คลื่นหรือฟังก์ชัน ฟังก์ชันคลื่นและความหมายทางสถิติ ประเภทของฟังก์ชันคลื่นและการล่มสลาย หลักการซ้อนทับของฟังก์ชันคลื่น

ฟังก์ชัน WAVE ใน QUANTUM MECHANICS เป็นฟังก์ชันที่ช่วยให้คุณค้นหาความน่าจะเป็นที่ระบบควอนตัมอยู่ในสถานะใดสถานะหนึ่ง ณ เวลา t มักจะเขียนว่า: (s) หรือ (s, t) ฟังก์ชันคลื่นใช้ในสมการชเรอดิงเงอร์... พจนานุกรมสารานุกรมวิทยาศาสตร์และเทคนิค

ฟังก์ชั่นคลื่น สารานุกรมสมัยใหม่

ฟังก์ชั่นคลื่น- ฟังก์ชั่นคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัมปริมาณหลัก (ในกรณีทั่วไปที่ซับซ้อน) ที่อธิบายสถานะของระบบและอนุญาตให้เราค้นหาความน่าจะเป็นและค่าเฉลี่ยของปริมาณทางกายภาพที่เป็นลักษณะของระบบนี้ โมดูลเวฟสี่เหลี่ยมจัตุรัส...... พจนานุกรมสารานุกรมภาพประกอบ

ฟังก์ชั่นคลื่น- (เวกเตอร์สถานะ) ในกลศาสตร์ควอนตัมเป็นปริมาณหลักที่อธิบายสถานะของระบบและอนุญาตให้เราค้นหาความน่าจะเป็นและค่าเฉลี่ยของปริมาณทางกายภาพที่กำหนดลักษณะนั้น โมดูลัสกำลังสองของฟังก์ชันคลื่นเท่ากับความน่าจะเป็นของค่าที่กำหนด... ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

ฟังก์ชั่นคลื่น- ในกลศาสตร์ควอนตัม (แอมพลิจูดของความน่าจะเป็น เวกเตอร์สถานะ) ปริมาณที่อธิบายสถานะของวัตถุขนาดเล็กได้อย่างสมบูรณ์ (อิเล็กตรอน โปรตอน อะตอม โมเลกุล) และควอนตัมโดยทั่วไป ระบบ คำอธิบายสถานะของวัตถุขนาดเล็กโดยใช้ V. f. มันมี… … สารานุกรมกายภาพ

ฟังก์ชั่นคลื่น- - [แอล.จี. ซูเมนโก พจนานุกรมภาษาอังกฤษเป็นภาษารัสเซียเกี่ยวกับเทคโนโลยีสารสนเทศ อ.: รัฐวิสาหกิจ TsNIIS, 2546.] หัวข้อ เทคโนโลยีสารสนเทศในฟังก์ชันคลื่น EN ทั่วไป ... คู่มือนักแปลทางเทคนิค

ฟังก์ชั่นคลื่น- (แอมพลิจูดของความน่าจะเป็น, เวกเตอร์สถานะ) ในกลศาสตร์ควอนตัมปริมาณหลักที่อธิบายสถานะของระบบและช่วยให้สามารถค้นหาความน่าจะเป็นและค่าเฉลี่ยของปริมาณทางกายภาพที่บ่งบอกลักษณะนั้น โมดูลัสกำลังสองของฟังก์ชันคลื่นคือ... ... พจนานุกรมสารานุกรม

ฟังก์ชั่นคลื่น- Banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ฟังก์ชั่นคลื่น vok Wellenfunktion, รัส ฟังก์ชันคลื่น f; ฟังก์ชันคลื่น f pran fonction d’onde, f … Fizikos สิ้นสุด žodynas

ฟังก์ชั่นคลื่น- Banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būsenę. ทัศนคติ: engl. ฟังก์ชันคลื่น rus ฟังก์ชั่นคลื่น... Chemijos ยุติ aiškinamasis žodynas

ฟังก์ชั่นคลื่น- ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อนที่อธิบายสถานะของกลศาสตร์ควอนตัม ระบบและช่วยให้คุณค้นหาความน่าจะเป็นและ cf ความหมายของลักษณะทางกายภาพที่เป็นลักษณะเฉพาะ ปริมาณ โมดูลัสสี่เหลี่ยม V. f. เท่ากับความน่าจะเป็นของสถานะที่กำหนด ดังนั้น V.f. เรียกว่า แอมพลิจูดก็เช่นกัน...... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ. พจนานุกรมสารานุกรม

