Kaj je logaritem? Reševanje logaritmov. Primeri. Lastnosti logaritmov. Opredelitev logaritma in njegovih lastnosti: teorija in reševanje problemov

Logaritem pozitivnega števila b na osnovi a (a>0, a ni enako 1) je število c tako, da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Upoštevajte, da je logaritem nepozitivnega števila nedefiniran. Poleg tega mora biti osnova logaritma pozitivno število, ki ni enako 1. Na primer, če kvadriramo -2, dobimo število 4, vendar to ne pomeni, da je osnova -2 logaritema 4 enaka do 2.

Osnovna logaritemska identiteta

Pomembno je, da je obseg definicije desne in leve strani te formule različen. Leva stran je definirana samo za b>0, a>0 in a ≠ 1. Desna stran je definirana za poljuben b in sploh ni odvisna od a. Tako lahko uporaba osnovne logaritemske "identitete" pri reševanju enačb in neenačb povzroči spremembo OD.

Dve očitni posledici definicije logaritma

Dejansko dobimo pri dvigu števila a na prvo potenco enako število, pri dvigu na ničelno potenco pa enoto.

Logaritem produkta in logaritem količnika

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Šolarje bi rad posvaril pred nepremišljeno uporabo teh formul pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb. Pri njihovi uporabi »od leve proti desni« se ODZ zoži, pri prehodu od vsote ali razlike logaritmov na logaritem produkta ali količnika pa se ODZ razširi.

Dejansko je izraz log a (f (x) g (x)) definiran v dveh primerih: ko sta obe funkciji strogo pozitivni ali ko sta f(x) in g(x) obe manjši od nič.

Če ta izraz pretvorimo v vsoto log a f (x) + log a g (x) , smo se prisiljeni omejiti le na primer, ko je f(x)>0 in g(x)>0. Obstaja zoženje obsega sprejemljivih vrednosti, kar je kategorično nesprejemljivo, saj lahko povzroči izgubo rešitev. Podoben problem obstaja za formulo (6).

Stopnjo lahko vzamemo iz znaka logaritma

In spet bi rad pozval k natančnosti. Razmislite o naslednjem primeru:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Leva stran enakosti je očitno definirana za vse vrednosti f(x), razen nič. Desna stran je samo za f(x)>0! Z odvzemom stopnje logaritmu ponovno zožimo ODZ. Obratni postopek vodi do razširitve območja sprejemljivih vrednosti. Vse te opombe ne veljajo samo za potencijo 2, ampak tudi za katero koli sodo potencijo.

Formula za prehod na novo podlago

Tisti redki primer, ko se ODZ med transformacijo ne spremeni. Če ste pametno izbrali osnovo c (pozitivno in ne enako 1), je formula za prehod na novo osnovo popolnoma varna.

Če za novo osnovo c izberemo število b, dobimo pomemben poseben primer formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nekaj ​​preprostih primerov z logaritmi

Primer 1. Izračunajte: log2 + log50.
rešitev. log2 + log50 = log100 = 2. Uporabili smo formulo za vsoto logaritmov (5) in definicijo decimalnega logaritma.

Primer 2. Izračunajte: lg125/lg5.
rešitev. log125/log5 = log 5 125 = 3. Uporabili smo formulo za premik na novo bazo (8).

Tabela formul, povezanih z logaritmi

Nadaljujemo s preučevanjem logaritmov. V tem članku bomo govorili o računanje logaritmov, se ta postopek imenuje logaritem. Najprej bomo razumeli izračun logaritmov po definiciji. Nato si poglejmo, kako se vrednosti logaritmov najdejo z uporabo njihovih lastnosti. Po tem se bomo osredotočili na izračun logaritmov skozi prvotno določene vrednosti drugih logaritmov. Na koncu se naučimo uporabljati logaritemske tabele. Celotna teorija je opremljena s primeri s podrobnimi rešitvami.

Navigacija po strani.

Računanje logaritmov po definiciji

V najpreprostejših primerih je to mogoče izvesti precej hitro in enostavno iskanje logaritma po definiciji. Oglejmo si podrobneje, kako poteka ta proces.

Njegovo bistvo je predstaviti število b v obliki a c, iz katere je po definiciji logaritma število c vrednost logaritma. To pomeni, da po definiciji naslednja veriga enačb ustreza iskanju logaritma: log a b=log a a c =c.

Torej se izračun logaritma po definiciji zmanjša na iskanje števila c, tako da je a c = b, samo število c pa je želena vrednost logaritma.

Ob upoštevanju informacij iz prejšnjih odstavkov, ko je število pod znakom logaritma podano z določeno potenco osnove logaritma, lahko takoj navedete, čemu je logaritem enak - je enak eksponentu. Pokažimo rešitve na primerih.

Primer.

Poiščite log 2 2 −3 in izračunajte tudi naravni logaritem števila e 5,3.

rešitev.

Definicija logaritma nam omogoča, da takoj rečemo, da je log 2 2 −3 =−3. Dejansko je število pod znakom logaritma enako osnovi 2 na potenco −3.

Podobno najdemo drugi logaritem: lne 5,3 =5,3.

odgovor:

log 2 2 −3 =−3 in lne 5,3 =5,3.

Če število b pod znakom za logaritem ni določeno kot potenca osnove logaritma, potem morate skrbno pogledati, ali je možno priti do predstavitve števila b v obliki a c . Pogosto je ta predstavitev povsem očitna, zlasti kadar je število pod znakom logaritma enako osnovi na potenco 1, ali 2, ali 3, ...

Primer.

Izračunajte logaritme log 5 25 , in .

rešitev.

Preprosto je videti, da je 25=5 2, kar vam omogoča izračun prvega logaritma: log 5 25=log 5 5 2 =2.

Pojdimo k izračunu drugega logaritma. Število je mogoče predstaviti kot potenco števila 7: (poglejte, če je potrebno). torej .

Prepišimo tretji logaritem v naslednji obliki. Zdaj lahko to vidite , iz česar sklepamo, da . Zato po definiciji logaritma .

Rešitev bi lahko na kratko zapisali takole: .

odgovor:

log 5 25=2 , in .

Kadar je pod znakom za logaritem dovolj veliko naravno število, ga ne škodi razračunati na prafaktorje. Pogosto pomaga, če tako število predstavimo kot neko potenco osnove logaritma in zato ta logaritem izračunamo po definiciji.

Primer.

Poiščite vrednost logaritma.

rešitev.

Nekatere lastnosti logaritmov vam omogočajo, da takoj določite vrednost logaritmov. Te lastnosti vključujejo lastnost logaritma ena in lastnost logaritma števila, ki je enako osnovi: log 1 1=log a a 0 =0 in log a a=log a a 1 =1. To pomeni, da je pod znakom logaritma številka 1 ali številka a, ki je enaka osnovi logaritma, potem sta v teh primerih logaritma enaka 0 oziroma 1.

Primer.

Čemu so enaki logaritmi in log10?

rešitev.

Ker , potem iz definicije logaritma sledi .

V drugem primeru se število 10 pod znakom za logaritem ujema s svojo osnovo, zato je decimalni logaritem desetice enak ena, to je lg10=lg10 1 =1.

odgovor:

IN lg10=1 .

Upoštevajte, da izračun logaritmov po definiciji (o katerem smo govorili v prejšnjem odstavku) implicira uporabo enakosti log a a p =p, kar je ena od lastnosti logaritmov.

V praksi, ko je število pod znakom logaritma in osnova logaritma enostavno predstavljeno kot potenca določenega števila, je zelo priročno uporabiti formulo , kar ustreza eni od lastnosti logaritmov. Oglejmo si primer iskanja logaritma, ki ponazarja uporabo te formule.

Primer.

Izračunajte logaritem.

rešitev.

odgovor:

.

Lastnosti logaritmov, ki niso omenjene zgoraj, se uporabljajo tudi pri izračunih, vendar bomo o tem govorili v naslednjih odstavkih.

Iskanje logaritmov preko drugih znanih logaritmov

Informacije v tem odstavku nadaljujejo temo uporabe lastnosti logaritmov pri njihovem izračunu. Toda tukaj je glavna razlika ta, da se lastnosti logaritmov uporabljajo za izražanje prvotnega logaritma v smislu drugega logaritma, katerega vrednost je znana. Za pojasnilo navedimo primer. Recimo, da vemo, da je log 2 3≈1,584963, potem lahko najdemo na primer log 2 6 z majhno transformacijo z uporabo lastnosti logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

V zgornjem primeru je bilo dovolj, da smo uporabili lastnost logaritma produkta. Vendar pa je veliko pogosteje treba uporabiti širši arzenal lastnosti logaritmov, da izračunamo prvotni logaritem preko danih.

Primer.

Izračunajte logaritem 27 na osnovo 60, če veste, da je log 60 2=a in log 60 5=b.

rešitev.

Najti moramo torej dnevnik 60 27 . Lahko vidimo, da je 27 = 3 3 , prvotni logaritem pa lahko zaradi lastnosti logaritma potence prepišemo kot 3·log 60 3 .

Zdaj pa poglejmo, kako izraziti log 60 3 z znanimi logaritmi. Lastnost logaritma števila, ki je enako osnovi, nam omogoča, da zapisujemo log enakosti 60 60=1. Po drugi strani pa je log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . torej 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. torej log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.

Na koncu izračunamo prvotni logaritem: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

odgovor:

log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.

Ločeno je treba omeniti pomen formule za prehod na novo osnovo logaritma oblike . Omogoča premik od logaritmov s katero koli osnovo do logaritmov z določeno osnovo, katerih vrednosti so znane ali jih je mogoče najti. Običajno se iz prvotnega logaritma s prehodno formulo premaknejo na logaritme v eni od osnov 2, e ali 10, saj za te baze obstajajo tabele logaritmov, ki omogočajo izračun njihovih vrednosti z določeno stopnjo natančnost. V naslednjem odstavku bomo pokazali, kako se to naredi.

Logaritemske tabele in njihova uporaba

Za približen izračun lahko uporabite vrednosti logaritmov logaritemske tabele. Najpogosteje uporabljena tabela logaritmov z osnovo 2, tabela naravnih logaritmov in tabela decimalnih logaritmov. Pri delu v decimalnem številskem sistemu je priročno uporabljati tabelo logaritmov, ki temelji na osnovi deset. Z njegovo pomočjo se bomo naučili poiskati vrednosti logaritmov.

Predstavljena tabela vam omogoča, da poiščete vrednosti decimalnih logaritmov števil od 1.000 do 9.999 (s tremi decimalnimi mesti) z natančnostjo ene desettisočinke. Analizirali bomo načelo iskanja vrednosti logaritma s tabelo decimalnih logaritmov na posebnem primeru - tako je jasnejše. Poiščimo log1.256.

V levem stolpcu tabele decimalnih logaritmov najdemo prvi dve števki števila 1,256, torej najdemo 1,2 (to število je zaradi jasnosti obkroženo z modro barvo). Tretja števka števila 1,256 (številka 5) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici levo od dvojne črte (to število je obkroženo z rdečo barvo). Četrta številka prvotnega števila 1.256 (številka 6) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici desno od dvojne črte (to število je obkroženo z zeleno črto). Sedaj najdemo številke v celicah logaritemske tabele na presečišču označene vrstice in označenih stolpcev (te številke so označene oranžno). Vsota označenih števil daje želeno vrednost decimalnega logaritma natančno na četrto decimalno mesto, to je log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.

Ali je mogoče z uporabo zgornje tabele najti vrednosti decimalnih logaritmov števil, ki imajo več kot tri števke za decimalno vejico, pa tudi tistih, ki presegajo obseg od 1 do 9,999? Ja lahko. Pokažimo, kako se to naredi s primerom.

Izračunajmo lg102,76332. Najprej morate zapisati številko v standardni obliki: 102,76332=1,0276332·10 2. Po tem je treba mantiso zaokrožiti na tretjo decimalno mesto, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, medtem ko je prvotni decimalni logaritem približno enak logaritmu dobljenega števila, to pomeni, da vzamemo log102,76332≈lg1,028·10 2. Zdaj uporabimo lastnosti logaritma: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Nazadnje najdemo vrednost logaritma lg1,028 iz tabele decimalnih logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Kot rezultat, celoten postopek izračuna logaritma izgleda takole: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.

Na koncu velja omeniti, da lahko s tabelo decimalnih logaritmov izračunate približno vrednost katerega koli logaritma. Če želite to narediti, je dovolj, da uporabite formulo prehoda, da greste na decimalne logaritme, poiščete njihove vrednosti v tabeli in izvedete preostale izračune.

Na primer, izračunajmo log 2 3 . Po formuli za prehod na novo osnovo logaritma imamo . Iz tabele decimalnih logaritmov najdemo log3≈0,4771 in log2≈0,3010. torej .

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).

Logaritme, tako kot vsa števila, lahko seštevamo, odštevamo in preoblikujemo na vse načine. Ker pa logaritmi niso ravno navadna števila, so tukaj pravila, ki se imenujejo glavne lastnosti.

Ta pravila vsekakor morate poznati - brez njih ni mogoče rešiti niti enega resnega logaritemskega problema. Poleg tega jih je zelo malo - vsega se lahko naučiš v enem dnevu. Pa začnimo.

Seštevanje in odštevanje logaritmov

Razmislite o dveh logaritmih z enakimi osnovami: log a x in dnevnik a l. Nato jih je mogoče seštevati in odštevati in:

1. dnevnik a x+log a l=log a (x · l);
2. dnevnik a x− dnevnik a l=log a (x : l).

Torej je vsota logaritmov enaka logaritmu produkta, razlika pa je enaka logaritmu količnika. Prosimo, upoštevajte: ključna točka je enake podlage. Če so razlogi drugačni, ta pravila ne delujejo!

Te formule vam bodo pomagale izračunati logaritemski izraz, tudi če ne upoštevate njegovih posameznih delov (glejte lekcijo »Kaj je logaritem«). Oglejte si primere in si oglejte:

Dnevnik 6 4 + dnevnik 6 9.

Ker imajo logaritmi enake osnove, uporabimo formulo za vsoto:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 2 48 − log 2 3.

Osnove so enake, uporabljamo formulo razlike:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 3 135 − log 3 5.

Osnove so spet enake, tako da imamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Kot lahko vidite, so prvotni izrazi sestavljeni iz "slabih" logaritmov, ki se ne izračunajo posebej. A po transformacijah dobimo povsem normalne številke. Mnogi testi temeljijo na tem dejstvu. Da, na Enotnem državnem izpitu so izrazi, podobni testom, na voljo z vso resnostjo (včasih skoraj brez sprememb).

Ekstrakcija eksponenta iz logaritma

Zdaj pa malo zapletimo nalogo. Kaj pa, če je osnova ali argument logaritma potenca? Nato lahko eksponent te stopnje vzamemo iz znaka logaritma po naslednjih pravilih:

Zlahka je videti, da zadnje pravilo sledi prvima dvema. Vendar je bolje, da si ga vseeno zapomnite - v nekaterih primerih bo to znatno zmanjšalo količino izračunov.

Seveda so vsa ta pravila smiselna, če se upošteva ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x> 0. In še nekaj: naučite se uporabljati vse formule ne samo od leve proti desni, ampak tudi obratno, tj. Številke pred znakom za logaritem lahko vnesete v sam logaritem. To je tisto, kar se najpogosteje zahteva.

Naloga. Poišči vrednost izraza: log 7 49 6 .

Znebimo se stopnje v argumentu s prvo formulo:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Naloga. Poiščite pomen izraza:

[Napis k sliki]

Upoštevajte, da imenovalec vsebuje logaritem, katerega osnova in argument sta natančni potenci: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Imamo:

Mislim, da zadnji primer zahteva nekaj pojasnila. Kam so izginili logaritmi? Do zadnjega trenutka delamo samo z imenovalcem. Osnovo in argument logaritma, ki stoji tam, smo predstavili v obliki potenc in vzeli eksponente - dobili smo "trinadstropni" ulomek.

Zdaj pa poglejmo glavni del. Števec in imenovalec vsebujeta isto število: log 2 7. Ker je log 2 7 ≠ 0, lahko ulomek skrajšamo - 2/4 bo ostalo v imenovalcu. Po aritmetičnih pravilih lahko štiri prenesemo v števec, kar je bilo tudi storjeno. Rezultat je bil odgovor: 2.

Prehod na novo podlago

Ko sem govoril o pravilih seštevanja in odštevanja logaritmov, sem posebej poudaril, da delujejo le z enakimi osnovami. Kaj pa, če so razlogi drugačni? Kaj pa, če nista natančni potenci istega števila?

Na pomoč pridejo formule za prehod na novo podlago. Oblikujmo jih v obliki izreka:

Naj bo dan logaritem a x. Potem za poljubno število c tako da c> 0 in c≠ 1 velja enakost:

[Napis k sliki]

Še posebej, če postavimo c = x, dobimo:

[Napis k sliki]

Iz druge formule sledi, da lahko osnovo in argument logaritma zamenjamo, vendar je v tem primeru celoten izraz "obrnjen", tj. logaritem se pojavi v imenovalcu.

Te formule redko najdemo v običajnih številskih izrazih. Kako priročni so, je mogoče oceniti le pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb.

Vendar pa obstajajo težave, ki jih sploh ni mogoče rešiti, razen s prehodom na novo podlago. Oglejmo si nekaj teh:

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 5 16 log 2 25.

Upoštevajte, da argumenta obeh logaritmov vsebujejo natančne potence. Izločimo indikatorje: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Zdaj pa "obrnimo" drugi logaritem:

Ker se zmnožek pri preurejanju faktorjev ne spremeni, smo mirno pomnožili štiri in dva, nato pa se lotili logaritmov.

Naloga. Poiščite vrednost izraza: log 9 100 lg 3.

Osnova in argument prvega logaritma sta natančni potenci. Zapišimo to in se znebimo indikatorjev:

Zdaj pa se znebimo decimalnega logaritma s premikom na novo osnovo:

Osnovna logaritemska identiteta

Pogosto je treba v procesu reševanja število predstaviti kot logaritem na dano osnovo. V tem primeru nam bodo pomagale naslednje formule:

V prvem primeru številka n postane pokazatelj stopnje veljave v argumentu. številka n je lahko popolnoma karkoli, ker je samo vrednost logaritma.

Druga formula je pravzaprav parafrazirana definicija. Temu se reče: osnovna logaritemska identiteta.

Pravzaprav, kaj se bo zgodilo, če bo številka b dvigniti na takšno moč, da število b tej moči daje število a? Tako je: dobite isto številko a. Še enkrat natančno preberite ta odstavek - veliko ljudi se mu zatakne.

Tako kot formule za prehod na novo bazo je osnovna logaritemska identiteta včasih edina možna rešitev.

Naloga. Poiščite pomen izraza:

[Napis k sliki]

Upoštevajte, da je log 25 64 = log 5 8 - preprosto vzel kvadrat iz osnove in argumenta logaritma. Ob upoštevanju pravil za množenje potenc z isto bazo dobimo:

Če kdo ne ve, je bila to prava naloga iz enotnega državnega izpita :)

Logaritemska enota in logaritemska ničla

Za zaključek bom podal dve identiteti, ki ju težko imenujemo lastnosti - prej sta posledici definicije logaritma. Nenehno se pojavljajo v težavah in, presenetljivo, delajo težave tudi »naprednejšim« študentom.

1. dnevnik a a= 1 je logaritemska enota. Zapomnite si enkrat za vselej: logaritem na poljubno osnovo a iz te baze je enako ena.
2. dnevnik a 1 = 0 je logaritemska ničla. Osnova a je lahko karkoli, če pa argument vsebuje ena, je logaritem enak nič! Ker a 0 = 1 je neposredna posledica definicije.

To so vse lastnosti. Bodite prepričani, da jih vadite v praksi! Prenesite goljufijo na začetku lekcije, jo natisnite in rešite naloge.

Danes bomo govorili o logaritemske formule in dali bomo okvirno primeri rešitev.

Sami nakazujejo vzorce rešitev glede na osnovne lastnosti logaritmov. Preden uporabimo logaritemske formule za reševanje, naj vas spomnimo na vse lastnosti:

Zdaj bomo na podlagi teh formul (lastnosti) pokazali primeri reševanja logaritmov.

Primeri reševanja logaritmov na podlagi formul.

Logaritem pozitivno število b na osnovo a (označeno z log a b) je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo b, pri čemer je b > 0, a > 0 in 1.

Po definiciji je log a b = x, kar je enakovredno a x = b, torej log a a x = x.

Logaritmi, primeri:

log 2 8 = 3, ker 2 3 = 8

dnevnik 7 49 = 2, ker 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, ker 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritem- to je navaden logaritem, katerega osnova je 10. Označena je kot lg.

log 10 100 = 2, ker 10 2 = 100

Naravni logaritem- tudi navaden logaritem logaritem, vendar z osnovo e (e = 2,71828... - iracionalno število). Označeno kot ln.

Formule oziroma lastnosti logaritmov si je priporočljivo zapomniti, saj jih bomo kasneje potrebovali pri reševanju logaritmov, logaritemskih enačb in neenačb. Ponovno preučimo vsako formulo s primeri.

• Osnovna logaritemska identiteta
  hlod a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritem količnika je enak razliki logaritmov
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Lastnosti potence logaritemskega števila in osnove logaritma

  Eksponent logaritemskega števila log a b m = mlog a b

  Eksponent osnove logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  če je m = n, dobimo log a n b n = log a b

  dnevnik 4 9 = dnevnik 2 2 3 2 = dnevnik 2 3

• Prehod na novo podlago
  log a b = log c b/log c a,

  če je c = b, dobimo log b b = 1

  potem je log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kot lahko vidite, formule za logaritme niso tako zapletene, kot se zdijo. Zdaj, ko smo si ogledali primere reševanja logaritmov, lahko preidemo na logaritemske enačbe. Primere reševanja logaritemskih enačb si bomo podrobneje ogledali v članku: "". Ne spreglejte!

Če imate še vedno vprašanja o rešitvi, jih napišite v komentarje k članku.

Opomba: odločili smo se za drug razred izobraževanja in študij v tujini kot možnost.

V povezavi z

lahko se zastavi naloga, da najde katero koli od treh števil iz drugih dveh danih. Če sta podana a in nato N, ju najdemo s potenciranjem. Če sta N in nato a podana s korenom stopnje x (ali potenco). Zdaj razmislite o primeru, ko moramo glede na a in N najti x.

Naj bo število N pozitivno: število a bo pozitivno in ne enako ena: .

