Vsota ploščine trapeza. Kako najti območje trapeza: formule in primeri

Obstaja veliko načinov za iskanje območja trapeza. Običajno učitelj matematike pozna več metod za izračun, poglejmo jih podrobneje:
1) , kjer sta AD in BC osnovici, BH pa višina trapeza. Dokaz: narišite diagonalo BD in izrazite ploščini trikotnikov ABD in CDB skozi polovični produkt njunih osnov in višin:

, kjer je DP zunanja višina v

Seštejmo te enakosti člen za členom in ob upoštevanju, da sta višini BH in DP enaki, dobimo:

Dajmo iz oklepaja

Q.E.D.

Posledica formule za površino trapeza:
Ker je polovična vsota osnov enaka MN - srednji črti trapeza, potem

2) Uporaba splošne formule za površino štirikotnika.
Površina štirikotnika je enaka polovici produkta diagonal, pomnoženega s sinusom kota med njima
Da bi to dokazali, je dovolj, da trapez razdelite na 4 trikotnike, površino vsakega izrazite v smislu "polovice produkta diagonal in sinusa kota med njimi" (vzemite kot kot, dodajte nastalo izraze, jih vzemite iz oklepaja in faktorizirajte ta oklepaj z metodo združevanja, da dobite njegovo enakost z izrazom Hence

3) Metoda diagonalnega premika
To je moje ime. Inštruktor matematike v šolskih učbenikih ne bo naletel na tak naslov. Opis tehnike lahko najdemo le v dodatnih učbenikih kot primer reševanja problema. Naj opozorim, da večino zanimivih in uporabnih dejstev o planimetriji študentom razkrijejo mentorji matematike v procesu praktičnega dela. To je izjemno neoptimalno, ker jih mora študent izolirati v ločene izreke in jih poimenovati "velika imena". Eden od teh je "diagonalni premik". Za kaj se gre? Skozi oglišče B narišimo premico, vzporedno z AC, dokler se ne preseka s spodnjo osnovo v točki E. V tem primeru bo štirikotnik EBCA paralelogram (po definiciji) in je torej BC=EA in EB=AC. Prva enakost je za nas zdaj pomembna. Imamo:

Upoštevajte, da ima trikotnik BED, katerega površina je enaka površini trapeza, še več izjemnih lastnosti:
1) Njegova površina je enaka površini trapeza
2) Njegov enakokrak se pojavi hkrati z enakokrakim samim trapezom
3) Njegov zgornji kot pri točki B je enak kotu med diagonalama trapeza (kar se zelo pogosto uporablja pri nalogah)
4) Njegova mediana BK je enaka razdalji QS med razpoloviščema osnov trapeza. Nedavno sem naletel na uporabo te lastnosti, ko sem pripravljal študenta za mehaniko in matematiko na Moskovski državni univerzi z uporabo Tkačukovega učbenika, različica 1973 (problem je podan na dnu strani).

Posebne tehnike za inštruktorja matematike.

Včasih predlagam težave z uporabo zelo zapletenega načina iskanja površine trapeza. Uvrščam jih med posebne tehnike, ker jih v praksi mentor uporablja zelo redko. Če potrebujete pripravo na enotni državni izpit iz matematike samo v delu B, vam o njih ni treba brati. Za druge vam povem naprej. Izkazalo se je, da je površina trapeza dvakrat večja od površine trikotnika z oglišči na koncih ene strani in sredini druge strani, to je trikotnika ABS na sliki:
Dokaz: v trikotnika BCS in ADS nariši višini SM in SN in izrazi vsoto ploščin teh trikotnikov:

Ker je točka S razpolovišče CD, potem (dokažite sami) poiščite vsoto ploščin trikotnikov:

Ker se je izkazalo, da je ta vsota enaka polovici površine trapeza, potem je njegova druga polovica. itd.

V mentorjevo zbirko posebnih tehnik bi vključil obliko izračuna ploščine enakokrakega trapeza vzdolž njegovih stranic: kjer je p polobod trapeza. Ne bom dal dokazov. V nasprotnem primeru bo vaš mentor matematike ostal brez službe :). Pridite v razred!

