Kako deliti ulomek s pravilom naravnega števila. Kompleksni izrazi z ulomki. Postopek

Če želite rešiti različne probleme iz tečajev matematike in fizike, morate deliti ulomke. To je zelo enostavno storiti, če poznate določena pravila za izvajanje te matematične operacije.

Preden preidemo na oblikovanje pravila za deljenje ulomkov, se spomnimo nekaj matematičnih izrazov:

1. Zgornji del ulomka imenujemo števec, spodnji del pa imenujemo imenovalec.
2. Pri deljenju se števila imenujejo takole: dividenda: delitelj = količnik

Kako deliti ulomke: preprosti ulomki

Če želite razdeliti dva preprosta ulomka, pomnožite dividendo z recipročno vrednostjo delitelja. Ta ulomek imenujemo tudi obrnjeni, ker ga dobimo z zamenjavo števca in imenovalca. Na primer:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Kako delimo ulomke: mešani ulomki

Če moramo razdeliti mešane frakcije, potem je tudi tukaj vse precej preprosto in jasno. Najprej pretvorimo mešani ulomek v navadni nepravi ulomek. Če želite to narediti, pomnožite imenovalec takega ulomka s celim številom in dobljenemu produktu dodajte števec. Posledično smo dobili nov števec mešanega ulomka, vendar bo njegov imenovalec ostal nespremenjen. Nadalje bo delitev ulomkov izvedena na popolnoma enak način kot delitev preprostih ulomkov. Na primer:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Kako deliti ulomek s številom

Da bi preprost ulomek delili s številom, je treba slednje zapisati kot ulomek (nepravilen). To je zelo enostavno narediti: to število je napisano namesto števca, imenovalec takega ulomka pa je enak eni. Nadaljnja delitev se izvede na običajen način. Poglejmo si to na primeru:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Kako deliti decimalke

Pogosto ima odrasel človek težave z deljenjem celega števila ali decimalnega ulomka z decimalnim ulomkom brez pomoči kalkulatorja.

Torej, če želite deliti decimalke, morate samo prečrtati vejico v delitelju in nehati biti pozoren na to. V dividendi je treba vejico premakniti v desno natanko za toliko mest, kot je bila v ulomku delitelja, in po potrebi dodati ničle. In nato izvedejo običajno deljenje s celim številom. Da bo to bolj jasno, razmislite o naslednjem primeru.

Prej ali slej se vsi otroci v šoli začnejo učiti ulomkov: njihovega seštevanja, deljenja, množenja in vseh mogočih operacij, ki jih lahko izvajamo z ulomki. Da bi otroku zagotovili ustrezno pomoč, starši sami ne bi smeli pozabiti, kako cela števila razdeliti na ulomke, sicer mu ne boste mogli nikakor pomagati, ampak ga boste samo zmedli. Če si morate zapomniti to dejanje, vendar preprosto ne morete združiti vseh informacij v svoji glavi v eno pravilo, potem vam bo ta članek pomagal: naučili se boste deliti število z ulomkom in videli jasne primere.

Kako razdeliti število na ulomek

Zapišite svoj primer kot približen osnutek, da si boste lahko zapisovali in brisali. Ne pozabite, da je celo število zapisano med celicami, tik ob njihovem presečišču, ulomka pa vsako v svoji celici.

• Pri tej metodi morate ulomek obrniti na glavo, torej imenovalec zapisati v števec, števec pa v imenovalec.
• Znak za deljenje je treba spremeniti v množenje.
• Sedaj morate le še izvesti množenje po pravilih, ki ste se jih že naučili: števec pomnožite s celim številom, imenovalca pa se ne dotaknete.

Seveda boste zaradi tega dejanja imeli v števcu zelo veliko število. Ne morete pustiti ulomka v tem stanju - učitelj preprosto ne bo sprejel tega odgovora. Zmanjšajte ulomek tako, da števec delite z imenovalcem. Dobljeno celo število zapišite levo od ulomka na sredino celic, ostanek pa bo nov števec. Imenovalec ostane nespremenjen.

Ta algoritem je precej preprost, tudi za otroka. Ko ga opravi pet ali šestkrat, si bo otrok postopek zapomnil in ga bo lahko uporabil za poljubne ulomke.

Kako deliti število z decimalko

Obstajajo še druge vrste ulomkov - decimalke. Razdelitev nanje poteka po popolnoma drugačnem algoritmu. Če naletite na tak primer, sledite navodilom:

• Najprej pretvorite obe števili v decimalke. To je preprosto narediti: vaš delitelj je že predstavljen kot ulomek, naravno število, ki ga delite, pa ločite z vejico in tako dobite decimalni ulomek. To pomeni, da če je bila dividenda 5, dobite ulomek 5,0. Število morate ločiti s toliko ciframi, kolikor jih je za decimalno vejico in deliteljem.
• Po tem morate oba decimalna ulomka narediti naravna števila. Morda se na začetku zdi nekoliko zmedeno, vendar je to najhitrejši način za razdelitev in vam bo po nekaj vajah vzel nekaj sekund. Ulomek 5,0 bo postal številka 50, ulomek 6,23 pa bo postal 623.
• Naredi delitev. Če so številke velike ali bo deljenje potekalo z ostankom, naredite to v stolpcu. Tako lahko jasno vidite vsa dejanja tega primera. Vejice vam ni treba namerno postaviti, saj se bo med dolgim ​​procesom delitve pojavila sama.

Ta vrsta deljenja se na začetku zdi preveč zmedena, saj morate dividendo in delitelj spremeniti v ulomek in nato nazaj v naravna števila. Toda po kratki vaji boste takoj začeli videti tiste številke, ki jih morate preprosto deliti med seboj.

Ne pozabite, da lahko sposobnost pravilnega deljenja ulomkov in celih števil z njimi pride velikokrat v življenju prav, zato mora otrok ta pravila in preprosta načela popolnoma poznati, da v višjih razredih ne postanejo kamen spotike, zaradi katerega otrok ne more rešiti zahtevnejših nalog.

Z ulomki lahko počnete vse, vključno z deljenjem. Ta članek prikazuje deljenje navadnih ulomkov. Podane bodo definicije in obravnavani bodo primeri. Oglejmo si podrobneje deljenje ulomkov z naravnimi števili in obratno. Obravnavali bomo deljenje navadnega ulomka z mešanim številom.

Deljenje ulomkov

Deljenje je obratno od množenja. Pri deljenju se neznani faktor najde z znanim zmnožkom drugega faktorja, pri čemer se njegov podani pomen ohrani z navadnimi ulomki.

Če je treba navadni ulomek a b razdeliti na c d, potem morate za določitev takšnega števila pomnožiti z deliteljem c d, kar bo na koncu dalo dividendo a b. Vzemimo število in ga zapišimo a b · d c , kjer je d c inverzno število c d. Enačbe lahko zapišemo z uporabo lastnosti množenja, in sicer: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, kjer je izraz a b · d c količnik deljenja a b s c d.

Od tu dobimo in oblikujemo pravilo za deljenje navadnih ulomkov:

Definicija 1

Če želite razdeliti navadni ulomek a b s c d, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.

Zapišimo pravilo v obliki izraza: a b: c d = a b · d c

Pravila deljenja se spustijo na množenje. Če želite vztrajati pri tem, morate dobro razumeti množenje ulomkov.

Preidimo k obravnavanju deljenja navadnih ulomkov.

Primer 1

Deli 9 7 s 5 3. Rezultat zapiši kot ulomek.

rešitev

Število 5 3 je recipročni ulomek 3 5. Uporabiti je treba pravilo za deljenje navadnih ulomkov. Ta izraz zapišemo takole: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

odgovor: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Pri zmanjševanju ulomkov ločite cel del, če je števec večji od imenovalca.

Primer 2

Deli 8 15 : 24 65. Odgovor zapišite kot ulomek.

rešitev

Če želite rešiti, morate preiti iz deljenja na množenje. Zapišimo ga v tej obliki: 8 15 : 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Potrebno je zmanjšati in to naredimo na naslednji način: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Izberite cel del in dobite 13 9 = 1 4 9.

odgovor: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Deljenje izjemnega ulomka z naravnim številom

Za deljenje ulomka z naravnim številom uporabljamo pravilo: če želite a b deliti z naravnim številom n, morate samo imenovalec pomnožiti z n. Od tod dobimo izraz: a b: n = a b · n.

Pravilo deljenja je posledica pravila množenja. Če torej naravno število predstavimo kot ulomek, dobimo enakost tega tipa: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Razmislite o tej delitvi ulomka s številom.

Primer 3

Ulomek 16 45 delite s številom 12.

rešitev

Uporabimo pravilo za deljenje ulomka s številom. Dobimo izraz v obliki 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Zmanjšajmo ulomek. Dobimo 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

odgovor: 16 45: 12 = 4 135 .

Deljenje naravnega števila z ulomkom

Pravilo delitve je podobno O pravilo za deljenje naravnega števila z navadnim ulomkom: da bi naravno število n delili z navadnim ulomkom a b, je treba število n pomnožiti z recipročno vrednostjo ulomka a b.

Na podlagi pravila imamo n: a b = n · b a, zaradi pravila množenja naravnega števila z navadnim ulomkom pa dobimo izraz v obliki n: a b = n · b a. To delitev je treba obravnavati na primeru.

Primer 4

Deli 25 s 15 28.

rešitev

Od deljenja moramo preiti k množenju. Zapišimo ga v obliki izraza 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Zmanjšajmo ulomek in dobimo rezultat v obliki ulomka 46 2 3.

odgovor: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Deljenje ulomka z mešanim številom

Ko delite navadni ulomek z mešanim številom, lahko preprosto začnete deliti navadne ulomke. Mešano število morate pretvoriti v nepravilni ulomek.

Primer 5

Razdelite ulomek 35 16 s 3 1 8.

rešitev

Ker je 3 1 8 mešano število, ga predstavimo kot nepravi ulomek. Potem dobimo 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Zdaj pa razdelimo ulomke. Dobimo 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

odgovor: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Deljenje mešanega števila poteka na enak način kot navadna števila.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Množenje in deljenje ulomkov.

Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo "ne zelo ..."
In za tiste, ki "zelo ...")

Ta operacija je veliko lepša od seštevanja-odštevanja! Ker je lažje. Opomba: če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti števce (to bo števec rezultata) in imenovalce (to bo imenovalec). To je:

Na primer:

Vse je izjemno preprosto. In prosim, ne iščite skupnega imenovalca! Ne potrebujem ga tukaj ...

Če želite deliti ulomek z ulomkom, morate obrniti drugo(to je pomembno!) ulomek in jih pomnožite, tj.

Na primer:

Če naletite na množenje ali deljenje s celimi števili in ulomki, je v redu. Tako kot pri seštevanju naredimo ulomek iz celega števila z enico v imenovalcu - in nadaljujte! Na primer:

V srednji šoli se moraš pogosto ukvarjati s trinadstropnimi (ali celo štirinadstropnimi!) frakcijami. Na primer:

Kako naj ta ulomek izgleda spodobno? Da, zelo preprosto! Uporabite delitev na dve točki:

A ne pozabite na vrstni red delitve! Za razliko od množenja je to tukaj zelo pomembno! Seveda ne bomo zamenjali 4:2 ali 2:4. Toda v trinadstropni frakciji je enostavno narediti napako. Upoštevajte na primer:

V prvem primeru (izraz na levi):

V drugem (izraz na desni):

Ali čutite razliko? 4 in 1/9!

Kaj določa vrstni red delitve? Ali z oklepaji ali (kot tukaj) z dolžino vodoravnih črt. Razvijte svoje oko. In če ni oklepajev ali pomišljajev, na primer:

nato deli in pomnoži po vrsti, od leve proti desni!

In še ena zelo preprosta in pomembna tehnika. Pri dejanjih z diplomami vam bo zelo koristilo! Eno delimo s poljubnim ulomkom, na primer s 13/15:

Strel se je obrnil! In to se vedno zgodi. Pri delitvi 1 s poljubnim ulomkom je rezultat isti ulomek, le da je obrnjen na glavo.

To je to za operacije z ulomki. Zadeva je precej enostavna, vendar daje več kot dovolj napak. Upoštevajte praktične nasvete, pa jih bo (napak) manj!

Praktični nasveti:

1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost! To niso splošne besede, ne dobre želje! To je nujno! Vse izračune na Enotnem državnem izpitu naredite kot popolno nalogo, osredotočeno in jasno. Bolje je napisati dve dodatni vrstici v osnutku, kot pa se zamočiti pri miselnih izračunih.