หนังสือ

, บี.เค. โนโวซาดอฟ เอกสารนี้อุทิศให้กับการนำเสนอทฤษฎีควอนตัมของระบบโมเลกุลอย่างสม่ำเสมอตลอดจนการแก้สมการคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่สัมพันธ์และสัมพันธ์กันของโมเลกุล... ซื้อในราคา 882 UAH (ยูเครนเท่านั้น)
วิธีปฏิบัติของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ของระบบโมเลกุล Novosadov B.K. เอกสารนี้อุทิศให้กับการนำเสนอทฤษฎีควอนตัมของระบบโมเลกุลที่สอดคล้องกันตลอดจนการแก้สมการคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่สัมพันธ์และเชิงสัมพันธ์ของโมเลกุล...

ฟังก์ชั่นคลื่น สารานุกรมสมัยใหม่

หนังสือ

, บี.เค. โนโวซาดอฟ เอกสารนี้อุทิศให้กับการนำเสนอทฤษฎีควอนตัมของระบบโมเลกุลอย่างสม่ำเสมอตลอดจนการแก้สมการคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่สัมพันธ์และสัมพันธ์กันของโมเลกุล... ซื้อในราคา 882 UAH (ยูเครนเท่านั้น)
วิธีปฏิบัติของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ของระบบโมเลกุล Novosadov B.K. เอกสารนี้อุทิศให้กับการนำเสนอทฤษฎีควอนตัมของระบบโมเลกุลที่สอดคล้องกันตลอดจนการแก้สมการคลื่นในกลศาสตร์ควอนตัมที่ไม่สัมพันธ์และเชิงสัมพันธ์ของโมเลกุล...

ดังที่ทราบกันดีว่างานหลักของกลศาสตร์คลาสสิกคือการกำหนดตำแหน่งของวัตถุมาโครเมื่อใดก็ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้จะมีการรวบรวมระบบสมการซึ่งวิธีการแก้ปัญหาช่วยให้เราสามารถค้นหาการพึ่งพาของเวกเตอร์รัศมีได้ตรงเวลา ที- ในกลศาสตร์คลาสสิก สถานะของอนุภาคในขณะที่มันเคลื่อนที่ในแต่ละช่วงเวลาจะได้รับจากปริมาณสองค่า ได้แก่ เวกเตอร์รัศมีและโมเมนตัม ดังนั้น คำอธิบายแบบคลาสสิกของการเคลื่อนที่ของอนุภาคจึงใช้ได้หากเกิดขึ้นในบริเวณที่มีขนาดลักษณะพิเศษใหญ่กว่าความยาวคลื่นเดอ บรอกลีมาก มิฉะนั้น (เช่น ใกล้นิวเคลียสของอะตอม) ควรคำนึงถึงคุณสมบัติของคลื่นของอนุภาคขนาดเล็กด้วย การบังคับใช้ที่จำกัดของคำอธิบายแบบคลาสสิกของวัตถุขนาดเล็กที่มีคุณสมบัติเป็นคลื่นจะระบุโดยความสัมพันธ์ที่ไม่แน่นอน

เมื่อคำนึงถึงคุณสมบัติคลื่นของอนุภาคขนาดเล็กสถานะของมันในกลศาสตร์ควอนตัมจะถูกระบุโดยใช้ฟังก์ชันพิกัดและเวลาที่แน่นอน (x, y, z, t) , เรียกว่า คลื่น หรือ - การทำงาน - ในฟิสิกส์ควอนตัม มีการแนะนำฟังก์ชันที่ซับซ้อนซึ่งอธิบายสถานะบริสุทธิ์ของวัตถุ ซึ่งเรียกว่าฟังก์ชันคลื่น ในการตีความที่พบบ่อยที่สุด ฟังก์ชันนี้เกี่ยวข้องกับความน่าจะเป็นในการตรวจจับวัตถุในสถานะบริสุทธิ์สถานะใดสถานะหนึ่ง (ค่ากำลังสองของโมดูลัสของฟังก์ชันคลื่นแสดงถึงความหนาแน่นของความน่าจะเป็น)

เมื่อละทิ้งคำอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคโดยใช้วิถีที่ได้จากกฎแห่งพลศาสตร์และพิจารณาฟังก์ชันคลื่นแทนจึงจำเป็นต้องแนะนำสมการที่เทียบเท่ากับกฎของนิวตันและจัดทำสูตรสำหรับค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาทางกายภาพโดยเฉพาะ สมการดังกล่าวคือสมการชโรดิงเงอร์

