كيفية حساب مميز المعادلة التربيعية بدون s. المعادلات التربيعية. حل المعادلات التربيعية. المعادلات التربيعية في بابل القديمة

استمرارًا لموضوع "حل المعادلات"، ستعرفك المادة الموجودة في هذه المقالة على المعادلات التربيعية.

دعونا نلقي نظرة على كل شيء بالتفصيل: جوهر وتدوين المعادلة التربيعية، وتحديد المصطلحات المصاحبة، وتحليل مخطط حل المعادلات غير الكاملة والكاملة، والتعرف على صيغة الجذور والمميز، وإنشاء اتصالات بين الجذور والمعاملات، وبالطبع سنقدم حلاً مرئيًا لأمثلة عملية.

المعادلة التربيعية أنواعها

معادلة من الدرجة الثانيةهي معادلة مكتوبة ك أ س 2 + ب س + ج = 0، أين س- المتغير، أ، ب و ج- بعض الأرقام، في حين أليس صفراً.

في كثير من الأحيان، تسمى المعادلات التربيعية أيضًا معادلات من الدرجة الثانية، لأن المعادلة التربيعية في جوهرها هي معادلة جبرية من الدرجة الثانية.

دعونا نعطي مثالا لتوضيح التعريف المحدد: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7، 5 × 2 + 3، 1 × + 0، 11 = 0، إلخ. هذه معادلات تربيعية.

التعريف 2

الأرقام أ، ب و جهي معاملات المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، بينما معامل أويسمى المعامل الأول، أو الأكبر، أو عند x 2، ب - المعامل الثاني، أو المعامل عند س، أ جيسمى عضوا حرا.

على سبيل المثال، في المعادلة التربيعية 6 × 2 − 2 × − 11 = 0المعامل الرئيسي هو 6، والمعامل الثاني هو − 2 ، والمدة الحرة تساوي − 11 . دعونا ننتبه إلى حقيقة أنه عندما تكون المعاملات بو/أو c سالبة، ثم يتم استخدام نموذج قصير من النموذج 6 × 2 − 2 × − 11 = 0، لكن لا 6 × 2 + (− 2) × + (− 11) = 0.

دعونا نوضح هذا الجانب أيضًا: إذا كانت المعاملات أو/أو بمتساوي 1 أو − 1 ، فلا يجوز لهم القيام بدور صريح في كتابة المعادلة التربيعية، وهو ما يفسره خصوصيات كتابة المعاملات العددية المشار إليها. على سبيل المثال، في المعادلة التربيعية ص 2 − ص + 7 = 0المعامل الرئيسي هو 1، والمعامل الثاني هو − 1 .

المعادلات التربيعية المخفضة وغير المخفضة

بناءً على قيمة المعامل الأول، يتم تقسيم المعادلات التربيعية إلى مخفضة وغير مخفضة.

التعريف 3

معادلة تربيعية مخفضةهي معادلة تربيعية حيث المعامل الرئيسي هو 1. بالنسبة للقيم الأخرى للمعامل الرئيسي، تكون المعادلة التربيعية غير مخفضة.

لنعطي أمثلة: المعادلات التربيعية x 2 − 4 · x + 3 = 0, x 2 − x − 4 5 = 0 مخفضة، في كل منها المعامل الرئيسي هو 1.

9 × 2 − س − 2 = 0- معادلة تربيعية غير مخفضة، حيث يختلف المعامل الأول عنها 1 .

يمكن تحويل أي معادلة تربيعية غير مختزلة إلى معادلة مخفضة عن طريق قسمة كلا الطرفين على المعامل الأول (التحويل المكافئ). سيكون للمعادلة المحولة نفس جذور المعادلة غير المختزلة المعطاة أو لن يكون لها أيضًا أي جذور على الإطلاق.

سيسمح لنا النظر في مثال محدد بإظهار الانتقال بوضوح من معادلة تربيعية غير مخفضة إلى معادلة مخفضة.

مثال 1

بالنظر إلى المعادلة 6 × 2 + 18 × − 7 = 0 . من الضروري تحويل المعادلة الأصلية إلى الصورة المصغرة.

حل

وفقًا للمخطط أعلاه، نقسم طرفي المعادلة الأصلية على المعامل الرئيسي 6. ثم نحصل على: (6 × 2 + 18 × − 7) : 3 = 0: 3، وهذا هو نفسه: (6 × 2) : 3 + (18 ×) : 3 − 7: 3 = 0ومزيد من: (6: 6) × 2 + (18: 6) × − 7: 6 = 0.من هنا: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0 . وبذلك يتم الحصول على معادلة تعادل المعادلة المعطاة.

إجابة: س 2 + 3 س - 1 1 6 = 0 .

المعادلات التربيعية الكاملة وغير الكاملة

دعنا ننتقل إلى تعريف المعادلة التربيعية. وقد حددنا فيه ذلك أ ≠ 0. شرط مماثل ضروري للمعادلة أ س 2 + ب س + ج = 0كان على وجه التحديد مربع، منذ في أ = 0يتحول بشكل أساسي إلى معادلة خطية ب س + ج = 0.

في حالة وجود معاملات بو جتساوي الصفر (وهو أمر ممكن فرديًا ومجتمعًا)، تسمى المعادلة التربيعية غير كاملة.

التعريف 4

معادلة تربيعية غير مكتملة- مثل هذه المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0،حيث واحد على الأقل من المعاملات بو ج(أو كليهما) يساوي صفرًا.

معادلة تربيعية كاملة– معادلة تربيعية جميع المعاملات العددية فيها لا تساوي الصفر.

دعونا نناقش سبب تسمية أنواع المعادلات التربيعية بهذه الأسماء بالضبط.

عندما يكون b = 0، تأخذ المعادلة التربيعية الشكل أ س 2 + 0 س + ج = 0، وهو نفس أ س 2 + ج = 0. في ج = 0المعادلة التربيعية مكتوبة هكذا أ س 2 + ب س + 0 = 0، وهو ما يعادل أ س 2 + ب س = 0. في ب = 0و ج = 0سوف تأخذ المعادلة الشكل أ × 2 = 0. تختلف المعادلات التي حصلنا عليها عن المعادلة التربيعية الكاملة في أن طرفيها الأيسر لا يحتوي على حد بالمتغير x، أو حد حر، أو كليهما. في الواقع، هذه الحقيقة أعطت الاسم لهذا النوع من المعادلات – غير كاملة.

على سبيل المثال، x 2 + 3 x + 4 = 0 و − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 معادلات تربيعية كاملة؛ س 2 = 0, − 5 × 2 = 0; 11 · x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 · x = 0 – معادلات تربيعية غير كاملة.

حل المعادلات التربيعية غير الكاملة

التعريف الوارد أعلاه يجعل من الممكن التمييز بين الأنواع التالية من المعادلات التربيعية غير المكتملة:

• أ × 2 = 0، هذه المعادلة تتوافق مع المعاملات ب = 0و ج = 0 ;
• أ · س 2 + ج = 0 عند ب = 0 ;
• أ · س 2 + ب · س = 0 عند ج = 0.

دعونا نفكر بالتسلسل في حل كل نوع من المعادلات التربيعية غير المكتملة.

حل المعادلة أ × 2 =0

وكما ذكر أعلاه، فإن هذه المعادلة تتوافق مع المعاملات بو ج، يساوي الصفر. المعادلة أ × 2 = 0يمكن تحويلها إلى معادلة مكافئة × 2 = 0، والذي نحصل عليه بقسمة طرفي المعادلة الأصلية على الرقم أ، لا يساوي الصفر. الحقيقة الواضحة هي أن جذر المعادلة × 2 = 0هذا صفر لأن 0 2 = 0 . وليس لهذه المعادلة جذور أخرى، وهو ما يمكن تفسيره بخصائص الدرجة: لأي عدد ص،لا يساوي صفرًا، فالمتراجحة صحيحة ص 2 > 0، والذي يتبع ذلك عندما ص ≠ 0المساواة ص 2 = 0لن يتحقق أبدا.

التعريف 5

وبالتالي، بالنسبة للمعادلة التربيعية غير المكتملة a x 2 = 0 هناك جذر واحد س = 0.

مثال 2

على سبيل المثال، دعونا نحل معادلة تربيعية غير كاملة - 3 × 2 = 0. وهو ما يعادل المعادلة × 2 = 0، جذره الوحيد هو س = 0فإن المعادلة الأصلية لها جذر واحد - صفر.

باختصار الحل مكتوب كالتالي:

− 3 × 2 = 0، × 2 = 0، × = 0.

حل المعادلة أ س 2 + ج = 0

التالي في السطر هو حل المعادلات التربيعية غير الكاملة، حيث b = 0, c ≠ 0، أي معادلات من الشكل أ س 2 + ج = 0. لنحول هذه المعادلة عن طريق نقل حد من طرف المعادلة إلى الطرف الآخر وتغيير الإشارة إلى الطرف المقابل وتقسيم طرفي المعادلة على رقم لا يساوي صفر:

• تحويل جإلى الجانب الأيمن، والذي يعطي المعادلة أ س 2 = - ج;
• قسّم طرفي المعادلة على أ، ننتهي بـ x = - c a .

تحويلاتنا متكافئة، وبالتالي فإن المعادلة الناتجة تعادل أيضًا المعادلة الأصلية، وهذه الحقيقة تجعل من الممكن استخلاص استنتاجات حول جذور المعادلة. من ما هي القيم أو جقيمة التعبير - c a تعتمد على: يمكن أن تحتوي على علامة ناقص (على سبيل المثال، if أ = 1و ج = 2، ثم - ج أ = - 2 1 = - 2) أو علامة الجمع (على سبيل المثال، إذا أ = − 2و ج = 6, إذًا - ج أ = - 6 - 2 = 3); أنها ليست صفر ل ج ≠ 0. دعونا نتناول المزيد من التفاصيل حول المواقف التي - ج أ< 0 и - c a > 0 .

في حالة - ج أ< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа صالمساواة p 2 = - c a لا يمكن أن تكون صحيحة.

كل شيء يختلف عندما - c a > 0: تذكر الجذر التربيعي، وسيصبح من الواضح أن جذر المعادلة x 2 = - c a سيكون الرقم - c a، لأن - c a 2 = - c a. ليس من الصعب أن نفهم أن الرقم - - c a هو أيضًا جذر المعادلة x 2 = - c a: بالفعل، - - c a 2 = - c a.

المعادلة لن يكون لها جذور أخرى. يمكننا إثبات ذلك باستخدام طريقة التناقض. في البداية، دعونا نحدد الرموز للجذور الموجودة أعلاه كما يلي: × 1و - × 1. لنفترض أن المعادلة x 2 = - c a لها أيضًا جذر × 2، وهو يختلف عن الجذور × 1و - × 1. ونعلم ذلك بالتعويض في المعادلة سجذورها، نحول المعادلة إلى مساواة عددية عادلة.

ل × 1و - × 1نكتب: x 1 2 = - c a و ل × 2- س 2 2 = - ج أ . بناءً على خصائص التساويات العددية، فإننا نطرح حدًا واحدًا صحيحًا للمساواة من حد آخر، مما سيعطينا: س 1 2 − س 2 2 = 0. نستخدم خصائص العمليات مع الأرقام لإعادة كتابة المساواة الأخيرة كـ (س 1 − س 2) · (س 1 + س 2) = 0. من المعروف أن حاصل ضرب رقمين يكون صفرًا إذا وفقط إذا كان أحد الرقمين على الأقل صفرًا. ومما سبق يترتب على ذلك س 1 - س 2 = 0و/أو س 1 + س 2 = 0وهو نفس الشيء × 2 = × 1و/أو س 2 = − س 1. ونشأ تناقض واضح، لأنه تم الاتفاق في البداية على أن جذر المعادلة × 2يختلف عن × 1و - × 1. لذلك أثبتنا أن المعادلة ليس لها جذور غير x = - c a و x = - - c a.

دعونا نلخص جميع الحجج المذكورة أعلاه.

التعريف 6

معادلة تربيعية غير مكتملة أ س 2 + ج = 0يعادل المعادلة x 2 = - c a، والتي:

• لن يكون لها جذور في - ج أ< 0 ;
• سيكون له جذرين x = - c a و x = - - c a لـ - c a > 0.

دعونا نعطي أمثلة على حل المعادلات أ س 2 + ج = 0.

مثال 3

نظرا لمعادلة تربيعية 9 × 2 + 7 = 0.ومن الضروري إيجاد حل.

حل

لننقل الحد الحر إلى الجانب الأيمن من المعادلة، فتأخذ المعادلة الشكل 9 × 2 = − 7.
دعونا نقسم طرفي المعادلة الناتجة على 9 ، وصلنا إلى x 2 = - 7 9 . على الجانب الأيمن نرى رقمًا بعلامة الطرح، مما يعني: المعادلة المعطاة ليس لها جذور. ثم المعادلة التربيعية الأصلية غير الكاملة 9 × 2 + 7 = 0لن يكون لها جذور.

إجابة:المعادلة 9 × 2 + 7 = 0ليس له جذور.

مثال 4

المعادلة تحتاج إلى حل - س 2 + 36 = 0.

حل

لننتقل 36 إلى الجانب الأيمن: - س 2 = − 36.
دعونا نقسم كلا الجزأين على − 1 ، نحن نحصل × 2 = 36. يوجد على الجانب الأيمن عدد موجب، ومنه يمكننا استنتاج ذلك س = 36 أو س = - 36 .
لنستخرج الجذر ونكتب النتيجة النهائية: معادلة تربيعية غير مكتملة - س 2 + 36 = 0له جذوران س = 6أو س = − 6.

إجابة: س = 6أو س = − 6.

حل المعادلة أ × 2 + ب × = 0

دعونا نحلل النوع الثالث من المعادلات التربيعية غير الكاملة، متى ج = 0. لإيجاد حل لمعادلة تربيعية غير مكتملة أ س 2 + ب س = 0، سوف نستخدم طريقة التحليل. دعونا نحلل كثيرة الحدود الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة، مع إخراج العامل المشترك من الأقواس س. ستتيح هذه الخطوة تحويل المعادلة التربيعية الأصلية غير المكتملة إلى ما يعادلها س (أ س + ب) = 0. وهذه المعادلة بدورها تعادل مجموعة من المعادلات س = 0و أ س + ب = 0. المعادلة أ س + ب = 0الخطية وجذرها: س = - ب أ.

التعريف 7

وبالتالي فإن المعادلة التربيعية غير مكتملة أ س 2 + ب س = 0سيكون له جذوران س = 0و س = - ب أ.

دعونا نعزز المادة بمثال.

مثال 5

من الضروري إيجاد حل للمعادلة 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0.

حل

سوف نخرجها سخارج الأقواس نحصل على المعادلة x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . هذه المعادلة تعادل المعادلات س = 0و 2 3 س - 2 2 7 = 0. الآن عليك حل المعادلة الخطية الناتجة: 2 3 · x = 2 2 7, x = 2 2 7 2 3.

اكتب باختصار حل المعادلة كما يلي:

2 3 × 2 - 2 2 7 س = 0 × 2 3 س - 2 2 7 = 0

س = 0 أو 2 3 س - 2 2 7 = 0

س = 0 أو س = 3 3 7

إجابة:س = 0، س = 3 3 7.

صيغة التمييز لجذور المعادلة التربيعية

لإيجاد حلول للمعادلات التربيعية، توجد صيغة الجذر:

التعريف 8

س = - ب ± د 2 · أ، أين د = ب 2 − 4 أ ج- ما يسمى بمميز المعادلة التربيعية.

كتابة x = - b ± D 2 · a تعني بشكل أساسي أن x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a.

سيكون من المفيد أن نفهم كيف تم استخلاص هذه الصيغة وكيفية تطبيقها.

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

دعونا نواجه مهمة حل المعادلة التربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0. دعونا ننفذ عددًا من التحولات المكافئة:

• قسّم طرفي المعادلة على رقم أوبخلاف الصفر نحصل على المعادلة التربيعية التالية: x 2 + b a · x + c a = 0 ;
• لنختار المربع الكامل الموجود على الجانب الأيسر من المعادلة الناتجة:
  س 2 + ب أ · س + ج أ = س 2 + 2 · ب 2 · أ · س + ب 2 · أ 2 - ب 2 · أ 2 + ج أ = = س + ب 2 · أ 2 - ب 2 · أ 2 + ج أ
  بعد ذلك، ستأخذ المعادلة الشكل: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a = 0؛
• أصبح من الممكن الآن نقل الحدين الأخيرين إلى الجانب الأيمن، مع تغيير الإشارة إلى العكس، وبعد ذلك نحصل على: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• وأخيرا نحول التعبير المكتوب على الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة:
  ب 2 · أ 2 - ج أ = ب 2 4 · أ 2 - ج أ = ب 2 4 · أ 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 = ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 .

وهكذا نصل إلى المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 ، أي ما يعادل المعادلة الأصلية أ س 2 + ب س + ج = 0.

وقد قمنا بدراسة حل مثل هذه المعادلات في الفقرات السابقة (حل المعادلات التربيعية غير الكاملة). الخبرة المكتسبة بالفعل تجعل من الممكن استخلاص نتيجة فيما يتعلق بجذور المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2:

• مع ب 2 - 4 أ ج 4 أ 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• عندما ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 = 0 تكون المعادلة x + ب 2 · أ 2 = 0، ثم x + ب 2 · أ = 0.

من هنا الجذر الوحيد x = - b 2 · a واضح؛

• بالنسبة لـ b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 > 0، سيكون ما يلي صحيحًا: x + b 2 · a = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 أو x = b 2 · a - b 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 وهو نفس x + - ب 2 · أ = ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 أو x = - ب 2 · أ - ب 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 ، أي. المعادلة لها جذرين.

من الممكن أن نستنتج أن وجود أو عدم وجود جذور المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 (وبالتالي المعادلة الأصلية) يعتمد على إشارة التعبير b 2 - 4 · أ · ج 4 · أ 2 مكتوب على الجانب الأيمن. وعلامة هذا التعبير تكون بإشارة البسط (المقام). 4 أ 2ستكون دائما موجبة) أي علامة الإعراب ب 2 − 4 أ ج. هذا التعبير ب 2 − 4 أ جتم إعطاء الاسم - يتم تعريف تمييز المعادلة التربيعية والحرف D كتسمية لها. هنا يمكنك كتابة جوهر المميز - بناءً على قيمته وإشارته، يمكنهم استنتاج ما إذا كانت المعادلة التربيعية سيكون لها جذور حقيقية، وإذا كان الأمر كذلك، ما هو عدد الجذور - واحد أو اثنين.

لنعد إلى المعادلة x + b 2 · a 2 = b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 . دعونا نعيد كتابتها باستخدام التمييز: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

دعونا صياغة استنتاجاتنا مرة أخرى:

التعريف 9

• في د< 0 المعادلة ليس لها جذور حقيقية.
• في د = 0المعادلة لها جذر واحد x = - b 2 · a ;
• في د> 0للمعادلة جذرين: x = - b 2 · a + D 4 · a 2 أو x = - b 2 · a - D 4 · a 2. بناءً على خصائص الجذور، يمكن كتابة هذه الجذور بالشكل: x = - b 2 · a + D 2 · a أو - b 2 · a - D 2 · a. وعندما نفتح الوحدات ونصل الكسور إلى قاسم مشترك، نحصل على: x = - b + D 2 · a, x = - b - D 2 · a.

لذا، كانت نتيجة تفكيرنا هي اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية:

س = - ب + د 2 أ، س = - ب - د 2 أ، المميز دتحسب بواسطة الصيغة د = ب 2 − 4 أ ج.

تتيح هذه الصيغ تحديد الجذرين الحقيقيين عندما يكون المميز أكبر من الصفر. عندما يكون المميز صفرًا، فإن تطبيق كلتا الصيغتين سيعطي نفس الجذر كحل وحيد للمعادلة التربيعية. في الحالة التي يكون فيها المميز سالبًا، إذا حاولنا استخدام صيغة الجذر التربيعي، فسنواجه الحاجة إلى أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب، الأمر الذي سيأخذنا خارج نطاق الأعداد الحقيقية. في حالة التمييز السلبي، لن يكون للمعادلة التربيعية جذور حقيقية، ولكن من الممكن وجود زوج من الجذور المترافقة المعقدة، ويتم تحديدهما بنفس صيغ الجذر التي حصلنا عليها.

خوارزمية لحل المعادلات التربيعية باستخدام صيغ الجذر

من الممكن حل معادلة تربيعية باستخدام صيغة الجذر فورًا، لكن يتم ذلك عادةً عندما يكون من الضروري إيجاد جذور معقدة.

في معظم الحالات، لا يعني ذلك عادةً البحث عن الجذور المعقدة، بل عن الجذور الحقيقية للمعادلة التربيعية. فمن الأمثل، قبل استخدام الصيغ الخاصة بجذور المعادلة التربيعية، تحديد المميز أولاً والتأكد من أنه ليس سالبًا (وإلا فسنستنتج أن المعادلة ليس لها جذور حقيقية)، ثم نبدأ في حساب قيمة الجذور.

المنطق أعلاه يجعل من الممكن صياغة خوارزمية لحل المعادلة التربيعية.

التعريف 10

لحل معادلة تربيعية أ س 2 + ب س + ج = 0، ضروري:

• وفقا للصيغة د = ب 2 − 4 أ جأوجد القيمة المميزة؛
• في د< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• بالنسبة إلى D = 0، أوجد الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة x = - b 2 · a;
• بالنسبة لـ D > 0، حدد جذرين حقيقيين للمعادلة التربيعية باستخدام الصيغة x = - b ± D 2 · a.

لاحظ أنه عندما يكون المميز صفرًا، يمكنك استخدام الصيغة x = - b ± D 2 · a، فستعطي نفس نتيجة الصيغة x = - b 2 · a.

