Odsek, ki povezuje središče kroga in točke na njegovem obodu, se imenuje polmer. Poleg tega so v vsakem krogu vsi radiji enaki drug drugemu. Premer kroga je premica, ki povezuje dve točki na krogu in poteka skozi njegovo središče. Vse to bomo potrebovali za pravilen izračun površine kroga. Poleg tega se ta vrednost izračuna s številom Pi.

Kako izračunati površino kroga

Na primer, imamo krog s polmerom štirih centimetrov. Izračunajmo njegovo ploščino: S=(3,14)*4^2=(3,14)*16=50,24. Tako je površina kroga 50,24 kvadratnih centimetrov.

Obstaja tudi posebna formula za izračun površine kroga skozi njegov premer: S=(pi/4) d^2.

Oglejmo si primer takšnega izračuna kroga skozi njegov premer, pri čemer poznamo polmer figure. Na primer, imamo krog s polmerom štirih centimetrov. Najprej morate najti premer, ki je dvakrat večji od samega polmera: d=2R, d=2*4=8.

Zdaj bi morali uporabiti pridobljene podatke za izračun površine kroga z uporabo zgoraj opisane formule: S=((3,14)/4 )*8^2=0,785*64=50,24.

Kot lahko vidite, na koncu dobimo enak odgovor kot v prvem primeru.

Poznavanje zgoraj opisanih standardnih formul za pravilen izračun površine kroga vam bo pomagalo zlahka najti manjkajoče vrednosti in določiti površino sektorjev.

Torej vemo, da se formula za izračun površine kroga izračuna tako, da se konstantna vrednost Pi pomnoži s kvadratom polmera samega kroga. Sam polmer lahko izrazimo skozi dejanski obseg tako, da v formulo nadomestimo izraz skozi obseg. To je: R=l/2pi.

Zdaj moramo to enakost nadomestiti s formulo za izračun površine kroga in kot rezultat dobimo formulo za iskanje površine te geometrijske figure skozi obseg: S=pi((l/2pi) )^2=l^2/(4pi).

Na primer, dan nam je krog, katerega obseg je osem centimetrov. Vrednost nadomestimo v obravnavano formulo: S=(8^2)/(4*3,14)=64/(12,56)=5. In dobimo površino kroga, ki je enaka petim kvadratnim centimetrom.

Krogi zahtevajo bolj previden pristop in so veliko manj pogosti pri nalogah B5. Hkrati je splošna shema rešitev še preprostejša kot v primeru poligonov (glej lekcijo "Površine poligonov na koordinatni mreži").

Vse, kar je potrebno pri takih nalogah, je najti polmer kroga R. Nato lahko izračunate površino kroga s formulo S = πR 2. Iz te formule sledi tudi, da je za rešitev dovolj najti R 2.

Za iskanje navedenih vrednosti je dovolj, da označite točko na krogu, ki leži na presečišču mrežnih črt. In nato uporabite Pitagorov izrek. Oglejmo si konkretne primere izračuna polmera:

Naloga. Poiščite polmere treh krogov, prikazanih na sliki:

Izvedimo dodatne konstrukcije v vsakem krogu:

V vsakem primeru je točka B izbrana na krogu, ki leži na presečišču mrežnih črt. Točka C v krogih 1 in 3 dopolnjuje lik v pravokotni trikotnik. Še vedno je treba najti polmere:

Razmislite o trikotniku ABC v prvem krogu. Po Pitagorovem izreku: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Za drugi krog je vse očitno: R = AB = 2.

Tretji primer je podoben prvemu. Iz trikotnika ABC z uporabo Pitagorovega izreka: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Zdaj vemo, kako najti polmer kroga (ali vsaj njegovega kvadrata). Zato lahko najdemo območje. Obstajajo težave, kjer morate najti območje sektorja in ne celotnega kroga. V takih primerih je enostavno ugotoviti, kateri del kroga je ta sektor, in tako najti območje.

Naloga. Poiščite območje S osenčenega sektorja. V odgovoru navedite S/π.

