பாடம் " இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறை." இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்
கணிதம் மற்றும் இயற்பியலில் பல சிக்கல்களில் இருபடி சமன்பாடுகள் அடிக்கடி தோன்றும், எனவே ஒவ்வொரு மாணவரும் அவற்றை தீர்க்க முடியும். இந்த கட்டுரை இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்ப்பதற்கான அடிப்படை முறைகளை விரிவாக விவாதிக்கிறது, மேலும் அவற்றின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளையும் வழங்குகிறது.
எந்த சமன்பாடு இருபடி என்று அழைக்கப்படுகிறது?
முதலில், கட்டுரையில் என்ன விவாதிக்கப்படும் என்பதை நன்கு புரிந்துகொள்ள இந்த பத்தியின் கேள்விக்கு பதிலளிப்போம். எனவே, இருபடிச் சமன்பாடு பின்வரும் பொதுவான வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது: c + b*x+a*x 2 =0, இதில் a, b, c ஆகியவை குணகங்கள் எனப்படும் சில எண்கள். இங்கே a≠0 என்பது ஒரு கட்டாய நிலை, இல்லையெனில் குறிப்பிடப்பட்ட சமன்பாடு நேரியல் ஒன்றாக சிதைகிறது. மீதமுள்ள குணகங்கள் (b, c) பூஜ்ஜியம் உட்பட எந்த மதிப்புகளையும் எடுக்கலாம். எனவே, a*x 2 =0, b=0 மற்றும் c=0 அல்லது c+a*x 2 =0, b=0, அல்லது b*x+a*x 2 =0, c=0 போன்ற வெளிப்பாடுகள் - இவையும் இருபடிச் சமன்பாடுகள், அவை முழுமையடையாதவை என அழைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் அவற்றில் நேரியல் குணகம் b பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும், அல்லது இலவச சொல் c பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அல்லது அவை இரண்டும் மறைந்துவிடும்.
ஒரு சமன்பாடு a=1 குறைக்கப்பட்டது, அதாவது, இது வடிவம் கொண்டது: x 2 + c/a + (b/a)*x =0.
ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது அதன் சமத்துவத்தை பூர்த்தி செய்யும் x இன் மதிப்புகளைக் கண்டறிவதை உள்ளடக்கியது. இந்த மதிப்புகள் வேர்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கேள்விக்குரிய சமன்பாடு இரண்டாவது பட்டத்தின் வெளிப்பாடாக இருப்பதால், அதன் வேர்களின் அதிகபட்ச எண்ணிக்கை இரண்டுக்கு மேல் இருக்கக்கூடாது என்பதாகும்.
இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க என்ன முறைகள் உள்ளன
பொதுவாக, 4 தீர்வு முறைகள் உள்ளன. அவர்களின் பெயர்கள் கீழே பட்டியலிடப்பட்டுள்ளன:
- காரணியாக்கம்.
- ஒரு சதுரத்தின் நிரப்பு.
- அறியப்பட்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துதல் (பாகுபாடு மூலம்).
- தீர்வு வடிவியல் ஆகும்.
மேலே உள்ள பட்டியலிலிருந்து தெளிவாகிறது, முதல் மூன்று முறைகள் இயற்கணிதம் ஆகும், எனவே அவை கடைசி முறையை விட அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதில் ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவது அடங்கும்.
வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க மற்றொரு வழி உள்ளது. இது மேலே உள்ள பட்டியலில் 5 வது இடத்தில் சேர்க்கப்படலாம், இருப்பினும், இது செய்யப்படவில்லை, ஏனெனில் வியட்டாவின் தேற்றம் 3 வது முறையின் எளிய விளைவு.
முறை எண் 1. காரணியாக்கம்
இருபடி கணிதத்தில் இந்த முறைக்கு ஒரு அழகான பெயர் உள்ளது: காரணியாக்கம். இந்த முறையின் சாராம்சம் பின்வருமாறு: இரண்டு சொற்களின் (வெளிப்பாடுகள்) ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை முன்வைக்க வேண்டியது அவசியம், இது பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். அத்தகைய பிரதிநிதித்துவத்திற்குப் பிறகு, நீங்கள் ஒரு பொருளின் சொத்தைப் பயன்படுத்தலாம், அதன் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட (அனைத்தும்) விதிமுறைகள் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும்போது மட்டுமே பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்.
சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய செய்ய வேண்டிய குறிப்பிட்ட செயல்களின் வரிசையை இப்போது கவனியுங்கள்:
- அனைத்து சொற்களையும் வெளிப்பாட்டின் ஒரு பகுதிக்கு மாற்றவும் (எடுத்துக்காட்டாக, இடதுபுறம்) மற்ற பகுதியில் (வலது) 0 மட்டுமே இருக்கும்.
- சமத்துவத்தின் ஒரு பகுதியில் உள்ள சொற்களின் கூட்டுத்தொகையை இரண்டு நேரியல் சமன்பாடுகளின் பலனாக வழங்கவும்.
- ஒவ்வொரு நேரியல் வெளிப்பாடுகளையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து அவற்றைத் தீர்க்கவும்.
நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, காரணியாக்கல் வழிமுறை மிகவும் எளிமையானது, இருப்பினும், 2 வது புள்ளியை செயல்படுத்தும் போது பெரும்பாலான பள்ளி மாணவர்களுக்கு சிரமங்கள் உள்ளன, எனவே நாங்கள் அதை இன்னும் விரிவாக விளக்குவோம்.
எந்த 2 நேரியல் வெளிப்பாடுகள், ஒன்றையொன்று பெருக்கினால், விரும்பிய இருபடி சமன்பாட்டைக் கொடுக்கும் என்று யூகிக்க, நீங்கள் இரண்டு எளிய விதிகளை நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:
- இரண்டு நேரியல் வெளிப்பாடுகளின் நேரியல் குணகங்கள், ஒன்றையொன்று பெருக்கும்போது, இருபடிச் சமன்பாட்டின் முதல் குணகத்தைக் கொடுக்க வேண்டும், அதாவது எண் a.
- நேரியல் வெளிப்பாடுகளின் இலவச சொற்கள், பெருக்கப்படும்போது, விரும்பிய சமன்பாட்டின் எண்ணை c கொடுக்க வேண்டும்.
காரணிகளின் அனைத்து எண்களும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பிறகு, அவை பெருக்கப்பட வேண்டும், மேலும் அவை விரும்பிய சமன்பாட்டைக் கொடுத்தால், மேலே விவரிக்கப்பட்ட வழிமுறையில் படி 3 க்குச் செல்லவும், இல்லையெனில் காரணிகள் மாற்றப்பட வேண்டும், ஆனால் இது செய்யப்பட வேண்டும். கொடுக்கப்பட்ட விதிகள் எப்போதும் பின்பற்றப்படுகின்றன.
காரணிப்படுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு
ஒரு இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையை எவ்வாறு உருவாக்குவது மற்றும் அறியப்படாத வேர்களைக் கண்டுபிடிப்பது எப்படி என்பதை நாங்கள் தெளிவாகக் காண்பிப்போம். ஒரு தன்னிச்சையான வெளிப்பாடு கொடுக்கப்படட்டும், எடுத்துக்காட்டாக, 2*x-5+5*x 2 -2*x 2 = x 2 +2+x 2 +1. கட்டுரையின் முந்தைய பத்தியில் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள 1 முதல் 3 வரையிலான புள்ளிகளின் வரிசையை கவனித்து, அதன் தீர்வுக்கு செல்லலாம்.
புள்ளி 1. அனைத்து சொற்களையும் இடது பக்கம் நகர்த்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கான கிளாசிக்கல் வரிசையில் அவற்றை வரிசைப்படுத்துவோம். எங்களிடம் பின்வரும் சமத்துவம் உள்ளது: 2*x+(-8)+x 2 =0.