Težave na območju trapeza:

Opomba inštruktorja matematike: Spodnji seznam ni metodološka spremljava teme, je le majhen izbor zanimivih nalog, ki temeljijo na zgoraj obravnavanih tehnikah.

1) Spodnja osnova enakokrakega trapeza je 13, zgornja pa 5. Poiščite površino trapeza, če je njegova diagonala pravokotna na stran.
2) Poiščite ploščino trapeza, če sta njegovi osnovi 2 cm in 5 cm, stranice pa 2 cm in 3 cm.
3) V enakokrakem trapezu je večja osnova 11, stranica 5, diagonala pa Poiščite ploščino trapeza.
4) Diagonala enakokrakega trapeza je 5, srednjica pa 4. Poiščite ploščino.
5) V enakokrakem trapezu sta osnovici 12 in 20, diagonali pa sta medsebojno pravokotni. Izračunajte ploščino trapeza
6) Diagonala enakokrakega trapeza tvori kot s spodnjo osnovo. Poiščite ploščino trapeza, če je njegova višina 6 cm.
7) Ploščina trapeza je 20, ena od njegovih stranic pa 4 cm. Poiščite razdaljo do nje od sredine nasprotne stranice.
8) Diagonala enakokrakega trapeza ga deli na trikotnika s ploščinama 6 in 14. Poišči višino, če je stranska stranica 4.
9) V trapezu so diagonale enake 3 in 5, segment, ki povezuje središča baz, pa je enak 2. Poiščite površino trapeza (Mekhmat MSU, 1970).

Izbral sem ne najtežje probleme (ne bojte se strojništva!) s pričakovanjem, da jih bom lahko rešil samostojno. Odločite se za svoje zdravje! Če potrebujete pripravo na enotni državni izpit iz matematike, potem brez sodelovanja v tem procesu formule za območje trapeza lahko pride do resnih težav tudi pri problemu B6 in še bolj pri C4. Ne začenjajte teme in v primeru težav prosite za pomoč. Inštruktor matematike vam vedno z veseljem pomaga.

Kolpakov A.N.
Inštruktor matematike v Moskvi, priprava na enotni državni izpit v Stroginu.

Ta kalkulator je izračunal 2192 nalog na temo "Površina trapeza"

OBMOČJE TRAPEZA

Izberite formulo za izračun površine trapeza, ki jo nameravate uporabiti za rešitev težave, ki vam je bila dodeljena:

Splošna teorija za izračun površine trapeza.

trapez - To je ploska figura, sestavljena iz štirih točk, od katerih tri ne ležijo na isti premici, in štirih odsekov (stranic), ki te štiri točke povezujejo v parih, pri čemer sta dve nasprotni stranici vzporedni (ležita na vzporednih premicah) in druga dva nista vzporedna.

Točke se imenujejo oglišča trapeza in so navedeni z velikimi latiničnimi črkami.

Segmenti se imenujejo trapezne stranice in so označeni s parom velikih latiničnih črk, ki ustrezajo vozliščem, ki povezujejo segmente.

Dve vzporedni strani trapeza imenujemo trapezne osnove .

Dve nevzporedni stranici trapeza se imenujeta stranice trapeza .

Slika št. 1: Trapez ABCD

Slika št. 1 prikazuje trapez ABCD z oglišči A, B, C, D in stranicami AB, BC, CD, DA.

AB ǁ DC - osnovke trapeza ABCD.

AD, BC - stranske stranice trapeza ABCD.

Kot, ki ga sestavljata žarka AB in AD, imenujemo kot pri oglišču A. Označujemo ga z ÐA ali ÐBAD ali ÐDAB.

Kot, ki ga tvorita žarka BA in BC, imenujemo kot pri oglišču B. Označujemo ga z ÐB ali ÐABC ali ÐCBA.

Kot, ki ga tvorita žarka CB in CD, imenujemo ogliščni kot C. Označujemo ga z ÐC ali ÐDCB ali ÐBCD.

Kot, ki ga sestavljata žarka AD in CD, imenujemo ogliščni kot D. Označujemo ga z ÐD ali ÐADC ali ÐCDA.

