Kako pomnožiti ulomek z naravnim številom. Pravila za množenje in deljenje ulomkov s celimi števili
PREBOJTE ŽE TE GRABLJE! 🙂
Množenje in deljenje ulomkov.
Pozor!
Obstajajo dodatni
materiali v posebnem oddelku 555.
Za tiste, ki so zelo »ne zelo. »
In za tiste, ki »zelo. ")
Ta operacija je veliko bolj prijetna kot seštevanje in odštevanje! Ker je lažje. Opomba: če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate pomnožiti števce (to bo števec rezultata) in imenovalce (to bo imenovalec). To je:
Vse je izjemno preprosto. In prosim, ne iščite skupnega imenovalca! Tukaj ga ni treba ...
Če želite deliti ulomek z ulomkom, morate obrniti drugo(to je pomembno!) ulomek in jih pomnožite, tj.
Če naletite na množenje ali deljenje s celimi števili in ulomki, je v redu. Tako kot pri seštevanju naredimo ulomek iz celega števila z enico v imenovalcu - in nadaljujte! Na primer:
V srednji šoli se moraš pogosto ukvarjati s trinadstropnimi (ali celo štirinadstropnimi!) frakcijami. Na primer:
Kako naj ta ulomek izgleda spodobno? Da, zelo preprosto! Uporabite delitev na dve točki:
A ne pozabite na vrstni red delitve! Za razliko od množenja je to tukaj zelo pomembno! Seveda ne bomo zamenjali 4:2 ali 2:4. Toda v trinadstropni frakciji je enostavno narediti napako. Upoštevajte na primer:
V prvem primeru (izraz na levi):
V drugem (izraz na desni):
Ali čutite razliko? 4 in 1/9!
Kaj določa vrstni red delitve? Ali z oklepaji ali (kot tukaj) z dolžino vodoravnih črt. Razvijte svoje oko. In če ni oklepajev ali pomišljajev, na primer:
nato deli in pomnoži po vrsti, od leve proti desni!
In še ena zelo preprosta in pomembna tehnika. Pri dejanjih z diplomami vam bo zelo koristilo! Eno delimo s poljubnim ulomkom, na primer s 13/15:
Strel se je obrnil! In to se vedno zgodi. Pri delitvi 1 s poljubnim ulomkom je rezultat isti ulomek, le da je obrnjen na glavo.
To je to za operacije z ulomki. Zadeva je precej enostavna, vendar daje več kot dovolj napak. Upoštevajte praktične nasvete, pa jih bo (napak) manj!
1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost! To niso splošne besede, ne dobre želje! To je nujno! Vse izračune na Enotnem državnem izpitu naredite kot popolno nalogo, osredotočeno in jasno. Bolje je, da v svoj osnutek napišete dve dodatni vrstici, kot da se zamočite pri miselnih izračunih.
2. Pri primerih z različnimi vrstami ulomkov preidemo na navadne ulomke.
3. Zmanjšamo vse frakcije, dokler se ne ustavijo.
4. Večnivojske ulomke reduciramo na navadne z deljenjem skozi dve točki (upoštevamo vrstni red deljenja!).
Tukaj so naloge, ki jih morate zagotovo opraviti. Odgovori so podani po vseh nalogah. Uporabite materiale o tej temi in praktične nasvete. Oceni, koliko primerov si uspel pravilno rešiti. Prvič! Brez kalkulatorja! In naredite prave zaključke.
Ne pozabite - pravilen odgovor je prejeto od drugič (zlasti tretjič) čas ne šteje! Tako je surovo življenje.
Torej, rešiti v izpitnem načinu ! Mimogrede, to je že priprava na enotni državni izpit. Primer rešimo, preverimo, rešimo naslednjega. Odločili smo se za vse - ponovno preverili od prvega do zadnjega. Ampak le Potem poglej odgovore.
Iščemo odgovore, ki ustrezajo vašim. Namenoma sem jih zapisal neurejeno, tako rekoč stran od skušnjave. Tukaj so odgovori, ločeni s podpičji.
0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.
Zdaj delamo zaključke. Če je vse uspelo, sem vesel zate! Osnovni izračuni z ulomki niso vaš problem! Lahko počnete resnejše stvari. Če ne.
Torej imate eno od dveh težav. Ali oboje hkrati.) Pomanjkanje znanja in (ali) nepazljivost. Ampak. to rešljiv Težave.
Vsi ti (in še več!) primeri so obravnavani v posebnem razdelku 555 "Ulomki". S podrobnimi razlagami kaj, zakaj in kako. Ta analiza zelo pomaga pri pomanjkanju znanja in veščin!
Da, in nekaj je v zvezi z drugo težavo.) Precej praktičen nasvet, kako postati bolj pozoren. Da Da! Nasvet, ki ga je mogoče uporabiti vsak.
Za uspeh je poleg znanja in pozornosti potrebna tudi določena avtomatičnost. Kje ga lahko dobim? Slišim težak vzdih ... Ja, samo v praksi, nikjer drugje.
Za usposabljanje lahko obiščete spletno mesto 321start.ru. V možnosti »Poskusi« je 10 primerov za vsakogar. S takojšnjim preverjanjem. Za registrirane uporabnike - 34 primerov od preprostih do hudih. To je samo v delih.
Če vam je všeč ta stran.
Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)
Tukaj lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)
In tukaj se lahko seznanite s funkcijami in derivati.
1. pravilo
Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate njegov števec pomnožiti s tem številom, imenovalec pa pustiti nespremenjen.
2. pravilo.
Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom:
1. poišči zmnožek števcev in zmnožek imenovalcev teh ulomkov
2. Prvi zmnožek zapiši kot števec, drugega pa kot imenovalec.
3. pravilo
Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate zapisati kot nepravilne ulomke in nato uporabiti pravilo za množenje ulomkov.
Pravilo 4.
Če želite deliti en ulomek z drugim, morate dividendo pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja.
Primer 1.
Izračunaj
Primer 2.
Izračunaj
Primer 3.
Izračunaj
Primer 4.