ทฤษฎีที่อธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคขนาดเล็กโดยคำนึงถึงคุณสมบัติของคลื่นนั้นเรียกว่า ควอนตัม , หรือ กลศาสตร์คลื่น- บทบัญญัติหลายประการของทฤษฎีนี้ดูแปลกและผิดปกติจากมุมมองของแนวคิดที่พัฒนาขึ้นในการศึกษาฟิสิกส์คลาสสิก ควรจำไว้เสมอว่าเกณฑ์ความถูกต้องของทฤษฎีไม่ว่าในตอนแรกจะดูแปลกแค่ไหนก็ตามคือความบังเอิญของผลที่ตามมากับข้อมูลการทดลอง กลศาสตร์ควอนตัมในสาขาของมัน (โครงสร้างและคุณสมบัติของอะตอม โมเลกุล และนิวเคลียสของอะตอมบางส่วน) ได้รับการยืนยันอย่างสมบูรณ์แบบจากประสบการณ์

ฟังก์ชันคลื่นอธิบายสถานะของอนุภาคในทุกจุดในอวกาศและ ณ เวลาใดๆ เพื่อให้เข้าใจความหมายทางกายภาพของฟังก์ชันคลื่น ให้เรามาดูการทดลองเกี่ยวกับการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอนกัน (การทดลองของทอมสันและทาร์ทาคอฟสกี้ในการส่งอิเล็กตรอนผ่านฟอยล์โลหะบาง ๆ) ปรากฎว่าตรวจพบรูปแบบการเลี้ยวเบนที่ชัดเจน แม้ว่าอิเล็กตรอนตัวเดียวจะถูกพุ่งไปที่เป้าหมาย กล่าวคือ เมื่ออิเล็กตรอนแต่ละตัวที่ตามมาถูกปล่อยออกมาหลังจากที่อิเล็กตรอนก่อนหน้ามาถึงหน้าจอ หลังจากการทิ้งระเบิดเป็นเวลานานพอสมควร รูปภาพบนหน้าจอจะสอดคล้องกับภาพที่ได้รับเมื่อมีอิเล็กตรอนจำนวนมากพุ่งไปที่เป้าหมายพร้อมกัน

จากนี้ เราสามารถสรุปได้ว่าการเคลื่อนที่ของอนุภาคขนาดเล็กแต่ละอนุภาค รวมถึงตำแหน่งของการตรวจจับนั้น จะขึ้นอยู่กับกฎทางสถิติ (ความน่าจะเป็น) และเมื่ออิเล็กตรอนตัวเดียวพุ่งตรงไปที่เป้าหมาย จุดบนหน้าจอที่จะเป็นเป้าหมาย บันทึกไว้ล่วงหน้าแน่นอน 100% - ไม่สามารถคาดเดาได้อย่างแน่ชัด

ในการทดลองการเลี้ยวเบนของทอมสัน ระบบวงแหวนศูนย์กลางสีเข้มได้ก่อตัวขึ้นบนจานถ่ายภาพ พูดได้อย่างปลอดภัยว่าความน่าจะเป็นในการตรวจจับ (ชน) อิเล็กตรอนแต่ละตัวที่ปล่อยออกมาในตำแหน่งต่างๆ บนแผ่นถ่ายภาพนั้นไม่เหมือนกัน ในบริเวณวงแหวนศูนย์กลางสีเข้ม ความน่าจะเป็นนี้มากกว่าบริเวณอื่นๆ ของหน้าจอ การกระจายตัวของอิเล็กตรอนทั่วทั้งจอภาพจะเหมือนกับการกระจายความเข้มของคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในการทดลองการเลี้ยวเบนที่คล้ายกัน: โดยที่ความเข้มของคลื่นรังสีเอกซ์สูง อนุภาคจำนวนมากจะถูกบันทึกในการทดลองของทอมสัน และที่ความเข้มต่ำแทบไม่มีอนุภาคปรากฏเลย