Očitno je sektor ena četrtina kroga. Zato je S = 0,25 S krog.

Še vedno je treba najti S kroga - območje kroga. Da bi to naredili, izvedemo dodatno konstrukcijo:

Trikotnik ABC je pravokoten trikotnik. Po Pitagorovem izreku velja: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Zdaj najdemo območje kroga in sektorja: S krog = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S krog = 2π.

Končno je želena vrednost S /π = 2.

Območje sektorja z neznanim polmerom

To je povsem nova vrsta naloge, v letih 2010–2011 je ni bilo. Glede na pogoj nam je dana krožnica določene ploščine (namreč ploščine, ne polmera!). Nato je znotraj tega kroga izbran sektor, katerega območje je treba najti.

Dobra novica je, da so takšne težave najlažje od vseh področnih težav, ki se pojavljajo na Enotnem državnem izpitu iz matematike. Poleg tega sta krog in sektor vedno postavljena na koordinatno mrežo. Če želite izvedeti, kako rešiti takšne težave, si oglejte sliko:

Naj ima prvotni krog površino S = 80. Nato ga lahko razdelimo na dva sektorja s površino S = 40 vsak (glejte 2. korak). Podobno lahko vsako od teh "polovičnih" sektorjev ponovno razdelimo na polovico - dobimo štiri sektorje s površino S = 20 vsak (glej 3. korak). Končno lahko vsakega od teh sektorjev razdelimo še na dva - dobimo 8 sektorjev "ostankov". Območje vsakega od teh "ostankov" bo S = 10.

Upoštevajte: v nobenem matematičnem problemu USE ni natančnejše delitve! Tako je algoritem za rešitev problema B-3 naslednji:

1. Prvotni krog razrežite na 8 sektorjev "ostankov". Površina vsakega od njih je natančno 1/8 površine celotnega kroga. Na primer, če ima krog v skladu s pogojem površino S kroga = 240, potem imajo "ostanki" površino S = 240: 8 = 30;
2. Ugotovite, koliko "ostankov" se prilega prvotnemu sektorju, katerega območje je treba najti. Na primer, če naš sektor vsebuje 3 "ostanke" s površino 30, potem je površina želenega sektorja S = 3 · 30 = 90. To bo odgovor.

To je vse! Problem se rešuje praktično ustno. Če vam še kaj ni jasno, kupite pico in jo razrežite na 8 kosov. Vsak tak kos bo isti sektor - "ostanki", ki jih je mogoče združiti v večje kose.

Zdaj pa si poglejmo primere iz poskusnega enotnega državnega izpita:

Naloga. Na karirastem papirju je narisan krog s površino 40. Poiščite površino zasenčene figure.

Torej, območje kroga je 40. Razdelite ga na 8 sektorjev - vsak s površino S = 40: 5 = 8. Dobimo:

Očitno je osenčen sektor sestavljen iz točno dveh sektorjev »ostankov«. Zato je njegova ploščina 2 · 5 = 10. To je celotna rešitev!

Naloga. Na karirastem papirju je narisan krog s površino 64. Poiščite površino zasenčene figure.

Ponovno razdelite celoten krog na 8 enakih sektorjev. Očitno je območje enega od njih točno tisto, kar je treba najti. Zato je njegova površina S = 64: 8 = 8.

Naloga. Na karirastem papirju je narisan krog s površino 48. Poiščite površino zasenčene figure.

Ponovno razdelite krog na 8 enakih sektorjev. Območje vsakega od njih je enako S = 48: 8 = 6. Zahtevani sektor vsebuje natanko tri sektorje - "ostanke" (glej sliko). Zato je površina zahtevanega sektorja 3 6 = 18.