Slika št. 2: Trapez ABCD

Na sliki 2 se imenuje odsek MN, ki povezuje razpolovišča stranskih stranic srednja črta trapeza.

Srednja črta trapeza vzporedni z osnovami in enaki njihovi polvsoti. to je .

Slika št. 3: Enakokraki trapez ABCD

Na sliki 3 je AD=BC.

Trapez se imenuje enakokraki (enakokraki), če sta njegovi stranici enaki.

Slika št. 4: Pravokotni trapez ABCD

Na sliki št. 4 je kot D raven (enak 90°).

Trapez se imenuje pravokoten,če je kot ob strani raven.

Območje S ravnoštevilke, ki vključujejo trapez, imenujemo omejen zaprt prostor na ravnini. Območje ravne figure prikazuje velikost te figure.

Območje ima več lastnosti:

1. Ne more biti negativno.

2. Če je podano določeno zaprto območje na ravnini, ki je sestavljeno iz več likov, ki se med seboj ne sekajo (to pomeni, da figure nimajo skupnih notranjih točk, lahko pa se dotikajo), potem je območje takšne površine je enaka vsoti ploščin njenih sestavnih številk.

3. Če sta figuri enaki, sta njuni ploščini enaki.

4. Površina kvadrata, ki je zgrajena na segmentu enote, je enaka ena.

zadaj enota meritve območje vzemite površino kvadrata, katerega stranica je enaka enota meritve segmente.

Pri reševanju problemov se pogosto uporabljajo naslednje formule za izračun površine trapeza:

1. Območje trapeza je enako polovici vsote njegovih baz, pomnoženih z njegovo višino:

2. Območje trapeza je enako produktu njegove srednje črte in njegove višine:

3. Z znanimi dolžinami baz in stranic trapeza lahko njegovo površino izračunamo po formuli:

4. Možno je izračunati površino enakokrakega trapeza z znano dolžino polmera kroga, vpisanega v trapez, in znano vrednostjo kota na dnu z naslednjo formulo:

Primer 1: Izračunaj ploščino trapeza z osnovama a=7, b=3 in višino h=15.

rešitev:

odgovor:

Primer 2: Poiščite stranico osnovke trapeza s ploščino S = 35 cm 2, višino h = 7 cm in drugo osnovo b = 2 cm.

rešitev:

Da bi našli stranico osnove trapeza, uporabimo formulo za izračun ploščine:

Iz te formule izrazimo stran osnove trapeza:

Tako imamo naslednje:

odgovor:

Primer 3: Poišči višino trapeza s ploščino S = 17 cm 2 in osnovnicama a = 30 cm, b = 4 cm.

rešitev:

Za iskanje višine trapeza uporabimo formulo za izračun ploščine:

Tako imamo naslednje:

odgovor:

Primer 4: Izračunaj ploščino trapeza z višino h=24 in središčnico m=5.

rešitev:

Da bi našli površino trapeza, uporabimo naslednjo formulo za izračun površine:

Tako imamo naslednje:

odgovor:

Primer 5: Poiščite višino trapeza s ploščino S = 48 cm 2 in srednjico m = 6 cm.

rešitev:

Da bi našli višino trapeza, uporabimo formulo za izračun površine trapeza:

Izrazimo višino trapeza s to formulo:

Tako imamo naslednje:

odgovor:

Primer 6: Poiščite srednjo črto trapeza s ploščino S = 56 in višino h = 4.

rešitev:

Za iskanje srednje črte trapeza uporabimo formulo za izračun površine trapeza:

Izrazimo srednjo črto trapeza s to formulo:

Tako imamo naslednje.

IN . Zdaj lahko začnemo obravnavati vprašanje, kako najti območje trapeza. Ta naloga se v vsakdanjem življenju pojavlja zelo redko, včasih pa se izkaže, da je treba na primer najti površino prostora v obliki trapeza, ki se vse bolj uporablja pri gradnji sodobnih stanovanj ali v oblikovalski projekti prenove.

Trapez je geometrijski lik, ki ga tvorijo štirje sekajoči se segmenti, od katerih sta dva vzporedna drug z drugim in se imenujeta osnovici trapeza. Druga dva segmenta se imenujeta stranice trapeza. Poleg tega bomo kasneje potrebovali še eno definicijo. To je srednja črta trapeza, ki je segment, ki povezuje središča stranic in višino trapeza, ki je enaka razdalji med bazama.
Tako kot trikotniki imajo tudi trapezi posebne vrste v obliki enakokrakega (enakostraničnega) trapeza, pri katerem so stranice enake, in pravokotnega trapeza, pri katerem ena od stranic z osnovami tvori pravi kot.

Trapezi imajo nekaj zanimivih lastnosti:

1. Srednjica trapeza je enaka polovici vsote osnov in je z njima vzporedna.
   
2. Enakokraki trapezi imajo enake stranice in kote, ki jih tvorijo z osnovo.
   
3. Središči diagonal trapeza in presečišče njegovih diagonal sta na isti premici.
   
4. Če je vsota stranic trapeza enaka vsoti osnov, potem lahko vanj vpišemo krog
   
5. Če je vsota kotov, ki jih tvorijo stranice trapeza na kateri koli njegovi osnovi, 90, potem je dolžina odseka, ki povezuje središči baz, enaka njihovi polovični razliki.
   
6. Enakokraki trapez lahko opišemo s krožnico. In obratno. Če se trapez prilega krogu, potem je enakokrak.
   
7. Odsek, ki poteka skozi razpoloviščne točke osnov enakokrakega trapeza, bo pravokoten na njegove osnovice in predstavlja simetrijsko os.
   

Kako najti območje trapeza.

Površina trapeza bo enaka polovici vsote njegovih baz, pomnoženih z njegovo višino. V obliki formule je to zapisano kot izraz:

kjer je S površina trapeza, a, b je dolžina vsake osnove trapeza, h je višina trapeza.

Vsak trapez lahko razstavite tudi na enostavnejše figure: pravokotnik in enega ali dva trikotnika, in če vam je lažje, poiščite območje trapeza kot vsoto površin njegovih sestavnih figur.

Obstaja še ena preprosta formula za izračun njegove površine. Po njej je ploščina trapeza enaka zmnožku njegove srednje črte z višino trapeza in je zapisana v obliki: S = m*h, kjer je S površina, m dolžina trapeza. srednjica, h je višina trapeza. Ta formula je primernejša za matematične probleme kot za vsakdanje probleme, saj v realnih razmerah ne boste vedeli dolžine središčne črte brez predhodnih izračunov. In poznali boste le dolžine osnov in stranic.

V tem primeru je območje trapeza mogoče najti po formuli:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

kjer je S ploščina, a, b sta osnovici, c, d sta stranici trapeza.

Obstaja več drugih načinov za iskanje območja trapeza. Vendar so približno tako neprijetne kot zadnja formula, kar pomeni, da se o njih nima smisla ukvarjati. Zato vam priporočamo, da uporabite prvo formulo iz članka in vam želimo vedno točne rezultate.

Večstrani trapez ... Lahko je poljuben, enakokrak ali pravokoten. In v vsakem primeru morate vedeti, kako najti območje trapeza. Seveda si je najlažje zapomniti osnovne formule. Toda včasih je lažje uporabiti tisto, ki je izpeljana ob upoštevanju vseh značilnosti določene geometrijske figure.

Nekaj ​​besed o trapezu in njegovih elementih

Vsak štirikotnik, katerega strani sta vzporedni, lahko imenujemo trapez. Na splošno nista enaki in se imenujeta baze. Večja je spodnja, druga pa zgornja.

Drugi dve strani se izkažeta za stranske. V poljubnem trapezu imajo različne dolžine. Če sta enaka, postane lik enakokrak.

Če se nenadoma izkaže, da je kot med katero koli stranjo in osnovo enak 90 stopinj, potem je trapez pravokoten.

Vse te funkcije lahko pomagajo pri reševanju problema, kako najti območje trapeza.

Med elementi figure, ki so lahko nepogrešljivi pri reševanju problemov, lahko izpostavimo naslednje:

• višina, to je segment, pravokoten na obe osnovi;
• srednja črta, ki ima na koncih središča stranskih stranic.

S katero formulo je mogoče izračunati ploščino, če sta znani osnova in višina?

Ta izraz je podan kot osnovni, saj te količine najpogosteje prepoznamo, tudi če niso eksplicitno podane. Če želite razumeti, kako najti območje trapeza, boste morali sešteti obe osnovi in ​​ju razdeliti na dva. Nato dobljeno vrednost pomnožite z vrednostjo višine.

Če osnovi označimo kot 1 in 2, višino pa kot n, potem bo formula za ploščino videti takole:

S = ((a 1 + a 2)/2)*n.

Formula, ki izračuna ploščino, če sta podani njena višina in srednjica

Če natančno pogledate prejšnjo formulo, zlahka opazite, da jasno vsebuje vrednost srednje črte. In sicer vsota osnov, deljena z dva. Naj bo srednja črta označena s črko l, potem formula za območje postane:

S = l * n.

Sposobnost iskanja območja z uporabo diagonal

Ta metoda bo pomagala, če je znan kot, ki ga tvorijo. Recimo, da sta diagonali označeni s črkama d 1 in d 2, kota med njima pa sta α in β. Potem bo formula za iskanje območja trapeza zapisana na naslednji način:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

V tem izrazu lahko enostavno zamenjate α z β. Rezultat se ne bo spremenil.

Kako najti območje, če so znane vse strani figure?

Obstajajo tudi situacije, ko so točno znane strani te figure. Ta formula je okorna in si jo je težko zapomniti. Ampak verjetno. Stranici naj imata oznako: a 1 in a 2, osnova a 1 je večja od a 2. Potem bo formula površine dobila naslednjo obliko:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (v 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + v 1 2 - v 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2 ).

Metode za izračun površine enakokrakega trapeza

Prvi je posledica dejstva, da je vanj mogoče vpisati krog. In če poznate njegov polmer (označen je s črko r), kot tudi kot na dnu - γ, lahko uporabite naslednjo formulo:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Zadnja splošna formula, ki temelji na poznavanju vseh strani figure, bo bistveno poenostavljena zaradi dejstva, da imajo stranice enak pomen:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (v 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).

Metode za izračun površine pravokotnega trapeza

Jasno je, da je katera koli od naštetih primerna za katero koli postavo. Toda včasih je koristno vedeti za eno značilnost takšnega trapeza. Leži v tem, da je razlika med kvadrati dolžin diagonal enaka razliki, ki jo sestavljajo kvadrati baz.

Pogosto pozabimo formule za trapez, medtem ko se spomnimo izrazov za ploščine pravokotnika in trikotnika. Potem lahko uporabite preprosto metodo. Trapez razdelite na dve obliki, če je pravokoten, ali na tri. Eden bo zagotovo pravokotnik, drugi ali preostala dva pa trikotnika. Po izračunu ploščin teh številk ostane le še, da jih seštejemo.

To je precej preprost način za iskanje površine pravokotnega trapeza.

Kaj pa, če so znane koordinate oglišč trapeza?

V tem primeru boste morali uporabiti izraz, ki vam omogoča določitev razdalje med točkami. Uporablja se lahko trikrat: da bi ugotovili obe osnovi in ​​eno višino. In nato samo uporabite prvo formulo, ki je opisana malo višje.

Za ponazoritev te metode lahko navedemo naslednji primer. Dana so oglišča s koordinatami A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Ugotoviti morate območje figure.

Preden najdete območje trapeza, morate iz koordinat izračunati dolžine baz. Potrebovali boste naslednjo formulo:

dolžina odseka = √((razlika prvih koordinat točk) 2 + (razlika drugih koordinat točk) 2 ).

Zgornja osnova je označena z AB, kar pomeni, da bo njena dolžina enaka √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Spodnja je CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Zdaj morate narisati višino od vrha do podnožja. Naj bo njen začetek v točki A. Konec odseka bo na spodnji osnovi v točki s koordinatami (5; 1), naj bo to točka H. Dolžina odseka AN bo enaka √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Vse, kar ostane, je nadomestiti dobljene vrednosti v formulo za območje trapeza:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problem smo rešili brez merskih enot, ker ni bilo podano merilo koordinatne mreže. Lahko je milimeter ali meter.