دعونا نلقي نظرة على الأمثلة.

أمثلة على حل المعادلات التربيعية

دعونا نعطي حلول لأمثلة لقيم مختلفة للمتميز.

مثال 6

علينا إيجاد جذور المعادلة س 2 + 2 س − 6 = 0.

حل

لنكتب المعاملات العددية للمعادلة التربيعية: أ = 1، ب = 2 و ج = − 6. بعد ذلك، نمضي قدمًا وفقًا للخوارزمية، أي. لنبدأ بحساب المميز، وسنستبدل به المعاملات a، b و جفي صيغة التمييز: د = ب 2 − 4 · أ · ج = 2 2 − 4 · 1 · (− 6) = 4 + 24 = 28 .

وبذلك نحصل على D > 0، مما يعني أن المعادلة الأصلية سيكون لها جذرين حقيقيين.
للعثور عليها، نستخدم صيغة الجذر x = - b ± D 2 · a، وبالتعويض عن القيم المقابلة، نحصل على: x = - 2 ± 28 2 · 1. دعونا نبسط التعبير الناتج عن طريق إخراج العامل من علامة الجذر ثم تقليل الكسر:

س = - 2 ± 2 7 2

س = - 2 + 2 7 2 أو س = - 2 - 2 7 2

س = - 1 + 7 أو س = - 1 - 7

إجابة:س = - 1 + 7 ​​​​​​، س = - 1 - 7 .

مثال 7

بحاجة إلى حل معادلة من الدرجة الثانية − 4 × 2 + 28 × − 49 = 0.

حل

دعونا نحدد التمييز: د = 28 2 − 4 · (− 4) · (− 49) = 784 − 784 = 0. مع قيمة المميز هذه، سيكون للمعادلة الأصلية جذر واحد فقط، يتم تحديده بواسطة الصيغة x = - b 2 · a.

س = - 28 2 (- 4) س = 3.5

إجابة: س = 3.5.

مثال 8

المعادلة تحتاج إلى حل 5 ص 2 + 6 ص + 2 = 0

حل

المعاملات العددية لهذه المعادلة ستكون: أ = 5، ب = 6، ج = 2. نستخدم هذه القيم لإيجاد المميز: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . المميز المحسوب سالب، لذا فإن المعادلة التربيعية الأصلية ليس لها جذور حقيقية.

في الحالة التي تكون فيها المهمة هي الإشارة إلى جذور معقدة، فإننا نطبق صيغة الجذر، ونقوم بإجراءات ذات أرقام مركبة:

س = - 6 ± - 4 2 5,

س = - 6 + 2 ط 10 أو س = - 6 - 2 ط 10،

x = - 3 5 + 1 5 · i أو x = - 3 5 - 1 5 · i.

إجابة:لا توجد جذور حقيقية. الجذور المركبة هي كما يلي: - 5 3 + 5 1 · i, - 5 3 - 5 1 · i.

في المناهج الدراسية، لا يوجد متطلب قياسي للبحث عن جذور معقدة، لذلك، إذا تم تحديد المميز أثناء الحل على أنه سلبي، فسيتم تدوين الإجابة على الفور بأنه لا توجد جذور حقيقية.

صيغة الجذر للمعاملات الثانية

الصيغة الجذرية x = - b ± D 2 · a (D = b 2 − 4 · a · c) تجعل من الممكن الحصول على صيغة أخرى، أكثر إحكاما، مما يسمح للمرء بإيجاد حلول للمعادلات التربيعية بمعامل زوجي لـ x ( أو بمعامل بالشكل 2 · n، على سبيل المثال، 2 3 أو 14 ln 5 = 2 7 ln 5). دعونا نبين كيف يتم اشتقاق هذه الصيغة.

دعونا نواجه مهمة إيجاد حل للمعادلة التربيعية a · x 2 + 2 · n · x + c = 0 . نمضي قدمًا وفقًا للخوارزمية: نحدد المميز D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c)، ثم نستخدم صيغة الجذر:

س = - 2 ن ± د 2 أ، س = - 2 ن ± 4 ن 2 - أ ج 2 أ، س = - 2 ن ± 2 ن 2 - أ ج 2 أ، س = - ن ± ن 2 - أ · ج أ .

دع التعبير n 2 − a · c يُشار إليه بالرمز D 1 (أحيانًا يُشار إليه بـ D "). ثم ستأخذ صيغة جذور المعادلة التربيعية قيد النظر مع المعامل الثاني 2 · n الشكل:

س = - ن ± د 1 أ، حيث د 1 = ن 2 − أ · ج.

من السهل أن نرى أن D = 4 · D 1، أو D 1 = D 4. بمعنى آخر، D 1 هو ربع المميز. من الواضح أن إشارة D 1 هي نفس إشارة D، مما يعني أن إشارة D 1 يمكن أن تكون أيضًا بمثابة مؤشر على وجود أو عدم وجود جذور المعادلة التربيعية.

التعريف 11

وبالتالي، لإيجاد حل لمعادلة من الدرجة الثانية بمعامل ثانٍ قدره 2 ن، من الضروري:

• أوجد د 1 = ن 2 − أ · ج ;
• عند د 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• عندما يكون D 1 = 0، حدد الجذر الوحيد للمعادلة باستخدام الصيغة x = - n a;
• بالنسبة لـ D 1 > 0، حدد جذرين حقيقيين باستخدام الصيغة x = - n ± D 1 a.

مثال 9

من الضروري حل المعادلة التربيعية 5 x 2 − 6 x − 32 = 0.

حل

يمكننا تمثيل المعامل الثاني للمعادلة المعطاة بـ 2 · (− 3) . ثم نعيد كتابة المعادلة التربيعية المعطاة على الصورة 5 x 2 + 2 (− 3) x − 32 = 0، حيث a = 5، n = − 3 و c = − 32.

لنحسب الجزء الرابع من المميز: D 1 = n 2 − a · c = (− 3) 2 − 5 · (− 32) = 9 + 160 = 169. القيمة الناتجة موجبة، مما يعني أن المعادلة لها جذرين حقيقيين. دعونا نحددها باستخدام صيغة الجذر المقابلة:

س = - ن ± د 1 أ، س = - - 3 ± 169 5، س = 3 ± 13 5،

س = 3 + 13 5 أو س = 3 - 13 5

س = 3 1 5 أو س = - 2

سيكون من الممكن إجراء العمليات الحسابية باستخدام الصيغة المعتادة لجذور المعادلة التربيعية، ولكن في هذه الحالة سيكون الحل أكثر تعقيدًا.

إجابة: x = 3 1 5 أو x = - 2 .

تبسيط شكل المعادلات التربيعية

في بعض الأحيان يكون من الممكن تحسين شكل المعادلة الأصلية، مما يبسط عملية حساب الجذور.

على سبيل المثال، من الواضح أن المعادلة التربيعية 12 x 2 − 4 x − 7 = 0 أكثر ملاءمة لحلها من 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0.

في كثير من الأحيان، يتم تبسيط شكل المعادلة التربيعية عن طريق ضرب أو قسمة طرفيها على عدد معين. على سبيل المثال، أظهرنا أعلاه تمثيلًا مبسطًا للمعادلة 1200 x 2 − 400 x − 700 = 0، والتي تم الحصول عليها عن طريق قسمة كلا الطرفين على 100.

مثل هذا التحويل ممكن عندما لا تكون معاملات المعادلة التربيعية أرقامًا أولية. ثم نقوم عادة بقسمة طرفي المعادلة على القاسم المشترك الأكبر للقيم المطلقة لمعاملاتها.