จากมุมมองของคลื่น การมีอยู่ของอิเล็กตรอนจำนวนสูงสุดในบางทิศทางหมายความว่าทิศทางเหล่านี้สอดคล้องกับความเข้มสูงสุดของคลื่นเดอบรอกลี สิ่งนี้ทำหน้าที่เป็นพื้นฐานสำหรับการตีความทางสถิติ (ความน่าจะเป็น) ของคลื่นเดอบรอกลี- ฟังก์ชันคลื่นเป็นนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ช่วยให้เราสามารถอธิบายการแพร่กระจายของคลื่นในอวกาศได้อย่างแม่นยำ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความน่าจะเป็นในการค้นหาอนุภาคในพื้นที่ที่กำหนดนั้นเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของแอมพลิจูดของคลื่นที่เกี่ยวข้องกับอนุภาค

สำหรับการเคลื่อนที่ในมิติเดียว (เช่น ในทิศทางของแกน วัว) ความน่าจะเป็น ดีพีการตรวจจับอนุภาคในช่องว่างระหว่างจุด xและ x + dxในช่วงเวลาหนึ่ง ทีเท่ากับ

ดีพี = , (6.1)

ที่ไหน | (x,t)| 2 = (x,t) *(x,t) คือกำลังสองของโมดูลัสของฟังก์ชันคลื่น (สัญลักษณ์ * หมายถึงการผันคำกริยาที่ซับซ้อน)

โดยทั่วไป เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ในอวกาศสามมิติ ความน่าจะเป็น ดีพีการตรวจจับอนุภาค ณ จุดที่มีพิกัด (x,y,z)ภายในปริมาตรอันไม่สิ้นสุด ดีวีได้มาจากสมการที่คล้ายกัน : ดีพี =|(x,y,z,t)|2 เดวี- บอร์นเป็นคนแรกที่ตีความความน่าจะเป็นของฟังก์ชันคลื่นในปี พ.ศ. 2469

ความน่าจะเป็นในการตรวจจับอนุภาคในพื้นที่อนันต์ทั้งหมดเท่ากับหนึ่ง นี่แสดงถึงเงื่อนไขในการปรับฟังก์ชันคลื่นให้เป็นมาตรฐาน:

. (6.2)

คุณค่าคือ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น หรือซึ่งเป็นสิ่งเดียวกัน คือการกระจายความหนาแน่นของพิกัดอนุภาค ในกรณีที่ง่ายที่สุดของการเคลื่อนที่ของอนุภาคหนึ่งมิติตามแนวแกน วัวค่าเฉลี่ยของพิกัดคำนวณโดยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

<x(ต)>= . (6.3)

เพื่อให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นลักษณะเฉพาะของสถานะของอนุภาคขนาดเล็ก จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขข้อจำกัดหลายประการ ฟังก์ชัน Ψ ซึ่งระบุลักษณะความน่าจะเป็นในการตรวจจับไมโครพาร์ติเคิลในองค์ประกอบปริมาตร จะต้องมีจำกัด (ความน่าจะเป็นไม่สามารถมีมากกว่าหนึ่ง) ไม่คลุมเครือ (ความน่าจะเป็นไม่สามารถเป็นค่าที่ไม่ชัดเจน) ต่อเนื่อง (ความน่าจะเป็นไม่สามารถเปลี่ยนแปลงทันที) และ เรียบเนียน (ไม่มีรอยพับ) ทั่วทั้งพื้นที่

ฟังก์ชันคลื่นเป็นไปตามหลักการของการซ้อนทับ: หากระบบสามารถอยู่ในสถานะที่แตกต่างกันซึ่งอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น Ψ1, Ψ2, Ψ nจากนั้นสามารถอยู่ในสถานะที่อธิบายโดยการรวมกันเชิงเส้นของฟังก์ชันเหล่านี้:

ที่ไหน ซีเอ็น(n= 1, 2, 3) เป็นจำนวนเชิงซ้อนตามอำเภอใจ

การเพิ่มฟังก์ชันคลื่น (แอมพลิจูดของความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยโมดูลัสกำลังสองของฟังก์ชันคลื่น) โดยพื้นฐานแล้วทำให้ทฤษฎีควอนตัมแตกต่างจากทฤษฎีทางสถิติแบบคลาสสิก ซึ่งการบวกทฤษฎีบทความน่าจะเป็นนั้นใช้ได้สำหรับเหตุการณ์อิสระ

ฟังก์ชันคลื่น Ψ เป็นคุณลักษณะหลักของสถานะของวัตถุขนาดเล็ก

เช่น ระยะทางเฉลี่ย<ร> อิเล็กตรอนของนิวเคลียสคำนวณได้จากสูตร:

โดยให้คำนวณตามกรณี (6.3) ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะทำนายได้อย่างแม่นยำในการทดลองการเลี้ยวเบน โดยที่อิเล็กตรอนตัวใดตัวหนึ่งจะถูกบันทึกบนหน้าจอ แม้จะรู้ฟังก์ชันคลื่นของมันล่วงหน้าก็ตาม เราสามารถสันนิษฐานได้ด้วยความน่าจะเป็นที่แน่นอนเท่านั้นที่อิเล็กตรอนจะถูกตรึงไว้ที่จุดใดจุดหนึ่ง นี่คือความแตกต่างระหว่างพฤติกรรมของวัตถุควอนตัมกับวัตถุคลาสสิก ในกลศาสตร์คลาสสิก เมื่ออธิบายการเคลื่อนที่ของมาโครบอดี เรารู้ล่วงหน้าถึงความน่าจะเป็น 100% ว่าจุดวัตถุ (เช่น สถานีอวกาศ) จะอยู่ที่จุดใดในอวกาศ ณ เวลาใดก็ได้

De Broglie ใช้แนวคิดเรื่องคลื่นเฟส (คลื่นสสารหรือคลื่น de Broglie) เพื่อตีความกฎของ Bohr ในการหาปริมาณวงโคจรของอิเล็กตรอนในอะตอมในกรณีของอะตอมที่มีอิเล็กตรอนเดี่ยว เขาตรวจสอบคลื่นเฟสที่เคลื่อนที่รอบนิวเคลียสในวงโคจรเป็นวงกลมของอิเล็กตรอน ถ้าจำนวนเต็มของคลื่นเหล่านี้พอดีกับความยาวของวงโคจร เมื่อคลื่นเคลื่อนที่ไปรอบนิวเคลียส แต่ละครั้งจะกลับไปยังจุดเริ่มต้นโดยมีเฟสและแอมพลิจูดเท่ากัน ในกรณีนี้ วงโคจรจะนิ่งและไม่มีรังสีเกิดขึ้น De Broglie เขียนเงื่อนไขสำหรับวงโคจรที่อยู่กับที่หรือกฎการหาปริมาณในรูปแบบ:

ที่ไหน ร- รัศมีของวงโคจรเป็นวงกลม ป- จำนวนเต็ม (จำนวนควอนตัมหลัก) สมมติมา ณ ที่นี้และพิจารณาว่า L=RPคือโมเมนตัมเชิงมุมของอิเล็กตรอน เราจะได้:

ซึ่งสอดคล้องกับกฎของบอร์ในการหาปริมาณวงโคจรของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจน

ต่อมา สภาวะ (6.5) ได้ถูกสรุปทั่วไปให้กับกรณีของวงโคจรรูปไข่ เมื่อความยาวคลื่นแปรผันตามวิถีโคจรของอิเล็กตรอน อย่างไรก็ตาม ตามเหตุผลของเดอ บรอกลี สันนิษฐานว่าคลื่นไม่แพร่กระจายในอวกาศ แต่ไปตามเส้นตรง - ตามวงโคจรที่นิ่งของอิเล็กตรอน การประมาณนี้สามารถนำไปใช้ในกรณีที่จำกัด เมื่อความยาวคลื่นมีค่าน้อยมากเมื่อเทียบกับรัศมีของวงโคจรของอิเล็กตรอน

ฟังก์ชั่นคลื่น, หรือ ฟังก์ชัน psi ψ (\displaystyle \psi )- ฟังก์ชันมูลค่าเชิงซ้อนที่ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัมเพื่ออธิบายสถานะบริสุทธิ์ของระบบ คือค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์สถานะบนพื้นฐาน (โดยปกติจะเป็นพิกัดหนึ่ง):

การทำให้ฟังก์ชันคลื่นเป็นมาตรฐาน

ฟังก์ชั่นคลื่น Ψ (\displaystyle \Psi )ในความหมายของมันจะต้องเป็นไปตามเงื่อนไขที่เรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐาน ตัวอย่างเช่น ในการแสดงพิกัดที่มีรูปแบบ:

∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1)

เงื่อนไขนี้เป็นการแสดงออกถึงความจริงที่ว่าความน่าจะเป็นในการค้นหาอนุภาคที่มีฟังก์ชันคลื่นที่กำหนดใดๆ ในอวกาศนั้นมีค่าเท่ากับ 1 ในกรณีทั่วไป จะต้องดำเนินการบูรณาการกับตัวแปรทั้งหมดที่ฟังก์ชันคลื่นในการเป็นตัวแทนที่กำหนดขึ้นอยู่กับ

หลักการซ้อนทับของสถานะควอนตัม

สำหรับฟังก์ชันคลื่น หลักการของการซ้อนทับนั้นใช้ได้ ซึ่งประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าหากระบบสามารถอยู่ในสถานะที่อธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นได้ Ψ 1 (\displaystyle \Psi _(1))และ Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2))จากนั้นก็สามารถอยู่ในสถานะที่อธิบายโดยฟังก์ชันคลื่นได้เช่นกัน

Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2))สำหรับความซับซ้อนใด ๆ c 1 (\displaystyle c_(1))และ c 2 (\displaystyle c_(2)).