Navodila

Uporabite Pi, da poiščete polmer znanega območja kroga. Ta konstanta določa razmerje med premerom kroga in dolžino njegovega roba (kroga). Dolžina kroga je največja površina ravnine, ki jo je mogoče pokriti z njegovo pomočjo, premer pa je enak dvema polmeroma, zato sta tudi ploščina in polmer med seboj povezana z razmerjem, ki ga lahko izrazimo z število Pi. Ta konstanta (π) je definirana kot ploščina (S) in kvadrat polmera (r) kroga. Iz tega sledi, da lahko polmer izrazimo kot kvadratni koren kvocienta ploščine, deljenega s Pi: r=√(S/π).

Erastoten je dolgo časa vodil Aleksandrijsko knjižnico, najslavnejšo knjižnico starega sveta. Poleg izračuna velikosti našega planeta je prišel do številnih pomembnih izumov in odkritij. Izumil je preprosto metodo za določanje praštevil, ki se zdaj imenuje "Erastofenovo sito".

Narisal je »zemljevid sveta«, na katerem je prikazal vse dele sveta, ki so jih takrat poznali stari Grki. Zemljevid je veljal za enega najboljših za svoj čas. Razvil je sistem zemljepisne dolžine in širine ter koledar, ki je vključeval prestopna leta. Izumil je armilarno kroglo, mehansko napravo, ki so jo zgodnji astronomi uporabljali za prikazovanje in napovedovanje navideznega gibanja zvezd na nebu. Sestavil je tudi zvezdni katalog, ki je vključeval 675 zvezd.

Viri:

• Grški znanstvenik Eratosten iz Cirene je prvi na svetu izračunal polmer Zemlje
• Eratosten "Izračun zemeljskega oboda".
• Eratosten

V geometriji vsepovsod je določena množica vseh točk na ravnini, ki so od ene točke, imenovane njeno središče, oddaljene za razdaljo, ki ni večja od dane, imenovane njen polmer. V tem primeru je zunanja meja kroga krog, in v primeru, če je dolžina polmera enaka nič, krog degenerira do točke.

Določanje površine kroga

Če je potrebno območje kroga se lahko izračuna po formuli:

r- polmer kroga

D- premer kroga

S- območje kroga

π - 3.14

To geometrijsko figuro zelo pogosto najdemo tako v tehnologiji kot v arhitekturi. Oblikovalci strojev in mehanizmov razvijajo različne dele, od katerih so deli mnogih natančni krog. Na primer, to so gredi, palice, palice, valji, osi, bati itd. Pri izdelavi teh delov se uporabljajo surovci iz različnih materialov (kovine, les, plastika); krog. Ni treba posebej poudarjati, da morajo razvijalci pogosto računati območje kroga skozi premer ali polmer z uporabo preprostih matematičnih formul, odkritih v starih časih.

Točno takrat okrogle elemente se je začela aktivno in široko uporabljati v arhitekturi. Eden najbolj osupljivih primerov tega je cirkus, ki je vrsta stavbe, namenjene gostitvi različnih zabavnih dogodkov. Njihove arene so oblikovane krog, prvič pa so jih začeli graditi že v antiki. Beseda sama " cirkus"prevedeno iz latinščine pomeni" krog" Če so v starih časih cirkusi gostili gledališke predstave in gladiatorske borbe, so danes prostor, kjer se skoraj izključno odvijajo cirkuške predstave, v katerih sodelujejo trenerji, akrobati, čarovniki, klovni itd. Standardni premer cirkuške arene je 13 metrov , in to povsem ni naključje: dejstvo je, da je on tisti, ki zagotavlja minimalne potrebne geometrijske parametre arene, v kateri lahko cirkuški konji galopirajo v krogu. Če računamo območje kroga skozi premer se izkaže, da je za cirkuško areno ta vrednost 113,04 kvadratnih metrov.

Arhitekturni elementi, ki imajo lahko obliko kroga, so okna. Seveda so v večini primerov pravokotna ali kvadratna (predvsem zaradi dejstva, da je to lažje tako za arhitekte kot za gradbenike), v nekaterih objektih pa najdemo tudi okrogla okna. Še več, v vozilih, kot so zračna, morska in rečna plovila, so najpogosteje takšni.

