Območje trapeza na obeh straneh. Kako najti območje trapeza: formule in primeri

Trapez je posebna vrsta štirikotnika, pri katerem sta dve nasprotni stranici vzporedni, drugi dve pa nista. Različni resnični predmeti imajo trapezoidno obliko, zato boste morda morali izračunati obseg takšne geometrijske figure za reševanje vsakdanjih ali šolskih nalog.

Trapezna geometrija

Trapez (iz grškega "trapezion" - miza) je lik na ravnini, omejen s štirimi segmenti, od katerih sta dva vzporedna in dva ne. Vzporedni segmenti se imenujejo osnove trapeza, nevzporedni segmenti pa stranice figure. Stranice in njihovi naklonski koti določajo vrsto trapeza, ki je lahko skalen, enakokrak ali pravokoten. Poleg osnov in stranic ima trapez še dva elementa:

višina - razdalja med vzporednimi osnovami figure;
srednja črta - segment, ki povezuje sredine stranic.

Ta geometrijska figura je zelo razširjena v resničnem življenju.

Trapez v resnici

V vsakdanjem življenju ima veliko resničnih predmetov obliko trapeza. Trapeze zlahka najdete na naslednjih področjih človeške dejavnosti:

notranja oprema in dekor - zofe, mizne plošče, stene, preproge, spuščeni stropi;
krajinska zasnova - meje trate in umetnih rezervoarjev, oblike dekorativnih elementov;
moda - oblika oblačil, čevljev in dodatkov;
arhitektura - okna, stene, temelji zgradb;
proizvodnja - razni izdelki in deli.

S tako široko uporabo trapeza morajo strokovnjaki pogosto izračunati obseg geometrijske figure.

Obod trapeza

Obseg figure je numerična značilnost, ki se izračuna kot vsota dolžin vseh strani n-kotnika. Trapez je štirikotnik in na splošno imajo vse njegove stranice različne dolžine, zato obseg izračunamo po formuli:

P = a + b + c + d,

kjer sta a in c osnovici figure, b in d sta njeni stranici.

Čeprav nam pri izračunu obsega trapeza ni treba poznati višine, koda kalkulatorja zahteva vnos te spremenljivke. Ker višina ne vpliva na izračune, lahko pri uporabi našega spletnega kalkulatorja vnesete katero koli vrednost višine, ki je večja od nič. Poglejmo si nekaj primerov.

Primeri iz resničnega življenja

Robec

Recimo, da imate šal v obliki trapeza in ga želite obrobiti z resicami. Morali boste poznati obseg šala, da ne boste kupili dodatnega materiala ali šli dvakrat v trgovino. Naj ima vaš enakokraki šal naslednje parametre: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Te podatke vnesemo v spletni obrazec in dobimo odgovor v obrazec:

Tako je obseg šala 340 cm in ravno tolikšna je dolžina resaste kitke za zaključek.

pobočja

Na primer, odločili ste se narediti pobočja za nestandardna kovinsko-plastična okna, ki imajo trapezoidno obliko. Takšna okna se pogosto uporabljajo pri oblikovanju stavb, saj ustvarjajo sestavo več kril. Najpogosteje so takšna okna izdelana v obliki pravokotnega trapeza. Ugotovimo, koliko materiala je potrebno za izdelavo pobočij takšnega okna. Standardno okno ima naslednje parametre a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Uporabimo te podatke in dobimo rezultat v obrazcu

Obod trapeznega okna torej znaša 390 cm in točno toliko plastičnih plošč boste morali kupiti za oblikovanje pobočij.

Zaključek

Trapez je priljubljena figura v vsakdanjem življenju, katere določitev parametrov bo morda potrebna v najbolj nepričakovanih situacijah. Izračun trapeznih obodov je potreben za številne strokovnjake: od inženirjev in arhitektov do oblikovalcev in mehanikov. Naš katalog spletnih kalkulatorjev vam bo omogočil izračune za poljubne geometrijske oblike in telesa.

Da bi se počutili samozavestno in uspešno reševali probleme pri pouku geometrije, ni dovolj, da se naučite formul. Najprej jih je treba razumeti. Bojati se, še bolj pa sovražiti formule, je neproduktivno. Ta članek bo v dostopnem jeziku analiziral različne načine za iskanje območja trapeza. Da bi bolje razumeli ustrezna pravila in izreke, bomo nekaj pozornosti namenili njegovim lastnostim. To vam bo pomagalo razumeti, kako pravila delujejo in v katerih primerih je treba uporabiti določene formule.

