محاضرة في الرياضيات حول موضوع "علامة عمودية طائرتين". القياس الفراغي أثبت أن المستويين متعامدان

عمودي الطائرات تعريف. تسمى طائرتان متعامدتان إذا كانت الزاوية الخطية عند حافة الزاوية ثنائية السطوح بين هذه الطائرات خطًا مستقيمًا.
لافتةعمودي الطائرات.إذا مر مستوى عبر خط عمودي على مستوى آخر، فإن هذه المستويات تكون متعامدة.
دليل. يترك أو ؟ - طائرتان متقاطعتان، مع- خط تقاطعهم و أ- مستقيم عمودي على الطائرة? والكذب في الطائرةأ. أ- نقطة تقاطع الخطوطأو مع.في طائرة؟ من النقطةوسوف نستعيد متعامداً، وليكن خطاً مستقيماً. ب أمستقيمعمودي متعامداً، وليكن خطاً مستقيماًطائرة؟ ، مما يعني أنه عمودي على أي خط مستقيم في هذا المستوى، أي الخطوط المستقيمة معو . عمودي أالزاوية بين الخطوط المستقيمة وب - أالطائرات الخطية و ؟وهي تساوي 90 درجة، إذن كيف أمستقيممتعامداً، وليكن خطاً مستقيماًعمودي على خط مستقيمأ(ثبت).بتعريف الطائرة و ؟

عمودي.. النظرية 1إذا قمنا برسم من نقطة تنتمي إلى أحد المستويين المتعامدين
عموديًا على مستوى آخر، فإن هذا العمود يقع بالكامل في المستوى الأول. أدليل. يترك و ؟ - الطائرات المتعامدة ومع -الخط المستقيم لتقاطعهما، النقطة أ أنائم على ظهرة، متسطح، متمدد مع.ولا تنتمي إليه بشكل مباشر أاسمحوا عمودي على الطائرة؟ المرسومة من النقطة A لا تقع في المستوى ، فالنقطة C هي القاعدةهذا العمودي يكمن في مع.طائرة؟ ولا ينتمي إلى الخط مع.من النقطة A نخفض العمود ABمباشرةالخط AB متعامدالطائرة (أستخدم النظرية 2).من خلال الخط المستقيم AB والنقطة C ? هل يجب أن نرسم طائرة؟ (خط مستقيم ونقطة يحددان المستوى، وواحد فقط). نرى ذلك فيطائرة أ.

من النقطة A إلى الخط BC يتم رسم خطين متعامدين، وهذا لا يمكن أن يحدث، وهو ما يعني الخط AC. يتزامن مع الخط المستقيم AB، والخط المستقيم AB بدوره يقع بالكامل في المستوىالنظرية 2
دليل. يترك أإذا رسمنا في إحدى المستويين المتعامدين عمودًا على خطهما و ؟ - الطائرات المتعامدة والتقاطع، فإن هذا العمودي سيكون عموديًا على المستوى الثاني. و ؟ - طائرتان متعامدتان،خط تقاطعهم و أ - معوالكذب في الطائرةأمستقيم أالزاوية بين الخطوط المستقيمة مع.عمودي على خط مستقيم. أ- نقطة تقاطع الخطوط في الطائرة؟ ومن النقطة A نعيد العمودي، ونجعله خطاً مستقيماً أطائرة؟ ، مما يعني أنه عمودي على أي خط مستقيم في هذا المستوى، أي الخطوط المستقيمةمتعامداً، وليكن خطاً مستقيماًب. الزاوية بين الخطوط المستقيمةطائرات أو ؟ وهي تساوي 90 درجة، منذ المستوىأو ؟ عمودي. مستقيم أعمودي على خط مستقيممتعامداً، وليكن خطاً مستقيماً(حسب ثبت) ومباشرة معحسب الشرط.لذلك فهو مستقيم أعمودي على الطائرة؟ (

هذه المقالة مخصصة للطائرات المتعامدة. سيتم إعطاء التعاريف والرموز مع الأمثلة. سيتم صياغة علامة تعامد المستويات والشرط الذي تتحقق فيه. سيتم مناقشة حلول المشاكل المماثلة باستخدام الأمثلة.

Yandex.RTB RA-A-339285-1

إذا كانت هناك زاوية بين الخطوط المتقاطعة، فيمكننا التحدث عن تعريف المستويات المتعامدة.

التعريف 1

بشرط أن تكون الزاوية بين الخطوط المتعامدة 90 درجة، تسمى عمودي.

عادةً ما تتم كتابة تعيين العمودي بالعلامة "⊥". إذا كان الشرط ينص على أن المستويين α و β متعامدان، فإن الإدخال يأخذ الشكل α ⊥ β. الصورة أدناه تظهر بالتفصيل.

عندما يُعطى في المصيد أن المستويين α و β متعامدان، فهذا يعني أن α متعامد مع β والعكس صحيح. وتسمى هذه الطائرات متعامدة بشكل متبادل. على سبيل المثال، الجدار والسقف في الغرفة متعامدان، لأنهما عندما يتقاطعان يشكلان زاوية قائمة.

عمودي الطائرات - علامة وحالة العمودية

في الممارسة العملية، يمكنك مواجهة المهام حيث يكون من الضروري تحديد عمودي طائرات معينة. تحتاج أولاً إلى تحديد الزاوية بينهما. وإذا كانت تساوي 90 درجة، فهي تعتبر متعامدة من التعريف.

لإثبات عمودي مستويين، يتم استخدام علامة عمودي مستويين. تحتوي الصيغة على مفاهيم الخط المتعامد والمستوى. دعونا نكتب التعريف الدقيق لمعيار التعامد في شكل نظرية.

النظرية 1

إذا قطعت إحدى المستويتين المعطاتين خطًا عموديًا على المستوى الآخر، فإن المستويين المعطاين يكونان متعامدين.

الدليل متاح في كتاب الهندسة المدرسي للصفوف 10-11، حيث يوجد وصف تفصيلي. ويستنتج من الإشارة أنه إذا كان المستوى عموديًا على خط تقاطع مستويين معينين، فإنه يكون عموديًا على كل من هذه المستويات.

هناك شرط ضروري وكاف للإثبات. لنأخذها في الاعتبار بالنسبة إلى عمودي طائرتين محددتين، والذي يستخدم للتحقق من عموديهما، الموجودين في نظام إحداثيات مستطيل لمساحة ثلاثية الأبعاد. ولكي يكون البرهان صحيحا، لا بد من تطبيق تعريف المتجه العمودي للمستوى، الذي يساعد على إثبات الشرط الضروري والكافي لتعامد المستويات.

النظرية 2

لكي يكون عمودي المستويات المتقاطعة واضحا، من الضروري والكافي أن تتقاطع المتجهات العادية للمستويات المعطاة بزوايا قائمة.

دليل

دع نظام الإحداثيات المستطيل يتم تحديده في مساحة ثلاثية الأبعاد. إذا كان لدينا n 1 → = (A 1، B 1، C 1) و n 2 → = (A 2، B 2، C 2)، وهي متجهات عادية للمستويات المعطاة α و β، إذن فهي ضرورية وكافية شرط عمودي المتجهين n 1 → و n 2 → سيأخذ الشكل

ن 1 → , ن 2 → = 0 ⇔ أ 1 · أ 2 + ب 1 · ب 2 + ج 1 · ج 2 = 0

من هنا نحصل على أن n 1 → = (A 1, B 1, C 1) و n 2 → = (A 2, B 2, C 2) هي متجهات عادية لمستويات معينة، وبالنسبة لواقع عمودي α و β ضروري وكافي، بحيث يكون المنتج القياسي للمتجهات n 1 → و n 2 → يساوي الصفر، وبالتالي يأخذ الشكل n 1 → , n 2 → = 0 ⇔ A 1 · A 2 + B 1 · ب 2 + ج 1 · ج 2 = 0 .

المساواة تتحقق.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على الأمثلة.

مثال 1

تحديد عمودي المستويات المحددة في نظام الإحداثيات المستطيل O x y z للمساحة ثلاثية الأبعاد المحددة بالمعادلات x - 3 y - 4 = 0 و x 2 3 + y - 2 + z 4 5 = 1؟

حل

للعثور على إجابة سؤال العمودية، عليك أولاً العثور على إحداثيات المتجهات العادية للمستويات المعطاة، وبعد ذلك يمكنك التحقق من العمودية.

x - 3 y - 4 = 0 هي معادلة عامة للمستوى، يمكنك من خلالها تحويل إحداثيات المتجه العادي على الفور، أي ما يعادل n 1 → = (1, - 3, 0).

لتحديد إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى x 2 3 + y - 2 + z 4 5 = 1، لننتقل من معادلة المستوى المقطعي إلى المعادلة العامة.

ثم نحصل على:

س 2 3 + ص - 2 + ض 4 5 ⇔ 3 2 س - 1 2 ص + 5 4 ض - 1 = 0

إذًا n 2 → = 3 2, - 1 2, 5 4 هي إحداثيات المتجه العمودي للمستوى x 2 3 + y - 2 + z 4 5 = 1.

دعنا ننتقل إلى حساب المنتج القياسي للمتجهات n 1 → = (1, - 3, 0) و n 2 → = 3 2, - 1 2, 5 4.

حصلنا على n 1 → , n 2 → = 1 · 3 2 + (- 3) · - 1 2 + 0 · 5 4 = 3 .

نلاحظ أنه لا يساوي صفرًا، وهو ما يعني أن المتجهات المعطاة ليست متعامدة. ويترتب على ذلك أن الطائرات ليست متعامدة أيضًا. لم يتم استيفاء الشرط.

إجابة:الطائرات ليست متعامدة.

مثال 2

يحتوي نظام الإحداثيات المستطيل O x y z على أربع نقاط بإحداثيات A - 15 4، - 7 8، 1، B 17 8، 5 16، 0، C 0، 0، 3 7، D - 1، 0، 0. تحقق مما إذا كان المستويان A B C و A B D متعامدين.

حل

أولاً، عليك حساب المنتج القياسي لمتجهات هذه المستويات. إذا كان يساوي صفرًا، ففي هذه الحالة فقط يمكننا اعتبارهما متعامدين. نجد إحداثيات المتجهات العادية n 1 → و n 2 → المستويين A B C و A B D.

من إحداثيات النقاط المعطاة، نحسب إحداثيات المتجهات A B → , A C → , A D → . لقد حصلنا على ذلك:

أ ب → = 47 8, 19 16, - 1, أ ج → = 4 15, 7 8, - 4 7, أ د → = 4 11, 7 8, - 1.

المتجه العادي للمستوى A B C هو حاصل ضرب المتجهين A B → و A C →، وبالنسبة لـ A B D هو حاصل ضرب المتجهين A B → و A D →. من هنا حصلنا على ذلك

n 1 → = A B → × A C → = i → j → k → 47 8 19 16 - 1 15 4 7 8 - 4 7 = 11 56 i → - 11 28 j → + 11 16 ك → ⇔ n 1 → = 11 56 , - 11 28 , 11 16 n 2 → = A B → × A D → = i → j → k → 47 8 19 16 - 1 11 4 7 8 - 1 = - 5 16 i → + 25 8 j → + 15 8 ك → ⇔ ن 2 → = - 5 16 , 25 8 , 15 8

لنبدأ في إيجاد المنتج العددي n 1 → = 11 56، - 11 28، 11 16 و n 2 → = - 5 16، 25 8، 15 8.

نحصل على: n 1 → , n 2 → = 11 56 · - 5 16 + - 11 28 · 25 8 + 11 16 · 15 8 = 0 .

إذا كانت تساوي صفرًا، فإن متجهات المستويين A B C و A B D متعامدان، وتكون المستويات نفسها متعامدة.

إجابة:الطائرات متعامدة.

كان من الممكن التعامل مع الحل بشكل مختلف واستخدام معادلات المستويين A B C و A B D. بعد العثور على إحداثيات المتجهات العادية لهذه المستويات، سيكون من الممكن التحقق من استيفاء شرط التعامد للمتجهات العادية لهذه المستويات.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

سيساعد هذا الدرس أولئك الذين يرغبون في فهم موضوع "علامة تعامد المستويين". في البداية، سنكرر تعريف الزوايا ثنائية السطوح والزوايا الخطية. ثم سنفكر في أي المستويات تسمى متعامدة، ونثبت إشارة عمودية طائرتين.

الموضوع: عمودي الخطوط والمستويات

درس: إشارة عمودية مستويين

تعريف. الزاوية ثنائية السطوح هي شكل يتكون من نصفي مستويين لا ينتميان إلى نفس المستوى وخطهما المستقيم المشترك أ (أ هي الحافة).

أرز. 1

لنفكر في طائرتين نصفيتين α و β (الشكل 1). حدودهم المشتركة هي l. ويسمى هذا الشكل زاوية ثنائي السطوح. تشكل طائرتان متقاطعتان أربع زوايا ثنائية السطوح ذات حافة مشتركة.

يتم قياس الزاوية ثنائية السطوح بزاويتها الخطية. نختار نقطة تعسفية على الحافة المشتركة l لزاوية ثنائي السطوح. في نصفي المستويين α و β، من هذه النقطة نرسم عموديين a و b على الخط المستقيم l ونحصل على الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

الخطوط المستقيمة أ و ب تشكل أربع زوايا تساوي φ، 180° - φ، φ، 180° - φ. تذكر أن الزاوية المحصورة بين الخطوط المستقيمة هي الأصغر بين هذه الزوايا.

تعريف. الزاوية بين المستويات هي أصغر الزوايا ثنائية السطوح التي تشكلها هذه المستويات. φ هي الزاوية بين المستويين α و β، إذا

تعريف. يُطلق على المستويين المتقاطعين اسم عمودي (متعامد متبادل) إذا كانت الزاوية بينهما 90 درجة.

أرز. 2

يتم تحديد نقطة تعسفية M على الحافة l (الشكل 2). دعونا نرسم خطين مستقيمين متعامدين MA = a و MB = b على الحافة l في المستوى α وفي المستوى β على التوالي. لقد حصلنا على الزاوية AMB. الزاوية AMB هي الزاوية الخطية لزاوية ثنائية السطوح. إذا كانت الزاوية AMB تساوي 90 درجة، فإن المستويين α و β يسمىان متعامدين.

الخط b عمودي على الخط l بالبناء. الخط b عمودي على الخط a، لأن الزاوية بين المستويين α و β هي 90 درجة. نجد أن الخط b عمودي على خطين متقاطعين a و l من المستوى α. وهذا يعني أن الخط المستقيم b عمودي على المستوى α.

وبالمثل، يمكننا إثبات أن الخط المستقيم a عمودي على المستوى β. الخط a عمودي على الخط l بالبناء. الخط أ عمودي على الخط ب، لأن الزاوية بين المستويين α و β هي 90 درجة. نجد أن الخط a عمودي على خطين متقاطعين b و l من المستوى β. وهذا يعني أن الخط المستقيم a عمودي على المستوى β.

إذا مر أحد المستويين بخط عمودي على المستوى الآخر، فإن هذين المستويين يكونان متعامدين.

يثبت:

أرز. 3

دليل:

دع المستويين α و β يتقاطعان على طول الخط المستقيم AC (الشكل 3). لإثبات أن المستويين متعامدان بشكل متبادل، عليك إنشاء زاوية خطية بينهما وإظهار أن هذه الزاوية تساوي 90 درجة.

الخط المستقيم AB عمودي على المستوى β، وبالتالي على الخط المستقيم AC الواقع في المستوى β.

دعونا نرسم خطًا مستقيمًا AD عموديًا على الخط المستقيم AC في المستوى β. ثم BAD هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح.

الخط المستقيم AB عمودي على المستوى β، وبالتالي على الخط المستقيم AD الواقع في المستوى β. وهذا يعني أن الزاوية الخطية BAD هي 90 درجة. هذا يعني أن المستويين α و β متعامدان، وهو ما يجب إثباته.

المستوى المتعامد مع الخط الذي تتقاطع فيه طائرتان معينتان يكون عموديًا على كل من هذه المستويات (الشكل 4).

يثبت:

أرز. 4

دليل:

الخط المستقيم l عمودي على المستوى γ، ويمر المستوى α عبر الخط المستقيم l. وهذا يعني أنه بناءً على عمودي المستويات، فإن المستويين α وγ متعامدان.

الخط المستقيم l عمودي على المستوى γ، ويمر المستوى β عبر الخط المستقيم l. هذا يعني أنه وفقًا لعمود المستويين، يكون المستويان β وγ متعامدين.

تعتبر العلاقة العمودية للمستويات من أهم العلاقات وأكثرها استخداما في هندسة الفضاء وتطبيقاتها.

من كل مجموعة متنوعة من الترتيب المتبادل

طائرتان، الطائرة التي تكون فيها الطائرات متعامدة مع بعضها البعض تستحق اهتمامًا خاصًا ودراسة (على سبيل المثال، مستويات الجدران المجاورة للغرفة،

سياج وقطعة أرض وباب وأرضية وما إلى ذلك (الشكل 417، أ-ج).

تتيح لنا الأمثلة المذكورة أعلاه رؤية إحدى الخصائص الرئيسية للعلاقة التي سندرسها - وهي تماثل موقع كل مستوى بالنسبة إلى الآخر. يتم ضمان التماثل من خلال حقيقة أن المستويات تبدو "منسوجة" من الخطوط المتعامدة. دعونا نحاول توضيح هذه الملاحظات.

دعونا نحصل على مستوى α وخط مستقيم c عليه (الشكل 418، أ). دعونا نرسم عبر كل نقطة من الخط c خطوطًا مستقيمة متعامدة مع المستوى α. كل هذه الخطوط متوازية مع بعضها البعض (لماذا؟) وبناءً على المشكلة 1 § 8، تشكل مستوى معينًا β (الشكل 418، ب). ومن الطبيعي أن نسمي الطائرة β عموديالطائرة α.

بدورها، جميع الخطوط الموجودة في المستوى α والمتعامدة مع الخطوط تشكل المستوى α وتكون متعامدة مع المستوى β (الشكل 418، ج). في الواقع، إذا كان a خطًا عشوائيًا، فإنه يتقاطع مع الخط c في نقطة ما M. يمر الخط المستقيم b المتعامد مع α عبر النقطة M في المستوى β، وبالتالي b a . لذلك، أ ج، أ ب، وبالتالي β. وبالتالي، فإن المستوى α عمودي على المستوى β، والخط المستقيم هو خط تقاطعهما.

يسمى المستويان متعامدين إذا كان كل منهما يتكون من خطوط مستقيمة متعامدة مع المستوى الثاني وتمر بنقاط تقاطع هذه المستويات.

تتم الإشارة إلى عمودي المستويين α و β بالعلامة المألوفة: α β.

يمكن تخيل أحد الرسوم التوضيحية لهذا التعريف إذا نظرنا إلى جزء من غرفة في منزل ريفي (الشكل 419). فيه الأرضية والجدار مصنوعان من ألواح متعامدة مع الجدار والأرضية على التوالي. ولذلك فهي متعامدة. في الممارسة

وهذا يعني أن الأرضية أفقية والجدار عمودي.

من الصعب استخدام التعريف أعلاه عند التحقق فعليًا من عمودي المستويات. ولكن إذا قمنا بتحليل المنطق الذي أدى إلى هذا التعريف بعناية، فإننا نرى أن عمودي المستويين α و β تم ضمانه من خلال وجود خط مستقيم b عمودي على المستوى α (الشكل 418، ج) في المستوى β. . لقد وصلنا إلى معيار عمودي طائرتين، والذي غالبا ما يستخدم في الممارسة العملية.

406 عمودي الخطوط والطائرات

النظرية 1 (اختبار عمودي الطائرات).

إذا مر أحد المستويين بخط عمودي على المستوى الثاني، فإن هذين المستويين يكونان متعامدين.

 دع المستوى β يمر عبر الخط b المتعامد مع المستوى α وهو خط تقاطع المستويين α و β (الشكل 420، أ). جميع الخطوط المستقيمة للمستوى β، الموازية للخط b والمتقاطعة مع الخط c، مع الخط المستقيم b تشكل المستوى β. من خلال نظرية الخطين المتوازيين، أحدهما عمودي على المستوى (النظرية 1 § 19)، جميعهم، مع الخط b، متعامدون على المستوى α. أي أن المستوى β يتكون من خطوط مستقيمة تمر عبر خط تقاطع المستويين α و β ومتعامد على المستوى α (الشكل 420، ب).

الآن في المستوى α عبر النقطة A من تقاطع الخطوط b ونرسم خطًا عموديًا على الخط c (الشكل 420، ج). الخط المستقيم عمودي على المستوى β، بناءً على عمودي الخط المستقيم والمستوى (أ ج، بالبناء، و ب، منذ ب α). وبتكرار الحجج السابقة نجد أن المستوى α يتكون من خطوط متعامدة مع المستوى β، وتمر عبر خط تقاطع المستويات. ووفقا للتعريف، فإن المستويين α و β متعامدان

تتيح هذه الميزة إمكانية تحديد عمودي الطائرات أو التأكد من ذلك.

مثال 1. قم بتوصيل الدرع بالعمود بحيث يتم وضعه عموديًا.

 إذا كان العمود يقف عموديًا، فيكفي أن نعلق درعًا بشكل عشوائي على العمود ونثبته (الشكل 421، أ). وفقا للميزة التي تمت مناقشتها أعلاه، فإن مستوى الدرع سيكون عموديا على سطح الأرض. في هذه الحالة، المشكلة لديها عدد لا حصر له من الحلول.

إذا كان العمود يقف بشكل غير مباشر على الأرض، فيكفي إرفاق السكك الحديدية العمودية بالعمود (الشكل 421، ب)، ثم إرفاق الدرع بكل من السكة والعمود. في هذه الحالة، سيكون موضع الدرع محددًا تمامًا، نظرًا لأن العمود والسكك الحديدية يحددان مستوى واحدًا

في المثال السابق، تم اختصار المهمة "الفنية" إلى مسألة رياضية تتعلق برسم مستوى متعامد مع مستوى آخر عبر خط مستقيم معين.

مثال 2. من الرأس A للمربع ABCD، يتم رسم القطعة AK بشكل عمودي على مستواها، AB = AK = a.

1) تحديد الموقع النسبي للطائرات AKC وABD،

AKD و البنك الأهلي الكويتي.

2) أنشئ مستوى يمر عبر الخط BD المتعامد مع المستوى ABC.

3) ارسم مستوى عموديًا على المستوى KAC عبر المنتصف F للقطعة KC.

4) أوجد مساحة المثلث BDF.

 لنقم بإنشاء رسم يتوافق مع شروط المثال (الشكل 422).

1) المستويان AKC و ABD متعامدان حسب خاصية تعامد المستويين (النظرية 1): AK ABD حسب الشرط. المستويان AKD و ABK متعامدان أيضًا

قطبية، بناءً على عمودي المستويات (النظرية 1). في الواقع، الخط AB الذي يمر عبره المستوى ABK متعامد مع المستوى AKD، حسب إشارة عمودي الخط والمستوى (النظرية 1 § 18): AB AD كأضلاع متجاورة للمربع؛

ايه كيه عبد.

2) بناءً على عمودي المستويات، يكفي رسم خط مستقيم BD من خلال بعض النقاط للبناء المطلوب

408 عمودي الخطوط والطائرات

خط عمودي على المستوى ABC. وللقيام بذلك، يكفي رسم خط عبر هذه النقطة موازيًا للخط AK.

في الواقع، وفقًا للشرط، يكون الخط المستقيم AK متعامدًا مع المستوى ABC وبالتالي، وفقًا لنظرية الخطين المستقيمين المتوازيين،

النظرية 2 (حول العمودي على خط تقاطع المستويات المتعامدة).

إذا كان مستويان متعامدان، فإن الخط المستقيم الذي ينتمي إلى مستوى واحد وعمودي على تقاطع هذين المستويين يكون عموديًا على المستوى الثاني.

 دع الطائرات المتعامدة

يتقاطع α و β على طول الخط المستقيم c، والخط المستقيم b في المستوى β متعامد مع الخط المستقيم c ويتقاطع معه عند النقطة B (الشكل 425). حسب التعريف

بتقسيم عمودي المستويات، في المستوى β، يمر خط مستقيم عبر النقطة B

ب 1، عمودي على المستوى α. ومن الواضح أنه عمودي على الخط المستقيم. ولكن ماذا-

إذا قمت بقطع نقطة على خط مستقيم في مستوى، فيمكنك رسم خط مستقيم واحد فقط عموديًا على الخط المستقيم المعطى. لهذا

الخطان ب و ب 1 متطابقان. وهذا يعني أن الخط المستقيم لمستوى واحد، عمودي على خط تقاطع مستويين متعامدين، يكون عموديًا على المستوى الثاني. ■

دعونا نطبق النظرية المدروسة لإثبات علامة أخرى على عمودي الطائرات، وهو أمر مهم من وجهة نظر الدراسة اللاحقة للموضع النسبي لطائرتين.

دع المستويين α و β متعامدين، والخط المستقيم c هو خط تقاطعهما. من خلال نقطة تعسفية أ نرسم خطًا مستقيمًا ج

في المستويين α و β، الخطوط المستقيمة a و b، متعامدة مع الخطوط المستقيمة c (الشكل 426). وفقا للنظرية

أنا 2، الخطان المستقيمان a و b متعامدان على المستويين β و α، على التوالي، لذا فهما متعامدان مع بعضهما البعض: a b . مستقيم

يحدد a وb مستوى معينًا γ. خط التقاطع مع المستويين α و β

عمودي على المستوى γ، بناءً على عمودي الخط والمستوى (نظرية 1 § 18): c a، c b، a γ، b γ. إذا أخذنا في الاعتبار التعسف في اختيار النقطة أ على الخط المستقيم ج وحقيقة أن المستوى الوحيد المتعامد معها يمر عبر النقطة أ على الخط المستقيم، فيمكننا استخلاص الاستنتاج التالي.

النظرية 3 (حول المستوى المتعامد مع خط تقاطع المستويات المتعامدة).

المستوى المتعامد على خط تقاطع مستويين متعامدين يتقاطع مع هذه المستويات على طول خطوط مستقيمة متعامدة.

وهكذا تم إثبات خاصية أخرى للمستويات المتعامدة. هذه الخاصية مميزة، أي أنه إذا كانت صحيحة بالنسبة لبعض المستويين، فإن المستويين يكونان متعامدين مع بعضهما البعض. لدينا علامة أخرى تشير إلى تعامد المستويات.

النظرية 4 (المعيار الثاني لتعامد المستويات).

إذا كانت التقاطعات المباشرة لمستويين بمستوى ثالث عمودي على خط تقاطعهما متعامدة، فإن هذه المستويات تكون متعامدة أيضًا.

 دع المستويين α و β يتقاطعان على طول الخط المستقيم с، والمستوى γ المتعامد مع الخط المستقيم с يتقاطع مع المستويين α و β على التوالي

على التوالي على طول الخطوط المستقيمة أ و ب (الشكل 427). بالشرط أ ب . منذ γc، ثم c. وبالتالي فإن الخط عمودي على المستوى β، حسب إشارة تعامد الخط والمستوى (النظرية 1 § 18). هذا كل شيء-

نعم يترتب على ذلك أن المستويين α و β متعامدان حسب إشارة تعامد المستويين (النظرية 1).

ومن الجدير بالاهتمام أيضًا النظريات المتعلقة بالصلات بين عمودي طائرتين من المستوى الثالث وموقعهما المتبادل.

النظرية 5 (حول خط تقاطع طائرتين متعامدتين مع المستوى الثالث).

إذا تقاطع مستويان متعامدان مع مستوى ثالث، فإن خط تقاطعهما يكون عموديًا على هذا المستوى.

 دع المستويين α و β المتعامدين على المستوى γ يتقاطعان على طول خط مستقيم (a || γ)، و A هي نقطة تقاطع الخط المستقيم مع

دعونا نفكر في نظرية تصف العلاقة بين التوازي والعمودية للمستويات. لقد حصلنا بالفعل على النتيجة المقابلة للخطوط المستقيمة والمستويات.

النظرية 6 (حول المستويات المتوازية المتعامدة مع المستوى الثالث).

إذا كان أحد المستويين المتوازيين عمودياً على المستوى الثالث، فإن المستوى الثاني عمودي عليه.

 اجعل المستويين α و β متوازيين، والمستوى γ متعامدين مع المستوى α. منذ الطائرة γ

يتقاطع مع المستوى α، فيجب أيضًا أن يتقاطع مع المستوى β الموازي له. دعونا نأخذ الموالية

خط مستقيم تعسفي م عمودي على المستوى γ وارسم من خلاله، وكذلك من خلال نقطة تعسفية من المستوى β، المستوى δ (الشكل 429).

تتقاطع المستويتان δ و β على طول خط مستقيم n، ومنذ α║ β، ثم ║ n (النظرية 2 §18). ويترتب على النظرية 1 أن n γ، وبالتالي فإن المستوى β الذي يمر عبر الخط n سيكون أيضًا متعامدًا مع المستوى γ. ■

تعطي النظرية المثبتة علامة أخرى على تعامد المستويات.

يمكنك رسم مستوى عمودي على النقطة المعطاة من خلال نقطة معينة باستخدام إشارة عمودي المستويات (النظرية 1). يكفي رسم خط مستقيم عبر هذه النقطة عموديًا على المستوى المحدد (انظر المشكلة 1 § 19). ثم ارسم مستوى عبر الخط المستقيم المبني، وسيكون عموديًا على المستوى المعطى وفقًا للمعيار المحدد. ومن الواضح أنه يمكن رسم عدد لا نهائي من هذه المستويات.

والأكثر أهمية هي مسألة إنشاء مستوى متعامد مع مستوى معين، بشرط أن يمر عبر خط معين. من الواضح أنه إذا كان خط معين عموديًا على مستوى معين، فيمكن بناء عدد لا نهائي من هذه المستويات. يبقى النظر في الحالة التي يكون فيها الخط المحدد غير متعامد مع المستوى المحدد. إن إمكانية مثل هذا البناء لها ما يبررها على مستوى النماذج الفيزيائية للخطوط المستقيمة والمستويات في المثال 1.

مهمة 1. أثبت أنه من خلال خط عشوائي غير عمودي على مستوى، يمكن رسم مستوى عمودي على مستوى معين.

 دع المستوى α والخط l، l B\ a معطى. لنأخذ نقطة عشوائية M على خط مستقيم ونرسم خطًا مستقيمًا من خلالها، عموديًا على المستوى α (الشكل 430، أ). بما أن l ليس متعامدًا على α، فإن الخطوط l تتقاطع. من خلال هذه الخطوط المستقيمة من الممكن رسم مستوى β (الشكل 430، ب)، والذي، وفقًا لاختبار عمودي المستويات (النظرية 1)، سيكون عموديًا على المستوى α. ■

مثال 3. من خلال الرأس A لهرم منتظم SABC مع قاعدته ABC، ارسم خطًا مستقيمًا عموديًا على مستوى الوجه الجانبي SBC.

 لحل هذه المسألة نستخدم نظرية العمودي على خط تقاطع المستويات المتعامدة

(النظرية 2). دع K تكون نقطة منتصف الحافة BC (الشكل 431). المستويان AKS وBCS متعامدان، حسب إشارة تعامد المستويين (النظرية 1). في الواقع، BC SK و BC AK يشبهان المتوسطات المرسومة إلى القواعد في مثلثات متساوية الساقين. لذلك، وفقًا لمعيار التعامد بين الخط والمستوى (النظرية 1 §18)، يكون الخط BC متعامدًا مع المستوى AKS. يمر المستوى BCS عبر خط عمودي على المستوى AKS.

بناء. لنرسم خط AL في المستوى AKS من النقطة A، عموديًا على الخط KS - خط تقاطع المستويين AKS وBCS (الشكل 432). وفقًا لنظرية العمودي على خط تقاطع المستويات المتعامدة (النظرية 2)، يكون الخط AL عموديًا على المستوى BCS. ■

2. في التين. يظهر 434 بشكل صحيح- هرم رباعي جديد

SABCD، النقاط P، M، N - الأوسط -

لدينا حواف AB، BC، BS، O - مركز القاعدة ABCD. أي من الأزواج مسطحة- العظام متعامدة:

1) ACS وBDS 2) MOS وPOS؛

3) COS وMNP؛ 4) حركة الأشخاص الطبيعيين وSOB؛

5) CND وABS؟

3) لجنة العمل السياسي ولجنة البرنامج والميزانية؛ 4) PAC وPAB؟

4. الطائرتان متعامدتان. هل من الممكن من خلال نقطة تعسفية واحدة منهل ينبغي عليهم رسم خط مستقيم في هذا المستوى، المستوى الثاني؟

5. من المستحيل رسم خط مستقيم في المستوى α، ولكن في المستوى β. هل يمكن أن تكون هذه الطائرات مي؟

6. من خلال نقطة معينة على المستوى α هل يمر خط في هذا المستوى ويكون عموديًا على المستوى، بحيث يكون المستويان α و β متعامدين؟

جزء من السياج متصل بعمود رأسي، فهل يمكن الادعاء بأن مستوى السياج عمودي؟

كيفية ربط الدرع عموديًا بسكة موازية لسطح الأرض؟

لماذا يكون سطح الأبواب، بغض النظر عما إذا كانت مغلقة أو مفتوحة، عموديًا على الأرض؟

لماذا يتناسب الخط الراسيا بإحكام مع الجدار العمودي، ولكن ليس بالضرورة مع الجدار المائل؟

هل يمكن تثبيت درع على عمود مائل بحيث يكون عموديا على سطح الأرض؟

كيفية تحديد عمليًا ما إذا كان المستوى متعامدًا أم لا

جدران أرضية الطائرة؟ عمودي عمودي عمودي- مستقيمًا مستلقيًا - β. صحيح 7. . ممكن 8.9.10.11.12.

تمارين الرسم

1. في التين. 436 يظهر مكعب ABCDA 1 ب 1 ج 1 د 1 .

1) تحديد الطائرات المتعامدة مع المستوىفي دي 1.

2) كيف حال الطائرات و

A1 B1 الكابينة 1 ج 1

421. يتم رسم الجزء OS من المركز O للمربع ABCD المتعامد مع مستواه.

1°) تحديد الموقع النسبي لطائرات ACS

و ABC.

2°) تحديد الموقع النسبي لطائرات ACS

ومقاطعة المقاطعة.

3) إنشاء مستوى يمر عبر خط OS المتعامد مع المستوى ABS.

4) إنشاء مستوى متعامد مع المستوى ABC ويمر بمنتصف الجانبين AD وCD.

422. من نقطة التقاطع O لأقطار المعين ABCD، يتم رسم قطعة OS عموديًا على مستوى المعين؛ AB = DB =

1°) تحديد الموقع النسبي لـ SDB و

ABC، SDB وACS.

2°) أنشئ مستوى يمر عبر الخط BC المتعامد مع المستوى ABD.

3) ارسم مستوى عموديًا على المستوى ABC عبر المنتصف F للقطعة CS.

4) أوجد مساحة المثلث BDF.

423. نظرا لمكعب ABCDA1 B1 C1 D1.

1°) تحديد الموقع النسبي للمستويات AB 1 C 1

و CDD1.

2°) تحديد الموقع النسبي للمستويات AB 1 C 1

وCD1 A1.

3°) أنشئ مستوى يمر عبر النقطة A عموديًا على المستوى BB 1 D 1.

4) أنشئ مقطعًا من المكعب بمستوى يمر بمنتصف الحواف A 1 D 1 و B 1 C 1 عموديًا على المستوى ABC. 5) تحديد الموقع النسبي للمستوى AA 1 B والمستوى الذي يمر بمنتصف الأضلاع A 1 B 1, C 1 D 1, CD.

6) أوجد مساحة مقطع المكعب بواسطة مستوى يمر عبر الحافة BB 1 ومنتصف الحافة A 1 D 1 (BB ​​1 = a).

7) أنشئ نقطة متناظرة مع النقطة A بالنسبة للمستوى A 1 B 1 C.

424. في رباعي السطوح ABCD منتظم بحافة 2 سم، النقطة M هي منتصف DB، والنقطة N هي منتصف AC.

1°) أثبت أن الخط المستقيم DB عمودي على المستوى

2°) أثبت أن المستوى BDM متعامد مع المستوى AMC.

3) من خلال النقطة O من تقاطع متوسطات المثلث ADC، ارسم خطًا مستقيمًا عموديًا على المستوى AMC.

4) أوجد طول هذه القطعة المستقيمة داخل الشكل الرباعي. 5) ما هي النسبة التي يقسم بها المستوى AMC هذا الجزء؟

425. مثلثان متساويان الأضلاع ABC و ADC يقعان في مستويات متعامدة.

1°) أوجد طول القطعة BD إذا كان AC = 1 سم.

2) أثبت أن المستوى BKD (K الذي يقع على الخط AC) يكون عموديًا على مستوى كل مثلث من المثلثات إذا وفقط إذا كانت K هي نقطة منتصف الضلع AC.

426. المستطيل ABCD، الذي يبلغ طول ضلعيه 3 سم و 4 سم، تم ثنيه على طول القطر AC بحيث يقع المثلثان ABC و ADC في مستويات متعامدة. حدد المسافة بين النقطتين B وD بعد ثني المستطيل ABCD.

427. من خلال هذه النقطة ارسم مستوى عموديًا على كل من المستويين المعينين.

428 درجة. أثبت أن مستويات الوجوه المتجاورة للمكعب متعامدة.

429. المستويان α و β متعامدان مع بعضهما البعض. من النقطة A في المستوى α، يتم رسم خط مستقيم AB عموديًا على المستوى β. أثبت أن الخط AB يقع في المستوى α.

430. أثبت أنه إذا كان المستوى والخط الذي لا يقع في هذا المستوى متعامدين على نفس المستوى، فإنهما متوازيان لبعضهما البعض.

431. من خلال النقطتين A و B الواقعتين على خط تقاطع المستويين α و β المتعامدين مع بعضهما البعض، يتم رسم خطوط مستقيمة متعامدة: AA 1 في α، BB 1 في β. النقطة X تقع على الخط AA 1، والنقطة Y تقع على BB 1. أثبت أن الخط المستقيم ВB 1 عمودي على الخط المستقيم ВХ، والخط المستقيم АА 1 عمودي على الخط المستقيم АY.

432*. من منتصف كل جانب من المثلث يرسم مستوى عموديًا على هذا الجانب. أثبت أن المستويات الثلاثة المرسومة تتقاطع في خط مستقيم واحد عمودي على مستوى المثلث.

تمارين للتكرار

433. في مثلث متساوي الأضلاع مع الجانبب تحديد: 1) الارتفاع؛ 2) أنصاف أقطار الدوائر المنقوشة والمحدودة.

434. من نقطة واحدة يتم رسم خطين متعامدين وخطين مائلين على خط معين. أوجد طول العمودين إذا كان ميلهما 41 سم، 50 سم، وكانت إسقاطاتهما على هذا الخط بنسبة 3:10.

435. تحديد أرجل المثلث القائم إذا كان مكررا- مقطع الزاوية اليمنى يقسم الوتر إلى أجزاء طولها 15 سم و

التعريف الأساسي

يتم استدعاء الطائرتين

متعامدان ، إذا كان كل واحد منهم يتكون من خطوط مستقيمة- مي، عمودي- ميل من المستوى الثاني ويمر عبر نقاط تقاطع هذه المستويات.

مفهوم الطائرات المتعامدة

عندما يتقاطع مستويان، نحصل على زاوية ثنائية السطوح بقيمة 4$. الزاويتان تساويان $\varphi $، والزاويتان الأخريان تساويان $(180)^0-\varphi $.

التعريف 1

الزاوية بين الطائرات هي الحد الأدنى من زوايا ثنائي السطوح التي تشكلها هذه الطائرات.

التعريف 2

يسمى المستويان المتقاطعان متعامدين إذا كانت الزاوية بين هاتين المستويتين تساوي $90^\circ$ (الشكل 1).

الشكل 1. الطائرات المتعامدة

علامة عمودي طائرتين

النظرية 1

إذا كان الخط المستقيم لمستوى ما عموديًا على مستوى آخر، فإن هذه المستويات تكون متعامدة مع بعضها البعض.

دليل.

دعونا نحصل على المستويين $\alpha $ و $\beta $، اللذين يتقاطعان على طول الخط المستقيم $AC$. اجعل الخط المستقيم $AB$ الواقع في المستوى $\alpha $ متعامدًا مع المستوى $\beta $ (الشكل 2).

الشكل 2.

بما أن الخط $AB$ عمودي على المستوى $\beta$، فهو أيضًا عمودي على الخط $AC$. دعونا أيضًا نرسم خطًا $AD$ في المستوى $\beta$، عموديًا على الخط $AC$.

نجد أن الزاوية $BAD$ هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح، وتساوي $90^\circ$. وهذا يعني، حسب التعريف 1، أن الزاوية بين المستويات هي $90^\circ$، مما يعني أن هذه المستويات متعامدة.

لقد تم إثبات النظرية.

النظرية التالية تتبع من هذه النظرية.

النظرية 2

إذا كان المستوى عموديًا على الخط الذي يتقاطع معه مستويان آخران، فإنه يكون أيضًا عموديًا على هذه المستويات.

دليل.

دعونا نحصل على طائرتين $\alpha $ و $\beta $ متقاطعتين على طول الخط المستقيم $c$. المستوى $\gamma $ عمودي على الخط المستقيم $c$ (الشكل 3)

الشكل 3.

بما أن الخط $c$ ينتمي إلى المستوى $\alpha $ والمستوى $\gamma $ عمودي على الخط $c$، إذن، وفقًا للنظرية 1، يكون المستويان $\alpha $ و $\gamma $ متعامدين.

نظرًا لأن الخط $c$ ينتمي إلى المستوى $\beta $ والمستوى $\gamma $ متعامد مع الخط $c$، إذن، وفقًا للنظرية 1، يكون المستويان $\beta $ و $\gamma $ متعامدين.

لقد تم إثبات النظرية.

ولكل من هذه النظريات، تكون العبارات العكسية صحيحة أيضًا.

أمثلة على المشاكل

مثال 1

دعونا نحصل على متوازي مستطيلات $ABCDA_1B_1C_1D_1$. أوجد جميع أزواج المستويات المتعامدة (الشكل 5).

الشكل 4.

حل.

من خلال تعريف المستطيلات المتوازية والمتعامدة، نرى الأزواج الثمانية التالية من المستويات المتعامدة مع بعضها البعض: $(ABB_1)$ و$(ADD_1)$، $(ABB_1)$ و$(A_1B_1C_1)$، $( ABB_1)$ و$(BCC_1) $ و$(ABB_1)$ و$(ABC)$ و$(DCC_1)$ و$(ADD_1)$ و$(DCC_1)$ و$(A_1B_1C_1)$ و$(DCC_1) $ و$(BCC_1)$ و$(DCC_1)$ و$(ABC)$.

مثال 2

دعونا نحصل على طائرتين متعامدين بشكل متبادل. من نقطة على أحد المستويين يرسم عمودي على مستوي آخر. أثبت أن هذا الخط يقع في المستوى المعطى.

دليل.

دعونا نحصل على مستويين متعامدين $\alpha $ و $\beta $ يتقاطعان على طول الخط المستقيم $c$. من النقطة $A$ للمستوى $\beta $، يتم رسم $AC$ عموديًا على المستوى $\alpha $. لنفترض أن $AC$ لا يقع في المستوى $\beta$ (الشكل 6).

الشكل 5.

خذ بعين الاعتبار المثلث $ABC$. إنه مستطيل بزاوية قائمة $ACB$. ولذلك، $\angle ABC\ne (90)^0$.

لكن من ناحية أخرى، $\angle ABC$ هي الزاوية الخطية للزاوية ثنائية السطوح التي تشكلها هذه المستويات. أي أن زاوية ثنائي السطوح التي تشكلها هذه المستويات لا تساوي 90 درجة. نجد أن الزاوية بين الطائرات لا تساوي $90^\circ$. تناقض. لذلك، يقع $AC$ في المستوى $\beta$.