Območje trikotnika - formule in primeri reševanja problemov. Kako izračunati površino trikotnika
Koncept območja
Koncept območja katere koli geometrijske figure, zlasti trikotnika, bo povezan s figuro, kot je kvadrat. Za enoto površine katere koli geometrijske figure bomo vzeli površino kvadrata, katerega stranica je enaka ena. Za popolnost se spomnimo dveh osnovnih lastnosti koncepta območij geometrijskih likov.
Lastnost 1:Če so geometrijski liki enaki, so enake tudi njihove ploščine.
Lastnost 2: Vsako figuro lahko razdelimo na več figur. Poleg tega je površina prvotne figure enaka vsoti površin vseh njenih sestavnih številk.
Poglejmo si primer.
Primer 1
Očitno je ena od stranic trikotnika diagonala pravokotnika, katerega ena stranica je dolga $5$ (ker je $5$ celic), druga pa $6$ (ker je $6$ celic). Zato bo površina tega trikotnika enaka polovici takega pravokotnika. Območje pravokotnika je
Potem je površina trikotnika enaka
Odgovor: 15 $.
Nato bomo preučili več metod za iskanje območij trikotnikov, in sicer z uporabo višine in osnove, z uporabo Heronove formule in površine enakostraničnega trikotnika.
Kako najti površino trikotnika z njegovo višino in osnovo
1. izrek
Ploščino trikotnika je mogoče najti kot polovico produkta dolžine stranice in višine te strani.
Matematično je to videti takole
$S=\frac(1)(2)αh$
kjer je $a$ dolžina stranice, $h$ je nanjo narisana višina.
Dokaz.
Vzemimo trikotnik $ABC$, v katerem je $AC=α$. Na to stran je narisana višina $BH$, ki je enaka $h$. Sestavimo ga do kvadrata $AXYC$ kot na sliki 2.
Ploščina pravokotnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, ploščina pravokotnika $HBYC$ pa $h\cdot HC$. Potem
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Zato je zahtevana površina trikotnika po lastnosti 2 enaka
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Izrek je dokazan.
Primer 2
Poiščite ploščino trikotnika na spodnji sliki, če ima celica ploščino enako ena
Osnovica tega trikotnika je enaka $9$ (ker je $9$ kvadratov $9$). Višina je tudi $9$. Nato po izreku 1 dobimo
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Odgovor: 40,5 $.
Heronova formula
Izrek 2
Če imamo tri stranice trikotnika $α$, $β$ in $γ$, lahko njegovo ploščino poiščemo takole
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
tukaj $ρ$ pomeni polobseg tega trikotnika.
Dokaz.
Razmislite o naslednji sliki:
Po Pitagorovem izreku dobimo iz trikotnika $ABH$
Iz trikotnika $CBH$ imamo po Pitagorovem izreku
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Iz teh dveh odnosov dobimo enakost
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Ker je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potem $α+β+γ=2ρ$, kar pomeni
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Po izreku 1 dobimo
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Trikotnik je geometrijski lik, sestavljen iz treh ravnih črt, ki se povezujejo v točkah, ki ne ležijo na isti ravni črti. Spojne točke črt so oglišča trikotnika, ki so označena z latiničnimi črkami (na primer A, B, C). Povezovalne ravne črte trikotnika imenujemo segmenti, ki jih običajno označujemo tudi z latiničnimi črkami. Ločimo naslednje vrste trikotnikov:
- Pravokoten.
- Topo.
- Ostro kotni.
- Vsestranski.
- Enakostranični.
- Enakokraki.
Splošne formule za izračun površine trikotnika
Formula za površino trikotnika glede na dolžino in višino
S= a*h/2,
kjer je a dolžina stranice trikotnika, katerega ploščino je treba najti, h je dolžina višine, narisane na osnovo.
Heronova formula
S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kjer je √ kvadratni koren, p je polobseg trikotnika, a,b,c je dolžina vsake stranice trikotnika. Polobseg trikotnika lahko izračunamo s formulo p=(a+b+c)/2.
Formula za območje trikotnika, ki temelji na kotu in dolžini segmenta
S = (a*b*sin(α))/2,
kjer je b,c dolžina stranic trikotnika, sin(α) je sinus kota med obema stranicama.
Formula za površino trikotnika glede na polmer včrtanega kroga in treh strani
S=p*r,
kjer je p polobseg trikotnika, katerega ploščino je treba najti, r je polmer kroga, včrtanega v ta trikotnik.
Formula za območje trikotnika, ki temelji na treh straneh in polmeru kroga, ki je okoli njega opisan
S= (a*b*c)/4*R,
kjer je a,b,c dolžina vsake stranice trikotnika, R je polmer kroga, ki je opisan okoli trikotnika.
Formula za površino trikotnika z uporabo kartezičnih koordinat točk
Kartezične koordinate točk so koordinate v sistemu xOy, kjer je x abscisa, y ordinata. Kartezični koordinatni sistem xOy na ravnini sta medsebojno pravokotni številski osi Ox in Oy s skupnim izhodiščem v točki O. Če so koordinate točk na tej ravnini podane v obliki A(x1, y1), B(x2, y2). ) in C(x3, y3), potem lahko izračunate ploščino trikotnika z naslednjo formulo, ki jo dobite iz vektorskega produkta dveh vektorjev.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kjer || pomeni modul.
Kako najti območje pravokotnega trikotnika
Pravokotni trikotnik je trikotnik z enim kotom, ki meri 90 stopinj. Trikotnik ima lahko samo en tak kot.
Formula za območje pravokotnega trikotnika na dveh straneh
S= a*b/2,
kjer je a,b dolžina nog. Noge so stranice, ki mejijo na pravi kot.
Formula za območje pravokotnega trikotnika, ki temelji na hipotenuzi in ostrem kotu
S = a*b*sin(α)/ 2,
kjer sta a, b kraka trikotnika, sin(α) pa je sinus kota, pod katerim se premici a, b sekata.
Formula za območje pravokotnega trikotnika, ki temelji na strani in nasprotnem kotu
S = a*b/2*tg(β),
kjer sta a, b kraka trikotnika, tan(β) je tangens kota, pod katerim sta kraka a, b povezana.
Kako izračunati površino enakokrakega trikotnika
Enakokraki trikotnik je tisti, ki ima dve enaki stranici. Te stranice se imenujejo stranice, druga stran pa je osnova. Za izračun površine enakokrakega trikotnika lahko uporabite eno od naslednjih formul.
Osnovna formula za izračun ploščine enakokrakega trikotnika
S=h*c/2,
kjer je c osnova trikotnika, h je višina trikotnika, spuščena na osnovo.
Formula enakokrakega trikotnika s stranico in osnovo
S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kjer je c osnova trikotnika, a je velikost ene od stranskih stranic enakokrakega trikotnika.
Kako najti območje enakostraničnega trikotnika
Enakostranični trikotnik je trikotnik, v katerem so vse stranice enake. Za izračun površine enakostraničnega trikotnika lahko uporabite naslednjo formulo:
S = (√3*a*a)/4,
kjer je a dolžina stranice enakostraničnega trikotnika.
Zgornje formule vam bodo omogočile izračun zahtevane površine trikotnika. Pomembno si je zapomniti, da morate za izračun površine trikotnikov upoštevati vrsto trikotnika in razpoložljive podatke, ki jih je mogoče uporabiti za izračun.
Iz nasprotnega vrha) in dobljeni produkt razdelite na dva. To izgleda takole:
S = ½ * a * h,
Kje:
S - območje trikotnika,
a je dolžina njegove stranice,
h je višina, spuščena na to stran.
Stranska dolžina in višina morata biti predstavljeni v istih merskih enotah. V tem primeru bo površina trikotnika pridobljena v ustreznih enotah " ".
Primer.
Na eno stran trikotnika, dolgega 20 cm, je spuščena navpičnica iz nasprotnega vrha, dolga 10 cm.
Zahtevana je površina trikotnika.
rešitev.
S = ½ * 20 * 10 = 100 (cm²).
Če sta znani dolžini poljubnih dveh strani trikotnika in kota med njima, uporabite formulo:
S = ½ * a * b * sinγ,
kjer sta: a, b dolžini dveh poljubnih stranic, γ pa kot med njima.
V praksi je na primer pri merjenju zemljišč uporaba zgornjih formul včasih težavna, saj zahteva dodatno konstrukcijo in merjenje kotov.
Če poznate dolžine vseh treh strani skalenskega trikotnika, uporabite Heronovo formulo:
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)),
a, b, c – dolžine stranic trikotnika,
p – polobod: p = (a+b+c)/2.
Če je poleg dolžin vseh strani znan tudi polmer kroga, včrtanega v trikotnik, potem uporabimo naslednjo kompaktno formulo:
kjer je: r – polmer včrtanega kroga (р – polobod).
Za izračun površine skalnega trikotnika in dolžine njegovih strani uporabite formulo:
kjer je: R – polmer opisanega kroga.
Če poznate dolžino ene od stranic trikotnika in treh kotov (načeloma sta dovolj dva - vrednost tretjega se izračuna iz enakosti vsote treh kotov trikotnika - 180º), potem uporabite formula:
S = (a² * sinβ * sinγ)/2sinα,
kjer je α vrednost kota nasproti strani a;
β, γ – vrednosti preostalih dveh kotov trikotnika.
Potreba po iskanju različnih elementov, vključno s površino trikotnik, pojavil mnogo stoletij pred našim štetjem med učenimi astronomi stare Grčije. kvadrat trikotnik se lahko izračuna na različne načine z uporabo različnih formul. Način izračuna je odvisen od elementov trikotnik znan.
Navodila
Če iz pogoja poznamo vrednosti dveh stranic b, c in kota, ki ju tvorita?, potem območje trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = (bcsin?)/2.
Če iz pogoja poznamo vrednosti dveh stranic a, b in kota, ki ju ne tvorita?, potem območje trikotnik ABC se nahaja na naslednji način:
Iskanje kota?, greh? = bsin?/a, nato s tabelo določite sam kot.
Iskanje kota?, ? = 180°-?-?.
Najdemo samo območje S = (absin?)/2.
Če iz pogoja poznamo vrednosti le treh strani trikotnik a, b in c, nato območje trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = v(p(p-a)(p-b)(p-c)), kjer je p polobod p = (a+b+c)/2
Če iz pogojev problema poznamo višino trikotnik h in stran, na katero se ta višina zniža, nato območje trikotnik ABC po formuli:
S = ah(a)/2 = bh(b)/2 = ch(c)/2.
Če poznamo pomene stranic trikotnik a, b, c in o tem opisani polmer trikotnik R, potem območje tega trikotnik ABC je določen s formulo:
S = abc/4R.
Če so znane tri stranice a, b, c in polmer včrtane, potem je ploščina trikotnik ABC najdemo po formuli:
S = pr, kjer je p polobod, p = (a+b+c)/2.
Če je ABC enakostraničen, se ploščina najde po formuli:
S = (a^2v3)/4.
Če je trikotnik ABC enakokrak, potem je ploščina določena s formulo:
S = (cv(4a^2-c^2))/4, kjer c – trikotnik.
Če je trikotnik ABC pravokoten, potem je ploščina določena s formulo:
S = ab/2, kjer sta a in b kraka trikotnik.
Če je trikotnik ABC pravokoten enakokraki trikotnik, potem je ploščina določena s formulo:
S = c^2/4 = a^2/2, kjer je c hipotenuza trikotnik, a=b – krak.
Video na temo
Viri:
- kako izmeriti površino trikotnika
Nasvet 3: Kako najti površino trikotnika, če je kot znan
Poznavanje samo enega parametra (kot) ni dovolj za iskanje območja tre kvadrat . Če obstajajo dodatne dimenzije, lahko za določitev območja izberete eno od formul, v kateri se kot ena od znanih spremenljivk uporablja tudi vrednost kota. Nekaj najpogosteje uporabljenih formul je navedenih spodaj.
Navodila
Če poleg velikosti kota (γ), ki ga tvorita obe stranici tre kvadrat , potem sta znani tudi dolžini teh stranic (A in B). kvadrat(S) figure je mogoče definirati kot polovico produkta dolžin stranic in sinusa tega znanega kota: S=½×A×B×sin(γ).
Šolski kurikulum predvideva poučevanje geometrije otrok že od zgodnjega otroštva. Eno najosnovnejših znanj na tem področju je iskanje ploskve različnih oblik. V tem članku bomo poskušali podati vse možne načine za pridobitev te vrednosti, od najpreprostejših do najbolj zapletenih.
Osnova
Prva formula, ki se je otroci učijo v šoli, vključuje iskanje površine trikotnika skozi dolžino njegove višine in osnove. Višina je segment, narisan iz vrha trikotnika pod pravim kotom na nasprotno stran, ki bo osnova. Kako najti površino trikotnika s temi količinami?
Če je V višina in O osnova, potem je ploščina S=V*O:2.
Druga možnost za pridobitev želene vrednosti zahteva, da poznamo dolžini obeh stranic, kot tudi velikost kota med njima. Če imamo L in M - dolžini stranic, in Q - kot med njima, potem lahko površino dobite s formulo S=(L*M*sin(Q))/2.
Heronova formula
Poleg vseh drugih odgovorov na vprašanje, kako izračunati površino trikotnika, obstaja formula, ki nam omogoča, da dobimo vrednost, ki jo potrebujemo, če poznamo le dolžine strani. Se pravi, če poznamo dolžine vseh stranic, potem nam ni treba narisati višine in izračunati njene dolžine. Uporabimo lahko tako imenovano Heronovo formulo.
Če so M, N, L dolžine stranic, potem lahko območje trikotnika najdemo na naslednji način. P=(M+N+L)/2, potem je vrednost, ki jo potrebujemo, S 2 =P*(P-M)*(P-L)*(P-N). Na koncu moramo samo še izračunati koren.
Za pravokotni trikotnik je Heronova formula nekoliko poenostavljena. Če sta M, L noge, potem je S=(P-M)*(P-L).
Krogi
Drug način za iskanje površine trikotnika je uporaba vpisanih in obkroženih krogov. Da dobimo vrednost, ki jo potrebujemo z včrtanim krogom, moramo poznati njegov polmer. Označimo ga z "r". Potem bo formula, po kateri bomo izvajali izračune, dobila naslednjo obliko: S=r*P, kjer je P polovica vsote dolžin vseh stranic.
V pravokotnem trikotniku je ta formula nekoliko spremenjena. Seveda lahko uporabite zgornjega, vendar je bolje uporabiti drug izraz za izračune. S=E*W, kjer sta E in W dolžini odsekov, na katere je hipotenuza razdeljena s tangentno točko kroga.
Ko govorimo o obrobnem krogu, tudi iskanje območja trikotnika ni težko. Z uvedbo oznake R kot polmera opisanega kroga lahko dobite naslednjo formulo, potrebno za izračun želene vrednosti: S= (M*N*L):(4*R). Pri čemer so prve tri količine stranice trikotnika.
Ko govorimo o enakostraničnem trikotniku, lahko s številnimi preprostimi matematičnimi transformacijami dobite nekoliko spremenjene formule:
S=(3 1/2 *M 2)/4;
S=(3*3 1/2 *R 2)/4;
S=3*3 1/2 *r 2 .
V vsakem primeru lahko katero koli formulo, ki vam omogoča, da najdete območje trikotnika, spremenite v skladu s podatki naloge. Vsi pisni izrazi torej niso absolutni. Pri reševanju težav razmislite, da bi našli najprimernejšo rešitev.
Koordinate
Pri preučevanju koordinatnih osi postanejo naloge, s katerimi se soočajo učenci, bolj zapletene. Vendar ne toliko, da bi zagnali paniko. Da bi našli območje trikotnika iz koordinat vrhov, lahko uporabite isto, vendar nekoliko spremenjeno Heronovo formulo. Za koordinate ima naslednjo obliko:
S=((x 2 -x 1) 2 *(y 2 -y 1) 2 *(z 2 -z 1) 2) 1/2.
Vendar nihče ne prepoveduje, da bi z uporabo koordinat izračunali dolžine strani trikotnika in nato z uporabo zgoraj napisanih formul izračunali površino. Za pretvorbo koordinat v dolžino uporabite naslednjo formulo:
l=((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2) 1/2.
Opombe
V članku so bili uporabljeni standardni zapisi za količine, ki se uporabljajo v večini nalog. V tem primeru potenca "1/2" pomeni, da morate izvleči koren celotnega izraza pod oklepaji.
Bodite previdni pri izbiri formule. Nekateri od njih izgubijo svojo pomembnost glede na začetne pogoje. Na primer, formula kroga. V vsakem primeru vam lahko izračuna rezultat, lahko pa pride do situacije, ko trikotnik z danimi parametri sploh ne obstaja.
Če sedite doma in delate domačo nalogo, potem lahko uporabite spletni kalkulator. Številna spletna mesta ponujajo možnost izračuna različnih količin z danimi parametri, pri čemer ni pomembno, katere. Začetne podatke lahko preprosto vnesete v polja, računalnik (spletna stran) pa vam izračuna rezultat. Tako se lahko izognete napakam, ki so nastale zaradi malomarnosti.
Upamo, da je naš članek odgovoril na vsa vaša vprašanja v zvezi z izračunom površine različnih trikotnikov in vam ne bo treba iskati dodatnih informacij drugje. Vso srečo pri študiju!
Za določitev površine trikotnika lahko uporabite različne formule. Od vseh metod je najpreprostejša in najpogosteje uporabljena ta, da višino pomnožimo z dolžino osnove in nato rezultat delimo z dva. Vendar ta metoda še zdaleč ni edina. Spodaj si lahko preberete, kako najti površino trikotnika z različnimi formulami.
Ločeno si bomo ogledali načine za izračun površine določenih vrst trikotnikov - pravokotnih, enakokrakih in enakostraničnih. Vsako formulo pospremimo s kratko razlago, ki vam bo pomagala razumeti njeno bistvo.
Univerzalne metode za iskanje območja trikotnika
Spodnje formule uporabljajo poseben zapis. Vsakega od njih bomo dešifrirali:
- a, b, c - dolžine treh strani figure, ki jo obravnavamo;
- r je polmer kroga, ki ga lahko vpišemo v naš trikotnik;
- R je polmer kroga, ki ga je mogoče opisati okoli njega;
- α je velikost kota, ki ga tvorita stranici b in c;
- β je velikost kota med a in c;
- γ je velikost kota, ki ga tvorita stranici a in b;
- h je višina našega trikotnika, spuščena iz kota α na stran a;
- p – polovična vsota strani a, b in c.
Logično je jasno, zakaj lahko na ta način najdete površino trikotnika. Trikotnik je mogoče zlahka sestaviti v paralelogram, v katerem bo ena stran trikotnika delovala kot diagonala. Ploščino paralelograma najdemo tako, da dolžino ene od njegovih strani pomnožimo z vrednostjo višine, ki je na njej narisana. Diagonala deli ta pogojni paralelogram na 2 enaka trikotnika. Zato je povsem očitno, da mora biti površina našega prvotnega trikotnika enaka polovici površine tega pomožnega paralelograma.
S=½ a b sin γ
V skladu s to formulo se območje trikotnika najde tako, da se dolžini njegovih dveh strani, to je a in b, pomnoži s sinusom kota, ki ga tvorita. Ta formula je logično izpeljana iz prejšnje. Če znižamo višino s kota β na stran b, potem glede na lastnosti pravokotnega trikotnika, ko dolžino stranice a pomnožimo s sinusom kota γ, dobimo višino trikotnika, to je h .
Območje zadevne figure se ugotovi tako, da se polovica polmera kroga, ki ga je mogoče vpisati vanj, pomnoži z njegovim obodom. Z drugimi besedami, poiščemo zmnožek pol-obsega in polmera omenjenega kroga.
S = a b c/4R
V skladu s to formulo lahko vrednost, ki jo potrebujemo, najdemo tako, da produkt strani figure delimo s 4 polmeri kroga, opisanega okoli njega.
Te formule so univerzalne, saj omogočajo določitev površine katerega koli trikotnika (razmerno, enakokrako, enakostranično, pravokotno). To je mogoče storiti z bolj zapletenimi izračuni, o katerih se ne bomo podrobneje ukvarjali.
Površine trikotnikov s posebnimi lastnostmi
Kako najti območje pravokotnega trikotnika? Posebnost te figure je, da sta njeni dve strani hkrati njeni višini. Če sta a in b kateta in c postane hipotenuza, potem območje najdemo takole:
Kako najti območje enakokrakega trikotnika? Ima dve stranici z dolžino a in eno stran z dolžino b. Posledično lahko njegovo ploščino določimo tako, da produkt kvadrata stranice a in sinusa kota γ delimo z 2.
Kako najti območje enakostraničnega trikotnika? V njej je dolžina vseh stranic enaka a, velikost vseh kotov pa α. Njegova višina je enaka polovici zmnožka dolžine stranice a in kvadratnega korena iz 3. Če želite najti površino pravilnega trikotnika, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korenom iz 3 in deliti s 4.