على سبيل المثال، نستخدم المعادلة التربيعية 12 × 2 − 42 × + 48 = 0. دعونا نحدد GCD للقيم المطلقة لمعاملاته: GCD (12، 42، 48) = GCD(GCD (12، 42)، 48) = GCD (6، 48) = 6. دعونا نقسم طرفي المعادلة التربيعية الأصلية على 6 ونحصل على المعادلة التربيعية المكافئة 2 x 2 − 7 x + 8 = 0.

من خلال ضرب طرفي المعادلة التربيعية، عادةً ما تتخلص من المعاملات الكسرية. في هذه الحالة، يتم ضربهم بالمضاعف المشترك الأصغر لمقامات معاملاته. على سبيل المثال، إذا كان كل جزء من المعادلة التربيعية 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 = 0 مضروبًا في المضاعف المشترك الأصغر (6، 3، 1) = 6، فسيتم كتابته بشكل أبسط x 2 + 4 x − 18 = 0 .

أخيرًا، نلاحظ أننا نتخلص دائمًا تقريبًا من الطرح عند المعامل الأول للمعادلة التربيعية عن طريق تغيير علامات كل حد من حدود المعادلة، وهو ما يتم تحقيقه عن طريق ضرب (أو قسمة) كلا الطرفين على − 1. على سبيل المثال، من المعادلة التربيعية − 2 x 2 − 3 x + 7 = 0، يمكنك الانتقال إلى نسختها المبسطة 2 x 2 + 3 x − 7 = 0.

العلاقة بين الجذور والمعاملات

صيغة جذور المعادلات التربيعية، المعروفة لنا بالفعل، x = - b ± D 2 · a، تعبر عن جذور المعادلة من خلال معاملاتها العددية. بناءً على هذه الصيغة، لدينا الفرصة لتحديد التبعيات الأخرى بين الجذور والمعاملات.

الأكثر شهرة وقابلة للتطبيق هي صيغ نظرية فييتا:

س 1 + س 2 = - ب أ و س 2 = ج أ.

على وجه الخصوص، بالنسبة للمعادلة التربيعية المعطاة، يكون مجموع الجذور هو المعامل الثاني ذو الإشارة المعاكسة، وحاصل ضرب الجذور يساوي الحد الحر. على سبيل المثال، بالنظر إلى شكل المعادلة التربيعية 3 x 2 − 7 x + 22 = 0، من الممكن أن نحدد على الفور أن مجموع جذورها هو 7 3 وحاصل ضرب الجذور هو 22 3.

يمكنك أيضًا العثور على عدد من الروابط الأخرى بين جذور ومعاملات المعادلة التربيعية. على سبيل المثال، يمكن التعبير عن مجموع مربعات جذور المعادلة التربيعية بدلالة المعاملات:

س 1 2 + س 2 2 = (س 1 + س 2) 2 - 2 س 1 × 2 = - ب أ 2 - 2 ج أ = ب 2 أ 2 - 2 ج أ = ب 2 - 2 أ ج أ 2.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

قد يبدو هذا الموضوع معقدًا في البداية نظرًا لكثرة الصيغ غير البسيطة. لا تحتوي المعادلات التربيعية نفسها على رموز طويلة فحسب، بل يمكن العثور على الجذور أيضًا من خلال المميز. في المجموع، تم الحصول على ثلاث صيغ جديدة. ليس من السهل أن نتذكر. وهذا ممكن فقط بعد حل مثل هذه المعادلات بشكل متكرر. ثم سيتم تذكر جميع الصيغ من تلقاء نفسها.

نظرة عامة على المعادلة التربيعية

وهنا نقترح تسجيلها الصريح، عندما يتم كتابة الدرجة الأكبر أولا، ثم بالترتيب التنازلي. غالبًا ما تكون هناك مواقف تكون فيها المصطلحات غير متناسقة. ومن الأفضل إعادة كتابة المعادلة بترتيب تنازلي لدرجة المتغير.

دعونا نقدم بعض الرموز. يتم عرضها في الجدول أدناه.

إذا قبلنا هذه الرموز، فسيتم تقليل جميع المعادلات التربيعية إلى الترميز التالي.

علاوة على ذلك، فإن المعامل أ ≠ 0. دع هذه الصيغة يتم تعيينها رقم واحد.

عند إعطاء معادلة، ليس من الواضح عدد الجذور الموجودة في الإجابة. لأن أحد الخيارات الثلاثة ممكن دائمًا:

• سيكون للحل جذرين؛
• الجواب سيكون رقم واحد؛
• المعادلة لن يكون لها جذور على الإطلاق.

وحتى يتم الانتهاء من القرار، من الصعب فهم الخيار الذي سيظهر في حالة معينة.

أنواع تسجيلات المعادلات التربيعية

قد تكون هناك إدخالات مختلفة في المهام. لن تبدو دائمًا مثل صيغة المعادلة التربيعية العامة. في بعض الأحيان سوف تفتقد بعض المصطلحات. ما كتب أعلاه هو المعادلة الكاملة. فإذا أزلت الحد الثاني أو الثالث فيه، تحصل على شيء آخر. وتسمى هذه السجلات أيضًا بالمعادلات التربيعية، ولكنها غير مكتملة.

علاوة على ذلك، فإن المصطلحات ذات المعاملين "b" و"c" فقط هي التي يمكن أن تختفي. الرقم "أ" لا يمكن أن يساوي الصفر تحت أي ظرف من الظروف. لأنه في هذه الحالة تتحول الصيغة إلى معادلة خطية. ستكون صيغ المعادلات غير الكاملة كما يلي:

لذلك، هناك نوعان فقط، بالإضافة إلى المعادلات الكاملة، هناك أيضًا معادلات تربيعية غير كاملة. دع الصيغة الأولى تكون رقم اثنين، والثانية - ثلاثة.

التمييز واعتماد عدد الجذور على قيمته

يجب أن تعرف هذا الرقم لتتمكن من حساب جذور المعادلة. ويمكن دائمًا حسابها، بغض النظر عن صيغة المعادلة التربيعية. لكي تتمكن من حساب المميز، عليك استخدام المساواة المكتوبة أدناه، والتي سيكون لها الرقم أربعة.

بعد استبدال قيم المعاملات في هذه الصيغة، يمكنك الحصول على أرقام بعلامات مختلفة. إذا كانت الإجابة بنعم، فإن إجابة المعادلة ستكون جذرين مختلفين. إذا كان الرقم سالبًا، فلن يكون هناك جذور للمعادلة التربيعية. وإذا كانت تساوي صفرًا، فسيكون هناك إجابة واحدة فقط.

كيفية حل معادلة تربيعية كاملة؟

في الواقع، لقد بدأ بالفعل النظر في هذه المسألة. لأنك تحتاج أولاً إلى العثور على المميز. بعد تحديد وجود جذور للمعادلة التربيعية ومعرفة عددها، عليك استخدام صيغ للمتغيرات. إذا كان هناك جذرين، فأنت بحاجة إلى تطبيق الصيغة التالية.

نظرًا لأنه يحتوي على علامة "±"، فسيكون هناك معنيان. التعبير الموجود تحت علامة الجذر التربيعي هو المميز. ولذلك، يمكن إعادة كتابة الصيغة بشكل مختلف.

