مجموع زوايا المثلث - ما الذي يساويه؟ نظرية مجموع زوايا المثلث من الخاصيتين الأخيرتين يترتب على ذلك أن كل زاوية في متساوي الأضلاع

نظرية. مجموع الزوايا الداخلية للمثلث يساوي زاويتين قائمتين.

لنأخذ المثلث ABC (الشكل 208). دعونا نشير إلى زواياه الداخلية بالأرقام 1 و 2 و 3. دعونا نثبت ذلك

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

دعونا نرسم من خلال أحد رؤوس المثلث، على سبيل المثال B، خطًا مستقيمًا MN موازيًا لـ AC.

عند الرأس B، حصلنا على ثلاث زوايا: ∠4، ∠2، و∠5. مجموعها زاوية مستقيمة، وبالتالي فهي تساوي 180 درجة:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

لكن ∠4 = ∠1 هي زوايا عرضية داخلية ذات خطوط متوازية MN وAC والقاطع AB.

∠5 = ∠3 - هذه زوايا عرضية داخلية ذات خطوط متوازية MN وAC والقاطع BC.

هذا يعني أنه يمكن استبدال ∠4 و∠5 بما يساويهما ∠1 و∠3.

وبالتالي، ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. تم إثبات النظرية.

2. خاصية الزاوية الخارجية للمثلث.

في الواقع، في المثلث ABC (الشكل 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3، ولكن أيضًا ∠ВСD، الزاوية الخارجية لهذا المثلث، غير المجاورة لـ ∠1 و∠2، تساوي أيضًا 180° - ∠3 .

هكذا:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

لذلك، ∠1 + ∠2= ∠BCD.

توضح الخاصية المشتقة للزاوية الخارجية للمثلث محتوى النظرية المثبتة مسبقًا حول الزاوية الخارجية للمثلث، والتي تنص فقط على أن الزاوية الخارجية للمثلث أكبر من كل زاوية داخلية للمثلث غير مجاورة لها؛ وثبت الآن أن الزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين لها.

3. خاصية المثلث القائم الزاوية بزاوية 30 درجة.

لتكن الزاوية B في المثلث القائم ACB مساوية 30° (شكل 210). فيكون قياس الزاوية الحادة الأخرى 60 درجة.

دعونا نثبت أن الساق AC تساوي نصف الوتر AB. دعونا نمد الساق AC إلى ما بعد قمة الزاوية القائمة C ونضع جانبًا القطعة CM المساوية للقطعة AC. لنقم بتوصيل النقطة M بالنقطة B. المثلث الناتج ВСМ يساوي المثلث ACB. نرى أن قياس كل زاوية من زوايا المثلث ABM يساوي 60 درجة، وبالتالي فإن هذا المثلث مثلث متساوي الأضلاع.

الساق AC تساوي نصف AM، وبما أن AM يساوي AB، فإن الساق AC ستكون مساوية لنصف الوتر AB.

متابعة من الأمس:

هيا نلعب بالفسيفساء في قصة هندسية خيالية:

ذات مرة كان هناك مثلثات. متشابهة لدرجة أنها مجرد نسخ من بعضها البعض.
لقد وقفوا بطريقة ما جنبًا إلى جنب في خط مستقيم. وبما أنهم كانوا جميعا بنفس الارتفاع -
ثم كانت قممها على نفس المستوى، تحت المسطرة:

المثلثات تحب أن تتعثر وتقف على رؤوسها. صعدوا إلى الصف العلوي ووقفوا في الزاوية كالأكروبات.
ونحن نعلم بالفعل - عندما يقفون وقممهم في خط واحد تمامًا،
ثم يتبع باطنهم أيضًا المسطرة - لأنه إذا كان شخص ما بنفس الارتفاع، فهو أيضًا بنفس الارتفاع رأسًا على عقب!

لقد كانا متماثلين في كل شيء، نفس الطول، ونفس النعال،
والشرائح الموجودة على الجانبين - واحدة أكثر انحدارًا والأخرى أكثر استواءً - هي نفسها في الطول
ولهما نفس المنحدر. حسنًا، توأمان فقط! (فقط بملابس مختلفة، ولكل منها قطعة اللغز الخاصة بها).

- أين المثلثات لها جوانب متطابقة؟ أين هي الزوايا نفسها؟

وقف المثلثون على رؤوسهم، ووقفوا هناك، ثم قرروا الانزلاق والاستلقاء في الصف السفلي.
انزلقوا وانزلقوا إلى أسفل التل. لكن شرائحهم هي نفسها!
لذا فهي تتناسب تمامًا بين المثلثات السفلية، دون فجوات، ولا يدفع أحد أحدًا جانبًا.

نظرنا حول المثلثات ولاحظنا ميزة مثيرة للاهتمام.
وحيثما اجتمعت زواياهم، فلا شك أن الزوايا الثلاث ستلتقي:
الأكبر هي "زاوية الرأس"، والزاوية الأكثر حدة، والثالثة هي الزاوية المتوسطة الأكبر.
حتى أنهم ربطوا أشرطة ملونة حتى يتضح على الفور أي منها.

واتضح أن زوايا المثلث الثلاثة، إذا قمت بدمجها -
تشكل زاوية واحدة كبيرة، "زاوية مفتوحة" - مثل غلاف كتاب مفتوح،

______________________يا _____

وهذا ما يطلق عليه: الزاوية المقلوبة.

أي مثلث يشبه جواز السفر: ثلاث زوايا معًا تساوي الزاوية المفتوحة.
هناك من يطرق بابك:- نوك نوك، أنا مثلث، اسمحوا لي أن أقضي الليل!
وأنت تقول له - أرني مجموع الزوايا في الصورة الموسعة!
ومن الواضح على الفور ما إذا كان هذا مثلثًا حقيقيًا أم محتالًا.
لم ينجح في الاختبار - استدر مئة وثمانين درجة وارجع إلى المنزل!

عندما يقولون "استدر 180 درجة" فهذا يعني الاستدارة للخلف و
اذهب في الاتجاه المعاكس.

نفس الشيء في تعبيرات أكثر دراية، دون "كان ياما كان":

دعونا نجري ترجمة موازية للمثلث ABC على طول محور OX
إلى المتجه أ.بيساوي طول القاعدة AB.
خط DF يمر عبر القمم C و C 1 للمثلثات
موازية لمحور OX، نظرًا لكونها متعامدة مع محور OX
القطع h و h 1 (ارتفاعات المثلثات المتساوية) متساوية.
وبالتالي فإن قاعدة المثلث A 2 B 2 C 2 موازية للقاعدة AB
ويساويها في الطول (نظرًا لأن الرأس C 1 يتم إزاحته بالنسبة إلى C بمقدار AB).
المثلثان A 2 B 2 C 2 و ABC متساويان من ثلاثة أضلاع.
وبالتالي فإن الزوايا ∠A 1 ∠B ∠C 2 التي تشكل زاوية مستقيمة تساوي زوايا المثلث ABC.
=> مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة

مع الحركات - "الترجمات"، فإن ما يسمى بالبرهان أقصر وأوضح،
حتى الطفل يمكنه فهم قطع الفسيفساء.

لكن المدرسة التقليدية:

على أساس تساوي الزوايا الداخلية المتقاطعة المقطوعة على خطوط متوازية

قيمة لأنها تعطي فكرة عن سبب حدوث ذلك،
لماذامجموع زوايا المثلث يساوي الزاوية العكسية؟

لأنه بخلاف ذلك لن يكون للخطوط المتوازية الخصائص المألوفة في عالمنا.

النظريات تعمل في كلا الاتجاهين. من بديهية الخطوط المتوازية يتبع
المساواة بين الزوايا المستقيمة والعمودية ومنهم - مجموع زوايا المثلث.

لكن العكس هو الصحيح أيضًا: طالما أن زوايا المثلث تساوي 180 درجة، فهناك مستقيمات متوازية
(بحيث يمكن من خلال نقطة لا تقع على خط رسم خط فريد || من الخط المعطى).
إذا ظهر في العالم في يوم من الأيام مثلث لا يساوي مجموع زواياه الزاوية المفتوحة -
عندها ستتوقف المتوازيات عن أن تكون متوازية، وسوف ينحني العالم كله وينحرف.

إذا تم وضع خطوط ذات أنماط مثلثية واحدة فوق الأخرى -
يمكنك تغطية الحقل بأكمله بنمط متكرر، مثل الأرضية بالبلاط:

يمكنك رسم أشكال مختلفة على مثل هذه الشبكة - الأشكال السداسية والمعينات،
المضلعات النجمية والحصول على مجموعة متنوعة من الباركيه

إن تبليط الطائرة بالباركيه ليس مجرد لعبة مسلية فحسب، بل هو أيضًا مسألة رياضية ذات صلة:

________________________________________ _______________________-------__________ ________________________________________ ______________
/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\=/\__||_/ \__||_/\__||_/\__||_/\__|)0(|_/\__||_/\__||_/\__||_/\__||_/\

وبما أن كل شكل رباعي هو مستطيل أو مربع أو معين الخ.
يمكن أن تتكون من مثلثين
على التوالي، مجموع زوايا الشكل الرباعي: 180° + 180° = 360°

يتم طي المثلثات المتساوية الساقين إلى مربعات بطرق مختلفة.
مربع صغير من جزأين. متوسط ​​4. والأكبر من 8.
ما عدد الأشكال الموجودة في الرسم والتي تتكون من 6 مثلثات؟

الأقسام: الرياضيات

عرض تقديمي . (شريحة 1)

نوع الدرس:درس تعلم مواد جديدة.

أهداف الدرس:

• التعليمية:
  • النظر في نظرية مجموع زوايا المثلث،
  • إظهار تطبيق النظرية في حل المشاكل.
• التعليمية:
  • تعزيز الموقف الإيجابي لدى الطلاب تجاه المعرفة ،
  • -غرس الثقة بالنفس لدى الطلاب من خلال الدروس.
• التنموية:
  • تنمية التفكير التحليلي،
  • تنمية "مهارات التعلم": استخدام المعرفة والمهارات والقدرات في العملية التعليمية،
  • تنمية التفكير المنطقي والقدرة على صياغة أفكار الفرد بوضوح.

معدات:السبورة التفاعلية والعروض التقديمية والبطاقات.

خلال الفصول الدراسية

I. اللحظة التنظيمية

– اليوم في الفصل سوف نتذكر تعريفات المثلث متساوي الساقين والمثلث متساوي الأضلاع. دعونا نكرر خصائص زوايا المثلثات. باستخدام خصائص الزوايا الداخلية أحادية الجانب والزوايا المتقاطعة الداخلية، سنثبت نظرية مجموع زوايا المثلث ونتعلم كيفية تطبيقها عند حل المشكلات.

ثانيا. شفويا(الشريحة 2)

1) ابحث عن مثلثات مستطيلة ومتساوية الساقين ومتساوية الأضلاع في الصور.
2) حدد هذه المثلثات.
3) صياغة خصائص زوايا المثلث متساوي الأضلاع ومتساوي الساقين.

4) في الصورة KE II NH. (الشريحة 3)

- تحديد قاطعات لهذه الخطوط
- إيجاد الزوايا الداخلية أحادية الجانب، والزوايا الداخلية المتعامدة مع ذكر خصائصها

ثالثا. شرح مادة جديدة

نظرية.مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة

وفقا لصياغة النظرية، يقوم الرجال ببناء رسم، ويكتبون الشرط والاستنتاج. من خلال الإجابة على الأسئلة، فإنها تثبت النظرية بشكل مستقل.

منح: يثبت:

دليل:

1. من خلال الرأس B للمثلث نرسم خطًا مستقيمًا BD II AC.
2. تحديد المقاطع للخطوط المتوازية.
3. ماذا يمكن أن يقال عن الزوايا CBD وACB؟ (دوّن ملاحظة)
4. ماذا نعرف عن الزوايا CAB وABD؟ (دوّن ملاحظة)
5. استبدل الزاوية CBD بالزاوية ACB
6. استنتج.

رابعا. إنهاء الجملة.(الشريحة 4)

1- مجموع زوايا المثلث هو...
2. في المثلث، إحدى الزوايا متساوية، والزاوية الأخرى، الزاوية الثالثة للمثلث تساوي...
3. مجموع الزوايا الحادة في المثلث القائم هو ...
4. زوايا المثلث القائم متساوي الساقين متساوية...
5. زوايا المثلث متساوي الأضلاع متساوية...
6. إذا كانت الزاوية المحصورة بين أضلاع مثلث متساوي الساقين تساوي 1000 فإن زوايا القاعدة متساوية...

خامسا: القليل من التاريخ.(الشرائح 5-7)

المثلث هو مضلع له ثلاثة جوانب (ثلاث زوايا). في أغلب الأحيان، تتم الإشارة إلى الجوانب بأحرف صغيرة تتوافق مع الأحرف الكبيرة التي تمثل القمم المقابلة. في هذه المقالة سوف نتعرف على أنواع هذه الأشكال الهندسية، وهي النظرية التي تحدد ما يساوي مجموع زوايا المثلث.

الأنواع حسب حجم الزاوية

تتميز الأنواع التالية من المضلعات ذات الرؤوس الثلاثة:

• حادة الزاوية، حيث تكون جميع الزوايا حادة؛
• مستطيل، له زاوية قائمة واحدة، تسمى مولداته الأرجل، والجانب الذي يقع مقابل الزاوية القائمة يسمى الوتر؛
• منفرج عندما واحد ;
• متساوي الساقين، وفيه يكون الضلعان متساويان، ويُسمَّيان جانبيين، والثالث هو قاعدة المثلث؛
• متساوي الأضلاع، مع وجود جميع الجوانب الثلاثة متساوية.

ملكيات

هناك خصائص أساسية مميزة لكل نوع من المثلثات:

• في مقابل الجانب الأكبر توجد دائمًا زاوية أكبر، والعكس صحيح؛
• على الجانبين المتساويين توجد زوايا متساوية، والعكس صحيح؛
• أي مثلث له زاويتان حادتان؛
• الزاوية الخارجية أكبر من أي زاوية داخلية غير مجاورة لها؛
• مجموع أي زاويتين يكون دائمًا أقل من 180 درجة؛
• الزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الأخريين اللتين لا تتقاطعان معها.

نظرية مجموع زوايا المثلث

تنص النظرية على أنه إذا قمت بجمع كل زوايا الشكل الهندسي المعطى، والذي يقع على المستوى الإقليدي، فإن مجموعها سيكون 180 درجة. دعونا نحاول إثبات هذه النظرية.

دعونا نحصل على مثلث عشوائي ذو رؤوس KMN.

من خلال قمة الرأس M نرسم KN (يُسمى هذا الخط أيضًا الخط المستقيم الإقليدي). نحدد النقطة A عليها بحيث تقع النقطتان K و A على جوانب مختلفة من الخط المستقيم MH. نحصل على زاويتين متساويتين AMN وKNM، اللتين، مثل الزوايا الداخلية، تقعان بالعرض ويتم تشكيلهما بواسطة القاطع MN مع الخطين المستقيمين KH وMA، المتوازيين. ويترتب على ذلك أن مجموع زوايا المثلث الواقع عند القمم M و H يساوي حجم الزاوية KMA. تشكل الزوايا الثلاث مجموعًا يساوي مجموع الزوايا KMA وMKN. وبما أن هذه الزوايا داخلية أحادية الجانب بالنسبة إلى الخطين المستقيمين المتوازيين KN وMA مع قاطع KM، فإن مجموعهما يساوي 180 درجة. تم إثبات النظرية.

عاقبة

النتيجة الطبيعية التالية تتبع النظرية المثبتة أعلاه: أي مثلث له زاويتان حادتان. لإثبات ذلك، لنفترض أن هذا الشكل الهندسي له زاوية حادة واحدة فقط. ويمكن أيضًا الافتراض أن أيًا من الزوايا ليست حادة. في هذه الحالة، يجب أن تكون هناك زاويتان على الأقل حجمهما يساوي أو يزيد عن 90 درجة. لكن مجموع قياسات الزوايا سيكون أكبر من 180 درجة. ولكن هذا لا يمكن أن يحدث، لأنه وفقا للنظرية، فإن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة - لا أكثر ولا أقل. وهذا ما يجب إثباته.

خاصية الزوايا الخارجية

ما هو مجموع الزوايا الخارجية للمثلث؟ يمكن الحصول على إجابة هذا السؤال باستخدام إحدى الطريقتين. الأول: أنه لا بد من إيجاد مجموع الزوايا المأخوذة عند كل رأس زاوية واحدة، أي ثلاث زوايا. والثاني يعني أنك بحاجة إلى إيجاد مجموع زوايا الرأس الست. أولا، دعونا ننظر إلى الخيار الأول. إذن، المثلث يحتوي على ست زوايا خارجية - اثنتان عند كل رأس.

كل زوج له زوايا متساوية لأنها عمودية:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

ومن المعلوم أن الزاوية الخارجية للمثلث تساوي مجموع زاويتين داخليتين لا تتقاطعان معها. لذلك،

∟1 = ∟A + ∟C، ∟2 = ∟A + ∟B، ∟3 = ∟B + ∟C.

ومن هذا يتبين أن مجموع الزوايا الخارجية التي تؤخذ زاوية واحدة عند كل رأس سيكون مساوياً لما يلي:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C = 2 x (∟A + ∟B + ∟C).

مع الأخذ في الاعتبار أن مجموع الزوايا يساوي 180 درجة، يمكننا القول أن ∟A + ∟B + ∟C = 180°. هذا يعني أن ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 × 180° = 360°. إذا تم استخدام الخيار الثاني، فسيكون مجموع الزوايا الست أكبر مرتين. أي أن مجموع الزوايا الخارجية للمثلث سيكون:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 × (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720°.

مثلث قائم

ما هو مجموع الزوايا الحادة للمثلث القائم؟ مرة أخرى، إجابة هذا السؤال تأتي من النظرية التي تنص على أن مجموع قياسات زوايا المثلث يساوي 180 درجة. وعبارتنا (الخاصية) تبدو هكذا: في المثلث القائم، مجموع الزوايا الحادة يصل إلى 90 درجة. دعونا نثبت صحتها.

دعونا نحصل على مثلث KMN، حيث ∟Н = 90°. من الضروري إثبات أن ∟К + ∟М = 90°.

لذلك، وفقًا لنظرية مجموع الزوايا ∟К + ∟М + ∟Н = 180°. شرطنا يقول أن ∟Н = 90°. إذن اتضح أن ∟К + ∟М + 90° = 180°. أي ∟К + ∟М = 180° - 90° = 90°. وهذا هو بالضبط ما كنا بحاجة لإثباته.

بالإضافة إلى الخصائص المذكورة أعلاه للمثلث قائم الزاوية، يمكنك إضافة ما يلي:

• الزوايا التي تقع مقابل الساقين حادة؛
• الوتر مثلثي أكبر من أي من الأرجل.
• مجموع الساقين أكبر من الوتر.
• إن ساق المثلث الذي يقع مقابل الزاوية التي قياسها 30 درجة، هي نصف حجم الوتر، أي تساوي نصفه.

وكخاصية أخرى لهذا الشكل الهندسي، يمكننا تسليط الضوء على نظرية فيثاغورس. وذكرت أنه في المثلث الذي قياس زاوية 90 درجة (مستطيل)، فإن مجموع مربعي الأرجل يساوي مربع الوتر.

مجموع زوايا المثلث متساوي الساقين

قلنا سابقًا أن المضلع المتساوي الساقين الذي له ثلاثة رؤوس ويحتوي على ضلعين متساويين يسمى. وهذه الخاصية لهذا الشكل الهندسي معروفة: الزوايا عند قاعدته متساوية. دعونا نثبت ذلك.

لنأخذ المثلث KMN، وهو متساوي الساقين، KN هي قاعدته.

نحن مطالبون بإثبات أن ∟К = ∟Н. لذا، لنفترض أن MA هو منصف مثلثنا KMN. المثلث MKA، مع الأخذ بعين الاعتبار علامة المساواة الأولى، يساوي المثلث MNA. أي أنه بشرط أن يكون KM = NM، MA هو الضلع المشترك، ∟1 = ∟2، نظرًا لأن MA منصف. باستخدام حقيقة أن هذين المثلثين متساويان، يمكننا القول أن ∟К = ∟Н. وهذا يعني أن النظرية قد تم إثباتها.

لكننا مهتمون بما هو مجموع زوايا المثلث (متساوي الساقين). وبما أنه في هذا الصدد ليس له خصائصه الخاصة، فسوف نبني على النظرية التي تمت مناقشتها سابقا. وهذا يعني أنه يمكننا القول أن ∟К + ∟М + ∟Н = 180°، أو 2 × ∟К + ∟М = 180° (بما أن ∟К = ∟Н). لن نثبت هذه الخاصية، حيث تم إثبات نظرية مجموع زوايا المثلث نفسه سابقًا.

بالإضافة إلى الخصائص التي تمت مناقشتها حول زوايا المثلث، تنطبق أيضًا العبارات المهمة التالية:

• الذي تم إنزاله على القاعدة، هو في نفس الوقت الوسيط، ومنصف الزاوية الواقعة بين الجانبين المتساويين، وكذلك قاعدتها؛
• المتوسطات (المنصفات، الارتفاعات) المرسومة على الجوانب الجانبية لهذا الشكل الهندسي متساوية.

مثلث متساوي الاضلاع

ويسمى أيضًا منتظمًا، وهو المثلث الذي تكون جميع أضلاعه متساوية. وبالتالي فإن الزوايا متساوية أيضًا. كل واحد 60 درجة. دعونا نثبت هذه الخاصية.

لنفترض أن لدينا مثلث KMN. نحن نعلم أن KM = NM = KN. وهذا يعني أنه وفقًا لخاصية الزوايا الواقعة عند القاعدة في مثلث متساوي الساقين، ∟К = ∟М = ∟Н. نظرًا لأن مجموع زوايا المثلث، وفقًا للنظرية، هو ∟К + ∟М + ∟Н = 180°، ثم 3 x ∟К = 180° أو ∟К = 60°، ∟М = 60°، ∟ Н = 60°. وبذلك ثبت البيان.

كما يتبين من الدليل أعلاه بناءً على النظرية، فإن مجموع الزوايا، مثل مجموع زوايا أي مثلث آخر، هو 180 درجة. ليست هناك حاجة لإثبات هذه النظرية مرة أخرى.

هناك أيضًا خصائص مميزة للمثلث متساوي الأضلاع:

• يتطابق الوسيط والمنصف والارتفاع في هذا الشكل الهندسي، ويتم حساب طولهما على النحو التالي (a x √3): 2؛
• إذا قمت بوصف دائرة حول مضلع معين، فإن نصف قطرها سيكون مساويًا لـ (a x √3): 3؛
• إذا قمت بإدراج دائرة في مثلث متساوي الأضلاع، فسيكون نصف قطرها (a x √3): 6؛
• يتم حساب مساحة هذا الشكل الهندسي بالصيغة: (a2 x √3) : 4.

مثلث منفرج الزاوية

بحكم التعريف، إحدى زواياه تتراوح بين 90 و 180 درجة. لكن بما أن الزاويتين الأخريين لهذا الشكل الهندسي حادتان، فيمكننا أن نستنتج أن قياسهما لا يتجاوز 90 درجة. ولذلك فإن نظرية مجموع زوايا المثلث تعمل على حساب مجموع الزوايا في مثلث منفرج. اتضح أنه يمكننا القول بأمان، بناءً على النظرية المذكورة أعلاه، أن مجموع زوايا المثلث المنفرج يساوي 180 درجة. مرة أخرى، هذه النظرية لا تحتاج إلى إثبات مرة أخرى.

بحث

حول موضوع:

"هل مجموع زوايا المثلث يساوي دائمًا 180˚؟"

مكتمل:

طالب الصف 7ب

مدرسة MBOU Inzenskaya الثانوية رقم 2

إنزا، منطقة أوليانوفسك

ماليشيف إيان

المستشار العلمي:

بولشاكوفا ليودميلا يوريفنا

جدول المحتويات

مقدمة …………………………………………………..3 ص.

الجزء الرئيسي………………………………………………………………………………………………………………………………………… 4

ابحث عن معلومات

التجارب

خاتمة

الخلاصة ………………………………………………..12

مقدمة

بدأت هذا العام بدراسة موضوع جديد - الهندسة. يدرس هذا العلم خواص الأشكال الهندسية. في أحد الدروس درسنا نظرية مجموع زوايا المثلث. وبمساعدة البرهان توصلوا إلى أن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة.

تساءلت عما إذا كان هناك أي مثلثات لا يساوي مجموع زواياها 180 درجة؟

ثم وضعت نفسيهدف :

اكتشف متى لا يساوي مجموع زوايا المثلث 180 درجة؟

لقد قمت بتثبيت ما يليمهام :

التعرف على تاريخ الهندسة؛

تعرف على هندسة إقليدس، رومان، لوباتشيفسكي؛

أثبت تجريبياً أن مجموع زوايا المثلث لا يمكن أن يساوي 180 درجة.

الجزء الرئيسي

نشأت الهندسة وتطورت فيما يتعلق باحتياجات النشاط العملي البشري. عند بناء حتى الهياكل الأكثر بدائية، من الضروري أن تكون قادرا على حساب مقدار المواد التي سيتم إنفاقها على البناء، وحساب المسافات بين النقاط في الفضاء والزوايا بين الطائرات. يتطلب تطوير التجارة والملاحة القدرة على التنقل في الزمان والمكان.

لقد فعل علماء اليونان القديمة الكثير من أجل تطوير الهندسة. يرتبط الدليل الأول على الحقائق الهندسية بالاسمطاليس ميليتس.

ومن أشهر المدارس المدرسة الفيثاغورية، والتي سميت باسم مؤسسها صاحب براهين العديد من النظريات،فيثاغورس.

الهندسة التي تدرس في المدرسة تسمى الهندسة الإقليدية، سميت بهذا الاسمإقليدس - عالم يوناني قديم.

إقليدس عاش بالإسكندرية. وقام بتأليف كتاب "المبادئ" الشهير. لقد جعل الاتساق والدقة من هذا العمل مصدرًا للمعرفة الهندسية في العديد من البلدان حول العالم لأكثر من ألفي عام. حتى وقت قريب، كانت جميع الكتب المدرسية تقريبًا تشبه العناصر من نواحٍ عديدة.

ولكن في القرن التاسع عشر تبين أن بديهيات إقليدس ليست عالمية وليست صحيحة في جميع الظروف. الاكتشافات الرئيسية للنظام الهندسي الذي لا تكون فيه بديهيات إقليدس صحيحة، تم إجراؤها بواسطة جورج ريمان ونيكولاي لوباتشيفسكي. يتم التحدث عنهم كمبدعين للهندسة غير الإقليدية.

وهكذا، بناءً على تعاليم إقليدس وريمان ولوباشيفسكي، دعونا نحاول الإجابة على السؤال: هل مجموع زوايا المثلث يساوي دائمًا 180 درجة؟

التجارب

النظر في المثلث من وجهة نظر هندسيةإقليدس.

للقيام بذلك، دعونا نأخذ مثلثا.

لنرسم زواياها بالألوان الأحمر والأخضر والأزرق.

لنرسم خطًا مستقيمًا. هذه زاوية متطورة، وتساوي 180 درجة.

دعونا نقطع زوايا مثلثنا ونعلقها على الزاوية المكشوفة. نرى أن مجموع الزوايا الثلاث يساوي 180 درجة.

إحدى مراحل تطور الهندسة كانت الهندسة الإهليلجيةريمان. إحدى الحالات الخاصة لهذه الهندسة الإهليلجية هي الهندسة على الكرة. في هندسة ريمان، مجموع زوايا المثلث أكبر من 180 درجة.

إذن هذه كرة.

داخل هذه الكرة، يتم تشكيل مثلث من خطوط الطول وخط الاستواء. لنأخذ هذا المثلث ونرسم زواياه.

دعونا نقطعها ونربطها بخط مستقيم. نرى أن مجموع الزوايا الثلاث أكبر من 180 درجة.

في الهندسةلوباتشيفسكي مجموع زوايا المثلث أقل من 180 درجة.

تعتبر هذه الهندسة على سطح القطع المكافئ القطعي (هذا سطح مقعر يشبه السرج).

يمكن العثور على أمثلة على القطع المكافئة في الهندسة المعمارية.

وحتى رقائق برينجل هي مثال على القطع المكافئ.

دعونا نتحقق من مجموع الزوايا في نموذج القطع المكافئ الزائدي.

يتشكل مثلث على السطح.

لنأخذ هذا المثلث ونرسم زواياه ونقطعها ونضعها على خط مستقيم. والآن نرى أن مجموع الزوايا الثلاث أقل من 180 درجة.

خاتمة

وبذلك أثبتنا أن مجموع زوايا المثلث لا يساوي دائمًا 180 درجة.

يمكن أن يكون أكثر أو أقل.

خاتمة

وفي ختام عملي، أود أن أقول إنه كان من المثير للاهتمام العمل على هذا الموضوع. لقد تعلمت الكثير من الأشياء الجديدة بنفسي، وفي المستقبل، سأكون سعيدًا بدراسة هذه الهندسة المثيرة للاهتمام.

مصدر المعلومات

en.wikipedia.org

e-osnova.ru

vsishki.ru

yun.moluch.ru