Logarifm. O'nlik logarifm. O'nlik logarifm nima? O'nlik logarifmni qanday olib tashlash mumkin

\(a^(b)=c\) \(\Chap oʻng oʻq\) \(\log_(a)(c)=b\)

Keling, buni osonroq tushuntiramiz. Masalan, \(\log_(2)(8)\) \(8\) olish uchun \(2\) ko'tarilishi kerak bo'lgan quvvatga teng. Bundan ma'lum bo'ladiki, \(\log_(2)(8)=3\).

Logarifmning argumenti va asosi

Har qanday logarifm quyidagi "anatomiyaga" ega:

Logarifmning argumenti odatda uning darajasida yoziladi, asosi esa logarifm belgisiga yaqinroq pastki chiziqda yoziladi. Va bu yozuv shunday o'qiladi: "yigirma beshning logarifmi beshning asosiga".

Logarifmni qanday hisoblash mumkin?

Logarifmni hisoblash uchun siz savolga javob berishingiz kerak: argumentni olish uchun bazani qanday darajaga ko'tarish kerak?

Masalan, logarifmni hisoblang: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) \(16\) ni olish uchun \(4\) ni qanday kuchga oshirish kerak? Shubhasiz, ikkinchisi. Shunung uchun:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) \(1\) ni olish uchun \(\sqrt(5)\) qanday quvvatga ko'tarilishi kerak? Va qaysi daraja har qanday raqamni birlik qiladi? Albatta, nol!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) \(\sqrt(7)\) olish uchun \(\sqrt(7)\)ni qanday quvvatga oshirish kerak? Birinchisida - birinchi darajadagi har qanday raqam o'ziga teng.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) \(\sqrt(3)\) olish uchun \(3\) ni qanday quvvatga oshirish kerak? Biz bilamizki, bu kasr darajasi va shuning uchun kvadrat ildiz \(\frac(1)(2)\) ning kuchidir.

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Misol : Logarifmni hisoblang \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Yechim :

Javob : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Logarifm nima uchun ixtiro qilingan?

Buni tushunish uchun tenglamani yechamiz: \(3^(x)=9\). Tenglik ishlashi uchun \(x\) ni moslang. Albatta, \(x=2\).

Endi tenglamani yeching: \(3^(x)=8\).X nimaga teng? Gap shundaki.

Eng zukkolar aytadilar: "X ikkidan bir oz kamroq". Bu raqam qanday yozilishi kerak? Bu savolga javob berish uchun ular logarifm bilan kelishdi. Unga rahmat, bu erda javobni \(x=\log_(3)(8)\) deb yozish mumkin.

Shuni ta'kidlamoqchimanki, \(\log_(3)(8)\), shuningdek har qanday logarifm shunchaki raqamdir. Ha, bu g'ayrioddiy ko'rinadi, lekin u qisqa. Chunki agar biz uni o'nlik kasr sifatida yozmoqchi bo'lsak, u quyidagicha ko'rinadi: \(1.892789260714.....\)

Misol : \(4^(5x-4)=10\) tenglamani yeching.

Yechim :

Javob : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

O'nlik va natural logarifmlar

Logarifm ta'rifida aytilganidek, uning asosi bittadan tashqari har qanday musbat son bo'lishi mumkin \((a>0, a\neq1)\). Va barcha mumkin bo'lgan asoslar orasida ikkitasi shunchalik tez-tez uchraydiki, ular bilan logarifmlar uchun maxsus qisqa yozuv ixtiro qilingan:

Natural logarifm: asosi Eyler soni \(e\) (taxminan \(2,7182818…\) ga teng) va logarifm \(\ln(a)\) shaklida yozilgan logarifm.

Ya'ni, \(\ln(a)\) \(\log_(e)(a)\) bilan bir xil

O'nlik logarifm: Bazasi 10 ga teng bo'lgan logarifm \(\lg(a)\) deb yoziladi.

Ya'ni, \(\lg(a)\) \(\log_(10)(a)\) bilan bir xil, bu yerda \(a\) qandaydir son.

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Logarifmlar juda ko'p xususiyatlarga ega. Ulardan biri "Asosiy logarifmik identifikatsiya" deb ataladi va quyidagicha ko'rinadi:

Bu xususiyat to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan kelib chiqadi. Keling, ushbu formula qanday paydo bo'lganini ko'rib chiqaylik.