Izračunaj
Matematika. Drugi materiali
Dvig števila na racionalno potenco. (
Dvig števila na naravno potenco. (
Posplošena intervalna metoda za reševanje algebraičnih neenačb (Avtor A.V. Kolchanov)
Metoda zamenjave faktorjev pri reševanju algebraičnih neenakosti (Avtor Kolchanov A.V.)
Znaki deljivosti (Lungu Alena)
Preizkusite se na temo 'Množenje in deljenje navadnih ulomkov'
Množenje ulomkov
Upoštevali bomo množenje navadnih ulomkov v več možnih možnostih.
Množenje navadnega ulomka z ulomkom
To je najpreprostejši primer, v katerem morate uporabiti naslednje pravila za množenje ulomkov.
Za pomnoži ulomek z ulomkom, potrebno:
Pred množenjem števcev in imenovalcev preverite, ali je mogoče ulomke skrajšati. Zmanjšanje ulomkov v izračunih bo vaše izračune veliko lažje.
Množenje ulomka z naravnim številom
Da naredim ulomek pomnožimo z naravnim številomŠtevec ulomka morate pomnožiti s tem številom, imenovalec ulomka pa pustiti nespremenjen.
Če je rezultat množenja nepravilen ulomek, ga ne pozabite spremeniti v mešano število, torej označite celega dela.
Množenje mešanih števil
Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate najprej spremeniti v neprave ulomke in nato množiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.
Drug način za množenje ulomka z naravnim številom
Včasih je pri izračunih bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.
Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti enak.
Kot je razvidno iz primera, je ta različica pravila bolj priročna za uporabo, če je imenovalec ulomka deljiv z naravnim številom brez ostanka.
Deljenje ulomka s številom
Kako najhitreje delimo ulomek s številom? Analizirajmo teorijo, naredimo zaključek in na primerih poglejmo, kako lahko ulomek delimo s številom z novim kratkim pravilom.
Običajno delitev ulomka s številom sledi pravilu za deljenje ulomkov. Prvo število (ulomek) pomnožimo z obratnim številom drugega. Ker je drugo število celo število, je njegov inverz ulomek, katerega števec je enak ena, imenovalec pa danemu številu. Shematično je deljenje ulomka z naravnim številom videti takole:
Iz tega sklepamo:
Če želite deliti ulomek s številom, morate imenovalec pomnožiti s tem številom in pustiti števec enak. Pravilo lahko formuliramo še bolj na kratko:
Pri delitvi ulomka s številom gre število v imenovalec.
Delite ulomek s številom:
Če želite ulomek deliti s številom, prepišemo števec nespremenjen in imenovalec pomnožimo s tem številom. 6 in 3 zmanjšamo za 3.
Ko delimo ulomek s številom, prepišemo števec in imenovalec pomnožimo s tem številom. 16 in 24 zmanjšamo za 8.
Pri deljenju ulomka s številom gre število v imenovalec, zato pustimo števec enak, imenovalec pa pomnožimo z deliteljem. 21 in 35 zmanjšamo za 7.
Množenje in deljenje ulomkov
Nazadnje smo se naučili seštevati in odštevati ulomke (glej lekcijo »Seštevanje in odštevanje ulomkov«). Najtežji del teh dejanj je bilo spravljanje ulomkov na skupni imenovalec.
Zdaj je čas, da se ukvarjamo z množenjem in deljenjem. Dobra novica je, da so te operacije celo preprostejše od seštevanja in odštevanja. Najprej si oglejmo najpreprostejši primer, ko obstajata dva pozitivna ulomka brez ločenega celega dela.
Če želite pomnožiti dva ulomka, morate ločeno pomnožiti njune števce in imenovalce. Prvo število bo števec novega ulomka, drugo pa imenovalec.
Če želite razdeliti dva ulomka, morate prvi ulomek pomnožiti z "obrnjenim" drugim ulomkom.
Iz definicije sledi, da se deljenje ulomkov zmanjša na množenje. Če želite "obrniti" ulomek, preprosto zamenjajte števec in imenovalec. Zato bomo skozi lekcijo obravnavali predvsem množenje.
Kot rezultat množenja lahko nastane (in pogosto nastane) zmanjšljiv ulomek - seveda ga je treba zmanjšati. Če se po vseh zmanjšanjih izkaže, da ulomek ni pravilen, je treba poudariti cel del. Toda tisto, kar se pri množenju zagotovo ne bo zgodilo, je redukcija na skupni imenovalec: brez navzkrižnih metod, največji faktorji in najmanjši skupni večkratniki.
Naloga. Poiščite pomen izraza:
Po definiciji imamo:
Množenje ulomkov s celimi deli in negativnimi ulomki
Če ulomki vsebujejo celo število, jih je treba pretvoriti v nepravilne - in šele nato pomnožiti v skladu z zgoraj navedenimi shemami.
Če je v števcu ulomka, v imenovalcu ali pred njim minus, ga lahko izločimo iz množenja ali popolnoma odstranimo po naslednjih pravilih:
- Plus z minusom daje minus;
- Dve nikalnici pomenita pritrdilno.
- Negative prečrtamo v parih, dokler popolnoma ne izginejo. V skrajnih primerih lahko preživi en minus - tisti, za katerega ni bilo para;
- Če ni več minusov, je operacija končana - lahko začnete množiti. Če zadnji minus ni prečrtan, ker zanj ni bilo para, ga vzamemo izven meja množenja. Rezultat je negativen ulomek.
Doslej so se s temi pravili srečevali le pri seštevanju in odštevanju negativnih ulomkov, ko se je bilo treba znebiti celega dela. Za delo jih je mogoče posplošiti, da bi "zažgali" več pomanjkljivosti hkrati:
Vse ulomke pretvorimo v neprave, nato pa iz množenja odstranimo minuse. Kar ostane, pomnožimo po običajnih pravilih. Dobimo:
Naj vas še enkrat spomnim, da se minus, ki se pojavi pred ulomkom s poudarjenim celim delom, nanaša prav na celoten ulomek in ne samo na njegov cel del (to velja za zadnja dva primera).
Pozorni bodite tudi na negativna števila: pri množenju so v oklepajih. To naredimo zato, da ločimo minuse od znakov za množenje in naredimo celoten zapis natančnejši.