Definiranje trapeza

Kakšna številka je to na splošno? Trapez je mnogokotnik s štirimi vogali in dvema vzporednima stranicama. Drugi dve stranici trapeza sta lahko nagnjeni pod različnimi koti. Njegove vzporedne stranice se imenujejo osnove, za nevzporedne stranice pa se uporablja ime "stranice" ali "boki". Takšne figure so v vsakdanjem življenju precej pogoste. Obrisi trapeza so vidni v silhuetah oblačil, notranjih predmetov, pohištva, posode in mnogih drugih. Obstajajo različne vrste trapeza: skalen, enakostranični in pravokotni. Njihove vrste in lastnosti bomo podrobneje preučili kasneje v članku.

Lastnosti trapeza

Na kratko se osredotočimo na lastnosti te figure. Vsota kotov, ki mejijo na katero koli stran, je vedno 180°. Vedeti je treba, da vsi koti trapeza seštejejo 360°. Trapez ima koncept srednje črte. Če sredine stranic povežete z odsekom, bo to srednja črta. Označuje se z m. Srednja črta ima pomembne lastnosti: vedno je vzporedna z bazami (spomnimo se, da sta vzporedni tudi osnovi) in enaka njihovi polvsoti:

To definicijo se je treba naučiti in razumeti, saj je ključ do rešitve mnogih problemov!

Pri trapezu lahko vedno znižaš višino na podlago. Nadmorska višina je navpičnica, pogosto označena s simbolom h, ki je potegnjena iz katere koli točke ene baze na drugo bazo ali njen podaljšek. Srednja črta in višina vam bosta pomagala najti območje trapeza. Takšne naloge so najpogostejše pri šolskem tečaju geometrije in se redno pojavljajo med testnimi in izpitnimi nalogami.

Najenostavnejše formule za območje trapeza

Oglejmo si dve najbolj priljubljeni in preprosti formuli, ki se uporabljata za iskanje območja trapeza. Dovolj je, da višino pomnožite s polovično vsoto baz, da zlahka najdete, kar iščete:

S = h*(a + b)/2.

V tej formuli a, b označujeta osnove trapeza, h - višino. Zaradi lažjega dojemanja so v tem članku znaki za množenje v formulah označeni s simbolom (*), čeprav je v uradnih referenčnih knjigah znak za množenje običajno izpuščen.

Poglejmo si primer.

Podano: trapez z dvema osnovama, enakima 10 in 14 cm, višina je 7 cm. Kolikšna je ploščina trapeza?

Poglejmo rešitev te težave. S pomočjo te formule morate najprej poiskati polovično vsoto osnov: (10+14)/2 = 12. Torej je polovična vsota enaka 12 cm. Zdaj pomnožimo polovično vsoto z višino: 12*7 = 84. Kar iščemo, je najdeno. Odgovor: Površina trapeza je 84 kvadratnih metrov. cm.

Druga dobro znana formula pravi: površina trapeza je enaka produktu srednje črte in višine trapeza. To pomeni, da dejansko izhaja iz prejšnjega koncepta srednje črte: S=m*h.

Uporaba diagonal za izračune

Drug način za iskanje območja trapeza pravzaprav ni tako zapleten. Povezan je s svojimi diagonalami. S to formulo morate za iskanje površine pomnožiti polprodukt njenih diagonal (d 1 d 2) s sinusom kota med njima:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Oglejmo si problem, ki prikazuje uporabo te metode. Podano je: trapez z dolžino diagonal enak 8 oziroma 13 cm kot a med diagonalama. Poiščite območje trapeza.

rešitev. Z uporabo zgornje formule je enostavno izračunati, kaj je potrebno. Kot veste, je sin 30° 0,5. Zato je S = 8*13*0,5=52. Odgovor: površina je 52 kvadratnih metrov. cm.

Iskanje površine enakokrakega trapeza

Trapez je lahko enakokrak (enakokrak). Njegove stranice so enake in koti pri osnovah so enaki, kar dobro prikazuje slika. Enakokraki trapez ima enake lastnosti kot običajni, poleg tega pa ima še vrsto posebnih. Okoli enakokrakega trapeza lahko opišemo krog in vanj vpišemo krog.