Logarifmning qisqacha ta'rifini eslang:

agar \(a^(b)=c\), u holda \(\log_(a)(c)=b\)

Ya'ni, \(b\) \(\log_(a)(c)\) bilan bir xil. Keyin \(a^(b)=c\) formulasida \(b\) o'rniga \(\log_(a)(c)\) ni yozishimiz mumkin. Bu chiqdi \(a^(\log_(a)(c))=c\) - asosiy logarifmik identifikatsiya.

Logarifmlarning qolgan xossalarini topishingiz mumkin. Ularning yordami bilan siz to'g'ridan-to'g'ri hisoblash qiyin bo'lgan logarifmlar bilan ifodalarning qiymatlarini soddalashtirishingiz va hisoblashingiz mumkin.

Misol : \(36^(\log_(6)(5))\) ifoda qiymatini toping.

Yechim :

Javob : \(25\)

Raqamni logarifm sifatida qanday yozish mumkin?

Yuqorida aytib o'tilganidek, har qanday logarifm shunchaki raqamdir. Buning aksi ham to'g'ri: har qanday sonni logarifm sifatida yozish mumkin. Masalan, \(\log_(2)(4)\) ikkiga teng ekanligini bilamiz. Keyin ikkita o'rniga \(\log_(2)(4)\) yozishingiz mumkin.

Lekin \(\log_(3)(9)\) ham \(2\) ga teng, shuning uchun \(2=\log_(3)(9)\) ni ham yozishingiz mumkin. Xuddi shunday, \(\log_(5)(25)\) va \(\log_(9)(81)\) va boshqalar bilan. Ya'ni, shunday bo'ladi

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Shunday qilib, agar kerak bo'lsa, ikkalasini istalgan joyda (hatto tenglamada, hatto ifodada, hatto tengsizlikda ham) logarifm sifatida yozishimiz mumkin - biz faqat kvadrat asosni argument sifatida yozamiz.

Bu uchlik bilan bir xil - u \(\log_(2)(8)\) yoki \(\log_(3)(27)\) yoki \(\log_(4)() shaklida yozilishi mumkin. 64) \) ... Bu erda biz kubdagi asosni argument sifatida yozamiz:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Va to'rttasi bilan:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Va minus bilan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1) )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Va uchdan bir qismi bilan:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Har qanday son \(a\) asosi \(b\) bilan logarifm sifatida ifodalanishi mumkin: \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Misol : Ifodaning qiymatini toping \(\ frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Yechim :

Javob : \(1\)

Logarifmning asosiy xossalari, logarifmning grafigi, aniqlanish sohasi, qiymatlar to‘plami, asosiy formulalari, o‘sish va kamayishi berilgan. Logarifmning hosilasini topish ko'rib chiqiladi. Shuningdek, integral, darajali qatorlarni kengaytirish va kompleks sonlar yordamida tasvirlash.

Domen, qiymatlar to'plami, o'sish, pasayish

Logarifm monotonik funktsiyadir, shuning uchun uning ekstremumlari yo'q. Logarifmning asosiy xususiyatlari jadvalda keltirilgan.

Shaxsiy qadriyatlar

10 ta asosiy logarifm deyiladi o'nlik logarifm va shunday belgilanadi:

asosiy logarifm e chaqirdi tabiiy logarifm:

Asosiy logarifm formulalari

Teskari funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadigan logarifmning xususiyatlari:

Logarifmlarning asosiy xossasi va uning oqibatlari

Asosiy almashtirish formulasi

Logarifm - logarifm olishning matematik amalidir. Logarifm olishda omillarning ko'paytmalari hadlar yig'indisiga aylantiriladi.
Potentsiyalash - logarifmga teskari matematik operatsiya. Potentsiyalashda berilgan asos potentsiallashtirish bajariladigan ifoda kuchiga ko'tariladi. Bunda atamalar yig'indilari omillar mahsulotiga aylantiriladi.

Logarifmlarning asosiy formulalarini isbotlash

Logarifmlar bilan bog'liq formulalar ko'rsatkichli funktsiyalar formulalaridan va teskari funktsiyaning ta'rifidan kelib chiqadi.

