Območje formule trikotnika, ki temelji na treh straneh 3. Območje trikotnika - formule in primeri reševanja problemov

Navodila

Stranke in koti veljajo za osnovne elemente A. Trikotnik je v celoti definiran s katerim koli od naslednjih osnovnih elementov: bodisi s tremi stranicami, bodisi z eno stranico in dvema kotoma, bodisi z dvema stranicama in kotom med njima. Za obstoj trikotnik podana s tremi stranicami a, b, c, je potrebno in zadostno zadovoljiti neenakosti, imenovane neenakosti trikotnik:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Za gradnjo trikotnik na treh straneh a, b, c je treba iz točke C odseka CB=a s šestilom narisati krog s polmerom b. Nato iz točke B na enak način narišemo krog s polmerom, ki je enak stranici c. Njuno presečišče A je tretje oglišče želenega trikotnik ABC, kjer je AB=c, CB=a, CA=b - stranice trikotnik. Problem je , če stranice a, b, c, izpolnjujejo neenakosti trikotnik določeno v 1. koraku.

Tako zgrajeno območje S trikotnik ABC z znanimi stranicami a, b, c se izračuna po Heronovi formuli:
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
kjer so a, b, c stranice trikotnik, p – polobod.
p = (a+b+c)/2

Če je trikotnik enakostranični, so vse njegove stranice enake (a=b=c).Ploščina trikotnik izračunano po formuli:
S=(a^2 v3)/4

Če je trikotnik pravokoten, to je, da je eden od njegovih kotov enak 90 °, stranice, ki ga tvorijo, pa so noge, je tretja stran hipotenuza. IN v tem primeru kvadrat je enako zmnožku nog deljeno z dva.
S=ab/2

Najti kvadrat trikotnik, lahko uporabite eno od številnih formul. Izberite formulo glede na to, kateri podatki so že znani.

Boste potrebovali

• poznavanje formul za iskanje površine trikotnika

Navodila

Če poznate velikost ene od stranic in vrednost višine, spuščeno na to stran iz kota, ki je nasproti njej, potem lahko območje najdete z naslednjim: S = a*h/2, kjer je S območje trikotnika, a je ena od strani trikotnika in h - višina, do strani a.

Obstaja znana metoda za določitev površine trikotnika, če so znane njegove tri stranice. To je Heronova formula. Za poenostavitev njegovega zapisa je uvedena vmesna vrednost - polobod: p = (a+b+c)/2, kjer a, b, c - . Nato je Heronova formula naslednja: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ potenciranje.

Predpostavimo, da poznate eno od stranic trikotnika in tri kote. Potem je enostavno najti območje trikotnika: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), kjer je β kot nasproti strani a, α in γ pa sta kota, ki mejita na stran.

Video na temo

Opomba

Najbolj splošna formula, ki je primerna za vse primere, je Heronova formula.

Viri:

Nasvet 3: Kako najti površino trikotnika na podlagi treh strani

Iskanje površine trikotnika je ena najpogostejših težav v šolski planimetriji. Poznavanje treh strani trikotnika zadostuje za določitev površine katerega koli trikotnika. V posebnih primerih enakostraničnega trikotnika zadostuje poznavanje dolžin dveh oziroma ene stranice.

Boste potrebovali

• dolžine stranic trikotnikov, Heronova formula, kosinusni izrek

Navodila

Heronova formula za območje trikotnika je naslednja: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Če zapišemo polobod p, dobimo: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Formulo za površino trikotnika lahko izpeljete iz premislekov, na primer z uporabo kosinusnega izreka.

Po kosinusnem izreku je AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Z uporabo uvedenih zapisov lahko te zapišemo tudi v obliki: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Zato je cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Območje trikotnika najdemo tudi s formulo S = a*c*sin(ABC)/2 z uporabo dveh stranic in kota med njima. Sinus kota ABC lahko izrazimo prek njega z uporabo osnovne trigonometrične istovetnosti: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Tako, da sinus nadomestimo v formulo za ploščino in jo zapišemo , lahko pridete do formule za ploščino trikotnika ABC.

Video na temo

Za izvedbo popravil bo morda potrebno meriti kvadrat stene Tako je lažje izračunati potrebno količino barve ali ozadja. Za meritve je najbolje uporabiti merilni trak ali merilni trak. Meritve je treba opraviti po stene so bili izravnani.

Boste potrebovali

• - ruleta;
• - lestev.

Navodila

Šteti kvadrat stene, morate vedeti natančno višino stropov in izmeriti tudi dolžino po tleh. To storite na naslednji način: vzemite centimeter in ga položite na podnožje. Običajno en centimeter ni dovolj za celotno dolžino, zato ga pritrdite v kotu, nato pa ga odvijte do največje dolžine. Na tem mestu označite s svinčnikom, zapišite dobljeni rezultat in na enak način izvedite nadaljnje meritve, začenši od zadnje merilne točke.

Standardni stropi so 2 metra 80 centimetrov, 3 metre in 3 metre 20 centimetrov, odvisno od hiše. Če je bila hiša zgrajena pred 50-imi leti, potem je najverjetneje dejanska višina nekoliko nižja od navedene. Če računate kvadrat za popravila, potem majhna zaloga ne bo škodila - upoštevajte na podlagi standarda. Če še vedno morate vedeti dejansko višino, opravite meritve. Načelo je podobno kot pri merjenju dolžine, vendar boste potrebovali lestev.

Pomnožite nastale kazalnike - to je kvadrat tvoje stene. Res je, da je pri barvanju ali za slikanje potrebno odšteti kvadrat vratne in okenske odprtine. Če želite to narediti, položite centimeter vzdolž odprtine. Če govorimo o vratih, ki jih boste naknadno zamenjali, nadaljujte z odstranitvijo okvirja vrat, pri čemer upoštevajte samo kvadrat direktno do same odprtine. Površina okna se izračuna vzdolž oboda njegovega okvirja. Po kvadrat izračunana okna in vrata, odštejte rezultat od skupne nastale površine prostora.

Upoštevajte, da merjenje dolžine in širine prostora izvajata dve osebi, kar olajša pritrditev centimetra ali merilnega traku in s tem natančnejši rezultat. Večkrat opravite enako meritev, da se prepričate, ali so številke, ki jih dobite, točne.

Video na temo

Iskanje prostornine trikotnika je resnično netrivialna naloga. Dejstvo je, da je trikotnik dvodimenzionalna figura, tj. v celoti leži v eni ravnini, kar pomeni, da preprosto nima volumna. Seveda ne moreš najti nečesa, kar ne obstaja. Ampak ne obupajmo! Sprejmemo lahko naslednjo predpostavko: prostornina dvodimenzionalne figure je njena ploščina. Iskali bomo območje trikotnika.

Boste potrebovali

• list papirja, svinčnik, ravnilo, kalkulator

Navodila

Narišite na list papirja z ravnilom in svinčnikom. S skrbnim pregledom trikotnika se lahko prepričate, da res nima trikotnika, saj je narisan na ravnini. Označite stranice trikotnika: ena stranica naj bo stranica "a", druga stranica "b" in tretja stranica "c". Označite oglišča trikotnika s črkami "A", "B" in "C".

Izmeri poljubno stran trikotnika z ravnilom in zapiši rezultat. Po tem obnovite pravokotnico na izmerjeno stran iz vrha nasproti njej, taka pravokotnica bo višina trikotnika. V primeru, prikazanem na sliki, je pravokotnica "h" obnovljena na stranico "c" iz oglišča "A". Z ravnilom izmerite dobljeno višino in rezultat meritve zapišite.

Morda vam bo težko obnoviti natančno navpično. V tem primeru bi morali uporabiti drugo formulo. Z ravnilom izmerite vse stranice trikotnika. Nato izračunajte polobseg trikotnika "p" tako, da seštejete nastale dolžine stranic in njihovo vsoto delite na pol. Če imate na razpolago vrednost polobodja, lahko uporabite Heronovo formulo. Če želite to narediti, morate vzeti kvadratni koren naslednjega: p(p-a)(p-b)(p-c).

Dobili ste zahtevano površino trikotnika. Problem iskanja prostornine trikotnika ni bil rešen, vendar, kot je navedeno zgoraj, prostornina ni. V tridimenzionalnem svetu lahko najdete volumen, ki je v bistvu trikotnik. Če si predstavljamo, da je naš prvotni trikotnik postal tridimenzionalna piramida, potem bo prostornina takšne piramide produkt dolžine njene osnove s površino trikotnika, ki smo ga dobili.

Opomba

Bolj natančno kot boste merili, bolj natančni bodo vaši izračuni.

Viri:

• Kalkulator “Vse za vse” - portal za referenčne vrednosti
• obseg trikotnika v letu 2019

Tri točke, ki enolično določajo trikotnik v kartezičnem koordinatnem sistemu, so njegova oglišča. Če poznate njihov položaj glede na vsako od koordinatnih osi, lahko izračunate vse parametre te ravne figure, vključno s tistimi, ki jih omejuje njen obseg kvadrat. To lahko naredimo na več načinov.

Navodila

Za izračun površine uporabite Heronovo formulo trikotnik. Vključuje dimenzije treh strani figure, zato začnite svoje izračune z . Dolžina vsake stranice mora biti enaka korenu vsote kvadratov dolžin njenih projekcij na koordinatne osi. Če označimo koordinate A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) in C(X₃,Y₃,Z₃), lahko dolžine njihovih stranic izrazimo na naslednji način: AB = √((X₁- X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X3)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z3)²).

Za poenostavitev izračunov uvedite pomožno spremenljivko - polperimeter (P). Iz dejstva, da je to polovica vsote dolžin vseh strani: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁- Z₂)²) + √ ((X₂-X3)² + (Y₂-Y3)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y3)² + (Z₁-Z₃) ²).

Trikotnik je najpreprostejši geometrijski lik, ki je sestavljen iz treh stranic in treh oglišč. Zaradi svoje preprostosti so trikotnik že od pradavnine uporabljali za različne meritve, danes pa je lik lahko uporaben pri reševanju praktičnih in vsakdanjih problemov.

Značilnosti trikotnika

Slika se uporablja za izračune že od antičnih časov, geodeti in astronomi na primer uporabljajo lastnosti trikotnikov za izračun površin in razdalj. Preko območja te figure je enostavno izraziti območje katerega koli n-gona in to lastnost so starodavni znanstveniki uporabili za izpeljavo formul za območja mnogokotnikov. Nenehno delo s trikotniki, zlasti s pravim trikotnikom, je postalo osnova za celotno vejo matematike - trigonometrijo.

Geometrija trikotnika

Lastnosti geometrijskega lika so proučevali že od antičnih časov: najzgodnejši podatki o trikotniku so bili najdeni v egipčanskih papirusih izpred 4000 let. Nato je bila figura preučena v Antična grčija največji prispevek k geometriji trikotnika pa so prispevali Evklid, Pitagora in Heron. Preučevanje trikotnika ni nikoli prenehalo in v 18. stoletju je Leonhard Euler uvedel koncept ortocentra figure in Eulerjevega kroga. Na prelomu iz 19. v 20. stoletje, ko se je zdelo, da je o trikotniku znano čisto vse, je Frank Morley oblikoval izrek o trisektorjih kotov, Waclaw Sierpinski pa je predlagal fraktalni trikotnik.

Obstaja več vrst ravnih trikotnikov, ki so nam znani iz šolskih tečajev geometrije:

• akutni - vsi vogali figure so ostri;
• tup - slika ima en tup kot (več kot 90 stopinj);
• pravokotna - slika vsebuje en pravi kot, ki je enak 90 stopinj;
• enakokraki - trikotnik z dvema enakima stranicama;
• enakostranični - trikotnik z vsemi enakimi stranicami.
• V resničnem življenju obstajajo vse vrste trikotnikov in v nekaterih primerih bomo morda morali izračunati površino geometrijske figure.

Območje trikotnika

Ploščina je ocena, kolikšen del ravnine obsega lik. Območje trikotnika je mogoče najti na šest načinov, z uporabo stranic, višine, kotov, polmera včrtanega ali obremenjenega kroga, pa tudi z uporabo Heronove formule ali izračuna dvojnega integrala vzdolž črt, ki omejujejo ravnino. Najenostavnejša formula za izračun površine trikotnika je:

kjer je a stranica trikotnika, h njegova višina.

Vendar nam v praksi ni vedno priročno najti višine geometrijske figure. Algoritem našega kalkulatorja vam omogoča izračun površine ob poznavanju:

• tri strani;
• dve stranici in kot med njima;
• eno stran in dva vogala.

Za določitev površine skozi tri stranice uporabimo Heronovo formulo:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

kjer je p polobseg trikotnika.

Območje dveh stranic in kota se izračuna po klasični formuli:

S = a × b × sin (alfa),

kjer je alfa kot med stranicama a in b.

Za določitev območja glede na eno stran in dva kota uporabimo razmerje, ki:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

S preprostim razmerjem določimo dolžino druge stranice, nato pa izračunamo ploščino po formuli S = a × b × sin(alfa). Ta algoritem je popolnoma avtomatiziran in morate samo vnesti podane spremenljivke in dobiti rezultat. Poglejmo si nekaj primerov.

Primeri iz življenja

Tlakovne plošče

Recimo, da želite tlakovati tla s trikotnimi ploščicami in da določite količino potrebnega materiala, morate poznati površino ene ploščice in površino tal. Recimo, da morate obdelati 6 kvadratnih metrov površine s ploščico, katere dimenzije so a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Očitno je, da kalkulator za izračun površine trikotnika uporablja Heronovo formulo in daje. rezultat:

Tako bo površina enega elementa ploščice 0,021 kvadratnih metrov, za izboljšanje tal pa boste potrebovali 6/0,021 = 285 trikotnikov. Številke 20, 21 in 29 tvorijo Pitagorejsko trojno število, ki izpolnjuje . In tako je, naš kalkulator je izračunal tudi vse kote trikotnika, kot gama pa je točno 90 stopinj.

Šolska naloga

V šolskem problemu morate najti območje trikotnika, če veste, da je stran a = 5 cm, kota alfa in beta pa 30 oziroma 50 stopinj. Da bi to težavo rešili ročno, bi najprej poiskali vrednost stranice b z uporabo razmerja razmerja stranic in sinusov nasprotnih kotov, nato pa bi določili ploščino s preprosto formulo S = a × b × sin(alfa). Prihranimo čas, vnesemo podatke v obrazec kalkulatorja in dobimo takojšen odgovor

Pri uporabi kalkulatorja je pomembno, da pravilno navedete kote in stranice, sicer bo rezultat napačen.

Zaključek

Trikotnik je edinstvena figura, ki jo najdemo tako v resničnem življenju kot v abstraktnih izračunih. Uporabite naš spletni kalkulator za določitev površine vseh trikotnikov.

Trikotnik je geometrijski lik, sestavljen iz treh ravnih črt, ki se povezujejo v točkah, ki ne ležijo na isti ravni črti. Spojne točke črt so oglišča trikotnika, ki so označena z latiničnimi črkami (na primer A, B, C). Povezovalne ravne črte trikotnika imenujemo segmenti, ki jih običajno označujemo tudi z latiničnimi črkami. Ločimo naslednje vrste trikotnikov:

• Pravokoten.
• Obtusen.
• Ostro kotni.
• Vsestranski.
• Enakostranični.
• Enakokraki.

Splošne formule za izračun površine trikotnika

Formula za površino trikotnika glede na dolžino in višino

S= a*h/2,
kjer je a dolžina stranice trikotnika, katerega ploščino je treba najti, h je dolžina višine, narisane na osnovo.

Heronova formula

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kjer je √ kvadratni koren, p je polobseg trikotnika, a,b,c je dolžina vsake stranice trikotnika. Polobseg trikotnika lahko izračunamo s formulo p=(a+b+c)/2.

Formula za območje trikotnika glede na kot in dolžino segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
kjer je b,c dolžina stranic trikotnika, sin(α) je sinus kota med obema stranicama.

Formula za površino trikotnika glede na polmer včrtanega kroga in treh strani

S=p*r,
kjer je p polobseg trikotnika, katerega ploščino je treba najti, r je polmer kroga, včrtanega v ta trikotnik.

Formula za območje trikotnika, ki temelji na treh straneh in polmeru kroga, ki je okoli njega opisan

S= (a*b*c)/4*R,
kjer je a,b,c dolžina vsake stranice trikotnika, R je polmer kroga, ki je opisan okoli trikotnika.

Formula za površino trikotnika z uporabo kartezičnih koordinat točk

Kartezične koordinate točk so koordinate v sistemu xOy, kjer je x abscisa, y ordinata. Kartezični koordinatni sistem xOy na ravnini sta medsebojno pravokotni številski osi Ox in Oy s skupnim izhodiščem v točki O. Če so koordinate točk na tej ravnini podane v obliki A(x1, y1), B(x2, y2). ) in C(x3, y3), potem lahko izračunate ploščino trikotnika z naslednjo formulo, ki jo dobite iz vektorskega produkta dveh vektorjev.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kjer || pomeni modul.

Kako najti območje pravokotnega trikotnika

Pravokotni trikotnik je trikotnik z enim kotom, ki meri 90 stopinj. Trikotnik ima lahko samo en tak kot.

Formula za površino pravokotnega trikotnika na dveh straneh

S= a*b/2,
kjer je a,b dolžina nog. Noge so stranice, ki mejijo na pravi kot.

Formula za območje pravokotnega trikotnika, ki temelji na hipotenuzi in ostrem kotu

S = a*b*sin(α)/ 2,
kjer sta a, b kraka trikotnika, sin(α) pa je sinus kota, pod katerim se premici a, b sekata.

Formula za območje pravokotnega trikotnika, ki temelji na strani in nasprotnem kotu

S = a*b/2*tg(β),
kjer sta a, b kraka trikotnika, tan(β) je tangens kota, pod katerim sta kraka a, b povezana.

Kako izračunati površino enakokrakega trikotnika

Enakokraki trikotnik je tisti, ki ima dve enaki stranici. Te stranice se imenujejo stranice, druga stran pa je osnova. Za izračun površine enakokrakega trikotnika lahko uporabite eno od naslednjih formul.

Osnovna formula za izračun ploščine enakokrakega trikotnika

S=h*c/2,
kjer je c osnova trikotnika, h je višina trikotnika, spuščena na osnovo.

Formula enakokrakega trikotnika s stranico in osnovo

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kjer je c osnova trikotnika, a je velikost ene od stranskih stranic enakokrakega trikotnika.

Kako najti območje enakostraničnega trikotnika

Enakostranični trikotnik je trikotnik, v katerem so vse stranice enake. Za izračun površine enakostraničnega trikotnika lahko uporabite naslednjo formulo:
S = (√3*a*a)/4,
kjer je a dolžina stranice enakostraničnega trikotnika.

Zgornje formule vam bodo omogočile izračun zahtevane površine trikotnika. Pomembno si je zapomniti, da morate za izračun površine trikotnikov upoštevati vrsto trikotnika in razpoložljive podatke, ki jih je mogoče uporabiti za izračun.

Za določitev površine trikotnika lahko uporabite različne formule. Od vseh metod je najpreprostejša in najpogosteje uporabljena ta, da višino pomnožimo z dolžino osnove in nato rezultat delimo z dva. Vendar ta metoda še zdaleč ni edina. Spodaj si lahko preberete, kako najti površino trikotnika z uporabo različnih formul.

Ločeno si bomo ogledali načine za izračun površine določenih vrst trikotnikov - pravokotnih, enakokrakih in enakostraničnih. Vsako formulo pospremimo s kratko razlago, ki vam bo pomagala razumeti njeno bistvo.

Univerzalne metode za iskanje območja trikotnika

Spodnje formule uporabljajo poseben zapis. Vsakega od njih bomo dešifrirali:

• a, b, c - dolžine treh strani figure, ki jo obravnavamo;
• r je polmer kroga, ki ga lahko vpišemo v naš trikotnik;
• R je polmer kroga, ki ga je mogoče opisati okoli njega;
• α je velikost kota, ki ga tvorita stranici b in c;
• β je velikost kota med a in c;
• γ je velikost kota, ki ga tvorita stranici a in b;
• h je višina našega trikotnika, spuščena iz kota α na stran a;
• p – polovična vsota strani a, b in c.

Logično je jasno, zakaj lahko na ta način najdete površino trikotnika. Trikotnik je mogoče zlahka sestaviti v paralelogram, v katerem bo ena stran trikotnika delovala kot diagonala. Ploščino paralelograma najdemo tako, da dolžino ene od njegovih strani pomnožimo z vrednostjo višine, ki je na njej narisana. Diagonala deli ta pogojni paralelogram na 2 enaka trikotnika. Zato je povsem očitno, da mora biti površina našega prvotnega trikotnika enaka polovici površine tega pomožnega paralelograma.

S=½ a b sin γ

V skladu s to formulo se območje trikotnika najde tako, da se dolžini njegovih dveh strani, to je a in b, pomnoži s sinusom kota, ki ga tvorita. Ta formula je logično izpeljana iz prejšnje. Če znižamo višino s kota β na stran b, potem glede na lastnosti pravokotnega trikotnika, ko dolžino stranice a pomnožimo s sinusom kota γ, dobimo višino trikotnika, to je h .

Območje zadevne figure se ugotovi tako, da se polovica polmera kroga, ki ga je mogoče vpisati vanj, pomnoži z njegovim obodom. Z drugimi besedami, poiščemo zmnožek pol-obsega in polmera omenjenega kroga.

S= a b c/4R

V skladu s to formulo lahko vrednost, ki jo potrebujemo, najdemo tako, da zmnožek strani figure delimo s 4 polmeri kroga, opisanega okoli nje.

Te formule so univerzalne, saj omogočajo določitev površine katerega koli trikotnika (razmerno, enakokrako, enakostranično, pravokotno). To je mogoče storiti z bolj zapletenimi izračuni, o katerih se ne bomo podrobneje ukvarjali.

Površine trikotnikov s posebnimi lastnostmi

Kako najti območje pravokotnega trikotnika? Posebnost te figure je, da sta njeni dve strani hkrati njeni višini. Če sta a in b kateta in c postane hipotenuza, potem območje najdemo takole:

Kako najti območje enakokrakega trikotnika? Ima dve stranici z dolžino a in eno stran z dolžino b. Posledično lahko njegovo ploščino določimo tako, da produkt kvadrata stranice a in sinusa kota γ delimo z 2.

Kako najti območje enakostraničnega trikotnika? V njej je dolžina vseh stranic enaka a, velikost vseh kotov pa α. Njegova višina je enaka polovici zmnožka dolžine stranice a in kvadratnega korena iz 3. Če želite najti površino pravilnega trikotnika, morate kvadrat stranice a pomnožiti s kvadratnim korenom iz 3 in deliti s 4.

Koncept območja

Koncept območja katere koli geometrijske figure, zlasti trikotnika, bo povezan s figuro, kot je kvadrat. Za enoto površine katere koli geometrijske figure bomo vzeli površino kvadrata, katerega stranica je enaka ena. Za popolnost se spomnimo dveh osnovnih lastnosti koncepta območij geometrijskih likov.

Lastnost 1:Če so geometrijski liki enaki, so enake tudi njihove ploščine.

Lastnost 2: Vsako figuro lahko razdelimo na več figur. Poleg tega je površina prvotne figure enaka vsoti površin vseh njenih sestavnih številk.

Poglejmo si primer.

Primer 1

Očitno je ena od stranic trikotnika diagonala pravokotnika, katerega ena stranica je dolga $5$ (ker je $5$ celic), druga pa $6$ (ker je $6$ celic). Zato bo površina tega trikotnika enaka polovici takega pravokotnika. Območje pravokotnika je

Potem je površina trikotnika enaka

Odgovor: 15 $.

Nato bomo preučili več metod za iskanje območij trikotnikov, in sicer z uporabo višine in osnove, z uporabo Heronove formule in površine enakostraničnega trikotnika.

Kako najti površino trikotnika z njegovo višino in osnovo

1. izrek

Ploščino trikotnika je mogoče najti kot polovico produkta dolžine stranice in višine te strani.

Matematično je to videti takole

$S=\frac(1)(2)αh$

kjer je $a$ dolžina stranice, $h$ je nanjo narisana višina.

Dokaz.

Vzemimo trikotnik $ABC$, v katerem je $AC=α$. Na to stran je narisana višina $BH$, ki je enaka $h$. Sestavimo ga do kvadrata $AXYC$ kot na sliki 2.

Ploščina pravokotnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, ploščina pravokotnika $HBYC$ pa $h\cdot HC$. Potem

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Zato je zahtevana površina trikotnika po lastnosti 2 enaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Izrek je dokazan.

Primer 2

Poiščite ploščino trikotnika na spodnji sliki, če ima celica ploščino enako ena

Osnovica tega trikotnika je enaka $9$ (ker je $9$ kvadratov $9$). Višina je tudi $9$. Nato po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 $.

Heronova formula

Izrek 2

Če imamo tri stranice trikotnika $α$, $β$ in $γ$, lahko njegovo ploščino poiščemo takole

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

tukaj $ρ$ pomeni polobseg tega trikotnika.

Dokaz.

Razmislite o naslednji sliki:

Po Pitagorovem izreku dobimo iz trikotnika $ABH$

Iz trikotnika $CBH$ imamo po Pitagorovem izreku

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz teh dveh odnosov dobimo enakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Ker je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potem $α+β+γ=2ρ$, kar pomeni

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$