Kako najti površino, ki je enaka trikotniku. Območje trikotnika - formule in primeri reševanja problemov

Na internetu lahko najdete več kot 10 formul za izračun površine trikotnika. Mnoge od njih se uporabljajo pri težavah z znanimi stranicami in koti trikotnika. Obstaja pa vrsta zapletenih primerov, kjer so glede na pogoje naloge znani samo ena stranica in koti trikotnika ali pa polmer opisanega ali včrtanega kroga in še ena značilnost. V takih primerih ni mogoče uporabiti preproste formule.

Spodnje formule vam bodo omogočile, da rešite 95 odstotkov problemov, v katerih morate najti območje trikotnika.
Pojdimo k obravnavanju formul skupnega območja.
Razmislite o trikotniku, prikazanem na spodnji sliki

Na sliki in spodaj v formulah so uvedene klasične oznake vseh njegovih značilnosti.
a,b,c – stranice trikotnika,
R – polmer opisanega kroga,
r – polmer včrtanega kroga,
h[b],h[a],h[c] – višine, narisane v skladu s stranicami a,b,c.
alfa, beta, hamma – koti v bližini oglišč.

Osnovne formule za območje trikotnika

1. Ploščina je enaka polovici produkta stranice trikotnika in višine, spuščene na to stran. V jeziku formul lahko to definicijo zapišemo na naslednji način

Torej, če sta znani stranica in višina, bo vsak učenec našel območje.
Mimogrede, iz te formule je mogoče izpeljati eno uporabno razmerje med višinami

2. Če upoštevamo, da je višina trikotnika skozi sosednjo stranico izražena z odvisnostjo

Nato prvi formuli površine sledijo druge iste vrste

Pozorno preglejte formule - zlahka si jih je zapomniti, saj delo vključuje dve strani in kot med njima. Če pravilno določimo stranice in kote trikotnika (kot na zgornji sliki), bomo dobili dve stranici a, b in kot je povezan s tretjim Z (hamma).

3. Za kote trikotnika velja zveza

Odvisnost vam omogoča uporabo naslednjih formul za površino trikotnika v izračunih:

Primeri te odvisnosti so izjemno redki, vendar se morate spomniti, da obstaja taka formula.

4. Če sta stran in dva sosednja kota znani, se površina najde po formuli

5. Formula za ploščino glede na stranico in kotangens sosednjih kotov je naslednja

S prerazporeditvijo indeksov lahko dobite odvisnosti za druge stranke.

6. Spodnja formula za ploščino se uporablja pri nalogah, ko so oglišča trikotnika podana na ravnini s koordinatami. V tem primeru je ploščina enaka polovici determinante, vzete po modulu.

7. Heronova formula uporabljeno v primerih z znanimi stranicami trikotnika.
Najprej poiščite polobseg trikotnika

In nato določite območje s formulo

oz

Pogosto se uporablja v kodi kalkulatorskih programov.

8. Če so znane vse višine trikotnika, potem je ploščina določena s formulo

Na kalkulatorju je težko izračunati, toda v paketih MathCad, Mathematica, Maple je območje »čas dva«.

9. Naslednje formule uporabljajo znane polmere včrtanih in opisanih krogov.

Še posebej, če so znani polmer in stranice trikotnika ali njegov obseg, se površina izračuna po formuli

10. V primerih, kjer so podane stranice in polmer ali premer opisanega kroga, je površina določena s formulo

11. Naslednja formula določa površino trikotnika glede na stranico in kote trikotnika.

In končno - posebni primeri:
Območje pravokotnega trikotnika pri čemer sta kraka a in b enaka polovici njunega produkta

Formula za območje enakostraničnega (pravilnega) trikotnika=

= ena četrtina zmnožka kvadrata stranice in korena iz tri.