புள்ளி 2. நாம் அதை நேரியல் சமன்பாடுகளின் ஒரு பொருளாக உடைக்கிறோம். a=1, மற்றும் c=-8 என்பதால், நாம் பின்வரும் தயாரிப்பு (x-2)*(x+4) ஐத் தேர்ந்தெடுப்போம். மேலே உள்ள பத்தியில் அமைக்கப்பட்டுள்ள மதிப்பிடப்பட்ட பெருக்கிகளைத் தேடுவதற்கான விதிகளை இது பூர்த்தி செய்கிறது. அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்: -8+2*x+x 2 , அதாவது சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தில் உள்ள அதே வெளிப்பாட்டைப் பெறுவோம். இதன் பொருள் நாம் பெருக்கிகளை சரியாக யூகித்துள்ளோம், மேலும் அல்காரிதத்தின் 3 வது புள்ளிக்கு நாம் செல்லலாம்.
புள்ளி 3. நாம் ஒவ்வொரு காரணியையும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம், நாம் பெறுகிறோம்: x=-4 மற்றும் x=2.
பெறப்பட்ட முடிவைப் பற்றி ஏதேனும் சந்தேகங்கள் இருந்தால், அசல் சமன்பாட்டில் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை மாற்றுவதன் மூலம் சரிபார்க்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில் நம்மிடம் உள்ளது: 2*2+2 2 -8=0 மற்றும் 2*(-4)+(-4) 2 -8=0. வேர்கள் சரியாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டன.
இவ்வாறு, காரணிமயமாக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டிருப்பதைக் கண்டறிந்தோம்: 2 மற்றும் -4.
முறை எண் 2. ஒரு சரியான சதுரத்தை நிரப்பவும்
இருபடி சமன்பாடுகளின் இயற்கணிதத்தில், பெருக்கிகளின் முறையை எப்போதும் பயன்படுத்த முடியாது, ஏனெனில் இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்களின் பகுதியளவு மதிப்புகளின் விஷயத்தில், வழிமுறையின் புள்ளி 2 ஐ செயல்படுத்துவதில் சிரமங்கள் எழுகின்றன.
முழு சதுர முறை, இதையொட்டி, உலகளாவியது மற்றும் எந்த வகை இருபடி சமன்பாடுகளுக்கும் பயன்படுத்தப்படலாம். அதன் சாராம்சம் பின்வரும் செயல்பாடுகளைச் செய்வதாகும்:
- a மற்றும் b குணகங்களைக் கொண்ட சமன்பாட்டின் விதிமுறைகள் சமத்துவத்தின் ஒரு பக்கத்திற்கு மாற்றப்பட வேண்டும், மற்றும் இலவச சொல் மற்றொன்றுக்கு மாற்றப்பட வேண்டும்.
- அடுத்து, சமத்துவத்தின் பகுதிகளை (வலது மற்றும் இடது) குணகம் a மூலம் பிரிக்க வேண்டும், அதாவது சமன்பாட்டை குறைக்கப்பட்ட வடிவத்தில் (a=1) முன்வைக்க வேண்டும்.
- a மற்றும் b குணகங்களைக் கொண்ட சொற்களின் கூட்டுத்தொகை நேரியல் சமன்பாட்டின் சதுரமாக குறிப்பிடப்படுகிறது. a=1 என்பதால், நேரியல் குணகம் 1 க்கு சமமாக இருக்கும், நேரியல் சமன்பாட்டின் இலவச காலத்தைப் பொறுத்தவரை, அது குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் பாதி நேரியல் குணகத்திற்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். நேரியல் வெளிப்பாட்டின் சதுரம் தொகுக்கப்பட்ட பிறகு, சதுரத்தைத் திறக்கும் போது பெறப்படும் தொடர்புடைய எண்ணைச் சேர்க்க வேண்டியது அவசியம், சமத்துவத்தின் வலது பக்கத்தில், இலவச சொல் அமைந்துள்ளது.
- "+" மற்றும் "-" குறியீடுகளுடன் வர்க்க மூலத்தை எடுத்து, அதன் விளைவாக வரும் நேரியல் சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.
விவரிக்கப்பட்ட அல்காரிதம் முதல் பார்வையில் மிகவும் சிக்கலானதாக உணரப்படலாம், இருப்பினும், நடைமுறையில் இது காரணியாக்கும் முறையை விட செயல்படுத்த எளிதானது.
சதுர நிரப்பியைப் பயன்படுத்தி தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு
முந்தைய பத்தியில் விவரிக்கப்பட்டுள்ள முறையைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் உதாரணத்தைக் கொடுப்போம். இருபடி சமன்பாடு -10 - 6*x+5*x 2 = 0 கொடுக்கப்பட்டால், மேலே விவரிக்கப்பட்ட வழிமுறையைப் பின்பற்றுகிறோம்.
புள்ளி 1. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது பரிமாற்ற முறையைப் பயன்படுத்துகிறோம், நாம் பெறுகிறோம்: - 6*x+5*x 2 = 10.
புள்ளி 2. இந்த சமன்பாட்டின் குறைக்கப்பட்ட வடிவம் அதன் ஒவ்வொரு உறுப்பினரையும் எண் 5 ஆல் வகுப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது (சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களும் ஒரே எண்ணால் வகுக்கப்பட்டால் அல்லது பெருக்கப்பட்டால், சமத்துவம் இருக்கும்). மாற்றங்களின் விளைவாக, நாம் பெறுகிறோம்: x 2 - 6/5*x = 2.
புள்ளி 3. குணகத்தின் பாதி - 6/5 -6/10 = -3/5 க்கு சமம், ஒரு முழுமையான சதுரத்தை உருவாக்க இந்த எண்ணைப் பயன்படுத்தவும், நாம் பெறுகிறோம்: (-3/5+x) 2. அதை விரிவுபடுத்துவோம், அதன் விளைவாக வரும் இலவச காலத்தை சமத்துவத்தின் இடது பக்கத்திலிருந்து கழிக்க வேண்டும், இது இருபடி சமன்பாட்டின் அசல் வடிவத்தை திருப்திப்படுத்துகிறது, இது வலது பக்கத்தில் சேர்ப்பதற்கு சமம். இதன் விளைவாக, நாம் பெறுகிறோம்: (-3/5+x) 2 = 59/25.
புள்ளி 4. நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை அறிகுறிகளுடன் வர்க்க மூலத்தைக் கணக்கிட்டு, வேர்களைக் கண்டறியவும்: x = 3/5±√59/5 = (3±√59)/5. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட இரண்டு வேர்களும் பின்வரும் மதிப்புகளைக் கொண்டுள்ளன: x 1 = (√59+3)/5 மற்றும் x 1 = (3-√59)/5.
செய்யப்படும் கணக்கீடுகள் வேர்களுடன் தொடர்புடையவை என்பதால், பிழை ஏற்படுவதற்கான அதிக நிகழ்தகவு உள்ளது. எனவே, x 2 மற்றும் x 1 வேர்களின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது. நாம் x 1: 5*((3+√59)/5) 2 -6*(3+√59)/5 - 10 = (9+59+6*√59)/5 - 18/5 - 6 *√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0. இப்போது மாற்று x 2: 5*((3-√59)/5) 2 -6*(3-√59)/5 - 10 = (9+59-6*√59)/5 - 18/5 + 6*√59/5-10 = 68/5-68/5 = 0.
இவ்வாறு, சமன்பாட்டின் கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்கள் உண்மை என்பதை நாங்கள் காட்டியுள்ளோம்.
முறை எண் 3. அறியப்பட்ட சூத்திரத்தின் பயன்பாடு
இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் இந்த முறை மிகவும் எளிமையானது, ஏனெனில் இது நன்கு அறியப்பட்ட சூத்திரத்தில் குணகங்களை மாற்றுவதை உள்ளடக்கியது. இதைப் பயன்படுத்த, தீர்வு வழிமுறைகளை உருவாக்குவது பற்றி நீங்கள் சிந்திக்கத் தேவையில்லை; இது மேலே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது.
இந்த சூத்திரத்தில், தீவிர வெளிப்பாடு (b 2 -4*a*c) discriminant (D) என்று அழைக்கப்படுகிறது. நீங்கள் எந்த வகையான வேர்களைப் பெறுகிறீர்கள் என்பதை அதன் மதிப்பு தீர்மானிக்கிறது. 3 சாத்தியமான வழக்குகள் உள்ளன:
- D>0, பின்னர் ரூட் இரண்டின் சமன்பாடு உண்மையான மற்றும் வேறுபட்டவைகளைக் கொண்டுள்ளது.