แน่นอนว่าเราสามารถพูดถึงการซ้อนทับ (การบวก) ของสถานะควอนตัมจำนวนเท่าใดก็ได้ นั่นคือ เกี่ยวกับการมีอยู่ของสถานะควอนตัมของระบบ ซึ่งอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+ c_(2)\Psi _(2)+\ldots +(c)_(N)(\Psi )_(N)=\sum _(n=1)^(N)(c)_(n)( \Psi )_(n)).

ในสถานะนี้ กำลังสองของโมดูลัสของสัมประสิทธิ์ c n (\displaystyle (c)_(n))กำหนดความน่าจะเป็นที่เมื่อวัดแล้ว ระบบจะถูกตรวจพบในสถานะที่อธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).

ดังนั้น สำหรับฟังก์ชันคลื่นที่ทำให้เป็นมาตรฐาน ∑ n = 1 ยังไม่มีข้อความ | ซี เอ็น | 2 = 1 (\displaystyle \sum _(n=1)^(N)\left|c_(n)\right|^(2)=1).

เงื่อนไขสำหรับความสม่ำเสมอของฟังก์ชันคลื่น

ความหมายความน่าจะเป็นของฟังก์ชันคลื่นทำให้เกิดข้อจำกัดหรือเงื่อนไขบางประการเกี่ยวกับฟังก์ชันคลื่นในปัญหาของกลศาสตร์ควอนตัม เงื่อนไขมาตรฐานเหล่านี้มักเรียกว่า เงื่อนไขสำหรับความสม่ำเสมอของฟังก์ชันคลื่น

ฟังก์ชันคลื่นในรูปแบบต่างๆสถานะใช้ในการเป็นตัวแทนที่แตกต่างกัน - จะสอดคล้องกับการแสดงออกของเวกเตอร์เดียวกันในระบบพิกัดที่ต่างกัน การดำเนินการอื่นๆ ที่มีฟังก์ชันคลื่นจะมีแอนะล็อกในภาษาของเวกเตอร์ด้วย ในกลศาสตร์คลื่น การแสดงแทนจะใช้เมื่ออาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน psi เป็นระบบที่สมบูรณ์ อย่างต่อเนื่องการสับเปลี่ยนสิ่งที่สังเกตได้ และการแทนเมทริกซ์ใช้การแทนโดยที่อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน psi เป็นระบบที่สมบูรณ์ ไม่ต่อเนื่องการเดินทางที่สังเกตได้ ดังนั้นสูตรฟังก์ชัน (คลื่น) และเมทริกซ์จึงเทียบเท่ากันทางคณิตศาสตร์อย่างเห็นได้ชัด
corpular - คลื่นทวินิยมในฟิสิกส์ควอนตัม สถานะของอนุภาคอธิบายโดยใช้ฟังก์ชันคลื่น ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-function)
คำจำกัดความ 1

ฟังก์ชั่นคลื่นเป็นฟังก์ชันที่ใช้ในกลศาสตร์ควอนตัม อธิบายสถานะของระบบที่มีมิติในอวกาศ มันเป็นเวกเตอร์ของรัฐ
ฟังก์ชันนี้ซับซ้อนและมีคุณสมบัติเป็นคลื่นอย่างเป็นทางการ การเคลื่อนที่ของอนุภาคใดๆ ในโลกใบเล็กถูกกำหนดโดยกฎความน่าจะเป็น การกระจายความน่าจะเป็นจะถูกเปิดเผยเมื่อมีการสังเกต (การวัด) จำนวนมากหรืออนุภาคจำนวนมาก การกระจายผลลัพธ์จะคล้ายกับการกระจายความเข้มของคลื่น นั่นคือในสถานที่ที่มีความเข้มสูงสุด จะมีการบันทึกจำนวนอนุภาคสูงสุด
ชุดอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน wave เป็นตัวกำหนดการเป็นตัวแทน ดังนั้น การแสดงพิกัดจึงเป็นไปได้: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, การแสดงอิมพัลส์: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$, ฯลฯ
ในฟิสิกส์ควอนตัม เป้าหมายไม่ใช่การทำนายเหตุการณ์อย่างแม่นยำ แต่เป็นการประเมินความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นั้นๆ เมื่อทราบค่าความน่าจะเป็นแล้วให้หาค่าเฉลี่ยของปริมาณทางกายภาพ ฟังก์ชัน wave ช่วยให้คุณค้นหาความน่าจะเป็นดังกล่าวได้