Zmanjševanje ulomkov sproti
Množenje je zelo delovno intenzivna operacija. Številke tukaj se izkažejo za precej velike in za poenostavitev težave lahko poskusite ulomek še zmanjšati pred množenjem. V bistvu so števci in imenovalci ulomkov navadni faktorji, zato jih je mogoče zmanjšati z uporabo osnovne lastnosti ulomka. Oglejte si primere:
V vseh primerih so z rdečo označena števila, ki so bila zmanjšana, in tisto, kar je od njih ostalo.
Upoštevajte: v prvem primeru so bili množitelji popolnoma zmanjšani. Na njihovem mestu ostanejo enote, ki jih na splošno ni treba pisati. V drugem primeru ni bilo mogoče doseči popolnega zmanjšanja, vendar se je skupna količina izračunov vseeno zmanjšala.
Vendar te tehnike nikoli ne uporabljajte pri seštevanju in odštevanju ulomkov! Da, včasih so podobne številke, ki jih želite samo zmanjšati. Tukaj, poglej:
Tega ne smeš!
Do napake pride, ker pri seštevanju števec ulomka ustvari vsoto in ne produkt števil. Posledično je nemogoče uporabiti osnovno lastnost ulomka, saj se ta lastnost ukvarja posebej z množenjem števil.
Drugih razlogov za zmanjševanje ulomkov preprosto ni, zato je pravilna rešitev prejšnjega problema videti takole:
Kot lahko vidite, se pravilni odgovor ni izkazal za tako lepega. Na splošno bodite previdni.
Deljenje ulomkov.
Deljenje ulomka z naravnim številom.
Primeri deljenja ulomka z naravnim številom
Deljenje naravnega števila z ulomkom.
Primeri deljenja naravnega števila z ulomkom
Deljenje navadnih ulomkov.
Primeri deljenja navadnih ulomkov
Deljenje mešanih števil.
- Če želite deliti eno mešano število z drugim, morate:
- pretvori mešane ulomke v neprave ulomke;
- pomnožite prvi ulomek z recipročno vrednostjo drugega;
- zmanjšati nastalo frakcijo;
- Če dobite nepravilni ulomek, pretvorite nepravilni ulomek v mešani ulomek.
- pretvori mešane ulomke v neprave ulomke;
- množenje števcev in imenovalcev ulomkov;
- zmanjšajte delež;
- Če dobimo nepravi ulomek, potem nepravi ulomek pretvorimo v mešani ulomek.
- Pod- in pod- Predelana pesem "Pomladni tango" (Čas prihaja - ptice letijo z juga) - glasb. Valery Milyaev Nisem slišal dovolj, nisem razumel, nisem razumel, v smislu, da nisem uganil, napisal sem vse glagole z neločljivo, nisem vedel za predpono nedo. Zgodi se, […]
- Stran ni najdena V tretji končni obravnavi je bil sprejet sveženj vladnih aktov, ki predvidevajo ustanovitev posebnih upravnih regij (PPU). Zaradi izstopa iz Evropske unije Združeno kraljestvo ne bo vključeno v evropsko območje DDV in […]
- Skupni preiskovalni odbor se bo pojavil jeseni Skupni preiskovalni odbor se bo pojavil jeseni Preiskava vseh organov pregona bo v četrtem poskusu združena pod eno streho Že jeseni 2014 je po poročanju Izvestije predsednik Vladimir Putin [ …]
- Patent za algoritem Kako izgleda patent za algoritem Kako se pripravi patent za algoritem Priprava tehničnih opisov metod za shranjevanje, obdelavo in prenos signalov in/ali podatkov posebej za namene patentiranja običajno ne predstavlja posebnih težav, in […]
- KAJ JE POMEMBNO VEDETI O NOVEM PREDLOGU ZAKONA O POKOJNINAH USTAVA RUSKE FEDERACIJE 12. decembra 1993 (ob upoštevanju sprememb zakonov Ruske federacije o spremembah ustave Ruske federacije z dne 30. decembra 2008 N 6- FKZ, z dne 30. decembra 2008 N 7-FKZ, […]
- Smešne pesmice o ženski pokojnini za junaka dneva, moški - v zboru za junaka dneva, ženske - posvetitev upokojencem, zanimiva bodo tekmovanja za upokojence : Dragi prijatelji! Samo minuto! Senzacija! Samo […]
Primeri deljenja mešanih števil
1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16
2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7
Vsi nespodobni komentarji bodo izbrisani, njihovi avtorji pa uvrščeni na črno listo!
Dobrodošli v OnlineMSchool.
Moje ime je Dovzhik Mikhail Viktorovich. Sem lastnik in avtor te strani, napisal sem vso teoretično gradivo, razvil pa sem tudi spletne vaje in kalkulatorje, ki jih lahko uporabite za študij matematike.
Ulomki. Množenje in deljenje ulomkov.
Množenje navadnega ulomka z ulomkom.
Za množenje navadnih ulomkov morate števec pomnožiti s števcem (dobimo števec produkta) in imenovalec z imenovalcem (dobimo imenovalec produkta).
Formula za množenje ulomkov:
Preden začnete množiti števce in imenovalce, morate preveriti, ali je mogoče ulomek zmanjšati. Če lahko ulomek zmanjšate, boste lažje delali nadaljnje izračune.
Opomba! Tukaj ni treba iskati skupnega imenovalca!!
Deljenje navadnega ulomka z ulomkom.
Deljenje navadnega ulomka z ulomkom poteka takole: drugi ulomek obrneš (torej zamenjaš števec in imenovalec) in za tem se ulomki pomnožijo.
Formula za deljenje navadnih ulomkov:
Množenje ulomka z naravnim številom.
Opomba! Pri množenju ulomka z naravnim številom števec ulomka pomnožimo z našim naravnim številom, imenovalec ulomka pa pustimo enak. Če je rezultat zmnožka nepravilni ulomek, ne pozabite poudariti celotnega dela, tako da nepravilni ulomek spremenite v mešani ulomek.
Deljenje ulomkov z naravnimi števili.