Opredelitev. Logaritem števila N na osnovo a je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo število N; logaritem je označen z

Tako je v enačbi (26.1) eksponent najden kot logaritem N na osnovo a. Objave

imajo enak pomen. Enakost (26.1) včasih imenujemo glavna identiteta teorije logaritmov; v resnici izraža definicijo pojma logaritem. Po tej definiciji je osnova logaritma a vedno pozitivna in različna od enote; logaritemsko število N je pozitivno. Negativna števila in ničla nimajo logaritmov. Lahko se dokaže, da ima vsako število z dano osnovo točno definiran logaritem. Enakost torej vključuje. Upoštevajte, da je pogoj tukaj bistven; sicer sklep ne bi bil upravičen, saj enakost velja za vse vrednosti x in y.

Primer 1. Najdi

rešitev. Če želite dobiti število, morate osnovo 2 dvigniti na potenco Torej.

Pri reševanju takšnih primerov lahko naredite opombe v naslednji obliki:

Primer 2. Najdi .

rešitev. Imamo

V primerih 1 in 2 smo enostavno našli želeni logaritem tako, da smo logaritemsko število predstavili kot potenco osnove z racionalnim eksponentom. V splošnem primeru, na primer za itd., Tega ni mogoče storiti, ker ima logaritem iracionalno vrednost. Bodimo pozorni na eno vprašanje, povezano s to izjavo. V 12. odstavku smo podali koncept možnosti določitve poljubne realne potence danega pozitivnega števila. To je bilo potrebno za uvedbo logaritmov, ki so na splošno lahko iracionalna števila.

Oglejmo si nekaj lastnosti logaritmov.

Lastnost 1. Če sta število in osnova enaka, je logaritem enak ena, in obratno, če je logaritem enak ena, sta število in osnova enaki.

Dokaz. Naj Po definiciji logaritma imamo in od koder

Nasprotno pa naj Potem po definiciji

Lastnost 2. Logaritem ena na poljubno osnovo je enak nič.

Dokaz. Po definiciji logaritma (ničelna potenca katere koli pozitivne baze je enaka ena, glej (10.1)). Od tod

Q.E.D.

Velja tudi obratna izjava: če je , potem je N = 1. Dejansko imamo .

Preden formuliramo naslednjo lastnost logaritmov, se dogovorimo, da dve števili a in b ležita na isti strani tretjega števila c, če sta obe večji ali manjši od c. Če je eno od teh števil večje od c, drugo pa manjše od c, potem bomo rekli, da ležijo na nasprotnih straneh c.

Lastnost 3. Če ležita število in osnova na isti strani ene, je logaritem pozitiven; Če ležita število in osnova na nasprotnih straneh ena, je logaritem negativen.

Dokaz lastnosti 3 temelji na dejstvu, da je potenca a večja od ena, če je osnova večja od ena in je eksponent pozitiven ali če je osnova manjša od ena in je eksponent negativen. Potencija je manjša od ena, če je osnova večja od ena in je eksponent negativen ali če je osnova manjša od ena in je eksponent pozitiven.

Upoštevati je treba štiri primere:

Omejili se bomo na analizo prvega od njih, ostale bo bralec obravnaval sam.

Naj potem v enakosti eksponent ne more biti niti negativen niti enak nič, torej je pozitiven, torej kot je treba dokazati.

Primer 3. Ugotovite, kateri od spodnjih logaritmov so pozitivni in kateri negativni:

Rešitev, a) ker se število 15 in osnova 12 nahajata na isti strani ene;

b) ker sta 1000 in 2 na eni strani enote; v tem primeru ni pomembno, da je osnova večja od logaritemskega števila;

c) ker 3,1 in 0,8 ležita na nasprotnih straneh enote;

G) ; Zakaj?

d) ; Zakaj?

Naslednje lastnosti 4-6 se pogosto imenujejo pravila logaritmiranja: omogočajo, da ob poznavanju logaritmov nekaterih števil najdete logaritme njihovega produkta, količnika in moči vsakega od njih.

Lastnost 4 (pravilo produktnega logaritma). Logaritem zmnožka več pozitivnih števil na dano osnovo je enak vsoti logaritmov teh števil na isto osnovo.

Dokaz. Naj bodo podana števila pozitivna.

Za logaritem njihovega produkta zapišemo enakost (26.1), ki določa logaritem:

Od tu bomo našli

Če primerjamo eksponente prvega in zadnjega izraza, dobimo zahtevano enakost:

Upoštevajte, da je pogoj bistven; logaritem zmnožka dveh negativnih števil je smiseln, vendar v tem primeru dobimo

Na splošno, če je produkt več faktorjev pozitiven, potem je njegov logaritem enak vsoti logaritmov absolutnih vrednosti teh faktorjev.

Lastnost 5 (pravilo za logaritmiranje količnikov). Logaritem količnika pozitivnih števil je enak razliki med logaritmama dividende in delitelja, vzetima na isto osnovo. Dokaz. Dosledno ugotavljamo

Q.E.D.

Lastnost 6 (pravilo potenčnega logaritma). Logaritem potence katerega koli pozitivnega števila je enak logaritmu tega števila, pomnoženemu z eksponentom.

Dokaz. Ponovno zapišimo glavno identiteto (26.1) za število:

Q.E.D.

Posledica. Logaritem korena pozitivnega števila je enak logaritmu radikala, deljenemu z eksponentom korena:

Veljavnost te posledice je mogoče dokazati tako, da si predstavljate, kako in uporabite lastnost 6.

Primer 4. Vzemite logaritem za osnovo a:

a) (predpostavlja se, da so vse vrednosti b, c, d, e pozitivne);

b) (predpostavlja se, da ).

Rešitev, a) V tem izrazu je priročno iti na ulomke:

Na podlagi enakosti (26.5)-(26.7) lahko zdaj zapišemo:

Opazimo, da se z logaritmi števil izvajajo enostavnejše operacije kot s samimi števili: pri množenju se njihovi logaritmi seštevajo, pri deljenju se odštevajo itd.

Zato se v računalniški praksi uporabljajo logaritmi (glej odstavek 29).

Inverzno dejanje logaritmiranja imenujemo potenciranje, in sicer: potenciranje je dejanje, s katerim iz danega logaritma števila najdemo samo število. V bistvu potenciranje ni nobeno posebno dejanje: gre za povišanje osnove na potenco (enako logaritmu števila). Izraz "potenciranje" lahko štejemo za sinonim za izraz "potenciranje".

Pri potenciranju morate uporabiti pravila, inverzna pravilom logaritmiranja: vsoto logaritmov zamenjajte z logaritmom produkta, razliko logaritmov z logaritmom količnika itd. Še posebej, če je spredaj faktor predznaka logaritma, potem ga je treba med potenciranjem prenesti v eksponentne stopinje pod predznakom logaritma.

Primer 5. Poišči N, če je znano, da

rešitev. V zvezi s pravkar navedenim pravilom potenciranja bomo faktorja 2/3 in 1/3, ki stojita pred znaki logaritmov na desni strani te enakosti, prenesli v eksponente pod znaki teh logaritmov; dobimo

Zdaj zamenjamo razliko logaritmov z logaritmom količnika:

da bi dobili zadnji ulomek v tej verigi enačb, smo prejšnji ulomek osvobodili iracionalnosti v imenovalcu (klavzula 25).

Lastnost 7. Če je osnova večja od ena, ima večje število večji logaritem (in manjše manjši), če je osnova manjša od ena, ima večje število manjši logaritem (in manjše eden ima večjega).

Ta lastnost je formulirana tudi kot pravilo za logaritmiranje neenakosti, katerih obe strani sta pozitivni:

Pri logaritmiranju neenakosti na osnovo, večjo od ena, se predznak neenakosti ohrani, pri logaritmiranju na osnovo, manjšo od ena, pa se predznak neenakosti spremeni v nasprotno (glej tudi odstavek 80).

Dokaz temelji na lastnostih 5 in 3. Razmislite o primeru, ko Če , potem in ob logaritmiranju dobimo

(a in N/M ležita na isti strani enote). Od tod

Primer a sledi, bralec bo ugotovil sam.