لوغاريتم. اللوغاريتم العشري. ما هو اللوغاريتم العشري؟ كيفية إزالة اللوغاريتم العشري

\ (a ^ (b) = c \) \ (\ Leftrightarrow \) \ (\ log_ (a) (c) = b \)

دعونا نشرح الأمر بشكل أسهل. على سبيل المثال ، \ (\ log_ (2) (8) \) يساوي القوة \ (2 \) يجب رفعها للحصول على \ (8 \). من هذا يتضح أن \ (\ log_ (2) (8) = 3 \).

حجة وأساس اللوغاريتم

يحتوي أي لوغاريتم على "التشريح" التالي:

عادة ما تكتب حجة اللوغاريتم على مستواها ، والقاعدة مكتوبة بخط منخفض أقرب إلى علامة اللوغاريتم. ويقرأ هذا الإدخال على النحو التالي: "لوغاريتم من خمسة وعشرين إلى أساس خمسة".

كيف تحسب اللوغاريتم؟

لحساب اللوغاريتم ، تحتاج إلى الإجابة على السؤال: إلى أي درجة يجب رفع الأساس للحصول على الوسيطة؟

على سبيل المثال، احسب اللوغاريتم: أ) \ (\ log_ (4) (16) \) ب) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) c) \ (\ log _ (\ sqrt (5)) (1) \) d) \ (\ log _ (\ sqrt (7)) (\ sqrt (7)) \) e) \ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) \)

أ) إلى أي قوة يجب رفع \ (4 \) للحصول على \ (16 \)؟ من الواضح أن الثانية. لهذا السبب:

\ (\ log_ (4) (16) = 2 \)

\ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) (3) \) \ (= - 1 \)

ج) إلى أي قوة يجب رفع \ (\ sqrt (5) \) للحصول على \ (1 \)؟ وما الدرجة التي تجعل أي رقم وحدة؟ صفر بالطبع!

\ (\ السجل _ (\ الجذر التربيعي (5)) (1) = 0 \)

د) إلى أي قوة يجب رفع \ (\ sqrt (7) \) للحصول على \ (\ sqrt (7) \)؟ في الأول - أي رقم في الدرجة الأولى يساوي نفسه.

\ (\ السجل _ (\ الجذر التربيعي (7)) (\ الجذر التربيعي (7)) = 1 \)

هـ) إلى أي قوة يجب رفع \ (3 \) للحصول على \ (\ sqrt (3) \)؟ نعلم أن هذه قوة كسرية ، وبالتالي فإن الجذر التربيعي هو قوة \ (\ frac (1) (2) \).

\ (\ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \) \ (\ frac (1) (2) \)

مثال : احسب اللوغاريتم \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) \)

حل :

إجابة : \ (\ log_ (4 \ sqrt (2)) (8) = 1،2 \)

لماذا اخترع اللوغاريتم؟

لفهم هذا ، دعنا نحل المعادلة: \ (3 ^ (x) = 9 \). ما عليك سوى مطابقة \ (x \) لجعل المساواة تعمل. طبعا \ (س = 2 \).

الآن حل المعادلة: \ (3 ^ (x) = 8 \) ما هو x يساوي؟ هذا هو بيت القصيد.

سيقول الأكثر عبقريًا: "X أقل بقليل من اثنين". كيف يتم كتابة هذا الرقم بالضبط؟ للإجابة على هذا السؤال ، توصلوا إلى اللوغاريتم. بفضله ، يمكن كتابة الإجابة هنا كـ \ (x = \ log_ (3) (8) \).

أريد أن أؤكد أن \ (\ log_ (3) (8) \) وكذلك أي لوغاريتم هو مجرد رقم. نعم ، يبدو الأمر غير عادي ، لكنه قصير. لأننا إذا أردنا كتابته في صورة رقم عشري ، فسيبدو كالتالي: \ (1.892789260714 ..... \)

مثال : حل المعادلة \ (4 ^ (5x-4) = 10 \)

حل :

إجابة : \ (\ frac (\ log_ (4) (10) +4) (5) \)

اللوغاريتمات العشرية والطبيعية

كما هو مذكور في تعريف اللوغاريتم ، يمكن أن تكون قاعدته أي رقم موجب باستثناء واحد \ ((a> 0 ، a \ neq1) \). ومن بين جميع القواعد الممكنة ، هناك قاعدتان تحدثان كثيرًا لدرجة أنه تم اختراع تدوين قصير خاص للوغاريتمات معهم:

اللوغاريتم الطبيعي: لوغاريتم أساسه رقم أويلر \ (e \) (يساوي تقريبًا \ (2.7182818… \)) ، واللوغاريتم مكتوب كـ \ (\ ln (a) \).

إنه، \ (\ ln (a) \) هو نفسه \ (\ log_ (e) (a) \)

اللوغاريتم العشري: اللوغاريتم الذي أساسه 10 مكتوب \ (\ lg (a) \).

إنه، \ (\ lg (a) \) هو نفسه \ (\ log_ (10) (a) \)، حيث \ (أ \) هو رقم ما.

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

اللوغاريتمات لها العديد من الخصائص. أحدها يسمى "الهوية اللوغاريتمية الأساسية" ويبدو كالتالي:

هذه الخاصية تتبع مباشرة من التعريف. دعونا نرى كيف جاءت هذه الصيغة.

تذكر التعريف المختصر للوغاريتم:

إذا \ (أ ^ (ب) = ج \) ، إذن \ (\ تسجيل_ (أ) (ج) = ب \)

وهذا يعني أن \ (b \) هو نفسه \ (\ log_ (a) (c) \). ثم يمكننا كتابة \ (\ log_ (a) (c) \) بدلاً من \ (b \) في الصيغة \ (a ^ (b) = c \). اتضح \ (a ^ (\ log_ (a) (c)) = c \) - الهوية اللوغاريتمية الرئيسية.

يمكنك العثور على باقي خصائص اللوغاريتمات. بمساعدتهم ، يمكنك تبسيط وحساب قيم التعبيرات باستخدام اللوغاريتمات ، والتي يصعب حسابها مباشرة.

مثال : أوجد قيمة التعبير \ (36 ^ (\ log_ (6) (5)) \)

حل :

إجابة : \(25\)

كيف تكتب رقم كلوغاريتم؟

كما ذكرنا أعلاه ، فإن أي لوغاريتم هو مجرد رقم. والعكس صحيح أيضًا: أي رقم يمكن كتابته كلوغاريتم. على سبيل المثال ، نعلم أن \ (\ log_ (2) (4) \) يساوي اثنين. ثم يمكنك كتابة \ (\ log_ (2) (4) \) بدلاً من اثنين.

لكن \ (\ log_ (3) (9) \) يساوي أيضًا \ (2 \) ، لذا يمكنك أيضًا كتابة \ (2 = \ log_ (3) (9) \). وبالمثل مع \ (\ log_ (5) (25) \) ، ومع \ (\ log_ (9) (81) \) ، إلخ. هذا هو ، اتضح

\ (2 = \ log_ (2) (4) = \ log_ (3) (9) = \ log_ (4) (16) = \ log_ (5) (25) = \ log_ (6) (36) = \ تسجيل _ (7) (49) ... \)

وبالتالي ، إذا احتجنا إلى ذلك ، يمكننا كتابة الاثنين في صورة لوغاريتم مع أي أساس في أي مكان (حتى في المعادلة ، حتى في التعبير ، وحتى في المتباينة) - نكتب القاعدة التربيعية كوسيطة.

هو نفسه مع الثلاثي - يمكن كتابته كـ \ (\ log_ (2) (8) \) ، أو كـ \ (\ log_ (3) (27) \) ، أو كـ \ (\ log_ (4) ( 64) \) ... هنا نكتب القاعدة في المكعب كوسيطة:

\ (3 = \ log_ (2) (8) = \ log_ (3) (27) = \ log_ (4) (64) = \ log_ (5) (125) = \ log_ (6) (216) = \ log_ (7) (343) ... \)

وبأربعة:

\ (4 = \ log_ (2) (16) = \ log_ (3) (81) = \ log_ (4) (256) = \ log_ (5) (625) = \ log_ (6) (1296) = \ log_ (7) (2401) ... \)

ومع ناقص واحد:

\ (- 1 = \) \ (\ log_ (2) \) \ (\ frac (1) (2) \) \ (= \) \ (\ log_ (3) \) \ (\ frac (1) ( 3) \ (= \) \ (\ log_ (4) \) \ (\ frac (1) (4) \) \ (= \) \ (\ log_ (5) \) \ (\ frac (1) ) (5) \) \ (= \) \ (\ log_ (6) \) \ (\ frac (1) (6) \) \ (= \) \ (\ log_ (7) \) \ (\ frac (1) (7) \) \ (... \)

وبثلث:

\ (\ frac (1) (3) \) \ (= \ log_ (2) (\ sqrt (2)) = \ log_ (3) (\ sqrt (3)) = \ log_ (4) (\ sqrt ( 4)) = \ log_ (5) (\ sqrt (5)) = \ log_ (6) (\ sqrt (6)) = \ log_ (7) (\ sqrt (7)) ... \)

يمكن تمثيل أي رقم \ (أ \) على أنه لوغاريتم بقاعدة \ (ب \): \ (أ = \ تسجيل_ (ب) (ب ^ (أ)) \)

مثال : أوجد قيمة التعبير \ (\ frac (\ log_ (2) (14)) (1+ \ log_ (2) (7)) \)

حل :

إجابة : \(1\)

الخصائص الرئيسية للوغاريتم ، الرسم البياني للوغاريتم ، مجال التعريف ، مجموعة القيم ، الصيغ الأساسية ، الزيادة والنقصان. يعتبر إيجاد مشتق اللوغاريتم. بالإضافة إلى توسع وتمثيل متسلسلة القوة المتكاملة عن طريق الأعداد المركبة.

المجال ، مجموعة من القيم ، تصاعدي ، تنازلي

اللوغاريتم هو دالة رتيبة ، لذلك ليس له حدود قصوى. يتم عرض الخصائص الرئيسية للوغاريتم في الجدول.

القيم الخاصة

يسمى اللوغاريتم الأساسي 10 اللوغاريتم العشريويتم وضع علامة على هذا النحو:

اللوغاريتم الأساسي همُسَمًّى اللوغاريتم الطبيعي:

صيغ اللوغاريتم الأساسية

خصائص اللوغاريتم التالية من تعريف الدالة العكسية:

الخاصية الرئيسية للوغاريتمات وعواقبها

صيغة الاستبدال الأساسية

اللوغاريتم هو العملية الرياضية لأخذ اللوغاريتم. عند أخذ اللوغاريتم ، يتم تحويل منتجات العوامل إلى مبالغ من المصطلحات.
التقوية هي عملية حسابية معكوسة للوغاريتم. عند التقوية ، يتم رفع القاعدة المعينة إلى قوة التعبير الذي يتم تنفيذ التقوية عليه. في هذه الحالة ، يتم تحويل مبالغ المصطلحات إلى منتجات لعوامل.

دليل على الصيغ الأساسية للوغاريتمات

الصيغ المتعلقة باللوغاريتمات تتبع من الصيغ للدوال الأسية ومن تعريف الدالة العكسية.

ضع في اعتبارك خاصية الدالة الأسية
.
ثم
.
طبق خاصية الدالة الأسية
:
.

دعونا نثبت معادلة التغيير الأساسي.
;
.
ضبط c = b ، لدينا:

وظيفة عكسية

مقلوب القاعدة لوغاريتم هو الدالة الأسية مع الأس أ.

اذا ثم

اذا ثم

مشتق من اللوغاريتم

مشتق من اللوغاريتم modulo x:
.
مشتق من الترتيب التاسع:
.
اشتقاق الصيغ>>>

لإيجاد مشتق اللوغاريتم ، يجب اختزاله إلى الأساس ه.
;
.

أساسي

يتم حساب تكامل اللوغاريتم عن طريق التكامل بالأجزاء:.
لذا،

التعبيرات من حيث الأعداد المركبة

ضع في اعتبارك دالة العدد المركب ض:
.
دعونا نعبر عن عدد مركب ضعبر الوحدة صوالحجة φ :
.
ثم ، باستخدام خصائص اللوغاريتم ، لدينا:
.
أو

ومع ذلك ، فإن الحجة φ غير محدد بشكل واضح. إذا وضعنا
، حيث n هي عدد صحيح ،
ثم سيكون نفس الرقم لمختلف ن.

لذلك ، فإن اللوغاريتم ، كدالة لمتغير معقد ، ليس دالة ذات قيمة واحدة.

توسيع سلسلة الطاقة

ل ، يتم التوسع:

مراجع:
في. برونشتاين ، ك. Semendyaev ، كتيب الرياضيات للمهندسين وطلاب مؤسسات التعليم العالي ، لان ، 2009.

غالبًا ما تأخذ الرقم عشرة. تسمى لوغاريتمات الأعداد حتى الأساس عشرة عدد عشري. عند إجراء العمليات الحسابية باستخدام اللوغاريتم العشري ، من الشائع التعامل مع العلامة إل جي، لكن لا سجل؛ بينما الرقم عشرة الذي يحدد القاعدة غير محدد. نعم ، نحن نستبدل سجل 10105لتبسيط إل جي 105؛ أ سجل 102على إل جي 2.

ل اللوغاريتمات العشريةنفس الميزات التي تمتلكها اللوغاريتمات مع أساس أكبر من واحد نموذجية. وهي ، اللوغاريتمات العشرية تتميز حصريًا بالأرقام الموجبة. اللوغاريتمات العشرية للأرقام الأكبر من واحد موجبة ، والأرقام الأقل من واحد سالبة ؛ من رقمين غير سالبين ، اللوغاريتم العشري الأكبر يعادل أيضًا الرقم الأكبر ، إلخ. بالإضافة إلى ذلك ، تتميز اللوغاريتمات العشرية بسمات مميزة وميزات غريبة ، مما يفسر سبب الراحة في تفضيل الرقم عشرة كأساس اللوغاريتمات.

قبل تحليل هذه الخصائص ، دعنا نلقي نظرة على الصيغ التالية.

جزء صحيح من اللوغاريتم العشري لرقم أمُسَمًّى صفة مميزةوالكسري العشريهذا اللوغاريتم.

خاصية اللوغاريتم العشري لرقم أالمشار إليها باسم ، والجزء العشري باسم (lg أ}.

لنأخذ ، على سبيل المثال ، lg 2 ≈ 0.3010. وفقًا لذلك ، = 0 ، (log 2) 0.3010.

وينطبق الشيء نفسه على lg 543.1 ≈2.7349. وفقًا لذلك ، = 2 (lg 543.1) ≈ 0.7349.

يستخدم حساب اللوغاريتمات العشرية للأرقام الموجبة من الجداول على نطاق واسع.

العلامات المميزة للوغاريتمات العشرية.

أول علامة للوغاريتم العشري.عدد صحيح غير سالب يمثله 1 متبوعًا بالأصفار هو عدد صحيح موجب يساوي عدد الأصفار في الرقم المختار .

لنأخذ lg 100 = 2 ، lg 1 00000 = 5.

بشكل عام ، إذا

الذي - التي أ= 10ن الذي نحصل عليه

lg a = lg 10 n = n lg 10 =ص.

العلامة الثانية.اللوغاريتم العشري لعدد عشري موجب ، الذي يظهر من خلال واحد به أصفار بادئة ، هو - ص، أين ص- عدد الأصفار في تمثيل هذا العدد ، مع مراعاة صفر الأعداد الصحيحة.

يعتبر , lg 0.001 = -3 ، lg 0.000001 = -6.

بشكل عام ، إذا

,

الذي - التي أ= 10-ن واتضح

lga = lg 10ن = -n lg 10 = -n

العلامة الثالثة.خاصية اللوغاريتم العشري لعدد غير سالب أكبر من واحد يساوي عدد الأرقام في الجزء الصحيح من هذا الرقم ، باستثناء واحد.

دعونا نحلل هذه الميزة 1) خاصية اللوغاريتم lg 75.631 تساوي 1.

في الواقع ، 10< 75,631 < 100. Из этого можно сделать вывод

إل جي 10< lg 75,631 < lg 100,

1 < lg 75,631 < 2.

هذا يعني،

إل جي 75.631 = 1 + ب ،

إن إزاحة فاصلة في الكسر العشري إلى اليمين أو اليسار يعادل عملية ضرب هذا الكسر في قوة عشرة بأس عدد صحيح ص(إيجابية أو سلبية). وبالتالي ، عندما يتم إزاحة الفاصلة العشرية في كسر عشري موجب إلى اليسار أو اليمين ، فإن الجزء العشري للوغاريتم العشري لهذا الكسر لا يتغير.

لذلك ، (سجل 0.0053) = (سجل 0.53) = (سجل 0.0000053).

النطاق المقبول (ODZ) للوغاريتم

الآن دعنا نتحدث عن القيود (ODZ - مجال القيم المقبولة للمتغيرات).

نتذكر أنه ، على سبيل المثال ، لا يمكن أخذ الجذر التربيعي من الأعداد السالبة ؛ أو إذا كان لدينا كسر ، فلا يمكن أن يكون المقام مساويًا للصفر. توجد قيود مماثلة على اللوغاريتمات:

بمعنى ، يجب أن يكون كل من الوسيطة والأساس أكبر من الصفر ، ولا يمكن للأساس أن يكون متساويًا.

لماذا هذا؟

لنبدأ ببساطة: دعنا نقول ذلك. ثم ، على سبيل المثال ، الرقم غير موجود ، لأنه بغض النظر عن الدرجة التي نرفعها ، يتضح دائمًا. علاوة على ذلك ، فهي لا وجود لها لأي. لكن في نفس الوقت يمكن أن تكون مساوية لأي شيء (للسبب نفسه - إنها تساوي أي درجة). لذلك ، لا يهم الموضوع ، وقد تم التخلص منه ببساطة من الرياضيات.

لدينا مشكلة مماثلة في الحالة: بأي درجة موجبة - هذا ، لكن لا يمكن رفعها إلى قوة سالبة على الإطلاق ، لأن القسمة على صفر ستنتج (أذكرك بذلك).

عندما نواجه مشكلة الارتقاء إلى قوة كسرية (والتي يتم تمثيلها كجذر:. على سبيل المثال ، (أي) ، لكنها غير موجودة.

لذلك ، من الأسهل التخلص من الأسباب السلبية بدلاً من العبث بها.

حسنًا ، نظرًا لأن القاعدة a موجبة فقط بالنسبة لنا ، فبغض النظر عن الدرجة التي نرفعها ، سنحصل دائمًا على رقم موجب تمامًا. لذلك يجب أن تكون الحجة موجبة. على سبيل المثال ، لا يوجد ، لأنه لن يكون رقمًا سالبًا إلى أي حد (وحتى صفرًا ، لذلك فهو غير موجود أيضًا).

في مشاكل اللوغاريتمات ، تتمثل الخطوة الأولى في تدوين ODZ. سأعطي مثالا:

لنحل المعادلة.

تذكر التعريف: اللوغاريتم هو القوة التي يجب أن ترفع القاعدة إليها من أجل الحصول على وسيطة. وبالشرط هذه الدرجة تساوي:.

نحصل على المعادلة التربيعية المعتادة:. نحلها باستخدام نظرية فييتا: مجموع الجذور متساوي ، والحاصل ضرب. من السهل التقاط هذه الأرقام و.

ولكن إذا أخذت وكتبت هذين الرقمين على الفور في الإجابة ، يمكنك الحصول على 0 نقطة للمهمة. لماذا؟ لنفكر فيما سيحدث إذا عوضنا بهذه الجذور في المعادلة الأولية؟

من الواضح أن هذا خطأ ، لأن القاعدة لا يمكن أن تكون سالبة ، أي أن الجذر هو "طرف ثالث".

لتجنب مثل هذه الحيل غير السارة ، تحتاج إلى كتابة ODZ حتى قبل البدء في حل المعادلة:

بعد ذلك ، بعد أن حصلنا على الجذور ، نتخلص على الفور من الجذر ، ونكتب الإجابة الصحيحة.

مثال 1(حاول حلها بنفسك) :

أوجد جذر المعادلة. إذا كانت هناك عدة جذور ، فأشر إلى الجذور الأصغر في إجابتك.

حل:

بادئ ذي بدء ، لنكتب ODZ:

الآن نتذكر ما هو اللوغاريتم: ما القوة التي تحتاجها لرفع القاعدة للحصول على وسيطة؟ في الثانية. إنه:

يبدو أن الجذر الأصغر يساوي. لكن الأمر ليس كذلك: وفقًا لـ ODZ ، فإن الجذر هو طرف ثالث ، أي أنه ليس جذر هذه المعادلة على الإطلاق. وبالتالي ، فإن المعادلة لها جذر واحد فقط:.

إجابة: .

الهوية اللوغاريتمية الأساسية

تذكر تعريف اللوغاريتم بعبارات عامة:

استبدل في المساواة الثانية بدلاً من اللوغاريتم:

هذه المساواة تسمى الهوية اللوغاريتمية الأساسية. على الرغم من أن هذه المساواة في جوهرها مكتوبة بشكل مختلف تعريف اللوغاريتم:

هذه هي القوة التي تحتاج إلى رفعها للحصول عليها.

على سبيل المثال:

حل الأمثلة التالية:

مثال 2

أوجد قيمة التعبير.

حل:

تذكر القاعدة من القسم: أي عند رفع درجة إلى قوة ما ، تتضاعف المؤشرات. دعونا نطبقها:

مثال 3

اثبت ذلك.

حل:

خصائص اللوغاريتمات

لسوء الحظ ، لا تكون المهام دائمًا بهذه البساطة - غالبًا ما تحتاج أولاً إلى تبسيط التعبير وإعادته إلى النموذج المعتاد ، وعندها فقط سيكون من الممكن حساب القيمة. من الأسهل القيام بذلك مع العلم خصائص اللوغاريتمات. لذلك دعونا نتعلم الخصائص الأساسية للوغاريتمات. سأثبت كل واحد منهم ، لأنه من الأسهل تذكر أي قاعدة إذا كنت تعرف مصدرها.

يجب تذكر كل هذه الخصائص ؛ بدونها ، لا يمكن حل معظم مشاكل اللوغاريتمات.

والآن عن جميع خصائص اللوغاريتمات بمزيد من التفصيل.

خاصية 1:

دليل:

دعنا إذن.

لدينا: h.t.d.

الخاصية 2: مجموع اللوغاريتمات

مجموع اللوغاريتمات التي لها نفس الأساس يساوي لوغاريتم المنتج: .

دليل:

دعنا إذن. دعنا إذن.

مثال:أوجد قيمة التعبير:.

حل: .

تساعد الصيغة التي تعلمتها للتو في تبسيط مجموع اللوغاريتمات ، وليس الفرق ، بحيث لا يمكن الجمع بين هذه اللوغاريتمات على الفور. ولكن يمكنك القيام بالعكس - "تقسيم" اللوغاريتم الأول إلى قسمين: وإليكم التبسيط الموعود:
.
لماذا هذا مطلوب؟ حسنًا ، على سبيل المثال: ما الذي يهم؟

الآن من الواضح أن.