Nič nenavadnega ni, da za izdelavo pohištva, kot so mize in stoli, uporabljajo okrogle elemente. Obstaja celo koncept " okrogla miza«, kar pomeni konstruktivno razpravo, v kateri poteka celovita obravnava različnih pomembnih problemov in razvijanje načinov za njihovo reševanje. Kar zadeva izdelavo samih pultov, ki imajo okroglo obliko, se za njihovo izdelavo uporabljajo specializirana orodja in oprema, pod pogojem, da sodelujejo delavci z dokaj visokimi kvalifikacijami.

Kako najti območje kroga? Najprej poiščite polmer. Naučite se reševati preproste in zapletene probleme.

Krog je zaprta krivulja. Vsaka točka na krožnici bo enako oddaljena od središča. Krog je ploska figura, zato je reševanje problemov z iskanjem ploščine enostavno. V tem članku si bomo ogledali, kako najti območje kroga, vpisanega v trikotnik, trapez, kvadrat in obkroženega okoli teh številk.

Če želite najti območje dane figure, morate vedeti, kaj so polmer, premer in število π.

Polmer R je razdalja, omejena s središčem kroga. Dolžine vseh R-polmerov enega kroga bodo enake.

Premer D je črta med katerima koli točkama na krogu, ki poteka skozi središčno točko. Dolžina tega segmenta je enaka dolžini polmera R, pomnoženega z 2.

Število π je konstantna vrednost, ki je enaka 3,1415926. V matematiki je to število običajno zaokroženo na 3,14.

Formula za iskanje površine kroga z uporabo polmera:

Primeri reševanja problemov pri iskanju S-območja kroga z uporabo R-polmera:

Naloga: Poiščite ploščino kroga, če je njegov polmer 7 cm.

rešitev: S=πR², S=3,14*7², S=3,14*49=153,86 cm².

odgovor: Površina kroga je 153,86 cm².

Formula za iskanje S-območja kroga skozi D-premer:

Primeri reševanja nalog za iskanje S, če je D znan:

————————————————————————————————————————-

Naloga: Poiščite S kroga, če je njegov D 10 cm.

rešitev: P=π*d²/4, P=3,14*10²/4=3,14*100/4=314/4=78,5 cm².

odgovor: Ploščina ravnega krožnega lika je 78,5 cm².

Iskanje S kroga, če je obseg znan:

Najprej ugotovimo, čemu je enak polmer. Obseg kroga se izračuna po formuli: L=2πR, polmer R bo enak L/2π. Zdaj poiščemo območje kroga s formulo skozi R.

Razmislimo o rešitvi s primerom problema:

———————————————————————————————————————-

Naloga: Poiščite površino kroga, če je obseg L znan - 12 cm.

rešitev: Najprej poiščemo polmer: R=L/2π=12/2*3,14=12/6,28=1,91.

Sedaj najdemo površino skozi polmer: S=πR²=3,14*1,91²=3,14*3,65=11,46 cm².

odgovor: Površina kroga je 11,46 cm².

Iskanje površine kroga, vpisanega v kvadrat, je enostavno. Stranica kvadrata je premer kroga. Če želite najti polmer, morate stranico deliti z 2.

Formula za iskanje površine kroga, vpisanega v kvadrat:

Primeri reševanja problemov iskanja območja kroga, vpisanega v kvadrat:

———————————————————————————————————————

Naloga #1: Znana je stranica kvadratnega lika, ki je 6 centimetrov. Poiščite S-območje včrtanega kroga.

rešitev: S=π(a/2)²=3,14(6/2)²=3,14*9=28,26 cm².

odgovor: Ploščina ravnega krožnega lika je 28,26 cm².

————————————————————————————————————————

Naloga št. 2: Poiščite S kroga, vpisanega v kvadrat, in njegov polmer, če je ena stranica a=4 cm.

Odločite se takole: Najprej najdemo R=a/2=4/2=2 cm.

Zdaj pa poiščimo površino kroga S=3,14*2²=3,14*4=12,56 cm².

odgovor: Ploščina ravnega krožnega lika je 12,56 cm².

Nekoliko težje je najti območje krožne figure, opisane okoli kvadrata. Toda če poznate formulo, lahko hitro izračunate to vrednost.

Formula za iskanje kroga S okrog kvadrata:

Primeri reševanja problemov za iskanje površine kroga, ki je obkrožen s kvadratom:

Naloga

Krožnica, ki je vpisana v trikotnik, je krožnica, ki se dotika vseh treh strani trikotnika. Krog lahko vstavite v katero koli trikotno figuro, vendar le v eno. Središče kroga bo presečišče simetral kotov trikotnika.

Formula za iskanje površine kroga, vpisanega v enakokraki trikotnik:

Ko je polmer znan, lahko površino izračunate po formuli: S=πR².

Formula za iskanje površine kroga, vpisanega v pravokotni trikotnik:

Primeri reševanja problemov:

Naloga št. 1

Če morate v tej nalogi najti tudi površino kroga s polmerom 4 cm, potem lahko to storite s formulo: S=πR²

Naloga št. 2

rešitev:

Zdaj, ko je polmer znan, lahko z uporabo polmera poiščemo površino kroga. Glej formulo zgoraj v besedilu.

Naloga št. 3

Območje kroga, opisanega okoli pravilnega in enakokrakega trikotnika: formula, primeri reševanja problemov

Vse formule za iskanje območja kroga se zmanjšajo na dejstvo, da morate najprej najti njegov polmer. Ko je radij znan, je iskanje območja preprosto, kot je opisano zgoraj.

Ploščino kroga, ki je obkrožen s pravim in enakokrakim trikotnikom, se izračuna po naslednji formuli:

Primeri reševanja problemov:

Tukaj je še en primer reševanja problema z uporabo Heronove formule.

Reševanje takšnih problemov je težko, vendar jih je mogoče obvladati, če poznate vse formule. Takšne naloge učenci rešujejo v 9. razredu.

Območje kroga, vpisanega v pravokotni in enakokraki trapez: formula, primeri reševanja problemov

Enakokraki trapez ima dve enaki stranici. Pravokotni trapez ima en kot enak 90º. Poglejmo, kako na primeru reševanja problemov najdemo območje kroga, vpisanega v pravokotni in enakokraki trapez.

Enakokrakemu trapezu je na primer vpisan krog, ki na stični točki deli eno stranico na segmenta m in n.

Za rešitev te težave morate uporabiti naslednje formule:

Iskanje površine kroga, vpisanega v pravokotni trapez, se izvede z naslednjo formulo:

Če je bočna stranica znana, lahko polmer najdete s to vrednostjo. Višina stranice trapeza je enaka premeru kroga, polmer pa je polovica premera. V skladu s tem je polmer R=d/2.

Primeri reševanja problemov:

Trapez lahko vpišemo v krog, če je vsota njegovih nasprotnih kotov 180°. Zato lahko vpišete le enakokraki trapez. Polmer za izračun površine kroga, ki je obkrožen s pravokotnim ali enakokrakim trapezom, se izračuna po naslednjih formulah:

Primeri reševanja problemov:

rešitev: Velika baza v tem primeru poteka skozi središče, saj je v krogu vpisan enakokraki trapez. Središče deli to osnovo točno na polovico. Če je osnova AB 12, potem je polmer R mogoče najti na naslednji način: R=12/2=6.

odgovor: Polmer je 6.

Pri geometriji je pomembno poznati formule. Nemogoče pa si je zapomniti vse, zato je tudi pri mnogih izpitih dovoljeno uporabiti poseben obrazec. Vendar pa je pomembno, da znamo najti pravo formulo za rešitev določenega problema. Vadite reševanje različnih problemov, da bi našli polmer in površino kroga, tako da lahko pravilno nadomestite formule in dobite natančne odgovore.

Video: Matematika | Izračun površin kroga in njegovih delov