Val ili funkcija. Valna funkcija i njezino statističko značenje. Vrste valne funkcije i njezin kolaps. Princip superpozicije valne funkcije

VALNA FUNKCIJA, u KVANTNOJ MEHANICI, funkcija koja vam omogućuje da pronađete vjerojatnost da je kvantni sustav u nekom stanju s u trenutku t. Obično se piše: (s) ili (s, t). Valna funkcija se koristi u SCHRÖDINGEROVOJ jednadžbi... Znanstveni i tehnički enciklopedijski rječnik

VALNA FUNKCIJA Moderna enciklopedija

Valna funkcija- VALNA FUNKCIJA, u kvantnoj mehanici glavna veličina (u općem slučaju složena) koja opisuje stanje sustava i omogućuje pronalaženje vjerojatnosti i prosječnih vrijednosti fizikalnih veličina koje karakteriziraju ovaj sustav. Valni modul kvadrata... ... Ilustrirani enciklopedijski rječnik

VALNA FUNKCIJA- (state vector) u kvantnoj mehanici glavna je veličina koja opisuje stanje sustava i omogućuje pronalaženje vjerojatnosti i prosječnih vrijednosti fizičkih veličina koje ga karakteriziraju. Kvadratni modul valne funkcije jednak je vjerojatnosti danog... ... Veliki enciklopedijski rječnik

VALNA FUNKCIJA- u kvantnoj mehanici (amplituda vjerojatnosti, vektor stanja), veličina koja potpuno opisuje stanje mikroobjekta (elektrona, protona, atoma, molekule) i općenito bilo kojeg kvanta. sustava. Opis stanja mikroobjekta pomoću V.f. Ima… … Fizička enciklopedija

valna funkcija- - [L.G.Sumenko. Englesko-ruski rječnik o informacijskoj tehnologiji. M.: Državno poduzeće TsNIIS, 2003.] Teme informacijske tehnologije općenito EN valna funkcija ... Vodič za tehničke prevoditelje

valna funkcija- (amplituda vjerojatnosti, vektor stanja), u kvantnoj mehanici glavna veličina koja opisuje stanje sustava i omogućuje pronalaženje vjerojatnosti i prosječnih vrijednosti fizičkih veličina koje ga karakteriziraju. Kvadratni modul valne funkcije je... ... enciklopedijski rječnik

valna funkcija- banginė funkcija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. valna funkcija vok. Wellenfunktion, f rus. valna funkcija, f; valna funkcija, f pranc. fonction d’onde, f … Fizikos terminų žodynas

valna funkcija- banginė funkcija statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydis, apibūdinantis mikrodalelių ar jų sistemų fizikinę būseną. atitikmenys: engl. valna funkcija rus. valna funkcija... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

VALNA FUNKCIJA- složena funkcija koja opisuje stanje kvantne mehanike. sustav i omogućuje pronalaženje vjerojatnosti i usp. značenja fizičkih karakteristika koje karakterizira. količinama Kvadratni modul V. f. jednaka je vjerojatnosti danog stanja, stoga V.f. nazvao također amplituda..... Prirodna znanost. enciklopedijski rječnik

knjige

, B.K.Novosadov. Monografija je posvećena dosljednom prikazu kvantne teorije molekularnih sustava, kao i rješavanju valnih jednadžbi u nerelativističkoj i relativističkoj kvantnoj mehanici molekula.... Kupite za 882 UAH (samo Ukrajina)
Metode matematičke fizike molekularnih sustava, Novosadov B.K.. Monografija je posvećena dosljednom prikazu kvantne teorije molekularnih sustava, kao i rješavanju valnih jednadžbi u nerelativističkoj i relativističkoj kvantnoj mehanici molekula.…

VALNA FUNKCIJA Moderna enciklopedija

knjige

, B.K.Novosadov. Monografija je posvećena dosljednom prikazu kvantne teorije molekularnih sustava, kao i rješavanju valnih jednadžbi u nerelativističkoj i relativističkoj kvantnoj mehanici molekula.... Kupite za 882 UAH (samo Ukrajina)
Metode matematičke fizike molekularnih sustava, Novosadov B.K.. Monografija je posvećena dosljednom prikazu kvantne teorije molekularnih sustava, kao i rješavanju valnih jednadžbi u nerelativističkoj i relativističkoj kvantnoj mehanici molekula.…