ดังนั้นความน่าจะเป็นของการมีอยู่ของอนุภาคขนาดเล็กในปริมาตร dV ณ เวลา t สามารถกำหนดได้ดังนี้:
โดยที่ $\psi^*$ เป็นฟังก์ชันคอนจูเกตเชิงซ้อนของฟังก์ชัน $\psi.$ ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น (ความน่าจะเป็นต่อหน่วยปริมาตร) เท่ากับ:
ความน่าจะเป็นคือปริมาณที่สามารถสังเกตได้ในการทดลอง ในเวลาเดียวกัน ฟังก์ชันคลื่นไม่พร้อมใช้งานสำหรับการสังเกต เนื่องจากมันซับซ้อน (ในฟิสิกส์คลาสสิก พารามิเตอร์ที่แสดงลักษณะของอนุภาคจะพร้อมสำหรับการสังเกต)

เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับ $\psi$-ฟังก์ชัน

ฟังก์ชันคลื่นถูกกำหนดขึ้นอยู่กับปัจจัยคงที่ตามอำเภอใจ ข้อเท็จจริงนี้ไม่ส่งผลกระทบต่อสถานะของอนุภาคที่ฟังก์ชัน $\psi$ อธิบาย อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันคลื่นถูกเลือกในลักษณะที่เป็นไปตามเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน:

โดยที่อินทิกรัลถูกยึดครองพื้นที่ทั้งหมดหรือทั่วบริเวณที่ฟังก์ชันคลื่นไม่เป็นศูนย์ เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน (2) หมายความว่าในภูมิภาคทั้งหมดซึ่งมีอนุภาค $\psi\ne 0$ อยู่อย่างน่าเชื่อถือ ฟังก์ชันคลื่นที่เป็นไปตามเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานเรียกว่าการทำให้เป็นมาตรฐาน ถ้า $(\left|\psi\right|)^2=0$ เงื่อนไขนี้หมายความว่าอาจไม่มีอนุภาคในภูมิภาคที่กำลังศึกษาอยู่

การทำให้แบบฟอร์ม (2) เป็นมาตรฐานนั้นเป็นไปได้ด้วยสเปกตรัมของค่าลักษณะเฉพาะที่แยกจากกัน

เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานอาจไม่สามารถทำได้ ดังนั้น ถ้า $\psi$ เป็นระนาบของคลื่น Broglie และความน่าจะเป็นในการค้นหาอนุภาคจะเท่ากันสำหรับทุกจุดในอวกาศ กรณีเหล่านี้ถือเป็นแบบจำลองในอุดมคติที่มีอนุภาคอยู่ในพื้นที่ขนาดใหญ่แต่มีจำกัด

หลักการซ้อนทับของฟังก์ชันคลื่น

หลักการนี้เป็นหนึ่งในหลักการสำคัญของทฤษฎีควอนตัม ความหมายมีดังนี้: หากเป็นไปได้สำหรับบางสถานะของระบบซึ่งอธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น $\psi_1\ (\rm และ)\ $ $\psi_2$ ดังนั้นสำหรับระบบนี้จะมีสถานะ:

โดยที่ $C_(1\ )และ\ C_2$ เป็นสัมประสิทธิ์คงที่ หลักการของการซ้อนทับได้รับการยืนยันเชิงประจักษ์

เราสามารถพูดถึงการเพิ่มสถานะควอนตัมจำนวนเท่าใดก็ได้:

โดยที่ $(\left|C_n\right|)^2$ คือความน่าจะเป็นที่ระบบจะพบในสถานะที่อธิบายโดยฟังก์ชันคลื่น $\psi_n.$ สำหรับฟังก์ชันคลื่นที่อยู่ภายใต้เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน (2) เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