- D=0, பின்னர் முடிவு ஒரு ரூட் ஆகும், இது x = -b/(a*2) என்ற வெளிப்பாட்டிலிருந்து கணக்கிடப்படும்.
- டி<0, тогда получается два различных мнимых корня, которые представляются в виде комплексных чисел. Например, число 3-5*i является комплексным, при этом мнимая единица i удовлетворяет свойству: i 2 =-1.
பாரபட்சமான கணக்கீடு மூலம் தீர்வுக்கான எடுத்துக்காட்டு
மேலே உள்ள சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பயிற்சி செய்ய ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் உதாரணத்தைக் கொடுப்போம். -3*x 2 -6+3*x+4*x = 0 க்கான வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். முதலில், பாரபட்சத்தின் மதிப்பைக் கணக்கிடுவோம், நாம் பெறுவது: D = b 2 -4*a*c = 7 2 - 4*(-3)* (-6) = -23.
பெற்றதிலிருந்து டி<0, значит, корни рассматриваемого уравнения являются числами комплексными. Найдем их, подставив найденное значение D в приведенную в предыдущем пункте формулу (она также представлена на фото выше). Получим: x = 7/6±√(-23)/(-6) = (7±i*√23)/6.
முறை எண் 4. ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைப் பயன்படுத்துதல்
இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இது ஒரு விதியாக, அளவுக்காக அல்ல, ஆனால் பரிசீலனையில் உள்ள சமன்பாட்டின் தரமான பகுப்பாய்விற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது என்று சொல்ல வேண்டும்.
y = f(x) என்ற இருபடிச் செயல்பாட்டின் வரைபடத்தை உருவாக்குவதே முறையின் சாராம்சம், இது ஒரு பரவளையமாகும். பின்னர், பரவளையமானது அப்சிஸ்ஸா அச்சை (X) எந்தப் புள்ளிகளில் வெட்டுகிறது என்பதைத் தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம், இவை தொடர்புடைய சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கும்.
ஒரு பரவளையம் X அச்சில் குறுக்கிடுமா என்பதைச் சொல்ல, அதன் குறைந்தபட்ச (அதிகபட்சம்) நிலை மற்றும் அதன் கிளைகளின் திசை (அவை அதிகரிக்கலாம் அல்லது குறைக்கலாம்) ஆகியவற்றை அறிந்தால் போதும். இந்த வளைவைப் பற்றி நினைவில் கொள்ள இரண்டு பண்புகள் உள்ளன:
- a>0 எனில் - கிளை பரவளைகள் மேல்நோக்கி இயக்கப்படும், மாறாக, a எனில்<0, то они идут вниз.
- பரவளையத்தின் குறைந்தபட்ச (அதிகபட்சம்) ஒருங்கிணைப்பு எப்போதும் x = -b/(2*a) ஆகும்.
எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு -4*x+5*x 2 +10 = 0 என்பது a=5>0 என்பதால், தொடர்புடைய பரவளையமானது மேல்நோக்கி இயக்கப்படுமா என்பதைத் தீர்மானிக்க வேண்டும். அதன் உச்சம் ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது: x=4/10=2/5, y=-4*2/5+5*(2/5) 2 +10 = 9.2. வளைவின் குறைந்தபட்சம் x-அச்சுக்கு (y=9.2) மேலே இருப்பதால், அது x இன் எந்த மதிப்பிலும் பிந்தையதை வெட்டுவதில்லை. அதாவது, கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு உண்மையான வேர்கள் இல்லை.
வியட்டாவின் தேற்றம்
மேலே குறிப்பிட்டுள்ளபடி, இந்த தேற்றம் முறை எண். 3 இன் விளைவு ஆகும், இது ஒரு பாகுபாடு கொண்ட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. வியட்டாவின் தேற்றத்தின் சாராம்சம் என்னவென்றால், அது ஒரு சமன்பாட்டின் குணகங்களையும் அதன் வேர்களையும் சமத்துவத்துடன் தொடர்புபடுத்த அனுமதிக்கிறது. தொடர்புடைய சமத்துவங்களைப் பெறுகிறோம்.
பாகுபாடு மூலம் வேர்களைக் கணக்கிட சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம். இரண்டு வேர்களைச் சேர்ப்போம், நமக்குக் கிடைக்கும்: x 1 + x 2 = -b/a. இப்போது வேர்களை ஒன்றோடொன்று பெருக்கலாம்: x 1* x 2, பல எளிமைப்படுத்தல்களுக்குப் பிறகு நாம் c/a எண்ணைப் பெறுகிறோம்.
எனவே, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, நீங்கள் பெறப்பட்ட இரண்டு சமன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தலாம். ஒரு சமன்பாட்டின் மூன்று குணகங்களும் தெரிந்தால், இந்த இரண்டு சமன்பாடுகளின் பொருத்தமான அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம் வேர்களைக் கண்டறியலாம்.
வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு
அது x 2 +c = -b*x வடிவத்தைக் கொண்டிருப்பதாகவும் அதன் வேர்கள் 3 மற்றும் -4 என்றும் தெரிந்தால் இருபடிச் சமன்பாட்டை உருவாக்குவது அவசியம்.
பரிசீலனையில் உள்ள சமன்பாட்டில் a=1, Vieta இன் சூத்திரங்கள் இப்படி இருக்கும்: x 2 +x 1 = -b மற்றும் x 2 *x 1 = c. வேர்களின் அறியப்பட்ட மதிப்புகளை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்: b = 1 மற்றும் c = -12. இதன் விளைவாக, மீட்டமைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு வடிவம் கொண்டிருக்கும்: x 2 -12 = -1*x. நீங்கள் வேர்களின் மதிப்பை அதில் மாற்றலாம் மற்றும் சமத்துவம் உண்மையா என்பதை உறுதிப்படுத்திக் கொள்ளலாம்.
வியட்டா தேற்றத்தின் தலைகீழ் பயன்பாடு, அதாவது, அறியப்பட்ட சமன்பாட்டின் வடிவத்தைப் பயன்படுத்தி வேர்களைக் கணக்கிடுவது, சிறிய முழு எண்கள் a, b மற்றும் c விரைவாக (உள்ளுணர்வு) தீர்வுகளைக் கண்டறிய அனுமதிக்கிறது.
நிரலாக்கத்தில்லாசரஸ் பள்ளி மாணவர்களுக்கு.
பாடம் எண். 12.
இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது.
மாட்டிட்சின் இகோர் விளாடிமிரோவிச்
கணிதம் மற்றும் கணினி அறிவியல் ஆசிரியர்
MBOU மேல்நிலைப் பள்ளி எஸ். பணிப்பெண்
இலக்கு: எந்தவொரு உள்ளீட்டுத் தரவையும் கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க ஒரு நிரலை எழுதவும்.
மெய்டன் 2013.
இருபடி சமன்பாடு மிகவும் பொதுவான பள்ளி சமன்பாடுகளில் ஒன்றாகும். தீர்க்க மிகவும் எளிதானது என்றாலும், சில நேரங்களில் நீங்கள் பதில்களை சரிபார்க்க வேண்டும். இதற்கு நீங்கள் ஒரு எளிய நிரலைப் பயன்படுத்தலாம். அதை எழுத அதிக நேரம் எடுக்காது.
நீங்கள் இருபடி சமன்பாட்டிலேயே தொடங்க வேண்டும். இருபடிச் சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு என்பதை இயற்கணிதப் பாடத்தில் இருந்து நாம் அறிவோம்.கோடாரி 2 + bx + c =0, எங்கேஎக்ஸ் - மாறி,அ , பி மற்றும் c - சில எண்கள், மற்றும்அ .
சமன்பாட்டில் குணகங்கள் மட்டுமே மாறுகின்றன என்பது வரையறையிலிருந்து தெளிவாகிறதுஅ , பி மற்றும் c . இந்த அளவுருக்களை எங்கள் நிரலில் உள்ளிடுவோம், இதற்காக கூறுகளிலிருந்து மூன்று உள்ளீட்டு புலங்களை உருவாக்குவோம்.
படம் 14.1 குணகங்களுக்கான உள்ளீட்டு புலங்கள்.
என்ற வரையறையிலிருந்தும் இது பின்பற்றப்படுகிறதுஅ . இந்த வழக்கில், சமன்பாடு இருபடியாக இருக்காது. இந்த நிலையை முதலில் சரிபார்ப்போம். ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்தி "தீர்வு" பொத்தானையும் அதன் நிகழ்வு டெவலப்பரையும் உருவாக்குவோம்என்றால் நிலையை சரிபார்க்கலாம்அ . மற்றும் என்றால்அ =0 எங்கள் சமன்பாடு இருபடி அல்ல என்பதை உங்களுக்குத் தெரிவிக்கிறோம்.பொத்தானின் நிகழ்வு ஹேண்ட்லர் இதோ:செயல்முறை TForm1.Button1Click(அனுப்புபவர்: TObject); var a,b,c:real; a:=strtofloat(edit1.Text); b:=strtofloat(edit2.Text); c:=strtofloat(edit3.Text); a=0 என்றால் Label4.Caption:="சமன்பாடு இருபடி அல்ல";முடிவு;
அரிசி. 14.2 ஒரு சமன்பாட்டின் இருப்பை சரிபார்க்கிறது.
சமன்பாடு இருபடியாக இருந்தால் என்ன நடக்கும் என்பதை இப்போது விவரிக்க வேண்டியது அவசியம். இதுவும் அதே அறிக்கையில் இருக்கும்என்றால் வார்த்தைக்குப் பிறகுவேறு மற்றும் கலவை ஆபரேட்டரைப் பயன்படுத்தும் போது.
சமன்பாடு இருபடியாக இருந்தால், இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு மற்றும் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி உடனடியாக அதைத் தீர்ப்போம்.
சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாகுபாடு காண்பதைக் காண்கிறோம்:டி := பி * பி – 4* அ * c ;
பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருந்தால், சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை. இது இவ்வாறு விவரிக்கப்படும்:
டி என்றால் பிறகுமுத்திரை 4. தலைப்பு :='சமன்பாடு தீர்வுகள் இல்லை'வேறு …
பின்னர்வேறு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களை நேரடியாகத் தேடுவோம்:
X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;
X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;
முழு ஆபரேட்டர் குறியீடு இங்கே உள்ளதுஎன்றால் :
a=0 எனில் லேபிள்4. தலைப்பு:="சமன்பாடு இருபடி அல்ல" வேறு
தொடங்கும்
D:=b*b-4*a*c;
டி என்றால்
தொடங்கும்
X1:=(-b+sqrt(D))/2*a;
X2:=(-b-sqrt(D))/2*a;
Label4.Caption:="X1="+floattostr(x1)+" X2="+floattostr(x2);
முடிவு;
முடிவு;
அரிசி. 14.3 இருபடி சமன்பாடு நிரலின் வேலை சாளரம்.
ஸ்லைடு 2
பாடப்புத்தகத்தின்படி 8 ஆம் வகுப்பில் அல்ஜீப்ரா பாடங்களின் இருபடி சமன்பாடுகள் சுழற்சி A.G. மொர்ட்கோவிச்
ஆசிரியர் MBOU Grushevskaya மேல்நிலைப் பள்ளி Kireeva T.A.
ஸ்லைடு 3
குறிக்கோள்கள்: ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் கருத்துகளை அறிமுகப்படுத்துங்கள், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்; இருபடி சமன்பாடுகளுக்கான தீர்வுகளைக் காட்டு; இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் திறனை வளர்த்துக் கொள்ளுங்கள்; இருபடி சமன்பாடு வேர்கள் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழியைக் காட்டு.
ஸ்லைடு 4
ஸ்லைடு 5
பண்டைய பாபிலோனில் இருபடி சமன்பாடுகளின் ஒரு சிறிய வரலாறு. முதல் சமன்பாடுகளை மட்டுமல்ல, இரண்டாவது பட்டத்தையும் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம், பண்டைய காலங்களில் கூட, நில அடுக்குகளைக் கண்டறிவது மற்றும் இராணுவத் தன்மையின் அகழ்வாராய்ச்சி வேலைகள் தொடர்பான சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் ஏற்பட்டது. வானியல் மற்றும் கணிதத்தின் வளர்ச்சியைப் போலவே. பாபிலோனியர்கள் நமது நம்பிக்கைக்கு சுமார் 2000 ஆண்டுகளுக்கு முன்பே இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க முடிந்தது. நவீன இயற்கணிதக் குறியீட்டைப் பயன்படுத்தி, அவற்றின் கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் முழுமையற்றவற்றைத் தவிர, எடுத்துக்காட்டாக, முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகள் உள்ளன என்று நாம் கூறலாம்.
ஸ்லைடு 6
இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான விதி, பாபிலோனிய நூல்களில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது, நவீன காலத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் பாபிலோனியர்கள் இந்த விதிக்கு எப்படி வந்தார்கள் என்பது தெரியவில்லை. இதுவரை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அனைத்து கியூனிஃபார்ம் நூல்களும் சமையல் வடிவில் உள்ள தீர்வுகளில் சிக்கல்களை மட்டுமே முன்வைக்கின்றன, அவை எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கப்பட்டன என்பதற்கான எந்த அறிகுறியும் இல்லை. பாபிலோனியாவில் இயற்கணிதத்தின் உயர் மட்ட வளர்ச்சி இருந்தபோதிலும், கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் எதிர்மறை எண் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறைகள் இல்லை.
ஸ்லைடு 7
வரையறை 1. ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும், அங்கு குணகங்கள் a, b, c ஆகியவை எந்த உண்மையான எண்களாக இருக்கும், மேலும் பல்லுறுப்புக்கோவை ஒரு இருபடி முக்கோணம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. ஒரு - முதல், அல்லது முன்னணி குணகம் b - இரண்டாவது குணகம் - இலவச சொல்;
ஸ்லைடு 8
வரையறை 2. ஒரு இருபடி சமன்பாடு அதன் முன்னணி குணகம் 1 ஆக இருந்தால் குறைக்கப்பட்டது என்று அழைக்கப்படுகிறது; முன்னணி குணகம் 1 இலிருந்து வேறுபட்டால் ஒரு இருபடி சமன்பாடு குறைக்கப்படாதது என அழைக்கப்படுகிறது. எடுத்துக்காட்டு. 2 - 5 + 3 = 0 - குறைக்கப்படாத இருபடி சமன்பாடு - குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு
ஸ்லைடு 9
வரையறை 3. ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாடு என்பது ஒரு இருபடி சமன்பாடு ஆகும், இதில் மூன்று சொற்களும் உள்ளன. a + in + c = 0 ஒரு முழுமையற்ற இருபடிச் சமன்பாடு என்பது மூன்று சொற்களும் இல்லாத ஒரு சமன்பாடு ஆகும்; இது ஒரு சமன்பாடு ஆகும், இதற்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு குணகம், c இல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.
ஸ்லைடு 10
முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள்.
ஸ்லைடு 11
பணிகளை தீர்க்கவும் எண். 24.16 (a,b) சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்: அல்லது பதில். அல்லது பதில்.
ஸ்லைடு 12
வரையறை 4 இருபடி சமன்பாட்டின் மூலமானது x மாறியின் எந்த மதிப்பிலும் இருபடி முக்கோணம் பூஜ்ஜியமாக மாறும்; x என்ற மாறியின் இந்த மதிப்பு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.
ஸ்லைடு 13
ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் பாகுபாடு D 0 D=0 சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இல்லை சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன சமன்பாடு ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கு ஒரு வேர் சூத்திரங்களைக் கொண்டுள்ளது
ஸ்லைடு 14
D>0 இருபடிச் சமன்பாட்டில் இரண்டு வேர்கள் உள்ளன, அவை எடுத்துக்காட்டு சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்திக் காணப்படுகின்றன. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் தீர்வு. a = 3, b = 8, c = -11, பதில்: 1; -3
ஸ்லைடு 15
இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான அல்காரிதம் 1. D= 2 சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி பாரபட்சமான D ஐக் கணக்கிடுங்கள். D 0 எனில், இருபடிச் சமன்பாடு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.