Območje trikotnika - formule in primeri reševanja problemov

Spodaj so formule za iskanje površine poljubnega trikotnika ki so primerni za iskanje površine katerega koli trikotnika, ne glede na njegove lastnosti, kote ali velikosti. Formule so predstavljene v obliki slike z obrazložitvijo njihove uporabe oziroma utemeljitvijo njihove pravilnosti. Tudi ločena slika prikazuje ujemanje med črkovnimi simboli v formulah in grafičnimi simboli na risbi.

Opomba . Če ima trikotnik posebne lastnosti (enakokraki, pravokotni, enakostranični), lahko uporabite spodnje formule, kot tudi dodatne posebne formule, ki veljajo samo za trikotnike s temi lastnostmi:

• "Formule za območje enakostraničnega trikotnika"

Formule ploščine trikotnika

Pojasnila za formule:
a, b, c- dolžine strani trikotnika, katerega ploščino želimo najti
r- polmer kroga, včrtanega v trikotnik
R- polmer krožnice, ki je opisana okoli trikotnika
h- višina trikotnika, spuščena na stran
str- polobseg trikotnika, 1/2 vsote njegovih stranic (obseg)
α - kot nasproti strani a trikotnika
β - kot nasproti strani b trikotnika
γ - kot nasproti strani c trikotnika
h a, h b , h c- višina trikotnika, spuščena na stranice a, b, c

Upoštevajte, da navedeni zapisi ustrezajo zgornji sliki, tako da vam bo pri reševanju resničnega geometrijskega problema vizualno lažje nadomestiti pravilne vrednosti na pravih mestih v formuli.

• Območje trikotnika je polovica zmnožka višine trikotnika in dolžine stranice, za katero je ta višina znižana(Formula 1). Pravilnost te formule je mogoče razumeti logično. Višina, spuščena na podlago, bo poljuben trikotnik razdelila na dva pravokotna. Če vsakega od njih zgradite v pravokotnik z dimenzijami b in h, potem bo očitno površina teh trikotnikov enaka natanko polovici površine pravokotnika (Spr = bh)
• Območje trikotnika je polovica produkta njegovih dveh stranic in sinusa kota med njima(Formula 2) (glej primer reševanja problema z uporabo te formule spodaj). Čeprav se zdi drugačen od prejšnjega, se lahko vanj enostavno spremeni. Če znižamo višino s kota B na stran b, se izkaže, da je produkt stranice a in sinusa kota γ glede na lastnosti sinusa v pravokotnem trikotniku enak višini trikotnika, ki smo ga narisali. , ki nam da prejšnjo formulo
• Območje poljubnega trikotnika je mogoče najti skozi delo polovica polmera vanj včrtanega kroga z vsoto dolžin vseh njegovih stranic(Formula 3), preprosto povedano, morate pomnožiti polobod trikotnika s polmerom včrtanega kroga (to si je lažje zapomniti)
• Območje poljubnega trikotnika lahko najdete tako, da zmnožek vseh njegovih strani delite s 4 polmeri kroga, ki je okoli njega opisan (formula 4)
• Formula 5 je iskanje ploščine trikotnika skozi dolžine njegovih stranic in njegov polobod (polovica vsote vseh njegovih stranic)
• Heronova formula(6) je predstavitev iste formule brez uporabe pojma polobod, le skozi dolžine stranic
• Površina poljubnega trikotnika je enaka zmnožku kvadrata stranice trikotnika in sinusov kotov, ki mejijo na to stran, deljeno z dvojnim sinusom kota, ki je nasproti tej strani (formula 7)
• Območje poljubnega trikotnika je mogoče najti kot zmnožek dveh kvadratov kroga, ki sta okrog njega opisana s sinusi vsakega od njegovih kotov. (Formula 8)
• Če sta znani dolžina ene strani in vrednosti dveh sosednjih kotov, potem lahko območje trikotnika najdemo kot kvadrat te strani, deljeno z dvojno vsoto kotangensov teh kotov (formula 9)
• Če je znana samo dolžina vsake višine trikotnika (formula 10), potem je površina takega trikotnika obratno sorazmerna z dolžinami teh višin, kot v skladu s Heronovo formulo
• Formula 11 vam omogoča izračun območje trikotnika glede na koordinate njegovih oglišč, ki so določene kot vrednosti (x;y) za vsako od tock. Upoštevajte, da je treba dobljeno vrednost vzeti po modulu, saj so lahko koordinate posameznih (ali celo vseh) točk v območju negativnih vrednosti

Opomba. Sledijo primeri reševanja geometrijskih problemov za iskanje ploščine trikotnika. Če morate rešiti geometrijski problem, ki ni podoben tukaj, pišite o tem na forumu. V rešitvah lahko namesto simbola "kvadratni koren" uporabimo funkcijo sqrt(), v kateri je sqrt simbol kvadratnega korena, radikalni izraz pa je naveden v oklepaju.Včasih se za preproste radikalne izraze lahko uporabi simbol √

Naloga. Poiščite površino dveh strani in kot med njima

Stranici trikotnika sta 5 in 6 cm, med njima pa je kot 60 stopinj. Poiščite območje trikotnika.

rešitev.

Za rešitev tega problema uporabimo formulo številka dve iz teoretičnega dela lekcije.
Območje trikotnika je mogoče najti skozi dolžine dveh stranic in sinus kota med njima in bo enako
S=1/2 ab sin γ

Ker imamo vse potrebne podatke za rešitev (po formuli), lahko v formulo nadomestimo le vrednosti iz pogojev problema:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

V tabeli vrednosti trigonometričnih funkcij bomo našli in v izraz nadomestili vrednost sinusa 60 stopinj. To bo enako korenu trikrat dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovori: 7,5 √3 (odvisno od učiteljevih zahtev verjetno lahko pustite 15 √3/2)

Naloga. Poiščite površino enakostraničnega trikotnika

Poiščite ploščino enakostraničnega trikotnika s stranico 3 cm.

rešitev

Območje trikotnika je mogoče najti s Heronovo formulo:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Ker je a = b = c, ima formula za površino enakostraničnega trikotnika obliko:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovori: 9 √3 / 4.

Naloga. Sprememba površine pri spreminjanju dolžine stranic

Kolikokrat se bo povečala površina trikotnika, če se stranice povečajo za 4-krat?

rešitev.

Ker nam dimenzije stranic trikotnika niso znane, bomo za rešitev problema predpostavili, da so dolžine strani enake poljubnim številom a, b, c. Nato, da bi odgovorili na vprašanje problema, bomo našli območje danega trikotnika, nato pa bomo našli območje trikotnika, katerega stranice so štirikrat večje. Razmerje ploščin teh trikotnikov nam bo dalo odgovor na problem.

Spodaj podajamo besedilno razlago rešitve problema korak za korakom. Čisto na koncu pa je ta ista rešitev predstavljena v priročnejši grafični obliki. Tisti, ki želijo, se lahko takoj spustijo na rešitev.

Za rešitev uporabimo Heronovo formulo (glej zgoraj v teoretičnem delu lekcije). Videti je takole:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(glej prvo vrstico slike spodaj)

Dolžine stranic poljubnega trikotnika so podane s spremenljivkami a, b, c.
Če se stranice povečajo za 4-krat, bo površina novega trikotnika c:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(glej drugo vrstico na spodnji sliki)

Kot lahko vidite, je 4 skupni faktor, ki ga je mogoče vzeti iz oklepajev iz vseh štirih izrazov v skladu s splošnimi pravili matematike.
Potem

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - v tretji vrstici slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četrta vrstica

Kvadratni koren števila 256 je popolnoma izvlečen, zato ga vzemimo izpod korena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(glej peto vrstico spodnje slike)

Da bi odgovorili na vprašanje, zastavljeno v problemu, moramo samo razdeliti površino nastalega trikotnika s površino prvotnega.
Določimo razmerja ploščin tako, da izraze delimo enega z drugim in dobljeni ulomek zmanjšamo.

Trikotnik je ena najpogostejših geometrijskih likov, s katerimi se seznanimo že v osnovni šoli. Vsak učenec se pri pouku geometrije sooča z vprašanjem, kako najti površino trikotnika. Torej, katere značilnosti iskanja območja dane figure je mogoče prepoznati? V tem članku si bomo ogledali osnovne formule, potrebne za dokončanje takšne naloge, in analizirali tudi vrste trikotnikov.

Vrste trikotnikov

Območje trikotnika lahko najdete na povsem različne načine, saj v geometriji obstaja več kot ena vrsta figure, ki vsebuje tri kote. Te vrste vključujejo:

• Topo.
• Enakostranični (pravilno).
• Pravokotni trikotnik.
• Enakokraki.

Oglejmo si podrobneje vsako od obstoječih vrst trikotnikov.

Ta geometrijska figura velja za najpogostejšo pri reševanju geometrijskih problemov. Ko se pojavi potreba po risanju poljubnega trikotnika, ta možnost priskoči na pomoč.

V ostrokotnem trikotniku, kot pove že ime, so vsi koti ostri in skupaj znašajo 180°.

Tudi ta vrsta trikotnika je zelo pogosta, vendar je nekoliko manj pogosta kot ostrokotni trikotnik. Na primer, ko rešujete trikotnike (to pomeni, da je znanih več njegovih strani in kotov in morate najti preostale elemente), morate včasih ugotoviti, ali je kot tup ali ne. Kosinus je negativno število.

B, vrednost enega od kotov presega 90 °, zato lahko preostala dva kota sprejmeta majhne vrednosti (na primer 15 ° ali celo 3 °).

Če želite najti območje trikotnika te vrste, morate vedeti nekaj odtenkov, o katerih bomo govorili kasneje.

Pravilni in enakokraki trikotniki

Pravilni mnogokotnik je lik, ki ima n kotov in ima vse stranice in kote enake. To je navadni trikotnik. Ker je vsota vseh kotov trikotnika 180°, je vsak od treh kotov 60°.

Pravilni trikotnik zaradi svoje lastnosti imenujemo tudi enakostranični lik.

Omeniti velja tudi, da je v pravilni trikotnik lahko vpisan samo en krog, okoli njega pa je mogoče opisati samo en krog, njuni središči pa sta v isti točki.

Poleg enakostraničnega tipa lahko ločimo tudi enakokraki trikotnik, ki se od njega nekoliko razlikuje. V takem trikotniku sta dve strani in dva kota med seboj enaki, tretja stranica (na katero mejijo enaki koti) pa je osnova.

Slika prikazuje enakokraki trikotnik DEF, katerega kota D in F sta enaka, DF pa je osnova.

Pravokotni trikotnik

Pravokotni trikotnik se tako imenuje, ker je eden od njegovih kotov pravi, to je enak 90°. Seštevek ostalih dveh kotov znaša 90°.

Največja stranica takega trikotnika, ki leži nasproti kota 90°, je hipotenuza, preostali dve strani pa sta kateta. Za to vrsto trikotnika velja Pitagorov izrek:

Vsota kvadratov dolžin katet je enaka kvadratu dolžine hipotenuze.

Slika prikazuje pravokotni trikotnik BAC s hipotenuzo AC in krakoma AB in BC.

Če želite najti območje trikotnika s pravim kotom, morate poznati številske vrednosti njegovih nog.

Pojdimo na formule za iskanje območja dane figure.

Osnovne formule za iskanje površine

V geometriji obstajata dve formuli, ki sta primerni za iskanje ploščine večine vrst trikotnikov, in sicer za ostre, tope, pravilne in enakokrake trikotnike. Oglejmo si vsakega od njih.

Po strani in višini

Ta formula je univerzalna za iskanje območja figure, ki jo obravnavamo. Če želite to narediti, je dovolj, da poznate dolžino stranice in dolžino višine, ki je na njej narisana. Sama formula (polovica produkta osnove in višine) je naslednja:

kjer je A stranica danega trikotnika, H pa višina trikotnika.

Na primer, če želite najti območje akutnega trikotnika ACB, morate njegovo stran AB pomnožiti z višino CD in dobljeno vrednost deliti z dvema.

Vendar na ta način ni vedno enostavno najti območja trikotnika. Na primer, če želite uporabiti to formulo za tupi trikotnik, morate podaljšati eno od njegovih stranic in ji šele nato narisati nadmorsko višino.

V praksi se ta formula uporablja pogosteje kot druge.

Na obeh straneh in kotu

Ta formula je, tako kot prejšnja, primerna za večino trikotnikov in je po svojem pomenu posledica formule za iskanje površine in višine trikotnika. To pomeni, da je zadevno formulo mogoče zlahka izpeljati iz prejšnje. Njegova formulacija izgleda takole:

S = ½*sinO*A*B,

kjer sta A in B stranici trikotnika, O pa je kot med stranicama A in B.

Spomnimo se, da si sinus kota lahko ogledate v posebni tabeli, imenovani po izjemnem sovjetskem matematiku V. M. Bradisu.

Zdaj pa preidimo na druge formule, ki so primerne samo za izjemne vrste trikotnikov.

Območje pravokotnega trikotnika

Poleg univerzalne formule, ki vključuje potrebo po iskanju nadmorske višine v trikotniku, je območje trikotnika, ki vsebuje pravi kot, mogoče najti iz njegovih nog.

Tako je površina trikotnika, ki vsebuje pravi kot, polovica produkta njegovih krakov ali:

kjer sta a in b kraka pravokotnega trikotnika.

Pravilni trikotnik

Ta vrsta geometrijske figure se razlikuje po tem, da je njeno območje mogoče najti z navedeno vrednostjo samo ene od njenih strani (ker so vse strani pravilnega trikotnika enake). Torej, ko se soočite z nalogo "iskanje območja trikotnika, ko so stranice enake", morate uporabiti naslednjo formulo:

S = A 2 *√3 / 4,

kjer je A stranica enakostraničnega trikotnika.

Heronova formula

Zadnja možnost za iskanje območja trikotnika je Heronova formula. Če ga želite uporabiti, morate poznati dolžine treh strani figure. Heronova formula izgleda takole:

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

kjer so a, b in c stranice tega trikotnika.

Včasih je podana težava: "območje pravilnega trikotnika je najti dolžino njegove stranice." IN v tem primeru za iskanje površine pravilnega trikotnika moramo uporabiti formulo, ki jo že poznamo, in iz nje izpeljati vrednost stranice (ali njenega kvadrata):

A 2 = 4S / √3.

Izpitne naloge

V nalogah GIA v matematiki je veliko formul. Poleg tega je pogosto treba najti površino trikotnika na karirastem papirju.

V tem primeru je najprimerneje narisati višino na eno od strani figure, določiti njeno dolžino iz celic in uporabiti univerzalno formulo za iskanje območja:

Torej, po preučevanju formul, predstavljenih v članku, ne boste imeli težav pri iskanju območja trikotnika katere koli vrste.

Trikotnik je figura, ki jo poznajo vsi. In to kljub bogati raznolikosti njegovih oblik. Pravokoten, enakostranični, oster, enakokrak, topi. Vsak od njih je na nek način drugačen. Toda za vsakogar morate ugotoviti površino trikotnika.

Formule, skupne vsem trikotnikom, ki uporabljajo dolžine stranic ali višin

Oznake, sprejete v njih: strani - a, b, c; višine na ustreznih straneh na a, n in, n s.

1. Površina trikotnika se izračuna kot zmnožek ½, stranice in višine, odštete od tega. S = ½ * a * n a. Formuli za drugi dve strani je treba zapisati podobno.