รัฐนิ่ง

ในทฤษฎีควอนตัม สถานะคงที่ (สถานะที่พารามิเตอร์ทางกายภาพที่สังเกตได้ทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไป) มีบทบาทพิเศษ (โดยพื้นฐานแล้วฟังก์ชันคลื่นนั้นไม่สามารถสังเกตได้) ในสภาวะคงตัว ฟังก์ชัน $\psi$-จะมีรูปแบบ:

โดยที่ $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ไม่ได้ขึ้นอยู่กับเวลา $E$ คือพลังงานของอนุภาค ด้วยรูปแบบ (3) ของฟังก์ชันคลื่น ความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ($P$) จะเป็นค่าคงที่เวลา:

จากคุณสมบัติทางกายภาพของสถานะคงที่ ให้ปฏิบัติตามข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันคลื่น $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$

ข้อกำหนดทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันคลื่นสำหรับสถานะคงที่

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- ฟังก์ชันจะต้องอยู่ที่ทุกจุด:

ต่อเนื่อง,
ไม่คลุมเครือ,
มีจำกัด

ถ้าพลังงานศักย์มีพื้นผิวไม่ต่อเนื่อง บนพื้นผิวดังกล่าว ฟังก์ชัน $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ และอนุพันธ์อันดับแรกจะต้องคงสภาพต่อเนื่อง ในบริเวณอวกาศที่พลังงานศักย์ไม่มีที่สิ้นสุด $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ จะต้องเป็นศูนย์ ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ กำหนดให้ที่ขอบเขตใดๆ ของขอบเขตนี้ $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$ เงื่อนไขความต่อเนื่องถูกกำหนดบนอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันคลื่น ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ บางส่วน z)$)

ตัวอย่างที่ 1

ออกกำลังกาย:สำหรับอนุภาคจำนวนหนึ่ง ฟังก์ชันคลื่นจะมีอยู่ในรูปแบบ: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$ โดยที่ $r$ คือระยะห่างจากอนุภาค ไปยังจุดศูนย์กลางของแรง (รูปที่ 1 ), $a=const$. ใช้เงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน ค้นหาค่าสัมประสิทธิ์การทำให้เป็นมาตรฐาน A

ภาพที่ 1.

สารละลาย:

ให้เราเขียนเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับกรณีของเราในรูปแบบ:

\[\int((\left|\psi\right|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\left(1.1\right),))\]

โดยที่ $dV=4\pi r^2dr$ (ดูรูปที่ 1 จากเงื่อนไขที่ชัดเจนว่าปัญหามีความสมมาตรทรงกลม) จากเงื่อนไขของปัญหาที่เรามี:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\ซ้าย(1.2\ขวา).\]

ให้เราแทนที่ $dV$ และฟังก์ชันคลื่น (1.2) ลงในเงื่อนไขการทำให้เป็นมาตรฐาน:

\[\int\ลิมิต^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ ขวา).)\]

มาดำเนินการรวมทางด้านซ้าย:

\[\int\ลิมิต^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\ซ้าย(1.4\ขวา).)\]

จากสูตร (1.4) เราแสดงค่าสัมประสิทธิ์ที่ต้องการ:

คำตอบ:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย:ระยะทางที่เป็นไปได้มากที่สุด ($r_B$) ของอิเล็กตรอนจากนิวเคลียสคือเท่าใด ถ้าฟังก์ชันคลื่นที่อธิบายสถานะพื้นของอิเล็กตรอนในอะตอมไฮโดรเจนสามารถกำหนดได้เป็น: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$ โดยที่ $ r$ คือระยะห่างจากอิเล็กตรอนถึงนิวเคลียส $a$ คือรัศมีบอร์แรก

สารละลาย:

เราใช้สูตรที่กำหนดความน่าจะเป็นของการมีอยู่ของอนุภาคขนาดเล็กในปริมาตร $dV$ ณ เวลา $t$:

โดยที่ $dV=4\pi r^2dr.\ $ดังนั้นเราจึงได้:

ในกรณีนี้ เราเขียน $p=\frac(dP)(dr)$ เป็น:

เพื่อกำหนดระยะทางที่เป็นไปได้มากที่สุด อนุพันธ์ $\frac(dp)(dr)$ จะเท่ากับศูนย์:

\[(\left.\frac(dp)(dr)\right|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\left(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\left(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]

เนื่องจากวิธีแก้ปัญหา $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ ไม่เหมาะกับเรา จึงเป็นดังนี้: