Seštevanje ulomkov s skupnim imenovalcem. Ulomki. Odštevanje ulomkov

Naslednje dejanje, ki ga lahko izvedemo z navadnimi ulomki, je odštevanje. V tem gradivu si bomo ogledali, kako pravilno izračunati razliko med ulomki z enakimi in drugačnimi imenovalci, kako odšteti ulomek od naravnega števila in obratno. Vsi primeri bodo ponazorjeni s problemi. Vnaprej pojasnimo, da bomo preučili samo primere, kjer razlika ulomkov povzroči pozitivno število.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kako najti razliko med ulomki z enakimi imenovalci

Začnimo takoj z jasnim primerom: recimo, da imamo jabolko, ki je razdeljeno na osem delov. Pustimo pet delov na krožniku in vzamemo dva. To dejanje lahko zapišemo takole:

Posledično nam ostanejo 3 osmine, saj je 5 − 2 = 3. Izkazalo se je, da je 5 8 - 2 8 = 3 8.

S tem preprostim primerom smo natančno videli, kako deluje pravilo odštevanja za ulomke, katerih imenovalci so enaki. Oblikujmo ga.

Definicija 1

Če želite ugotoviti razliko med ulomki z enakimi imenovalci, morate od števca enega odšteti števec drugega in pustiti imenovalec enak. To pravilo lahko zapišemo kot a b - c b = a - c b.

To formulo bomo uporabljali v prihodnje.

Vzemimo konkretne primere.

Primer 1

Od ulomka 24 15 odštej navadni ulomek 17 15.

rešitev

Vidimo, da imajo ti ulomki enake imenovalce. Vse kar moramo narediti je, da od 24 odštejemo 17. Dobimo 7 in mu dodamo imenovalec, dobimo 7 15.

Naše izračune lahko zapišemo takole: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15

Če je potrebno, lahko skrajšate zapleten ulomek ali izberete celoten del iz nepravilnega ulomka, da bo štetje bolj priročno.

Primer 2

Poišči razliko 37 12 - 15 12.

rešitev

Uporabimo zgoraj opisano formulo in izračunajmo: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12

Preprosto opazimo, da lahko števec in imenovalec delimo z 2 (o tem smo že govorili prej, ko smo preučevali znake deljivosti). Če skrajšamo odgovor, dobimo 11 6. To je nepravi ulomek, iz katerega bomo izbrali cel del: 11 6 = 1 5 6.

Kako najti razliko ulomkov z različnimi imenovalci

To matematično operacijo je mogoče zmanjšati na tisto, kar smo že opisali zgoraj. Da bi to naredili, preprosto reduciramo potrebne ulomke na isti imenovalec. Oblikujmo definicijo:

Definicija 2

Če želite najti razliko med ulomki, ki imajo različne imenovalce, jih morate zmanjšati na isti imenovalec in poiskati razliko med števci.

Poglejmo primer, kako se to naredi.

Primer 3

Odštejte ulomek 1 15 od 2 9.

rešitev

Imenovalci so različni in jih morate zmanjšati na najmanjšo skupno vrednost. V tem primeru je LCM 45. Prvi ulomek zahteva dodatni faktor 5, drugi pa 3.

Izračunajmo: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45

Imamo dva ulomka z enakim imenovalcem in zdaj lahko zlahka poiščemo njuno razliko z uporabo prej opisanega algoritma: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45

Kratek povzetek rešitve je videti takole: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.

Ne zanemarite zmanjšanja rezultata ali po potrebi ločitve celotnega dela od njega. V tem primeru nam tega ni treba narediti.

Primer 4

Poišči razliko 19 9 - 7 36.

rešitev

Zmanjšajmo ulomke, navedene v pogoju, na najmanjši skupni imenovalec 36 in dobimo 76 9 oziroma 7 36.

Izračunamo odgovor: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36

Rezultat lahko zmanjšate za 3 in dobite 23 12. Števec je večji od imenovalca, kar pomeni, da lahko izberemo cel del. Končni odgovor je 1 11 12.

Kratek povzetek celotne rešitve je 19 9 - 7 36 = 1 11 12.

Kako od navadnega ulomka odštejemo naravno število

To dejanje je mogoče enostavno zmanjšati tudi na preprosto odštevanje navadnih ulomkov. To lahko naredimo tako, da naravno število predstavimo kot ulomek. Pokažimo to s primerom.

Primer 5

Poišči razliko 83 21 – 3 .

rešitev

3 je enako kot 31. Potem lahko izračunate takole: 83 21 - 3 = 20 21.

Če pogoj zahteva odštevanje celega števila od nepravilnega ulomka, je bolj priročno, da celo število najprej ločimo od njega tako, da ga zapišemo kot mešano število. Potem lahko prejšnji primer rešimo drugače.

Iz ulomka 83 21 je pri ločevanju celega dela rezultat 83 21 = 3 20 21.

Sedaj od tega odštejmo 3: 3 20 21 - 3 = 20 21.

Kako odšteti ulomek od naravnega števila

To dejanje izvedemo podobno kot prejšnje: naravno število prepišemo kot ulomek, oba spravimo na en imenovalec in poiščemo razliko. Naj to ponazorimo s primerom.

Primer 6

Poišči razliko: 7 - 5 3 .

rešitev

Naredimo 7 ulomek 7 1. Izvedemo odštevanje in transformiramo končni rezultat, tako da od njega ločimo cel del: 7 - 5 3 = 5 1 3.

Obstaja še en način za izračune. Ima nekaj prednosti, ki jih je mogoče uporabiti v primerih, ko so števci in imenovalci ulomkov v problemu velika števila.

Definicija 3

Če je ulomek, ki ga je treba odšteti, pravilen, moramo naravno število, od katerega odštevamo, predstaviti kot vsoto dveh števil, od katerih je eno enako 1. Po tem morate od enote odšteti želeni ulomek in dobiti odgovor.

Primer 7

Izračunaj razliko 1 065 - 13 62.

rešitev

Ulomek, ki ga je treba odšteti, je pravilen, ker je njegov števec manjši od imenovalca. Zato moramo od 1065 odšteti eno in od tega odšteti želeni ulomek: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62

Zdaj moramo najti odgovor. Z uporabo lastnosti odštevanja lahko dobljeni izraz zapišemo kot 1064 + 1 - 13 62. Izračunajmo razliko v oklepajih. Za to si predstavljajmo enoto kot ulomek 1 1.

Izkazalo se je, da je 1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62.

Zdaj pa se spomnimo na 1064 in oblikujmo odgovor: 1064 49 62.

Uporabljamo staro metodo, da dokažemo, da je manj priročna. To so izračuni, do katerih bi prišli:

1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6

Odgovor je enak, le da so izračuni očitno bolj okorni.

Ogledali smo si primer, ko moramo odšteti pravilni ulomek. Če je napačno, ga nadomestimo z mešanim številom in odštejemo po znanih pravilih.

Primer 8

Izračunaj razliko 644 - 73 5.

rešitev

Drugi ulomek je nepravi ulomek in od njega je treba ločiti cel del.

Sedaj računamo podobno kot v prejšnjem primeru: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5

Lastnosti odštevanja pri delu z ulomki

Lastnosti, ki jih ima odštevanje naravnih števil, veljajo tudi za primere odštevanja navadnih ulomkov. Poglejmo, kako jih uporabiti pri reševanju primerov.

Primer 9

Poišči razliko 24 4 - 3 2 - 5 6.

rešitev

Podobne primere smo že reševali, ko smo gledali odštevanje vsote od števila, zato sledimo že znanemu algoritmu. Najprej izračunajmo razliko 25 4 - 3 2 in nato od nje odštejmo zadnji ulomek:

25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12

Transformirajmo odgovor tako, da od njega ločimo cel del. Rezultat - 3 11 12.

Kratek povzetek celotne rešitve:

25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12

Če izraz vsebuje tako ulomke kot naravna števila, je priporočljivo, da jih pri računanju združite po vrsti.

Primer 10

Poišči razliko 98 + 17 20 - 5 + 3 5.

rešitev

Če poznamo osnovne lastnosti odštevanja in seštevanja, lahko števila združimo v skupine na naslednji način: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5

Dokončajmo izračune: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter

Kot vemo iz matematike, je ulomek sestavljen iz števca in imenovalca. Števec je na vrhu, imenovalec pa na dnu.

Povsem preprosto je izvajati matematične operacije seštevanja ali odštevanja ulomkov z enakim imenovalcem. Številke v števcu (zgoraj) moraš znati sešteti ali odšteti, in ista spodnja številka ostane nespremenjena.

Na primer, vzemimo ulomek 7/9, tukaj:

številka "sedem" na vrhu je števnik;
številka »devet« spodaj je imenovalec.

Primer 1. Dodatek:

5/49 + 4/49 = (5+4) / 49 =9/49.

Primer 2. odštevanje:

6/35−3/35 = (6−3) / 35 = 3/35.

Odštevanje preprostih ulomkov, ki imajo različne imenovalce

Če želite izvesti matematično operacijo odštevanja količin, ki imajo različne imenovalce, jih morate najprej spraviti na en imenovalec. Pri izvajanju te naloge se je treba držati pravila, da mora biti ta skupni imenovalec najmanjši od vseh možnih možnosti.

Primer 3

Podani sta dve enostavni količini z različnimi imenovalci (nižja števila): 7/8 in 2/9.

Od prve vrednosti je treba odšteti drugo.

Rešitev je sestavljena iz več korakov:

1. Poiščite skupno nižje število, tj. nekaj, kar je deljivo z nižjo vrednostjo prvega in drugega ulomka. To bo število 72, saj je večkratnik števil osem in devet.

2. Spodnja številka vsakega ulomka se je povečala:

število "osem" v ulomku 7/8 se je povečalo za devetkrat - 8*9=72;
število “devet” v ulomku 2/9 se je povečalo za osemkrat - 9*8=72.

3. Če se je spremenil imenovalec (spodnja številka), se mora spremeniti tudi števec (zgornja številka). V skladu z obstoječim matematičnim pravilom je treba zgornjo številko povečati za natanko toliko kot spodnjo. To je:

števec "sedem" v prvem ulomku (7/8) se pomnoži s številom "devet" - 7*9=63;
Števec "dva" v drugem ulomku (2/9) pomnožimo s številom "osem" - 2*8=16.

4. Kot rezultat naših dejanj smo dobili dve novi količini, ki pa sta enaki prvotnim.

prvi: 7/8 = 7*9 / 8*9 = 63/72;
drugič: 2/9 = 2*8 / 9*8 = 16/72.

5. Sedaj je mogoče odšteti eno delno število od drugega:

7/8−2/9 = 63/72−16/72 =?

6. Z izvedbo tega dejanja se vrnemo na temo odštevanja ulomkov z enakimi spodnjimi števkami (imenovalci). To pomeni, da bo dejanje odštevanja izvedeno na vrhu, v števcu, spodnja številka pa bo prenesena brez sprememb.

63/72−16/72 = (63−16) / 72 = 47/72.

7/8−2/9 = 47/72.

Primer 4

Zakomplicirajmo problem tako, da za rešitev vzamemo več ulomkov z različnimi, vendar več številkami na dnu.

Podane vrednosti so: 5/6; 1/3; 1/12; 7/24.

V tem zaporedju jih je treba odvzeti drug od drugega.

1. Z zgornjo metodo pripeljemo ulomke na skupni imenovalec, ki bo številka "24":

5/6 = 5*4 / 6*4 = 20/24;
1/3 = 1*8 / 3*8 = 8/24;
1/12 = 1*2 / 12*2 = 2/24.

7/24 - to zadnjo vrednost pustimo nespremenjeno, saj je imenovalec skupno število "24".

2. Odštejemo vse količine:

20/24−8/2−2/24−7/24 = (20−8−2−7)/24 = 3/24.

3. Ker sta števec in imenovalec dobljenega ulomka deljiva z eno številko, ju je mogoče zmanjšati z deljenjem s številko "tri":

3:3 / 24:3 = 1/8.

4. Odgovor zapišemo takole:

5/6−1/3−1/12−7/24 = 1/8.

Primer 5

Podani so trije ulomki z nekratnimi imenovalci: 3/4; 2/7; 1/13.

Najti morate razliko.

1. Prvi dve številki pripeljemo na skupni imenovalec, to bo številka "28":

¾ = 3*7 / 4*7 = 21/28;
2/7 = 2*4 / 7*4 = 8/28.

2. Odštejte prva dva ulomka drug od drugega:

¾−2/7 = 21/28−8/28 = (21−8) / 28 = 13/28.

3. Od dobljene vrednosti odštejemo tretji dani ulomek:

4. Števila spravimo na skupni imenovalec. Če istega imenovalca ni mogoče izbrati na lažji način, potem morate le izvesti korake tako, da vse imenovalce zaporedno pomnožite enega z drugim, pri čemer ne pozabite povečati vrednosti števca za isto številko. V tem primeru naredimo to:

13/28 = 13*13 / 28*13 = 169/364, kjer je 13 spodnja številka 5/13;
5/13 = 5*28 / 13*28 = 140/364, kjer je 28 nižje število od 13/28.

5. Odštejte nastale ulomke:

13/28−5/13 = 169/364−140/364 = (169−140) / 364 = 29/364.

Odgovor: ¾−2/7−5/13 = 29/364.

Mešani ulomki

V zgoraj obravnavanih primerih so bili uporabljeni samo pravi ulomki.

Kot primer:

8/9 je pravilen ulomek;
9/8 je napačen.

Nepravilnega ulomka je nemogoče spremeniti v pravilnega ulomka, vendar ga je mogoče spremeniti mešano. Zakaj zgornje število (števec) deliš z spodnjim (imenovalec) in dobiš število z ostankom? Celo število, ki nastane pri deljenju, zapišemo takole, ostanek zapišemo v števec na vrhu, imenovalec na dnu pa ostane enak. Da bo bolj jasno, poglejmo konkreten primer:

Primer 6

Pretvorite nepravilni ulomek 9/8 v pravilni ulomek.

Če želite to narediti, razdelite število "devet" na "osem", kar ima za posledico mešani ulomek s celim številom in ostankom:

9: 8 = 1 in 1/8 (to lahko zapišemo drugače kot 1+1/8), kjer:

številka 1 je celo število, ki izhaja iz deljenja;
drugo število 1 je ostanek;
število 8 je imenovalec, ki ostane nespremenjen.

Celo število imenujemo tudi naravno število.

Ostanek in imenovalec sta nov, a pravi ulomek.

Ko pišemo številko 1, jo pišemo pred pravim ulomkom 1/8.

Odštevanje mešanih števil z različnimi imenovalci

Iz zgornjega podajamo definicijo mešanega delnega števila: "Mešano število - to je količina, ki je enaka vsoti celega števila in pravega navadnega ulomka. V tem primeru se kliče celoten del naravno število, in številka, ki je ostala, je njegova delni del».

Primer 7

Podano: dve mešani ulomki, sestavljeni iz celega števila in pravega ulomka:

prva vrednost je 9 in 4/7, to je (9+4/7);
druga vrednost je 3 in 5/21, to je (3+5/21).

Treba je najti razliko med temi količinami.

1. Če želite odšteti 3+5/21 od 9+4/7, morate najprej odšteti celoštevilske vrednosti eno od druge:

4/7−5/21 = 4*3 / 7*3−5/21 =12/21−5/21 = (12−5) / 21 = 7/21.

3. Rezultat razlike med dvema mešanima številoma bo sestavljen iz naravnega (celega) števila 6 in pravega ulomka 7/21 = 1/3:

(9 + 4/7) - (3 + 5/21) = 6 + 1/3.

Matematiki iz vseh držav so se strinjali, da se znak "+" pri pisanju mešanih količin lahko izpusti in pred ulomkom pusti samo celo število brez predznaka.

Ta lekcija bo zajemala seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov s podobnimi imenovalci. Navadne ulomke z enakimi imenovalci že znamo seštevati in odštevati. Izkazalo se je, da algebraični ulomki sledijo istim pravilom. Učenje dela z ulomki s podobnimi imenovalci je eden od temeljev učenja dela z algebrskimi ulomki. Zlasti razumevanje te teme bo olajšalo obvladovanje bolj zapletene teme – seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci. V okviru lekcije bomo preučili pravila za dodajanje in odštevanje algebrskih ulomkov s podobnimi imenovalci ter analizirali številne tipične primere

Pravilo za seštevanje in odštevanje algebraičnih ulomkov z enakimi imenovalci

Sfor-mu-li-ru-em pra-vi-lo slo-zhe-niya (you-chi-ta-niya) al-geb-ra-i-che-skih frakcij od ena na vas -mi know-me-na-te-la-mi (sovpada z analognim pravilom za navadne shot-beats): To je za seštevanje ali izračun al-geb-ra-i-che-skih ulomkov z ena proti tebi know-me-on-the-la-mi potrebno -ho-di-mo-sestaviti ustrezno al-geb-ra-i-che-vsoto številk in znak-me-na-tel zapustiti brez kakršnega koli.

To pravilo razumemo tako na primeru navadnih ven-remijev kot na primeru al-geb-ra-i-che-remijev.

Primeri uporabe pravila za navadne ulomke

Primer 1. Seštejte ulomke: .

rešitev

Seštejmo število ulomkov, predznak pa pustimo enak. Nato število razčlenimo in podpišemo na preproste množice in kombinacije. Razumemo: .

Opomba: standardna napaka, ki je dovoljena pri reševanju podobnih tipov primerov, za -vključeno v naslednjo možno rešitev: . To je velika napaka, saj predznak ostaja enak, kot je bil v prvotnih ulomkih.

Primer 2. Seštej ulomke: .

rešitev

Ta se v ničemer ne razlikuje od prejšnjega: .

Primeri uporabe pravila za algebraične ulomke

Od običajnih dro-beatov preidemo na al-geb-ra-i-che-skim.

Primer 3. Seštej ulomke: .

Rešitev: kot je bilo že omenjeno zgoraj, se sestava al-geb-ra-i-che-frakcij v ničemer ne razlikuje od besede, enake navadnim shot-beats. Zato je metoda rešitve enaka: .

Primer 4. Vi ste ulomek: .

rešitev

You-chi-ta-nie al-geb-ra-i-che-skih ulomkov iz dodajanja le z dejstvom, da je v številu pi-sy-va-et-sya razlika v številu uporabljenih ulomkov. Zato .

Primer 5. Vi ste ulomek: .

Rešitev: .

Primer 6. Poenostavimo: .

Rešitev: .

Primeri uporabe pravila, ki mu sledi zmanjšanje

V ulomku, ki ima v rezultatu sestavljanja ali računanja enak pomen, so kombinacije možne nia. Poleg tega ne smete pozabiti na ODZ al-geb-ra-i-che-skih frakcij.

Primer 7. Poenostavimo: .

Rešitev: .

pri čemer . Na splošno velja, da če ODZ začetnih ulomkov sovpada z ODZ vsote, ga lahko izpustimo (navsezadnje tudi ulomek, ki je v odgovoru, ne bo obstajal z ustreznimi pomembnimi spremembami). Če pa se ODZ uporabljenih ulomkov in odgovor ne ujemata, je treba navesti ODZ.

Primer 8. Poenostavimo: .

Rešitev: . Hkrati y (ODZ začetnih frakcij ne sovpada z ODZ rezultata).

Seštevanje in odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Če želite dodati in prebrati ulomke al-geb-ra-i-che z različnimi know-me-on-the-la-mi, naredimo ana-lo -giyu z navadnimi ulomki-ven-ny in ga prenesemo v al-geb -ra-i-che-ulomki.

Oglejmo si najpreprostejši primer za navadne ulomke.

Primer 1. Seštej ulomke: .

rešitev:

Spomnimo se pravil seštevanja ulomkov. Za začetek je treba ulomek pripeljati do skupnega znaka. V vlogi splošnega znaka za navadne ulomke nastopate vi najmanjši skupni večkratnik(NOK) začetni znaki.

Opredelitev

Najmanjše število, ki je hkrati razdeljeno na številke in.

Če želite najti NOC, morate znanje razdeliti na preproste sklope in nato izbrati vse, kar je veliko, kar je vključeno v delitev obeh znakov.

; . Potem mora LCM števil vključevati dve dvojki in dve trojki: .

Po najdbi splošnega znanja je potrebno, da vsak od ulomkov najde popolnega množičnega prebivalca (pravzaprav, v resnici preliti skupni znak na znak ustreznega ulomka).

Nato se vsak ulomek pomnoži s polpolnim faktorjem. Vzemimo nekaj ulomkov iz istih, ki jih poznate, jih seštejte in preberite - preučevali smo jih v prejšnjih lekcijah.

Jejmo: .

odgovor:.

Poglejmo zdaj sestavo ulomkov al-geb-ra-i-che z različnimi predznaki. Zdaj pa poglejmo ulomke in preverimo, ali obstajajo številke.

Seštevanje in odštevanje algebrskih ulomkov z različnimi imenovalci

Primer 2. Seštej ulomke: .

rešitev:

Al-go-ritem odločitve ab-so-lyut-ampak ana-lo-gi-chen na prejšnji primer. Enostavno je vzeti skupni znak danih ulomkov: in dodatne množitelje za vsakega od njih.

odgovor:.

Torej, oblikujmo se al-go-ritem seštevanja in izračun al-geb-ra-i-che-skih ulomkov z različnimi znaki:

1. Poišči najmanjši skupni znak ulomka.

2. Poiščite dodatne množitelje za vsakega od ulomkov (dejansko je skupni znak predznaka podan -ti ulomek).

3. Do-mnogo števil na ustreznih do-polnih množicah.

4. Seštej ali izračunaj ulomke, pri čemer uporabljaj pravila sestavljanja in računanja ulomkov z enakim znanjem -me-na-te-la-mi.

Zdaj pa poglejmo primer z ulomki, v znaku katerih so črke you -nia.

Ena najpomembnejših ved, katere uporabo lahko vidimo v disciplinah, kot so kemija, fizika in celo biologija, je matematika. Študij te znanosti vam omogoča, da razvijete nekatere duševne lastnosti in izboljšate svojo sposobnost koncentracije. Ena od tem, ki si pri predmetu matematika zasluži posebno pozornost, je seštevanje in odštevanje ulomkov. Veliko študentov se težko uči. Morda vam bo naš članek pomagal bolje razumeti to temo.

Kako odšteti ulomke, katerih imenovalci so enaki

Ulomki so enaka števila, s katerimi lahko izvajate različne operacije. Njihova razlika od celih števil je v prisotnosti imenovalca. Zato morate pri izvajanju operacij z ulomki preučiti nekatere njihove značilnosti in pravila. Najenostavnejši primer je odštevanje navadnih ulomkov, katerih imenovalci so predstavljeni kot isto število. Izvajanje tega dejanja ne bo težko, če poznate preprosto pravilo:

Da od enega ulomka odštejemo sekundo, je treba od števca ulomka, ki ga zmanjšujemo, odšteti števec odštetega ulomka. To število zapišemo v števec razlike, imenovalec pustimo enak: k/m - b/m = (k-b)/m.

Primeri odštevanja ulomkov z enakimi imenovalci

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Od števca ulomka "7" odštejemo števec ulomka "3", ki ga želimo odšteti, dobimo "4". To številko zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa postavimo isto številko, ki je bila v imenovalcih prvega in drugega ulomka - "19".

Spodnja slika prikazuje še več podobnih primerov.

Oglejmo si bolj zapleten primer, kjer se odštejejo ulomki s podobnimi imenovalci:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Od števca ulomka "29", ki se zmanjša z odštevanjem števcev vseh naslednjih ulomkov - "3", "8", "2", "7". Kot rezultat dobimo rezultat "9", ki ga zapišemo v števec odgovora, v imenovalec pa zapišemo število, ki je v imenovalcih vseh teh ulomkov - "47".

Seštevanje ulomkov z enakim imenovalcem

Seštevanje in odštevanje navadnih ulomkov poteka po istem principu.

Če želite sešteti ulomke, katerih imenovalci so enaki, morate sešteti števce. Dobljeno število je števec vsote, imenovalec pa bo ostal enak: k/m + b/m = (k + b)/m.

Poglejmo, kako je to videti na primeru:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Števcu prvega člena ulomka - "1" - dodajte števec drugega člena ulomka - "2". Rezultat - "3" - se zapiše v števec vsote, imenovalec pa ostane enak tistemu, ki je prisoten v ulomkih - "4".

Ulomki z različnimi imenovalci in njihovo odštevanje

Upoštevali smo že operacijo z ulomki, ki imajo enak imenovalec. Kot lahko vidite, je ob poznavanju preprostih pravil reševanje takšnih primerov precej enostavno. Kaj pa, če morate izvesti operacijo z ulomki, ki imajo različne imenovalce? Mnogi srednješolci so takšni primeri zbegani. Toda tudi tukaj, če poznate princip rešitve, vam primeri ne bodo več težki. Tukaj je tudi pravilo, brez katerega je reševanje takih ulomkov preprosto nemogoče.

Če želite odšteti ulomke z različnimi imenovalci, jih je treba zmanjšati na enak najmanjši imenovalec.

O tem, kako to storiti, bomo podrobneje govorili.

Lastnost ulomka

Da bi več ulomkov spravili na isti imenovalec, morate v rešitvi uporabiti glavno lastnost ulomka: po deljenju ali množenju števca in imenovalca z istim številom dobite ulomek, ki je enak danemu.

Tako ima lahko na primer ulomek 2/3 imenovalce, kot so "6", "9", "12" itd., kar pomeni, da ima lahko obliko poljubnega števila, ki je večkratnik "3". Ko pomnožimo števec in imenovalec z "2", dobimo ulomek 4/6. Ko pomnožimo števec in imenovalec prvotnega ulomka s »3«, dobimo 6/9, če pa podobno operacijo izvedemo s številom »4«, dobimo 8/12. Eno enakost lahko zapišemo takole:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kako pretvoriti več ulomkov na isti imenovalec

Poglejmo, kako zmanjšati več ulomkov na isti imenovalec. Za primer vzemimo ulomke, prikazane na spodnji sliki. Najprej morate ugotoviti, katero število lahko postane imenovalec za vse. Za lažjo stvar razložimo obstoječe imenovalce.

Imenovalec ulomka 1/2 in ulomka 2/3 ni mogoče faktorizirati. Imenovalec 7/9 ima dva faktorja 7/9 = 7/(3 x 3), imenovalec ulomka 5/6 = 5/(2 x 3). Zdaj moramo določiti, kateri faktorji bodo najmanjši za vse te štiri ulomke. Ker ima prvi ulomek v imenovalcu številko "2", to pomeni, da mora biti prisoten v vseh imenovalcih; v ulomku 7/9 sta dva trojčka, kar pomeni, da morata biti oba prisotna tudi v imenovalcu. Ob upoštevanju zgoraj navedenega ugotovimo, da je imenovalec sestavljen iz treh faktorjev: 3, 2, 3 in je enak 3 x 2 x 3 = 18.

Razmislimo o prvem ulomku - 1/2. V njegovem imenovalcu je »2«, vendar ni niti enega »3«, ampak bi morali biti dve. Da bi to naredili, pomnožimo imenovalec z dvema trojkama, glede na lastnost ulomka pa moramo števec pomnožiti z dvema trojkama:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Enake operacije izvajamo s preostalimi frakcijami.

2/3 - ena trojka in ena dve manjkata v imenovalcu:
2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
7/9 ali 7/(3 x 3) - v imenovalcu manjka dvojka:
7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
5/6 ali 5/(2 x 3) - v imenovalcu manjka trojka:
5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Vse skupaj izgleda takole:

Kako odštevati in seštevati ulomke, ki imajo različne imenovalce

Kot je navedeno zgoraj, je treba ulomke, ki imajo različne imenovalce, dodati ali odšteti, jih zmanjšati na isti imenovalec in nato uporabiti pravila za odštevanje ulomkov z enakim imenovalcem, o katerih smo že govorili.

Poglejmo to kot primer: 18. 4. - 15. 3.

Iskanje večkratnika števil 18 in 15:

Število 18 je sestavljeno iz 3 x 2 x 3.
Število 15 je sestavljeno iz 5 x 3.
Skupni večkratnik bodo naslednji faktorji: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Ko je imenovalec najden, je treba izračunati faktor, ki bo za vsak ulomek drugačen, to je število, s katerim bo treba pomnožiti ne samo imenovalec, ampak tudi števec. To naredimo tako, da najdeno število (skupni večkratnik) delimo z imenovalcem ulomka, za katerega moramo določiti dodatne faktorje.

90 deljeno s 15. Dobljeno število "6" bo množitelj za 3/15.
90 deljeno z 18. Dobljeno število "5" bo množitelj za 4/18.

Naslednja stopnja naše rešitve je zmanjšanje vsakega ulomka na imenovalec "90".

O tem, kako se to naredi, smo že govorili. Poglejmo, kako je to zapisano na primeru:

(4 x 5)/(18 x 5) - (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Če imajo ulomki majhna števila, potem lahko določite skupni imenovalec, kot je prikazano v primeru na spodnji sliki.

Enako velja za tiste z različnimi imenovalci.

Odštevanje in ob celih delih

O odštevanju ulomkov in njihovem seštevanju smo že podrobno govorili. Toda kako odšteti, če ima ulomek celo število? Spet uporabimo nekaj pravil:

Pretvori vse ulomke, ki imajo celo število, v neprave. Preprosto povedano, odstranite celoten del. Če želite to narediti, pomnožite število celega dela z imenovalcem ulomka in dodajte dobljeni produkt k števcu. Število, ki se pojavi po teh dejanjih, je števec nepravilnega ulomka. Imenovalec ostane nespremenjen.
Če imajo ulomki različne imenovalce, jih je treba zmanjšati na isti imenovalec.
Izvedite seštevanje ali odštevanje z istimi imenovalci.
Ko prejmete nepravilni ulomek, izberite cel del.

Obstaja še en način, na katerega lahko seštevate in odštevate ulomke s celimi deli. Za to se dejanja izvajajo ločeno s celimi deli, dejanja z ulomki ločeno, rezultati pa se zabeležijo skupaj.

Podani primer je sestavljen iz ulomkov z enakim imenovalcem. V primeru, da so imenovalci različni, jih je treba spraviti na isto vrednost in nato izvesti dejanja, kot je prikazano v primeru.

Odštevanje ulomkov od celih števil

Druga vrsta operacije z ulomki je primer, ko je treba ulomek odšteti. Tak primer se na prvi pogled zdi težko rešljiv. Vendar je tukaj vse precej preprosto. Če ga želite rešiti, morate pretvoriti celo število v ulomek in z enakim imenovalcem, kot je v odštetem ulomku. Nato izvedemo odštevanje podobno odštevanju z enakimi imenovalci. Na primeru je videti takole:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Odštevanje ulomkov (6. razred), predstavljeno v tem članku, je osnova za reševanje zahtevnejših primerov, ki jih obravnavamo v naslednjih razredih. Znanje te teme se kasneje uporabi za reševanje funkcij, odvodov ipd. Zato je zelo pomembno razumeti in razumeti zgoraj obravnavane operacije z ulomki.

Vsebina lekcije

Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti seštevanja ulomkov:

Seštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo seštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite sešteti ulomke z enakimi imenovalci, morate njihove števce sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen. Na primer, seštejmo ulomke in . Seštejte števce in pustite imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če dodate pico k pici, dobite pico:

Primer 2. Seštejte ulomke in.

Izkazalo se je, da je odgovor nepravilen ulomek. Ko pride naloga do konca, je običajno, da se znebimo nepravilnih ulomkov. Če se želite znebiti nepravilnega ulomka, morate izbrati njegov cel del. V našem primeru je celoten del enostavno izoliran - dva deljeno z dva je enako ena:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na dva dela. Če pici dodaš še pico, dobiš eno celo pico:

Primer 3. Seštejte ulomke in.

Spet seštejemo števce in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če pici dodate več pice, dobite pico:

Primer 4. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Števce je treba sešteti, imenovalec pa pustiti nespremenjen:

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če dodate pico k pici in dodate še več pic, dobite 1 celo pico in še eno pico.

Kot lahko vidite, pri seštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

Če želite dodati ulomke z enakim imenovalcem, morate sešteti njihove števce in pustiti imenovalec nespremenjen;

Seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Zdaj pa se naučimo seštevati ulomke z različnimi imenovalci. Pri seštevanju ulomkov morata biti imenovalca ulomkov enaka. Niso pa vedno enaki.

Na primer, ulomke je mogoče sešteti, ker imajo enake imenovalce.

Toda ulomkov ni mogoče takoj sešteti, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Obstaja več načinov za zmanjšanje ulomkov na isti imenovalec. Danes si bomo ogledali samo enega od njih, saj se lahko druge metode začetniku zdijo zapletene.

Bistvo te metode je, da se najprej poišče LCM imenovalcev obeh ulomkov. LCM se nato deli z imenovalcem prvega ulomka, da dobimo prvi dodatni faktor. Enako storijo z drugim ulomkom - LCM se deli z imenovalcem drugega ulomka in dobi se drugi dodatni faktor.

Števci in imenovalci ulomkov se nato pomnožijo z njihovimi dodatnimi faktorji. Zaradi teh dejanj se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati.

Primer 1. Seštejmo ulomke in

Najprej poiščemo najmanjši skupni večkratnik imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 2. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 6

LCM (2 in 3) = 6

Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in . Najprej razdelite LCM z imenovalcem prvega ulomka in dobite prvi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 6 delimo s 3, dobimo 2.

Dobljeno število 2 je prvi dodatni množitelj. Zapišemo ga do prvega ulomka. Če želite to narediti, naredite majhno poševno črto čez ulomek in zapišite dodatni faktor, ki ga najdete nad njim:

Enako naredimo z drugim ulomkom. LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor. LCM je število 6, imenovalec drugega ulomka pa je število 2. 6 delimo z 2, dobimo 3.

Dobljeno število 3 je drugi dodatni množitelj. Zapišemo ga na drugi ulomek. Spet naredimo majhno poševno črto čez drugi ulomek in zapišemo dodatni faktor, ki ga najdemo nad njim:

Zdaj imamo vse pripravljeno za dodajanje. Ostaja še pomnožiti števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji:

Poglejte dobro, do česa smo prišli. Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo seštevati. Vzemimo ta primer do konca:

S tem je primer zaključen. Izkazalo se je dodati.

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če pici dodaš pico, dobiš eno celo pico in še eno šestino pice:

Zmanjševanje ulomkov na isti (skupni) imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem ulomkov in na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti dve frakciji bosta predstavljali enaki kosi pice. Razlika bo le v tem, da bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zreducirani na isti imenovalec).

Prva risba predstavlja ulomek (štirje kosi od šestih), druga risba pa ulomek (trije kosi od šestih). Če seštejemo te kose, dobimo (sedem kosov od šestih). Ta ulomek je nepravilen, zato smo izpostavili njegov cel del. Kot rezultat smo dobili (eno celo pico in še šesto pico).

Upoštevajte, da smo ta primer opisali preveč podrobno. V izobraževalnih ustanovah ni običajno pisati tako podrobno. Morate biti sposobni hitro najti LCM obeh imenovalcev in dodatnih faktorjev k njim, pa tudi hitro pomnožiti najdene dodatne faktorje s števci in imenovalci. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer napisati takole:

Obstaja pa tudi druga plat medalje. Če si na prvih stopnjah študija matematike ne delate podrobnih zapiskov, se začnejo pojavljati tovrstna vprašanja. »Od kod ta številka?«, »Zakaj se ulomki nenadoma spremenijo v povsem druge ulomke? «.

Za lažje seštevanje ulomkov z različnimi imenovalci lahko uporabite naslednja navodila po korakih:

Poiščite LCM imenovalcev ulomkov;
LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek;
Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji;
Seštejte ulomke, ki imajo enake imenovalce;
Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del;

Primer 2. Poiščite vrednost izraza .

Uporabimo zgoraj navedena navodila.