Vzorčne težave

Št. 1. Pogoj. Kot med diagonalama poljubnega trapeza je enak 30 stopinj. Manjša diagonala ima vrednost 3 dm, druga pa je 2-krat večja. Potrebno je izračunati površino trapeza.

rešitev. Najprej morate ugotoviti dolžino druge diagonale, ker brez tega ne bo mogoče izračunati odgovora. Ni težko izračunati, 3 * 2 = 6 (dm).

Zdaj morate uporabiti ustrezno formulo za območje:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problem je rešen.

odgovor: Ploščina trapeza je 4,5 dm2.

Št. 2. Pogoj. V trapezu ABCD sta osnovici odseki AD in BC. Točka E je sredina stranice SD. Iz nje je narisana pravokotna črta AB, konec tega segmenta je označen s črko H. Znano je, da sta dolžini AB in EH enaki 5 oziroma 4 cm. Izračunati je treba površino trapez.

rešitev. Najprej morate narediti risbo. Ker je vrednost navpičnice manjša od strani, na katero je narisana, bo trapez nekoliko podolgovat navzgor. EH bo torej znotraj figure.

Če želite jasno videti napredek pri reševanju težave, boste morali izvesti dodatno gradnjo. Nariši namreč premico, ki bo vzporedna s stranico AB. Presečišča te premice z AD so P, z nadaljevanjem BC pa X. Dobljeni lik VHRA je paralelogram. Poleg tega je njegova površina enaka zahtevani. To je posledica dejstva, da so trikotniki, dobljeni med dodatno gradnjo, enaki. To izhaja iz enakosti stranice in dveh kotov, ki mejijo nanjo, enega navpičnega, drugega pa navzkrižno.

Območje paralelograma lahko najdete s formulo, ki vsebuje produkt stranice in višine, spuščene nanjo.

Tako je površina trapeza 5 * 4 = 20 cm 2.

odgovor: S = 20 cm 2.

Št. 3. Pogoj. Elementi enakokrakega trapeza imajo naslednje vrednosti: spodnja osnova - 14 cm, zgornja osnova - 4 cm, ostri kot - 45º. Izračunati morate njegovo površino.

rešitev. Naj bo manjša osnova označena z BC. Višino, narisano iz točke B, bomo imenovali VH. Ker je kot 45º, bo trikotnik ABH pravokoten in enakokrak. Torej AN=VN. Poleg tega je AN zelo enostavno najti. Enak je polovici razlike v bazah. To je (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Osnove so znane, višine izračunane. Prvo formulo, o kateri smo tukaj razpravljali, lahko uporabite za poljuben trapez.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).

odgovor: Zahtevana površina je 45 cm 2.

Št. 4. Pogoj. Obstaja poljuben trapez ABCD. Na njegovih stranskih stranicah sta vzeti točki O in E, tako da je OE vzporedna z vznožico AD. Površina trapeza AOED je petkrat večja od površine OVSE. Izračunajte vrednost OE, če so znane dolžine osnov.

rešitev. Narisati boste morali dve vzporedni črti AB: prvo skozi točko C, njeno presečišče z OE - točko T; drugi skozi E in točka presečišča z AD bo M.

Naj bo neznanka OE=x. Višina manjšega trapeza OVSE je n 1, večjega AOED pa n 2.

Ker sta ploščini teh dveh trapezov povezani kot 1 proti 5, lahko zapišemo naslednjo enakost:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Višine in stranice trikotnikov so konstrukcijsko sorazmerne. Zato lahko zapišemo še eno enakost:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​​​1 - x).

V zadnjih dveh vnosih na levi strani sta enaki vrednosti, kar pomeni, da lahko zapišemo, da je (x + a 1) / (5(x + a 2)) enako (x - a 2) / (a ​​​1 - x).

Tu so potrebne številne transformacije. Najprej pomnožite navzkrižno. Pojavili se bodo oklepaji, ki označujejo razliko kvadratov, po uporabi te formule boste dobili kratko enačbo.