பிரச்சனை கணிதத்தில் இருந்து நன்கு அறியப்படுகிறது. இங்கே ஆரம்ப தரவு குணகங்கள் a, b, c. பொதுவான வழக்கில் தீர்வு இரண்டு வேர்கள் x 1 மற்றும் x 2 ஆகும், அவை சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:
இந்த திட்டத்தில் பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து அளவுகளும் உண்மையான வகை.
algஇருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்
விஷயங்கள் a, b, c, x1, x2, d
ஆரம்பம்உள்ளீடு a, b, c
x1:=(-b+Öd)/(2a)
x2:=(-b–Öd)/(2a)
வெளியீடு x1, X2
அத்தகைய வழிமுறையின் பலவீனம் நிர்வாணக் கண்ணுக்குத் தெரியும். உயர்தர அல்காரிதம்களுக்குத் தேவையான மிக முக்கியமான சொத்து இது இல்லை: மூலத் தரவைப் பொறுத்து உலகளாவிய தன்மை. ஆரம்ப தரவின் மதிப்புகள் எதுவாக இருந்தாலும், அல்காரிதம் ஒரு குறிப்பிட்ட முடிவுக்கு இட்டுச் சென்று முடிவை அடைய வேண்டும்.இதன் விளைவாக ஒரு எண்ணியல் பதில் இருக்கலாம், ஆனால் இது போன்ற தரவுகளுடன் பிரச்சனைக்கு தீர்வு இல்லை என்ற செய்தியாகவும் இருக்கலாம். சில செயல்பாடுகளைச் செய்ய இயலாமை காரணமாக அல்காரிதத்தின் நடுவில் நிறுத்துவது ஏற்றுக்கொள்ள முடியாதது. நிரலாக்க இலக்கியத்தில் உள்ள அதே சொத்து அல்காரிதத்தின் செயல்திறன் என்று அழைக்கப்படுகிறது (எந்தவொரு சந்தர்ப்பத்திலும், சில முடிவுகளைப் பெற வேண்டும்).
ஒரு உலகளாவிய வழிமுறையை உருவாக்க, நீங்கள் முதலில் சிக்கலின் கணித உள்ளடக்கத்தை கவனமாக பகுப்பாய்வு செய்ய வேண்டும்.
சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு a, b, c குணகங்களின் மதிப்புகளைப் பொறுத்தது. இந்த சிக்கலின் பகுப்பாய்வு இங்கே உள்ளது (உண்மையான வேர்களைத் தேடுவதற்கு மட்டுமே நாங்கள் நம்மை கட்டுப்படுத்துகிறோம்):
a=0, b=0, c=0 எனில், எந்த x என்பது சமன்பாட்டிற்கான தீர்வாகும்;
a=0, b=0, c¹0 எனில், சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை;
a=0, b¹0 எனில், இது ஒரு தீர்வைக் கொண்ட ஒரு நேரியல் சமன்பாடு: x=–c/b;
a¹0 மற்றும் d=b 2 -4ac³0 எனில், சமன்பாடு இரண்டு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டுள்ளது (சூத்திரங்கள் மேலே கொடுக்கப்பட்டுள்ளன);
a¹0 மற்றும் d என்றால்<0, то уравнение не имеет вещественных корней.
அல்காரிதம் தொகுதி வரைபடம்:
அல்காரிதம் மொழியில் அதே அல்காரிதம்:
algஇருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்
விஷயங்கள் a, b, c, d, x1, x2
ஆரம்பம்உள்ளீடு a, b, c
என்றால் a=0
பின்னர் என்றால் b=0
பின்னர் என்றால் c=0
அந்தவெளியீடு "எந்த x ஒரு தீர்வு"
இல்லையெனில்வெளியீடு "தீர்வுகள் இல்லை"
இல்லையெனில் x:= –c/b
இல்லையெனில் d:=b2–4ac
என்றால்மற்றும் டி<0
அந்தவெளியீடு "உண்மையான வேர்கள் இல்லை"
இல்லையெனில் e x1:=(-b+Öd)/(2a); x2:=(-b–Öd)/(2a)
வெளியீடு “x1=”,x1, “x2=”,x2
இந்த அல்காரிதத்தில் இது மீண்டும் மீண்டும் பயன்படுத்தப்படுகிறது கட்டமைப்பு கிளை கட்டளை.தொகுதி வரைபடங்கள் மற்றும் அல்காரிதம் மொழியில் கிளை கட்டளையின் பொதுவான தோற்றம் பின்வருமாறு:
முதலில், "நிபந்தனை" சரிபார்க்கப்பட்டது (ஒரு உறவு, ஒரு தருக்க வெளிப்பாடு கணக்கிடப்படுகிறது). நிபந்தனை உண்மையாக இருந்தால், "தொடர் 1" செயல்படுத்தப்படும் - "ஆம்" (நேர்மறை கிளை) என பெயரிடப்பட்ட அம்புக்குறியால் குறிக்கப்பட்ட கட்டளைகளின் வரிசை. இல்லையெனில், "ரன் 2" (எதிர்மறை கிளை) செயல்படுத்தப்படும். SL இல், நிபந்தனை "if" என்ற துணை வார்த்தைக்குப் பிறகு எழுதப்படுகிறது, நேர்மறை கிளை - "பின்னர்" என்ற வார்த்தைக்குப் பிறகு, எதிர்மறை கிளை - "இல்லையெனில்" என்ற வார்த்தைக்குப் பிறகு. "kv" என்ற எழுத்துக்கள் கிளையின் முடிவைக் குறிக்கின்றன.
ஒரு கிளையின் கிளைகள் மற்ற கிளைகளைக் கொண்டிருந்தால், அத்தகைய அல்காரிதம் அமைப்பு உள்ளது உள்ளமைக்கப்பட்ட கிளைகள். இதுவே "ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்" அல்காரிதத்தின் கட்டமைப்பாகும். சுருக்கத்திற்கு, முறையே "ஆம்" மற்றும் "இல்லை", "+" மற்றும் "-" என்ற சொற்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
பின்வரும் சிக்கலைக் கவனியுங்கள்: நேர்மறை முழு எண் கொடுக்கப்பட்ட n. n கணக்கிட வேண்டும்! (n-காரணி). காரணியின் வரையறையை நினைவுபடுத்துவோம்.
கீழே அல்காரிதம் ஒரு ஃப்ளோசார்ட் உள்ளது. இது முழு எண் வகையின் மூன்று மாறிகளைப் பயன்படுத்துகிறது: n - வாதம்; i - இடைநிலை மாறி; எஃப் - முடிவு. அல்காரிதத்தின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்க, ஒரு சுவடு அட்டவணை கட்டப்பட்டது. அத்தகைய அட்டவணையில், ஆரம்ப தரவுகளின் குறிப்பிட்ட மதிப்புகளுக்கு, அல்காரிதத்தில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மாறிகளில் ஏற்படும் மாற்றங்கள் படிப்படியாகக் கண்டறியப்படுகின்றன. இந்த அட்டவணை n=3 வழக்குக்காக தொகுக்கப்பட்டுள்ளது.
சுவடு அல்காரிதத்தின் சரியான தன்மையை நிரூபிக்கிறது. இப்போது இந்த அல்காரிதத்தை அல்காரிதம் மொழியில் எழுதுவோம்.
algகாரணியான
அப்படியே n, i, F
ஆரம்பம்உள்ளீடு n
எஃப்:=1; நான்:=1
வருகிறேன்நான், மீண்டும்
என்சி F:=F´i
இந்த அல்காரிதம் ஒரு சுழற்சி அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. அல்காரிதம் "லூப்-வைல்" அல்லது "லூப் வித் முன்நிபந்தனை" என்ற கட்டமைப்பு கட்டளையைப் பயன்படுத்துகிறது. தொகுதி வரைபடங்கள் மற்றும் FL இல் "லூப்-பை" கட்டளையின் பொதுவான தோற்றம் பின்வருமாறு:
லூப் நிபந்தனை உண்மையாக இருக்கும்போது தொடர்ச்சியான கட்டளைகளை (லூப் பாடி) மீண்டும் செயல்படுத்துகிறது. நிபந்தனை தவறானதாக மாறும்போது, லூப் செயல்படுத்தலை முடிக்கிறது. "nts" மற்றும் "kts" என்ற சேவை வார்த்தைகள் முறையே சுழற்சியின் தொடக்கத்தையும் சுழற்சியின் முடிவையும் குறிக்கின்றன.