Ni tako strašno, kot se zdi. Kot pri seštevanju celo število pretvorimo v ulomek z ena v imenovalcu. Na primer:
Množenje mešanih ulomkov.
Pravila za množenje ulomkov (mešano):
Opomba!Če želite pomnožiti mešani ulomek z drugim mešanim ulomkom, jih morate najprej pretvoriti v obliko nepravih ulomkov, nato pa pomnožiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.
Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.
Morda bo bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.
Opomba!Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti nespremenjen.
Iz zgornjega primera je jasno, da je ta možnost bolj priročna za uporabo, ko je imenovalec ulomka brez ostanka deljen z naravnim številom.
Večnadstropni ulomki.
V srednji šoli pogosto srečamo trinadstropne (ali več) frakcije. primer:
Če želite tak ulomek prenesti v običajno obliko, uporabite deljenje na 2 točki:
Opomba! Pri deljenju ulomkov je vrstni red deljenja zelo pomemben. Bodite previdni, tukaj se zlahka zmedete.
Opomba, Na primer:
Pri delitvi enega s katerimkoli ulomkom bo rezultat isti ulomek, le obrnjen:
Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:
1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost. Vse izračune opravite previdno in natančno, zbrano in jasno. Bolje je, da v osnutek napišete nekaj dodatnih vrstic, kot da se izgubite v miselnih izračunih.
2. Pri nalogah z različnimi vrstami ulomkov pojdite na vrsto navadnih ulomkov.
3. Zmanjšujemo vse ulomke, dokler ni več mogoče zmanjševati.
4. Večnivojske ulomke pretvorimo v navadne z deljenjem na 2 točki.
Če želite pravilno pomnožiti ulomek z ulomkom ali ulomek s številom, morate vedeti preprosta pravila. Zdaj bomo ta pravila podrobno analizirali.
Množenje navadnega ulomka z ulomkom.
Če želite ulomek pomnožiti z ulomkom, morate izračunati zmnožek števcev in zmnožek imenovalcev teh ulomkov.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Poglejmo primer:
Števec prvega ulomka pomnožimo s števcem drugega ulomka, pomnožimo pa tudi imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ krat 3)(7 \krat 3) = \frac(4)(7)\\\)
Ulomek \(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) je bil zmanjšan za 3.
Množenje ulomka s številom.
Najprej si zapomnimo pravilo, poljubno število je mogoče predstaviti kot ulomek \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Pri množenju uporabimo to pravilo.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Nepravi ulomek \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\) pretvorjen v mešani ulomek.
Z drugimi besedami, Pri množenju števila z ulomkom število pomnožimo s števcem, imenovalec pa pustimo nespremenjen. primer:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Množenje mešanih ulomkov.
Če želite pomnožiti mešane ulomke, morate vsak mešani ulomek najprej predstaviti kot nepravilni ulomek in nato uporabiti pravilo množenja. Števec pomnožimo s števcem, zmnoževalec pa z imenovalcem.
primer:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(rdeča) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(rdeča) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Množenje recipročnih ulomkov in števil.
Ulomek \(\bf \frac(a)(b)\) je inverzna ulomku \(\bf \frac(b)(a)\), če je a≠0,b≠0.
Ulomka \(\bf \frac(a)(b)\) in \(\bf \frac(b)(a)\) imenujemo recipročni ulomki. Produkt recipročnih ulomkov je enak 1.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
primer:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Povezana vprašanja:
Kako pomnožiti ulomek z ulomkom?
Odgovor: Zmnožek navadnih ulomkov je množenje števca s števcem, imenovalca z imenovalcem. Če želite dobiti produkt mešanih ulomkov, jih morate pretvoriti v nepravilen ulomek in pomnožiti v skladu s pravili.
Kako pomnožiti ulomke z različnimi imenovalci?
Odgovor: ni pomembno, ali imajo ulomki enake ali različne imenovalce, množenje poteka po pravilu iskanja produkta števca s števcem, imenovalca z imenovalcem.
Kako pomnožiti mešane ulomke?
Odgovor: najprej morate mešani ulomek pretvoriti v nepravilni ulomek in nato zmnožek poiskati po pravilih množenja.
Kako pomnožiti število z ulomkom?
Odgovor: število pomnožimo s števcem, imenovalec pa pustimo enak.
Primer #1:
Izračunajte zmnožek: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
rešitev:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( rdeča) (5))(3 \krat \barva(rdeča) (5) \krat 13) = \frac(4)(39)\)
Primer #2:
Izračunajte zmnožke števila in ulomka: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
rešitev:
a) \(3 \krat \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \krat \frac(17)(23) = \frac(3 \krat 17)(1 \krat 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\\)
b) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Primer #3:
Zapišite recipročno vrednost ulomka \(\frac(1)(3)\)?
Odgovor: \(\frac(3)(1) = 3\)
Primer #4:
Izračunajte zmnožek dveh recipročnih ulomkov: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
rešitev:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Primer #5:
Ali so recipročni ulomki lahko:
a) hkrati s pravimi ulomki;
b) hkrati nepravi ulomki;
c) hkrati naravna števila?
rešitev:
a) za odgovor na prvo vprašanje navedimo primer. Ulomek \(\frac(2)(3)\) je pravi, njegov obratni ulomek bo enak \(\frac(3)(2)\) - nepravi ulomek. Odgovor: ne.
b) pri skoraj vseh naštevanjih ulomkov ta pogoj ni izpolnjen, obstajajo pa številke, ki izpolnjujejo pogoj, da so hkrati nepravi ulomki. Na primer, nepravi ulomek je \(\frac(3)(3)\), njegov obratni ulomek pa je enak \(\frac(3)(3)\). Dobimo dva nepravilna ulomka. Odgovor: ne vedno pod določenimi pogoji, ko sta števec in imenovalec enaka.
c) naravna števila so števila, ki jih uporabljamo pri štetju, na primer 1, 2, 3, …. Če vzamemo število \(3 = \frac(3)(1)\), bo njegov inverzni ulomek \(\frac(1)(3)\). Ulomek \(\frac(1)(3)\) ni naravno število. Če gremo skozi vsa števila, je recipročna vrednost števila vedno ulomek, razen 1. Če vzamemo število 1, bo njen recipročni ulomek \(\frac(1)(1) = \frac(1 )(1) = 1\). Število 1 je naravno število. Odgovor: hkrati so lahko naravna števila le v enem primeru, če je to število 1.
Primer #6:
Naredite zmnožek mešanih ulomkov: a) \(4 \krat 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \krat 3\frac(2)(7)\ )
rešitev:
a) \(4 \krat 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \krat \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Primer #7:
Ali sta lahko dve recipročni števili hkrati mešani števili?
Poglejmo si primer. Vzemimo mešani ulomek \(1\frac(1)(2)\), poiščimo njegov inverzni ulomek, za to ga pretvorimo v nepravi ulomek \(1\frac(1)(2) = \frac(3) )(2) \) . Njegov inverzni ulomek bo enak \(\frac(2)(3)\) . Ulomek \(\frac(2)(3)\) je pravi ulomek. Odgovor: Dva medsebojno inverzna ulomka ne moreta biti hkrati mešana števila.
) in imenovalec za imenovalcem (dobimo imenovalec produkta).
Formula za množenje ulomkov:
Na primer:
Preden začnete množiti števce in imenovalce, morate preveriti, ali je mogoče ulomek zmanjšati. Če lahko ulomek zmanjšate, boste lažje delali nadaljnje izračune.
Deljenje navadnega ulomka z ulomkom.
Deljenje ulomkov z naravnimi števili.
Ni tako strašno, kot se zdi. Tako kot pri seštevanju pretvorimo celo število v ulomek z ena v imenovalcu. Na primer:
Množenje mešanih ulomkov.
Pravila za množenje ulomkov (mešano):
- pretvori mešane ulomke v neprave ulomke;
- množenje števcev in imenovalcev ulomkov;
- zmanjšajte delež;
- Če dobimo nepravi ulomek, potem nepravi ulomek pretvorimo v mešani ulomek.
Opomba!Če želite pomnožiti mešani ulomek z drugim mešanim ulomkom, jih morate najprej pretvoriti v obliko nepravih ulomkov, nato pa pomnožiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.
Drugi način množenja ulomka z naravnim številom.
Morda bo bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.
Opomba!Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti nespremenjen.
Iz zgornjega primera je jasno, da je ta možnost bolj priročna za uporabo, ko je imenovalec ulomka brez ostanka deljen z naravnim številom.
Večnadstropni ulomki.
V srednji šoli pogosto srečamo trinadstropne (ali več) frakcije. primer:
Če želite tak ulomek prenesti v običajno obliko, uporabite deljenje na 2 točki:
Opomba! Pri deljenju ulomkov je vrstni red deljenja zelo pomemben. Bodite previdni, tukaj se zlahka zmedete.
Opomba, Na primer:
Pri delitvi enega s katerimkoli ulomkom bo rezultat isti ulomek, le obrnjen:
Praktični nasveti za množenje in deljenje ulomkov:
1. Najpomembnejša stvar pri delu z ulomki je natančnost in pozornost. Vse izračune opravite previdno in natančno, zbrano in jasno. Bolje je, da v osnutek napišete nekaj dodatnih vrstic, kot da se izgubite v miselnih izračunih.
2. Pri nalogah z različnimi vrstami ulomkov pojdite na vrsto navadnih ulomkov.
3. Zmanjšujemo vse ulomke, dokler ni več mogoče zmanjševati.
4. Večnivojske ulomke pretvorimo v navadne z deljenjem na 2 točki.
5. V glavi razdelite enoto z ulomkom, tako da ulomek preprosto obrnete.
Upoštevali bomo množenje navadnih ulomkov v več možnih možnostih.
Množenje navadnega ulomka z ulomkom
To je najpreprostejši primer, v katerem morate uporabiti naslednje pravila za množenje ulomkov.
Za pomnoži ulomek z ulomkom, potrebno:
- števec prvega ulomka pomnožijo s števcem drugega ulomka in njun produkt zapišejo v števec novega ulomka;
- pomnožijo imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka in zapišejo njun produkt v imenovalec novega ulomka;
- Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
- Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Pred množenjem števcev in imenovalcev preverite, ali je mogoče ulomke skrajšati. Zmanjšanje ulomkov v izračunih bo vaše izračune veliko lažje.
Množenje ulomka z naravnim številom
Da naredim ulomek pomnožimo z naravnim številomŠtevec ulomka morate pomnožiti s tem številom, imenovalec ulomka pa pustiti nespremenjen.
Če je rezultat množenja nepravilen ulomek, ga ne pozabite spremeniti v mešano število, torej označite celega dela.
Množenje mešanih števil
Če želite pomnožiti mešana števila, jih morate najprej spremeniti v neprave ulomke in nato množiti po pravilu za množenje navadnih ulomkov.
Drug način za množenje ulomka z naravnim številom
Včasih je pri izračunih bolj priročno uporabiti drugo metodo množenja navadnega ulomka s številom.
Če želite ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate imenovalec ulomka deliti s tem številom, števec pa pustiti enak.
Kot je razvidno iz primera, je ta različica pravila bolj priročna za uporabo, če je imenovalec ulomka deljiv z naravnim številom brez ostanka.
Operacije z ulomki
Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Obstajata dve vrsti seštevanja ulomkov:
Najprej se naučimo seštevanja ulomkov z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Na primer, seštejmo ulomke in . Seštejte števce in pustite imenovalec nespremenjen:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če dodate pico k pici, dobite pico:
Primer 2. Seštej ulomke in.
Spet seštejemo števce in pustimo imenovalec nespremenjen:
Izkazalo se je, da je odgovor nepravilen ulomek. Ko pride naloga do konca, je običajno, da se znebimo nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti nepravilnega ulomka, morate izbrati njegov cel del. V našem primeru je celoten del enostavno izoliran - dva deljeno z dva je enako ena:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodaš še pico, dobiš eno celo pico:
Primer 3. Seštej ulomke in.
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pice, dobite pico:
Primer 4. Poiščite vrednost izraza 
Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Števce je treba sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen:
Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če dodate pico k pici in dodate še več pic, dobite 1 celo pico in več pic.
Kot lahko vidite, pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:
- Če želite dodati ulomke z enakim imenovalcem, morate njihove števce sešteti in imenovalec pustiti enak;
- Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.
- Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
- LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek;
- Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji;
- Seštejte ulomke, ki imajo enake imenovalce;
- Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del;
- Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
- Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Zdaj pa se naučimo seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morata biti imenovalca ulomkov enaka. Niso pa vedno enaki.
Na primer, ulomke je mogoče sešteti, ker imajo enake imenovalce.
Toda ulomkov ni mogoče takoj sešteti, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.
Obstaja več načinov za zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec. Danes si bomo ogledali samo enega od njih, saj se lahko druge metode za začetnika zdijo zapletene.
Bistvo te metode je v tem, da najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik (LCM) imenovalcev obeh ulomkov. LCM se nato deli z imenovalcem prvega ulomka, da dobimo prvi dodatni faktor. Enako storijo z drugim ulomkom - LCM se deli z imenovalcem drugega ulomka in dobi se drugi dodatni faktor.
Števci in imenovalci ulomkov se nato pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati.
Primer 1. Seštejmo ulomke in
Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate zreducirati na isti (skupni) imenovalec.
Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6
LCM (2 in 3) = 6
Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in . Najprej LCM delite z imenovalcem prvega ulomka in dobite prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.
Dobljeno število 2 je prvi dodatni množitelj. Zapišemo ga do prvega ulomka. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto čez ulomek in zapišite dodatni faktor, ki ga najdete nad njim:
Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.
Dobljeno število 3 je drugi dodatni množitelj. Zapišemo ga na drugi ulomek. Spet naredimo majhno poševno črto nad drugim ulomkom in zapišemo dodatni faktor, ki ga najdemo nad njim:
Zdaj imamo vse pripravljeno za dodajanje. Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji:
Poglejte dobro, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati. Vzemimo ta primer do konca:
S tem je primer zaključen. Izkazalo se je dodati .
Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če pici dodaš pico, dobiš eno celo pico in še eno šestino pice:
Zmanjševanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem ulomkov in na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti dve frakciji bosta predstavljali enaki kosi pice. Razlika bo le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zreducirani na isti imenovalec).
Prva risba predstavlja ulomek (štirje kosi od šestih), druga risba pa ulomek (trije kosi od šestih). Če seštejemo te kose, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je nepravilen, zato smo izpostavili njegov cel del. Kot rezultat smo dobili (eno celo pico in še šesto pico).
Upoštevajte, da smo ta primer opisali preveč podrobno. V izobraževalnih ustanovah ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim, pa tudi hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s števci in imenovalci. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer napisati takole:
Obstaja pa tudi druga plat medalje. Če si na prvih stopnjah študija matematike ne delate podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati tovrstna vprašanja. »Od kod ta številka?«, »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v povsem druge ulomke? «.
Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:
Primer 2. Poiščite vrednost izraza 
.
Uporabimo diagram, ki smo ga dali zgoraj.
Korak 1. Poiščite LCM za imenovalce ulomkov
Poiščite LCM za imenovalca obeh ulomkov. Imenovalci ulomkov so števila 2, 3 in 4. Za ta števila morate najti LCM:
2. korak. Delite LCM z imenovalcem vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek
LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad prvi ulomek:
Zdaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:
Zdaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobimo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:
Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji
Števce in imenovalce pomnožimo z njihovimi dodatnimi faktorji:
Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci
Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Vse kar ostane je, da te ulomke seštejemo. Dodajte:
Dodatek ni sodil v eno vrstico, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Ko izraz ne sodi v eno vrstico, se premakne v naslednjo vrstico, pri čemer je treba na koncu prve vrstice in na začetku nove vrstice postaviti enačaj (=). Znak enačaja v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.
Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor napačen ulomek, označite njegov cel del
Izkazalo se je, da je naš odgovor nepravilen ulomek. Izpostaviti moramo cel del tega. Izpostavljamo:
Dobili smo odgovor
Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:
Najprej se naučimo odštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka, imenovalec pa pustiti enak.
Na primer, poiščimo vrednost izraza. Če želite rešiti ta primer, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec enak. Naredimo to:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:
Primer 2. Poiščite vrednost izraza.
Spet od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in pustimo imenovalec enak:
Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:
Primer 3. Poiščite vrednost izraza 
Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:
Odgovor je bil nepravilen ulomek. Če je primer dokončan, je običajno, da se znebite nepravilnega ulomka. Znebimo se nepravilnega ulomka v odgovoru. Če želite to narediti, izberimo njegov celoten del:
Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:
Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci
Od ulomka lahko na primer odštejete ulomek, ker imata ulomka enake imenovalce. Toda ulomka ne morete odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.
Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki je zapisan nad prvim ulomkom. Podobno LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki je zapisan nad drugim ulomkom.
Ulomki se nato pomnožijo z dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti.
Primer 1. Poiščite pomen izraza:
Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12
LCM (3 in 4) = 12
Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in
Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. To naredite tako, da LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Nad prvim ulomkom napiši štirico:
Enako storimo z drugim ulomkom. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Čez drugi ulomek napišemo trojko:
Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:
Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Vzemimo ta primer do konca:
Dobili smo odgovor
Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če iz pice odrežete pico, dobite pico
To je podrobna različica rešitve. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer reševati krajše. Takšna rešitev bi izgledala takole:
Zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem teh ulomkov na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec):
Na prvi sliki je ulomek (osem kosov od dvanajstih), na drugi sliki pa ulomek (trije koščki od dvanajstih). Če iz osmih kosov izrežemo tri, dobimo od dvanajstih pet kosov. Ulomek opisuje teh pet kosov.
Primer 2. Poiščite vrednost izraza 
Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej reducirati na isti (skupni) imenovalec.
Poiščimo LCM imenovalcev teh ulomkov.
Imenovalec ulomkov so števila 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30
LCM(10, 3, 5) = 30
Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. To naredite tako, da LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka.
Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad prvi ulomek:
Zdaj najdemo dodatni faktor za drugi ulomek. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:
Zdaj najdemo dodatni faktor za tretji ulomek. LCM delite z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:
Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:
Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Končajmo ta primer.
Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje premaknemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačaj (=) v novi vrstici:
Izkazalo se je, da je odgovor navaden ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Treba bi bilo narediti enostavnejše in bolj estetsko. Kaj se lahko naredi? Ta ulomek lahko skrajšate. Spomnimo se, da je zmanjševanje ulomka deljenje števca in imenovalca z največjim skupnim deliteljem števca in imenovalca.
Če želite pravilno zmanjšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z največjim skupnim deliteljem (GCD) števil 20 in 30.
GCD ne smemo zamenjevati z NOC. Najpogostejša napaka mnogih začetnikov. GCD je največji skupni delitelj. Ugotovimo, da zmanjšamo ulomek.
In LCM je najmanjši skupni večkratnik. Najdemo ga zato, da ulomke spravimo na isti (skupni) imenovalec.
Sedaj bomo poiskali največji skupni delitelj (NOD) števil 20 in 30.
Torej, najdemo GCD za številki 20 in 30:
GCD (20 in 30) = 10
Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z 10:
Dobili smo lep odgovor
Množenje ulomka s številom
Če želite ulomek pomnožiti s številom, morate števec ulomka pomnožiti s tem številom in pustiti imenovalec enak.
Primer 1. Pomnoži ulomek s številom 1.
Števec ulomka pomnožite s številom 1
Posnetek je mogoče razumeti, kot da traja polovico 1 časa. Na primer, če enkrat vzamete pico, jo dobite
Iz zakonov množenja vemo, da se zmnožek ne spremeni, če zamenjata množitelj in faktor. Če je izraz zapisan kot , bo produkt še vedno enak . Spet velja pravilo za množenje celega števila in ulomka:
Ta zapis lahko razumemo kot polovico enega. Na primer, če je 1 cela pica in jo vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:
Primer 2. Poiščite vrednost izraza
Pomnožite števec ulomka s 4
Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete 4 pice, boste dobili dve celi pici
In če zamenjamo množitelj in množitelj, dobimo izraz . Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:
Množenje ulomkov
Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.
Primer 1. Poiščite vrednost izraza.
Dobili smo odgovor. Ta delež je priporočljivo zmanjšati. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna rešitev imela naslednjo obliko:
Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:
Kako od te polovice vzeti dve tretjini? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:
In vzemite dva od teh treh kosov:
Naredili bomo pico. Spomnite se, kako izgleda pica, če jo razdelite na tri dele:
En kos te pice in dva kosa, ki sva jih vzela, bodo imeli enake dimenzije:
Z drugimi besedami, govorimo o enako veliki pici. Zato je vrednost izraza
Primer 2. Poiščite vrednost izraza
Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:
Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:
Primer 3. Poiščite vrednost izraza
Izkazalo se je, da je odgovor navadni ulomek, vendar bi bilo dobro, če bi ga skrajšali. Da zmanjšamo ta ulomek, ga moramo deliti z gcd števca in imenovalca. Torej, poiščimo gcd števil 105 in 450:
GCD za (105 in 150) je 15
Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora z gcd:
Predstavitev celega števila kot ulomka
Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, številko 5 lahko predstavimo kot. To ne bo spremenilo pomena pet, saj izraz pomeni "število pet deljeno z ena", in to je, kot vemo, enako pet:
Vzajemna števila
Sedaj se bomo seznanili z zelo zanimivo temo matematike. Imenuje se "obratne številke".
Opredelitev. Obrnite na številko a je število, ki ga pomnožimo s a daje eno.
V tej definiciji zamenjajmo namesto spremenljivke aštevilko 5 in poskusite prebrati definicijo:
Obrnite na številko 5 je število, ki je pomnoženo s 5 daje eno.
Ali je mogoče najti število, ki, če ga pomnožimo s 5, da ena? Izkazalo se je, da je to mogoče. Predstavljajmo si pet kot ulomek:
Nato pomnožite ta ulomek sam s seboj, samo zamenjajte števec in imenovalec. Z drugimi besedami, pomnožite ulomek sam s seboj, le na glavo:
Kaj se bo zgodilo zaradi tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:
To pomeni, da je inverzna številka 5 številka , saj ko 5 pomnožite z, dobite ena.
Recipročno vrednost števila je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.
- recipročna vrednost 3 je ulomek
- recipročna vrednost 4 je ulomek
Poiščete lahko tudi recipročno vrednost katerega koli drugega ulomka. Če želite to narediti, ga samo obrnite.
Druga operacija, ki jo lahko izvedemo z navadnimi ulomki, je množenje. Poskušali bomo razložiti njegova osnovna pravila pri reševanju nalog, pokazati, kako množimo navadni ulomek z naravnim številom in kako pravilno množimo tri navadne ulomke ali več.
Najprej zapišimo osnovno pravilo:
Definicija 1
Če pomnožimo en navaden ulomek, bo števec dobljenega ulomka enak zmnožku števcev prvotnih ulomkov, imenovalec pa zmnožku njihovih imenovalcev. V dobesedni obliki je za dva ulomka a / b in c / d to mogoče izraziti kot a b · c d = a · c b · d.
Oglejmo si primer, kako pravilno uporabiti to pravilo. Recimo, da imamo kvadrat, katerega stranica je enaka eni numerični enoti. Potem bo površina figure 1 kvadrat. enota. Če kvadrat razdelimo na enake pravokotnike s stranicami enakimi 1 4 in 1 8 številskimi enotami, dobimo, da je sedaj sestavljen iz 32 pravokotnikov (ker je 8 4 = 32). V skladu s tem bo površina vsakega od njih enaka 1 32 površine celotne figure, tj. 1 32 kvadratnih metrov enote.
Imamo osenčen fragment s stranicami, ki so enake 5 8 številskim enotam in 3 4 številskim enotam. Če želite izračunati njegovo površino, morate prvi ulomek pomnožiti z drugim. To bo enako 5 8 · 3 4 kvadratnih metrov. enote. Lahko pa preprosto preštejemo, koliko pravokotnikov je vključenih v fragment: 15 jih je, kar pomeni, da je skupna površina 15 32 kvadratnih enot.
Ker je 5 3 = 15 in 8 4 = 32, lahko zapišemo naslednjo enakost:
5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32
Potrjuje pravilo, ki smo ga oblikovali za množenje navadnih ulomkov, ki je izraženo kot a b · c d = a · c b · d. Deluje enako za prave in neprave ulomke; Uporablja se lahko za množenje ulomkov z različnimi in enakimi imenovalci.
Oglejmo si rešitve več problemov, ki vključujejo množenje navadnih ulomkov.
Primer 1
Pomnožite 7 11 z 9 8.
rešitev
Najprej izračunajmo produkt števcev navedenih ulomkov tako, da pomnožimo 7 z 9. Imamo 63. Nato izračunamo zmnožek imenovalcev in dobimo: 11 · 8 = 88. Sestavimo dve števili in odgovor je: 63 88.
Celotno rešitev lahko zapišemo takole:
7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88
odgovor: 7 11 · 9 8 = 63 88.
Če v odgovoru dobimo zmanjšljiv ulomek, moramo dokončati izračun in izvesti njegovo zmanjševanje. Če dobimo nepravilen ulomek, moramo iz njega izločiti cel del.
Primer 2
Izračunajte zmnožek ulomkov 4 15 in 55 6.
rešitev
V skladu z zgoraj preučenim pravilom moramo števec pomnožiti s števcem in imenovalec z imenovalcem. Zapis rešitve bo videti takole:
4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90
Dobili smo zmanjšljivi ulomek, tj. ki je deljivo z 10.
Zmanjšajmo ulomek: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220 : 10 90 : 10 = 22 9. Kot rezultat smo dobili nepravilni ulomek, iz katerega izberemo cel del in dobimo mešano število: 22 9 = 2 4 9.
odgovor: 4 15 55 6 = 2 4 9.
Za lažje računanje lahko izvirne ulomke pred izvedbo operacije množenja tudi skrčimo, za kar moramo ulomek reducirati na obliko a · c b · d. Razčlenimo vrednosti spremenljivk na enostavne faktorje in zmanjšamo iste.
Razložimo, kako je to videti z uporabo podatkov iz določene naloge.
Primer 3
Izračunaj zmnožek 4 15 55 6.
rešitev
Zapišimo račune po pravilu množenja. Dobili bomo:
4 15 55 6 = 4 55 15 6
Ker je 4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 in 6 = 2 3, potem je 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3.
2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9
Odgovori: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .
Številski izraz, v katerem se množijo navadni ulomki, ima lastnost komutativnosti, to pomeni, da lahko po potrebi spremenimo vrstni red faktorjev:
a b · c d = c d · a b = a · c b · d
Kako pomnožiti ulomek z naravnim številom
Takoj zapišimo osnovno pravilo in ga nato poskusimo razložiti v praksi.
Definicija 2
Če želite navadni ulomek pomnožiti z naravnim številom, morate števec tega ulomka pomnožiti s tem številom. V tem primeru bo imenovalec končnega ulomka enak imenovalcu prvotnega navadnega ulomka. Množenje določenega ulomka a b z naravnim številom n lahko zapišemo kot formulo a b · n = a · n b.
To formulo je enostavno razumeti, če se spomnite, da je vsako naravno število mogoče predstaviti kot navaden ulomek z imenovalcem enakim ena, to je:
a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b
Razložimo našo idejo s konkretnimi primeri.
Primer 4
Izračunaj produkt 2 27 krat 5.
rešitev
Kot rezultat množenja števca prvotnega ulomka z drugim faktorjem dobimo 10. Na podlagi zgoraj navedenega pravila bomo kot rezultat dobili 10 27. Celotna rešitev je podana v tej objavi:
2 27 5 = 2 5 27 = 10 27
odgovor: 2 27 5 = 10 27
Ko naravno število množimo z ulomkom, moramo rezultat pogosto skrajšati ali pa ga predstaviti kot mešano število.
Primer 5
Pogoj: izračunajte zmnožek 8 krat 5 12.
rešitev
Po zgornjem pravilu pomnožimo naravno število s števcem. Kot rezultat dobimo, da je 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12. Končni ulomek ima znake deljivosti z 2, zato ga moramo zmanjšati:
LCM (40, 12) = 4, torej 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3
Sedaj moramo le še izbrati cel del in zapisati pripravljen odgovor: 10 3 = 3 1 3.
V tem vnosu si lahko ogledate celotno rešitev: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.
Ulomek bi lahko tudi zmanjšali tako, da bi števec in imenovalec faktorizirali na prafaktorje in rezultat bi bil popolnoma enak.
odgovor: 5 12 8 = 3 1 3.
Tudi številski izraz, v katerem je naravno število pomnoženo z ulomkom, ima lastnost premika, to pomeni, da vrstni red faktorjev ne vpliva na rezultat:
a b · n = n · a b = a · n b
Kako pomnožiti tri ali več navadnih ulomkov
Na dejanje množenja navadnih ulomkov lahko razširimo iste lastnosti, ki so značilne za množenje naravnih števil. To izhaja iz same definicije teh pojmov.
Zahvaljujoč poznavanju kombiniranih in komutativnih lastnosti lahko pomnožite tri ali več navadnih ulomkov. Sprejemljivo je preurediti faktorje za večjo priročnost ali razporediti oklepaje na način, ki olajša štetje.
Pokažimo s primerom, kako se to naredi.
Primer 6
Pomnožite štiri navadne ulomke 1 20, 12 5, 3 7 in 5 8.
Rešitev: Najprej posnemimo delo. Dobimo 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 . Vse števce in vse imenovalce moramo pomnožiti skupaj: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .
Preden začnemo z množenjem, si lahko nekoliko olajšamo stvari in nekatera števila razdelimo na prafaktorje za nadaljnje zmanjševanje. To bo lažje kot zmanjšati nastalo frakcijo, ki je že pripravljena.
1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280
odgovor: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.
Primer 7
Pomnoži 5 števil 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 .
rešitev
Zaradi udobja lahko ulomek 7 8 združimo s številko 8, število 12 pa z ulomkom 5 36, saj nam bodo prihodnje okrajšave očitne. Kot rezultat bomo dobili:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3
odgovor: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.
Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