Ko'rsatkichli funktsiyaning xususiyatini ko'rib chiqing
.
Keyin
.
Ko‘rsatkichli funksiya xossasini qo‘llang
:
.

Keling, asosiy o'zgarish formulasini isbotlaylik.
;
.
c = b sozlamasi, bizda:

Teskari funksiya

Logarifm asosining o'zaro nisbati a ko'rsatkichli ko'rsatkichli funktsiyadir.

Agar , keyin

Agar , keyin

Logarifmning hosilasi

X logarifm modulining hosilasi:
.
n-tartibning hosilasi:
.
Formulalarni chiqarish > > >

Logarifmaning hosilasini topish uchun uni asosga qisqartirish kerak e.
;
.

Integral

Logarifmning integrali qismlar bo'yicha integrallash orqali hisoblanadi: .
Shunday qilib,

Kompleks sonlar bilan ifodalangan ifodalar

Kompleks sonlar funktsiyasini ko'rib chiqing z:
.
Kompleks sonni ifodalaylik z modul orqali r va argument φ :
.
Keyin, logarifmning xususiyatlaridan foydalanib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:
.
Yoki

Biroq, argument φ aniq belgilanmagan. Agar qo'ysak
, bu yerda n butun son,
keyin har xil uchun bir xil raqam bo'ladi n.

Demak, logarifm kompleks o‘zgaruvchining funksiyasi sifatida bir qiymatli funksiya emas.

Quvvat seriyasining kengayishi

, uchun kengayish sodir bo'ladi:

Adabiyotlar:
I.N. Bronshteyn, K.A. Semendyaev, Oliy o'quv yurtlari muhandislari va talabalari uchun matematika bo'yicha qo'llanma, Lan, 2009 yil.

Ko'pincha o'n raqamini oling. O'nta asosga bo'lgan sonlarning logarifmlari deyiladi kasr. O'nlik logarifm bilan hisob-kitoblarni bajarishda, odatda, belgi bilan ishlaydi lg, lekin emas jurnal; bazani belgilovchi o'n raqami esa ko'rsatilmagan. Ha, almashtiramiz jurnal 10 105 soddalashtirilgan lg105; A log102 yoqilgan lg2.

Uchun o'nlik logarifmlar asosi birdan katta bo'lgan logarifmlarning bir xil xususiyatlari xosdir. Ya'ni, o'nlik logarifmlar faqat ijobiy sonlar uchun xarakterlanadi. Birdan katta sonlarning oʻnlik logarifmlari musbat, birdan kichiklari esa manfiy; ikkita manfiy bo'lmagan sonning katta o'nli logarifmi ham kattasiga tengdir va hokazo. Bundan tashqari, o'nli logarifmlarning o'ziga xos xususiyatlari va o'ziga xos xususiyatlari bor, bu esa nega logarifmlarning asosi sifatida o'n raqamiga ustunlik berish qulayligini tushuntiradi.

Ushbu xususiyatlarni tahlil qilishdan oldin, keling, quyidagi formulalarni ko'rib chiqaylik.

Sonning o'nlik logarifmining butun qismi A chaqirdi xarakterli, va kasr mantis bu logarifm.

Sonning o'nlik logarifmining xarakteristikasi A sifatida ko'rsatilgan va mantissa (lg A}.

Aytaylik, lg 2 ≈ 0,3010 ni olaylik.. Shunga ko‘ra, = 0, (log 2) ≈ 0,3010.

Xuddi shu narsa lg 543.1 ≈2.7349 uchun ham amal qiladi. Shunga ko'ra, = 2, (lg 543,1)≈ 0,7349.

Jadvallardagi musbat sonlarning o'nlik logarifmlarini hisoblash juda keng qo'llaniladi.

O'nlik logarifmlarning xarakterli belgilari.

O'nlik logarifmning birinchi belgisi. 1 va undan keyin nol bilan ifodalangan manfiy bo'lmagan butun son tanlangan sondagi nollar soniga teng musbat butun sondir. .

lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5 ni olaylik.

Umuman olganda, agar

Bu A= 10n , biz undan olamiz

lg a = lg 10 n = n lg 10 =P.

Ikkinchi belgi. Bosh nollari bilan ko'rsatilgan musbat kasrning o'nlik logarifmi - P, Qayerda P- butun sonlarning nolini hisobga olgan holda ushbu raqamni ko'rsatishdagi nollar soni.

O'ylab ko'ring , lg 0,001 = -3, lg 0,000001 = -6.

Umuman olganda, agar

,

Bu a= 10-n va bu chiqadi

lga = lg 10n =-n lg 10 =-n

Uchinchi belgi. Birdan katta bo'lmagan manfiy sonning o'nlik logarifmining xarakteristikasi bittadan tashqari ushbu sonning butun qismidagi raqamlar soniga teng.

Bu xususiyatni tahlil qilaylik 1) lg 75.631 logarifmining xarakteristikasi 1 ga tenglashtiriladi.

Darhaqiqat, 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

lg 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

Bu shuni anglatadiki,

lg 75.631 = 1 + b,

O'nli kasrdagi vergulni o'ngga yoki chapga siljitish bu kasrni butun ko'rsatkich bilan o'n darajaga ko'paytirish amaliga tengdir. P(ijobiy yoki salbiy). Va shuning uchun, musbat kasrdagi kasr chapga yoki o'ngga siljiganida, bu kasrning o'nlik logarifmining mantisasi o'zgarmaydi.

Shunday qilib, (log 0,0053) = (log 0,53) = (log 0,0000053).

Logarifmning qabul qilinadigan diapazoni (ODZ).

Endi cheklovlar haqida gapiraylik (ODZ - o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari maydoni).

Biz eslaymizki, masalan, kvadrat ildizni manfiy sonlardan olish mumkin emas; yoki bizda kasr bo'lsa, u holda maxraj nolga teng bo'lishi mumkin emas. Logarifmlar uchun shunga o'xshash cheklovlar mavjud:

Ya'ni, argument ham, asos ham noldan katta bo'lishi kerak va asos teng bo'lishi mumkin emas.

Nega bunday?

Keling, oddiy boshlaylik: keling, aytaylik. Keyin, masalan, raqam mavjud emas, chunki biz qanday darajani ko'tarmasak ham, u doimo chiqadi. Bundan tashqari, u hech kim uchun mavjud emas. Ammo ayni paytda u har qanday narsaga teng bo'lishi mumkin (xuddi shu sababga ko'ra - u har qanday darajaga teng). Shuning uchun, ob'ekt hech qanday qiziqish uyg'otmaydi va u oddiygina matematikadan tashqariga tashlangan.

Bizda ham shunga o'xshash muammo bor: har qanday ijobiy darajada - bu, lekin uni umuman salbiy darajaga ko'tarib bo'lmaydi, chunki nolga bo'linish natija beradi (sizga eslataman).

Biz kasr kuchiga ko'tarish muammosiga duch kelganimizda (bir ildiz sifatida ifodalanadi:. Masalan, (ya'ni), lekin mavjud emas.

Shuning uchun, salbiy sabablarni ular bilan aralashishdan ko'ra tashlash osonroqdir.

Xo'sh, a bazasi biz uchun faqat ijobiy bo'lganligi sababli, biz uni qanday darajaga ko'tarishimizdan qat'iy nazar, biz har doim qat'iy ijobiy raqamni olamiz. Shuning uchun argument ijobiy bo'lishi kerak. Masalan, u mavjud emas, chunki u hech qanday darajada manfiy raqam bo'lmaydi (va hatto nolga teng, shuning uchun u ham mavjud emas).

Logarifmlar bilan bog'liq masalalarda birinchi qadam ODZni yozishdir. Men misol keltiraman:

Keling, tenglamani yechamiz.

Ta'rifni eslang: logarifm - bu dalil olish uchun asosni ko'tarish kerak bo'lgan kuch. Va shartga ko'ra, bu daraja tengdir: .

Biz odatdagi kvadrat tenglamani olamiz: . Biz uni Vieta teoremasi yordamida hal qilamiz: ildizlarning yig'indisi teng va mahsulot. Oson olish, bu raqamlar va.

Ammo agar siz darhol ushbu ikkala raqamni javobda olib, yozsangiz, topshiriq uchun 0 ball olishingiz mumkin. Nega? Keling, o'ylab ko'raylik, agar biz bu ildizlarni boshlang'ich tenglamaga almashtirsak nima bo'ladi?

Bu aniq noto'g'ri, chunki asos salbiy bo'lishi mumkin emas, ya'ni ildiz "uchinchi tomon".

Bunday noxush nayranglarga yo'l qo'ymaslik uchun siz tenglamani echishni boshlashdan oldin ham ODZni yozishingiz kerak:

Keyin, ildizlarni qabul qilib, biz darhol ildizni tashlaymiz va to'g'ri javobni yozamiz.

1-misol(o'zingiz hal qilishga harakat qiling) :

Tenglamaning ildizini toping. Agar bir nechta ildiz bo'lsa, javobingizda kichikroqini ko'rsating.

Yechim:

Avvalo, ODZ ni yozamiz:

Endi biz logarifm nima ekanligini eslaymiz: argument olish uchun asosni qanday kuchga ko'tarish kerak? Ikkinchisida. Ya'ni:

Kichikroq ildiz teng bo'lib tuyuladi. Ammo bu unday emas: ODZga ko'ra, ildiz uchinchi tomondir, ya'ni bu tenglamaning ildizi umuman emas. Shunday qilib, tenglama faqat bitta ildizga ega: .

Javob: .

Asosiy logarifmik identifikatsiya

Logarifmning umumiy ta'rifini eslang:

Logarifm o‘rniga ikkinchi tenglikni qo‘ying:

Bu tenglik deyiladi asosiy logarifmik identifikatsiya. Garchi mohiyatiga ko'ra, bu tenglik boshqacha yozilgan logarifmning ta'rifi:

Bu olish uchun siz oshirishingiz kerak bo'lgan kuchdir.

Masalan:

Quyidagi misollarni yeching:

2-misol

Ifodaning qiymatini toping.

Yechim:

Bo'limdagi qoidani eslang: ya'ni darajani kuchga ko'tarishda ko'rsatkichlar ko'paytiriladi. Keling, uni qo'llaymiz:

3-misol

Buni isbotlang.

Yechim:

Logarifmlarning xossalari

Afsuski, vazifalar har doim ham oddiy emas - ko'pincha siz avval ifodani soddalashtirishingiz, uni odatiy shaklga keltirishingiz kerak va shundan keyingina qiymatni hisoblash mumkin bo'ladi. Buni bilib turib qilish eng oson logarifmlarning xossalari. Shunday qilib, keling, logarifmlarning asosiy xususiyatlarini bilib olaylik. Men ularning har birini isbotlayman, chunki har qanday qoida qaerdan kelganini bilsangiz, eslab qolish osonroq.

Bu xususiyatlarning barchasini eslab qolish kerak, ularsiz logarifm bilan bog'liq ko'pgina muammolarni hal qilib bo'lmaydi.

Va endi logarifmlarning barcha xususiyatlari haqida batafsilroq.

Mulk 1:

Isbot:

Mayli, unda.

Bizda: , h.t.d.

2-xossa: logarifmlar yig‘indisi

Bir xil asosga ega bo'lgan logarifmlar yig'indisi mahsulotning logarifmasiga teng: .

Isbot:

Mayli, unda. Mayli, unda.

Misol: Ifodaning qiymatini toping: .

Yechim: .

Siz o'rgangan formulalar farqni emas, balki logarifmlar yig'indisini soddalashtirishga yordam beradi, shuning uchun bu logarifmlarni darhol birlashtirib bo'lmaydi. Ammo siz buning aksini qilishingiz mumkin - birinchi logarifmni ikkiga "sindirish": Va bu erda va'da qilingan soddalashtirish:
.
Bu nima uchun kerak? Xo'sh, masalan: nima muhim?

Endi bu aniq.

Hozir o'zingiz uchun oson qiling:

Vazifalar:

Javoblar:

3-xususiyat: Logarifmlar farqi:

Isbot:

Hammasi 2-banddagi bilan bir xil:

Mayli, unda.

Mayli, unda. Bizda ... bor:

Oxirgi nuqtadagi misol endi yanada sodda:

Murakkabroq misol: . O'zingiz o'ylab ko'ring, qanday qaror qabul qilasiz?

Bu erda shuni ta'kidlash kerakki, bizda kvadrat logarifmlar haqida bitta formula yo'q. Bu iboraga o'xshash narsa - buni darhol soddalashtirib bo'lmaydi.

Shuning uchun, keling, logarifmlar haqidagi formulalardan chetga chiqamiz va biz matematikada ko'pincha qaysi formulalardan foydalanamiz? 7-sinfdan beri!

Bu -. Ular hamma joyda ekanligiga ko'nikishingiz kerak! Eksponensial, trigonometrik va irratsional masalalarda ular topiladi. Shuning uchun ularni eslab qolish kerak.

Agar siz birinchi ikkita atamaga diqqat bilan qarasangiz, bu aniq bo'ladi kvadratlar farqi:

Tekshirish uchun javob:

O'zingizni soddalashtiring.

Misollar

Javoblar.

4-xususiyat: Logarifm argumentidan ko‘rsatkichni chiqarish:

Isbot: Va bu erda biz logarifmning ta'rifidan ham foydalanamiz: mayli, keyin. Bizda: , h.t.d.

Ushbu qoidani quyidagicha tushunishingiz mumkin:

Ya'ni, argument darajasi koeffitsient sifatida logarifmdan oldinga olinadi.

Misol: Ifodaning qiymatini toping.

Yechim: .

O'zingiz qaror qiling:

Misollar:

Javoblar:

5-xususiyat: ko‘rsatkichni logarifm asosidan chiqarish:

Isbot: Mayli, unda.

Bizda: , h.t.d.
Eslab qoling: dan asoslar daraja sifatida ko'rsatiladi teskari oldingi holatdan farqli o'laroq, raqam!

6-xususiyat: ko‘rsatkichni asosdan va logarifm argumentidan chiqarish:

Yoki darajalar bir xil bo'lsa: .

Xususiyat 7: Yangi bazaga o'tish:

Isbot: Mayli, unda.

Bizda: , h.t.d.

8-xususiyat: logarifmning asosi va argumentini almashtirish:

Isbot: Bu 7-formulaning alohida holati: agar biz almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz: , p.t.d.

Keling, yana bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

4-misol

Ifodaning qiymatini toping.

Biz 2-sonli logarifmlarning xossasidan foydalanamiz - bir xil asosga ega bo'lgan logarifmalar yig'indisi mahsulotning logarifmiga teng:

5-misol

Ifodaning qiymatini toping.

Yechim:

No3 va 4-logarifmlarning xossasidan foydalanamiz:

6-misol

Ifodaning qiymatini toping.

Yechim:

7-sonli xususiyatdan foydalanib - 2-bazaga o'ting:

7-misol

Ifodaning qiymatini toping.

Yechim:

Sizga maqola qanday yoqadi?

Agar siz ushbu satrlarni o'qiyotgan bo'lsangiz, unda siz butun maqolani o'qib chiqdingiz.

Va bu ajoyib!

Endi ayting-chi, sizga maqola qanday yoqadi?

Logarifmlarni yechishni o'rgandingizmi? Agar yo'q bo'lsa, muammo nimada?

Quyidagi izohlarda bizga yozing.

Va ha, imtihonlaringizga omad.

Yagona davlat imtihonida va OGEda va umuman hayotda

Demak, bizda ikkita kuch bor. Agar siz raqamni pastki qatordan olsangiz, unda siz bu raqamni olish uchun ikkitani ko'tarishingiz kerak bo'lgan quvvatni osongina topishingiz mumkin. Misol uchun, 16 ni olish uchun siz ikkitadan to'rtinchi darajaga ko'tarishingiz kerak. Va 64 ni olish uchun siz ikkitadan oltinchi kuchga ko'tarishingiz kerak. Buni jadvaldan ko'rish mumkin.

Va endi - aslida, logarifmning ta'rifi:

X argumentining logarifmi asosi x sonini olish uchun a soni ko'tarilishi kerak bo'lgan kuchdir.

Belgilash: log a x \u003d b, bu erda a - asos, x - argument, b - aslida logarifm nimaga teng.

Masalan, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8 ning 2 ta logarifmi uchta, chunki 2 3 = 8). Shuningdek, log 2 64 = 6 bo'lishi mumkin, chunki 2 6 = 64.