الآن اجعلها سهلة على نفسك:

مهام:

الإجابات:

الخاصية 3: اختلاف اللوغاريتمات:

دليل:

كل شيء هو نفسه تمامًا كما في الفقرة 2:

دعنا إذن.

دعنا إذن. لدينا:

المثال من النقطة الأخيرة أصبح الآن أبسط:

مثال أكثر تعقيدًا:. تخمين نفسك كيف تقرر؟

وتجدر الإشارة هنا إلى أنه ليس لدينا صيغة واحدة حول تربيع اللوغاريتمات. هذا شيء مشابه للتعبير - لا يمكن تبسيطه على الفور.

لذلك ، دعونا نستطرد من الصيغ المتعلقة باللوغاريتمات ، ونفكر في الصيغ التي نستخدمها بشكل عام في الرياضيات في أغلب الأحيان؟ منذ الصف السابع!

هذا - . عليك أن تعتاد على حقيقة أنهم موجودون في كل مكان! وتوجد في المسائل الأسية والمثلثية وغير المنطقية. لذلك ، يجب تذكرهم.

إذا نظرت عن كثب إلى أول حدين ، يصبح من الواضح أن هذا صحيح فرق المربعات:

الجواب للتحقق:

تبسيط نفسك.

أمثلة

الإجابات.

الخاصية 4: اشتقاق الأس من وسيطة اللوغاريتم:

دليل:وهنا نستخدم أيضًا تعريف اللوغاريتم: دعونا إذن. لدينا: h.t.d.

يمكنك فهم هذه القاعدة على النحو التالي:

أي درجة الحجة تؤخذ إلى الأمام من اللوغاريتم ، كمعامل.

مثال:أوجد قيمة التعبير.

حل: .

تقرر لنفسك:

أمثلة:

الإجابات:

الخاصية 5: اشتقاق الأس من أساس اللوغاريتم:

دليل:دعنا إذن.

لدينا: h.t.d.
تذكر: من أسبابيتم تقديم الدرجة كـ يعكسرقم على عكس الحالة السابقة!

الخاصية 6: اشتقاق الأس من الأساس ووسيطة اللوغاريتم:

أو إذا كانت الدرجات هي نفسها:.

الخاصية 7: الانتقال إلى قاعدة جديدة:

دليل:دعنا إذن.

لدينا: h.t.d.

الخاصية 8: تبديل الأساس ووسيطة اللوغاريتم:

دليل:هذه حالة خاصة من الصيغة 7: إذا استبدلناها ، نحصل على:

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة الأخرى.

مثال 4

أوجد قيمة التعبير.

نستخدم خاصية اللوغاريتمات رقم 2 - مجموع اللوغاريتمات التي لها نفس الأساس يساوي لوغاريتم المنتج:

مثال 5

أوجد قيمة التعبير.

حل:

نستخدم خاصية اللوغاريتمين رقم 3 ورقم 4:

مثال 6

أوجد قيمة التعبير.

حل:

باستخدام الخاصية رقم 7 - انتقل إلى الأساس 2:

مثال 7

أوجد قيمة التعبير.

حل:

كيف تحب المقال؟

إذا كنت تقرأ هذه السطور ، فأنت قد قرأت المقالة بأكملها.

وهو رائع!

أخبرنا الآن كيف تحب المقال؟

هل تعلمت حل اللوغاريتمات؟ إذا لم يكن كذلك ، فما هي المشكلة؟

اكتب لنا في التعليقات أدناه.

ونعم ، نتمنى لك التوفيق في امتحاناتك.

في امتحان الدولة الموحدة و OGE وبشكل عام في الحياة

إذن ، لدينا قوى لاثنين. إذا أخذت الرقم من الخلاصة ، فيمكنك بسهولة العثور على القوة التي يجب أن ترفع بها اثنين للحصول على هذا الرقم. على سبيل المثال ، للحصول على 16 ، عليك رفع اثنين مرفوعًا للقوة الرابعة. ولكي تحصل على 64 ، عليك أن ترفع اثنين أس ستة. هذا يمكن رؤيته من الجدول.

والآن - في الواقع ، تعريف اللوغاريتم:

الأساس a لوغاريتم للوسيطة x هو القوة التي يجب رفع الرقم a إليها للحصول على العدد x.

تدوين: سجل أ س \ u003d ب ، حيث أ هو الأساس ، س هو الوسيطة ، ب هو في الواقع ما يساوي اللوغاريتم.

على سبيل المثال ، 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (لوغاريتم الأساس 2 للعدد 8 هو ثلاثة لأن 2 3 = 8). قد يكون كذلك سجل 2 64 = 6 ، لأن 2 6 = 64.

تسمى عملية إيجاد لوغاريتم رقم لأساس معين اللوغاريتم. لذلك دعونا نضيف صفًا جديدًا إلى طاولتنا:

لسوء الحظ ، لا يتم النظر في جميع اللوغاريتمات بسهولة. على سبيل المثال ، حاول العثور على log 2 5. الرقم 5 غير موجود في الجدول ، لكن المنطق يفرض أن اللوغاريتم سوف يقع في مكان ما على المقطع. لأن 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

تسمى هذه الأرقام غير منطقية: يمكن كتابة الأرقام بعد الفاصلة العشرية إلى أجل غير مسمى ، ولا تتكرر أبدًا. إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي ، فمن الأفضل تركه على النحو التالي: log 2 5 ، log 3 8 ، log 5100.

من المهم أن نفهم أن اللوغاريتم عبارة عن تعبير به متغيرين (الأساس والحجة). في البداية ، كثير من الناس يخلطون بين مكان الأساس وأين توجد الحجة. لتجنب سوء الفهم المزعج ، ما عليك سوى إلقاء نظرة على الصورة:

أمامنا ليس أكثر من تعريف اللوغاريتم. يتذكر: اللوغاريتم هو القوة، والتي تحتاج إلى رفع الأساس للحصول على الحجة. إنها القاعدة التي يتم رفعها إلى قوة - في الصورة مظللة باللون الأحمر. اتضح أن القاعدة دائمًا في الأسفل! أقول هذه القاعدة الرائعة لطلابي في الدرس الأول - ولا يوجد أي لبس.

توصلنا إلى التعريف - يبقى أن نتعلم كيفية حساب اللوغاريتمات ، أي تخلص من علامة "السجل". بادئ ذي بدء ، نلاحظ أن حقيقتين مهمتين تنبعان من التعريف:

1. يجب أن تكون الوسيطة والأساس دائمًا أكبر من الصفر. هذا يتبع من تعريف الدرجة بواسطة الأس المنطقي ، والذي يتم اختزال تعريف اللوغاريتم إليه.
2. يجب أن تكون القاعدة مختلفة عن الوحدة ، لأن الوحدة لأي قوة لا تزال وحدة. لهذا السبب ، فإن السؤال "إلى أي قوة يجب أن يرفع المرء للحصول على اثنين" لا معنى له. لا توجد مثل هذه الدرجة!

تسمى هذه القيود مجال صحيح(ODZ). اتضح أن ODZ للوغاريتم يبدو كالتالي: log a x = b ⇒ x> 0 ، a> 0 ، a 1.

لاحظ أنه لا توجد قيود على الرقم ب (قيمة اللوغاريتم) غير مفروضة. على سبيل المثال ، قد يكون اللوغاريتم سالبًا: log 2 0.5 = −1 ، لأن 0.5 = 2 1.

ومع ذلك ، نحن الآن نفكر في التعبيرات العددية فقط ، حيث لا يلزم معرفة ODZ للوغاريتم. تم بالفعل أخذ جميع القيود في الاعتبار من قبل مجمعي المشاكل. ولكن عندما تدخل المعادلات اللوغاريتمية وعدم المساواة حيز التنفيذ ، ستصبح متطلبات DHS إلزامية. في الواقع ، في الأساس والحجة يمكن أن تكون هناك إنشاءات قوية للغاية ، والتي لا تتوافق بالضرورة مع القيود المذكورة أعلاه.

الآن فكر في المخطط العام لحساب اللوغاريتمات. يتكون من ثلاث خطوات:

1. اكتب القاعدة a والسعة x كقوة لها أصغر أساس ممكن أكبر من واحد. على طول الطريق ، من الأفضل التخلص من الكسور العشرية ؛
2. حل معادلة المتغير ب: س = أ ب ؛
3. سيكون الرقم الناتج ب هو الجواب.

هذا كل شئ! إذا تبين أن اللوغاريتم غير منطقي ، فسيتم رؤية ذلك بالفعل في الخطوة الأولى. يعتبر اشتراط أن تكون القاعدة أكبر من واحد وثيق الصلة للغاية: فهذا يقلل من احتمالية الخطأ ويبسط العمليات الحسابية إلى حد كبير. وبالمثل مع الكسور العشرية: إذا قمت بتحويلها على الفور إلى كسور عادية ، فسيكون هناك عدد مرات أقل من الأخطاء.

دعونا نرى كيف يعمل هذا المخطط مع أمثلة محددة:

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 5 25

1. دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة خمسة: 5 = 5 1 ؛ 25 = 52 ؛
2. لنصنع المعادلة ونحلها:
   سجل 5 25 = ب ⇒ (5 1) ب = 5 2 ⇒ 5 ب = 5 2 ⇒ ب = 2 ؛
3. تلقى إجابة: 2.

مهمة. احسب اللوغاريتم:

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 4 64

1. دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة اثنين: 4 = 2 2؛ 64 = 26 ؛
2. لنصنع المعادلة ونحلها:
   سجل 4 64 = ب ⇒ (2 2) ب = 6 2 ⇒ 2 2 ب = 2 6 ⇒ 2 ب = 6 ⇒ ب = 3 ؛
3. تلقى إجابة: 3.

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 16 1

1. دعنا نمثل الأساس والسعة كقوة اثنين: 16 = 2 4 ؛ 1 = 20 ؛
2. لنصنع المعادلة ونحلها:
   سجل 16 1 = ب ⇒ (2 4) ب = 2 0 ⇒ 2 4 ب = 2 0 ⇒ 4 ب = 0 ب = 0 ؛
3. تلقى الرد: 0.

مهمة. احسب اللوغاريتم: log 7 14

1. لنمثل القاعدة والسعة كقوة سبعة: 7 = 7 1 ؛ ١٤ لا يتم تمثيلها كقوة سبعة ، لأن ٧ ١< 14 < 7 2 ;
2. ويترتب على الفقرة السابقة أن اللوغاريتم لا يؤخذ في الاعتبار ؛
3. الجواب لا تغيير: سجل 7 14.

ملاحظة صغيرة على المثال الأخير. كيف تتأكد من أن الرقم ليس قوة دقيقة لرقم آخر؟ بسيط جدًا - فقط قم بتحليله إلى عوامل أولية. وإذا تعذر جمع هذه العوامل بدرجة ما بنفس المؤشرات ، فإن الرقم الأصلي ليس درجة دقيقة.

مهمة. اكتشف ما إذا كانت قوى العدد بالضبط هي: 8 ؛ 48 ؛ 81 ؛ 35 ؛ 14.

8 \ u003d 2 2 2 \ u003d 2 3 هي الدرجة الدقيقة ، لأن يوجد مضاعف واحد فقط ؛
48 = 6 8 = 3 2 2 2 2 = 3 2 4 ليست قوة دقيقة لأن هناك عاملين: 3 و 2 ؛
81 = 9 9 = 3 3 3 3 = 3 4 - الدرجة الدقيقة ؛
35 = 7 5 - مرة أخرى ليست درجة دقيقة ؛
14 \ u003d 7 2 - مرة أخرى ليست درجة دقيقة ؛

لاحظ أيضًا أن الأعداد الأولية نفسها دائمًا ما تكون قوى محددة لها.

اللوغاريتم العشري

بعض اللوغاريتمات شائعة لدرجة أن لها اسمًا خاصًا وتسمية.

اللوغاريتم العشري للوسيطة x هو لوغاريتم الأساس 10 ، أي القوة التي تحتاجها لرفع الرقم 10 للحصول على الرقم x. التعيين: lg x.

على سبيل المثال ، سجل 10 = 1 ؛ سجل 100 = 2 ؛ lg 1000 = 3 - إلخ.

من الآن فصاعدًا ، عندما تظهر عبارة مثل "Find lg 0.01" في الكتاب المدرسي ، فاعلم أن هذا ليس خطأ مطبعي. هذا هو اللوغاريتم العشري. ومع ذلك ، إذا لم تكن معتادًا على مثل هذا التعيين ، فيمكنك دائمًا إعادة كتابته:
سجل س = سجل 10 س

كل ما ينطبق على اللوغاريتمات العادية ينطبق أيضًا على الكسور العشرية.

اللوغاريتم الطبيعي

هناك لوغاريتم آخر له رمز خاص به. بمعنى أنه أكثر أهمية من النظام العشري. هذا هو اللوغاريتم الطبيعي.

اللوغاريتم الطبيعي للوسيطة x هو لوغاريتم الأساس e ، أي القوة التي يجب رفع الرقم e إليها للحصول على الرقم x. التعيين: ln x.

سوف يسأل الكثير: ما هو الرقم e أيضًا؟ هذا رقم غير منطقي ، لا يمكن العثور على قيمته الدقيقة وتدوينها. هذه هي الأرقام الأولى فقط:
ه = 2.718281828459 ...

لن نتعمق في ماهية هذا الرقم وسبب الحاجة إليه. فقط تذكر أن e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي:
ln x = تسجيل الدخول x

هكذا ln e = 1 ؛ سجل ه 2 = 2 ؛ ln e 16 = 16 - إلخ. من ناحية أخرى ، ln 2 عدد غير نسبي. بشكل عام ، اللوغاريتم الطبيعي لأي عدد نسبي غير منطقي. باستثناء الوحدة بالطبع: ln 1 = 0.

بالنسبة للوغاريتمات الطبيعية ، فإن جميع القواعد الصحيحة للوغاريتمات العادية صالحة.