Katere metode obstajajo za izračun površine takšne figure? Spodnja metoda bo zahtevala veliko izračunov. Če ga želite uporabiti, morate poznati vrednosti sinusa (sin) in kosinusa (cos) kota na dnu trapeza. Za njihov izračun potrebujete Bradisove tabele ali inženirski kalkulator. Tukaj je formula:

S= c*greh a*(a - c*cos a),

Kje z- stransko stegno, a- kot na spodnji podlagi.

Enakostranični trapez ima enako dolge diagonale. Velja tudi obratno: če ima trapez enaki diagonali, potem je enakokrak. Od tod naslednja formula za pomoč pri iskanju površine trapeza - polovični produkt kvadrata diagonal in sinusa kota med njima: S = ½ d 2 sin a.

Iskanje površine pravokotnega trapeza

Poseben primer pravokotnega trapeza je znan. To je trapez, v katerem ena stran (njegovo stegno) meji na osnove pod pravim kotom. Ima lastnosti pravilnega trapeza. Poleg tega ima zelo zanimivo lastnost. Razlika v kvadratih diagonal takega trapeza je enaka razliki v kvadratih njegovih baz. Zanj se uporabljajo vse prej opisane metode za izračun površine.

Uporabljamo iznajdljivost

Obstaja en trik, ki vam lahko pomaga, če pozabite določene formule. Oglejmo si podrobneje, kaj je trapez. Če ga mentalno razdelimo na dele, bomo dobili znane in razumljive geometrijske oblike: kvadrat ali pravokotnik in trikotnik (enega ali dva). Če sta znani višina in stranice trapeza, lahko uporabite formule za površino trikotnika in pravokotnika in nato seštejete vse nastale vrednosti.

Naj to ponazorimo z naslednjim primerom. Podan je pravokoten trapez. Kot C = 45°, kota A, D sta 90°. Zgornja osnova trapeza je 20 cm, višina je 16 cm. Izračunati morate površino figure.

Ta številka je očitno sestavljena iz pravokotnika (če sta dva kota enaka 90°) in trikotnika. Ker je trapez pravokoten, je njegova višina enaka njegovi stranici, to je 16 cm. Imamo pravokotnik s stranicami 20 oziroma 16 cm. Zdaj razmislite o trikotniku, katerega kot je 45°. Vemo, da ima ena stranica 16 cm. Ker je ta stranica tudi višina trapeza (in vemo, da se višina spušča na osnovo pod pravim kotom), je torej drugi kot trikotnika 90°. Zato je preostali kot trikotnika 45°. Posledica tega je, da dobimo pravokoten enakokraki trikotnik, v katerem sta stranici enaki. To pomeni, da je druga stranica trikotnika enaka višini, to je 16 cm, ostane le še izračunati površino trikotnika in pravokotnika ter sešteti dobljeni vrednosti.

Ploščina pravokotnega trikotnika je enaka polovici produkta njegovih nog: S = (16*16)/2 = 128. Ploščina pravokotnika je enaka produktu njegove širine in dolžine: S = 20 * 16 = 320. Našli smo zahtevano: območje trapeza S = 128 + 320 = 448 kvadratnih metrov. glej. Lahko se dvakrat preverite z zgornjimi formulami, odgovor bo enak.

Uporabljamo formulo Peak

Nazadnje predstavljamo še eno izvirno formulo, ki pomaga najti območje trapeza. Imenuje se formula Pick. Primeren je za uporabo, ko je trapez narisan na karirasti papir. Podobne težave pogosto najdemo v materialih GIA. Videti je takole:

S = M/2 + N - 1,

v tej formuli je M število vozlišč, tj. presečišča črt slike s črtami celice na mejah trapeza (oranžne pike na sliki), N je število vozlišč znotraj slike (modre pike). Najbolj priročno ga je uporabiti pri iskanju območja nepravilnega mnogokotnika. Vendar večji kot je arzenal uporabljenih tehnik, manj je napak in boljši so rezultati.

Seveda navedene informacije ne izčrpajo vrst in lastnosti trapeza, pa tudi metod za iskanje njegovega območja. Ta članek ponuja pregled njegovih najpomembnejših značilnosti. Pri reševanju geometrijskih nalog je pomembno postopoma, začeti z enostavnimi formulami in nalogami, dosledno utrjevati svoje razumevanje in prehajati na drugo stopnjo zahtevnosti.

Zbrane skupaj najpogostejše formule bodo učencem pomagale krmariti po različnih načinih izračuna površine trapeza in se bolje pripraviti na teste in naloge na to temo.

Praksa lanskega enotnega državnega izpita in državnega izpita kaže, da težave z geometrijo povzročajo težave mnogim šolarjem. Z njimi se zlahka spopadete, če si zapomnite vse potrebne formule in vadite reševanje problemov.

V tem članku boste videli formule za iskanje območja trapeza, pa tudi primere težav z rešitvami. Na iste lahko naletite v KIM-ih med certifikacijskimi izpiti ali na olimpijadah. Zato z njimi ravnajte previdno.

Kaj morate vedeti o trapezu?

Za začetek si zapomnimo to trapez imenujemo štirikotnik, pri katerem sta dve nasprotni stranici, imenovani tudi osnovici, vzporedni, drugi dve pa nista.

V trapezu lahko višino (pravokotno na osnovo) tudi znižamo. Srednja črta je narisana - to je ravna črta, ki je vzporedna z bazami in je enaka polovici njihove vsote. Kot tudi diagonale, ki se lahko sekajo in tvorijo ostre in tupe kote. Ali v nekaterih primerih pod pravim kotom. Poleg tega, če je trapez enakokrak, lahko vanj vpišemo krog. In okoli njega opišite krog.

Formule ploščine trapeza

Najprej si poglejmo standardne formule za iskanje površine trapeza. Spodaj bomo obravnavali načine za izračun površine enakokrakih in krivuljnih trapezov.

Predstavljajte si torej, da imate trapez z osnovama a in b, v katerem je višina h spuščena na večjo osnovo. Izračun površine figure je v tem primeru tako enostaven kot luščenje hrušk. Samo vsoto dolžin baz delite z dvema in rezultat pomnožite z višino: S = 1/2(a + b)*h.

Vzemimo drug primer: predpostavimo, da je v trapezu poleg višine še srednja črta m. Poznamo formulo za iskanje dolžine srednjice: m = 1/2(a + b). Zato lahko formulo za območje trapeza upravičeno poenostavimo na naslednjo obliko: S = m*h. Z drugimi besedami, da bi našli območje trapeza, morate središčnico pomnožiti z višino.

Razmislimo o drugi možnosti: trapez vsebuje diagonali d 1 in d 2, ki se ne sekata pod pravim kotom α. Če želite izračunati površino takšnega trapeza, morate produkt diagonal razdeliti na dva in rezultat pomnožiti s grehom kota med njimi: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Zdaj razmislite o formuli za iskanje območja trapeza, če o njem ni znano nič, razen dolžin vseh njegovih strani: a, b, c in d. To je okorna in zapletena formula, vendar vam bo koristno, da si jo zapomnite za vsak slučaj: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Mimogrede, zgornji primeri veljajo tudi za primer, ko potrebujete formulo za območje pravokotnega trapeza. To je trapez, katerega stranica meji na osnove pod pravim kotom.

Enakokraki trapez

Trapez, katerega stranice so enake, se imenuje enakokraki. Razmislili bomo o več možnostih formule za območje enakokrakega trapeza.

Prva možnost: za primer, ko je v enakokraki trapez včrtan krog s polmerom r, stranica in večja osnova pa tvorita ostri kot α. V trapez lahko vpišemo krog, če je vsota dolžin njegovih osnov enaka vsoti dolžin stranic.

Ploščino enakokrakega trapeza izračunamo na naslednji način: pomnožimo kvadrat polmera včrtanega kroga s štiri in vse delimo s sinα: S = 4r 2 /sinα. Druga formula površine je poseben primer za možnost, ko je kot med veliko osnovo in stranico 30 0: S = 8r2.

Druga možnost: tokrat vzamemo enakokraki trapez, v katerem sta poleg tega narisani diagonali d 1 in d 2 ter višina h. Če sta diagonali trapeza medsebojno pravokotni, je višina polovica vsote osnov: h = 1/2(a + b). Če veste to, je formulo za območje trapeza, ki vam je že znano, enostavno preoblikovati v to obliko: S = h 2.

Formula za območje ukrivljenega trapeza

Začnimo z ugotavljanjem, kaj je ukrivljeni trapez. Predstavljajte si koordinatno os in graf zvezne in nenegativne funkcije f, ki znotraj danega segmenta na osi x ne spremeni predznaka. Krivočrtni trapez tvori graf funkcije y = f(x) - na vrhu je os x spodaj (segment), na straneh pa ravne črte, narisane med točkama a in b ter grafom funkcijo.

Z zgornjimi metodami je nemogoče izračunati površino takšne nestandardne figure. Tukaj morate uporabiti matematično analizo in uporabiti integral. Namreč: Newton-Leibnizova formula - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). V tej formuli je F antiodvod naše funkcije na izbranem segmentu. In območje krivuljnega trapeza ustreza prirastku antiderivacije na danem segmentu.

Primeri težav

Da bi vse te formule lažje razumeli v vaši glavi, je tukaj nekaj primerov težav za iskanje površine trapeza. Najbolje bo, če težave najprej poskusite rešiti sami, šele nato primerjate prejeti odgovor z že pripravljeno rešitvijo.

Naloga #1: Podan trapez. Njegova večja osnova je 11 cm, manjša pa 4 cm. Trapez ima diagonali, ena dolga 12 cm, druga 9 cm.

Rešitev: Konstruirajte trapez AMRS. Skozi oglišče P nariši premico РХ tako, da je vzporedna z diagonalo MC in seka premico AC v točki X. Dobil boš trikotnik APХ.

Upoštevali bomo dve sliki, dobljeni kot rezultat teh manipulacij: trikotnik APX in paralelogram CMRX.

Zahvaljujoč paralelogramu izvemo, da je PX = MC = 12 cm in CX = MR = 4 cm. Od koder lahko izračunamo stranico AX trikotnika ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Prav tako lahko dokažemo, da je trikotnik APX pravokoten (za to uporabimo Pitagorov izrek - AX 2 = AP 2 + PX 2). In izračunajte njegovo ploščino: S APX = 1/2(AP * PX) = 1/2(9 * 12) = 54 cm 2.

Nato boste morali dokazati, da sta trikotnika AMP in PCX enaka po površini. Osnova bo enakopravnost strank MR in CX (že dokazano zgoraj). In tudi višine, ki jih spustiš na te stranice - enake so višini trapeza AMRS.

Vse to vam bo omogočilo reči, da je S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Naloga št. 2: Podan je trapez KRMS. Na njegovih stranskih stranicah sta točki O in E, OE in KS pa sta vzporedni. Znano je tudi, da sta ploščini trapeza ORME in OKSE v razmerju 1:5. RM = a in KS = b. Najti morate OE.

Rešitev: Skozi točko M nariši premico, ki je vzporedna z RK, in točko njenega presečišča z OE označi kot T. A je presečišče premice, narisane skozi točko E vzporedno z RK, z osnovo KS.

Uvedimo še en zapis - OE = x. In tudi višina h 1 za trikotnik TME in višina h 2 za trikotnik AEC (podobnost teh trikotnikov lahko neodvisno dokažeš).

Predpostavili bomo, da je b > a. Ploščini trapeza ORME in OKSE sta v razmerju 1:5, kar nam daje pravico sestaviti naslednjo enačbo: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformirajmo in dobimo: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Ker sta si trikotnika TME in AEC podobna, imamo h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Združimo oba vnosa in dobimo: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Tako je OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Zaključek

Geometrija ni najlažja veda, a zagotovo ste kos izpitnim vprašanjem. Dovolj je pokazati malo vztrajnosti pri pripravi. In seveda si zapomnite vse potrebne formule.

Poskušali smo zbrati vse formule za izračun ploščine trapeza na enem mestu, da jih lahko uporabite, ko se pripravljate na izpite in obnavljate gradivo.

Ne pozabite povedati svojim sošolcem in prijateljem na družbenih omrežjih o tem članku. Naj bo več dobrih ocen za enotni državni izpit in državne izpite!

blog.site, pri celotnem ali delnem kopiranju gradiva je obvezna povezava do izvirnega vira.