ஒரு முன்நிபந்தனையுடன் ஒரு வளையம் முக்கியமானது, ஆனால் சுழற்சி அல்காரிதங்களின் அமைப்பின் ஒரே வடிவம் அல்ல. மற்றொரு விருப்பம் பின் நிபந்தனையுடன் வளையம்.இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைக்குத் திரும்புவோம். இந்த நிலையில் இருந்து நீங்கள் அதை அணுகலாம்: a=0 எனில், இது இனி ஒரு இருபடி சமன்பாடு அல்ல, அதை புறக்கணிக்கலாம். இந்த வழக்கில், தரவை உள்ளிடும்போது பயனர் தவறு செய்தார் என்று கருதுவோம், மேலும் உள்ளீட்டை மீண்டும் கேட்க வேண்டும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், அல்காரிதம் மூலத் தரவின் நம்பகத்தன்மையைக் கட்டுப்படுத்தும் மற்றும் பிழையை சரிசெய்ய பயனருக்கு வாய்ப்பளிக்கும். அத்தகைய கட்டுப்பாட்டின் இருப்பு ஒரு நல்ல தரமான திட்டத்தின் மற்றொரு அறிகுறியாகும்.
பொதுவாக, "லூப் வித் போஸ்ட் கண்டிஷன்" அல்லது "லூப்-டு" என்ற கட்டமைப்பு கட்டளை பின்வருமாறு குறிப்பிடப்படுகிறது:
இங்குதான் லூப் எண்ட் கண்டிஷன் பயன்படுத்தப்படுகிறது. அது உண்மையாகும்போது, சுழற்சி முடிவடைகிறது.
பின்வரும் சிக்கலைத் தீர்ப்பதற்கு ஒரு வழிமுறையை உருவாக்குவோம்: M மற்றும் N என்ற இரண்டு இயற்கை எண்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. அவற்றின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பினைக் கணக்கிடுவது அவசியம் - GCD(M,N).
எனப்படும் ஒரு முறையைப் பயன்படுத்தி இந்தப் பிரச்சனை தீர்க்கப்படுகிறது யூக்ளிடியன் அல்காரிதம். M>N என்றால் gcd(M 1) எண்கள் சமமாக இருந்தால், அவற்றின் மொத்த மதிப்பை விடையாக எடுத்துக் கொள்ளுங்கள்; இல்லையெனில், அல்காரிதத்தை இயக்குவதைத் தொடரவும்; 2) மிகப்பெரிய எண்களை தீர்மானிக்கவும்; 3) பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளுக்கு இடையே உள்ள வித்தியாசத்துடன் பெரிய எண்ணை மாற்றவும்; 4) படி 1 க்கு திரும்பவும். AY இல் உள்ள தொகுதி வரைபடம் மற்றும் அல்காரிதம் பின்வருமாறு இருக்கும்: அல்காரிதம் உள்ளமை கிளைகளுடன் ஒரு வளைய அமைப்பைக் கொண்டுள்ளது. M=18, N=12 வழக்கில் இந்த அல்காரிதத்தை உங்கள் சொந்த ட்ரேசிங் செய்யுங்கள். இதன் விளைவாக GCD=6 இருக்கும், இது வெளிப்படையாக சரியானது. நூலியல் விளக்கம்:காஸனோவ் ஏ.ஆர்., குராம்ஷின் ஏ.ஏ., எல்கோவ் ஏ.ஏ., ஷில்னென்கோவ் என்.வி., உலனோவ் டி.டி., ஷ்மெலேவா ஓ.வி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் // இளம் விஞ்ஞானி. 2016. எண் 6.1. பி. 17-20..04.2019).
இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிகளைப் பற்றியது எங்கள் திட்டம். திட்ட இலக்கு: பள்ளி பாடத்திட்டத்தில் சேர்க்கப்படாத வழிகளில் இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க கற்றுக்கொள்ளுங்கள். பணி: இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அனைத்து வழிகளையும் கண்டறிந்து, அவற்றை எவ்வாறு பயன்படுத்துவது என்பதைக் கற்றுக் கொள்ளுங்கள் மற்றும் உங்கள் வகுப்பு தோழர்களுக்கு இந்த முறைகளை அறிமுகப்படுத்துங்கள். இருபடி சமன்பாடுகள் என்றால் என்ன? இருபடி சமன்பாடு- படிவத்தின் சமன்பாடு கோடாரி2
+ bx + c = 0, எங்கே அ, பி, c- சில எண்கள் ( a ≠ 0), எக்ஸ்- தெரியவில்லை. எண்கள் a, b, c இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. இருபடி சமன்பாடுகளை "கண்டுபிடித்த" முதல் நபர் யார்? நேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான சில இயற்கணித நுட்பங்கள் பண்டைய பாபிலோனில் 4000 ஆண்டுகளுக்கு முன்பு அறியப்பட்டன. கிமு 1800 மற்றும் 1600 க்கு இடைப்பட்ட பழங்கால பாபிலோனிய களிமண் மாத்திரைகளின் கண்டுபிடிப்பு, இருபடிச் சமன்பாடுகளின் ஆய்வுக்கான ஆரம்ப ஆதாரத்தை வழங்குகிறது. அதே மாத்திரைகளில் சில வகையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகள் உள்ளன. முதல் சமன்பாடுகளை மட்டுமல்ல, இரண்டாவது பட்டத்தையும் தீர்க்க வேண்டிய அவசியம், பண்டைய காலங்களில் கூட, நில அடுக்குகளைக் கண்டறிவது மற்றும் இராணுவத் தன்மையின் அகழ்வாராய்ச்சி வேலைகள் தொடர்பான சிக்கல்களைத் தீர்க்க வேண்டியதன் அவசியத்தால் ஏற்பட்டது. வானியல் மற்றும் கணிதத்தின் வளர்ச்சியைப் போலவே. இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான விதி, பாபிலோனிய நூல்களில் அமைக்கப்பட்டுள்ளது, அடிப்படையில் நவீனத்துடன் ஒத்துப்போகிறது, ஆனால் பாபிலோனியர்கள் இந்த விதிக்கு எப்படி வந்தார்கள் என்பது தெரியவில்லை. இதுவரை கண்டுபிடிக்கப்பட்ட அனைத்து கியூனிஃபார்ம் நூல்களும் சமையல் வடிவில் உள்ள தீர்வுகளில் உள்ள சிக்கல்களை மட்டுமே வழங்குகின்றன, அவை எவ்வாறு கண்டுபிடிக்கப்பட்டன என்பதற்கான எந்த அறிகுறியும் இல்லை. பாபிலோனில் இயற்கணிதத்தின் உயர் மட்ட வளர்ச்சி இருந்தபோதிலும், கியூனிஃபார்ம் நூல்களில் எதிர்மறை எண் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான முறைகள் இல்லை. கிமு 4 ஆம் நூற்றாண்டைச் சேர்ந்த பாபிலோனிய கணிதவியலாளர்கள். நேர்மறை வேர்களுடன் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க சதுர நிரப்பு முறையைப் பயன்படுத்தியது. சுமார் 300 கி.மு யூக்ளிட் மிகவும் பொதுவான வடிவியல் தீர்வு முறையைக் கொண்டு வந்தார். இயற்கணித சூத்திர வடிவில் எதிர்மறை வேர்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகளுக்கு தீர்வு கண்ட முதல் கணிதவியலாளர் இந்திய விஞ்ஞானி ஆவார். பிரம்மகுப்தா(இந்தியா, கி.பி. 7ஆம் நூற்றாண்டு). பிரம்மகுப்தா ஒற்றை நியதி வடிவத்திற்கு குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான விதியை வகுத்தார்: ax2 + bx = c, a>0 இந்த சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்களும் எதிர்மறையாக இருக்கலாம். பிரம்மகுப்தரின் ஆட்சி அடிப்படையில் நம்முடையது போலவே உள்ளது. இந்தியாவில் கடினமான பிரச்சனைகளைத் தீர்ப்பதில் பொதுப் போட்டிகள் பொதுவாக இருந்தன. பழைய இந்திய புத்தகங்களில் ஒன்று இத்தகைய போட்டிகளைப் பற்றி பின்வருமாறு கூறுகிறது: "சூரியன் நட்சத்திரங்களை அதன் பிரகாசத்தால் மிஞ்சுவது போல, ஒரு கற்றறிந்த மனிதன் பொதுக் கூட்டங்களில் இயற்கணித சிக்கல்களை முன்மொழிந்து தீர்ப்பதன் மூலம் தனது மகிமையை மிஞ்சுவார்." பிரச்சினைகள் பெரும்பாலும் கவிதை வடிவில் முன்வைக்கப்பட்டன. ஒரு இயற்கணிதக் கட்டுரையில் அல்-குவாரிஸ்மிநேரியல் மற்றும் இருபடி சமன்பாடுகளின் வகைப்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. ஆசிரியர் 6 வகையான சமன்பாடுகளைக் கணக்கிடுகிறார், அவற்றை பின்வருமாறு வெளிப்படுத்துகிறார்: 1) "சதுரங்கள் வேர்களுக்கு சமம்," அதாவது ax2 = bx. 2) "சதுரங்கள் எண்களுக்கு சமம்," அதாவது ax2 = c. 3) "வேர்கள் எண்ணுக்கு சமம்," அதாவது ax2 = c. 4) "சதுரங்களும் எண்களும் வேர்களுக்குச் சமம்," அதாவது ax2 + c = bx. 5) “சதுரங்களும் வேர்களும் எண்ணுக்கு சமம்,” அதாவது ax2 + bx = c. 6) "வேர்கள் மற்றும் எண்கள் சதுரங்களுக்கு சமம்," அதாவது bx + c == ax2. எதிர்மறை எண்களைப் பயன்படுத்துவதைத் தவிர்த்த அல்-குவாரிஸ்மிக்கு, இந்தச் சமன்பாடுகள் ஒவ்வொன்றின் விதிமுறைகளும் கூட்டல்களே தவிர கழித்தல் அல்ல. இந்த வழக்கில், நேர்மறையான தீர்வுகள் இல்லாத சமன்பாடுகள் வெளிப்படையாக கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுவதில்லை. அல்-ஜப்ர் மற்றும் அல்-முகாபலின் நுட்பங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறைகளை ஆசிரியர் குறிப்பிடுகிறார். அவருடைய முடிவு, நிச்சயமாக, நம்முடைய முடிவுடன் முழுமையாக ஒத்துப்போவதில்லை. இது முற்றிலும் சொல்லாட்சி என்று குறிப்பிட தேவையில்லை, எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வகையின் முழுமையற்ற இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கும் போது, அல்-கோரெஸ்மி, 17 ஆம் நூற்றாண்டு வரை அனைத்து கணிதவியலாளர்களைப் போலவே, பூஜ்ஜிய தீர்வை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளவில்லை, ஏனெனில் குறிப்பிட்ட நடைமுறையில் அது பணிகளில் முக்கியமில்லை. முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது, அல்-குவாரிஸ்மி குறிப்பிட்ட எண் உதாரணங்களைப் பயன்படுத்தி தீர்வுக்கான விதிகளை அமைக்கிறார், பின்னர் அவற்றின் வடிவியல் சான்றுகள். ஐரோப்பாவில் அல்-குவாரிஸ்மியின் மாதிரியைப் பின்பற்றி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான படிவங்கள் முதன்முதலில் 1202 இல் எழுதப்பட்ட "புக் ஆஃப் தி அபாகஸ்" இல் அமைக்கப்பட்டன. இத்தாலிய கணிதவியலாளர் லியோனார்ட் பிபோனச்சி. ஆசிரியர் சுயாதீனமாக சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான சில புதிய இயற்கணித எடுத்துக்காட்டுகளை உருவாக்கினார் மற்றும் எதிர்மறை எண்களின் அறிமுகத்தை அணுகிய ஐரோப்பாவில் முதன்மையானவர். இந்த புத்தகம் இத்தாலியில் மட்டுமல்ல, ஜெர்மனி, பிரான்ஸ் மற்றும் பிற ஐரோப்பிய நாடுகளிலும் இயற்கணித அறிவு பரவுவதற்கு பங்களித்தது. 14-17 ஆம் நூற்றாண்டுகளின் கிட்டத்தட்ட அனைத்து ஐரோப்பிய பாடப்புத்தகங்களிலும் இந்த புத்தகத்தின் பல சிக்கல்கள் பயன்படுத்தப்பட்டன. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான விதி x2 + bх = с என்ற ஒற்றை நியதி வடிவத்திற்குக் குறைக்கப்பட்டது, இது சாத்தியமான அனைத்து அடையாளங்கள் மற்றும் குணகங்களின் b, c சேர்க்கைகளுக்கு 1544 இல் ஐரோப்பாவில் உருவாக்கப்பட்டது. எம். ஸ்டீஃபெல். ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை பொது வடிவத்தில் தீர்ப்பதற்கான சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் Vieth இலிருந்து கிடைக்கிறது, ஆனால் Vieth நேர்மறை வேர்களை மட்டுமே அங்கீகரித்தது. இத்தாலிய கணிதவியலாளர்கள் டார்டாக்லியா, கார்டானோ, பொம்பெல்லி 16 ஆம் நூற்றாண்டில் முதன்மையானது. நேர்மறைக்கு கூடுதலாக, எதிர்மறை வேர்களும் கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகின்றன. 17 ஆம் நூற்றாண்டில் மட்டுமே. முயற்சிகளுக்கு நன்றி ஜிரார்ட், டெஸ்கார்ட்ஸ், நியூட்டன்மற்றும் பிற விஞ்ஞானிகள், இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறை நவீன வடிவத்தை எடுக்கிறது. இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்க பல வழிகளைப் பார்ப்போம். பள்ளி பாடத்திட்டத்திலிருந்து இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நிலையான முறைகள்: வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்பட்ட மற்றும் குறைக்கப்படாத இருபடிச் சமன்பாடுகளின் தீர்வைப் பற்றி மேலும் விரிவாகப் பார்ப்போம். மேலே உள்ள இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, இரண்டு எண்களைக் கண்டறிவது போதுமானது, அதன் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்குச் சமம், மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை எதிர் அடையாளத்துடன் இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம். உதாரணமாக.எக்ஸ் 2
-5x+6=0 தயாரிப்பு 6 மற்றும் கூட்டுத்தொகை 5 ஆகிய எண்களை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். இந்த எண்கள் 3 மற்றும் 2 ஆக இருக்கும். பதில்: x 1
=2, x 2
=3.
ஆனால் ஒன்றுக்கு சமமாக இல்லாத முதல் குணகம் கொண்ட சமன்பாடுகளுக்கு இந்த முறையைப் பயன்படுத்தலாம். உதாரணமாக.3x 2
+2x-5=0 முதல் குணகத்தை எடுத்து இலவச காலத்தால் பெருக்கவும்: x 2 +2x-15=0 இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள், அதன் தயாரிப்பு சமமாக இருக்கும் எண்களாக இருக்கும் - 15, மற்றும் அதன் கூட்டுத்தொகை சமமாக இருக்கும் - 2. இந்த எண்கள் 5 மற்றும் 3. அசல் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய, முதல் குணகத்தால் விளைந்த வேர்களை வகுக்கவும். பதில்: x 1
=-5/3, x 2
=1
6. "த்ரோ" முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.
இருபடி சமன்பாடு ax 2 + bx + c = 0, இங்கு a≠0 என்பதைக் கவனியுங்கள். இரு பக்கங்களையும் a ஆல் பெருக்கினால், a 2 x 2 + abx + ac = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். கோடாரி = y, எங்கிருந்து x = y/a; பின்னர் நாம் y 2 + by + ac = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு வருவோம், இது கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு சமமானது. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி 1 மற்றும் 2க்கான அதன் வேர்களைக் காண்கிறோம். இறுதியாக x 1 = y 1 /a மற்றும் x 2 = y 2 /a ஆகியவற்றைப் பெறுகிறோம். இந்த முறையின் மூலம், குணகம் a இலவச வார்த்தையால் பெருக்கப்படுகிறது, அதற்கு "எறிந்தால்", அது "எறிதல்" முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது. வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டின் வேர்களை நீங்கள் எளிதாகக் கண்டறியும் போது இந்த முறை பயன்படுத்தப்படுகிறது மற்றும் மிக முக்கியமாக, பாகுபாடு ஒரு சரியான சதுரமாக இருக்கும் போது. உதாரணமாக.2x 2
- 11x + 15 = 0. இலவசச் சொல்லுக்கு குணகம் 2 ஐ "எறிந்து" மாற்றீடு செய்து y 2 - 11y + 30 = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுவோம். வியட்டாவின் உரையாடல் தேற்றத்தின்படி y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3. பதில்: x 1
=2.5; எக்ஸ் 2
= 3.
7. இருபடி சமன்பாட்டின் குணகங்களின் பண்புகள்.
இருபடி சமன்பாடு ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0 கொடுக்கப்பட வேண்டும். 1. a+ b + c = 0 (அதாவது சமன்பாட்டின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியம்) என்றால் x 1 = 1. 2. a - b + c = 0, அல்லது b = a + c என்றால், x 1 = - 1. உதாரணமாக.345x 2
- 137x - 208 = 0. a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), பின்னர் x 1 = 1, x 2 = -208/345. பதில்: x 1
=1; எக்ஸ் 2
= -208/345
. உதாரணமாக.132x 2
+ 247x + 115 = 0 ஏனெனில் a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), பின்னர் x 1 = - 1, x 2 = - 115/132 பதில்: x 1
= - 1; எக்ஸ் 2
=- 115/132
இருபடிச் சமன்பாட்டின் குணகங்களின் பிற பண்புகள் உள்ளன. ஆனால் அவற்றின் பயன்பாடு மிகவும் சிக்கலானது. 8. நோமோகிராம் மூலம் இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.
படம் 1. நோமோகிராம் இது ஒரு பழைய மற்றும் தற்போது மறந்துவிட்ட இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் முறையாகும், இது தொகுப்பின் 83 இல் வைக்கப்பட்டுள்ளது: பிராடிஸ் வி.எம். நான்கு இலக்க கணித அட்டவணைகள். - எம்., கல்வி, 1990. அட்டவணை XXII. சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான நோமோகிராம் z 2 + pz + q = 0. இந்த நோமோகிராம் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்காமல், அதன் குணகங்களிலிருந்து சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது. நோமோகிராமின் வளைவு அளவுகோல் சூத்திரங்களின்படி கட்டப்பட்டுள்ளது (படம் 1): நம்புவது OS = p, ED = q, OE = a(அனைத்தும் செ.மீ.), படம் 1ல் இருந்து முக்கோணங்களின் ஒற்றுமைகள் SANமற்றும் CDFநாம் விகிதாச்சாரத்தைப் பெறுகிறோம் இது, மாற்றீடுகள் மற்றும் எளிமைப்படுத்தல்களுக்குப் பிறகு, சமன்பாட்டை அளிக்கிறது z 2 + pz + q = 0,மற்றும் கடிதம் zவளைந்த அளவில் எந்தப் புள்ளியின் அடையாளத்தையும் குறிக்கிறது. அரிசி. 2 நோமோகிராம் மூலம் இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எடுத்துக்காட்டுகள். 1) சமன்பாட்டிற்கு z 2
- 9z + 8 = 0நோமோகிராம் z 1 = 8.0 மற்றும் z 2 = 1.0 என்ற வேர்களைக் கொடுக்கிறது பதில்:8.0; 1.0 2) ஒரு நோமோகிராம் பயன்படுத்தி, நாம் சமன்பாட்டை தீர்க்கிறோம் 2z 2
- 9z + 2 = 0. இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்களை 2 ஆல் வகுத்தால், z 2 - 4.5z + 1 = 0 என்ற சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம். நோமோகிராம் z 1 = 4 மற்றும் z 2 = 0.5 என்ற வேர்களைக் கொடுக்கிறது. பதில்: 4; 0.5 9. இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வடிவியல் முறை.
உதாரணமாக.எக்ஸ் 2
+ 10x = 39. அசலில், இந்த சிக்கல் பின்வருமாறு வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது: "சதுர மற்றும் பத்து வேர்கள் 39 க்கு சமம்." பக்க x கொண்ட ஒரு சதுரத்தைக் கவனியுங்கள், அதன் பக்கங்களில் செவ்வகங்கள் கட்டப்பட்டுள்ளன, அவை ஒவ்வொன்றின் மறுபுறமும் 2.5 ஆக இருக்கும், எனவே ஒவ்வொன்றின் பரப்பளவு 2.5x ஆகும். இதன் விளைவாக உருவானது ஒரு புதிய சதுர ABCD க்கு கூடுதலாக, மூலைகளில் நான்கு சம சதுரங்களை உருவாக்குகிறது, அவை ஒவ்வொன்றின் பக்கமும் 2.5 மற்றும் பரப்பளவு 6.25 ஆகும். அரிசி. 3 சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான வரைகலை முறை x 2 + 10x = 39 சதுர ABCD இன் பகுதி S என்பது பகுதிகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடப்படலாம்: அசல் சதுரம் x 2, நான்கு செவ்வகங்கள் (4∙2.5x = 10x) மற்றும் நான்கு கூடுதல் சதுரங்கள் (6.25∙4 = 25), அதாவது. S = x 2 + 10x = 25. x 2 + 10x ஐ 39 என்ற எண்ணுடன் மாற்றினால், S = 39 + 25 = 64 ஐப் பெறுகிறோம், அதாவது சதுரத்தின் பக்கம் ABCD ஆகும், அதாவது. பிரிவு AB = 8. அசல் சதுரத்தின் தேவையான பக்க x க்கு நாம் பெறுகிறோம் 10. Bezout இன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.
பெசவுட்டின் தேற்றம். பல்லுறுப்புக்கோவை P(x) ஐ x - α இருசொல் மூலம் வகுத்தால் மீதமுள்ளது P(α) க்கு சமம் (அதாவது, x = α இல் P(x) இன் மதிப்பு). எண் α என்பது P(x) என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமாக இருந்தால், இந்த பல்லுறுப்புக்கோவை மீதி இல்லாமல் x -α ஆல் வகுபடும். உதாரணமாக.x²-4x+3=0 Р(x)= x²-4x+3, α: ±1, ±3, α =1, 1-4+3=0. P(x) ஐ (x-1) ஆல் வகுக்கவும்: (x²-4x+3)/(x-1)=x-3 x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0 x-1=0; x=1, அல்லது x-3=0, x=3; பதில்: x1
=2, x2
=3.
முடிவுரை:இருபடி சமன்பாடுகளை விரைவாகவும் பகுத்தறிவு ரீதியாகவும் தீர்க்கும் திறன், பின்னம் பகுத்தறிவு சமன்பாடுகள், உயர் சக்தி சமன்பாடுகள், இருபக்க சமன்பாடுகள் மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளியில், முக்கோணவியல், அதிவேக மற்றும் மடக்கை சமன்பாடுகள் போன்ற சிக்கலான சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கு அவசியம். இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான அனைத்து முறைகளையும் படித்த பிறகு, நிலையான முறைகளுக்கு மேலதிகமாக, பரிமாற்ற முறை (6) மூலம் தீர்க்கவும், குணகங்களின் (7) பண்புகளைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும் எங்கள் வகுப்பு தோழர்களுக்கு அறிவுறுத்தலாம், ஏனெனில் அவை அணுகக்கூடியவை. புரிந்து கொள்ள. இலக்கியம்:
