க்கரீதியான கூட்டல்).

இரட்டை மறுப்பு விதி என்பது "NOT" செயல்பாடு மீளக்கூடியது என்பதாகும்: நீங்கள் அதை இரண்டு முறை பயன்படுத்தினால், இறுதியில் தருக்க மதிப்பு மாறாது.

எந்த தர்க்கரீதியான வெளிப்பாடும் உண்மை அல்லது தவறானது ("மூன்றாவது இல்லை") என்று விலக்கப்பட்ட நடுத்தர சட்டம் கூறுகிறது. எனவே, $A=1$ எனில், $\bar(A)=0$ (மற்றும் நேர்மாறாகவும்), அதாவது இந்த அளவுகளின் இணைப்பு எப்போதும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், மற்றும் விலகல் எப்போதும் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும்.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

இந்த சூத்திரத்தை எளிதாக்குவோம்:

படம் 3.

அது $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$ என்று பின்வருமாறு.

பதில்:மாணவர்கள் $B$, $C$ மற்றும் $D$ சதுரங்கம் விளையாடுகிறார்கள், ஆனால் மாணவர் $A$ விளையாடுவதில்லை.

தருக்க வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்கும் போது, ​​பின்வரும் செயல்களின் வரிசையை நீங்கள் செய்யலாம்:

1. அனைத்து "அடிப்படை அல்லாத" செயல்பாடுகளையும் (சமநிலை, உட்குறிப்பு, பிரத்தியேக OR, முதலியன) அவற்றின் வெளிப்பாடுகளுடன் தலைகீழ், இணைத்தல் மற்றும் விலகல் ஆகியவற்றின் அடிப்படை செயல்பாடுகள் மூலம் மாற்றவும்.
2. டி மோர்கனின் விதிகளின்படி சிக்கலான வெளிப்பாடுகளின் தலைகீழ் மாற்றங்களை விரிவுபடுத்தவும், எதிர்மறை செயல்பாடுகள் தனிப்பட்ட மாறிகளுக்கு மட்டுமே இருக்கும்.
3. பின்னர் அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்பதைப் பயன்படுத்தி, பொதுவான காரணிகளை அடைப்புக்குறிகளுக்கு வெளியே மற்றும் தருக்க இயற்கணிதத்தின் பிற விதிகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாட்டை எளிதாக்கவும்.

எடுத்துக்காட்டு 2

இங்கே, டி மோர்கனின் விதி, பகிர்ந்தளிக்கும் விதி, விலக்கப்பட்ட நடுநிலை விதி, பரிமாற்றச் சட்டம், திரும்பத் திரும்பச் சட்டம், மீண்டும் பரிமாற்றச் சட்டம் மற்றும் உறிஞ்சுதல் விதி ஆகியவை தொடர்ச்சியாகப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

சில இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகள் மட்டுமே பள்ளி மாணவர்களை பயமுறுத்துகின்றன. நீண்ட வெளிப்பாடுகள் பயமுறுத்துவது மட்டுமல்லாமல், கணக்கீடுகளை மிகவும் கடினமாக்குகின்றன. பின்வருவனவற்றை உடனடியாகப் புரிந்துகொள்ள முயற்சித்தால், குழப்பமடைய அதிக நேரம் எடுக்காது. இந்த காரணத்திற்காகவே, கணிதவியலாளர்கள் எப்போதும் ஒரு "பயங்கரமான" சிக்கலை முடிந்தவரை எளிமைப்படுத்த முயற்சி செய்கிறார்கள், அதன் பிறகுதான் அதைத் தீர்க்கத் தொடங்குகிறார்கள். விந்தை போதும், இந்த தந்திரம் கணிசமாக வேலை செயல்முறையை துரிதப்படுத்துகிறது.

இயற்கணிதத்தின் அடிப்படை புள்ளிகளில் ஒன்று எளிமைப்படுத்தல். எளிமையான சிக்கல்களில் நீங்கள் அதை இல்லாமல் செய்ய முடிந்தால், உதாரணங்களைக் கணக்கிடுவது மிகவும் கடினமாக இருக்கும். இங்குதான் இந்தத் திறமைகள் கைக்கு வரும்! மேலும், சிக்கலான கணித அறிவு தேவையில்லை: நடைமுறையில் சில அடிப்படை நுட்பங்கள் மற்றும் சூத்திரங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்ள கற்றுக்கொள்வது போதுமானது.

கணக்கீடுகளின் சிக்கலான தன்மையைப் பொருட்படுத்தாமல், எந்தவொரு வெளிப்பாட்டையும் தீர்க்கும்போது அது முக்கியமானது எண்களுடன் செயல்பாடுகளைச் செய்யும் வரிசையைப் பின்பற்றவும்:

1. அடைப்புக்குறிகள்;
2. விரிவாக்கம்;
3. பெருக்கல்;
4. பிரிவு;
5. கூடுதலாக;
6. கழித்தல்.

கடைசி இரண்டு புள்ளிகளை எளிதாக மாற்றலாம் மற்றும் இது எந்த வகையிலும் முடிவை பாதிக்காது. ஆனால் ஒன்றுக்கு அடுத்ததாக ஒரு பெருக்கல் அடையாளம் இருக்கும் போது இரண்டு அடுத்தடுத்த எண்களைச் சேர்ப்பது முற்றிலும் தடைசெய்யப்பட்டுள்ளது! பதில், ஏதேனும் இருந்தால், தவறானது. எனவே, நீங்கள் வரிசையை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

அத்தகைய பயன்பாடு

அத்தகைய உறுப்புகளில் ஒரே வரிசை அல்லது அதே அளவு மாறி கொண்ட எண்கள் அடங்கும். இலவச சொற்கள் என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன, அவைகளுக்கு அடுத்ததாக தெரியாதவற்றுக்கான எழுத்து பதவி இல்லை.

புள்ளி அடைப்புக்குறிகள் இல்லாத நிலையில் உள்ளது ஒத்ததைக் கூட்டி அல்லது கழிப்பதன் மூலம் வெளிப்பாட்டை எளிமையாக்கலாம்.

சில விளக்க எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 8x 2 மற்றும் 3x 2 - இரண்டு எண்களும் ஒரே மாதிரியான இரண்டாவது வரிசை மாறியைக் கொண்டுள்ளன, எனவே அவை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும், மேலும் அவை (8+3)x 2 =11x 2 ஆக எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன, அதே சமயம் கழிக்கும்போது அவை (8-3)x 2 =5x கிடைக்கும். 2 ;
• 4x 3 மற்றும் 6x - இங்கே “x” வெவ்வேறு டிகிரிகளைக் கொண்டுள்ளது;
• 2y 7 மற்றும் 33x 7 - வெவ்வேறு மாறிகள் உள்ளன, எனவே, முந்தைய வழக்கில், அவை ஒத்ததாக இல்லை.

எண்ணை காரணியாக்குதல்

இந்த சிறிய கணித தந்திரம், நீங்கள் அதை சரியாகப் பயன்படுத்தக் கற்றுக்கொண்டால், எதிர்காலத்தில் ஒரு தந்திரமான சிக்கலைச் சமாளிக்க ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட முறை உங்களுக்கு உதவும். "அமைப்பு" எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் புரிந்துகொள்வது கடினம் அல்ல: சிதைவு என்பது பல தனிமங்களின் விளைபொருளாகும், அதன் கணக்கீடு அசல் மதிப்பைக் கொடுக்கும். எனவே, 20ஐ 20x1, 2x10, 5x4, 2x5x2 அல்லது வேறு வழிகளில் குறிப்பிடலாம்.

குறிப்பு: காரணிகள் எப்பொழுதும் வகுபவர்களைப் போலவே இருக்கும். எனவே அசல் எஞ்சியாமல் வகுக்கக்கூடிய எண்களில் சிதைவதற்கு வேலை செய்யும் "ஜோடி" ஒன்றை நீங்கள் தேட வேண்டும்.

இந்த செயல்பாடு இலவச விதிமுறைகள் மற்றும் மாறியில் உள்ள எண்கள் இரண்டிலும் செய்யப்படலாம். முக்கிய விஷயம், கணக்கீடுகளின் போது பிந்தையதை இழக்கக்கூடாது - கூட சிதைந்த பிறகு, தெரியாதவர்கள் "எங்கும் செல்ல முடியாது." இது பெருக்கிகளில் ஒன்றில் உள்ளது:

• 15x=3(5x);
• 60y 2 =(15y 2)4.

தங்களால் மட்டுமே வகுக்கப்படக்கூடிய முதன்மை எண்கள் அல்லது 1 விரிவடையாது - இது அர்த்தமற்றது.

எளிமைப்படுத்துவதற்கான அடிப்படை முறைகள்

உங்கள் கண்ணில் படும் முதல் விஷயம்:

• அடைப்புக்குறிக்குள் இருப்பது;
• பின்னங்கள்;
• வேர்கள்.

பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகள் பெரும்பாலும் அழகாக எளிமைப்படுத்தப்படலாம் என்ற எண்ணத்துடன் எழுதப்படுகின்றன.

அடைப்புக்குறிக்குள் கணக்கீடுகள்

அடைப்புக்குறிக்கு முன்னால் உள்ள அடையாளத்தை உன்னிப்பாகக் கவனியுங்கள்!உள்ளிருக்கும் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் பெருக்கல் அல்லது வகுத்தல் பயன்படுத்தப்படும், மேலும் ஒரு கழித்தல் குறி ஏற்கனவே உள்ள "+" அல்லது "-" குறிகளை மாற்றும்.

அடைப்புக்குறிகள் விதிகளின்படி கணக்கிடப்படுகின்றன அல்லது சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகின்றன, அதன் பிறகு ஒத்தவை வழங்கப்படுகின்றன.

பின்னங்களைக் குறைத்தல்

பின்னங்களைக் குறைக்கவும்இதுவும் எளிதானது. அத்தகைய உறுப்பினர்களைக் கொண்டுவருவதற்கான நடவடிக்கைகள் மேற்கொள்ளப்பட்டவுடன், அவர்களே ஒவ்வொரு முறையும் "விருப்பத்துடன் ஓடிவிடுகிறார்கள்". ஆனால் அதற்கு முன்பே நீங்கள் உதாரணத்தை எளிதாக்கலாம்: எண் மற்றும் வகுப்பிற்கு கவனம் செலுத்துங்கள். அவை பெரும்பாலும் பரஸ்பரம் குறைக்கக்கூடிய வெளிப்படையான அல்லது மறைக்கப்பட்ட கூறுகளைக் கொண்டிருக்கின்றன. உண்மை, முதல் வழக்கில் நீங்கள் தேவையற்றதைக் கடக்க வேண்டும் என்றால், இரண்டாவதாக நீங்கள் சிந்திக்க வேண்டும், வெளிப்பாட்டின் ஒரு பகுதியை எளிமைப்படுத்த வடிவத்திற்கு கொண்டு வர வேண்டும். பயன்படுத்தப்படும் முறைகள்:

• எண் மற்றும் வகுப்பின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைத் தேடுதல் மற்றும் அடைப்புக்குறி செய்தல்;
• ஒவ்வொரு மேல் உறுப்புகளையும் வகுப்பினால் வகுத்தல்.

ஒரு வெளிப்பாடு அல்லது அதன் பகுதி வேரின் கீழ் இருக்கும்போது, எளிமைப்படுத்துதலின் முதன்மைப் பணியானது பின்னங்களின் வழக்கைப் போலவே உள்ளது. அதை முற்றிலுமாக அகற்றுவதற்கான வழிகளைத் தேடுவது அவசியம் அல்லது, இது முடியாவிட்டால், கணக்கீடுகளில் குறுக்கிடும் அடையாளத்தைக் குறைக்கவும். எடுத்துக்காட்டாக, தடையற்ற √(3) அல்லது √(7) வரை.

ஒரு தீவிரமான வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குவதற்கான ஒரு உறுதியான வழி, அதை காரணியாக்க முயற்சிப்பதாகும், அவற்றில் சில அடையாளத்திற்கு அப்பால் நீட்டிக்கப்படுகின்றன. ஒரு விளக்க உதாரணம்: √(90)=√(9×10) =√(9)×√(10)=3√(10).

மற்ற சிறிய தந்திரங்கள் மற்றும் நுணுக்கங்கள்:

• இந்த எளிமைப்படுத்தல் செயல்பாடு பின்னங்களுடன் மேற்கொள்ளப்படலாம், அதை அடையாளத்திலிருந்து ஒட்டுமொத்தமாகவும் தனித்தனியாகவும் எண் அல்லது வகுப்பாக எடுத்துக் கொள்ளலாம்;
• கூட்டுத்தொகை அல்லது வேறுபாட்டின் ஒரு பகுதியை ரூட்டிற்கு அப்பால் விரிவாக்கி எடுக்க முடியாது;
• மாறிகளுடன் பணிபுரியும் போது, ​​​​அதன் பட்டத்தை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ள வேண்டும், அது ரூட்டிற்கு சமமாகவோ அல்லது பல மடங்குகளாகவோ இருக்க வேண்டும்: √(x 2 y)=x√(y), √(x 3 )=√(x 2 ×x)=x√( x);
• சில சமயங்களில் தீவிர மாறியை ஒரு பகுதி சக்தியாக உயர்த்துவதன் மூலம் அகற்ற முடியும்: √(y 3)=y 3/2.

சக்தி வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குதல்

மைனஸ் அல்லது பிளஸ் மூலம் எளிய கணக்கீடுகளின் விஷயத்தில், ஒரே மாதிரியானவற்றை மேற்கோள் காட்டி எடுத்துக்காட்டுகள் எளிமைப்படுத்தப்பட்டால், வெவ்வேறு சக்திகளுடன் மாறிகளைப் பெருக்கும்போது அல்லது வகுத்தால் என்ன செய்வது? இரண்டு முக்கிய விஷயங்களை நினைவில் வைத்துக் கொள்வதன் மூலம் அவற்றை எளிதாக எளிதாக்கலாம்:

1. மாறிகளுக்கு இடையில் ஒரு பெருக்கல் அடையாளம் இருந்தால், சக்திகள் சேர்க்கப்படும்.
2. அவை ஒன்றோடொன்று வகுக்கப்படும் போது, ​​வகுப்பின் அதே சக்தியானது, எண்ணின் சக்தியிலிருந்து கழிக்கப்படுகிறது.

அத்தகைய எளிமைப்படுத்தலுக்கான ஒரே நிபந்தனை என்னவென்றால், இரண்டு சொற்களும் ஒரே அடிப்படையைக் கொண்டுள்ளன. தெளிவுக்கான எடுத்துக்காட்டுகள்:

• 5x 2 ×4x 7 +(y 13 /y 11)=(5×4)x 2+7 +y 13- 11 =20x 9 +y 2;
• 2z 3 +z×z 2 -(3×z 8 /z 5)=2z 3 +z 1+2 -(3×z 8-5)=2z 3 +z 3 -3z 3 =3z 3 -3z 3 = 0.

மாறிகளுக்கு முன்னால் எண் மதிப்புகளைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் வழக்கமான கணித விதிகளின்படி நிகழ்கின்றன என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். நீங்கள் உற்று நோக்கினால், "வேலை" என்ற வெளிப்பாட்டின் சக்தி கூறுகள் இதேபோல் தெரிகிறது:

• ஒரு சொல்லை ஒரு சக்தியாக உயர்த்துவது என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணிக்கையிலான முறை, அதாவது x 2 =x×x;
• பிரிவு ஒத்ததாகும்: நீங்கள் எண் மற்றும் வகுப்பின் அதிகாரங்களை விரிவுபடுத்தினால், சில மாறிகள் ரத்து செய்யப்படும், மீதமுள்ளவை "சேகரிக்கப்பட்டவை", இது கழிப்பிற்கு சமம்.

எதையும் போலவே, இயற்கணித வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குவதற்கு அடிப்படைகள் பற்றிய அறிவு மட்டுமல்ல, பயிற்சியும் தேவைப்படுகிறது. ஒரு சில பாடங்களுக்குப் பிறகு, ஒருமுறை சிக்கலானதாகத் தோன்றிய எடுத்துக்காட்டுகள் அதிக சிரமமின்றி குறைக்கப்பட்டு, குறுகிய மற்றும் எளிதில் தீர்க்கக்கூடியதாக மாறும்.

வீடியோ

வெளிப்பாடுகள் எவ்வாறு எளிமைப்படுத்தப்படுகின்றன என்பதைப் புரிந்துகொள்ளவும் நினைவில் கொள்ளவும் இந்த வீடியோ உதவும்.

உங்கள் கேள்விக்கு பதில் கிடைக்கவில்லையா? ஆசிரியர்களுக்கு ஒரு தலைப்பைப் பரிந்துரைக்கவும்.

கணிதம்-கால்குலேட்டர்-ஆன்லைன் v.1.0

கால்குலேட்டர் பின்வரும் செயல்பாடுகளை செய்கிறது: கூட்டல், கழித்தல், பெருக்கல், வகுத்தல், தசமங்களுடன் பணிபுரிதல், ரூட் பிரித்தெடுத்தல், அதிவேகப்படுத்தல், சதவீத கணக்கீடுகள் மற்றும் பிற செயல்பாடுகள்.

தீர்வு:

கணித கால்குலேட்டரை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி ஆன்லைன் கால்குலேட்டரின் அல்காரிதம்

கூட்டல்.

இயற்கை முழு எண்களின் கூட்டல் (5 + 7 = 12)

முழு எண் இயற்கை மற்றும் எதிர்மறை எண்களின் கூட்டல் ( 5 + (-2) = 3 )

தசம பின்னங்களைச் சேர்த்தல் (0.3 + 5.2 = 5.5)

கழித்தல்.

இயற்கை முழு எண்களைக் கழித்தல் ( 7 - 5 = 2 )

இயற்கை மற்றும் எதிர்மறை முழு எண்களைக் கழித்தல் ( 5 - (-2) = 7 )

தசம பின்னங்களைக் கழித்தல் (6.5 - 1.2 = 4.3)

பெருக்கல்.

இயற்கை முழு எண்களின் தயாரிப்பு (3 * 7 = 21)

இயற்கை மற்றும் எதிர்மறை முழு எண்களின் தயாரிப்பு ( 5 * (-3) = -15 )

தசம பின்னங்களின் தயாரிப்பு ( 0.5 * 0.6 = 0.3 )

பிரிவு.

இயற்கை முழு எண்களின் பிரிவு (27/3 = 9)

இயற்கை மற்றும் எதிர்மறை முழு எண்களின் பிரிவு (15 / (-3) = -5)

தசம பின்னங்களின் பிரிவு (6.2 / 2 = 3.1)

எண்ணின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தல்.

ஒரு முழு எண்ணின் மூலத்தை பிரித்தெடுத்தல் ( ரூட்(9) = 3)

தசம பின்னங்களின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தல் (ரூட்(2.5) = 1.58)

எண்களின் கூட்டுத்தொகையின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தல் ( ரூட்(56 + 25) = 9)

எண்களுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டின் மூலத்தைப் பிரித்தெடுத்தல் (ரூட் (32 – 7) = 5)

ஒரு எண்ணை வகுப்பது.

ஒரு முழு எண்ணை வகுப்பது ( (3) 2 = 9 )

சதுர தசமங்கள் ((2,2)2 = 4.84)

தசம பின்னங்களாக மாற்றுதல்.

எண்ணின் சதவீதங்களைக் கணக்கிடுதல்

230 என்ற எண்ணை 15% அதிகரிக்கவும் (230 + 230 * 0.15 = 264.5 )

510 என்ற எண்ணை 35% குறைக்கவும் ( 510 – 510 * 0.35 = 331.5 )

140 என்ற எண்ணில் 18% (140 * 0.18 = 25.2)