2. Pri primerih z različnimi vrstami ulomkov preidemo na navadne ulomke.

3. Zmanjšamo vse frakcije, dokler se ne ustavijo.

4. Večnivojske ulomke reduciramo na navadne z deljenjem skozi dve točki (upoštevamo vrstni red deljenja!).

5. V glavi razdelite enoto z ulomkom, tako da ulomek preprosto obrnete.

Tukaj so naloge, ki jih morate zagotovo opraviti. Odgovori so podani po vseh nalogah. Uporabite materiale o tej temi in praktične nasvete. Oceni, koliko primerov si uspel pravilno rešiti. Prvič! Brez kalkulatorja! In naredite prave zaključke ...

Ne pozabite - pravilen odgovor je prejeto od drugič (zlasti tretjič) čas ne šteje! Tako je surovo življenje.

Torej, rešiti v izpitnem načinu ! Mimogrede, to je že priprava na enotni državni izpit. Primer rešimo, preverimo, rešimo naslednjega. Odločili smo se za vse - ponovno preverili od prvega do zadnjega. Ampak le Potem poglej odgovore.

Izračunaj:

Ste se odločili?

Iščemo odgovore, ki ustrezajo vašim. Namenoma sem jih zapisal neurejeno, tako rekoč stran od skušnjave ... Tukaj so, odgovori, zapisani s podpičjem.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Zdaj delamo zaključke. Če je vse uspelo, sem vesel zate! Osnovni izračuni z ulomki niso vaš problem! Lahko počnete resnejše stvari. Če ne...

Torej imate eno od dveh težav. Ali oboje hkrati.) Pomanjkanje znanja in (ali) nepazljivost. Ampak to rešljiv Težave.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti seštevanja ulomkov:

1. Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
2. Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo seštevanja ulomkov z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Na primer, seštejmo ulomke in . Seštejte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če dodate pico k pici, dobite pico:

Primer 2. Seštej ulomke in.

Izkazalo se je, da je odgovor nepravilen ulomek. Ko pride naloga do konca, je običajno, da se znebimo nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti nepravilnega ulomka, morate izbrati njegov cel del. V našem primeru je celoten del enostavno izoliran - dva deljeno z dva je enako ena:

Ta primer je zlahka razumljiv, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodate še pico, dobite eno celo pico:

Primer 3. Seštejte ulomke in.

Spet seštejemo števce in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pice, dobite pico:

Primer 4. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Števce je treba sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen:

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če dodate pico k pici in dodate še več pic, dobite 1 celo pico in več pic.

Kot lahko vidite, pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite dodati ulomke z enakim imenovalcem, morate sešteti njihove števce in pustiti imenovalec nespremenjen;

Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Zdaj pa se naučimo seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morata biti imenovalca ulomkov enaka. Niso pa vedno enaki.

Na primer, ulomke je mogoče sešteti, ker imajo enake imenovalce.

Toda ulomkov ni mogoče takoj sešteti, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Obstaja več načinov za zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec. Danes si bomo ogledali samo enega od njih, saj se lahko druge metode začetniku zdijo zapletene.

Bistvo te metode je, da se najprej poišče LCM imenovalcev obeh ulomkov. LCM se nato deli z imenovalcem prvega ulomka, da dobimo prvi dodatni faktor. Enako storijo z drugim ulomkom - LCM se deli z imenovalcem drugega ulomka in dobi se drugi dodatni faktor.

Števci in imenovalci ulomkov se nato pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati.

Primer 1. Seštejmo ulomke in

Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6

LCM (2 in 3) = 6

Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in . Najprej LCM delite z imenovalcem prvega ulomka in dobite prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.

Dobljeno število 2 je prvi dodatni množitelj. Zapišemo ga do prvega ulomka. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto čez ulomek in zapišite dodatni faktor, ki ga najdete nad njim:

Enako naredimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.

Dobljeno število 3 je drugi dodatni množitelj. Zapišemo ga do drugega ulomka. Spet naredimo majhno poševno črto nad drugim ulomkom in zapišemo dodatni faktor, ki ga najdemo nad njim:

Zdaj imamo vse pripravljeno za dodajanje. Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji:

Poglejte dobro, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati. Vzemimo ta primer do konca:

S tem je primer zaključen. Izkazalo se je dodati.

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če pici dodaš pico, dobiš eno celo pico in še eno šestino pice:

Zmanjševanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem ulomkov in na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti dve frakciji bosta predstavljali enaki kosi pice. Razlika bo le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zreducirani na isti imenovalec).

Prva risba predstavlja ulomek (štirje kosi od šestih), druga risba pa ulomek (trije kosi od šestih). Če seštejemo te kose, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je nepravilen, zato smo izpostavili njegov cel del. Kot rezultat smo dobili (eno celo pico in še šesto pico).

Upoštevajte, da smo ta primer opisali preveč podrobno. V izobraževalnih ustanovah ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim, pa tudi hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s števci in imenovalci. V šoli bi morali ta primer napisati takole:

A obstaja tudi druga plat medalje. Če si na prvih stopnjah študija matematike ne delate podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati tovrstna vprašanja. »Od kod ta številka?«, »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v povsem druge ulomke? «.

Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:

1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
2. LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek;
3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji;
4. Seštejte ulomke, ki imajo enake imenovalce;
5. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del;

Primer 2. Poiščite vrednost izraza .

Uporabimo zgoraj navedena navodila.

Korak 1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov

Poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec ulomkov so števila 2, 3 in 4

2. korak. Delite LCM z imenovalcem vsakega ulomka in pridobite dodatni faktor za vsak ulomek

LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobimo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:

Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji

Števce in imenovalce pomnožimo z njihovimi dodatnimi faktorji:

Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Vse kar ostane je, da te ulomke seštejemo. Dodajte:

Dodatek ni sodil v eno vrstico, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Ko izraz ne sodi v eno vrstico, se premakne v naslednjo vrstico, pri čemer je treba na koncu prve in na začetku nove vrstice postaviti znak enačaja (=). Znak enačaja v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.

Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del

V odgovoru smo dobili nepravilen ulomek. Izpostaviti moramo cel del tega. Izpostavljamo:

Dobili smo odgovor

Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:

1. Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
2. Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo odštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka, imenovalec pa pustiti enak.

Na primer, poiščimo vrednost izraza. Če želite rešiti ta primer, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen. Naredimo to:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza.

Spet od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:

Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

1. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen;
2. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Na primer, od ulomka lahko odštejete ulomek, ker imata ulomka enake imenovalce. Toda od ulomka ne morete odšteti ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki je zapisan nad prvim ulomkom. Podobno LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki je zapisan nad drugim ulomkom.

Ulomki se nato pomnožijo z dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti.

Primer 1. Poiščite pomen izraza:

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12

LCM (3 in 4) = 12

Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. To naredite tako, da LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Nad prvim ulomkom napiši štirico:

Enako naredimo z drugim ulomkom. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Čez drugi ulomek napišemo trojko:

Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Vzemimo ta primer do konca:

Dobili smo odgovor

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če iz pice odrežete pico, dobite pico

To je podrobna različica rešitve. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer reševati krajše. Takšna rešitev bi izgledala takole:

Zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem teh ulomkov na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec):

Na prvi sliki je ulomek (osem kosov od dvanajstih), na drugi sliki pa ulomek (trije koščki od dvanajstih). Če iz osmih kosov izrežemo tri, dobimo od dvanajstih pet kosov. Ulomek opisuje teh pet kosov.

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej reducirati na isti (skupni) imenovalec.

Poiščimo LCM imenovalcev teh ulomkov.

Imenovalec ulomkov so števila 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. To naredite tako, da LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka.

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj najdemo dodatni faktor za drugi ulomek. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Zdaj najdemo dodatni faktor za tretji ulomek. LCM delite z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:

Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Končajmo ta primer.

Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje premaknemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačaj (=) v novi vrstici:

Izkazalo se je, da je odgovor navaden ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi ga poenostaviti. Kaj se lahko naredi? Ta ulomek lahko skrajšate.

Če želite skrajšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z (NOT) števil 20 in 30.

Torej, najdemo gcd številk 20 in 30:

Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z najdenim gcd, to je z 10

Dobili smo odgovor

Množenje ulomka s številom

Če želite ulomek pomnožiti s številom, morate števec ulomka pomnožiti s tem številom in pustiti imenovalec enak.

Primer 1. Pomnoži ulomek s številom 1.

Števec ulomka pomnožite s številom 1

Posnetek je mogoče razumeti, kot da traja polovico 1 časa. Na primer, če enkrat vzamete pico, jo dobite

Iz zakonov množenja vemo, da se zmnožek ne spremeni, če zamenjata množitelj in faktor. Če je izraz zapisan kot , bo produkt še vedno enak . Spet velja pravilo za množenje celega števila in ulomka:

Ta zapis lahko razumemo kot polovico enega. Na primer, če je 1 cela pica in jo vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec ulomka s 4

Odgovor je bil nepravilen ulomek. Izpostavimo celoten del:

Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete 4 pice, boste dobili dve celi pici

In če zamenjamo množitelj in množitelj, dobimo izraz . Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:

Množenje ulomkov

Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza.

Dobili smo odgovor. Ta delež je priporočljivo zmanjšati. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna rešitev imela naslednjo obliko:

Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:

Kako od te polovice vzeti dve tretjini? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:

In vzemite dva od teh treh kosov:

Naredili bomo pico. Spomnite se, kako izgleda pica, če jo razdelite na tri dele:

En kos te pice in dva kosa, ki sva jih vzela, bodo imeli enake dimenzije:

Z drugimi besedami, govorimo o enako veliki pici. Zato je vrednost izraza

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je bil nepravilen ulomek. Izpostavimo celoten del:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Izkazalo se je, da je odgovor navadni ulomek, vendar bi bilo dobro, če bi ga skrajšali. Če želite zmanjšati ta ulomek, morate števec in imenovalec tega ulomka deliti z največjim skupnim deliteljem (GCD) števil 105 in 450.

Torej, poiščimo gcd števil 105 in 450:

Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora z gcd, ki smo ga zdaj našli, to je s 15

Predstavitev celega števila kot ulomka

Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, številko 5 lahko predstavimo kot. To ne bo spremenilo pomena pet, saj izraz pomeni "število pet deljeno z ena", in to je, kot vemo, enako pet:

Vzajemna števila

Sedaj se bomo seznanili z zelo zanimivo temo matematike. Imenuje se "obratne številke".

Opredelitev. Obrnite na številkoa je število, ki je pomnoženo sa daje eno.

V tej definiciji zamenjajmo namesto spremenljivke aštevilko 5 in poskusite prebrati definicijo:

Obrnite na številko 5 je število, ki je pomnoženo s 5 daje eno.

Ali je mogoče najti število, ki da pomnoženo s 5 ena? Izkazalo se je, da je to mogoče. Predstavljajmo si pet kot ulomek:

Nato pomnožite ta ulomek sam s seboj, samo zamenjajte števec in imenovalec. Z drugimi besedami, pomnožimo ulomek samega s seboj, samo na glavo:

Kaj se bo zgodilo zaradi tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:

To pomeni, da je inverzna številka 5 številka , saj ko 5 pomnožite z, dobite ena.

Recipročno vrednost števila je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.

Poiščete lahko tudi recipročno vrednost katerega koli drugega ulomka. Če želite to narediti, ga obrnite.

Deljenje ulomka s številom

Recimo, da imamo pol pice:

Razdelimo ga enakomerno na dva. Koliko pice bo dobil vsak?

Vidimo, da smo po razdelitvi pice na polovico dobili dva enaka kosa, od katerih vsak predstavlja pico. Tako vsak dobi pico.

Delitev ulomkov poteka z uporabo recipročnih vrednosti. Vzajemna števila vam omogočajo zamenjavo deljenja z množenjem.

Če želite deliti ulomek s številom, morate ulomek pomnožiti z obratno vrednostjo delitelja.

S pomočjo tega pravila bomo zapisali razdelitev naše polovice pice na dva dela.

Torej, ulomek morate razdeliti s številko 2. Tu je dividenda ulomek, delitelj pa število 2.

Če želite deliti ulomek s številom 2, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja 2. Recipročna vrednost delitelja 2 je ulomek. Torej morate pomnožiti s