Berilgan asosga sonning logarifmini topish amaliga logarifm deyiladi. Shunday qilib, jadvalimizga yangi qator qo'shamiz:

Afsuski, barcha logarifmlar unchalik oson hisoblanmaydi. Masalan, log 2 ni topishga harakat qiling 5. 5 raqami jadvalda yo'q, lekin mantiq logarifma segmentning biron bir joyida yotishini ta'kidlaydi. Chunki 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Bunday raqamlar irratsional deb ataladi: kasrdan keyingi raqamlar cheksiz yozilishi mumkin va ular hech qachon takrorlanmaydi. Agar logarifm mantiqsiz bo'lib chiqsa, uni shunday qoldirgan ma'qul: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Logarifm ikki o'zgaruvchiga (asosiy va argument) ega ifoda ekanligini tushunish muhimdir. Avvaliga ko'p odamlar asos qayerda va argument qayerda ekanligini chalkashtirib yuborishadi. Zerikarli tushunmovchiliklarga yo'l qo'ymaslik uchun rasmga qarang:

Bizning oldimizda logarifm ta'rifidan boshqa narsa yo'q. Eslab qoling: logarifm kuchdir, unga dalil olish uchun asosni ko'tarish kerak. Bu kuchga ko'tarilgan asosdir - rasmda u qizil rang bilan ta'kidlangan. Ma'lum bo'lishicha, tayanch har doim pastda! Men bu ajoyib qoidani o'quvchilarimga birinchi darsda aytaman - va hech qanday chalkashlik yo'q.

Biz ta'rifni aniqladik - logarifmlarni qanday hisoblashni o'rganish qoladi, ya'ni. "log" belgisidan xalos bo'ling. Boshlash uchun ta'rifdan ikkita muhim fakt kelib chiqishini ta'kidlaymiz:

1. Argument va asos har doim noldan katta bo'lishi kerak. Bu logarifmning ta'rifi kichraytirilgan ratsional ko'rsatkich bilan darajani aniqlashdan kelib chiqadi.
2. Baza birlikdan farq qilishi kerak, chunki har qanday quvvat uchun birlik hali ham birlikdir. Shu sababli, "ikkitasini olish uchun qanday kuchga ko'tarilishi kerak" degan savol ma'nosizdir. Bunday daraja yo'q!

Bunday cheklovlar deyiladi tegishli diapazon(ODZ). Ma’lum bo‘lishicha, logarifmning ODZ si quyidagicha ko‘rinadi: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

E'tibor bering, b raqamiga cheklovlar yo'q (logarifmning qiymati) qo'yilmaydi. Masalan, logarifm salbiy bo'lishi mumkin: log 2 0,5 = -1, chunki 0,5 = 2 -1.

Biroq, endi biz faqat sonli ifodalarni ko'rib chiqamiz, bu erda logarifmning ODZ ni bilish talab qilinmaydi. Muammolarni tuzuvchilar tomonidan barcha cheklovlar allaqachon hisobga olingan. Ammo logarifmik tenglamalar va tengsizliklar paydo bo'lganda, DHS talablari majburiy bo'ladi. Darhaqiqat, asos va dalilda yuqoridagi cheklovlarga mutlaqo mos kelmaydigan juda kuchli konstruktsiyalar bo'lishi mumkin.

Endi logarifmlarni hisoblashning umumiy sxemasini ko'rib chiqing. U uch bosqichdan iborat:

1. a asosini va x argumentini mumkin bo'lgan eng kichik asos birdan katta bo'lgan daraja sifatida ifodalang. Yo'l davomida o'nlik kasrlardan xalos bo'lish yaxshiroqdir;
2. b o'zgaruvchisi uchun tenglamani yeching: x = a b ;
3. Olingan b soni javob bo'ladi.

Ana xolos! Agar logarifm irratsional bo'lib chiqsa, bu birinchi bosqichda ko'rinadi. Baza birdan katta bo'lishi talabi juda dolzarb: bu xato ehtimolini kamaytiradi va hisob-kitoblarni sezilarli darajada osonlashtiradi. Xuddi shunday, o'nli kasrlar bilan: agar siz ularni darhol oddiylarga aylantirsangiz, xatolar bir necha baravar kam bo'ladi.