V njem morate odpreti oklepaje in premakniti vse izraze z neznanim "x" v levo, nato pa izvleči kvadratni koren.

Odgovori: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

Trapez je posebna vrsta štirikotnika, pri katerem sta dve nasprotni stranici vzporedni, drugi dve pa nista. Različni resnični predmeti imajo trapezoidno obliko, zato boste morda morali izračunati obseg takšne geometrijske figure za reševanje vsakdanjih ali šolskih nalog.

Trapezna geometrija

Trapez (iz grškega "trapezion" - miza) je lik na ravnini, omejen s štirimi segmenti, od katerih sta dva vzporedna in dva ne. Vzporedni segmenti se imenujejo osnove trapeza, nevzporedni segmenti pa stranice figure. Stranice in njihovi naklonski koti določajo vrsto trapeza, ki je lahko skalen, enakokrak ali pravokoten. Poleg osnov in stranic ima trapez še dva elementa:

• višina - razdalja med vzporednimi osnovami figure;
• srednja črta - segment, ki povezuje sredine stranic.

Ta geometrijska figura je zelo razširjena v resničnem življenju.

Trapez v resnici

V vsakdanjem življenju ima veliko resničnih predmetov obliko trapeza. Trapeze zlahka najdete na naslednjih področjih človeške dejavnosti:

• notranja oprema in dekor - zofe, mizne plošče, stene, preproge, spuščeni stropi;
• krajinska zasnova - meje trate in umetnih rezervoarjev, oblike dekorativnih elementov;
• moda - oblika oblačil, čevljev in dodatkov;
• arhitektura - okna, stene, temelji zgradb;
• proizvodnja - razni izdelki in deli.

S tako široko uporabo trapeza morajo strokovnjaki pogosto izračunati obseg geometrijske figure.

Obod trapeza

Obseg figure je numerična značilnost, ki se izračuna kot vsota dolžin vseh strani n-kotnika. Trapez je štirikotnik in na splošno imajo vse njegove stranice različne dolžine, zato obseg izračunamo po formuli:

P = a + b + c + d,

kjer sta a in c osnovici figure, b in d sta njeni stranici.

Čeprav nam pri izračunu obsega trapeza ni treba poznati višine, koda kalkulatorja zahteva vnos te spremenljivke. Ker višina nima vpliva na izračune, lahko pri uporabi našega spletnega kalkulatorja vnesete katero koli vrednost višine, ki je večja od nič. Poglejmo si nekaj primerov.

Primeri iz resničnega življenja

Robec

Recimo, da imate šal v obliki trapeza in ga želite obrobiti z resicami. Obseg šala boste morali poznati, da ne boste kupili dodatnega materiala ali šli dvakrat v trgovino. Naj ima vaš enakokraki šal naslednje parametre: a = 120 cm, b = 60 cm, c = 100 cm, d = 60 cm Te podatke vnesemo v spletni obrazec in dobimo odgovor v obrazec:

Tako je obseg šala 340 cm in ravno tolikšna je dolžina resaste kitke za zaključek.

pobočja

Na primer, odločili ste se narediti pobočja za nestandardna kovinsko-plastična okna, ki imajo trapezoidno obliko. Takšna okna se pogosto uporabljajo pri oblikovanju stavb, saj ustvarjajo sestavo več kril. Najpogosteje so takšna okna izdelana v obliki pravokotnega trapeza. Ugotovimo, koliko materiala je potrebno za izdelavo pobočij takšnega okna. Standardno okno ima naslednje parametre a = 140 cm, b = 20 cm, c = 180 cm, d = 50 cm Uporabimo te podatke in dobimo rezultat v obrazcu

Obod trapeznega okna torej znaša 390 cm in točno toliko plastičnih plošč boste morali kupiti za oblikovanje pobočij.

Zaključek

Trapez je priljubljena figura v vsakdanjem življenju, določitev parametrov katere bo morda potrebna v najbolj nepričakovanih situacijah. Izračun trapeznih obodov je potreben za številne strokovnjake: od inženirjev in arhitektov do oblikovalcev in mehanikov. Naš katalog spletnih kalkulatorjev vam bo omogočil izračune za poljubne geometrijske oblike in telesa.