Korak 1. Poiščite LCM imenovalcev ulomkov

Poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec ulomkov so števila 2, 3 in 4

2. korak. Delite LCM z imenovalcem vsakega ulomka in dobite dodatni faktor za vsak ulomek

LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 2. 12 delimo z 2, dobimo 6. Dobili smo prvi dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Dobimo drugi dodatni faktor 4. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Zdaj LCM delimo z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 12, imenovalec tretjega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Dobimo tretji dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:

Korak 3. Pomnožite števce in imenovalce ulomkov z njihovimi dodatnimi faktorji

Števce in imenovalce pomnožimo z njihovimi dodatnimi faktorji:

Korak 4. Dodajte ulomke z enakimi imenovalci

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. Vse kar ostane je, da te ulomke seštejemo. Seštejte:

Dodatek ni sodil v eno vrstico, zato smo preostali izraz premaknili v naslednjo vrstico. To je v matematiki dovoljeno. Ko izraz ne sodi v eno vrstico, se premakne v naslednjo vrstico, pri čemer je treba na koncu prve vrstice in na začetku nove vrstice postaviti enačaj (=). Znak enačaja v drugi vrstici pomeni, da je to nadaljevanje izraza, ki je bil v prvi vrstici.

Korak 5. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, izberite njegov cel del

V odgovoru smo dobili nepravilen ulomek. Izpostaviti moramo cel del tega. Izpostavljamo:

Dobili smo odgovor

Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci

Obstajata dve vrsti odštevanja ulomkov:

Odštevanje ulomkov z enakimi imenovalci
Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Najprej se naučimo odštevati ulomke z enakimi imenovalci. Tukaj je vse preprosto. Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka, imenovalec pa pustiti enak.

Na primer, poiščimo vrednost izraza. Če želite rešiti ta primer, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen. Naredimo to:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na štiri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza.

Spet od števca prvega ulomka odštejemo števec drugega ulomka in pustimo imenovalec nespremenjen:

Ta primer zlahka razumemo, če se spomnimo pice, ki je razdeljena na tri dele. Če iz pice izrežete pice, dobite pice:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Ta primer je rešen na popolnoma enak način kot prejšnji. Od števca prvega ulomka morate odšteti števce preostalih ulomkov:

Kot lahko vidite, pri odštevanju ulomkov z enakimi imenovalci ni nič zapletenega. Dovolj je razumeti naslednja pravila:

Če želite od enega ulomka odšteti drugega, morate števec drugega ulomka odšteti od števca prvega ulomka in pustiti imenovalec nespremenjen;
Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.

Odštevanje ulomkov z različnimi imenovalci

Na primer, od ulomka lahko odštejete ulomek, ker imata ulomka enake imenovalce. Toda ulomka ne morete odšteti od ulomka, saj imajo ti ulomki različne imenovalce. V takih primerih je treba ulomke zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Skupni imenovalec najdemo po istem principu, kot smo ga uporabili pri seštevanju ulomkov z različnimi imenovalci. Najprej poiščite LCM imenovalcev obeh ulomkov. Nato LCM delimo z imenovalcem prvega ulomka in dobimo prvi dodatni faktor, ki je zapisan nad prvim ulomkom. Podobno LCM delimo z imenovalcem drugega ulomka in dobimo drugi dodatni faktor, ki je zapisan nad drugim ulomkom.

Ulomki se nato pomnožijo z dodatnimi faktorji. Kot rezultat teh operacij se ulomki z različnimi imenovalci pretvorijo v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti.

Primer 1. Poiščite pomen izraza:

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate zreducirati na isti (skupni) imenovalec.

Najprej poiščemo LCM imenovalcev obeh ulomkov. Imenovalec prvega ulomka je število 3, imenovalec drugega ulomka pa število 4. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 12

LCM (3 in 4) = 12

Zdaj pa se vrnimo k ulomkom in

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. To naredite tako, da LCM delite z imenovalcem prvega ulomka. LCM je število 12, imenovalec prvega ulomka pa je število 3. 12 delimo s 3, dobimo 4. Nad prvim ulomkom napiši štirico:

Enako naredimo z drugim ulomkom. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 12, imenovalec drugega ulomka pa je število 4. 12 delimo s 4, dobimo 3. Čez drugi ulomek zapišemo trojko:

Zdaj smo pripravljeni na odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Vzemimo ta primer do konca:

Dobili smo odgovor

Poskusimo našo rešitev prikazati z risbo. Če iz pice odrežete pico, dobite pico

To je podrobna različica rešitve. Če bi bili v šoli, bi morali ta primer reševati krajše. Takšna rešitev bi izgledala takole:

Zmanjševanje ulomkov na skupni imenovalec lahko prikažemo tudi s sliko. Z zmanjšanjem teh ulomkov na skupni imenovalec smo dobili ulomke in . Ti ulomki bodo predstavljeni z enakimi rezinami pice, vendar bodo tokrat razdeljeni na enake deleže (zmanjšane na isti imenovalec):

Na prvi sliki je ulomek (osem kosov od dvanajstih), na drugi sliki pa ulomek (trije koščki od dvanajstih). Če iz osmih kosov izrežemo tri, dobimo od dvanajstih pet kosov. Ulomek opisuje teh pet kosov.

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Ti ulomki imajo različne imenovalce, zato jih morate najprej reducirati na isti (skupni) imenovalec.

Poiščimo LCM imenovalcev teh ulomkov.

Imenovalec ulomkov so števila 10, 3 in 5. Najmanjši skupni večkratnik teh števil je 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Zdaj najdemo dodatne faktorje za vsak ulomek. To naredite tako, da LCM razdelite na imenovalec vsakega ulomka.

Poiščimo dodatni faktor za prvi ulomek. LCM je število 30, imenovalec prvega ulomka pa je število 10. Če 30 delimo z 10, dobimo prvi dodatni faktor 3. Zapišemo ga nad prvi ulomek:

Zdaj najdemo dodatni faktor za drugi ulomek. LCM delite z imenovalcem drugega ulomka. LCM je število 30, imenovalec drugega ulomka pa je število 3. Če 30 delimo s 3, dobimo drugi dodatni faktor 10. Zapišemo ga nad drugim ulomkom:

Zdaj najdemo dodatni faktor za tretji ulomek. LCM delite z imenovalcem tretjega ulomka. LCM je število 30, imenovalec tretjega ulomka pa je število 5. 30 delimo s 5, dobimo tretji dodatni faktor 6. Zapišemo ga nad tretjim ulomkom:

Zdaj je vse pripravljeno za odštevanje. Ostaja še pomnožiti ulomke z njihovimi dodatnimi faktorji:

Prišli smo do zaključka, da so se ulomki, ki so imeli različne imenovalce, spremenili v ulomke z enakimi (skupnimi) imenovalci. In takšne ulomke že znamo odšteti. Končajmo ta primer.

Nadaljevanje primera ne bo šlo v eno vrstico, zato nadaljevanje premaknemo v naslednjo vrstico. Ne pozabite na enačaj (=) v novi vrstici:

Izkazalo se je, da je odgovor navaden ulomek in zdi se, da nam vse ustreza, vendar je preveč okoren in grd. Morali bi ga poenostaviti. Kaj se lahko naredi? Ta ulomek lahko skrajšate.

Če želite skrajšati ulomek, morate njegov števec in imenovalec deliti z (NOT) števil 20 in 30.

Torej, najdemo gcd številk 20 in 30:

Zdaj se vrnemo k našemu primeru in delimo števec in imenovalec ulomka z najdenim gcd, to je z 10

Dobili smo odgovor

Množenje ulomka s številom

Če želite pomnožiti ulomek s številom, morate števec danega ulomka pomnožiti s tem številom in pustiti imenovalec enak.

Primer 1. Pomnoži ulomek s številom 1.

Števec ulomka pomnožite s številom 1

Posnetek je mogoče razumeti, kot da traja polovico 1 časa. Na primer, če enkrat vzameš pico, dobiš pico

Iz zakonov množenja vemo, da se zmnožek ne spremeni, če zamenjata množitelj in faktor. Če je izraz zapisan kot , bo produkt še vedno enak . Spet velja pravilo za množenje celega števila in ulomka:

Ta zapis lahko razumemo kot polovico enega. Na primer, če je 1 cela pica in jo vzamemo polovico, potem bomo imeli pico:

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec ulomka s 4

Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:

Izraz lahko razumemo tako, da vzamemo dve četrtini 4-krat. Na primer, če vzamete 4 pice, boste dobili dve celi pici

In če zamenjamo množitelj in množitelj, dobimo izraz . Prav tako bo enako 2. Ta izraz lahko razumemo kot vzeti dve pici iz štirih celih pic:

Množenje ulomkov

Če želite pomnožiti ulomke, morate pomnožiti njihove števce in imenovalce. Če se izkaže, da je odgovor nepravilen ulomek, morate poudariti njegov cel del.

Primer 1. Poiščite vrednost izraza.

Dobili smo odgovor. Ta delež je priporočljivo zmanjšati. Ulomek lahko zmanjšamo za 2. Potem bo končna rešitev imela naslednjo obliko:

Izraz lahko razumemo kot vzeti pico iz polovice pice. Recimo, da imamo pol pice:

Kako od te polovice vzeti dve tretjini? Najprej morate to polovico razdeliti na tri enake dele:

In vzemite dva od teh treh kosov:

Naredili bomo pico. Spomnite se, kako izgleda pica, če jo razdelite na tri dele:

En kos te pice in dva kosa, ki sva jih vzela, bodo imeli enake dimenzije:

Z drugimi besedami, govorimo o enako veliki pici. Zato je vrednost izraza

Primer 2. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Odgovor je bil nepravilen ulomek. Naj izpostavimo celoten del:

Primer 3. Poiščite vrednost izraza

Pomnožite števec prvega ulomka s števcem drugega ulomka in imenovalec prvega ulomka z imenovalcem drugega ulomka:

Izkazalo se je, da je odgovor navadni ulomek, vendar bi bilo dobro, če bi ga skrajšali. Če želite zmanjšati ta ulomek, morate števec in imenovalec tega ulomka deliti z največjim skupnim deliteljem (GCD) števil 105 in 450.

Torej, poiščimo gcd števil 105 in 450:

Zdaj delimo števec in imenovalec našega odgovora z gcd, ki smo ga zdaj našli, to je s 15

Predstavljanje celega števila kot ulomka

Vsako celo število je mogoče predstaviti kot ulomek. Na primer, številko 5 lahko predstavimo kot. To ne bo spremenilo pomena pet, saj izraz pomeni "število pet deljeno z ena", to pa je, kot vemo, enako pet:

Vzajemna števila

Sedaj se bomo seznanili z zelo zanimivo temo matematike. Imenuje se "obratne številke".

Opredelitev. Obrnite na številkoa je število, ki je pomnoženo sa daje eno.

V tej definiciji zamenjajmo namesto spremenljivke aštevilko 5 in poskusite prebrati definicijo:

Obrnite na številko 5 je število, ki je pomnoženo s 5 daje eno.

Ali je mogoče najti število, ki, če ga pomnožimo s 5, da ena? Izkazalo se je, da je to mogoče. Predstavljajmo si pet kot ulomek:

Nato pomnožite ta ulomek sam s seboj, samo zamenjajte števec in imenovalec. Z drugimi besedami, pomnožimo ulomek samega s seboj, samo na glavo:

Kaj se bo zgodilo zaradi tega? Če nadaljujemo z reševanjem tega primera, dobimo enega:

To pomeni, da je inverzna številka 5 številka , saj ko 5 pomnožite z, dobite ena.

Recipročno vrednost števila je mogoče najti tudi za katero koli drugo celo število.

Poiščete lahko tudi recipročno vrednost katerega koli drugega ulomka. Če želite to narediti, ga obrnite.

Deljenje ulomka s številom

Recimo, da imamo pol pice:

Razdelimo ga enakomerno na dva. Koliko pice bo dobil vsak?

Vidimo, da smo po razdelitvi pice na polovico dobili dva enaka kosa, od katerih vsak predstavlja pico. Tako vsak dobi pico.

Delitev ulomkov poteka z recipročnimi vrednostmi. Vzajemna števila vam omogočajo zamenjavo deljenja z množenjem.

Če želite deliti ulomek s številom, morate ulomek pomnožiti z obratno vrednostjo delitelja.

S pomočjo tega pravila bomo zapisali razdelitev naše polovice pice na dva dela.

Torej, ulomek morate razdeliti s številko 2. Tu je dividenda ulomek, delitelj pa število 2.

Če želite deliti ulomek s številom 2, morate ta ulomek pomnožiti z recipročno vrednostjo delitelja 2. Recipročna vrednost delitelja 2 je ulomek. Torej morate pomnožiti s