الصيغة رقم خمسة. ومن نفس السجل يتضح أنه إذا كان المميز يساوي صفراً، فإن كلا الجذرين يأخذان نفس القيم.

إذا لم يتم حل المعادلات التربيعية بعد، فمن الأفضل تدوين قيم جميع المعاملات قبل تطبيق الصيغ التمييزية والمتغيرة. في وقت لاحق هذه اللحظة لن تسبب صعوبات. ولكن في البداية هناك ارتباك.

كيفية حل معادلة تربيعية غير مكتملة؟

كل شيء أبسط بكثير هنا. ليست هناك حاجة حتى لصيغ إضافية. ولن تكون هناك حاجة لتلك التي تم كتابتها بالفعل للمميز والمجهول.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على المعادلة غير المكتملة رقم اثنين. وفي هذه المساواة لا بد من إخراج الكمية المجهولة من الأقواس وحل المعادلة الخطية التي ستبقى بين قوسين. الجواب سيكون له جذرين. فالأول يساوي بالضرورة صفرًا، لأن هناك مضاعفًا يتكون من المتغير نفسه. وسيتم الحصول على الثانية عن طريق حل معادلة خطية.

يتم حل المعادلة غير الكاملة رقم ثلاثة عن طريق نقل الرقم من الجانب الأيسر للمساواة إلى اليمين. ثم عليك أن تقسم على المعامل الذي يواجه المجهول. كل ما تبقى هو استخراج الجذر التربيعي وتذكر كتابته مرتين بعلامات متضادة.

فيما يلي بعض الخطوات التي ستساعدك على تعلم كيفية حل جميع أنواع المعادلات التي تتحول إلى معادلات تربيعية. سوف يساعدون الطالب على تجنب الأخطاء بسبب عدم الانتباه. يمكن أن تتسبب أوجه القصور هذه في الحصول على درجات سيئة عند دراسة الموضوع الموسع "المعادلات التربيعية (الصف الثامن)". وبعد ذلك، لن يلزم تنفيذ هذه الإجراءات باستمرار. لأن مهارة مستقرة سوف تظهر.

• تحتاج أولاً إلى كتابة المعادلة في الصورة القياسية. وهذا يعني أولاً الحد ذو الدرجة الأكبر للمتغير، ثم - بدون درجة، وأخيرًا - مجرد رقم.

• إذا ظهر ناقص قبل المعامل "أ"، فإنه يمكن أن يعقد العمل للمبتدئين في دراسة المعادلات التربيعية. من الأفضل التخلص منه. ولهذا الغرض، يجب ضرب المساواة بأكملها بـ "-1". وهذا يعني أن جميع المصطلحات ستتغير الإشارة إلى العكس.

• يوصى بالتخلص من الكسور بنفس الطريقة. ما عليك سوى ضرب المعادلة في العامل المناسب حتى يتم إلغاء المقامات.

أمثلة

مطلوب حل المعادلات التربيعية التالية:

س 2 − 7س = 0;

15 − 2x − x 2 = 0;

س 2 + 8 + 3س = 0؛

12س + س 2 + 36 = 0;

(س+1) 2 + س + 1 = (س+1)(س+2).

المعادلة الأولى: x 2 − 7x = 0. وهي غير كاملة، لذلك تم حلها كما هو موضح في الصيغة الثانية.

وبعد إخراجها من الأقواس يتبين أن: x (x - 7) = 0.

يأخذ الجذر الأول القيمة: x 1 = 0. وسيتم إيجاد الجذر الثاني من المعادلة الخطية: x - 7 = 0. ومن السهل أن ترى أن x 2 = 7.

المعادلة الثانية: 5س2 + 30 = 0. مرة أخرى غير كاملة. فقط يتم حلها كما هو موضح للصيغة الثالثة.

بعد نقل 30 إلى الجانب الأيمن من المعادلة: 5x 2 = 30. الآن أنت بحاجة إلى القسمة على 5. اتضح: x 2 = 6. ستكون الإجابات هي الأرقام: x 1 = √6، x 2 = - √6.

المعادلة الثالثة: 15 − 2x − x 2 = 0. فيما يلي، سيبدأ حل المعادلات التربيعية بإعادة كتابتها في الصورة القياسية: − x 2 − 2x + 15 = 0. حان الوقت الآن لاستخدام الطرف الثاني المفيد وضرب كل شيء في ناقص واحد . اتضح أن x 2 + 2x - 15 = 0. باستخدام الصيغة الرابعة، عليك حساب المميز: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. إنه رقم موجب. مما سبق يتبين أن المعادلة لها جذرين. يجب حسابها باستخدام الصيغة الخامسة. اتضح أن x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. ثم x 1 = 3، x 2 = - 5.

المعادلة الرابعة x 2 + 8 + 3x = 0 يتم تحويلها إلى هذا: x 2 + 3x + 8 = 0. ومميزها يساوي هذه القيمة: -23. وبما أن هذا الرقم سلبي، فإن الإجابة على هذه المهمة ستكون الإدخال التالي: "لا توجد جذور".

يجب إعادة كتابة المعادلة الخامسة 12x + x 2 + 36 = 0 على النحو التالي: x 2 + 12x + 36 = 0. وبعد تطبيق صيغة المميز يتم الحصول على الرقم صفر. وهذا يعني أنه سيكون له جذر واحد، وهو: x = -12/ (2 * 1) = -6.

المعادلة السادسة (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) تتطلب تحويلات، وهي أنك تحتاج إلى إحضار مصطلحات متشابهة، وذلك بفتح الأقواس أولاً. بدل الأول يكون التعبير التالي: x 2 + 2x + 1. وبعد المساواة يظهر هذا المدخل: x 2 + 3x + 2. وبعد حساب الحدود المتشابهة تأخذ المعادلة الشكل: x 2 - س = 0. لقد أصبح غير مكتمل. لقد تمت بالفعل مناقشة شيء مشابه لهذا أعلى قليلاً. جذور هذا ستكون الأرقام 0 و 1.

صيغ لجذور المعادلة التربيعية. يتم النظر في حالات الجذور الحقيقية والمتعددة والمعقدة. تحليل ثلاثية الحدود من الدرجة الثانية. التفسير الهندسي. أمثلة على تحديد الجذور والتحليل.

أنظر أيضا: حل المعادلات التربيعية على الانترنت

الصيغ الأساسية

النظر في المعادلة التربيعية:
(1) .
جذور المعادلة التربيعية(1) يتم تحديدها بواسطة الصيغ:
; .
يمكن دمج هذه الصيغ على النحو التالي:
.
عندما تكون جذور المعادلة التربيعية معروفة، فيمكن تمثيل كثيرة الحدود من الدرجة الثانية كحاصل ضرب العوامل (العوامل):
.

بعد ذلك نفترض أن هذه أرقام حقيقية.
دعونا نفكر مميز المعادلة التربيعية:
.
إذا كان المميز موجبًا، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين حقيقيين مختلفين:
; .
ثم تحليل ثلاثية الحدود التربيعية له الشكل:
.
إذا كان المميز يساوي صفرًا، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين حقيقيين متعددين (متساويين):
.
التخصيم:
.
إذا كان المميز سالبًا، فإن المعادلة التربيعية (1) لها جذرين مترافقين معقدين:
;
.
هنا الوحدة التخيلية ;
وهي الأجزاء الحقيقية والخيالية من الجذور:
; .
ثم

.

التفسير الرسومي

إذا قمت برسم الوظيفة
,
وهو قطع مكافئ، فإن نقاط تقاطع الرسم البياني مع المحور ستكون جذور المعادلة
.
عندما يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني (المحور) عند نقطتين ().
عندما يلامس الرسم البياني المحور السيني عند نقطة واحدة ().
عندما لا يتقاطع الرسم البياني مع المحور السيني ().

الصيغ المفيدة المتعلقة بالمعادلة التربيعية

(ص.١) ;
(ص.٢) ;
(ص.٣) .

اشتقاق صيغة جذور المعادلة التربيعية

نقوم بإجراء التحويلات وتطبيق الصيغ (ص.١) و (ص.٣):




,
أين
; .

لذلك، حصلنا على صيغة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية في النموذج:
.
وهذا يدل على أن المعادلة

يؤدي في
و .
وهذا هو، وهي جذور المعادلة التربيعية
.

أمثلة على تحديد جذور المعادلة التربيعية

مثال 1

(1.1) .

.
وبالمقارنة مع معادلتنا (1.1) نجد قيم المعاملات:
.
نجد التمييز:
.
بما أن المميز موجب، فإن المعادلة لها جذرين حقيقيين:
;
;
.

من هنا نحصل على تحليل ثلاثية الحدود التربيعية:

.

رسم بياني للدالة y = 2 × 2 + 7 × + 3يتقاطع مع المحور x في نقطتين.

دعونا نرسم الوظيفة
.
الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع المكافئ. يعبر محور الإحداثي السيني (المحور) عند نقطتين:
و .
هذه النقاط هي جذور المعادلة الأصلية (1.1).

;
;
.

مثال 2

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(2.1) .

لنكتب المعادلة التربيعية بالصورة العامة:
.
وبالمقارنة مع المعادلة الأصلية (2.1) نجد قيم المعاملات:
.
نجد التمييز:
.
بما أن المميز هو صفر، فإن المعادلة لها جذرين متعددين (متساويين):
;
.

ثم تحليل ثلاثي الحدود له الشكل:
.

رسم بياني للدالة y = x 2 - 4 س + 4يمس المحور السيني عند نقطة واحدة.

دعونا نرسم الوظيفة
.
الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع المكافئ. يمس المحور السيني (المحور) عند نقطة واحدة:
.
هذه النقطة هي جذر المعادلة الأصلية (2.1). بما أن هذا الجذر يتم تحليله مرتين:
,
ثم يسمى هذا الجذر عادة مضاعفًا. أي أنهم يعتقدون أن هناك جذرين متساويين:
.

;
.

مثال 3

أوجد جذور المعادلة التربيعية:
(3.1) .

لنكتب المعادلة التربيعية بالصورة العامة:
(1) .
لنعيد كتابة المعادلة الأصلية (3.1):
.
وبالمقارنة مع (1) نجد قيم المعاملات:
.
نجد التمييز:
.
التمييز سلبي، . لذلك لا توجد جذور حقيقية.

يمكنك العثور على جذور معقدة:
;
;
.

ثم


.

الرسم البياني للدالة لا يعبر المحور السيني. لا توجد جذور حقيقية.

دعونا نرسم الوظيفة
.
الرسم البياني لهذه الوظيفة هو القطع المكافئ. لا يتقاطع مع المحور السيني (المحور). لذلك لا توجد جذور حقيقية.

لا توجد جذور حقيقية. الجذور المعقدة:
;
;
.

لقد توصلت إلى نظرية رائعة لهم،
ويقررون من خلال المميز:-(((
(ج) فرانسوا فيت ""تصريحات معدومة""

صيغة الجذر، أو الطريق الطويل

كل من حضر حتى ولو القليل من دروس الرياضيات في الصف الثامن يعرف صيغة جذور المعادلة التربيعية. غالبًا ما يُطلق على الحل الذي يستخدم صيغة الجذر في اللغة الشائعة "الحل من خلال المميز". دعونا نتذكر بإيجاز صيغة الجذور.

[يمكنك أيضًا الاطلاع على محتويات هذه المقالة على شكل الفيديو ]

المعادلة التربيعية لها الشكل فأس 2 +bx+ج= 0، حيث أ, ب, ج- بعض الأرقام. على سبيل المثال، في مكافئ. 2س 2 + 3س – 5 = 0 هذه الأرقام متساوية: أ = 2, ب = 3. ج= -5. قبل حل أي معادلة تربيعية، عليك "رؤية" هذه الأرقام وفهم ما تساويه.

بعد ذلك، يتم حساب ما يسمى بالمميز باستخدام الصيغة D=b^2-4ac. في حالتنا هذه د = 3^2 – 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49.ثم يتم استخراج الجذر من المميز: \sqrt(D) = \sqrt(49) = 7 .

بعد حساب المميز، يتم استخدام صيغة الجذر: x_1=\frac(-b-\sqrt(D))(2a); x_2=\frac(-b+\sqrt(D))(2a):

وبذلك تم حل المعادلة. له جذرين: 1 و -2.5.

لكن هذه المعادلة، مثل العديد من المعادلات الأخرى المقترحة في الكتب المدرسية/المسائل المدرسية، يمكن حلها بطريقة أسرع بكثير إذا كنت تعرف بعض الحيل الحياتية. ونحن لا نتحدث فقط عن نظرية فييتا، على الرغم من أنها أداة مفيدة.

اختراق الحياة أولا. لو أ + ب + ج= 0، ثم x_1=1، x_2=\frac(c)(a) .

ينطبق هذا فقط إذا كانت المعاملات الثلاثة في المعادلة التربيعية صحيحة أ, ب, جعند إضافتها تعطي 0. على سبيل المثال، كانت لدينا المعادلة 2س 2 + 3س – 5 = 0 . بجمع المعاملات الثلاثة، نحصل على 2 + 3 - 5، وهو ما يساوي 0. في هذه الحالة، لا يمكنك حساب المميز وعدم تطبيق صيغة الجذر. بدلا من ذلك، يمكنك كتابة ذلك على الفور

س_1=1,
x_2=\frac(c)(a)=\frac(-5)(2)=-2.5

(لاحظ أننا حصلنا على نفس النتيجة في صيغة الجذر).

كثيرًا ما يتساءل الناس، هل ستكون النتيجة دائمًا x_1=1؟ نعم كلما أ + ب + ج = 0.

اختراق الحياة ثانيا. لو أ + ج = ب، ثم x_1=-1، x_2=-\frac(c)(a) .

دع المعادلة تعطى 5س 2 + 6س + 1 = 0 . فيه أ = 5, ب = 6, ج= 1. إذا جمعنا المعاملات "المتطرفة". أو ج، نحصل على 5+1 = 6، وهو ما يساوي تمامًا المعامل "المتوسط". ب. هذا يعني أنه يمكننا الاستغناء عن التمييز! نكتب على الفور:

س_1=-1,
x_2=-\frac(c)(a)=\frac(-1)(5)=-0.2

اختراق الحياة الثالث(النظرية العكسية لنظرية فييتا). لو أ= 1 إذن

خذ بعين الاعتبار المعادلة س 2 – 12س+ 35 = 0. يحتوي على a = 1، b = -12، c = 35. لا يناسب اختراق الحياة الأول ولا الثاني - لم يتم استيفاء الشروط. إذا كانت تناسب الأول أو الثاني، فسنستغني عن نظرية فييتا.

إن استخدام نظرية فييتا في حد ذاته يعني فهمًا لبعض التقنيات المفيدة.