Kao što znate, glavni zadatak klasične mehanike je odrediti položaj makro-objekta u bilo kojem trenutku. Da biste to učinili, sastavlja se sustav jednadžbi čije nam rješenje omogućuje da saznamo ovisnost vektora radijusa o vremenu t. U klasičnoj mehanici, stanje čestice dok se giba u svakom trenutku dano je s dvije veličine: radijus vektorom i količinom gibanja. Dakle, klasični opis gibanja čestice vrijedi ako se ono događa u području s karakterističnom veličinom mnogo većom od de Broglieve valne duljine. Inače (npr. u blizini atomske jezgre) treba uzeti u obzir valna svojstva mikročestica. Na ograničenu primjenjivost klasičnog opisa mikroobjekata koji imaju valna svojstva ukazuju odnosi nesigurnosti.

Uzimajući u obzir prisutnost valnih svojstava mikročestice, njezino se stanje u kvantnoj mehanici specificira pomoću određene funkcije koordinata i vremena (x, y, z, t) , nazvao val ili - funkcija . U kvantnoj fizici uvodi se složena funkcija koja opisuje čisto stanje objekta, a koja se naziva valna funkcija. U najčešćem tumačenju ova se funkcija povezuje s vjerojatnošću otkrivanja objekta u nekom od čistih stanja (kvadrat modula valne funkcije predstavlja gustoću vjerojatnosti).

Nakon što smo odustali od opisa gibanja čestice putanjama dobivenim iz zakona dinamike, a umjesto toga odredili valnu funkciju, potrebno je uvesti jednadžbu ekvivalentnu Newtonovim zakonima koja daje recept za pronalaženje rješenja pojedinih fizikalnih problema. Takva jednadžba je Schrödingerova jednadžba.

Naziva se teorija koja opisuje kretanje malih čestica uzimajući u obzir njihova valna svojstva kvantni , ili valna mehanika. Mnoge odredbe ove teorije izgledaju čudne i neobične s gledišta ideja koje su se razvile u proučavanju klasične fizike. Uvijek treba imati na umu da je kriterij ispravnosti teorije, koliko god se to u početku čudno činilo, podudarnost njezinih posljedica s eksperimentalnim podacima. Kvantna mehanika u svom području (struktura i svojstva atoma, molekula i dijelom atomskih jezgri) savršeno je potvrđena iskustvom.

Valna funkcija opisuje stanje čestice u svim točkama prostora i za bilo koji trenutak u vremenu. Da bismo razumjeli fizičko značenje valne funkcije, okrenimo se pokusima o difrakciji elektrona. (Pokusi Thomsona i Tartakovskog o prolasku elektrona kroz tanku metalnu foliju). Ispada da se jasni difrakcijski obrasci otkrivaju čak i ako su pojedinačni elektroni usmjereni na metu, tj. kada se svaki sljedeći elektron emitira nakon što prethodni stigne do ekrana. Nakon dovoljno dugog bombardiranja, slika na ekranu će točno odgovarati onoj koja se dobije kada se veliki broj elektrona istovremeno usmjeri na metu.

Iz ovoga možemo zaključiti da je kretanje svake mikročestice pojedinačno, uključujući i mjesto njezine detekcije, podložno statističkim (probabilističkim) zakonima, a kada se jedan elektron usmjeri na metu, točka na ekranu u kojoj će biti snimljeno je 100% sigurno unaprijed -Nemoguće je sa sigurnošću predvidjeti.

U Thomsonovim difrakcijskim pokusima na fotografskoj ploči formiran je sustav tamnih koncentričnih prstenova. Slobodno se može reći da vjerojatnost detekcije (pogađanja) svakog emitiranog elektrona na različitim mjestima na fotografskoj ploči nije ista. U području tamnih koncentričnih prstenova ta je vjerojatnost veća nego u drugim područjima zaslona. Distribucija elektrona po cijelom ekranu pokazuje se istom kao distribucija intenziteta elektromagnetskog vala u sličnom difrakcijskom pokusu: gdje je intenzitet rendgenskog vala visok, u Thomsonovom pokusu se bilježe mnoge čestice, a gdje je intenzitet slab, čestice se gotovo i ne pojavljuju.