2. Heronova formula, v kateri nastopa polobod (običajno ga označujemo z malo črko p, za razliko od polnega oboda). Polobseg je treba izračunati na naslednji način: seštejte vse stranice in jih delite z 2. Formula za polobseg je: p = (a+b+c) / 2. Potem velja enakost za ploščino ​​slika izgleda takole: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Če ne želite uporabiti polobod, bo uporabna formula, ki vsebuje samo dolžine stranic: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Je nekoliko daljši od prejšnjega, vendar vam bo pomagal, če ste pozabili najti polobod.

Splošne formule, ki vključujejo kote trikotnika

Oznake, potrebne za branje formul: α, β, γ - koti. Ležijo nasproti strani a, b, c.

1. Po njem je polovica produkta dveh stranic in sinusa kota med njima enaka površini trikotnika. To je: S = ½ a * b * sin γ. Formuli za druga dva primera je treba zapisati na podoben način.

2. Območje trikotnika je mogoče izračunati z ene strani in treh znanih kotov. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Obstaja tudi formula z eno znano stranico in dvema sosednjima kotoma. Videti je takole: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Zadnji dve formuli nista najpreprostejši. Težko si jih je zapomniti.

Splošne formule za situacijo, ko so znani polmeri včrtanih ali opisanih krogov

Dodatne oznake: r, R - polmeri. Prvi se uporablja za polmer včrtanega kroga. Drugi je za opisano.

1. Prva formula, s katero se izračuna površina trikotnika, je povezana s polobodom. S = r * r. Drugačen način zapisa je: S = ½ r * (a + b + c).

2. V drugem primeru boste morali pomnožiti vse stranice trikotnika in jih razdeliti s štirikratnim polmerom opisanega kroga. V dobesednem izrazu je videti takole: S = (a * b * c) / (4R).

3. Tretja situacija vam omogoča, da ne poznate strani, vendar boste potrebovali vrednosti vseh treh kotov. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Poseben primer: pravokotni trikotnik

To je najenostavnejša situacija, saj je potrebna le dolžina obeh nog. Označeni so z latiničnima črkama a in b. Območje pravokotnega trikotnika je enako polovici površine pravokotnika, ki mu je dodan.

Matematično je videti takole: S = ½ a * b. Najlažje si ga je zapomniti. Ker je videti kot formula za površino pravokotnika, se prikaže le delček, ki označuje polovico.

Poseben primer: enakokraki trikotnik

Ker ima dve enaki strani, so nekatere formule za njegovo ploščino videti nekoliko poenostavljene. Na primer, Heronova formula, ki izračuna površino enakokrakega trikotnika, ima naslednjo obliko:

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Če ga preoblikujete, bo postal krajši. V tem primeru je Heronova formula za enakokraki trikotnik zapisana takole:

S = ¼ v √(4 * a 2 - b 2).

Formula za ploščino je videti nekoliko preprostejša kot za poljuben trikotnik, če sta znani stranici in kot med njima. S = ½ a 2 * sin β.

Poseben primer: enakostranični trikotnik

Običajno je pri težavah stran o tem znana ali pa se jo da na nek način ugotoviti. Potem je formula za iskanje območja takšnega trikotnika naslednja:

S = (a 2 √3) / 4.

Težave pri iskanju območja, če je trikotnik upodobljen na karirastem papirju

Najenostavnejša situacija je, ko je pravokotni trikotnik narisan tako, da njegove noge sovpadajo s črtami papirja. Nato morate le prešteti število celic, ki se prilegajo nogam. Nato jih pomnožite in delite z dve.

Ko je trikotnik oster ali tup, ga je treba narisati v pravokotnik. Potem bo nastala številka imela 3 trikotnike. Eden je tisti, ki je podan v nalogi. In druga dva sta pomožna in pravokotna. Območji zadnjih dveh je treba določiti z zgoraj opisano metodo. Nato izračunajte površino pravokotnika in od nje odštejte tiste, ki so izračunane za pomožne. Določena je površina trikotnika.

Situacija, v kateri nobena stran trikotnika ne sovpada s črtami papirja, se izkaže za veliko bolj zapleteno. Nato ga je treba vpisati v pravokotnik, tako da oglišča prvotne figure ležijo na njegovih straneh. V tem primeru bodo trije pomožni pravokotni trikotniki.

Primer problema z uporabo Heronove formule

Pogoj. Neki trikotnik ima znane stranice. So enaki 3, 5 in 6 cm. Ugotoviti morate njegovo površino.

Zdaj lahko izračunate površino trikotnika z zgornjo formulo. Pod kvadratnim korenom je produkt štirih števil: 7, 4, 2 in 1. To pomeni, da je ploščina √(4 * 14) = 2 √(14).

Če večja natančnost ni potrebna, lahko vzamete kvadratni koren iz 14. Enako je 3,74. Potem bo površina 7,48.

Odgovori. S = 2 √14 cm 2 ali 7,48 cm 2.

Primer problema s pravokotnim trikotnikom

Pogoj. En krak pravokotnega trikotnika je za 31 cm večji od drugega. Če je ploščina trikotnika 180 cm 2, morate ugotoviti njihove dolžine.
rešitev. Rešiti bomo morali sistem dveh enačb. Prvi je povezan s področjem. Drugi je z razmerjem krakov, ki je podan v nalogi.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Najprej je treba vrednost "a" nadomestiti v prvo enačbo. Izkazalo se je: 180 = ½ (in + 31) * in. Obstaja samo ena neznana količina, zato jo je enostavno rešiti. Ko odpremo oklepaje, dobimo kvadratno enačbo: 2 + 31 360 = 0. To daje dve vrednosti za "in": 9 in - 40. Druga številka ni primerna kot odgovor, saj je dolžina stranice trikotnika ne more biti negativna vrednost.

Ostaja še izračunati drugo nogo: dobljenemu številu dodajte 31. Izkaže se 40. To so količine, ki jih iščemo v problemu.

Odgovori. Kraki trikotnika so 9 in 40 cm.

Problem iskanja stranice skozi ploščino, stranico in kot trikotnika

Pogoj. Površina določenega trikotnika je 60 cm 2. Izračunati je treba eno od njegovih strani, če je druga stranica 15 cm in je kot med njima 30º.

rešitev. Na podlagi sprejetega zapisa je želena stranica "a", znana stranica je "b", dani kot je "γ". Potem lahko formulo površine prepišemo na naslednji način:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Tukaj je sinus 30 stopinj 0,5.

Po transformacijah se izkaže, da je "a" enako 60 / (0,5 * 0,5 * 15). To je 16.

Odgovori. Zahtevana stranica je 16 cm.

Problem o kvadratu, včrtanem pravokotnemu trikotniku

Pogoj. Oglišče kvadrata s stranico 24 cm sovpada s pravim kotom trikotnika. Druga dva ležita ob straneh. Tretja pripada hipotenuzi. Dolžina enega od krakov je 42 cm. Kolikšna je ploščina pravokotnega trikotnika?

rešitev. Razmislite o dveh pravokotnih trikotnikih. Prvi je tisti, ki je določen v nalogi. Drugi temelji na znanem kraku prvotnega trikotnika. Podobni sta si, ker imata skupni kot in ju tvorita vzporedni premici.

Potem sta razmerja njunih nog enaka. Kraki manjšega trikotnika so enaki 24 cm (stranica kvadrata) in 18 cm (podani krak 42 cm odštejemo stranico kvadrata 24 cm). Ustrezni kraki velikega trikotnika so 42 cm in x cm. Prav ta "x" je potreben za izračun površine trikotnika.

18/42 = 24/x, to je x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Potem je površina enaka zmnožku 56 in 42, deljenem z dva, to je 1176 cm 2.

Odgovori. Zahtevana površina je 1176 cm 2.