الموعد الأول. لا تخجل من تدوين نظام العرض نفسه \begin(cases) x_1+x_2 = -b \\ x_1 \cdot x_2 = c \end(cases)، والتي تم الحصول عليها باستخدام نظرية فييتا. ليست هناك حاجة لمحاولة حل المعادلة بأي ثمن شفهيًا تمامًا، دون ملاحظات مكتوبة، كما يفعل "المستخدمون المتقدمون".

لمعادلتنا س 2 – 12س+ 35 = 0 هذا النظام له الشكل

\begin(cases) x_1+x_2 = 12 \\ x_1 \cdot x_2 = 35 \end(cases)

نحتاج الآن إلى تحديد الرقمين x_1 وx_2 لفظيًا اللذين يرضيان نظامنا، أي. المجموع 12، وعند ضربه يكون 35.

لذا، الموعد الثانيهو أنك تحتاج إلى بدء التحديد ليس بالمجموع، بل بالمنتج. دعونا ننظر إلى المعادلة الثانية للنظام ونسأل أنفسنا: ما هي الأرقام التي عند ضربها تعطي 35؟ إذا كان كل شيء على ما يرام في جدول الضرب، فإن الإجابة تتبادر إلى الذهن على الفور: 7 و5. والآن فقط دعونا نعوض بهذه الأرقام في المعادلة الأولى: سيكون لدينا 7 + 5 = 12، وهي مساواة حقيقية. إذن فإن الرقمين 7 و 5 يحققان كلتا المعادلتين، لذلك نكتب على الفور:

x_1 = 7، x_2 = 5

الاستقبال الثالثهو أنه إذا لم يكن من الممكن العثور على الأرقام بسرعة (في غضون 15-20 ثانية)، فبغض النظر عن السبب، فأنت بحاجة إلى حساب المميز واستخدام صيغة الجذر. لماذا؟ لأنه قد لا يتم تحديد الجذور إذا كانت المعادلة لا تحتوي عليها على الإطلاق (المميز سالب)، أو كانت الجذور أرقامًا ليست أعدادًا صحيحة.

تمارين تدريبية لحل المعادلات التربيعية

يمارس! حاول حل المعادلات التالية. انظر إلى كل معادلة بالترتيب التالي:

• إذا كانت المعادلة تناسب الاختراق الحياتي الأول (عندما a + b + c = 0)، فإننا نحلها بمساعدتها؛
• إذا كانت المعادلة تناسب اختراق الحياة الثاني (متى a + c = b)، فإننا نحلها بمساعدتها؛
• إذا كانت المعادلة تناسب اختراق الحياة الثالث (نظرية فيتا) فإننا نحلها بمساعدتها؛
• وفقط في الحالة القصوى - إذا لم يكن هناك شيء مناسب و/أو لم يكن من الممكن الحل باستخدام نظرية فييتا - فإننا نحسب المميز. مرة أخرى: التمييز - أخيرًا وليس آخرًا!

1. حل المعادلة x 2 + 3x + 2 = 0
   شاهد الحل والإجابة

   شاهد الحيلة الثانية
   في هذه المعادلة، أ = 1، ب = 3، ج = 2. وبالتالي، أ + ج = ب، ومن هنا x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(2)(1)=-2.
   الجواب: -1، -2.

2. حل المعادلة × 2 + 8س – 9 = 0
   شاهد الحل والإجابة

   شاهد اختراق الحياة أولاً
   في هذه المعادلة أ = 1، ب = 8، ج = -9. وبالتالي، أ + ب + ج = 0، من أين x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(-9)(1)=-9.
   الجواب: 1، -9.

3. حل المعادلة 15س 2 – 11س + 2 = 0
   شاهد الحل والإجابة

   هذه المعادلة (الوحيدة من القائمة بأكملها) لا تندرج تحت أي من الحيل الحياتية، لذلك سنحلها باستخدام الصيغة الجذرية:
   D=b^2-4ac = (-11)^2 – 4 \cdot 15 \cdot 2 = 121 – 120 = 1.x_1=\frac(11-1)(2 \cdot 15)=\frac(10)(30)=\frac(1)(3)x_2= \frac(11+1)(2 \cdot 15)=\frac(12)(30)=\frac(2)(5)الإجابة: \frac(1)(3)، \frac(2)(5).
   

4. حل المعادلة x 2 + 9x + 20 = 0
   شاهد الحل والإجابة

   
   \begin(cases) x_1+x_2 = -9 \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \end(cases)
   بالاختيار نثبت أن x_1 = -4، x_2 = -5.
   الجواب: -4، -5.
   

5. حل المعادلة × 2 – 7س – 30 = 0
   شاهد الحل والإجابة

   شاهد اختراق الحياة ثلاثة (نظرية فييتا)
   في هذه المعادلة أ = 1، حتى نتمكن من كتابة ذلك \begin(cases) x_1+x_2 = 7 \\ x_1 \cdot x_2 = -30 \end(cases)
   بالاختيار نثبت أن x_1 = 10، x_2 = -3.
   الجواب: 10، -3.

6. حل المعادلة × 2 - 19س + 18 = 0
   شاهد الحل والإجابة

   شاهد اختراق الحياة أولاً
   في هذه المعادلة، أ = 1، ب = -19، ج = 18. وبالتالي، أ + ب + ج = 0، ومن هنا x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(18)(1)=18.
   الجواب: 1، 18.

7. حل المعادلة x 2 + 7x + 6 = 0
   شاهد الحل والإجابة

   شاهد الحيلة الثانية
   في هذه المعادلة، أ = 1، ب = 7، ج = 6. وبالتالي، أ + ج = ب، ومن هنا x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(6)(1)=-6.
   الجواب: -1، -6.

8. حل المعادلة × 2 - 8س + 12 = 0
   شاهد الحل والإجابة

   شاهد اختراق الحياة ثلاثة (نظرية فييتا)
   في هذه المعادلة أ = 1، حتى نتمكن من كتابة ذلك \begin(cases) x_1+x_2 = 8 \\ x_1 \cdot x_2 = 12 \end(cases)
   بالاختيار نثبت أن x_1 = 6، x_2 = 2.
   الجواب: 6، 2.

9. حل المعادلة × 2 – س – 6 = 0
   شاهد الحل والإجابة

   شاهد اختراق الحياة ثلاثة (نظرية فييتا)
   في هذه المعادلة أ = 1، حتى نتمكن من كتابة ذلك \begin(cases) x_1+x_2 = 1 \\ x_1 \cdot x_2 = -6 \end(cases)
   بالاختيار نثبت أن x_1 = 3، x_2 = -2.
   الجواب: 3، -2.

10. حل المعادلة × 2 – 15س – 16 = 0
    شاهد الحل والإجابة

    شاهد الحيلة الثانية
    في هذه المعادلة، أ = 1، ب = -15، ج = -16. وبالتالي، أ + ج = ب، من أين x_1=-1, x_2 = -\frac(c)(a) = -\frac(-16)(1)=16.
    الجواب: -1، 16.

11. حل المعادلة x 2 + 11x – 12 = 0
    شاهد الحل والإجابة

    شاهد اختراق الحياة أولاً
    في هذه المعادلة أ = 1، ب = 11، ج = -12. وبالتالي، أ + ب + ج = 0، من أين x_1=1, x_2 = \frac(c)(a) = \frac(-12)(1)=-12.
    الجواب: 1، -12.