S valnog gledišta, prisutnost maksimalnog broja elektrona u nekim smjerovima znači da ti smjerovi odgovaraju najvećem intenzitetu de Broglieovog vala. To je poslužilo kao osnova za statističku (probabilističku) interpretaciju de Broglieovog vala. Valna funkcija je upravo matematički izraz koji nam omogućuje da opišemo širenje vala u prostoru. Konkretno, vjerojatnost pronalaska čestice u određenom području prostora proporcionalna je kvadratu amplitude vala povezanog s česticom.

Za jednodimenzionalno gibanje (npr. u smjeru osi Vol) vjerojatnost dP otkrivanje čestice u razmaku između točaka x I x + dx u određenom trenutku t jednak

dP = , (6.1)

gdje | (x,t)| 2 = (x,t) *(x,t) je kvadrat modula valne funkcije (simbol * označava kompleksnu konjugaciju).

Općenito, kada se čestica kreće u trodimenzionalnom prostoru, vjerojatnost dP detekcija čestice u točki s koordinatama (x,y,z) unutar infinitezimalnog volumena dV dana je sličnom jednadžbom : dP =|(x,y,z,t)|2 dV. Born je prvi dao probabilističku interpretaciju valne funkcije 1926. godine.

Vjerojatnost detekcije čestice u cijelom beskonačnom prostoru jednaka je jedinici. To implicira uvjet za normalizaciju valne funkcije:

. (6.2)

Vrijednost je gustoća vjerojatnosti , ili, što je isto, distribucija gustoće koordinata čestica. U najjednostavnijem slučaju jednodimenzionalnog gibanja čestice duž osi VOL prosječna vrijednost njegove koordinate izračunava se sljedećom relacijom:

<x(t)>= . (6.3)

Da bi valna funkcija bila objektivna karakteristika stanja mikročestice, mora zadovoljiti niz restriktivnih uvjeta. Funkcija Ψ, koja karakterizira vjerojatnost otkrivanja mikročestice u elementu volumena, mora biti konačna (vjerojatnost ne može biti veća od jedan), jednoznačna (vjerojatnost ne može biti dvosmislena vrijednost), kontinuirana (vjerojatnost se ne može naglo mijenjati) i glatko (bez pregiba) u cijelom prostoru.

Valna funkcija zadovoljava načelo superpozicije: ako sustav može biti u različitim stanjima opisanim valnim funkcijama Ψ1, Ψ2, Ψ n, tada može biti u stanju opisanom linearnom kombinacijom ovih funkcija:

Gdje Cn(n= 1, 2, 3) su proizvoljni, općenito govoreći, složeni brojevi.

Zbrajanje valnih funkcija (amplitude vjerojatnosti određene kvadratom modula valnih funkcija) fundamentalno razlikuje kvantnu teoriju od klasične statističke teorije, u kojoj teorem o zbrajanju vjerojatnosti vrijedi za neovisne događaje.

Valna funkcija Ψ glavna je karakteristika stanja mikroobjekata.

Na primjer, prosječna udaljenost<r> elektron jezgre izračunava se po formuli:

gdje se proračuni provode kao u slučaju (6.3). Stoga je u difrakcijskim eksperimentima nemoguće točno predvidjeti gdje će određeni elektron biti zabilježen na ekranu, čak i ako unaprijed znamo njegovu valnu funkciju. Može se samo s određenom vjerojatnošću pretpostaviti da će elektron biti fiksiran na određenom mjestu. To je razlika između ponašanja kvantnih objekata i klasičnih. U klasičnoj mehanici, pri opisivanju kretanja makrotijela, sa 100%-tnom vjerojatnošću unaprijed smo znali gdje će se materijalna točka (primjerice svemirska postaja) u svakom trenutku nalaziti u prostoru.

