Formula q geometrijske progresije. Formula za n-ti člen geometrijske progresije

Geometrijsko napredovanje v matematiki nič manj pomembna kot aritmetika. Geometrijska progresija je zaporedje števil b1, b2,..., b[n], katerega vsak naslednji člen dobimo tako, da prejšnjega pomnožimo s stalnim številom. Ta številka, ki označuje tudi stopnjo rasti ali zmanjšanja napredovanja, se imenuje imenovalec geometrijske progresije in označujejo

Za popolno določitev geometrijske progresije je poleg imenovalca potrebno poznati oziroma določiti njen prvi člen. Pri pozitivni vrednosti imenovalca je progresija monotono zaporedje in če je to zaporedje števil monotono padajoče in če monotono naraščajoče. Primera, ko je imenovalec enak ena, v praksi ne upoštevamo, saj imamo zaporedje enakih števil, njihovo seštevanje pa praktično ni zanimivo.

Splošni izraz geometrijske progresije izračunano po formuli

Vsota prvih n členov geometrijske progresije določeno s formulo

Oglejmo si rešitve klasičnih problemov geometrijske progresije. Začnimo z najpreprostejšimi za razumevanje.

Primer 1. Prvi člen geometrijske progresije je 27, njen imenovalec pa 1/3. Poiščite prvih šest členov geometrijskega napredovanja.

Rešitev: Zapišimo pogoj problema v obrazec

Za izračun uporabljamo formulo za n-ti člen geometrijske progresije

Na podlagi tega najdemo neznane člene napredovanja

Kot lahko vidite, izračunavanje pogojev geometrijske progresije ni težko. Samo napredovanje bo izgledalo takole

Primer 2. Podani so prvi trije členi geometrijske progresije: 6; -12; 24. Poišči imenovalec in njegov sedmi člen.

Rešitev: Izračunamo imenovalec geometrične progresije na podlagi njene definicije

Dobili smo izmenično geometrijsko progresijo, katere imenovalec je enak -2. Sedmi člen se izračuna po formuli

To reši problem.

Primer 3. Geometrična progresija je podana z dvema členoma . Poiščite deseti člen napredovanja.

rešitev:

Zapišimo dane vrednosti s formulami

Po pravilih bi morali poiskati imenovalec in nato poiskati želeno vrednost, vendar imamo za deseti člen

Enako formulo lahko dobimo na podlagi preprostih manipulacij z vhodnimi podatki. Šesti člen serije razdelite na drugega, kot rezultat dobimo

Če dobljeno vrednost pomnožimo s šestim členom, dobimo desetega

Tako lahko za tovrstne probleme s preprostimi transformacijami na hiter način najdete pravo rešitev.

Primer 4. Geometrijsko napredovanje je podano s ponavljajočimi se formulami

Poiščite imenovalec geometrijske progresije in vsoto prvih šestih členov.

rešitev:

Zapišimo podane podatke v obliki sistema enačb

Izrazite imenovalec tako, da drugo enačbo delite s prvo

Poiščimo prvi člen napredovanja iz prve enačbe

Izračunajmo naslednjih pet členov, da bi našli vsoto geometrijske progresije

Formula za n-ti člen geometrijske progresije je zelo preprosta. Tako po pomenu kot po splošni podobi. Toda pri formuli n-tega člena obstajajo vse vrste težav - od zelo primitivnih do zelo resnih. In v procesu našega poznanstva bomo zagotovo upoštevali oboje. No, se spoznajmo?)

Torej, pravzaprav za začetek formulan

Tukaj je:

b n = b 1 · qn -1

Formula je le formula, nič nadnaravnega. Videti je še bolj preprosto in kompaktno kot podobna formula za. Tudi pomen formule je preprost kot škornji iz klobučevine.

Ta formula vam omogoča, da poiščete KATERI KOLI člen geometrijskega napredovanja PO NJEGOVEM ŠTEVILU " n".

Kot lahko vidite, je pomen popolna analogija z aritmetično progresijo. Število n poznamo – pod to številko lahko štejemo tudi člen. Katerega hočemo. Brez večkratnega množenja s "q" veliko, velikokrat. To je bistvo.)

Razumem, da bi vam morale biti na tej stopnji dela s progresijami vse količine, ki so vključene v formulo, že jasne, vendar vseeno menim, da je moja dolžnost, da vsako dešifriram. Za vsak slučaj.

Torej, gremo:

b 1 – prvičlen geometrijske progresije;

q – ;

n– člansko številko;

b n – n-ti (nth)člen geometrijske progresije.

Ta formula povezuje štiri glavne parametre katere koli geometrijske progresije - bn, b 1 , q in n. In vse težave pri napredovanju se vrtijo okoli teh štirih ključnih številk.

"Kako se odstrani?"– slišim radovedno vprašanje ... Osnovno! poglej!

Čemu je enako drugočlan napredovanja? Brez problema! Pišemo neposredno:

b 2 = b 1 ·q

Kaj pa tretji član? Tudi ni problem! Drugi člen pomnožimo še enkrat naprejq.

Všečkaj to:

B 3 = b 2 q

Spomnimo se, da je drugi člen enak b 1 ·q in ta izraz nadomestimo v našo enakost:

B 3 = b 2 q = (b 1 q) q = b 1 q q = b 1 q 2

Dobimo:

B 3 = b 1 ·q 2

Zdaj pa preberimo naš vnos v ruščini: tretjičlen je enak prvemu členu, pomnoženemu s q in drugo stopnje. Ali razumeš? Ne še? V redu, še en korak.

Kaj je četrti izraz? Vse enako! Pomnožite prejšnji(tj. tretji člen) na q:

B 4 = b 3 q = (b 1 q 2) q = b 1 q 2 q = b 1 q 3

Skupaj:

B 4 = b 1 ·q 3

In spet prevajamo v ruščino: četrtičlen je enak prvemu členu, pomnoženemu s q in tretji stopnje.

In tako naprej. Kako je torej? Ste ujeli vzorec? ja! Za kateri koli člen s poljubnim številom bo število enakih faktorjev q (tj. stopnja imenovalca) vedno enega manj od števila želenega članan.

Zato bo naša formula brez možnosti:

b n =b 1 · qn -1

To je vse.)

No, verjetno rešimo težave?)

Reševanje problemov s formulaminčlen geometrijskega napredovanja.

Začnimo, kot običajno, z neposredno uporabo formule. Tukaj je tipična težava:

V geometrijskem napredovanju je znano, da b 1 = 512 in q = -1/2. Poiščite deseti člen napredovanja.

Seveda je ta problem mogoče rešiti brez kakršnih koli formul. Neposredno v smislu geometrijske progresije. Vendar se moramo ogreti s formulo za n-ti člen, kajne? Tukaj se ogrevamo.

Naši podatki za uporabo formule so naslednji.

Prvi član je znan. To je 512.

b 1 = 512.

Znan je tudi imenovalec napredovanja: q = -1/2.

Vse, kar ostane, je ugotoviti, koliko je število členov n. Brez problema! Nas zanima deseti mandat? Zato v splošno formulo nadomestimo deset namesto n.

In natančno izračunajte aritmetiko:

Odgovor: -1

Kot lahko vidite, se je deseti člen napredovanja izkazal za minus. Nič presenetljivega: naš imenovalec napredovanja je -1/2, tj. negativnoštevilo. In to nam pove, da se znaki našega napredovanja izmenjujejo, da.)

Tukaj je vse preprosto. Tukaj je podoben problem, vendar nekoliko bolj zapleten v smislu izračunov.

V geometrijski progresiji je znano, da:

b 1 = 3

Poiščite trinajsti člen napredovanja.

Vse je po starem, le da je tokrat imenovalec napredovanja neracionalno. Koren iz dva. No, to je v redu. Formula je univerzalna stvar, kos je vsem številkam.

Delamo neposredno po formuli:

Formula je seveda delovala, kot bi morala, ampak ... tukaj se nekaterim zatakne. Kaj storiti s korenom? Kako dvigniti koren na dvanajsto potenco?

Kako-kako ... Morate razumeti, da je vsaka formula seveda dobra stvar, vendar znanje vse prejšnje matematike ni preklicano! Kako graditi? Da, zapomnite si lastnosti stopinj! Spremenimo koren v delna stopnja in – po formuli za povišanje diplome v diplomo.

Všečkaj to:

Odgovor: 192

In to je vse.)

Kaj je glavna težava pri neposredni uporabi formule n-tega člena? ja! Glavna težava je delo z diplomami! In sicer dvigovanje negativnih števil, ulomkov, korenov in podobnih konstrukcij na potence. Torej tisti, ki imate s tem težave, prosim ponovite stopnje in njihove lastnosti! Sicer boš tudi to temo upočasnil, ja...)

Zdaj pa rešimo tipične težave pri iskanju eden od elementov formule, če so podani vsi drugi. Za uspešno reševanje tovrstnih težav je recept enoten in strašno preprost - napiši formulon-th član nasploh! Kar v zvezku zraven pogoja. In potem iz pogojev razberemo, kaj nam je dano in kaj manjka. In izrazimo želeno vrednost iz formule. Vse!

Na primer, tako neškodljiva težava.

Peti člen geometrijske progresije z imenovalcem 3 je 567. Poiščite prvi člen te progresije.

Nič zapletenega. Delamo neposredno po uroku.

Zapišimo formulo za n-ti člen!

b n = b 1 · qn -1

Kaj nam je dano? Najprej je podan imenovalec napredovanja: q = 3.

Poleg tega nam je dano peti član: b 5 = 567 .

Vsi? ne! Tudi mi smo dobili številko n! To je pet: n = 5.

Upam, da že razumete, kaj je na posnetku b 5 = 567 dva parametra sta skrita hkrati - to je sam peti izraz (567) in njegova številka (5). O tem sem že govoril v podobni lekciji, vendar mislim, da je vredno omeniti tudi tukaj.)

Zdaj svoje podatke nadomestimo s formulo:

567 = b 1 ·3 5-1

Izvedemo aritmetiko, poenostavimo in dobimo preprosto linearno enačbo:

81 b 1 = 567

Rešimo in dobimo:

b 1 = 7

Kot lahko vidite, z iskanjem prvega izraza ni težav. Toda pri iskanju imenovalca q in številke n Lahko pride tudi do presenečenj. In tudi nanje morate biti pripravljeni (presenečenja), ja.)

Na primer ta težava:

Peti člen geometrijske progresije s pozitivnim imenovalcem je 162, prvi člen te progresije pa je 2. Poiščite imenovalec progresije.

Tokrat dobimo prvi in ​​peti člen in najdemo imenovalec napredovanja. Izvolite.

Napišemo formulonth član!

b n = b 1 · qn -1

Naši začetni podatki bodo naslednji:

b 5 = 162

b 1 = 2

n = 5

Manjkajoča vrednost q. Brez problema! Poiščimo zdaj.) V formulo nadomestimo vse, kar vemo.

Dobimo:

162 = 2q 5-1

2 q 4 = 162

q 4 = 81

Preprosta enačba četrte stopnje. In zdaj - previdno! Na tej stopnji rešitve mnogi učenci takoj veselo izluščijo koren (četrte stopnje) in dobijo odgovor q=3 .

Všečkaj to:

q4 = 81

q = 3

Toda pravzaprav je to nedokončan odgovor. Natančneje, nepopolno. Zakaj? Bistvo je, da je odgovor q = -3 primerno tudi: (-3) 4 bo tudi 81!

To je zato, ker enačba moči x n = a vedno ima dva nasprotna korena pri celon . S plusom in minusom:

Oba sta primerna.

Na primer pri odločanju (tj. drugo stopinj)

x 2 = 9

Iz neznanega razloga niste presenečeni nad videzom dva korenine x=±3? Tukaj je enako. In s katero koli drugo celo stopnja (četrta, šesta, deseta itd.) bodo enaki. Podrobnosti so v temi o

Zato bi bila pravilna rešitev:

q 4 = 81

q= ±3

V redu, uredili smo znake. Katera je pravilna - plus ali minus? No, ponovno preberimo izjavo o problemu v iskanju Dodatne informacije. Seveda morda ne obstaja, vendar v tej težavi takšne informacije na voljo. Naš pogoj v golem besedilu navaja, da je podana progresija pozitivni imenovalec.

Zato je odgovor očiten:

q = 3

Tukaj je vse preprosto. Kaj mislite, kaj bi se zgodilo, če bi bila izjava o problemu takšna:

Peti člen geometrijske progresije je 162, prvi člen te progresije pa je 2. Poiščite imenovalec progresije.

Kakšna je razlika? ja! V stanju nič predznak imenovalca ni omenjen. Niti neposredno niti posredno. In tukaj bi že imel problem dve rešitvi!

q = 3 in q = -3

Da Da! Tako s plusom kot z minusom.) Matematično bi to dejstvo pomenilo, da obstajajo dva napredovanja, ki ustrezajo pogojem problema. In vsak ima svoj imenovalec. Samo za zabavo vadite in zapišite prvih pet izrazov vsakega.)

Zdaj pa vadimo iskanje številke člana. Ta problem je najtežji, ja. Ampak tudi bolj ustvarjalen.)

Glede na geometrijsko progresijo:

3; 6; 12; 24; …

Katero število v tem napredovanju je število 768?

Prvi korak je še vedno enak: napiši formulonth član!

b n = b 1 · qn -1

In zdaj, kot običajno, vanj nadomestimo podatke, ki jih poznamo. Hm ... ne gre! Kje je prvi člen, kje je imenovalec, kje je vse ostalo?!

Kje, kje ... Zakaj potrebujemo oči? Utripate s trepalnicami? Tokrat nam je napredovanje podano neposredno v obrazcu zaporedja. Lahko vidimo prvega člana? Vidimo! To je trojka (b 1 = 3). Kaj pa imenovalec? Tega še ne vidimo, vendar ga je zelo enostavno prešteti. Če seveda razumeš...

Torej štejemo. Neposredno glede na pomen geometrijskega napredovanja: vzamemo katerega koli od njegovih členov (razen prvega) in delimo s prejšnjim.

Vsaj takole:

q = 24/12 = 2

Kaj še vemo? Poznamo tudi nek člen te progresije, enak 768. Pod neko številko n:

b n = 768

Ne poznamo njegove številke, a naša naloga je ravno to, da ga najdemo.) Torej iščemo. Vse potrebne podatke za zamenjavo v formulo smo že prenesli. Nevede.)

Tukaj nadomestimo:

768 = 3 2n -1

Naredimo elementarne - obe strani delimo s tri in enačbo prepišemo v običajni obliki: neznanka je na levi, znana je na desni.

Dobimo:

2 n -1 = 256

To je zanimiva enačba. Najti moramo "n". Kaj, nenavadno? Ja, ne trdim. Pravzaprav je to najenostavnejša stvar. Tako se imenuje, ker neznanka (v tem primeru je to številka n) stroški v indikator stopnje.

Na stopnji spoznavanja geometrijske progresije (to je deveti razred) te ne učijo reševati eksponentnih enačb, ja ... To je tema za srednjo šolo. Ampak ni nič strašnega. Tudi če ne veste, kako se takšne enačbe rešujejo, poskusimo najti našo n, ki ga vodita preprosta logika in zdrava pamet.

Začnimo govoriti. Na levi strani imamo dvojko do določene stopnje. Ne vemo še, kaj natančno je ta diploma, vendar to ni strašljivo. Zagotovo pa vemo, da je ta stopnja enaka 256! Torej si zapomnimo, v kolikšni meri nam dvojka daje 256. Se spomnite? ja! IN osmo stopnje!

256 = 2 8

Če se ne spomnite ali imate težave s prepoznavanjem stopinj, je tudi to v redu: samo zaporedno kvadrirajte dve, kocko, četrto, peto in tako naprej. Selekcija, pravzaprav, vendar na tej ravni bo delovala precej dobro.

Tako ali drugače dobimo:

2 n -1 = 2 8

n-1 = 8

n = 9

Torej 768 je devetičlan našega napredovanja. To je to, problem rešen.)

Odgovor: 9

Kaj? dolgočasno? Ste naveličani elementarnih stvari? Se strinjam. In jaz tudi. Pojdimo na naslednjo stopnjo.)

Bolj zapletene naloge.

Zdaj pa rešimo zahtevnejše probleme. Niso ravno super kul, a takšni, ki zahtevajo malo dela, da pridejo do odgovora.

Na primer ta.

Poiščite drugi člen geometrijskega napredovanja, če je njegov četrti člen -24 in sedmi člen 192.

To je klasika žanra. Znana sta dva različna izraza napredovanja, vendar je treba najti drug izraz. Poleg tega vsi člani NISO sosednji. Kar je na začetku zmedeno, ja ...

Tako kot pri reševanju takšnih težav bomo obravnavali dve metodi. Prva metoda je univerzalna. Algebraic. Deluje brezhibno z vsemi izvornimi podatki. Tu bomo torej začeli.)

Vsak izraz opišemo s formulo nth član!

Vse je popolnoma enako kot pri aritmetični progresiji. Samo tokrat delamo s drugo splošna formula. To je vse.) Toda bistvo je enako: vzamemo in enega po enega Začetne podatke nadomestimo s formulo za n-ti člen. Za vsakega člana - svoje.

Za četrti člen zapišemo:

b 4 = b 1 · q 3

-24 = b 1 · q 3

Jejte. Ena enačba je pripravljena.

Za sedmi člen zapišemo:

b 7 = b 1 · q 6

192 = b 1 · q 6

Skupaj smo dobili dve enačbi za enako napredovanje .

Iz njih sestavimo sistem:

Kljub grozečemu videzu je sistem precej preprost. Najbolj očitna rešitev je preprosta zamenjava. Izražamo b 1 iz zgornje enačbe in jo nadomestimo v spodnjo:

Po tem, ko smo se malo poigrali s spodnjo enačbo (zmanjšanje potenc in deljenje z -24), dobimo:

q 3 = -8

Mimogrede, do te iste enačbe je mogoče priti na enostavnejši način! Kateri? Zdaj vam bom pokazal še en skrivni, a zelo lep, močan in uporaben način reševanja takih sistemov. Takšni sistemi, katerih enačbe vključujejo samo dela. Vsaj v enem. Poklican metoda delitve eno enačbo v drugo.

Torej, pred nami je sistem:

V obeh enačbah na levi - delo, na desni pa je samo številka. To je zelo dober znak.) Vzemimo in... delimo, recimo, spodnjo enačbo z zgornjo! Kaj pomeni, delimo eno enačbo z drugo? Zelo preprosto. Vzemimo ga leva stran ena enačba (spodnja) in razdeliti ona na leva stran druga enačba (zgornja). Desna stran je podobna: desna stran ena enačba razdeliti na desna stran drugo.

Celoten postopek delitve izgleda takole:

Če zmanjšamo vse, kar je mogoče zmanjšati, dobimo:

q 3 = -8

Kaj je dobrega pri tej metodi? Da, saj se v procesu takšne delitve vse slabo in neprijetno lahko varno zmanjša in ostane popolnoma neškodljiva enačba! Zato je tako pomembno imeti samo množenje v vsaj eni od enačb sistema. Ni množenja - ni kaj zmanjšati, ja ...

Na splošno si ta metoda (kot mnoge druge netrivialne metode reševanja sistemov) celo zasluži ločeno lekcijo. Vsekakor si bom podrobneje ogledal. Nekega dne…

Vendar ni pomembno, kako natančno rešite sistem, v vsakem primeru moramo zdaj rešiti nastalo enačbo:

q 3 = -8

Ni problema: izvlecite kubični koren in končali ste!

Upoštevajte, da pri ekstrakciji tukaj ni treba dati plusa/minusa. Naš koren je lihe (tretje) stopnje. In odgovor je enak, da.)

Torej, imenovalec napredovanja je bil najden. Minus dva. Super! Postopek je v teku.)

Za prvi člen (recimo iz zgornje enačbe) dobimo:

Super! Poznamo prvi člen, poznamo imenovalec. In zdaj imamo priložnost najti katerega koli člana napredovanja. Vključno z drugim.)

Za drugi mandat je vse zelo preprosto:

b 2 = b 1 · q= 3·(-2) = -6

Odgovor: -6

Torej smo razčlenili algebraično metodo reševanja problema. Težko? Ne res, se strinjam. Dolgo in dolgočasno? Da, vsekakor. Toda včasih lahko znatno zmanjšate količino dela. Za to obstaja grafična metoda. Dobro staro in nam znano.)

Narišimo problem!

ja! točno tako. Spet upodabljamo naše napredovanje na številski osi. Ni treba slediti ravnilu, ni treba vzdrževati enakih intervalov med členi (ki, mimogrede, ne bodo enaki, saj je napredovanje geometrijsko!), ampak preprosto shematično Narišimo naše zaporedje.

Dobil sem takole:

Zdaj pa poglejte sliko in ugotovite. Koliko enakih faktorjev "q" loči četrti in sedmiččlani? Tako je, tri!

Zato imamo vso pravico zapisati:

-24·q 3 = 192

Od tu je zdaj preprosto najti q:

q 3 = -8

q = -2

To je super, imenovalec že imamo v žepu. Zdaj pa še enkrat poglejmo sliko: koliko takšnih imenovalcev je vmes drugo in četrtičlani? Dva! Zato bomo za zapis povezave med temi izrazi dvignili imenovalec na kvadrat.

Torej pišemo:

b 2 · q 2 = -24 , kje b 2 = -24/ q 2

Najdeni imenovalec zamenjamo v izraz za b 2, preštejemo in dobimo:

Odgovor: -6

Kot lahko vidite, je vse veliko preprostejše in hitrejše kot prek sistema. Še več, tukaj nam prvega termina sploh ni bilo treba šteti! Nasploh.)

Tukaj je tako preprosta in vizualna pot-luč. Ima pa tudi resno pomanjkljivost. Ste uganili? ja! Dobro je le za zelo kratke dele napredovanja. Tiste, kjer razdalje med člani, ki nas zanimajo, niso zelo velike. V vseh ostalih primerih pa je že težko narisati sliko, ja ... Potem problem rešujemo analitično, skozi sistem.) In sistemi so univerzalne stvari. Obvladajo poljubne številke.

Še en epski izziv:

Drugi člen geometrijskega napredovanja je 10 večji od prvega, tretji člen pa 30 večji od drugega. Poiščite imenovalec napredovanja.

Kaj, kul? Sploh ne! Vse enako. Izjavo problema ponovno prevedemo v čisto algebro.

1) Vsak člen opišemo s formulo nth član!

Drugi člen: b 2 = b 1 q

Tretji člen: b 3 = b 1 q 2

2) Iz naloge naloge zapišemo povezavo med členi.

Preberemo pogoj: "Drugi člen geometrijske progresije je 10 večji od prvega." Nehajte, to je dragoceno!

Torej pišemo:

b 2 = b 1 +10

In ta stavek prevedemo v čisto matematiko:

b 3 = b 2 +30

Dobili smo dve enačbi. Združimo jih v sistem:

Sistem je videti preprost. Za črke pa je preveč različnih indeksov. Zamenjajmo namesto drugega in tretjega člena njuna izraza skozi prvi člen in imenovalec! Ali smo jih zaman slikali?

Dobimo:

Ampak tak sistem ni več darilo, ja ... Kako to rešiti? Na žalost ni univerzalnega skrivnega uroka za reševanje kompleksov nelinearno Sistemov v matematiki ni in jih ne more biti. To je fantastično! Toda prva stvar, ki bi vam morala priti na misel, ko poskušate streti tako trd oreh, je ugotoviti Toda ali ni ena od enačb sistema reducirana v čudovito obliko, ki omogoča, na primer, enostavno izražanje ene od spremenljivk v smislu druge?

Ugotovimo. Prva enačba sistema je očitno enostavnejša od druge. Mučili ga bomo.) Ali ne bi morali poskusiti iz prve enačbe nekaj izraziti skozi nekaj? Ker želimo najti imenovalec q, potem bi bilo za nas najbolj ugodno izraziti b 1 skozi q.

Poskusimo torej izvesti ta postopek s prvo enačbo z uporabo dobrih starih:

b 1 q = b 1 +10

b 1 q – b 1 = 10

b 1 (q-1) = 10

Vse! Tako smo izrazili nepotrebno dajte nam spremenljivko (b 1) skozi potrebno(q). Da, to ni najpreprostejši izraz, ki ga imamo. Nekakšen delček ... Ampak naš sistem je na spodobni ravni, ja.)

Tipično. Vemo, kaj storiti.

Pišemo ODZ (Nujno!) :

q ≠ 1

Vse pomnožimo z imenovalcem (q-1) in prekličemo vse ulomke:

10 q 2 = 10 q + 30(q-1)

Vse delimo z deset, odpremo oklepaje in zberemo vse od leve:

q 2 – 4 q + 3 = 0

Rezultat rešimo in dobimo dva korena:

q 1 = 1

q 2 = 3

Končni odgovor je le en: q = 3 .

Odgovor: 3

Kot lahko vidite, je pot do rešitve večine problemov, ki vključujejo formulo n-tega člena geometrijske progresije, vedno enaka: preberi pozorno pogoj problema in z uporabo formule n-tega člena prevedemo vse koristne informacije v čisto algebro.

namreč:

1) Vsak člen, podan v nalogi, posebej opišemo po formulinth član.

2) Iz pogojev problema prevedemo povezavo med členi v matematično obliko. Sestavimo enačbo ali sistem enačb.

3) Nastalo enačbo ali sistem enačb rešimo, poiščemo neznane parametre progresije.

4) V primeru dvoumnega odgovora natančno preberite pogoje naloge in poiščite dodatne informacije (če obstajajo). Prejeti odgovor preverimo tudi s pogoji DL (če obstajajo).

Zdaj pa naštejmo glavne težave, ki najpogosteje vodijo do napak v procesu reševanja problemov geometrijske progresije.

1. Elementarna aritmetika. Operacije z ulomki in negativnimi števili.

2. Če imate težave z vsaj eno od teh treh točk, boste v tej temi neizogibno delali napake. Na žalost ... Zato ne bodite leni in ponovite zgoraj omenjeno. In sledite povezavam - pojdite. Včasih pomaga.)

Spremenjene in ponavljajoče se formule.

Zdaj pa si poglejmo nekaj tipičnih izpitnih težav z manj znano predstavitvijo stanja. Da, da, uganili ste! to spremenjeno in ponavljajoče se formule n-tega člena. S takimi formulami smo se že srečali in delali na aritmetični progresiji. Tukaj je vse podobno. Bistvo je isto.

Na primer, ta problem iz OGE:

Geometrijsko napredovanje podaja formula b n = 3 2 n . Poiščite vsoto njegovega prvega in četrtega člena.

Tokrat napredovanje pri nas ni tako kot običajno. V obliki nekakšne formule. Pa kaj? Ta formula je tudi formulanth član! Ti in jaz veva, da lahko formulo za n-ti izraz zapišemo tako v splošni obliki, s črkami kot za specifično napredovanje. Z specifična prvi člen in imenovalec.

V našem primeru nam je pravzaprav podana splošna terminska formula za geometrijsko progresijo z naslednjimi parametri:

b 1 = 6

q = 2

Bomo preverili?) Zapišimo formulo za n-ti člen v splošni obliki in jo nadomestimo v b 1 in q. Dobimo:

b n = b 1 · qn -1

b n= 6 2n -1

Poenostavimo z uporabo faktorizacije in lastnosti potenc in dobimo:

b n= 6 2n -1 = 3·2·2n -1 = 3 2n -1+1 = 3 2n

Kot vidite, je vse pošteno. Toda naš cilj ni prikazati izpeljavo določene formule. To je tako, lirična digresija. Čisto za razumevanje.) Naš cilj je rešiti problem z uporabo formule, ki nam je podana v pogoju. Ali razumete?) Torej delamo neposredno s spremenjeno formulo.

Štejemo prvi termin. Zamenjajmo n=1 v splošno formulo:

b 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

Všečkaj to. Mimogrede, ne bom len in vas še enkrat opozorim na tipično napako pri izračunu prvega izraza. NE, če pogledamo formulo b n= 3 2n, takoj hiti pisati, da je prvi rok trojka! To je velika napaka, ja ...)

Nadaljujmo. Zamenjajmo n=4 in preštejte četrti člen:

b 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

In končno izračunamo potrebno količino:

b 1 + b 4 = 6+48 = 54

Odgovor: 54

Druga težava.

Geometrijsko napredovanje določajo pogoji:

b 1 = -7;

b n +1 = 3 b n

Poiščite četrti člen napredovanja.

Tukaj je napredovanje podano s ponavljajočo se formulo. No, v redu.) Kako delati s to formulo – vemo tudi mi.

Torej ukrepamo. Korak za korakom.

1) Štejte dve zaporedničlan napredovanja.

Prvi mandat nam je že dan. Minus sedem. Toda naslednji, drugi člen, je mogoče enostavno izračunati s formulo ponavljanja. Če razumete načelo njegovega delovanja, seveda.)

Torej štejemo drugi mandat po znanem prvem:

b 2 = 3 b 1 = 3·(-7) = -21

2) Izračunaj imenovalec progresije

Tudi ni problema. Naravnost, razdelimo se drugo kurac na prvi.

Dobimo:

q = -21/(-7) = 3

3) Zapišite formulončlen v običajni obliki in izračunajte zahtevani člen.

Torej, poznamo prvi člen in tudi imenovalec. Torej pišemo:

b n= -7·3n -1

b 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

Odgovor: -189

Kot lahko vidite, se delo s takimi formulami za geometrijsko progresijo v bistvu ne razlikuje od dela za aritmetično progresijo. Pomembno je le razumeti splošno bistvo in pomen teh formul. No, razumeti morate tudi pomen geometrijskega napredovanja, ja.) In potem ne bo neumnih napak.

No, se odločimo sami?)

Zelo osnovne naloge za ogrevanje:

1. Glede na geometrijsko progresijo, v kateri b 1 = 243, a q = -2/3. Poiščite šesti člen napredovanja.

2. Splošni člen geometrijske progresije je podan s formulo b n = 5∙2 n +1 . Poiščite številko zadnjega trimestnega člena tega napredovanja.

3. Geometrijsko napredovanje je podano s pogoji:

b 1 = -3;

b n +1 = 6 b n

Poiščite peti člen napredovanja.

Malo bolj zapleteno:

4. Glede na geometrijsko progresijo:

b 1 =2048; q =-0,5

Čemu je enak šesti negativni člen?

Kaj se zdi super težko? Sploh ne. Rešila vas bo logika in razumevanje pomena geometrijske progresije. No, formula za n-ti člen, seveda.

5. Tretji člen geometrijske progresije je -14, osmi člen pa 112. Poiščite imenovalec progresije.

6. Vsota prvega in drugega člena geometrijske progresije je 75, vsota drugega in tretjega člena pa 150. Poišči šesti člen progresije.

Odgovori (v razsulu): 6; -3888; -1; 800; -32; 448.

To je skoraj vse. Vse, kar moramo storiti, je naučiti se šteti vsota prvih n členov geometrijske progresije da odkrijte neskončno padajoča geometrijska progresija in njegovo količino. Mimogrede, zelo zanimiva in nenavadna stvar! Več o tem v naslednjih lekcijah.)

>>Matematika: Geometrijsko napredovanje

Za udobje bralca je ta odstavek sestavljen natančno po istem načrtu, kot smo mu sledili v prejšnjem odstavku.

1. Osnovni pojmi.

Opredelitev.Številsko zaporedje, katerega vsi členi so različni od 0 in katerega vsak člen, začenši od drugega, dobimo iz prejšnjega člena tako, da ga pomnožimo z istim številom, imenujemo geometrijska progresija. V tem primeru se število 5 imenuje imenovalec geometrijskega napredovanja.

Geometrična progresija je torej numerično zaporedje (b n), ki ga ponavljajoče določajo razmerja

Ali je mogoče pogledati številsko zaporedje in ugotoviti, ali gre za geometrijsko napredovanje? Lahko. Če ste prepričani, da je razmerje med katerim koli članom zaporedja in prejšnjim članom konstantno, potem imate geometrijsko napredovanje.
Primer 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Primer 2.

To je geometrijsko napredovanje, ki ima
Primer 3.

To je geometrijsko napredovanje, ki ima
Primer 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

To je geometrijska progresija, v kateri je b 1 - 8, q = 1.

Upoštevajte, da je tudi to zaporedje aritmetična progresija (glej primer 3 iz § 15).

Primer 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

To je geometrijska progresija, v kateri je b 1 = 2, q = -1.

Očitno je geometrijsko napredovanje naraščajoče zaporedje, če je b 1 > 0, q > 1 (glej primer 1), in padajoče zaporedje, če je b 1 > 0, 0.< q < 1 (см. пример 2).

Da bi označili, da je zaporedje (b n) geometrijsko napredovanje, je včasih primeren naslednji zapis:

Ikona nadomešča frazo "geometrijsko napredovanje".
Opozorimo na eno radovedno in hkrati precej očitno lastnost geometrijskega napredovanja:
Če zaporedje je geometrijska progresija, potem je zaporedje kvadratov, tj. je geometrijsko napredovanje.
V drugi geometrijski progresiji je prvi člen enak in enak q 2.
Če v geometrijski progresiji zavržemo vse člene, ki sledijo b n , dobimo končno geometrijsko progresijo
V nadaljnjih odstavkih tega razdelka bomo obravnavali najpomembnejše lastnosti geometrijske progresije.

2. Formula za n-ti člen geometrijske progresije.

Razmislite o geometrijski progresiji imenovalec q. Imamo:

Ni težko uganiti, da enakost velja za vsako število n

To je formula za n-ti člen geometrijske progresije.

Komentiraj.

Če ste prebrali pomembno pripombo iz prejšnjega odstavka in jo razumeli, poskusite formulo (1) dokazati z metodo matematične indukcije, tako kot je bilo to storjeno za formulo za n-ti člen aritmetične progresije.

Prepišimo formulo za n-ti člen geometrijske progresije

in uvedemo zapis: Dobimo y = mq 2 ali, podrobneje,
Argument x je vsebovan v eksponentu, zato se ta funkcija imenuje eksponentna funkcija. To pomeni, da lahko geometrijsko progresijo obravnavamo kot eksponentno funkcijo, definirano na množici N naravnih števil. Na sl. 96a prikazuje graf funkcije sl. 966 - graf funkcije V obeh primerih imamo izolirane točke (z abscisami x = 1, x = 2, x = 3 itd.), ki ležijo na določeni krivulji (obe sliki prikazujeta isto krivuljo, le da sta različno locirani in upodobljeni v različnih merilih). Ta krivulja se imenuje eksponentna krivulja. Več podrobnosti o eksponentni funkciji in njenem grafu bomo obravnavali pri predmetu algebra za 11. razred.

Vrnimo se k primerom 1-5 iz prejšnjega odstavka.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . To je geometrijska progresija, za katero je b 1 = 1, q = 3. Ustvarimo formulo za n-ti člen
2) To je geometrijska progresija, za katero ustvarimo formulo za n-ti člen

To je geometrijsko napredovanje, ki ima Ustvarimo formulo za n-ti člen
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . To je geometrijska progresija, za katero je b 1 = 8, q = 1. Ustvarimo formulo za n-ti člen
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... To je geometrijska progresija, v kateri je b 1 = 2, q = -1. Ustvarimo formulo za n-ti člen

Primer 6.

Glede na geometrijsko progresijo

V vseh primerih rešitev temelji na formuli n-tega člena geometrijske progresije

a) Če v formulo za n-ti člen geometrijske progresije vnesemo n = 6, dobimo

b) Imamo

Ker je 512 = 2 9, dobimo n - 1 = 9, n = 10.

d) Imamo

Primer 7.

Razlika med sedmim in petim členom geometrijske progresije je 48, vsota petega in šestega člena progresije je prav tako 48. Poiščite dvanajsti člen te progresije.

Prva stopnja. Izdelava matematičnega modela.

Pogoje problema lahko na kratko zapišemo takole:

Z uporabo formule za n-ti člen geometrijske progresije dobimo:
Potem lahko drugi pogoj problema (b 7 - b 5 = 48) zapišemo kot

Tretji pogoj problema (b 5 + b 6 = 48) lahko zapišemo kot

Kot rezultat dobimo sistem dveh enačb z dvema spremenljivkama b 1 in q:

ki v kombinaciji z zgoraj napisanim pogojem 1) predstavlja matematični model problema.

Druga faza.

Delo s prevedenim modelom. Če izenačimo levi strani obeh enačb sistema, dobimo:

(obe strani enačbe smo delili z ničelnim izrazom b 1 q 4).

Iz enačbe q 2 - q - 2 = 0 najdemo q 1 = 2, q 2 = -1. Če zamenjamo vrednost q = 2 v drugo enačbo sistema, dobimo
Če nadomestimo vrednost q = -1 v drugo enačbo sistema, dobimo b 1 1 0 = 48; ta enačba nima rešitev.

Torej, b 1 =1, q = 2 - ta par je rešitev sestavljenega sistema enačb.

Zdaj lahko zapišemo geometrijsko progresijo, ki je obravnavana v nalogi: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ....

Tretja stopnja.

Odgovor na problemsko vprašanje. Izračunati morate b 12. Imamo

Odgovor: b 12 = 2048.

3. Formula za vsoto členov končne geometrijske progresije.

Naj bo podana končna geometrijska progresija

Označimo s S n vsoto njegovih členov, tj.

Izpeljimo formulo za iskanje tega zneska.

Začnimo z najpreprostejšim primerom, ko je q = 1. Potem je geometrijska progresija b 1 , b 2 , b 3 ,..., bn sestavljena iz n števil, ki so enaka b 1 , tj. napredovanje je videti kot b 1, b 2, b 3, ..., b 4. Vsota teh števil je nb 1.

Naj bo zdaj q = 1. Za iskanje S n uporabimo umetno tehniko: izvedemo nekaj transformacij izraza S n q. Imamo:

Pri izvajanju transformacij smo najprej uporabili definicijo geometrijske progresije, po kateri (glej tretjo vrstico sklepanja); drugič so seštevali in odštevali, zaradi česar se pomen izraza seveda ni spremenil (glej četrto vrstico sklepanja); tretjič, uporabili smo formulo za n-ti člen geometrijske progresije:

Iz formule (1) najdemo:

To je formula za vsoto n členov geometrijske progresije (za primer, ko je q = 1).

Primer 8.

Glede na končno geometrijsko progresijo

a) vsota pogojev napredovanja; b) vsoto kvadratov njegovih členov.

b) Zgoraj (glej str. 132) smo že ugotovili, da če vse člene geometrijske progresije kvadriramo, dobimo geometrijsko progresijo s prvim členom b 2 in imenovalcem q 2. Nato bo vsota šestih členov novega napredovanja izračunana z

Primer 9.

Poiščite 8. člen geometrijskega napredovanja, za katerega

Pravzaprav smo dokazali naslednji izrek.

Numerično zaporedje je geometrijsko napredovanje, če in samo če je kvadrat vsakega od njegovih členov, razen prvega izreka (in zadnjega, v primeru končnega zaporedja), enak zmnožku predhodnega in naslednjih členov (a značilna lastnost geometrijske progresije).

Matematika je kajljudje nadzorujejo naravo in sebe.

Sovjetski matematik, akademik A.N. Kolmogorov

Geometrijsko napredovanje.

Poleg nalog o aritmetičnih progresijah so pri sprejemnih izpitih pri matematiki pogoste tudi težave, povezane s pojmom geometrijske progresije. Za uspešno reševanje takšnih problemov morate poznati lastnosti geometrijskih progresij in imeti dobre veščine njihove uporabe.

Ta članek je posvečen predstavitvi osnovnih lastnosti geometrijske progresije. Tukaj so tudi primeri reševanja tipičnih problemov., izposojeno iz nalog sprejemnih izpitov pri matematiki.

Najprej si oglejmo osnovne lastnosti geometrijske progresije in se spomnimo najpomembnejših formul in trditev, povezanih s tem pojmom.

Opredelitev.Številsko zaporedje se imenuje geometrijsko napredovanje, če je vsako število, začenši z drugim, enako prejšnjemu, pomnoženo z istim številom. Število imenujemo imenovalec geometrijskega napredovanja.

Za geometrijsko napredovanjeformule veljajo

, (1)

Kje . Formula (1) se imenuje formula splošnega člena geometrijske progresije, formula (2) pa predstavlja glavno lastnost geometrijske progresije: vsak člen progresije sovpada z geometrično sredino sosednjih členov in .

Opomba, da se ravno zaradi te lastnosti zadevna progresija imenuje "geometrična".

Zgornji formuli (1) in (2) sta posplošeni na naslednji način:

, (3)

Za izračun zneska prvi člani geometrijskega napredovanjavelja formula

Če označimo , potem

Kje . Ker je , je formula (6) posplošitev formule (5).

V primeru, ko in geometrijsko napredovanjese neskončno zmanjšuje. Za izračun zneskavseh členov neskončno padajoče geometrijske progresije se uporablja formula

. (7)

Na primer, z uporabo formule (7) lahko pokažemo, Kaj

Kje . Te enakosti dobimo iz formule (7) pod pogojem, da , (prva enakost) in , (druga enakost).

Izrek.Če, potem

Dokaz. Če, potem

Izrek je dokazan.

Preidimo na primere reševanja problemov na temo "Geometrijsko napredovanje".

Primer 1. Podano: , in . Najti .

rešitev.Če uporabimo formulo (5), potem

Odgovor: .

Primer 2. Naj bo. Najti .

rešitev. Ker in , uporabimo formule (5), (6) in dobimo sistem enačb

Če drugo enačbo sistema (9) delimo s prvo, potem ali . Iz tega izhaja, da . Razmislimo o dveh primerih.

1. Če, potem iz prve enačbe sistema (9) imamo.

2. Če , potem .

Primer 3. Naj , in . Najti .

rešitev. Iz formule (2) sledi oz. Od , torej oz.

Po stanju. Vendar pa zato. Ker in potem imamo tukaj sistem enačb

Če drugo enačbo sistema delimo s prvo, potem ali .

Ker ima enačba edinstven primeren koren. V tem primeru izhaja iz prve enačbe sistema.

Ob upoštevanju formule (7) dobimo.

Odgovor: .

Primer 4. Podano: in . Najti .

rešitev. Od takrat.

Od , torej oz

Po formuli (2) imamo . Pri tem iz enakosti (10) dobimo oz.

Vendar po pogoju torej.

Primer 5. Znano je, da. Najti .

rešitev. Po izreku imamo dve enakosti

Od , torej oz. Ker torej.

Odgovor: .

Primer 6. Podano: in . Najti .

rešitev. Ob upoštevanju formule (5) dobimo

Od takrat. Od , in , potem .

Primer 7. Naj bo. Najti .

rešitev. Po formuli (1) lahko zapišemo

Zato imamo oz. Znano je, da in , torej in .

Odgovor: .

Primer 8. Poiščite imenovalec neskončne padajoče geometrijske progresije, če

in .

rešitev. Iz formule (7) sledi in . Od tu in iz pogojev problema dobimo sistem enačb

Če je prva enačba sistema kvadrirana, in nato dobljeno enačbo delite z drugo enačbo, potem dobimo

ali .

Odgovor: .

Primer 9. Poiščite vse vrednosti, za katere je zaporedje , , geometrijsko napredovanje.

rešitev. Naj , in . Po formuli (2), ki določa glavno lastnost geometrijske progresije, lahko zapišemo ali .

Od tu dobimo kvadratno enačbo, katerih korenine so in .

Preverimo: če, potem in ; če , potem , in .

V prvem primeru imamo in , v drugem pa – in .

Odgovor: , .

Primer 10.Reši enačbo

, (11)

kje in .

rešitev. Leva stran enačbe (11) je vsota neskončne padajoče geometrijske progresije, v kateri je in , ob upoštevanju: in .

Iz formule (7) sledi, Kaj . V zvezi s tem ima enačba (11) obliko oz . Primeren koren kvadratna enačba je

Odgovor: .

Primer 11. p zaporedje pozitivnih številtvori aritmetično progresijo, A – geometrijsko napredovanje, kaj ima to opraviti z . Najti .

rešitev. Ker aritmetično zaporedje, To (glavna lastnost aritmetične progresije). Zaradi, potem ali . To pomeni, da ima geometrijsko napredovanje obliko. Po formuli (2), potem to zapišemo.

Od in , potem . V tem primeru izraz dobi obliko oz. Po pogoju, torej iz enačbedobimo edinstveno rešitev obravnavanega problema, tj. .

Odgovor: .

Primer 12. Izračunajte vsoto

. (12)

rešitev. Pomnožimo obe strani enakosti (12) s 5 in dobimo

Če od nastalega izraza odštejemo (12)., To

ali .

Za izračun nadomestimo vrednosti v formulo (7) in dobimo. Od takrat.

Odgovor: .

Tukaj podani primeri reševanja nalog bodo kandidatom koristili pri pripravah na sprejemne izpite. Za globlji študij metod reševanja problemov, povezana z geometrijsko progresijo, Uporabite lahko vaje s seznama priporočene literature.

1. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na visokih šolah / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir in izobraževanje, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni sklopi šolskega kurikuluma. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.

3. Medynsky M.M. Celoten tečaj osnovne matematike v nalogah in vajah. 2. knjiga: Številska zaporedja in napredovanja. – M.: Editus, 2015. – 208 str.

Imate še vprašanja?

Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do vira.

Že v starem Egiptu niso poznali samo aritmetike, ampak tudi geometrijsko progresijo. Tukaj je na primer problem iz Rhindovega papirusa: »Sedem obrazov ima sedem mačk; Vsaka mačka poje sedem miši, vsaka miš poje sedem klasov in iz vsakega ječmenovega klasja lahko zraste sedem mernikov ječmena. Kako velika so števila v tem nizu in njihova vsota?

riž. 1. Staroegipčanski problem geometrijske progresije

Ta naloga se je večkrat ponovila z različnimi različicami med drugimi ljudstvi ob drugih časih. Na primer, v napisanem v 13. stoletju. "Knjiga o abaku" Leonarda iz Pise (Fibonacci) ima problem, v katerem se na poti v Rim pojavi 7 stark (očitno romarjev), od katerih ima vsaka 7 mul, od katerih ima vsaka 7 torb, od katerih vsaka vsebuje 7 hlebcev, od katerih ima vsak 7 nožev, od katerih ima vsak 7 nožnic. Problem je vprašanje, koliko predmetov je.

Vsota prvih n členov geometrijske progresije S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . To formulo lahko na primer dokažemo takole: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

S n dodamo število b 1 q n in dobimo:

Od tod S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) in dobimo potrebno formulo.

Že na eni od glinenih plošč starega Babilona, ​​ki sega v 6. stol. pr. n. št e., vsebuje vsoto 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Res je, kot v številnih drugih primerih, ne vemo, kako so to dejstvo vedeli Babilonci. .

Hiter porast geometrijske progresije v številnih kulturah, zlasti v indijski, se vedno znova uporablja kot vizualni simbol prostranosti vesolja. V znameniti legendi o pojavu šaha vladar daje izumitelju šaha možnost, da si sam izbere nagrado, in vpraša za število pšeničnih zrn, ki jih bo dobil, če bo eno postavljeno na prvo polje šahovnice, dve pa na drugo, štiri na tretje, osem na četrto itd., vsakič ko se število podvoji. Vladyka je mislil, da gre kvečjemu za nekaj vrečk, a se je zmotil. Lahko vidimo, da bi moral izumitelj za vseh 64 polj šahovnice prejeti (2 64 - 1) zrn, kar je izraženo kot 20-mestno število; tudi če bi bila posejana vsa površina Zemlje, bi trajalo najmanj 8 let, da se zbere potrebna količina zrn. Ta legenda se včasih razlaga kot navedba tako rekoč neomejenih možnosti, ki se skrivajo v igri šaha.

Preprosto je videti, da je ta številka v resnici 20-mestna:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1,6∙10 19 (natančnejši izračun daje 1,84∙10 19). Vendar me zanima, če lahko ugotovite, s katero števko se konča ta številka?

Geometrična progresija je lahko naraščajoča, če je imenovalec večji od 1, ali padajoča, če je manjši od ena. V slednjem primeru lahko število q n za dovolj velik n postane poljubno majhno. Medtem ko naraščajoča geometrijska progresija narašča nepričakovano hitro, se padajoča geometrijska progresija prav tako hitro zmanjšuje.

Čim večji je n, tem šibkeje se število q n razlikuje od nič in čim bližje je vsota n členov geometrijske progresije S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) številu S = b 1 / ( 1 – q). (Tako je na primer razmišljal F. Viet). Število S imenujemo vsota neskončno padajoče geometrijske progresije. Toda vprašanje, kakšen je pomen seštevanja CELOTNEGA geometrijskega napredovanja z neskončnim številom členov, matematikom dolga stoletja ni bilo dovolj jasno.

Padajočo geometrijsko progresijo lahko opazimo na primer v Zenonovih aporijah »Polovična delitev« in »Ahil in želva«. V prvem primeru je jasno prikazano, da je celotna cesta (ob predpostavki dolžine 1) vsota neskončnega števila odsekov 1/2, 1/4, 1/8 itd. To je seveda primer od stališče idej o končni vsoti neskončne geometrijske progresije. In vendar - kako je to mogoče?

V aporiji o Ahilu je situacija nekoliko bolj zapletena, saj tukaj imenovalec napredovanja ni 1/2, ampak neko drugo število. Naj na primer Ahil teče s hitrostjo v, želva se giblje s hitrostjo u, začetna razdalja med njima pa je l. Ahil bo to razdaljo pretekel v času l/v, želva pa se bo v tem času premaknila za razdaljo lu/v. Ko Ahil preteče ta segment, bo razdalja med njim in želvo postala enaka l (u /v) 2 itd. Izkazalo se je, da dohiteti želvo pomeni najti vsoto neskončno padajoče geometrijske progresije s prvim členom l in imenovalec u /v. Ta vsota - segment, ki ga bo Ahil na koncu pretekel do mesta srečanja z želvo - je enaka l / (1 – u /v) = lv / (v – u). A spet, kako razlagati ta rezultat in zakaj je sploh smiseln, dolgo časa ni bilo najbolj jasno.

Arhimed je uporabil vsoto geometrijske progresije za določitev površine segmenta parabole. Naj bo ta odsek parabole omejen s tetivo AB in naj bo tangenta v točki D parabole vzporedna z AB. Naj bo C razpolovišče AB, E razpolovišče AC, F razpolovišče CB. Narišimo premice, vzporedne z DC skozi točke A, E, F, B; Naj tangenta, narisana v točki D, seka te premice v točkah K, L, M, N. Narišimo še segmenta AD in DB. Naj premica EL seka premico AD v točki G, parabolo pa v točki H; premica FM seka premico DB v točki Q, parabolo pa v točki R. V skladu s splošno teorijo koničnih prerezov je DC premer parabole (to je segmenta, vzporednega z njeno osjo); ona in tangenta v točki D lahko služita kot koordinatni osi x in y, v kateri je enačba parabole zapisana kot y 2 = 2px (x je razdalja od D do katere koli točke danega premera, y je dolžina odsek, vzporeden z dano tangento od te točke premera do neke točke na sami paraboli).

Na podlagi enačbe parabole je DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, in ker je DK = 2DL, potem je KA = 4LH. Ker je KA = 2LG, LH = HG. Površina segmenta ADB parabole je enaka površini trikotnika ΔADB in ploščinam segmentov AHD in DRB skupaj. Po drugi strani je površina segmenta AHD podobno enaka površini trikotnika AHD in preostalih segmentov AH in HD, z vsakim od katerih lahko izvedete isto operacijo - razdelite na trikotnik (Δ) in dva preostala segmenta () itd.:

Ploščina trikotnika ΔAHD je enaka polovici ploščine trikotnika ΔALD (imata skupno osnovo AD, višine pa se razlikujejo za 2-krat), kar pa je enako polovici ploščine ​​trikotnika ΔAKD in torej polovico ploščine trikotnika ΔACD. Tako je površina trikotnika ΔAHD enaka četrtini površine trikotnika ΔACD. Prav tako je ploščina trikotnika ΔDRB enaka eni četrtini ploščine trikotnika ΔDFB. Torej sta površini trikotnikov ΔAHD in ΔDRB skupaj enaki četrtini površine trikotnika ΔADB. Ponavljanje te operacije, ko se uporabi za segmente AH, HD, DR in RB, bo iz njih izbralo trikotnike, katerih površina, vzeta skupaj, bo 4-krat manjša od površine trikotnikov ΔAHD in ΔDRB, vzetih skupaj, in torej 16-krat manjša od ploščine trikotnika ΔADB. In tako naprej:

Tako je Arhimed dokazal, da »vsak segment med ravno črto in parabolo tvori štiri tretjine trikotnika z enako osnovo in enako višino«.