Keling, ushbu sxema qanday ishlashini aniq misollar bilan ko'rib chiqaylik:

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 5 25

1. Baza va argumentni beshning kuchi sifatida ifodalaymiz: 5 = 5 1 ; 25 = 52;
2. Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Javob olindi: 2.

Vazifa. Logarifmni hisoblang:

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 4 64

1. Baza va argumentni ikkining darajasida ifodalaymiz: 4 = 2 2 ; 64 = 26;
2. Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Javob olindi: 3.

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 16 1

1. Baza va argumentni ikkining darajasida ifodalaymiz: 16 = 2 4 ; 1 = 20;
2. Keling, tenglamani tuzamiz va yechamiz:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Javob olindi: 0.

Vazifa. Logarifmni hisoblang: log 7 14

1. Baza va argumentni yettining kuchi sifatida ifodalaymiz: 7 = 7 1 ; 14 yettining kuchi sifatida ifodalanmaydi, chunki 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Oldingi paragrafdan kelib chiqadiki, logarifm hisobga olinmaydi;
3. Javob o'zgarmaydi: log 7 14.

Oxirgi misol bo'yicha kichik eslatma. Raqam boshqa raqamning aniq kuchi emasligiga qanday ishonch hosil qilish mumkin? Juda oddiy - uni asosiy omillarga ajrating. Va agar bunday omillarni bir xil ko'rsatkichlar bilan bir darajada to'plash mumkin bo'lmasa, unda asl raqam aniq daraja emas.

Vazifa. Raqamning aniq darajalari borligini aniqlang: 8; 48; 81; 35; 14.

8 \u003d 2 2 2 \u003d 2 3 - bu aniq daraja, chunki faqat bitta multiplikator mavjud;
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 aniq kuch emas, chunki ikkita omil mavjud: 3 va 2;
81 \u003d 9 9 \u003d 3 3 3 3 \u003d 3 4 - aniq daraja;
35 \u003d 7 5 - yana aniq daraja emas;
14 \u003d 7 2 - yana aniq daraja emas;

Shuni ham yodda tutingki, tub sonlarning o'zlari har doim o'zlarining aniq kuchlaridir.

O'nlik logarifm

Ba'zi logarifmlar shunchalik keng tarqalganki, ular maxsus nom va belgiga ega.

X argumentining o'nlik logarifmi 10 ta asosiy logarifmdir, ya'ni. x raqamini olish uchun 10 raqamini ko'tarish kerak bo'lgan kuch. Belgilanishi: lg x .

Masalan, log 10 = 1; log 100 = 2; lg 1000 = 3 - va boshqalar.

Bundan buyon darslikda “Find lg 0.01” kabi ibora paydo bo'lganda, bu xato emasligini bilib oling. Bu o'nlik logarifm. Ammo, agar siz bunday belgiga o'rganmagan bo'lsangiz, uni har doim qayta yozishingiz mumkin:
log x = log 10 x

Oddiy logarifmlar uchun to'g'ri bo'lgan hamma narsa o'nli kasrlar uchun ham to'g'ri keladi.

tabiiy logarifm

O'z yozuviga ega bo'lgan yana bir logarifm mavjud. Qaysidir ma'noda, bu o'nlikdan ham muhimroqdir. Bu tabiiy logarifm.

X argumentining tabiiy logarifmi e asosining logarifmi, ya'ni. x sonini olish uchun e soni ko'tarilishi kerak bo'lgan kuch. Belgilanishi: ln x.

Ko'pchilik so'raydi: e raqami yana nima? Bu irratsional son, uning aniq qiymatini topib, yozib bo'lmaydi. Bu erda faqat birinchi raqamlar:
e = 2,718281828459...

Biz bu raqam nima ekanligini va nima uchun kerakligini aniqlamaymiz. Esda tutingki, e tabiiy logarifmning asosi hisoblanadi:
ln x = log e x

Shunday qilib, ln e = 1; log e 2 = 2; ln e 16 = 16 - va hokazo. Boshqa tomondan, ln 2 irratsional sondir. Umuman olganda, har qanday ratsional sonning natural logarifmi irratsionaldir. Albatta, birlikdan tashqari: ln 1 = 0.

Tabiiy logarifmlar uchun oddiy logarifmlar uchun to'g'ri bo'lgan barcha qoidalar o'rinlidir.