De Broglie je upotrijebio koncept faznih valova (valovi materije ili de Broglie valovi) kako bi vizualno protumačio Bohrovo pravilo za kvantiziranje orbita elektrona u atomu u slučaju atoma s jednim elektronom. Ispitivao je fazni val koji putuje oko jezgre u kružnoj orbiti elektrona. Ako cijeli broj ovih valova stane duž duljine orbite, tada će se val, obilazeći jezgru, svaki put vratiti u početnu točku s istom fazom i amplitudom. U tom slučaju orbita postaje stacionarna i nema zračenja. De Broglie je zapisao uvjet za stacionarnu orbitu ili pravilo kvantizacije u obliku:

Gdje R- radijus kružne orbite, P- cijeli broj (glavni kvantni broj). Pretpostavljajući ovdje i uzimajući u obzir to L=RP je kutni moment elektrona, dobivamo:

što se poklapa s Bohrovim pravilom za kvantiziranje orbita elektrona u atomu vodika.

Naknadno je uvjet (6.5) generaliziran na slučaj eliptičnih orbita, kada valna duljina varira duž putanje elektrona. Međutim, u razmišljanjima de Brogliea pretpostavljeno je da se val ne širi u prostoru, već duž linije - duž stacionarne orbite elektrona. Ova se aproksimacija može koristiti u graničnom slučaju kada je valna duljina zanemariva u usporedbi s polumjerom orbite elektrona.

Valna funkcija, ili psi funkcija ψ (\displaystyle \psi )- funkcija kompleksnih vrijednosti koja se koristi u kvantnoj mehanici za opisivanje čistog stanja sustava. Je koeficijent širenja vektora stanja preko baze (obično koordinatne):

| ψ (t) ⟩ = ∫ Ψ (x , t) | x ⟩ d x (\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx)

Gdje | x⟩ = | x 1 , x 2 , … , x n ⟩ (\displaystyle \left|x\right\rangle =\left|x_(1),x_(2),\ldots ,x_(n)\right\rangle ) je vektor koordinatne baze, i Ψ(x, t) = ⟨x | ψ (t) ⟩ (\displaystyle \Psi (x,t)=\langle x\lijevo|\psi (t)\desno\rangle )- valna funkcija u koordinatnom prikazu.

Normalizacija valne funkcije

Valna funkcija Ψ (\displaystyle \Psi ) u svom značenju mora zadovoljiti tzv. uvjet normalizacije, na primjer, u koordinatnom prikazu koji ima oblik:

∫ V Ψ ∗ Ψ d V = 1 (\displaystyle (\int \limits _(V)(\Psi ^(\ast )\Psi )dV)=1)

Ovaj uvjet izražava činjenicu da je vjerojatnost pronalaska čestice sa zadanom valnom funkcijom bilo gdje u prostoru jednaka jedinici. U općem slučaju, integracija se mora provesti preko svih varijabli o kojima ovisi valna funkcija u danom prikazu.

Princip superpozicije kvantnih stanja

Za valne funkcije vrijedi princip superpozicije koji se sastoji u tome da ako sustav može biti u stanjima opisanim valnim funkcijama Ψ 1 (\displaystyle \Psi _(1)) I Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(2)), tada može biti i u stanju opisanom valnom funkcijom

Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+c_(2)\Psi _(2)) za bilo koji kompleks c 1 (\displaystyle c_(1)) I c 2 (\displaystyle c_(2)).

Očito se može govoriti o superpoziciji (adiciji) bilo kojeg broja kvantnih stanja, odnosno o postojanju kvantnog stanja sustava, koje opisuje valna funkcija Ψ Σ = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + … + c N Ψ N = ∑ n = 1 N c n Ψ n (\displaystyle \Psi _(\Sigma )=c_(1)\Psi _(1)+ c_(2)\Psi _(2)+\ldots +(c)_(N)(\Psi )_(N)=\zbroj _(n=1)^(N)(c)_(n)( \Psi )_(n)).

U ovom stanju, kvadrat modula koeficijenta c n (\displaystyle (c)_(n)) određuje vjerojatnost da će, kada se mjeri, sustav biti otkriven u stanju opisanom valnom funkcijom Ψ n (\displaystyle (\Psi )_(n)).

Prema tome, za normalizirane valne funkcije ∑ n = 1 N | c n | 2 = 1 (\displaystyle \sum _(n=1)^(N)\lijevo|c_(n)\desno|^(2)=1).

Uvjeti pravilnosti valne funkcije

Probibilističko značenje valne funkcije nameće određena ograničenja, ili uvjete, na valne funkcije u problemima kvantne mehanike. Ovi standardni uvjeti često se nazivaju uvjeti pravilnosti valne funkcije.

Valna funkcija u različitim prikazima stanja koriste se u različitim prikazima – odgovarat će izrazu istog vektora u različitim koordinatnim sustavima. Ostale operacije s valnim funkcijama također će imati analogije u jeziku vektora. U valnoj mehanici koristi se prikaz gdje su argumenti psi funkcije potpuni sustav stalan komutirajući observabli, a matrični prikaz koristi prikaz gdje su argumenti psi funkcije potpuni sustav diskretna commuting observables. Stoga su funkcionalna (valna) i matrična formulacija očito matematički ekvivalentne.
korpuskularno - valni dualizam u kvantnoj fizici stanje čestice opisuje se pomoću valne funkcije ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-funkcija).
Definicija 1

Valna funkcija je funkcija koja se koristi u kvantnoj mehanici. Opisuje stanje sustava koji ima dimenzije u prostoru. To je vektor stanja.
Ova je funkcija složena i formalno ima valna svojstva. Kretanje bilo koje čestice mikrosvijeta određeno je probabilističkim zakonima. Distribucija vjerojatnosti se otkriva kada se provodi veliki broj promatranja (mjerenja) ili velik broj čestica. Dobivena raspodjela slična je raspodjeli intenziteta valova. Odnosno, na mjestima s najvećim intenzitetom bilježi se najveći broj čestica.
Skup argumenata valne funkcije određuje njenu reprezentaciju. Stoga je moguć koordinatni prikaz: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, prikaz impulsa: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$, itd.
U kvantnoj fizici cilj nije točno predvidjeti događaj, već procijeniti vjerojatnost određenog događaja. Znajući vrijednost vjerojatnosti, pronađite prosječne vrijednosti fizičkih veličina. Valna funkcija omogućuje pronalaženje takvih vjerojatnosti.

Stoga se vjerojatnost prisutnosti mikročestice u volumenu dV u trenutku t može definirati kao:
gdje je $\psi^*$ kompleksna funkcija konjugirana funkciji $\psi.$ Gustoća vjerojatnosti (vjerojatnost po jedinici volumena) jednaka je:
Vjerojatnost je veličina koja se može promatrati u pokusu. Istovremeno, valna funkcija nije dostupna za promatranje, jer je složena (u klasičnoj fizici, parametri koji karakteriziraju stanje čestice dostupni su za promatranje).

Uvjet normalizacije za $\psi$-funkciju

Valna funkcija određena je do proizvoljnog konstantnog faktora. Ova činjenica ne utječe na stanje čestice koje $\psi$-funkcija opisuje. Međutim, valna funkcija je odabrana na takav način da zadovoljava uvjet normalizacije:

gdje se integral uzima po cijelom prostoru ili po području u kojem valna funkcija nije nula. Uvjet normalizacije (2) znači da je u cijelom području gdje je $\psi\ne 0$ čestica pouzdano prisutna. Valna funkcija koja ispunjava uvjet normalizacije naziva se normalizirana. Ako je $(\left|\psi\right|)^2=0$, onda ovaj uvjet znači da sigurno nema čestica u području koje se proučava.

Normalizacija oblika (2) moguća je s diskretnim spektrom svojstvenih vrijednosti.

Uvjet normalizacije možda neće biti izvediv. Dakle, ako je $\psi$ ravni de Broglie val i vjerojatnost pronalaska čestice je ista za sve točke u prostoru. Ovi se slučajevi smatraju idealnim modelom u kojem je čestica prisutna u velikom, ali ograničenom području prostora.

Princip superpozicije valne funkcije

Ovaj princip je jedan od glavnih postulata kvantne teorije. Njegovo značenje je sljedeće: ako su za neki sustav moguća stanja koja su opisana valnim funkcijama $\psi_1\ (\rm and)\ $$\psi_2$, tada za taj sustav postoji stanje:

gdje su $C_(1\ )i\ C_2$ konstantni koeficijenti. Načelo superpozicije potvrđeno je empirijski.

Možemo govoriti o dodavanju bilo kojeg broja kvantnih stanja:

gdje je $(\left|C_n\right|)^2$ vjerojatnost da se sustav nađe u stanju koje je opisano valnom funkcijom $\psi_n.$ Za valne funkcije koje podliježu uvjetu normalizacije (2), zadovoljen je sljedeći uvjet:

Stacionarna stanja

U kvantnoj teoriji posebnu ulogu imaju stacionarna stanja (stanja u kojima se svi vidljivi fizikalni parametri ne mijenjaju tijekom vremena). (Sama valna funkcija je fundamentalno nevidljiva.) U stabilnom stanju $\psi$-funkcija ima oblik:

gdje $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ne ovisi o vremenu, $E$ je energija čestice. Uz oblik (3) valne funkcije, gustoća vjerojatnosti ($P$) je vremenska konstanta:

Iz fizičkih svojstava stacionarnih stanja slijede matematički zahtjevi za valnu funkciju $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Matematički zahtjevi za valnu funkciju za stacionarna stanja

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$- funkcija mora biti u svim točkama:

stalan,
nedvosmislen,
konačan.

Ako potencijalna energija ima površinu diskontinuiteta, tada na takvim površinama funkcija $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ i njezina prva derivacija moraju ostati kontinuirane. U području prostora gdje potencijalna energija postaje beskonačna, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ mora biti nula. Kontinuitet funkcije $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ zahtijeva da na bilo kojoj granici ovog područja $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$. Uvjet kontinuiteta nametnut je parcijalnim derivatima valne funkcije ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ djelomični z)$).

Primjer 1

Vježba: Za određenu česticu dana je valna funkcija oblika: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, gdje je $r$ udaljenost od čestice u središte sile (slika 1), $a=const$. Primijenite uvjet normalizacije, pronađite koeficijent normalizacije A.

Slika 1.

Riješenje:

Zapišimo uvjet normalizacije za naš slučaj u obliku:

\[\int((\lijevo|\psi\desno|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\lijevo(1,1\desno),))\]

gdje je $dV=4\pi r^2dr$ (vidi sliku 1. Iz uvjeta je jasno da problem ima sfernu simetriju). Iz uvjeta problema imamo:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a ))\lijevo(1,2\desno).\]

Zamijenimo $dV$ i valne funkcije (1.2) u uvjet normalizacije:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ pravo).)\]

Provedimo integraciju na lijevoj strani:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\lijevo(1,4\desno).)\]

Iz formule (1.4) izražavamo traženi koeficijent:

Odgovor:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

Primjer 2

Vježba: Koja je najvjerojatnija udaljenost ($r_B$) elektrona od jezgre ako se valna funkcija koja opisuje osnovno stanje elektrona u atomu vodika može definirati kao: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, gdje je $ r$ udaljenost od elektrona do jezgre, $a$ je prvi Bohrov radijus?

Riješenje:

Koristimo se formulom koja određuje vjerojatnost prisutnosti mikročestice u volumenu $dV$ u trenutku $t$:

gdje je $dV=4\pi r^2dr.\ $Dakle, imamo:

U ovom slučaju pišemo $p=\frac(dP)(dr)$ kao:

Za određivanje najvjerojatnije udaljenosti, derivacija $\frac(dp)(dr)$ jednaka je nuli:

\[(\lijevo.\frac(dp)(dr)\desno|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\lijevo(-\frac(2)(a)\desno)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\lijevo(1- \frac(r)(a)\desno)=0(2,4)\]

Kako nam rješenje $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ ne odgovara, ide ovako: